x - RZ User

HAUSAUFGABENBLATT 1
F. LEMMERMEYER
Aufgabe 1. Bestimme Tangente und Normale an das Schaubild von
2
f (x) = + 1
x
in x = 1.
Es ist f 0 (x) = − x22 , also die Steigung der Tangente m = f 0 (1) = −2 und die
1
Steigung der Normale m0 = − m
= 21 . Einsetzen von (1|3) liefert t : y = −2x + 5
und n : y = 12 x + 52 .
Aufgabe 2. Bestimme die Normale n im Wendepunkt von f (x) = x3 − 3x2 , und
bestimme alle Schnittpunkte von n mit f .
Es ist f 0 (x) = 3x2 − 6x und f 00 (x) = 6x − 6; also ist W (1| − 2) der Wendepunkt.
1
= 31 . Die Normale in
Tangentensteigung dort ist m = f 0 (1) = −3, also m0 = − m
1
7
W wird so n : y = 3 x − 3 .
Gleichsetzen liefert
7
1
x− ,
3
3
Wegschaffen des Nenners gibt
x3 − 3x2 =
also
1
7
x3 − 3x2 − x + = 0.
3
3
3x3 − 9x2 − x + 7 = 0.
Probe: x1 = 1 ist Nullstelle dieser Gleichung. Polynomdivision liefert
(3x3 − 9x2 − x + 7) : (x − 1) = 3x2 − 6x − 7.
abc-Formel gibt x2 =
√
6− 120
6
≈ −0,826 und x3 =
√
6+ 120
6
≈ 2,826.
Aufgabe 3. Für den Bogen b eines Kreises mit Radius r gilt die Formel
α
b=
· 2πr.
360◦
Die Länge des zu einem Winkel α gehörenden Bogens am Einheitskreis nennt man
auch das Bogenmaß (engl.: radian) des Winkels α. Das Bogenmaß von 360◦ ist also
2π.
Bestimme das Bogenmaß bzw. den dazugehörigen Winkel:
α
b
360◦
2π
180◦
π
90◦
60◦
45◦
30◦
π
2
π
3
π
4
π
6
1
0◦
0
2
F. LEMMERMEYER
Aufgabe 4. Im Intervall [0; 2π] bestimme man alle Lösungen von
(1) sin x = 0: x1 = 0, x2 = π, x3 = 2π.
(2) cos x = 0: x1 =
π
2,
(3) sin x = 1: x1 =
π
2
x2 =
3π
2 .
(4) cos x = −1: x1 = π.
Aufgabe 5. Skizziere (ohne GTR, z.B. mit Wertetabelle) die Schaubilder von
f (x) = sin(x) + 1;
g(x) = 2 sin(x);
h(x) = sin(2x).
Welchen Einfluss auf das Schaubild haben die Änderungen?
f (x) = sin x + 1 ist die gewöhnliche Sinusfunktion um 1 nach oben verschoben.
g(x) = 2 sin x ist mit dem Faktor 2 in Richtung y-Achse gestreckt.
h(x) = sin(2x) ist mit dem Faktor
kleinert um Faktor 2).
1
2
in Richtung x-Achse gestaucht (Periode ver-
Aufgabe 6. Gegeben sind die beiden Punkte A(1|2| − 2) und B(2|1|2).
(1) Untersuche, ob das Dreieck OAB gleichschenklig oder rechtwinklig ist. Bestimme Umfang und Flächeninhalt.
(2) Bestimme die Gleichung der Geraden g durch AB.
(3) Bestimme die Gleichung der Geraden durch O, die zu g parallel ist.
(4) Bestimme den Schnittpunkt von g mit der x1 x2 -Ebene.
Es ist
p
p
−→
12 + 22 + 22 = 3, |OB| = 22 + 12 + 22 = 3,
p
−→
√
|AB| = (2 − 1)2 + (1 − 2)2 + (2 − (−2))2 = 18.
−→
|OA| =
−→
−→
−→
−→
−→
Wegen |OA| = |OB| ist das Dreieck gleichschenklig, wegen |OA|2 + |OB|2 = |AC|2
hat es einen rechten Winkel in O.
√
Umfang U = 6 + 18, Flächeninhalt F = 12 gh = 92 .
1 1 1 g : ~x = 2 + t −1 ;
h : ~x = t −1 .
−2
4
4
Die x1 x2 -Ebene besteht aus allen Punkten mit x3 = 0. Aus x3 = −2 + 4t = 0 folgt
t = 21 , also S( 32 | 32 |0).