Geometrieeinheit im Jahrgang 5

Geometrie Jahrgangsstufe 5
Im Rahmen der Kooperation der Kollegen, die im Schuljahr 1997/98 in der fünften Jahrgangstufe
Mathematik unterrichteten, wurde in Gemeinschaftsarbeit unter Federführung von Frau v.
Piechowski diese Dokumentation erstellt. Die Unterrichtseinheit wurde von Herrn Jorde als Einstieg
in den Mathematikunterricht im fünften Schuljahr 1997/98 durchgeführt.
Aufgabe I – Auf der Wiese
Michael steht allein auf der Wiese. Ein Schüler stellt sich ungefähr vier Meter von Michael entfernt
hin. Immer mehr Schüler sollen sich im gleichen Abstand zu Michael aufstellen.
Es entsteht ein Kreis.
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die vom Mittelpunkt den gleichen Abstand haben.
Aufgabe II – Auf der Wiese
Florian und Edith stehen auf der Wiese, ungefähr vier Meter voneinander entfernt. Immer mehr
Schüler sollen sich so hinstellen, dass sie von Florian und Edith genauso weit eintfernt sind.
Beim Aufstellen der Schüler haben wir gesehen, dass alle Schüler in einer Linie zwischen Florian
und Edith standen.
Wie lässt sich mit einem Seil prüfen, ob z.B. Christoph von Florian und Edith den gleichen Abstand
hat?
Christoph muss das Seil an einem Ende festhalten. Sebastian, unser Abstandsmesser, spannt das
Seil zu Edith und geht mit gespanntem Seil zu Florian. Sebastian bewegt sich dabei auf einem
Kreisbogen um Christoph.
Auswertung an der Tafel
Der Zirkel ersetzt unser Seil. – So können wir die draußen gestellten Aufgaben zeichnen.
1. Kreis – klar...
2. Mittelsenkrechte schwieriger... Von jedem Schüler, zum Beispiel Christoph, muss der
Kreisbogen durch die Punkte für Florian und Edith (F und E) gehen. Dann müssen sich aber
auch umgekehrt bei gleichem Radius (Seillänge) die Kreise um F und E in C(hristoph)
schneiden.
Zum Zeichnen der Mittelsenkrechten suchen wir mit dem Zirkel zwei Punkte, die von Florian und
Edith gleichen Abstand haben. Durch diese beiden Punkt verläuft die Linie.
Die Mittelsenkrechte von A und B ist die Menge aller Punkte, die zu den beiden Punkten A und B
gleichen Abstand haben.
Aufgabe III – Festigung des Umkehrschlusses für die Mittelsenkrechte
1.
2.
3.
4.
5.
Zeichne einen Punkt M.
Stelle den Zirkel auf 5cm ein.
Zeichne einen Kreis um M.
Wähle auf dem Kreis zwei Punkte A und B.
Zeichne zu A und B die Mittelsenkrechte.
Auswertung: Die Mittelsenkrechte muss durch M gehen. A und B sind nämlich gleichweit von M
entfernt, weil sie auf einem Kreis um M liegen. Dann hat umgekehrt M gleichen Abstand zu A und
B, liegt also auf der Mittelsenkrechten.
Erklärungen zum genauen Zeichnen
1. Zirkelmine auf Schmirgelpapier schräg anschleifen
2. Geodreieck nie genau auf die zu verbindenden Punkte legen.
An Tafel gemalt und mit großen „Vergrößerung“ zweier Linien
Je nach Stift – Geodreieck
Zirkel vorgeführt
– Kreide quer genommen
neben den Punkt
Genauigkeit ist Gefühlssache, das Geodreieck muss immer etwas neben den Punkt gelegt werden,
damit die Linie „genau“ durch den Punkt verläuft. Dies gelingt dann auch mit unterschiedlichen
Stiften.
Aufgabe IV - Übungen zum genauen Zeichnen
1 a) Zeichne zwei Strecken.
b) Verlängere beide Strecken.
2 a) Zeichne einen Punkt.
b) Zeichne viele Linien durch diesen Punkt.
Aufgaben mehrfach zur Übung gestellt –
ästhetische Resultate
Aufgabe V
Konstruktion:
1. Zeichne einen möglichst großen Kreis auf einem leeren Blatt und lasse den Zirkel so eingestellt.
2. Stich nun auf dem Kreis möglichst genau oben ein und markiere auf dem Kreis einen weiteren
Punkt, von diesen neuen Punkt aus noch einmal - usw.
3. Verbinde die gegenüberliegenden Punkte und die benachbarten.
4. Markiere außerhalb des Kreises bei jedem der 6 Dreiecke abwechselnd eine Drehrichtung.
5. a) Wähle ein Dreieck aus. Markiere von jeder Ecke aus 1cm auf der Dreieckseite in
Drehrichtung.
b) Verbinde die drei Punkte und wiederhole das Abgreifen von 1cm im neuen Dreieck.
c) Fülle das Dreieck auf diese Weise aus.
6. Wiederhole Anweisung 5 für die anderen Dreiecke.
Diese Aufgabe wurde an der Tafel „freihand“ vorgeführt und erklärt, damit der Text wirklich
verständlich wird. Schwierig genug blieb er – am Nachmittag bei der Hausaufgabe – immer noch.
Über die Hausaufgabe für alle hinaus wurde anschließend ein Wettbewerb – Zeichnug auf DIN A3Zeichenblock – durchgeführt, an dem sich zwei Drittel der Klasse beteiligten.
Korrekt und recht sauber – leider schlecht zu
scannen, da teilweise sehr leicht gezeichnet.
Sehr sauber, aber Drehrichtung nicht durchgehend gewechselt.
Senkrecht zu...
Aufgabe VI
1. Nimm einen Flummi oder einen Ball und suche eine schräge Fläche.
2. Wirf so den Ball auf die Fläche, dass er möglichst genau in die Wurfhand zurück springt. Zeichne
die Situation in das Heft (so wenig wie möglich) und überlege, wie man die Flugbahn genau
zeichnen kann?
Hier zeichneten die Schüler überwiegend ballistische Kurven, und es entwickelte sich eine lebhafte
Diskussion, wie der Ball abspringt, wenn man fester wirft, und wohin man dann werfen muss, damit
der Ball genau zurück in die Hand springt.
Senkrecht zu..
Im Alltag sagen wir oft „der Mast steht senkrecht.“ Wir meinen damit: Der Mast steht senkrecht
zum Horizont.
In der Mathematik können wir das Wort “senkrecht” nie ohne das Wort “zu” verwenden.
„Die Flugrichtung des Balls ist senkrecht zur schrägen Fläche.“
Die Senkrechte wurde hier mit dem Geodreieck gezeichnet. Beide Formen (Zirkel/Geodreieck)
standen meist nebeneinander. Beides sollte beherrscht werden.
Natürlich wurde der rechte Winkel in diesem Zusammenhang auch gefaltet – Papier ohne gerade
Kanten: einmal sorgfältig falten, und man erhält eine gerade Linie, ein “Lineal”. Falten wir diese
Kante bündig auf sich selbst, dann erhalten wir einen rechten Winkel.
Aufgabe VII
1. Zeichne auf eine leere Seite zwei Punkte A und B.
2. Zeichne durch A eine Gerade und zeichne von B aus eine Senkrechte zu der Geraden.
3. Wiederhole 2. oft.
Wie immer Ergebnisse recht unterschiedlicher
Qualität. Wiederholung nach ästhetischen
Vorbildern...
Problem: Zwischen zwei Punkten den Mittelpunkt finden.
Dies machte den Schülern wenig Mühe. Als roter
Faden zog sich durch den Unterricht, dass wir
einen Kreis und eine Mittelsenkrechte zeichnen
können und ihre Eigenschaften kennen und dass
wir mit diesen Konstruktionen andere Probleme
lösen können.
Problem: Lot fällen (Senkrechte von Punkt auf Gerade zeichnen).
Wir müssen uns Punkte suchen, damit wir unsere Konstruktion einer Mittelsenkrechten durchführen
können.
A und B müssen gleichen Abstand zu P haben, damit die Mittelsenkrechte durch P verläuft.
A und B müssen auf der Geraden liegen (für den richtigen Winkel).
Aufgabe VIII
Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein Quadrat mit der Seitenlänge 5cm!
Zuerst zweimal eine Senkrechte konstruiert...
Dann nur eine und Längen ausgenutzt...
Konstruktion eines Quadrates
1. Strecke von 5cm Länge zeichnen
2. Strecke verlängern (Hilfslinie)
3. Zwei Punkte mit gleichem Abstand zu dem Endpunkt der Strecke mit Zirkel abgreifen
4. Mittelsenkrechte zu diesen Punkten konstruieren (als Hilfslinie)
5. 5cm auf der Mittelsenkrechten als zweite Seite des Quadrates zeichnen
6. Zirkel auf 5cm einstellen und von den Enden der Strecke den vierten Endpunkt zeichnen
Spiegelungen
Als Einstieg diente das Segelboot, das anghängt wird. Nach anfänglichem Rätselraten, was dies
denn sei, wurde das Blatt gefaltet und gegen das Licht gehalten.
Hausaufgabe war es, das Bild zu ergänzen – egal mit welcher Methode.
Konstruktion einer Spiegelachse
Überlegung: Beim Falten sehen wir, dass ein Punkt P und sein Spiegelpunkt P’ aufeinanderfallen,
wenn wir an der Spiegelachse knicken. Die Verbindungslinie von P und P’ steht dann senkrecht zu
der Spiegelachse.
1. Von P aus greifen wir mit dem Zirkel auf der Spiegelachse zwei Punkte A und B ab, und
verändern den Radius nicht. (A und B haben gleichen Abstand von P, weil sie auf einem Kreis
um P liegen. Umgekehrt hat P’ den gleichen Abstand von A und B. Also muß P auf der
Mittelsenkrechten von A und B liegen.)
2. Mit gleichem Radius zeichne ich auf der anderen Seite der Spiegelachse zwei Kreisbögen um A
und B so, dass ich den zweiten Punkt P’ finde, der den gleichen Abstand von A und B hat. (P’
ist der Spiegelpunkt von P.)
Abschließend wurden noch Linien und Dreiecke gespiegelt.