1. ¨Ubung am 13. Oktober 2015

1. Übung am 13. Oktober 2015
[LVA 405.211 UE Statistik, Link zur Ankreuzliste siehe www.trutschnig.net/courses
mit * versehene Aufgaben sind freiwillig]
Übungsaufgabe 1 Beweisen Sie Lemma 1.2.
Übungsaufgabe 2 Berechnen Sie lim inf n→∞ An und lim supn→∞ An für die folgenden Mengenfolgen in R:
a) An = [0, 1] falls n gerade und An = [1, 2] falls n ungerade.
n 2
≤ 1 für jedes n ∈ N.
b) An = x ∈ R : x − (−1)
n
Sie die Mengenfolgen konvergent ?
Übungsaufgabe 3 Beweisen Sie die in Beispiel 1.12 angeführten Schritte (S1), (S2), (S3).
Hinweis: Für (S1) drücken Sie [a, b] als abzählbaren Durchschnitt von Elementen in h aus;
für (S2) und (S3) verwenden Sie Lemma 1.7.
Übungsaufgabe 4 Bestimmen Sie Aσ (E) für die folgenden Erzeuger E und Grundgesamtheiten Ω:
a) Ω = {1, 2, 3}, E = {{1}, {1, 2}}
b) Ω = Q = {q1 , q2 , . . .}, E = {qi } : i ∈ N
c)* Ω = R, E = [−a, a] : a ∈ [0, ∞)
Übungsaufgabe 5 Weisen Sie für zumindest zwei der 10 verbleibenden Mengensysteme in
Lemma 1.14 nach, dass sie Erzeuger der Borel’sche σ-Algebra sind.
Übungsaufgabe 6 Die Voraussetzung, dass h ein Halbring ist, ist wesentlich für die Gültigkeit von Satz 1.11: Verwenden Sie folgendes setup um diese Behauptung zu veriﬁzieren (geeignete Wahl von a und b): Ω = {1, 2, 3}, E = {{1}, {1, 2}}, μ({1}) = a, μ({1, 2}) = b.
2. Übung am 20. Oktober 2015
[LVA 405.211 UE Statistik, Link zur Ankreuzliste siehe www.trutschnig.net/courses
mit * versehene Aufgaben sind freiwillig]
Übungsaufgabe 7 Wir betrachten Ω = R2 . Zeigen Sie, dass I2 , deﬁniert durch
I2 = (a1 , b1 ] × (a2 , b2 ] : a1 ≤ b1 , a2 ≤ b2
ein Halbring in Ω ist.
Hinweis: Eine Skizze hilft.
Übungsaufgabe 8 Die Indikatorfunktion 1A : Ω → {0, 1} einer Menge A ⊆ Ω ist deﬁniert
durch
1 falls x ∈ A,
1A (x) =
0 falls x ∈ Ac .
Sei (An )n∈N eine Folge beliebiger Mengen, A := lim inf n→∞ An und A := lim supn→∞ An .
Gelten die folgende Gleichungen für jedes x ∈ Ω ?
1A (x) = lim inf 1An (x) ,
n→∞
1A (x) = lim sup 1An (x)
n→∞
Hinweis: Überlegen Sie sich zuerst, dass lim supn→∞ An genau die Menge aller Punkte ist,
die in unendlich vielen An liegen und dass lim inf n→∞ An genau die Menge aller Punkte ist,
die in nur endlichen vielen Mengen An NICHT (also in allen ab einem Index) liegen.
Übungsaufgabe 9 (R) Installieren Sie die R-packages ’ggplot2’, ’gridExtra’ und ’RColorBrewer’. Speichern Sie sierpinski.R auf www.trutschnig.net/courses lokal auf Ihrem Rechner
und führen Sie den Code aus - was ist zu beobachten ? Gehen Sie die ersten 23 Zeilen des
Codes durch und ﬁnden Sie heraus, was die einzelnen Befehle bewirken und was der Code
als Ganzes macht. Was haben die drei Funktionen (Zeile 6-8) mit dem Sierpinski Dreieck
zu tun ? Verwenden Sie einen beliebigen Punkt (x0 , y0 ) ∈ [0, 1]2 als neuen Startpunkt (Zeile
13) und führen Sie den Code erneut aus - was ist zu beobachten ? Verwenden Sie andere
Auswahlwahrscheinlichkeiten p = (p1 , p2 , p3 ) ∈ (0, 1)3 (Zeile 16) und führen Sie den Code
erneut aus - was ist zu beobachten ?
Zusatz*: Ergänzen Sie den R-Code so, dass der Prozentsatz
von Punkten (im data.frame A)
√
berechnet wird, der im Dreieck (0, 0), (1/2, 0), (1/4, 3/4) liegt - was ist zu beobachten ?
Übungsaufgabe 10 Zeigen Sie,dass sich jede diskrete Zufallsvariable X : (Ω, A, P ) →
∞
, α2 , . . . ∈ R
(R, B(R)) in der Form X(ω) =
n=1 αi 1Ai (ω) darstellen lässt, wobei die α1
paarweise verschieden und die Mengen A1 , A2 , . . . , ∈ A paarweise disjunkt mit ∞
n=1 Ai = Ω
sind.
Übungsaufgabe 11 Veriﬁzieren Sie, dass die zwei Mengensysteme in (2.2) σ-Algebren sind.
Übungsaufgabe 12 X1 , X2 , . . . seien Zufallsvariable auf (Ω, A, P ) mit supω∈Ω |Xi (ω)| ≤ B
für jedes i ∈ N und ein festes B > 0. Ist dann auch die Funktion X : Ω → R, deﬁniert durch
X(ω) = supi∈N Xi (ω), eine Zufallsvariable ?
3. Übung am 27. Oktober 2015
[LVA 405.211 UE Statistik, Link zur Ankreuzliste siehe www.trutschnig.net/courses]
Übungsaufgabe 13 (R) Stellen Sie sich folgende Situation vor: Die U1 in Wien fährt
innerhalb der Stoßzeiten von 17-20h lt. Plan (in die von Ihnen gewünschte Richtung) alle
zwei Minuten, i.e. um 17:00, 17:02, 17:04,..., 19:58, 20:00. Sie kommen werktags gemäß einer
stetigen Gleichverteilung im Intervall 18:00-19:00 am Bahnsteig an und würden erwarten, im
Mittel eine Minute warten zu müssen, beobachten aber (von der Statistik begeistert über
einen langen Zeitraum hinweg), dass Sie im Mittel etwas länger warten müssen. Just bad
luck ? Beantworten Sie die Frage mittels einer kleinen Simulation:
1. Starten Sie mit den theoretischen Ankunftszeiten minutes<−seq(−60,120,by=2). Wählen Sie a ∈ [0, 1] und erzeugen Sie ’reale’ Ankunftszeiten in dem Sie zufällige Abweichungen mit Verteilung U (−a, a) via pert<−runif(length(minutes),−a,a) simulieren
und subway<−minutes+pert betrachten.
2. Simulieren Sie Ihre Ankunftszeit arrival <−runif(1,0,60) und berechnen Sie, wie lange
Sie auf die nächste Ubahn warten müssen, nennen Sie die Wartenzeit w.
3. Wiederholen Sie die ersten beiden Schritte R = 100.000 Mal und betrachten Sie das
sample w1 , . . . , wR der entsprechenden Wartezeiten.
4. Plotten Sie ein Histogramm und berechnen sie den Mittelwert wn des samples.
5. Wiederholen Sie die Schritte 1-4 für andere Werte von a ∈ [0, 1] - was ist zu beobachten?
Übungsaufgabe 14 (R) (i) Leiten Sie die Formeln für EX und VX für den Fall X ∼ E(θ)
her (siehe Beispiel 3.10).
(ii) Erzeugen Sie eine Stichprobe x1 , . . . , xn der Größe n = 100 von X ∼ E(θ) (für ein von Ih√
nen gewähltes θ) und berechnen Sie die Größe z = nθ(xn − 1θ ). Wiederholen Sie den Vorgang
R = 1000 mal und plotten Sie ein Histogram der so erhaltenen Werten z1 , . . . , zR . Kommt
Ihnen die Form des Histogramms bekannt vor? Ergänzen Sie lines (density(x), col=”red”).
Was passiert wenn Sie n oder R verringern oder erhöhen ?
Übungsaufgabe 15 Betrachten Sie die folgende Funktion für a > 0:
0 für x < 0
F (x) =
1
2
−at
) für x ∈ [0, ∞)
3 + 3 (1 − e
Zeigen Sie, dass F eine Verteilungsfunktion ist. Hat F einen diskreten, einen absolut stetigen
und einen singulären Anteil? Wo könnte eine Zufallsvariable X ∼ F in der Realität auftreten?
Übungsaufgabe 16 Die Ankunftszeiten X1 und X2 zweier Personen seien gleichverteilt
auf [0, 1], i.e. X1 , X2 ∼ U (0, 1), und unabhängig. Mit anderen Worten (muss nicht nachgerechnet werden): der Vektor (X1 , X2 ) ist absolut stetig mit Dichte f (x1 , x2 ) = 1[0,1]2 (x1 , x2 ).
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die zwei Ankunftzeiten höchstens um
0.1 unterscheiden.
Hinweis: Eine Skizze (und Beispiel 3.5) hilft
Übungsaufgabe 17 Sei F eine beliebige Verteilungsfunktion. Beweisen Sie: Dann existiert
ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und eine Zufallsvariable X : Ω → R mit FX = F .
Übungsaufgabe 18 *[freiwillig aber interessant !] Konstruktion der wohl bekanntesten
singulären Verteilungsfunktion, der Cantorfunktion: Wir betrachten F0 , deﬁniert durch
F0 := {F ∈ F : F (0) = 0, F (1) = 1 und F stetig}
mit der Maximumsmetrik d∞ (siehe Analysis) und die folgende Abbildung Φ : F0 → F0 (eine
Skizze für F (x) = x hilft):
⎧
1
1
⎨
2 F (3x) für x ∈ [0, 3 ],
1
1 2
(Φ(F ))(x) =
2 für x ∈ ( 3 , 3 ],
⎩ 1 1
2
2 + 2 F (3x − 2) für x ∈ ( 3 , 1].
Beweisen Sie: ∃C∞ ∈ F0 sodass für jedes F ∈ F0 limn→∞ d∞ (Φn F, C∞ ) = 0 gilt. Zeigen Sie
(x) = 0 für jedes x ∈ B existiert.
weiters, dass eine Menge B ∈ B([0, 1]) mit λ(B) = 1 und C∞
Hinweis: Zeigen Sie, dass Φ eine Kontraktion auf dem vollständigen metrischen Raum (F0 , d∞ )
ist und verwenden Sie den Banach’schen Fixpunktsatz.
4. Übung am 3. November 2015
[LVA 405.211 UE Statistik, Link zur Ankreuzliste siehe www.trutschnig.net/courses]
Übungsaufgabe 19 (R) Wie können Stichproben von X ∼ F mit F aus Beispiel 15
erzeugt werden ? Erzeugen Sie für a = 0.5 Stichproben x1 , . . . , xn (n hinreichend groß),
plotten Sie die empirische Verteilungsfunktion (ecdf) F̂n der Stichprobe und ergänzen Sie im
plot die Verteilungsfunktion F . Was ist zu beobachten ?
(ii) Wir haben den Erwartungswert bisher nur für rein diskrete oder rein absolut stetige
Verteilungen berechnet. Versuchen Sie nichtsdestotrotz, EX zu berechnen und überprüfen
Sie Ihr Ergebnis, indem Sie für fest gewählte Werte von a Stichproben x1 , . . . , xn erzeugen
und xn berechnen.
Übungsaufgabe 20 (R) Erzeugen Sie ein sample x1 , . . . , xn von X ∼ U (0, 1) und betrachten Sie zi := − 1θ ln(1 − xi ) für beliebig gewähltes θ > 0. Plotten Sie die entsprechende
empirische Verteilungsfunktion F̂n und ergänzen Sie im Plot die Verteilungsfunktion von
X ∼ E(θ). Was ist für großes n zu erkennen ? Geben Sie eine Erklärung für die gemachte
Beobachtung.
Übungsaufgabe 21 Beweisen Sie mindestens drei der verbleibenden Aussagen 3-9 in Satz
4.9.
Übungsaufgabe 22 Beweisen Sie: Ist X eine Zufallsvariable auf (Ω, A, P ) und T : R → R
monoton wachsend (oder monoton fallend) dann ist auch T ◦ X eine Zufallsvariable.
Übungsaufgabe 23 (a) Geben Sie ein Beispiel dafür, dass eine Funktion F : R2 → [0, 1],
die die Punkte (F1) und (F2) in Lemma 4.15 erfüllt, und monoton wachsend in beiden
Koordinaten ist, im Allgemeinen keine Verteilungsfunktion sein muss.
(b*) Wir schwächen Bedingung (F2) in Lemma 4.15 ab auf die Bedingung (F2’), gegeben
durch
lim FX (x1 , x2 ) = 1
lim FX (x1 , x2 ) = 0;
x1 ,x2 →∞
x1 ,x2 →−∞
Ist jede Funktion F : R2 → [0, 1], die (F1), (F2’), (F3) erfüllt, die Verteilungsfunktion eines
Zufallsvektors (X1 , X2 ) ?
Übungsaufgabe 24 Im Punkt Q beﬁndet sich eine strahlende Quelle, die im Winkel ϕ ∼
U (−π/2, π/2) Teilchen emittiert. Im Abstand r von Q beﬁndet sich ein ebener Schirm, auf
dem die Teilchen auftreﬀen (siehe Skizze). Die Zufallsvariable X bezeichne die x-Koordinate
der Auftreﬀpunkte. Berechnen Sie die Verteilungsfunktion FX von X und, falls existent,
Dichte, Erwartungswert und Varianz von X.
Q=(0,r)
phi
(0,0)
(X,0)
5. Übung am 10. November 2015
[LVA 405.211 UE Statistik, Link zur Ankreuzliste siehe www.trutschnig.net/courses]
Übungsaufgabe 25 (R) Verwenden Sie das Skript RTR Netztest.R um einen Teil der im
Rahmen des RTR-Netztests gesammelten Daten (Hintergrundinfo: https://www.netztest.at/de/)
zu laden und einen ersten Blick auf die Daten zu werfen. Analysieren Sie mit Hilfe von Verteilungsfuntionen (R-Befehl ecdf) die download-Geschwindigkeit (Spalte rtr speed dl im Datensatz) der Operatoren (Spalte op name im Datensatz) - welcher Operator ist ’am besten’ ?
Berechnen Sie weiters je Monat und Operator den median der download-Geschwindigkeit.
Übungsaufgabe 26 (R) Verwenden Sie den R-Code marshall olkin simulation .R um Stichproben der Marshall-Olkin copula Mα,0.5 zu erzeugen und zu plotten.
Schätzen Sie P(X2 = X12α ) mit Hilfe von Simulationen für jedes α ∈ [0, 1] und versuchen Sie,
die Funktion α → P(X2 = X12α ) explizit anzugeben (ohne analytische Berechnung/Beweis !).
Übungsaufgabe 27 Beweisen Sie: Für A, B ∈ C und α ∈ [0, 1] folgt auch αA+(1−α)B ∈ C.
Zeigen Sie weiters, dass für jede Copula A die Funktion Â : [0, 1]2 → [0, 1], deﬁniert durch
Â(x1 , x2 ) = x2 − A(1 − x1 , x2 ),
eine Copula ist und verwenden Sie dieses Resultat um zu zeigen, dass W (x1 , x2 ) = max{x1 +
x2 − 1, 0} eine Copula ist.
Übungsaufgabe 28 Seien X, Y ∈ S(Ω, A) und a, b ∈ [0, ∞). Zeigen Sie, dass dann aX +
bY ∈ S(Ω, A), XY ∈ S(Ω, A) sowie X Y +1 ∈ S(Ω, A) folgt.
Übungsaufgabe 29 W ∈ C bezeichne im folgenden die Copula deﬁniert durch
W (x1 , x2 ) = max{x1 + x2 − 1, 0}.
X1 , X2 seien Zufallsvariable auf (Ω, A, P ) mit (X1 , X2 ) ∼ W̃ (W̃ bezeichne die von W induzierte Verteilungsfunktion gemäß Gleichung (3) in Copulas Anwendungsbeispiel.pdf).
Beweisen Sie, dass dann P (X2 = 1 − X1 ) = 1 gilt.
Hinweis: Zeigen Sie, dass für jedes Rechteck R ⊆ [0, 1]2 echt unterhalb (oder echt oberhalb)
der Nebendiagonale Δ := {(x, 1 − x) : x ∈ [0, 1]} ⊂ [0, 1]2 die Aussage P (X1 ,X2 ) (R) = 0 gilt
und überlegen Sie sich, wie Sie daraus das Resultat folgern können.
6. Übung am 17. November 2015
[LVA 405.211 UE Statistik, Link zur Ankreuzliste siehe www.trutschnig.net/courses]
Übungsaufgabe 30 (R) Beantworten Sie die folgende nicht-triviale Fragestellung approximativ mit Hilfe von Simulationen in R:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die konvexe Hülle von vier zufällig (gemäß
Gleichverteilung) in [0, 1]2 gewählten Punkten genau vier Eckpunkte hat ?
Hinweis: Die vier Punkte erzeugen Sie in gewohnter Manier, i.e.
A<−data.frame(x=runif(4,0,1),y=runif(4,0,1))
Zur Berechnung der Eckpunkte der Konvexen Hülle verwenden Sie die R-Funktion chull
Übungsaufgabe 31 Beweisen Sie Ungleichung (5.15) für den Spezialfall X ∈ S(Ω, A).
Hinweis: Klassische Cauchy-Schwarz Ungleichung im Rn
Übungsaufgabe 32 Betrachten Sie die Funktion F , deﬁniert durch
⎧
⎪
if x < 0,
⎨0
1
1
F (x) = 2 + 2 x2 if x ∈ [0, 1]
⎪
⎩
1
if x > 1.
Zeigen Sie, dass F eine Verteilungsfunktion ist und bestimmen Sie (falls existent) den diskreten, den absolut stetigen und den singulären Anteil. Betrachten Sie weiters X ∼ F und
berechnen Sie den Erwartungswert E(X) gemäß Deﬁnition 5.6 indem Sie genau die im Beweis
von Satz 5.5 verwendete Approximation (5.5) verwenden.
Übungsaufgabe 33 Sei X eine nicht-negative absolut stetige Zufallsvariable mit Dichte f ,
wobei (der Einfachheit halber) f (x) = 0 für alle x ∈ [0, M ]c gelte (M > 0 fest). Berechnen
Sie den Erwartungswert E(X) gemäß Deﬁnition 5.6 indem Sie genau die im Beweis von Satz
5.5 verwendete Approximation (5.5) verwenden und zeigen Sie damit, dass die allgemeine
Deﬁnition des Erwartungswerts konsistent mit Deﬁnition 3.6 ist.
Übungsaufgabe 34 Zeigen Sie: Ist X eine nicht-negative Zufallsvariable mit EX = 0, dann
existiert eine Menge A ∈ A mit P (A) = 1, sodass X(ω) = 0 für alle ω ∈ A. Gilt auch die
Umkehrung der Aussage ? Was folgt damit für Zufallsvariable X mit V(X) = 0 ?
Hinweis: Satz 5.5 und Deﬁnition 5.6.
7. Übung am 24. November 2015
[LVA 405.211 UE Statistik, Link zur Ankreuzliste siehe www.trutschnig.net/courses]
Übungsaufgabe 35 (X1 , X2 ) sei absolut stetig mit Dichte fθ gemäß Beispiel 3.5. Für welches θ ist ρ(X1 , X2 ) minimal, für welches θ ist ρ(X1 , X2 ) maximal ?
Übungsaufgabe 36 (R) Installieren und laden Sie das R-package tseries . Laden Sie mit
Hilfe des Paktes die Zeitreihen der (Schlusspreise und täglichen Volumina der) BMW- und
der IBM-Aktie ab 2003-01-01 herunter:
bmw = get.hist.quote(instrument = ’BMW.DE’, quote = c(’Cl’,’Vol’))
plot(bmw, main = ’BMW’)
ibm = get.hist.quote(instrument = ’IBM.F’, quote = c(’Cl’,’Vol’))
plot(ibm, main = ’IMB’)
x=merge(bmw,ibm)
x=subset(x,is.na(x$Volume.bmw)==0&is.na(x$Close.bmw)==0)
x=subset(x,is.na(x$Close.ibm)==0&is.na(x$Volume.ibm)==0)
Betrachten Sie das sample (ibm1 , bmw1 ), . . . , (ibmn , bmwn ) der Schlusspreise, plotten Sie die
Punkte und berechnen Sie den Korrelationskoeﬃzienten (direkt mit der entsprechenden RFunktion). Wiederholen Sie selbiges für die entsprechenden Volumina sowie für die sogenannten ’log-returns’† . Für welches der drei Paare ist die Korrelation am größten ? Geben
Sie eine Interpretation für die gemachte Beobachtung. Plotten Sie weiters Histogramme der
log-returns der Aktien - kommt Ihnen die Form bekannt vor ?
Übungsaufgabe 37 Sei (X, Y ) absolut stetig mit Wahrscheinlichkeitsdichte (stetige Gleichverteilung am Einheitskreis)
f (x, y) =
1
1K (x, y) wobei K := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}.
π
Berechnen Sie Cov(X, Y ) sowie den Korrelationskoeﬃzienten ρ(X, Y ).
(R) Erzeugen Sie weiters eine Stichprobe (x1 , y1 ), . . . (xn , yn ) (n = 10000) von (X, Y ) und
berechnen Sie den empirischen Korrelationskoeﬃzienten.
Übungsaufgabe 38 Sei X eine beliebige Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F . Drücken
Sie die Verteilungsfunktionen FX + und FX − von X + und X − durch F aus.
Übungsaufgabe 39 Beweisen Sie Satz 5.15 in 2 Schritten:
(S1) Für nicht-negative, Zufallsvariable X;
(S2) Für integrierbare Zufallsvariable unter Verwendung der Zerlegung X = X + − X − und
Beispiel 38.
Hinweis: Zum Beweis von E(X) = (0,∞) 1−F (t)dt in (S1) betrachten Sie zuerst X ∈ S(Ω, A).
†
Für eine Zeitreihe s1 , s2 , . . . , si , . . . sind die log-returns ri deﬁniert durch ri = log
Quotienten aufeinanderfolgender Preise)
si
si−1
(Logarithmen der
8. Übung am 01. Dezember 2015
[LVA 405.211 UE Statistik, Link zur Ankreuzliste siehe www.trutschnig.net/courses]
Übungsaufgabe 40 X1 , X2 , . . . sei eine Folge unabhängiger Zufallsvariable. Welche der
Folgenden aus (Xn )n∈N konstruierten Zufallsvariablen Y1 , Y2 , . . . sind unabhängig ?
1. B ∈ B(R) beliebig und Yi (ω) := 1B (Xi (ω)) für jedes i ∈ N.
2. B ∈ B(R2 ) beliebig und Yi := 1B (X2i−1 (ω), X2i (ω)) für jedes i ∈ N.
3. k ∈ N, B ∈ B(Rk ) beliebig und Yi := 1B (Xki−(k−1) (ω), Xki−(k−2) (ω), . . . , Xki (ω)) für
jedes i ∈ N.
Übungsaufgabe 41 Wir betrachten sie Zufallsvariablen (Xn )n∈N von Beispiel 6.8: Zeigen
Sie, dass sich Xn−1 ({j}) so berechnen lässt wie angegeben, berechnen Sie P (Xn = j) =
P Xn ({j}) und zeigen Sie, dass die Familie (Xn )n∈N paarweise unabhängig ist.
Zusatz*: Zeigen Sie die Unabhängigkeit von (Xn )n∈N .
Übungsaufgabe 42 Sei X, Y ∼ E(θ) und X, Y unabhängig. Berechnen Sie die Dichte und
Verteilungsfunktion von X − Y .
(R) Überprüfen Sie Ihr Ergebnis (betreﬀend Verteilungsfunktion) mit Hilfe von Simulationen
in R.
Übungsaufgabe 43 Ein Tiroler beschließt, während einer stockdunklen Nacht bei seiner
(1.5 Gehstunden entfernt wohnenden) Angebeteten fensterln zu gehen. Um den Weg besser
sehen zu können, nimmt er eine Taschenlampe und zwei Batterien, deren Lebensdauer T ∼
U (0, 1) erfüllt, mit. Ist die erste Batterie entladen, nimmt er die zweite in Betrieb. Berechnen
Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Taschenlampe bis zur Ankunft funktioniert. Wie
stark erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, wenn er drei statt zwei Batterien mitnimmt ?
Hinweis: Satz 6.10
Übungsaufgabe 44 Beweisen Sie den Weierstrass’schen Approximationssatz† elegant und
einfach mit Hilfe des in der Vorlesung bewiesenen Schwachen Gesetzes der Großen Zahlen:
1. f : [0, 1] → R sei stetig, f ∞ := max{|f (x)| : x ∈ [0, 1]} bezeichne sie Maximumsnorm.
Rufen Sie sich in Erinnerung, dass dann f sogar gleichmäßig stetig ist, i.e. für jedes
ε > 0 existiert ein δ > 0 sodass |f (x) − f (y)| < ε falls |x − y| < δ.
2. Für jedes n ∈ N ist das Bernstein Polynom Bn f an der Stelle x ∈ [0, 1] deﬁniert durch
n
k n
Bn f (x) =
f
xk (1 − x)n−k .
n k
k=0
eine Folge unabhängiger, Bin(1, p)-verteilter Zufalls3. Sei nun p ∈ [0, 1] fest und (Xi )i∈N
variable. Wir setzen X n (ω) := n1 ni=1 Xi (ω) für jedes n ∈ N.
†
Jede stetige Funktion auf einem Intervall [a, b] ist der gleichmäßige Grenzwert von Polynomen
4. Zeigen Sie
E f ◦ X n = Bn f (p)
sowie
|f (X n ) − f (p)| ≤ ε + 2f ∞ 1[δ,1] |X n (ω) − p| .
5. Zeigen Sie mit Hilfe von Punkt 4 und der Tschebyscheﬀ’schen Ungleichung
|Bn f (p) − f (p)| ≤ ε + 2f ∞
und folgern Sie damit
lim Bn f − f ∞ = 0
n→∞
p(1 − p)
nδ 2
9. Übung am 15. Dezember 2015
[LVA 405.211 UE Statistik, Link zur Ankreuzliste siehe www.trutschnig.net/courses]
Übungsaufgabe 45 Wir betrachten (X, Y ) ∼ μf mit f = 1K (stetige Gleichverteilung am
Einheitskreis). Warum ist die folgende Vorgangsweise nicht geeignet, um Stichproben von
(X, Y ) zu erzeugen ?
1. Erzeuge eine Stichprobe r1 , . . . rn von R ∼ U (0, 1).
2. Erzeugen eine Stichprobe θ1 , . . . θn von Θ ∼ U (0, 2π).
3. Setze xi := ri cos θi , yi := ri sin θi und betrachte ((xi , yi ))ni=1 .
Kann die Vorgangsweise leicht modiﬁziert werden, sodass sie wirklich Strichproben von
(X, Y ) ∼ μf liefert ?
(R) Überprüfen Sie in R, ob die modiﬁzierte Vorgangsweise wirklich die Gleichverteilung am
Einheitskreis liefert.
Übungsaufgabe 46 Die Zufallsvariable X1 , X2 , X3 seien unabhängig und es gelte Xi ∼
E(θi ). Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von Z1 := max{X1 , X2 , X3 } und von Z2 :=
min{X1 , X2 , X3 }. Kommt Ihnen die Form von Z2 bekannt vor ?
(R) Überprüfen Sie mit Hilfe von Simulationen die für Z2 gemachte Beobachtung für von
Ihnen gewählte, konkrete Werte θ1 , θ2 , θ3 > 0.
Übungsaufgabe 47 Beweisen Sie die Abschätzung (7.2) für den Fehler in der Monte-CarloIntegration für den Fall, dass g : [0, 1] → R stetig ist.
(R) Wählen Sie weiters ein festes, stetiges g und überprüfen Sie mit Hilfe von Simulationen
ob die Abschätzung sehr grob ist, i.e. ob die angegebene Wahrscheinlichkeit wesentlich kleiner
ist als der Ausdruck MV 2 .
Übungsaufgabe 48 (Romeo & Julia) Angenommen ein Aﬀe drückt unendlich oft hintereinander jeweils eine der 30 Tasten einer Tastatur. Xi bezeichne die im i-ten Schritt gedrückte
Taste. Wir nehmen an, dass alle Tasten gleich wahrscheinlich sind und die Folge (Xn )n∈N
i.i.d. ist. Beweisen Sie mit Hilfe des SLLN, dass der Aﬀe mit Wahrscheinlichkeit eins unendlich oft den kompletten Text von Romeo & Julia schreibt.
Hinweis: Es ist zwecksmäßig, die Tasten mit 1 bis 30 durchzunummerieren.
Übungsaufgabe 49 Wir betrachten zwei diskrete Zufallsvariable X, Y mit Werten in
{−1, 0, 1} und der folgenden gemeinsamen Verteilung:
⎧ 1
für (i, j) ∈ {(1, 1), (−1, 1)},
⎪
⎪
⎨ 32
3
32 für (i, j) ∈ {(−1, −1), (1, −1), (1, 0), (0, 1)},
P (X = i, Y = j) =
5
für (i, j) ∈ {(−1, 0), (0, −1)},
⎪
⎪
⎩ 32
8
32 für (i, j) = (0, 0)
Sind X und Y unabhängig ? Sind X 2 und Y 2 unabhängig ?
(R) Wie könnten Stichproben von (X, Y ) in R generiert werden ?
10. Übung am 22. Dezember 2015
[LVA 405.211 UE Statistik, Link zur Ankreuzliste siehe www.trutschnig.net/courses]
Übungsaufgabe 50 Sei X ∼ N (0, 1). Berechnen Sie E(X k ) für alle k ∈ N.
(R) Überprüfen Sie Ihre Resultate mit Hilfe von Simulation in R (SLLN), zum Beispiel für
k ∈ {2, 3, 4, 6}.
Übungsaufgabe 51 Berechnen Sie die charakteristische Funktion von X ∼ U (−a, a) und
damit alle Momente E(X k ) für k ∈ N.
(R) Überprüfen Sie die erhaltenen Werte für die Fälle k ∈ {1, 2, 4, 6} mit Hilfe von R (SLLN).
Übungsaufgabe 52 Sei (Xn )n∈N eine i.i.d. Folge mit Verteilungsfunktion F , Fn bezeichne
die empirische Verteilungsfunktion gemäß Gleichung (7.3). Beweisen Sie (als Anwendung des
Zentralen Grenzwertsatzes) das folgende Resultat: Für jedes x ∈ R mit F (x) ∈ (0, 1) und
beliebiges z ∈ R gilt
√
z
=Φ lim P ω ∈ Ω : n(Fn (x)(ω) − F (x)) ≤ z
n→∞
F (x)(1 − F (x))
Hinweis: Für festes x mit F (x) ∈ (0, 1) erfüllen die Zufallsvariable (1(−∞,x] ◦ Xi )i∈N die
Voraussetzungen des CLT (Satz 8.15).
Übungsaufgabe 53 Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum ({0, 1}, p({0, 1}), μ) mit
μ({0}) = μ({1}) = 12 . Die Abbildung T : Ω → Ω sei deﬁniert durch T (ω) = 1 − ω. Für jedes
n ∈ N und ω ∈ Ω setzen wir Xn (ω) = T n (ω) = T ◦ T ◦ · · · ◦ T (ω). Zeigen Sie, dass alle Xn die
selbe Verteilung haben, die Folge (Xn )n∈N aber nicht unabhängig ist. Berechnen Sie weiters
für jedes ω ∈ Ω
n
1
Xi (ω)
lim
n→∞ n
i=1
und erklären Sie inwiefern ist das Resultat (in Anbetracht des SLLN) überraschend ist.
Übungsaufgabe 54 Ein fairer Würfel wird unendlich oft geworfen. Beweisen Sie: (i) mit
Wahrscheinlichkeit eins kommt unendlich oft eine ’Sechs’. (ii) mit Wahrscheinlichkeit eins
kommt jede Zahl unendlich oft. Ist auch die Wahrscheinlichkeit dafür, an unendlich vielen
ungeraden Stellen (erster, dritter, fünfter, etc. Wurf) eine ’Sechs’ zu erhalten, gleich eins ?
11. Übung am 12. Jänner 2016
[LVA 405.211 UE Statistik, Link zur Ankreuzliste siehe www.trutschnig.net/courses]
Übungsaufgabe 55 Sei (Xn )n∈N eine i.i.d. Folge mit Verteilungsfunktion F , Fn bezeichne
die empirische Verteilungsfunktion gemäß Gleichung (7.3). Zeigen Sie, dass dann auch Yn ,
deﬁniert durch
Yn (ω) = sup |Fn (x)(ω) − F (x)|
x∈R
für jedes n ∈ N eine Zufallsvariable ist. Hinweis: Rechtsstetigkeit verwenden.
(R) Verwenden Sie das R-script sup distance ecdf .R auf www.trutschnig.net/courses. Was
macht der R-Code und was ist zu beobachten ? Was passiert wenn Sie die Parameter a, b der
β-Verteilung ändern ?
Übungsaufgabe 56 Sie haben in der Vorlesung ’Stochastische Modellbildung’ schon das
folgende Konﬁdenzintervall für den Parameter p einer Bin(1, p)-Verteilung kennengelernt
(1 − α bezeichnet wie gewohnt die Überdeckungswahrscheinlichkeit, z1−α/2 := Φ− (1 − α/2)):
z1−α/2 z1−α/2 X n (1 − X n ) , X n + √
X n (1 − X n )
[Un , On ] := X n − √
n
n
Erklären Sie, wie man mit Hilfe des CLT auf dieses Intervall kommt.
(R): Wählen Sie α = 0.05, p = 0.25 und n = 1000. Erzeugen Sie Stichproben x1 , . . . , xn
von X ∼ Bin(1, p), berechnen Sie [Un , On ] und setzen Sie a = 1 falls p ∈ [Un , On ] und
a = 0 sonst. Wiederholen Sie den Vorgang R = 10000 mal und berechnen Sie den Mittelwert
des entsprechenden samples a1 , . . . , aR . Wie weit liegt der Mittelwert von der gewünschten
Überdeckungswahrscheinlichkeit 1 − α entfernt ?
Wiederholen Sie die vorigen Schritte für n = 100 und n = 10 - was ist zu beobachten ?
Übungsaufgabe 57 Verwenden Sie das CLT, um analog zur vorigen Aufgabe ein Konﬁdenzintervall für den Parameter θ einer Exponentialverteilung zu konstruieren.
(R): Überprüfen Sie die Güte des Konﬁdenzintervalls analog zur vorigen Aufgabe.
Übungsaufgabe 58 (i) Geben Sie ein Beispiel für Zufallsvariable X, X1 , X2 , . . . für die
w
P
Xn −→ X aber nicht Xn −→ X gilt.
Hinweis: Betrachten Sie X ∼ Bin(1, p) und Xn := 1 − X für ein geeignetes p ∈ [0, 1].
[P ]
[P ]
(ii) Beweisen Sie, dass für den Fall, dass f : R → R stetig ist und Xn −→ X gilt, f ◦ Xn −→
f ◦ X folgt.
Übungsaufgabe 59 Beweisen Sie Satz 9.4
Hinweis: Sei ε > 0. Dann existiert ein Index n0 , sodass |E(Xn ) − a| ≤ ε/2 für alle n ≥ n0 .
Für ein solches n folgt aus |Xn (ω) − a| ≥ ε auch |Xn (ω) − E(Xn )| ≥ ε/2.
Übungsaufgabe 60 Die charakteristische Funktion von X ∼ Ex(θ) ist gegeben durch
ϕX (t) = 1it (muss nicht nachgerechnet werden). Berechnen Sie E(X k ) für jedes k ∈ N.
1− θ
Übungsaufgabe 61 (*) Geben Sie ein Beispiel für Zufallsvariable X, X1 , X2 , . . . für die
P
[P ]
Xn −→ X aber nicht Xn −→ X gilt.
Frohe WeihnaĚten und erholsame Feiertage !
12. Übung am 19. Jänner 2015
[LVA 405.211 UE Statistik, Link zur Ankreuzliste siehe www.trutschnig.net/courses]
Übungsaufgabe 62 (a) Sei X Poisson verteilt mit Parameter θ. Wir betrachten den naheliegenden Schätzer θ̂n = X n für θ. Ist θ̂n erwartungstreu und/oder stark konsistent ?
(b) Satz 10.11 kann unschwer auf Zufallsvariable mit abzählbarem Wertebereich erweitert
werden. Berechnen Sie für die in (a) betrachtete Situation die Fisher-Information I(θ) und
1
mit Vθ (θ̂n ) - was ist zu beobachten ?
vergleichen sie nI(θ)
Übungsaufgabe 63 Sei θ̂n ein erwartungstreuer Schätzer von θ ∈ Θ ⊆ R. Ist dann (θ̂n )2
auch erwartungstreuer Schätzer von θ2 ? Wenn nein, wie groß ist die Verzerrung ?
(R) Betrachten Sie X ∼ N (θ, 22 ) und den erwartungstreuer Schätzer θ̂n = X n für θ. Wählen
Sie n = 100, erzeugen Sie für von Ihnen fest gewähltes θ Stichproben x1 , . . . , xn und berechnen
Sie z = xn sowie w = (xn )2 . Wiederholen Sie den Vorgang R = 100000 mal, plotten Sie
R
Histogramme und berechnen Sie den Mittelwert der so erhaltenen Werte (zi )R
i=1 bzw. (wi )i=1
- was ist zu beobachten ?
Übungsaufgabe 64 Sei X ∼ E(θ) und θ̂n = X n der Schätzer von θ. Zeigen Sie die folgenden
Behauptungen
1
θ2
1
= ,
Vθ (θ̂n ) = 2 .
nI(θ)
n
nθ
Für θ > 1 ist in diesem Fall die Varianz des Schätzers echt kleiner als die Cramér-Rao
Schranke - wie kann das sein ?
Übungsaufgabe 65 Sei X ∼ U (0, θ). Was wäre ein naheliegender Schätzer θ̂n von θ ?
Modiﬁzieren Sie θ̂n so, dass der resultierende Schätzer erwartungstreu ist.
Zusatz*: Ist der Schätzer (stark) konsistent ?
Übungsaufgabe 66 Eine consulting Firma sucht neue Mitarbeiter mit Universitätsabschluss. Die Einstellungskriterien inkludieren eine Punktezahl von mindestens 120 bei einem
(in der Firma zu absolvierenden) IQ-Test, wobei der IQ als N (θ, 52 )-verteilt mit unbekanntem θ angenommen wird. Von 500 Bewerbern schaﬀen nur 50 den Test - schätzen Sie θ.
Hinweis: Sie können zum Beispiel wie folgt vorgehen: Sei X ∼ N (θ, 52 ) und Y := 1[120,∞) (X).
Dann gilt oﬀensichtlich Y ∼ Bin(1, p) wobei p eine Funktion von θ ist. Verwenden Sie den
üblichen Schätzer p̂n = X n für p um damit einen Schätzer für θ zu konstruieren.
(R) Überprüfen Sie Güte des erhaltenen Schätzers mit Hilfe von Simulationen in R.