Statistik und Ausgleichungsrechnung I+II - IGG

Rheinische Institut für Geodäsie und
Friedrich-Wilhelms- Geoinformation
Universität Bonn
universität bonn · Theoretische Geodäsie · Nussallee 17 · 53115 Bonn
Prof.Dr.techn. Wolf-Dieter Schuh Nussallee 17
Professur für Theoretische Geodäsie 53115 Bonn
Tel.: +49(0)228/73Fax: +49(0)228/73-6486
[email protected]
Statistik und Ausgleichungsrechnung I+II
1. Semester, 2 VO, 1UE; 2. Semester 1 VO, 1 UE, 1T
Sekretariat:
C. Schnier
Tel.:+49(0)228/73-2626
www.igg.uni-bonn.de
Bonn, 24. April 2012
WS 2011/12, SS 2012
Es werden die Standardverfahren Ausgleichung nach kleinsten Quadraten in expliziter Form (Ausgleichung nach Parametern) und in impliziter Form (Ausgleichung nach Bedingungen) sowohl theoretisch
hergeleitet als auch in vielen Anwendungen die Leistungsfähigkeit demonstriert. Der Messvorgang wird
durchleuchtet und Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur Beschreibung des stochastischen Verhaltens eingeführt. Hypothesentests bezüglich der Parameter und der geschätzen Varianz der Gewichtseinheit geben
schließlich die Möglichkeit statistisch fundierte Aussagen über die Relevanz der erzielten Ausgleichungsergebnisse zu erhalten.
Lehrinhalte:
1. Einführung und Motivation
2. Algebraischer Zugang zur Ausgleichungsrechnung
(a) Direkte Beobachtungen
i. Das arithmetische Mittel (Eigenschaften, Extremwertaufgabe, Genauigkeiten)
ii. Das gewichtete arithmetische Mittel (Wiederholungszahlen, Gewichte, Genauigkeiten)
iii. Alternative Ausgleichsprinzipien (L1 -Norm, L2 -Norm, L∞ -Norm)
iv. Graphische Zusammenfassung von direkten Beobachtungen (Boxplot)
(b) Ausgleichung nach Parametern
i. Beispiele und Motivation (Dreieck und Regressionsgerade)
ii. Ausgleichung nach Parametern als Minimierungsaufgabe
A. Methode der kleinsten Quadrate
B. Differenzieren von linearen und quadratischen Formen in Matrizenschreibweise
C. Normalgleichungen
D. Orthogonalitätsbedingungen
iii. Drei kleine Ergänzungen
A. Beobachtungsgleichungen mit konstantem Anteil
B. Beispiel: Höhennetz
C. Ausgleichung mit Näherungsparametern (verkürzte Beobachtungen)
D. Beispiel: Höhennetz mit Näherungsparametern
E. Ausgleichung nach Parametern bei ungleichen Genauigkeiten
F. Beispiel: Höhennetz mit ungleichen Gewichten
iv. Nichtlineare Beobachtungsgleichungen
A. Motivation
B. Reihenentwicklung nach Taylor
C. Linearisierung, Schlußkontrolle, Newton Iteration
D. Differentiation unentwickelter (impliziter) Funktionen
E. Beispiel: Punkteinschaltung durch Streckenmessung
(c) Ausgleichungen nach Bedingungen
i. Explizite und implizite Formen
ii. Gaußsches Minimierungsprinzip für implizite Formen
iii. Beispiel: Höhennetz
iv. Nichtlineare Bedingungsgleichungen
v. Beispiel: rechtwinkliges Dreieck
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
(a) Ereignisse und Mengensysteme (Mengen, Boolesche Algebra, Messraum)
(b) Wahrscheinlichkeiten für Mengensysteme (Axiome der Wahrscheinlichkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit, Theorem von Bayes, unabhängige Ereignisse)
(c) Wahrscheinlichkeitsraum (diskret-kontinuierlich, σ-Algebra )
(d) Konzept der Zufallsvariablen (Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, -verteilungsfunktion)
(e) Momente der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (Erwartungswert, Varianz, Schiefe, Exzeß)
(f) Wahrscheinlichkeitsabschätzungen aus den Momenten (Ungleichung nach Tschebyschow)
(g) Multivariate Zufallsvariable (Randverteilung, bedingte Verteilung, unabhängige Zufallsvariable)
(h) Multivariate Momente (Erwartungswert, Varianz, Kovarianz, Korrelation, Kovarianzmatrix)
(i) Lineare Abbildungen von Zufallsvariablen (Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz,
Varianzfortpflanzung)
(j) Nichtlineare Abbildung von Zufallsvariablen (Taylor-Reihe, Linearisierung)
4. Stochastischer Zugang zur Ausgleichungsrechnung
(a)
(b)
(c)
(d)
Zusammenhang: Gewichtsmatrix und Kovarianzmatrix (Varianz der Gewichtseinheit)
Bester linearer erwartungstreuer Schätzer (BLUE)
Ausgleichung mit Kovarianzmatrizen (nach Parametern und nach Bedingungen)
Ausgleichung nach Parametern oder Bedingungen bei unbekannten Varianzfaktor
(Schätzung der Varianz der Gewichtseinheit)
5. Stichproben und Zufallsvariable
(a) Messungen und Elementarfehler
(b) Univariate Normalverteilung
(Momente der Normalverteilung, standardisierte Normalverteilung, lineare Skalentransformation, Konfidenzbereiche)
(c) Multivariate Normalverteilung
(Spezialisierung auf zwei Dimensionen, Randverteilung, bedingte Verteilung, Konfidenzregionen)
6. Grundlagen statistischer Prüfverfahren
(a) Statistische Tests
(Hypothesen, Annahmebereich - Ablehnungsbereich, Testablauf, Fehler 1. Art, Fehler 2. Art)
(b) Parametertest bei bekannter Varianz der Gewichtseinheit
(Testablauf, Zusammenhang Hypothesentest - Konfidenzbereiche)
(c) Schätzung der Varianz der Gewichtseinheit
(Chi-Quadrat Verteilung, Verteilung von V T ΣV, Globaltest)
(d) Parametertest bei geschätzter Varianz der Gewichtseinheit
(Studentverteilung, Parametertest bei unbekannter Varianz der Gewichtseinheit)
(e) Vergleich von zwei unabhängigen Varianzen
(Fisherverteilung, Fishertest)
Literatur:
CASPARY W., WICHMANN K. (2007): Auswertung von Messdaten. Oldenbourg Verlag, München
Wien.
FAHRMEIR L., KNEIB T., LANG L. (2007): Regression: Modelle, Methoden und Anwendungen. Springer
Verlag, Berlin Heidelberg.
JÄGER, R., MÜLLER, T., SALER, H., SCHWÄBLE, R. (2005): Klassische und robuste Ausgleichungsverfahren. Wichmann Verlag, Heidelberg.
KOCH, K.R. (1997): Parameterschätzung und Hypothesentests. Dümmler Verlag, Bonn.
(Internet: http://www.igg.uni-bonn.de/tg/fileadmin/publication/media/buch97 format neu.pdf)
KOCH, K.R. (2007): Parameter Estimation and Hypothesis Testing in Linear Models. Springer, Berlin.
MEISSL, P. (1982): Least squares adjustment - a modern approach. Mitteilungen der Geodätischen
Institute der TU Graz, Folge 43.
NIEMEIER, W. (2008): Ausgleichungsrechnung - Statistische Auswertemethoden. De Gruyter Verlag,
Berlin.
STAHEL, W (2002): Statistische Datenanalyse: Eine Einführung für Naturwissenschaftler. Vieweg,
Braunschweig
Übungsbetreuung:
Dipl.-Ing. Lutz Roese Koerner, BSc Sebastian Halsig
Zwei parallele Übungsgruppen werden installiert - Einteilung in den Übungen.
Lehrmethode:
Vortrag mit audiovisueller Unterstützung. Rechnen von Beispielen an der Tafel unter Mitarbeit der Studierenden; Arbeitsblätter
Tutoriumsbetreuung:
Dipl.-Ing. Ina Krasbutter, BSc Jessica Franken, cand.-geod. Jannik Janßen
Parallel zur Vorlesung und Übung wird ein Tutorium angeboten, in dem praktische Anwendungen mit
MATLAB bearbeitet werden. Termine werden noch bekanntgegeben.
Abschluss:
Modulprüfung über alle LV des Moduls B06: SS2012 (schriftlich, 210 min)
Prüfungsvoraussetzung: anerkannte Studienleistung in allen LV des Moduls
Bescheinigung der anerkannten Studienleistung pro Semester
1. Über das gesamte Semester hinweg werden Pflichtübungsblätter ausgeteilt. Für alle Aufgaben
werden Punkte vergeben. Insgesamt sind dabei 100 Punkte erreichbar, von denen mindestens 75
bearbeitet bzw. gelöst werden müssen um zur Prüfung zugelassen zu werden.
2. Zu Beginn der Übungsstunde hat jeder Teilnehmer anzugeben, welche Aufgabenteile er gelöst hat.
Die Lösung zu einer Aufgabe bzw. einem Aufgabenteil ist dann von einem der Teilnehmer zu
präsentieren. Dieser wird per Los unter all denjenigen gezogen, die die zu besprechende Aufgabe
als gelöst angegeben haben.
3. Ist die präsentierte Lösung nur teilweise richtig, können Teilpunkte vergeben werden.
4. Ist die präsentierte Lösung jedoch grob mangelhaft und besteht der Verdacht der Erschleichung von
Punkten, so muss der Kandidat am nachfolgenden Arbeitstag all seine bisher erworbenen Punkte
durch Vorlage der entsprechenden Unterlagen in einem persönlichen Kolloquium glaubhaft machen.
5. Alle Teilnehmer, die eine Aufgabe als gelöst angegeben haben, aber nicht per Los zur Präsentation
der Lösung bestimmt wurden, bekommen ohne Kontrolle die volle Punktzahl angerechnet.
6. Kann ein Teilnehmer zur Übung nicht erscheinen, dann kann er die Lösungen für die zu besprechenden Aufgaben vor dieser Übung in schriftlicher Form abgeben. Ist die schriftlich ausgearbeitete
Lösung grob mangelhaft, dann werden keine Punkte dafür vergeben. Bei teilweise richtigen Lösungen können Teilpunkte vergeben werden.
Bonn, 24. April 2012
Wolf-Dieter Schuh