I. Strahlenoptik
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STRAHLENOPTIK Strahlenoptik S2 13GE – 2013/14 Inhaltsverzeichnis I. DAS LICHT: Wiederholung der 9. Klasse II. DIE REFLEXION III. ………………….. S3 …………………..……………………… S3 a. Allgemeine Betrachtungen …………………..……………… S3 b. Gesetzmäßige Reflexion am ebenen Spiegel ………….. S4 …………………..……………… S5 a. Brechungsindex …………………..……………………... S5 b. Brechungsgesetz …………………..……………………... S6 DIE LICHTBRECHUNG c. Theoretische Herleitung des Brechungsgesetzes ………….. S7 d. Diskussion des Brechungsgesetzes …………………..……… S8 IV. DIE PLANPARALLELE PLATTE …………………..……… S10 V. DAS PRISMA …………………..…………………..…………. S12 a. Definitionen …………………..…………………..…………. S12 b. Gesamtablenkung …………………..……………………... S12 c. Minimalablenkung …………………..……………………... S14 d. Theoretische Herleitung der Minimalablenkung VI. DIE LINSEN …………. S15 …………………..…………………..………… S17 a. Einteilung der Linsen …………………..…………….. S17 b. Hauptstrahlen bei Linsen …………………..…………….. S18 c. Bildentstehung an Linsen …………………..…………….. S19 d. Bildkonstruktion: Sammellinsen …………………..…….. e. Bildkonstruktion: Zerstreuungslinsen S21 ………………… S22 f. Abbildungsmaßstab und Abbildungsgesetz ………………… S23 g. Sehwinkel und Bildgröße …………………..…………….. S25 …………………..…………………….. S26 i. Lupe …………………………..…………………..………… S27 VII. FORMELSAMMLUNG …………………..……………………... S29 VIII. AUFGABENSAMMLUNG S30 IX. LÖSUNGEN DER AUFGABENSAMMLUNG h. Vergrößerung …………..…………………….. …..……... S34 Strahlenoptik 13GE – 2013/14 S3 STRAHLENOPTIK I. DAS LICHT: Wiederholung der 9. Klasse Weil die Beschreibung des Lichtes sehr kompliziert ist, wird als erste Vereinfachung das Modell der Lichtstrahlen benutzt. Dieses Modell erklärt die meisten alltäglich auftretenden Phänomene und wird somit auch noch heutzutage gerne benutzt. Bei diesem Modell breitet sich das Licht in Form von Lichtbündeln aus. Ein sehr dünnes Lichtbündel wird als Lichtstrahl bezeichnet. Die Lichtstrahlen breiten sich im gleichen Medium stets geradlinig aus. Im Vakuum besitzen die Strahlen eine Ausbreitungsgeschwindigkeit von 299 792 458 m/s. Als Vereinfachung wird im Folgenden der Wert 3·108 m/s benutzt. Die Lichtstrahlen sind solange für den Menschen unsichtbar, bis sie auf ein sichtbares Teilchen stoßen und zurück in das menschliche Auge reflektiert werden. Das menschliche Auge sieht nur den sichtbaren Bereich des Lichtes. Die Farben, welche der Mensch erkennen kann sind: rot, orange, gelb, 1. Im Wald lassen sich die einzelnen Lichtbündel manchmal durch den grün, grün-blau, blau und violett. Alle diese Farben zusammengesetzt Nebel erkennen ergeben für das menschliche Auge die Farbe weiß. Lichtstrahlen, welche auseinander gehen, werden divergente Lichtstrahlen genannt. Lichtstrahlen, welche zusammenkommen, sind konvergent. II. DIE REFLEXION a) Allgemeine Betrachtungen Lichtstrahlen können auf zwei Weisen von einem Gegenstand zurückgeworfen werden. Man unterscheidet zwischen: - der gesetzmäßigen Reflexion an glatten Oberflächen. Das reflektierte Licht erhält eine bevorzugte Richtung. - der diffusen Reflexion an rauen Oberflächen. Das Licht wird in alle Richtungen zurückgeworfen. Mikroskopisch gesehen erhält jedoch jeder Lichtstrahl eine gesetzmäßige Reflexion Durch die diffuse Reflexion auf alltäglichen Gegenständen (Tischen, Stühlen,…) sind diese Gegenstände aus vielen verschiedenen Richtungen sichtbar. Gesetzmäßige Reflexion z. B. an Spiegel, Alu-Folie Diffuse Reflexion z. B. an Papier, Kleider Strahlenoptik S4 13GE – 2013/14 b) Gesetzmäßige Reflexion am ebenen Spiegel Der Lichtstrahl, welcher auf den Spiegel auftrifft, wird einfallender Lichtstrahl genannt. einfallender Lichtstrahl Lot Der Lichtstrahl, welcher vom Spiegel zurückgeworfen wird, wird reflektierter Lichtstrahl genannt. Das Lot (oder Einfallslot) ist eine Hilfslinie, welche senkrecht zum Spiegel steht, in dem Punkt wo der einfallende Lichtstrahl auf den Spiegel trifft. Einfallswinkel Das Reflexionsgesetz lautet: Der einfallende Strahl, das Lot und der reflektierte Strahl liegen in einer Ebene. Der Einfallswinkel α ist gleich dem Reflexionswinkel α’ α = α’ Die Spiegelbilder: A Spiegel A’ Auge Der Schnittpunkt der reflektierten Strahlen liegt hinter dem Spiegel (die Strahlen divergieren nach der Reflexion am Spiegel). Das Spiegelbild kann nicht auf einem Schirm aufgefangen werden, weil die Lichtstrahlen den Punkt A’ nicht erreichen. Es handelt sich somit um ein virtuelles Bild. Ein Betrachter hat den Eindruck, als ob die reflektierten Strahlen aus dem Punkt A’ hinter dem Spiegel kommen würden. Allgemeine Klassifizierung: ! Wenn das Bild mittels eines Schirmes aufgefangen werden kann, dann ist das Bild reell. ! Wenn das Bild nicht mittels eines Schirmes aufgefangen werden kann, dann ist das Bild virtuell. Reflexionswinkel Spiegel 1. Schematische Darstellung des Re- Der Einfallswinkel α ist der Winkel zwischen dem einfallenden flexionsgesetzes Lichtstrahl und dem Lot. Der Reflexionswinkel α’ ist der Winkel zwischen dem reflektierten Lichtstrahl und dem Lot. reflektierter Lichtstrahl Strahlenoptik S5 13GE – 2013/14 III. DIE LICHTBRECHUNG a) Brechungsindex Die Lichtgeschwindigkeit ist in materiellen Medien kleiner als im Vakuum. (siehe Tabelle 1) Der Brechungsindex n (auch Brechzahl genannt) eines Mediums ist definiert als der Quotient aus der Lichtgeschwindigkeit c0 im Vakuum und der Lichtgeschwindigkeit c im Medium: Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum n= Geschwindigkeit des Lichtes im Medium n= € Medium Vakuum Luft Wasser Glas Geschwindigkeit (km/s) 300 000 ~300 000 225 000 200 000 Tabelle 1: Werte der Lichtgeschwindigkeit in verschiedenen Medien c0 c Da die Lichtgeschwindigkeit in materiellen Medien kleiner ist als im Vakuum, ist der Brechungsindex immer größer als 1 (n>1). € Beispiele: nLuft = 300 000 =1 300 000 nWasser = 300 000 4 = 1,33 = 225 000 3 € Der Brechungsindex n hängt ab von: € • der Farbe (= Frequenz; siehe Wellenoptik) des Lichtes z. B.: Violettes Licht hat eine größere Brechzahl als rotes Licht. weil: Rotes Licht hat eine kleinere Frequenz als violettes Licht. oder: Rotes Licht hat eine größere Wellenlänge als violettes Licht. • der Temperatur des Mediums (warme Luft hat eine kleinere Brechzahl als kalte Luft) Zwei Medien unterscheiden sich durch ihre optische Dichte. Wenn n1 > n2 dann sagt man: das Medium 1 ist optisch dichter. Die Lichtgeschwindigkeit ist dann in diesem Medium geringer (c1 < c2). Bemerkung Man beachte den Zusammenhang zwischen den Brechzahlen und den Lichtgeschwindigkeiten in zwei verschiedenen Medien: ! c0 $ # & n2 " c2 % c0 c1 c1 = = ⋅ = n1 ! c0 $ c2 c0 c2 # & " c1 % große Wellenlänge kleine Wellenlänge kleine Frequenz 2. sichtbares Lichtspektrum große Frequenz Strahlenoptik S6 13GE – 2013/14 einfallender Lichtstrahl Lot b) Brechungsgesetz Medium 1 Trifft ein Lichtstrahl auf die Trennfläche zwischen zwei Medien, so wird ein Teil des Lichtes nach dem Reflexionsgesetz in dem Medium 1 reflektiert und ein Teil dringt in das Medium 2 ein. Der Lichtstrahl verändert beim Übergang vom Medium 1 ins Medium 2 seine Ausbreitungsrichtung; er wird gebrochen. Dieser Vorgang wird „Brechung des Lichtes“ oder „Refraktion des Lichtes“ genannt. Einfallswinkel Grenzfläche gebrochener Lichtstrahl Brechungswinkel Medium 2 Der Lichtstrahl, welcher in das zweite Medium eindringt, wird gebrochener Lichtstrahl oder refraktierter Lichtstrahl genannt. 1. Schematische Darstellung der Der Brechungswinkel oder Refraktionswinkel β ist der Winkel zwischen Brechung eines Lichtstrahles dem gebrochenen Lichtstrahl und dem Lot. Die ersten Versuche, ein Brechungsgesetz zu finden, gehen auf Ptolemäus (etwa 150 n. Chr.) zurück. Seine Messungen stellen höchstwahrscheinlich die älteste physikalische experimentelle Untersuchung dar. Er maß für verschiedene Einfallswinkel den zugehörigen Brechungswinkel und fasste die Wertepaare in Tabellen zusammen. Er stellte fest, dass für jeden durchsichtigen Stoff eine neue Tabelle angefertigt werden muss, war aber nicht in der Lage, aus den Tabellen das zugrunde liegende Gesetz abzuleiten. Dies gelang erst 1500 Jahre später, nämlich 1618 dem holländischen Mathematiker Willebord Snellius. Lot α β 2. Mit diesem Versuchsaufbau las- Beim Ablesen (Abb. 2) des Einfallswinkels und des entsprechenden sen sich Einfallswinkel und BrechBrechungswinkels zwischen Luft und Glas entsteht folgende Tabelle: ungswinkel leicht ablesen. 0° 15° 30° 45° 60° 70° 80° 0° 10° 19,5° 28° 35° 38,5° 41° Wenn diese Messwerte in eine Grafik (Abb. 3) eingefügt werden, dann ist kein eindeutiger Zusammenhang zwischen den beiden Winkeln zu erkennen. 45 Brechungswinkel β Einfallswinkel in der Luft Brechungswinkel im Glas 30 15 0 20 40 60 80 Berechnet man sin α (Einfallswinkel) und sin β (Brechungswinkel), Einfallswinkel α fügt diese Werte in eine Grafik (Abb. 4) ein, dann erhält man eine 3. Grafik des Brechungswinkels im direkte Proportionalität zwischen diesen Werten. Glas in Funktion des Einfalls- sin α sin β !"# ! !"# ! winkels in der Luft 0° 15° 30° 45° 60° 70° 80° 0° 10° 19,5° 28° 35° 38,5° 41° 1 0,8 sin β Einfallswinkel in der Luft Brechungswinkel im Glas 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 sin α 4. Grafik von sin β als Funktion von sin α Strahlenoptik 13GE – 2013/14 S7 sin α = konstant sin β Also gilt: Ausführlichere Untersuchungen führen zum Brechungsgesetz: € n sin α = konstant = 2 sin β n1 oder € mit: n1 ⋅ sin α = n2 ⋅ sin β α = Winkel im Medium 1 (Einfallswinkel) β = Winkel im Medium 2 (Brechungswinkel) € 1. Der Stab scheint an der Grenzfläche zwischen Luft und Wasser geknickt c) Theoretische Herleitung des Brechungsgesetzes Um 1650 suchte Fermat nach einem „höheren“ Prinzip das ihm erlauben würde, das Brechungsgesetz herzuleiten und zu einem tieferen Verständnis der Lichtausbreitung zu gelangen. Er fand dieses Prinzip und formulierte es folgendermaßen: Von allen möglichen Wegen die das Licht nehmen kann, um von einem Punkt zu einem anderen zu gelangen, wählt es den Weg der am wenigsten Zeit beansprucht. Im Folgenden untersuchen wir den Übergang des Lichtes aus einem Medium 1 in ein Medium 2. In einem bestimmten Medium breitet sich das Licht geradlinig aus. An der Grenzfläche der beiden Medien wird der Strahl gebrochen: y A s1 Medium 1 α x 0 s2 B β Medium 2 Um von A nach B zu gelangen, benötigt das Licht die Zeit: t(x) = t1 + t2 = s1 s2 + c1 c2 Die Strecken betragen: s1 = x 2 + y 2A € und € s2 = (x 2 B − x + y B2 ) Strahlenoptik 13GE – 2013/14 Zur Bestimmung der kürzesten Zeit wird die Ableitung der Zeit t zur Position x berechnet: () t' x = x c1 ⋅ x 2 + y 2A € t'( x) = cos ( π 2 −α c1 t'( x) = € ( x − x) ⋅ (−1) c ⋅ ( x − x) + y B 2 2 B 2 B x x −x − B c1 ⋅ s1 c2 ⋅ s2 () t’ x = € + ) − cos( π 2 −β ) c2 sin α sin β − c1 c2 Ein Minimum liegt vor, wenn die Ableitung null ist: € sin α sin β t'( x) = 0 ⇒ = c1 c2 Daraus folgt das Brechungsgesetz von Snellius: € sin α c1 n2 = = ⇒ n1 ⋅ sin α = n2 ⋅ sin β sin β c2 n1 d) Diskussion des Brechungsgesetzes € ! n2 > n1 (z. B. Luft → Wasser oder Wasser → Glas) α0 n1 α1 α2 n2 β2=βG β0 β1 - α0 = 0° ⇒ β0 = 0° (roter Strahl) - α1 < 90° ⇒ β1 < α1 (grüner Strahl) Der Strahl wird zum Lot hin gebrochen. - α2 = 90° ⇒ β2 = βG (blauer Strahl) größtmöglicher Brechungswinkel, Grenzwinkel βG S8 Strahlenoptik S9 13GE – 2013/14 ! n2 < n1 (z. B. Glas → Luft oder Wasser → Luft) Luft β1 β0 n2 β2 α3 Lichtquelle α3’ n1 αG α1 Wasser 1. Übergang Wasser → Luft: α0 = 0° ⇒ β0 = 0° α0 - α0 = 0° ⇒ β0 = 0° - α1 < αG ⇒ β1 > α1 (blauer Strahl) Der Lichtstrahl wird vom Lot weg gebrochen. - α2 = αG ⇒ β2 = 90° (grüner Strahl) - α3 > αG ⇒ Totalreflexion (oranger Strahl) (roter Strahl) Luft Lichtquelle Wasser 2. Übergang Wasser → Luft: α 1 < αG ⇒ β1 > α1 Der einfallende Strahl wird an der Trennfläche zwischen den Medien Das Lichtbündel wird auch schon nur noch reflektiert; es dringt kein Lichtstrahl mehr in das optisch teilweise reflektiert. Totalreflexion dünnere Medium ein. Dann gilt das Reflexionsgesetz: α3 = α3’. Der Grenzwinkel αG für Totalreflexion hat den gleichen Wert wie der größtmögliche Brechungswinkel βG im umgekehrten Lichtgang (für n2 > n1). Luft Bestimmung des Grenzwinkels für Totalreflexion Brechungsgesetz: n1 · sin α = n2 · sin β Im Grenzfall gilt (grüner Strahl in Skizze): α = αG (in Medium 1) und β = 90° (in Medium 2) Also erhält man aus dem Brechungsgesetz: Lichtquelle Wasser 3. Übergang Wasser → Luft: α3 > αG Es kommt zur Totalreflexion. Das Licht kann nicht mehr aus dem Wasser ausdringen. n1 · sin αG = n2 · sin 90° n1 · sin αG = n2 · 1 sin αG = !n $ αG = arcsin # 2 & = βG " n1 % Beispiel Wir berechnen den Grenzwinkel αG beim Übergang des Lichts vom Wasser (n1 = 1,33) in Luft (n2 = 1,00): n1 · sin αG = n2 · sin 90° = n2 sin αG = n2 1, 00 = n1 1, 33 ⇒ Luft n2 n1 " 1, 00 % αG = arcsin $ ' = 48, 75° # 1, 33 & Lichtquelle Wasser 4. Ab dem Grenzwinkel erhält man nur noch die Totalreflexion. Strahlenoptik S10 13GE – 2013/14 IV. DIE PLANPARALLELE PLATTE Fällt ein Lichtstrahl senkrecht auf eine planparallele Platte, so geht der Stahl ungebrochen hindurch. Fällt er schräg auf, so erfährt er beim Durchgang eine Parallelverschiebung. α A α−β h n1 M B n2 ( n2 > n1) β β d N C α n1 d = Parallelverschiebung = seitliche Verschiebung Brechungsgesetz in A: n1 ⋅ sin α = n2 ⋅ sin β α = 0° Durch die Symmetrie des Problemes befinden sich in C die gleichen Winkel wie in A.€Also erhält man auch hier das Brechungsgesetz: n2 ⋅ sin β = n1 ⋅ sin α Der Lichtstrahl, welcher aus der Platte austritt, ist parallel mit dem 1. Grenzfall der planparallelen Platte: € einfallenden Lichtstrahl. Für α = 0° erhält man d = 0. Im Dreieck ABC ist die seitliche Verschiebung: d = BC = AC · sin (α – β) d = AC · sin (α – β) α = 90° (1) Wir können die Dicke h der Platte einführen. Im Dreieck ACN: h = AN = AC · cos β ⇒ AC = € h cos β (2) 2. Grenzfall der planparallelen Platte: Für α = 90° erhält man d = h. Strahlenoptik 13GE – 2013/14 (2) in (1) ergibt: ⇒ d= ( h ⋅ sin α − β ) cos β Die seitliche Verschiebung vergrößert sich mit der Dicke h der Platte. Sie hängt auch ab vom Einfallswinkel α und vom Brechungswinkel β, also, durch das € Brechungsgesetz, von den Brechzahlen n1 und n2. Die Parallelverschiebung kann auch nur mittels der Dicke h, des Einfallswinkels α und der Brechzahlen n1 und n2 ausgedrückt werden. Mit Hilfe der trigonometrischen Formel sin(x – y) = sin(x) · cos(y) – cos(x) · sin(y) lässt sich die Formel der Parallelverschiebung verändern: d= ( h ⋅ sin α − β cos β ) = h ⋅ sinα ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β cos β & cos α ⋅ sin β ) d = h ⋅ ( sin α − + cos β * ' € Des weiteren gilt die trigonometrische Formel € cos(x) = 1 − sin 2 x sin2(x) + cos2(x) = 1 => () Dadurch: & ) cos α ⋅ sin β + € ( d = h ⋅ sin α − ( 1− sin2 β +* ' Für die Brechung gilt: € n1 ⋅ sin α = n2 ⋅ sin β ⇒ sin β = € n1 ⋅ sin α n2 Dadurch erhält man für die Parallelverschiebung: # n % cos α ⋅ 1 ⋅ sin α % n2 d = h ⋅ % sin α − 2 % #n & 1− % 1 ⋅ sin α ( %% $ n2 ' $ & # & ( % ( ( % cos α ⋅ sin α ( ( = h ⋅ % sin α − ( 2 ( % ( # n2 & 2 (( %% % ( − sin α (( $ n1 ' ' $ ' S11 Strahlenoptik 13GE – 2013/14 S12 V. DAS PRISMA a) Definitionen Prismen sind Körper aus lichtdurchlässigen Stoffen, die von zwei sich schneidenden Ebenen begrenzt sind. Die Schnittkante dieser beiden Ebenen wird Brechungskante C oder brechende Kante genannt. Der Winkel γ an der brechenden Kante wird brechender Winkel oder Prismenwinkel genannt. Trifft ein Lichtstrahl auf eine Seite eines Prismas, so wird er im Allgemeinen zweimal gebrochen und tritt somit auf der zweiten Seite in eine neue Richtung aus. Der Winkel zwischen den Richtungen des einfallenden Lichtstrahles und des austretenden Lichtstrahles wird Ablenkungswinkel δ genannt. C δ γ brechender Winkel γ = Winkel zwischen der Eintrittsfläche und der 1. Ein Regenbogen entsteht durch Austrittsfläche (auch Prismenwinkel genannt) Dispersion von weißem Sonnenlicht in den Regentropfen C ist die brechende Kante des Prismas (Brechungskante) Ablenkungswinkel δ (Gesamtablenkung) = Winkel zwischen dem einfallenden und dem austretenden Lichtstrahl b) Gesamtablenkung Im Allgemeinen wird der Lichtstrahl zweimal im gleichen Sinn gebrochen. C n1 = 1 n1 = 1 γ K A δ α1 B β1 n2 = n β2 α2 Strahlenoptik 13GE – 2013/14 S13 Brechung an der Eintrittsfläche (im Punkt A): n1 ⋅ sin α1 = n2 ⋅ sin β1 ⇒ sin α1 = n2 ⋅ sin β1 n1 Mit n1 = 1 (Luft) und n2 = n erhält man: € sin€α1 = n ⋅ sin β1 Brechung an der Austrittsfläche : € n ⋅ sin β2 = sin α 2 Im Dreieck ABC ist die Summe der drei Innenwinkel (90° – β1) am Punkt A, (90° – β2€ ) am Punkt B und γ am Punkt C gleich 180°: (90° – β1) + (90° – β2) + γ = 180° γ = 180° – (90° – β1) – (90° – β2) γ = β1 + β2 (1) Im Dreieck ABK ist die Summe der drei Innenwinkel (α1 – β1) am Punkt A, (α2 – β2) am Punkt B und (180° – δ) am Punkt K gleich 180°: (α1 – β1) + (α2 – β2) + (180° – δ) = 180° α1 – β1 + α2 – β2 + 180° – δ = 180° α1 – β1 + α2 – β2 – δ = 0 δ = α1 – β1 + α2 – β2 δ = α 1 + α 2 – ( β 1 + β 2) Also mit (1): δ = α1 + α2 – γ 1. Fällt weißes Licht durch ein Prisma, so wird das Licht in seine Farben aufgeteilt (=Dispersion). Durch die große Ablenkung spielt die Abhängigkeit der Brechzahl n des Prismas von der Farbe hier eine Rolle. Deshalb erkennt man die „Regenbogenfarben“. Strahlenoptik 13GE – 2013/14 c) Minimalablenkung Indem für den gleichen Eintrittspunkt A der Einfallswinkel α1 verändert wird, kann die Veränderung der Ablenkung δ experimentell aufgezeigt werden. Wenn der Einfallswinkel α1 von Null an vergrößert wird, wird die Ablenkung δ zuerst kleiner bis zu einem Minimum δmin und dann wieder größer. δ in ° δmin 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Ablenkung für γ = 40° und n = 1,5 0 20 α1 = α2 und β1 = β2 40 60 80 α1 in ° Wenn der Ablenkungswinkel ein Minimum ist, geht der Strahl symmetrisch durch das Prisma, somit gilt α1 = α2 und β1 = β2. Für die Winkel im Prisma gilt somit bei Minimalablenkung:: γ γ = β1 + β2 β1 = β2 = ⇒ 2 Der Ablenkungswinkel ergibt somit bei Minimalablenkung: δmin€ = 2·α1 – γ Der Einfallswinkel lässt sich umschreiben zur Form: α1 = δmin + γ 2 Setzt man diese Gleichungen in das Brechungsgesetz ein, so ergibt dies: € sin α1 = n · sin β1 sin δmin + γ γ = n ⋅ sin 2 2 sin € n= δmin + γ 2 γ sin 2 Diese Gleichung kann benutzt werden um die Brechzahl n des Prismas € zu bestimmen, da γ und δmin leicht messbar sind. S14 Strahlenoptik 13GE – 2013/14 Totalreflexion im Prisma Damit der eintretende Strahl auch aus dem Prisma austritt, muss der Eintrittswinkel einen gewissen Mindestwert haben. Zur Berechnung des kleinstmöglichen Eintrittswinkels betrachten wir einen Lichtstrahl, der das Prisma streifend verlässt: α2 = 90° (siehe Zeichnung). d) Theoretische Herleitung der Minimalablenkung Die Ablenkung δ ist gegeben durch: δ = α1 + α2 – γ Um die kleinste Ablenkung δmin zu bestimmen, müssen wir δ in Funktion einer einzelnen Variablen ausdrücken und dann hiervon die Ableitung gleich Null setzen. Versuchen wir deshalb δ in Funktion von β1 auszudrücken. Brechungsgesetz an der Eintrittsfläche: n1 ⋅ sin α1 = n2 ⋅ sin β1 also: € %n ( α1 = arcsin' 2 ⋅ sin β1 * & n1 ) Brechungsgesetz an der Austrittsfläche: € n2 ⋅ sin β2 = n1 ⋅ sin α2 also: € %n ( α2 = arcsin' 2 ⋅ sin β2 * & n1 ) € S15 Strahlenoptik S16 13GE – 2013/14 Mit γ = β1 + β2 ergibt dies: 'n * α2 = arcsin) 2 ⋅ sin γ − β1 , ( n1 + ( ) also für die Ablenkung δ: € %n ( %n ( δ = arcsin' 2 ⋅ sin β1 * + arcsin' 2 ⋅ sin γ − β1 * − γ & n1 ) & n1 ) ( ) dδ =0 dβ1 € Minimalablenkung wenn : n2 ⋅ cos( € β1 ) n1 % n (2 1− ' 2 * ⋅ sin2 ( β1 ) & n1 ) Mathematische Wiederholung: n2 ⋅ cos(γ − β1 ) ⋅ (−1) n1 + % n (2 1− ' 2 * ⋅ sin2 (γ − β1 ) & n1 ) Funktion arcsin: f(x) = arcsin(x) Ableitung von arcsin: 1 f’(x) = 1 − x2 =0 € € ( ) cos β1 $ n '2 1− & 2 ) ⋅ sin2 β1 % n1 ( ( ) = ( cos γ − β1 ) $ n '2 1− & 2 ) ⋅ sin2 γ − β1 % n1 ( ( ) Dies gilt nur, wenn sowohl € ( ) ( cos β1 = cos γ − β1 ) als auch € sin2 β1 = sin2 γ − β1 ( ) ( ) Diese beiden Gleichungen sind nur gleichzeitig wahr, wenn β1 = γ – β1 ist. € γ Also ist δ minimal, wenn β1 = . 2 γ Des Weiteren gilt γ = β1 + β2; somit muss β2 = sein. 2 € Das heißt der Strahlengang verläuft symmetrisch durch das Prisma. € Strahlenoptik S17 13GE – 2013/14 VI. LINSEN a) Einteilung der Linsen Eine Linse ist ein rotationssymmetrischer Körper der meist aus Glas oder Kunststoff hergestellt ist. Das optische Medium ist von zwei Kugelflächen begrenzt. Es ergeben sich zwei verschiedene Linsenarten. Sammellinsen Die Sammellinse (oder Konvexlinse) ist in der Mitte dicker als am Rand. Auf Skizzen wird sie folgendermaßen eingezeichnet: Sammellinse Optische Achse 1. Sammellinse oder Konvexlinse Man unterscheidet: ! Bikonvexlinsen ! Plankonvexlinsen ! Konkavkonvexlinsen Zerstreuungslinsen Die Zerstreuungslinse (oder Konkavlinse) ist in der Mitte dünner als am Rand. Auf Skizzen wird sie folgendermaßen eingezeichnet: Zerstreuungslinse Optische Achse 2. Zerstreuungslinse oder Konkavlinse Strahlenoptik 13GE – 2013/14 Man unterscheidet: ! Bikonkavlinsen ! Plankonkavlinsen ! Konvexkonkavlinsen b) Hauptstrahlen bei Linsen Ein Lichtbündel, welches parallel zur optischen Achse verläuft, wird nach dem Durchgang durch eine Sammellinse in einem Punkt gebündelt. Dieser Punkt wird „Brennpunkt F1“ genannt. Die Distanz zwischen dem Mittelpunkt der Linse und dem Brennpunkt ist die Brennweite und wird mit dem Buchstaben f angeschrieben. Symmetrisch zum Mittelpunkt der Linse befindet sich der zweite Brennpunkt F2. Bei einer Zerstreuungslinse wird ein paralleles Lichtbündel hinter der Linse zerstreut, scheint jedoch aus einem Punkt zu entspringen. Dieser Punkt ist der Brennpunkt F1 der Zerstreuungslinse. Sammellinse O F2 F1 F1 und F2: Brennpunkte OF1 = OF2 = f ist die Brennweite ! Ein Lichtstrahl, der parallel zur optischen Achse verläuft, verläuft nach der Brechung durch den Brennpunkt F1. Ein Achsenparallelstrahl wird zum Brennpunktstrahl gebrochen. ! Ein Lichtstrahl, der durch den Brennpunkt F2 verläuft, verläuft nach der Brechung parallel zur optischen Achse weiter. Ein Brennpunktstrahl wird zum Achsenparallelstrahl gebrochen. ! Ein Lichtstrahl, der durch den Mittelpunkt O verläuft, verläuft in gerader Linie weiter. Ein Mittelpunktstrahl wird nicht gebrochen. S18 Strahlenoptik 13GE – 2013/14 Zerstreuungslinse O F1 F2 ! Ein Lichtstrahl, der parallel zur optischen Achse verläuft, scheint nach der Brechung aus dem Brennpunkt F1 zu kommen. Ein Achsenparallelstrahl wird zum Brennpunktstrahl gebrochen. ! Ein Lichtstrahl, der durch den Brennpunkt F2 verlaufen müsste, verläuft nach der Brechung parallel zur optischen Achse weiter. Ein Brennpunktstrahl wird zum Achsenparallelstrahl gebrochen. ! Ein Lichtstrahl, der durch den Mittelpunkt O verläuft, verläuft in gerader Linie weiter. Ein Mittelpunktstrahl wird nicht gebrochen. c) Bildentstehung an Linsen Im Idealfall wird Licht, das von einem Punkt ausgeht, durch eine Linse so gebrochen, dass es entweder wieder in einem Punkt vereinigt wird (meistens bei Sammellinsen) oder so verläuft, als käme es aus einem Punkt (meistens bei Zerstreuungslinsen). Bilder an Linsen lassen sich einfach konstruieren, wenn man jeweils aus der unendlichen Mannigfaltigkeit aller Strahlen, die von einem Punkt ausgehen und hinter der Linse wieder in einem Punkt vereinigt werden, nur die Strahlen auswählt, deren Verlauf sich ohne Berechnung angeben lässt – die Hauptstrahlen. Wir unterscheiden: ! reelle Bilder die Strahlen konvergieren (vereinigen sich) hinter der Linse, somit können diese Bilder auf einem Schirm aufgefangen werden. ! virtuelle Bilder die Strahlen divergieren hinter der Linse (ihre gedachten Verlängerungen vereinigen sich), somit können diese Bilder durch unser Auge erkannt werden, jedoch nicht auf einem Schirm sichtbar gemacht werden. Ob reelle oder virtuelle Bilder entstehen, hängt von der Position des Gegenstandes zur Linse ab. S19 Strahlenoptik 13GE – 2013/14 G F2 F1 O f g F 1, F 2 G B g b f : : : : : : B f b Brennpunkte Gegenstandsgröße Bildgröße Gegenstandsweite Bildweite Brennweite Es gelten folgende übliche Vorzeichenregeln: ! Brennweite Sammellinse: Zerstreuungslinse: f>0 f<0 ! Gegenstand reeller Gegenstand: virtueller Gegenstand: g > 0 und G > 0 g < 0 und G < 0 ! Bild reelles Bild: virtuelles Bild: b > 0 und B > 0 b < 0 und B < 0 S20 Strahlenoptik 13GE – 2013/14 d) Bildkonstruktion: Sammellinsen G O F1 F2 G O F1 F2 G O F1 F2 G O F1 F2 G O F1 F2 G F1 O F2 S21 Strahlenoptik 13GE – 2013/14 Zusammenfassung (Sammellinsen): Gegenstandsweite g Bildweite b Bildeigenschaften +∞ f verkleinert, umgekehrt, reell + ∞ > g > 2f f < b < 2f verkleinert, umgekehrt, reell 2f 2f gleich groß, umgekehrt, reell 2f > g > f 2f < b < ∞ vergrößert, umgekehrt, reell f +∞ sehr groß, umgekehrt, reell f >g>0 –∞<b<0 vergrößert, aufrecht, virtuell g → 0 b → 0 gleich groß, aufrecht, virtuell e) Bildkonstruktion: Zerstreuungslinsen Die Brennweite einer Zerstreuungslinse ist negativ zu wählen: f < 0 G F1 Das Bild ist immer F2 – verkleinert – aufrecht (gerade) – virtuell also: Gegenstandweite Bildweite +∞ > g > 0 –f < b < 0 S22 Strahlenoptik 13GE – 2013/14 f) Abbildungsmaßstab und Abbildungsgleichung Die Zusammenhänge zwischen der Gegenstandsgröße G, der Bildgröße B, der Gegenstandsweite g, der Bildweite b und der Brennweite f der Linse werden mit Hilfe von zwei Gesetzen beschrieben: dem Abbildungsmaßstab und der Abbildungsgleichung. Gesetz des Abbildungsmaßstabs g : Gegenstandsweite b : Bildweite G : Gegenstandsgröße B : Bildgröße Aus der Ähnlichkeit der blau gefärbten Dreiecke folgt (Satz von Thales): G B = g b Dies ergibt für die Gegenstands- und Bildgröße: ⇒ B b = G g B wird Abbildungsmaßstab genannt und ist immer G positiv. Der Abbildungsmaßstab gibt uns an, wie viel mal das Bild größer als der Gegenstand ist. Der Bruch Γ = Abbildungsgleichung g : Gegenstandsweite b : Bildweite f : Brennweite G : Gegenstandsgröße B : Bildgröße S23 Strahlenoptik 13GE – 2013/14 Aus der Ähnlichkeit der blau gefärbten Dreiecke folgt (Satz von Thales): G B = g− f f ⇒ B f = G g− f Unter Berücksichtigung des Zusammenhangs B b = ergibt sich: G g b f = g g€− f g · f = b · (g – f) g·f=b·g–b·f b·g=b·f+g·f | : (b · g · f) 1 1 1 = + f g b Virtuelles Bild Findet man b < 0 (also b negativ), dann ist das Bild virtuell und es entsteht auf der gleichen Seite der Linse wie der Gegenstand steht: es kann nicht auf einem Schirm aufgefangen werden. Anwendung: Sammellinse als Lupe falls g < f. Bemerkung Oft wird nicht die Brennweite einer Linse angegeben, sondern ihre Brechkraft D in Dioptrien D= Einheit von D : [D] = € 1 f 1 = 1 dpt Dioptrie m € S24 Strahlenoptik 13GE – 2013/14 g) Sehwinkel und Bildgröße Der Sehwinkel ist der Winkel unter dem ein Beobachter einen Gegenstand sieht. Er wird mit ω bezeichnet. G O ω g Also gilt für den Sehwinkel: tan ω = G g So lassen sich die Bildgröße B und der Sehwinkel ω miteinander verbinden: € G B = g b B= € € G B= b⋅ € b ⋅G g G = b ⋅ tan ω g ω ω g B b Das Bild eines Gegenstandes, welcher sich weit vor der Linse befindet (g >> f), wird sich in einer Bildweite b gleich der Brennweite f der Linse befinden. Dies lässt sich leicht nachvollziehen: Abbildungsgleichung: 1 1 1 = + f g b mit g >> f ( g → ∞ ): 1 1 ⇒ = ⇒ b= f f b Wenn ω klein ist (weit entfernte Gegenstände), gilt tan ω ≈ ω (in rad). Mit b ≈ f ergibt dies: B = b·ω = f ·ω oder € (ω in rad) B G = =ω b g S25 Strahlenoptik 13GE – 2013/14 Man kann also die Bildgröße B eines fernen Gegenstandes errechnen, wenn man den Sehwinkel und die Brennweite f der Linse kennt. Aufgabe: In günstiger Stellung erscheint der Plant Mars von der Erde aus gesehen unter einem Winkel von 25’’. Welche Brennweite muss ein Fernrohrobjektiv haben, damit das Brennpunktbild des Planten einen Durchmesser von 1 mm erhält? Lösung: Bildgröße B = 1 mm ; f = ? Sehwinkel ω = 25’’ = 25/3600 ° = 1,2·10-4 rad Also gilt für die Brennweite: f = B / ω = 8251 mm = 8,25 m h) Vergrößerung Das Auge erzeugt ein reelles Bild auf der Netzhaut. Die Größe des Bildes hängt mit dem Sehwinkel ω zusammen, unter dem der Gegenstand erscheint (siehe Bild). ω1 < ω 2 Die einfachste Art einen Gegenstand zu vergrößern besteht darin, ihn näher an das Auge heranzuführen. Dadurch wird der Sehwinkel ω vergrößert und die Bildgröße nimmt zu. Eine weitere Vergrößerung ist nur möglich, wenn optische Instrumente (Lupe, Mikroskop, Fernrohr) verwendet werden. Die Aufgabe der optischen Geräte ist die Vergrößerung des Sehwinkels. Die Vergrößerung V ist definiert durch das Verhältnis der Bildgröße mit optischem Instrument zu der ohne Instrument V= Bildgröße mit optischem Instrument Bildgröße ohne optisches Instrument Aus der Definition der Vergrößerung und dem obigen Bild ergibt sich mittels der Sehwinkel: € tan ω2 ⋅ b tan ω2 V= = tan ω1 ⋅ b tan ω1 Für kleine Winkel mit tan ω ≈ ω gilt dann für die Vergrößerung V: € € V= ω2 ω1 (ω in rad) S26 Strahlenoptik 13GE – 2013/14 i) Lupe Die Lupe ist eine Sammellinse kurzer Brennweite (z. B. f = 3 cm). Die Vergrößerung hängt nicht nur von der Brennweite, sondern auch vom Abstand zwischen Gegenstand und Lupe bzw. Auge ab. Im folgenden Bild ist der Strahlengang angegeben für den Fall, dass sich das Objekt knapp innerhalb der Lupenbrennweite f befindet (g < f). ω2 ω2 Die rückwärtige Verlängerung der auf das Auge treffenden Strahlen zeigt den Ort an, an dem sich das vergrößerte virtuelle Bild des Gegenstands befindet. Es wird so bezeichnet, weil auf einem Schirm an dieser Stelle kein wirkliches (reelles) Bild erscheinen würde. Die Lupe bewirkt keine Bildumkehr. In der Regel wird die Normalvergrößerung der Lupe angegeben. In diesem Fall befindet sich der Gegenstand im Brennpunkt der Linse und das Auge muss sich am wenigsten anstrengen, da es auf unendlich akkommodiert. Der zugehörige Strahlengang ist im nächsten Bild dargestellt. ω2 Der Schnittpunkt der rückwärtigen Strahlenverlängerungen und damit der Ort des virtuellen Bildes rückt ins Unendliche. Es entsteht ein unendlich großes virtuelles Bild, das unendlich weit entfernt ist. Die Angabe eines Abbildungsmaßstabes ist hier nicht sinnvoll, man kennzeichnet die Lupe durch seine Vergrößerung V. Bezeichnet man den Abstand zwischen dem Gegenstand und dem Auge mit s (Sehweite), gilt für die Vergrößerung V der Lupe : V= tan ω2 tan ω1 wobei tan ω2 = G f Die Vergrößerung wird auf die Bildgröße bei Abbildung des Objekts im Abstand der deutlichen Sehweite s bezogen, die man auf 25 cm festgelegt hat€ (Entfernung, in der € ein normales Auge ohne Anstrengung noch scharf sehen kann). S27 Strahlenoptik 13GE – 2013/14 ω1 s = 25 cm G . s Die Normalvergrößerung V der Lupe (g = f) ergibt dann: Für tan ω1 ergibt sich dann: tan ω1 = G € tan ω2 G ⋅ s s 25 cm f V= = = = = tan ω1 G f ⋅G f f s Für g <€f ist die Vergrößerung stärker, im Maximalfall ist sie s +1. f s s Die Vergrößerung V einer Lupe liegt zwischen und +1. f €f Mit einer Lupe von 5 cm Brennweite erzielt man 5- bis 6fache Vergrößerung. € Will man die Lupenvergrößerung steigern, so muss man f immer kleiner wählen (bei 25facher Vergrößerung z. B. schon f = 1 cm). Da sich der zu betrachtende Gegenstand dann aber in 1 cm Abstand hinter der Lupe befinden sollte, wird dies in der Praxis bald unbequem. Bei höheren Vergrößerungen verwendet man deswegen zusammengesetzte Linsensysteme wie z. B. das Mikroskop. S28 Strahlenoptik 13GE – 2013/14 VII) Formelsammlung Reflexionsgesetz: α = α’ α = Einfallswinkel α’ = Reflexionswinkel Brechzahlen: n= n c c0 und 2 = 1 n1 c 2 c Brechungsgesetz: n1 · sin α = n2 · sin β n = Brechzahl eines Mediums c0 = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c = Lichtgeschwindigkeit im Medium n1 = Brechzahl des 1. Mediums n2 = Brechzahl des 2. Mediums α = Einfallswinkel (im Medium 1) β = Brechungswinkel (im Medium 2) Totalreflexion im Medium 1: n1 · sin αG = n2 · sin 90° n1 > n2 αG = Grenzwinkel Totalreflexion für α > αG Prisma: Ablenkung: δ = α1 + α2 – γ Brechender Winkel: γ = β1 + β2 Minimalablenkung: α1 = α2 = α β1 = β2 = β δ = 2·α – γ γ = 2·β δ = Ablenkungswinkel α1 = Einfallswinkel an der ersten Grenzfläche α2 = Austrittswinkel an der zweiten Grenzfläche β1 = Brechungswinkel an der ersten Grenzfläche β2 = Eintrittswinkel an der zweiten Grenzfläche γ = Brechender Winkel des Prismas Linsengesetze: Gesetz des Abbildungsmaßstabs: B b = G g Abbildungsgleichung: 1 1 1 = + f g b Abbildungsmaßstab: Γ= B G Γ = Abbildungsmaßstab G = Gegenstandsgröße B = Bildgröße g = Gegenstandsweite b = Bildweite f = Brennweite S29 Strahlenoptik S30 13GE – 2013/14 VIII) Aufgaben Strahlenoptik 1) Ein Lichtstrahl fällt unter 75° auf eine 15 mm dicke Glasplatte der Brechzahl 1,5, die auf der Rückseite versilbert ist. Ein Teil des Lichtes dringt in das Glas ein und wird an der Unterseite reflektiert, ein Teil wird an der Oberseite reflektiert. a) Drücke den Abstand d der beiden parallel austretenden Strahlen in Funktion von Einfallswinkel α, Plattendicke h und Brechzahl n aus! b) Bestimme den Abstand d! 2) Die Abbildung 1 zeigt den Weg eines Lichtstrahles beim Übergang von Glas in Luft. a) Auf welcher Seite der Grenzfläche befindet sich das Glas? b) Wo ist der einfallende, wo der reflektierte und wo der gebrochene Lichtstrahl? c) Wo liegen Einfallswinkel, Reflexionswinkel und Brechungswinkel? 3) Ein schmales Lichtbündel trifft die Wasseroberfläche eines Aquariums unter dem Einfallswinkel von 45°. Der gebrochene Lichtstrahl fällt auf den Boden des Aquariums, trifft dort auf einen horizontal liegenden Spiegel, wird zurück zur Oberfläche reflektiert und an der Grenzfläche zur Luft gebrochen. Der Brechungsquotient des Wassers beträgt n = 1,33. a) Wie groß ist der Winkel zwischen dem einfallenden Strahl und der Richtung, unter der das Licht die Wasseroberfläche wieder verlässt? b) Wie groß ist der Abstand zwischen den beiden Punkten, in welchen der einfallende und der reflektierte Lichtstrahl durch die Wasseroberfläche stoßen, wenn das Wasser 15 cm tief ist? 1. Abbildung zur Aufgabe 2 4) a) Welche Brechzahl muss ein zylindrischer Stab mindestens haben, damit alle durch seine Stirnfläche eintretenden Strahlen durch Totalreflexion weitergeleitet werden? b) Wie groß ist der maximale Eintrittswinkel für n = 1,33? 5) Ein Fisch schwimmt 50 cm unter einer ruhigen Wasseroberfläche (n = 1,33). Welche Gebiete außerhalb des Wassers kann er direkt sehen und welche Gebiete im Wasser kann er über eine Reflexion sehen (Skizze anfertigen)? 6) In einer Wellenwanne ist ein flaches Gebiet von einem Gebiet mit tieferem Wasser geradlinig abgegrenzt. Eine ebene Welle läuft vom flachen Wasser ins tiefe Wasser. Der Einfallswinkel beträgt 45°, der Brechungswinkel ist 60°. a) In welchem Verhältnis stehen die Ausbreitungsgeschwindigkeiten der Welle in den beiden Gebieten? b) In welchem Verhältnis stehen die Wellenlängen? 2. Zur Aufgabe 4: Seitlich darf kein Licht aus dem Glasstab austreten Strahlenoptik 13GE – 2013/14 7) a) Eine Fensterscheibe der Dicke 5 mm besitzt die Brechzahl 1,5. Welche Parallelverschiebung d ergibt sich bei einem Eintrittswinkel von 45°? b) Ersetze in der Gleichung für d mit Hilfe des Brechungsgesetzes β durch α! 8) Ein Lichtstrahl trifft unter dem Winkel α = 60° auf eine planparallele Glasplatte von 5 cm Dicke. Der Brechungsquotient der Platte beträgt n = 1,5. Die Platte ist von Luft umgeben. Berechnen Sie die Parallelverschiebung des durchgehenden Strahles! 9) Ein Lichtstrahl trifft senkrecht auf die erste Fläche eines Glasprismas der Brechzahl 1,6 und wird insgesamt um 30° abgelenkt. Wie groß sind Austrittswinkel und brechender Winkel des Prismas? 10) Ein monochromatischer Lichtstrahl fällt aus Luft kommend auf ein Prisma auf. Der brechende Winkel des Prismas beträgt 45° und die Brechungszahl ist 1,77. a) Wie groß ist die Minimalablenkung und bei welchem Einfallswinkel tritt sie ein? b) Der Strahl tritt unter einem Winkel von 60° ein. Berechne den Ablenkungswinkel! c) Für welchen Einfallswinkel ist gerade noch Durchgang mit Austritt an der anderen Seitenfläche möglich? 11) Ein monochromatischer Lichtstrahl fällt unter einem Winkel von 35° auf ein sich in Luft befindliches Glasprisma der Brechungszahl n’ = 1,55 auf. Bei diesem Einfallswinkel kann der Strahl an der gegenüberliegenden Seitenfläche gerade noch in Luft austreten. a) Berechne den brechenden Winkel des Glasprismas! b) Das Glasprisma wird in eine Flüssigkeit der Brechungszahl n’’ gestellt. Bei ansonsten unveränderten Versuchsbedingungen erleidet der einfallende Strahl nun Minimalablenkung. Berechne die Brechungszahl n’’ und den Minimalablenkungswinkel! 12) Ein Glasprisma ist von Luft umgeben. Es hat den Brechungsquotienten n = 1,7. Sein brechender Winkel beträgt 60°. a) Unter welchem Winkel muss der Lichtstrahl für symmetrischen Durchgang auffallen, und wie groß ist dann die Ablenkung? b) Unter welchem Winkel muss der Lichtstrahl auffallen, damit er streifend aus dem Prisma tritt, und was geschieht, wenn der Einfallswinkel noch kleiner wird? 13) Mit einer Kleinbildkamera der Brennweite 5 cm soll eine Person der Größe 1,80 m im Hochformat fotografiert werden. Bei Hochformat beträgt die maximale Bildgröße B = 36 mm. Wie groß muss die Gegenstandsentfernung sein? S31 Strahlenoptik 13GE – 2013/14 14) Mit der gleichen Kleinbildkamera wie in Aufgabe 13 soll der Mond (G = 3476 km, g = 384400 km) abgebildet werden. Berechne Sehwinkel und Bildgröße! Schlussfolgere! 15) In welcher Bildweite und Bildgröße wird eine 1,75 m große Person abgebildet, die 6,5 m von einer Linse mit der Brennweite 25 cm entfernt ist? 16) Berechnen Sie die Entfernung und Größe eines Gegenstandes, der von einer Linse mit 18 cm Brennweite in einer Bildweite 24 cm und einer Größe 10 cm abgebildet wird! 17) Welche Brennweite muss eine Linse haben, damit sie von einem 3,12 m entfernten 1,2 m großen Gegenstand ein 10 cm großes Bild erzeugt? 18) Ein Gegenstand soll von einer Linse mit 7,5 cm Brennweite die dreifache Größe erhalten. Berechnen Sie seine Gegenstands- und Bildweite! 19) Folgender Gegenstand (fester Pfeil) ergibt folgendes Bild (gestrichelter Pfeil). Überlege zuerst, ob die jeweilige Situation physikalisch möglich ist und bestimme dann zeichnerisch die Lage und die Brennweite der Linse. a) b) c) c) d) 20) Ein Gegenstand von 3 cm befindet sich 4 cm vor einer Zerstreuungslinse. Rückt man ihn um weitere 6 cm von der Linse weg, so wird das Bild doppelt so klein. a) Wie groß ist die Brennweite der Linse? Bestimme auch Bildgrößen und Bildweiten! b) Wohin muss man den Gegenstand stellen, damit sich zwischen ihm und seinem Bild 30 cm Abstand befinden? 21) Wie groß muss die Gegenstandsweite g eines sich vor einer Sammellinse befindlichen Gegenstandes sein, damit die Distanz x zwischen ihm und seinem Bild minimal wird? S32 Strahlenoptik 13GE – 2013/14 22) Ein Gegenstand von 2 cm Größe steht vor einer bikonvexen Linse und ergibt ein virtuelles Bild von 4 cm Größe. a) Rückt man ihn um 2 cm weiter von der Linse weg, so entsteht ein reelles Bild der Größe 8 cm. Bestimme hieraus die Brennweite der Linse sowie die Bild- und Gegenstandsweiten! b) In welche Richtung und wie weit muss man den Gegenstand verschieben, damit zwischen ihm und seinem virtuellen Bild eine Distanz von 10 cm ist? 23) Ein Filmvorführgerät soll die 18 mm hohen Filmbilder auf eine 2,5 m hohe Projektionswand abbilden, die 30 m entfernt ist. a) Welche Brennweite muss das Objektiv haben? b) Wie groß ist der Sehwinkel für einen Kinobesucher, der 10 m bzw. 20 m von der Leinwand entfernt sitzt? 24) Das Objektiv eines Fotoapparates hat eine Brennweite f = 5 cm. Es soll von der Einstellung auf Unendlich ausgehend, eine Gegenstandsweite von 10 m bzw. 1 m bzw. 0,50 m eingestellt werden. a) Um welche Strecke muss das Objektiv verschoben werden? b) Wie groß ist in jedem Fall der Abbildungsmaßstab? 25) Das Objektiv eines Fotoapparates hat eine Brennweite f = 5 cm. a) Wie groß ist auf dem Film das Bild des Mondes, wenn der Mond dem bloßen Auge unter einem Sehwinkel von 0,5° erscheint? b) Welche Brennweite müsste man wählen, damit das Bild 5 mm groß wird? c) Wie groß wäre das Bild, wenn man ein Teleobjektiv mit einer Brennweite f = 15 cm verwenden würde? 26) Wir wollen eine Sammellinse der Brennweite 5 cm als Lupe zur Betrachtung eines 4,9 cm entfernten Objektes der Größe 1 mm benutzen. a) Wo entsteht das Bild und wie groß ist es? b) Bestimme Abbildungsmaßstab und Vergrößerung! S33 Strahlenoptik 13GE – 2013/14 IX) Lösungen zu den Aufgaben der Strahlenoptik 1) a) d(α ) = 2 ⋅ h ⋅ sin α ⋅ cos α n2 − sin2 α b) d = 6,54 mm unten: Glas € 2) a) oben: Luft, b) 3 = einfallender Lichtstrahl 1 = teflektierter Lichtstrahl 2 = gebrochener Lichtstrahl c) β = Einfallswinkel γ = Reflexionswinkel ψ = Brechungswinkel 3) a) Richtungsänderung um 2·α = 90° b) Abstand = 2·x = 2·h·tanβ = 18,83 cm 4) a) n = 1,41 b) α = 61,27° 5) 6) a) b) € c1 n2 sin α sin 45° 2 = = , also hier: = c2 n1 sin β sin60° 3 λ1 2 = λ2 3 € 7) a) β = 28,13°; € € d = 1,65 mm % ( cos α ** b) d = h ⋅ sin α ⋅ ''1− & n2 − sin2 α ) 8) β = 35,26°; d = 2,56 cm 9) γ = 34,26°; α = 64,26° 10) a) δ = 40,27° bei α1 = 42,64° b) δ = 43,63° c) α1 = 19° 11) a) γ = 61,90° b) d = 8,10°; 12) a) α = 58,21°; n’’ = 1,39 δ = 56,42° b) α1 = 43,68°; wenn α kleiner wird, dann tritt der Strahl nicht mehr auf der zweiten Seite aus (Totalreflexion) S34 Strahlenoptik 13GE – 2013/14 13) g = 255 cm 14) ω = 0,5181°; B = 0,452 mm 15) b = 26 cm; B = 7 cm 16) g = 72 cm; G = 30 cm 17) Sammellinse: b = 26 cm f = 24 cm Zerstreuungslinse: b = –26 cm f’= –28,4 cm 18) reelles Bild: virtuelles Bild: g = 10 cm; g = 5 cm; b = 30 cm b = –15 cm 19) a) Sammellinse; f = 1,15 cm b) Sammellinse; f = 2,6 cm c) Zerstreuungslinse; f = –1,6 cm d) physikalisch unmöglich 20) a) f = –2 cm; Bildgrößen: B = – 1 cm; Bildweiten: b = – 4 3 B’ = – ½ cm b’ = – 53 cm cm; b) g = 31,88 cm; b = –1,88 cm 21) g = 2 · f € 22) a) f = 8 3 € cm Anfang: gAnfang = 34 cm; € Später: gSpäter = 10 3 cm; bAnfang = – 40 3 bSpäter = 8 3 cm cm b) g’ = 2,19 cm und b’ = –12,19 cm; also muss der Gegenstand um 1,14 cm€näher an die Linse gerückt€werden. € € 23) a) ohne Näherung: f = 21,4 cm, g = 21,6 cm mit Näherung: f = g = 21,6 cm b) ω10 = 0,245 rad = 14°; 24) a) s10m = 0,251 mm; b) Γ10m = 0,00503; s1m = 2,63 mm; Γ1m = 0,0526; 25) a) B = 0,436 mm b) f = 57,3 cm c) B = 1,31 mm 26) a) b = –245 cm; b) Γ = 50; ω20 = 0,125 rad = 7,1° B = –5 cm V = 5,1 s0,5m = 5,55 mm Γ0,5m = 0,111 S35
