HAUSAUFGABENBLATT 1 F. LEMMERMEYER Aufgabe 1. Bestimme Tangente und Normale an das Schaubild von 2 f (x) = + 1 x in x = 1. Es ist f 0 (x) = − x22 , also die Steigung der Tangente m = f 0 (1) = −2 und die 1 Steigung der Normale m0 = − m = 21 . Einsetzen von (1|3) liefert t : y = −2x + 5 und n : y = 12 x + 52 . Aufgabe 2. Bestimme die Normale n im Wendepunkt von f (x) = x3 − 3x2 , und bestimme alle Schnittpunkte von n mit f . Es ist f 0 (x) = 3x2 − 6x und f 00 (x) = 6x − 6; also ist W (1| − 2) der Wendepunkt. 1 = 31 . Die Normale in Tangentensteigung dort ist m = f 0 (1) = −3, also m0 = − m 1 7 W wird so n : y = 3 x − 3 . Gleichsetzen liefert 7 1 x− , 3 3 Wegschaffen des Nenners gibt x3 − 3x2 = also 1 7 x3 − 3x2 − x + = 0. 3 3 3x3 − 9x2 − x + 7 = 0. Probe: x1 = 1 ist Nullstelle dieser Gleichung. Polynomdivision liefert (3x3 − 9x2 − x + 7) : (x − 1) = 3x2 − 6x − 7. abc-Formel gibt x2 = √ 6− 120 6 ≈ −0,826 und x3 = √ 6+ 120 6 ≈ 2,826. Aufgabe 3. Für den Bogen b eines Kreises mit Radius r gilt die Formel α b= · 2πr. 360◦ Die Länge des zu einem Winkel α gehörenden Bogens am Einheitskreis nennt man auch das Bogenmaß (engl.: radian) des Winkels α. Das Bogenmaß von 360◦ ist also 2π. Bestimme das Bogenmaß bzw. den dazugehörigen Winkel: α b 360◦ 2π 180◦ π 90◦ 60◦ 45◦ 30◦ π 2 π 3 π 4 π 6 1 0◦ 0 2 F. LEMMERMEYER Aufgabe 4. Im Intervall [0; 2π] bestimme man alle Lösungen von (1) sin x = 0: x1 = 0, x2 = π, x3 = 2π. (2) cos x = 0: x1 = π 2, (3) sin x = 1: x1 = π 2 x2 = 3π 2 . (4) cos x = −1: x1 = π. Aufgabe 5. Skizziere (ohne GTR, z.B. mit Wertetabelle) die Schaubilder von f (x) = sin(x) + 1; g(x) = 2 sin(x); h(x) = sin(2x). Welchen Einfluss auf das Schaubild haben die Änderungen? f (x) = sin x + 1 ist die gewöhnliche Sinusfunktion um 1 nach oben verschoben. g(x) = 2 sin x ist mit dem Faktor 2 in Richtung y-Achse gestreckt. h(x) = sin(2x) ist mit dem Faktor kleinert um Faktor 2). 1 2 in Richtung x-Achse gestaucht (Periode ver- Aufgabe 6. Gegeben sind die beiden Punkte A(1|2| − 2) und B(2|1|2). (1) Untersuche, ob das Dreieck OAB gleichschenklig oder rechtwinklig ist. Bestimme Umfang und Flächeninhalt. (2) Bestimme die Gleichung der Geraden g durch AB. (3) Bestimme die Gleichung der Geraden durch O, die zu g parallel ist. (4) Bestimme den Schnittpunkt von g mit der x1 x2 -Ebene. Es ist p p −→ 12 + 22 + 22 = 3, |OB| = 22 + 12 + 22 = 3, p −→ √ |AB| = (2 − 1)2 + (1 − 2)2 + (2 − (−2))2 = 18. −→ |OA| = −→ −→ −→ −→ −→ Wegen |OA| = |OB| ist das Dreieck gleichschenklig, wegen |OA|2 + |OB|2 = |AC|2 hat es einen rechten Winkel in O. √ Umfang U = 6 + 18, Flächeninhalt F = 12 gh = 92 . 1 1 1 g : ~x = 2 + t −1 ; h : ~x = t −1 . −2 4 4 Die x1 x2 -Ebene besteht aus allen Punkten mit x3 = 0. Aus x3 = −2 + 4t = 0 folgt t = 21 , also S( 32 | 32 |0).