6. Jahrgangsstufe - Lessing-Gymnasium Neu-Ulm

MATHEMATIK
GRUNDWISSEN
6. KLASSE
LESSING GYMNASIUM
NEU-ULM
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Grundwissen 6. Jahrgangsstufe
I. RATIONALE ZAHLEN
1. Brüche, Bruchteile
1.1. Bruchteile von Größen
Der Bruchteil
z
eines Ganzen bedeutet:
n
Teile das Ganze in n gleiche Teile und nimm z von diesen Teilen.
z
nennt man einen Bruch.
n
Der Nenner gibt an,
dass das Ganze in n
Teile geteilt wird.
__ z
n
Der Zähler gibt an,
dass z solcher Teile
genommen werden.
Veranschaulichung in Diagrammen:
Bsp.:
•
Der Streifen ist in 7 Teile unterteilt, 5 davon
sind gefärbt, das sind also
5
des Streifens.
7
•
2
des Kreises sind gefärbt:
3
•
3
kg = (1 kg : 8) . 3 = (1000g : 8) . 3 = 125 g . 3 = 375 g
8
•
2
h = (1 h : 3) . 2 = 20 min . 2 = 40 min
3
•
3
von 100 kg = (100 kg : 4) . 3 = 25 kg . 3 = 75 kg
4
•
2
von 4 km = (4 km : 5) . 2 = (4000 m : 5 ) . 2 = 800 m . 2 = 1600 m = 1,6 km
5
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1.2. Einteilung der Brüche
Betrachtet werden Brüche von der Form
z
mit z ,n ∈ℕ
n
1.2.a) Echte Brüche
Ist der Zähler kleiner als der Nenner, so liegt ein echter Bruch vor.
Bsp.:
1 2 3
; ;
; ….
4 5 7
Der Wert eines echten Bruches ist kleiner als 1.
Brüche mit dem Zähler 1 heißen Stammbrüche.
Bsp.:
1 1 1
1
,
,
,…,
,…
2 3 4
42
1.2.b) Unechte Brüche und gemischte Zahlen
Ist der Zähler größer als der Nenner, so liegt ein unechter Bruch vor.
Bsp.:
7 9 35
;
;
; ….
5 4
8
Der Wert eines unechten Bruches ist größer als 1.
Jeder unechte Bruch lässt sich als gemischte Zahl schreiben.
7
2 9
1 35
3
=1 ;
=2 ;
=4
5
5 4
4
8
8
Bsp.:
Umgekehrt kann jede gemischte Zahl als unechter Bruch dargestellt werden.
Bsp.: 2
7 16 7 23
=
 =
8
8 8
8
Ist der Zähler ein Vielfaches des Nenners, so liegt ein Scheinbruch vor.
Der Wert eines Scheinbruches ist eine natürliche Zahl.
Bsp.:
12
8
7
= 3;
= 4;
=1 ; …
4
2
7
Vertauscht man bei einem Bruch Zähler und Nenner, so erhält man den Kehrbruch.
Bsp.: Der Kehrbruch von
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3
4
ist
.
4
3
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1.3. Brüche als Werte von Quotienten
In der Menge ℤ der ganzen Zahlen lässt sich z.B. die Division 5 : 8 nicht ausführen.
In der Menge der Bruchzahlen wird dem Quotienten 5 : 8 als Wert die Bruchzahl
Jeder Quotient a : b mit a, b ∈ ℕ besitzt als Wert die Bruchzahl
a
b
5
8
zugeordnet.
= a:b .
Bsp.:
•
4:5=
4
5
•
3:7=
3
7
•
2:9=
2
9
Da die Division durch Null nicht erlaubt ist, gibt es keinen Bruch mit dem Nenner 0!
Für Brüche mit negativen Zahlen gilt:
–a
a
a
–a a
=
= – und
=
mit a∈ℕ0 , b∈ℕ
b
–b
b
–b b
Bsp.:
•
–2
2
= –
3
3
•
5
5
= –
–7
7
•
– 11 11
=
– 98 98
Die Menge ℚ der rationalen Zahlen enthält alle positiven und negativen Bruchzahlen. Die
Menge ℤ der ganzen Zahlen ist in ℚ enthalten.
Veranschaulichung im Mengendiagramm:
N
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Z
Q
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1.4. Erweitern und Kürzen
1
__
4
___
4
16
Erweitern
1
__
4
=
.
1
4
______
.
4 4
=
4
____
16
Kürzen
Erweitern: Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl multipliziert.
Kürzen: Zähler und Nenner werden durch einen gemeinsamen Teiler dividiert.
Bsp.:
2 2⋅5 10
2
=
=
Der Bruch
wurde mit 5 erweitert.
3 3⋅5 15
3
•
20 4
20
=
Der Bruch
wurde mit 5 gekürzt.
35 7
35
•
3
1
=
18 6
•
56 7⋅8 7
=
=
72 9⋅8 9
•
240 10⋅3⋅8
8
=
=
450 10⋅3⋅15
15
Beim Kürzen und Erweitern ändert sich der Wert des Bruches nicht.
Ein Bruch wird als vollständig gekürzt bezeichnet, wenn Zähler und Nenner keinen
gemeinsamen Teiler mehr haben, also wenn Zähler und Nenner teilerfremd sind.
Brüche gleichnamig machen
Zwei Brüche werden als gleichnamig bezeichnet, wenn sie den gleichen Nenner haben.
Ein gemeinsamer Nenner zweier Brüche ist immer ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner,
z.B. ihr Produkt.
Bsp.:
•
7 7⋅3 21
=
=
8 8⋅3 24
•
2 2⋅8 16
=
=
3 3⋅8 24
Um große Zahlen zu vermeiden, verwendet man das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden
Nenner als gemeinsamen Nenner.
Bsp.:
4
16 7
35
=
;
=
15 60 12 60
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1.5. Größenvergleich von Brüchen
1.5.a) Vergleichen von Brüchen mit gleichen Nennern (gleichnamige Brüche)
Haben zwei Brüche gleiche Nenner, so ist derjenige der kleinere, der den kleineren Zähler hat.
Bsp.:
•
1 3

2 2
•
5
6

13 13
•
42
43

421 421
1.5.b) Vergleichen von Brüchen mit gleichen Zählern
Haben zwei Brüche gleiche Zähler, so ist derjenige der kleinere, der den größeren Nenner hat.
Bsp.:
•
1 1

3 2
•
1
1

498 398
•
67
67

351 341
1.5.c) Vergleich von Brüchen mit verschiedenen Zählern und Nennern
Um zwei Brüche vergleichen zu können, müssen sie zunächst so erweitert (oder gegebenenfalls
auch gekürzt!) werden, dass sie gleichnamig sind oder gleiche Zähler haben.
Bsp:
•
Vergleiche
5
7
mit
!
12
16
5
20
7
21
5
7
=
;
=
⇒

12 48 16
48
12 16
•
Ordne die Brüche
7 21 11
,
,
der Größe nach!
24 18 36
7
21
=
;
24 72
21 7
1
= = 1   1 ;
18 6
6
11 22
21 7
=

=
36 72
72 24
7
11 21
⇒


24 36 18

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
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1.6. Addition und Subtraktion
Um Brüche addieren/subtrahieren zu können, müssen sie zunächst gleichnamig gemacht
werden. Anschließend werden die Zähler addiert/subtrahiert und der gemeinsame Nenner
beibehalten:
a b
ab
 =
c c
c
Bsp.:
•
2 4 2⋅5 4⋅3 10 12 22
 =

=

=
3 5 3⋅5 5⋅3 15 15 15
•
3
2
9
8
17
5
5 3 = 5 3
=8
=9
4
3
12
12
12
12
•
1
5
3
10
27
10
17
7 –4
=7
–4
=6 – 4
=2
8
12
24
24
24
24
24
•
4

 

1
1
2
3
8
3
5
–9 =– 9 –4
=– 8 – 4 = – 4
2
3
6
6
6
6
6
1.7. Multiplikation
Regel zur Multiplikation von Brüchen:
Multipliziere die Zähler und multipliziere die Nenner.
a c
a⋅c
⋅ =
b d
b⋅d
Dabei gilt: Erst kürzen, dann ausmultiplizieren!
Bsp.:
•
3 2 3⋅2
6
⋅ =
=
5 7 5⋅7 35
•
24⋅5 24⋅5 12⋅2⋅5 10
1
=
=
=
=3
36
36
12⋅3
3
3
•
•
•
•
2

     
 
3
5
–
=
3
4
9
25
3
= –
3
3
3
27
⋅– ⋅ –
=–
4
4
4
64
15
7
3⋅5⋅7
3
⋅–
=–
=–
28
25
4⋅7⋅5⋅5
20
–
42 3
6⋅7⋅3
⋅ =–
=– 1
18 7
3⋅6⋅7
Gemischte Zahlen müssen vor dem Multiplizieren in unechte Brüche umgewandelt werden!
Bsp.:
•
•
•
2 3 12 15 3⋅4⋅3⋅5
2 ⋅3 = ⋅ =
=9
5 4
5 4
5⋅4
2
 
      
1
1
4
–4
5 5 25
= ⋅ =
4 4 16
1
1
9
7
3⋅3⋅7 21
1
⋅–1
= – ⋅–
=
=
=5
2
6
2
6
2⋅2⋅3
4
4
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1.8. Division
Regel zur Division von Brüchen:
Multipliziere den Dividenden mit dem Kehrbruch des Divisors.
a c
a d a⋅d
: = ⋅ =
b d
b c b⋅c
Wieder gilt: Erst kürzen, dann ausmultiplizieren!
Bsp.:
•
5 3
5⋅7
35
: =
=
12 7 12⋅3 36
•
4
4
4
:3 =
=
5
5⋅3 15
•
1:
•
12 4
3⋅4⋅3⋅5 9
4
:
=
= =1
25 15
5⋅5⋅4
5
5
•
72 3 8⋅9⋅7 8⋅3 24
4
: =
=
=
=4
35 7 7⋅5⋅3
5
5
5
1
42 42
= 1⋅ =
= 42
42
1
1
Gemischte Zahlen müssen vor dem Dividieren in unechte Brüche umgewandelt werden!
Bsp.:
•
3 1 15 5 3⋅5⋅2 3
1
3 :2 =
: =
= =1
4 2
4 2 2⋅2⋅5 2
2
•
3 1
38 19
2⋅19⋅6
12
2
– 7 :3 = –
:
=–
=–
=–2
5 6
5 6
5⋅19
5
5
•
     
–3
1
3
7
7
7 4 4
: –1
= – : –
= ⋅ = =2
2
4
2
4
2 7 2
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2. Dezimalbrüche
2.1. Dezimale Schreibweise
Erweiterung der Stellenwerttafel nach rechts:
... Tausender Hunderter
5
3
Zehner
Einer , Zehntel Hundertstel Tausendstel
1
9
,
5
2
0
Zehntausendstel
...
7
5319,5207 bedeutet
5 Tausender + 3 Hunderter + 1 Zehner + 9 Einer +
+ 5 Zehntel + 2 Hundertstel + 0 Tausendstel + 7 Zehntausendstel =
= 5319 Ganze + 5207 Zehntausendstel
Daraus ergibt sich das
2.2. Umwandeln von Dezimalbrüchen in gewöhnliche Brüche
Regel zum Umwandeln in Brüche:
0,1=
1
1
1
; 0,01=
; 0,001=
;…
10
100
1000
Die Position der letzten Nachkommastelle ungleich Null verrät die Zehnerpotenz im Nenner:
0,36 =
36
9
=
100
25
Kürzen nicht vergessen!
2. Nachkommastelle, also Hundertstel
Bsp.:
7
10
•
0,7 =
•
0,03 =
•
0,005 =
•
0,32 =
•
1,2 = 1
•
2,45 = 2
3
100
5
1
=
1000 200
32
8
=
100
25
2
1
=1
10
5
45
9
=2
100
20
Häufig auftretende Dezimalbrüche:
0,125 =
1
8
0,2 =
1
5
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0,25 =
1
4
0,375 =
3
8
0,4 =
2
5
0,5 =
1
2
0,75 =
3
4
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2.3. Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche
2.3.a) Erweitern
Erweitere den Bruch so, dass im Nenner eine Zehnerpotenz steht.
Bsp.:
•
3
3⋅5
15
=
=
= 0,15
20
20⋅5 100
•
25
25⋅25 625
=
=
= 6,25
4
4⋅25 100
•
7
7⋅8
56
=
=
= 0,056
125
125⋅8 1000
2.3.b) Division
Gewöhnliche Brüche
a
können in Dezimalbrüche umgewandelt werden, indem der Wert des
b
Quotienten a:b berechnet wird. Beim Überschreiten des Kommas im Dividenden wird auch im
Ergebnis das Komma gesetzt.
Bsp.:
•
25
4
•
7
8
•
42 7⋅6 7
=
= = 7 :2 = 3,5
12 2⋅6 2
= 25 : 4 = 25,00 : 4 = 6,25
24
10
8
20
= 7 : 8 = 7,000 : 8 = 0,875
0
70
64
60
56
40
Auch hier gilt: Zuerst kürzen kann die Rechnung deutlich vereinfachen!
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2.4. Endliche und periodische Dezimalbrüche
Beim Umwandeln eines gewöhnlichen Bruches in einen Dezimalbruch erhält man einen endlichen
Dezimalbruch, wenn im Nenner des vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren 2 und
5 vorkommen, in allen anderen Fällen entsteht ein unendlicher periodischer Dezimalbruch.
Enthält der Nenner des gekürzten Bruches die Primfaktoren 2 und 5 nicht, so erhält man einen
reinperiodischen Bruch.
Bsp.:
•
1
3
•
2
= 0,6
3
•
1
9
•
1
= 0, 09
11
•
1
= 0,142857
7
= 1,000... : 3 = 0,333.... = 0, 3 sprich: „Null komma Periode drei“
= 0, 1;
2
9
= 0,2 ;
5
9
= 0, 5
Enthält der Nenner neben 2 oder 5 noch weitere Primfaktoren, so erhält man einen
gemischtperiodischen Dezimalbruch.
Bsp.:
•
•
•
•
5
6
= 5 : 6 = 0,833... = 0,8 3 sprich: „Null komma acht Periode drei“
0
50
Der Rest 2
48
wiederholt
20
sich
18
2
2
= 0,1 3
15
5
= 0,2 7
18
7
= 0,583
12
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2.5. Größenvergleich von Dezimalbrüchen
Um zwei Dezimalbrüche zu vergleichen, vergleicht man die Dezimalstellen von links beginnend.
Bei zwei Dezimalbrüchen ist derjenige der kleinere, bei dem die erste unterschiedliche Dezimalstelle
von links beginnend kleiner ist.
Bsp.:
•
0,056745 < 0,057745
•
0,4356 < 0,5
•
0,2  0, 2 ; 1, 37  1,3 7
Von zwei negativen Zahlen ist diejenige kleiner, deren Betrag größer ist, d.h. die auf der
Zahlengeraden weiter links liegt.
Bsp.:
•
– 2,57  – 2,5
•
−0, 3  – 0,3
2.6. Runden von Dezimalbrüchen
Soll ein Dezimalbruch auf n Dezimalen gerundet werden, so gilt:
Ist die n+1-te Dezimale 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet.
Ist die n+1-te Dezimale 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird aufgerundet.
Bsp.:
•
3,748 ≈ 3,75 (auf zwei Dezimalen gerundet)
•
3,748 ≈ 3,7 (auf eine Dezimale gerundet)
Bei gerundeten Dezimalbrüchen dürfen Endnullen nicht weggelassen werden!
Bsp.:
•
Wird eine Streckenlänge auf 2,0 m gerundet, so beträgt der maximale Fehler 0,05 m, d.h. der
wahre Wert kann im Bereich [1,95m; 2,05m[ liegen.
•
Wird die Streckenlänge auf 2,00 m gerundet, so beträgt der maximale Fehler 0,005 m, d.h.
der wahre Wert liegt im Bereich [1,995m; 2,005m[.
2.7. Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen
Endliche Dezimalbrüche werden stellengerecht addiert/subtrahiert:
Gegebenenfalls müssen Nullen am Ende eines Dezimalbruchs ergänzt werden.
Bsp.:
•
0,0457 + 45,123 = 0,0457 + 45,1230 = 45,1687
•
5,4 – 1,67 = 5,40 – 1,67 = 3,73
•
7,2 – 9,68 = – (9,68 – 7,20) = – 2,48
•
–3,87 – 4,341 = – ( 3,870 + 4,341) = – 8,211
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2.8. Multiplikation und Division von Dezimalbrüchen
2.8.a) Multiplikation und Division mit Zehnerpotenzen
Wird eine Dezimalzahl mit einer Zehnerpotenz 10n multipliziert, so wird das Komma um n Stellen
nach rechts verschoben.
Wird eine Dezimalzahl durch eine Zehnerpotenz 10n dividiert, so wird das Komma um n Stellen
nach links verschoben.
Bsp.:
•
0,897⋅100 = 89,7
•
7642,98 : 1000 = 7,64298
•
42,344 : 10000 = 00042,3444 : 10000 = 0,00423444
2.8.b) Multiplikation von Dezimalbrüchen
Dezimalzahlen werden multipliziert, indem zuerst die Zahlen ohne Berücksichtigung der Kommas
multipliziert werden und anschließend im Ergebnis das Komma so gesetzt wird, dass es soviele
Nachkommastellen hat wie alle Faktoren zusammen.
Bsp.:
•
0,2⋅0,3 = 0,06
}
1. Faktor: 1 Nachkommastelle
2. Faktor: 1 Nachkommastelle
•
0,06⋅0,234 = 0,01404
1. Faktor: 2 Nachkommastellen
2. Faktor: 3 Nachkommastellen
=> im Ergebnis 1 + 1 = 2 Nachkommastellen
}
=> im Ergebnis 2 + 3 = 5 Nachkommastellen
•
0,2⋅0,04⋅0,7 = 0,0056
•
0,03 = 0,03⋅0,03⋅0,03 = 0,000027
•
 – 1,2 = 1,44
3
2
Der Wert eines Produktes ändert sich nicht, wenn ein Faktor mit einer Stufenzahl multipliziert
und ein anderer Faktor durch die selbe Stufenzahl dividiert wird.
(gegensinnige Kommaverschiebung)
Bsp.:
•
0,08⋅250 = 8⋅2,5 = 20
•
4,2⋅20 = 42⋅2 = 84
2.8.c) Division von Dezimalbrüchen
Sollen zwei Dezimalzahlen dividiert werden, so werden zunächst bei Dividend und Divisor die
Kommas gleich weit (nach rechts) um so viele Stellen verschoben, bis der Divisor ganzzahlig
ist. Anschließend wird die Division wie üblich ausgeführt, beim Überschreiten des Kommas im
Dividenden muss im Ergebnis ebenfalls das Komma gesetzt werden.
Bsp.:
•
34,478 : 0,02 = 3447,8 : 2 = 1723,9
•
15 :0,3 = 150: 3 = 50
•
0,0128 :0,008 = 12,8: 8 = 1,6
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3. Prozentrechnung
3.1. Der Begriff Prozent
1 Prozent = 1 % =
1
100
Damit folgt z.B.:
•
20% =
20
1
= 0,20 =
100
5
•
50 % =
50
1
= = 0,5
100
2
•
25 % =
25
1
= = 0,25
100
4
•
42 % =
42
21
=
= 0,42
100 50
•
0,783 = 78,2%
•
3,109 = 310,9%
3.2. Prozentsatz, Grundwert und Prozentwert
15% von 200 € = 30 €
Prozentsatz p
Grundwert GW
= Prozentwert PW
Bsp:
•
Berechnung des Prozentwerts:
19 % von 80 € = 0,19⋅ 80 € = 15,20 €
•
Berechnung des Prozentsatzes:
Wieviel Prozent sind 16 kg von 80 kg?
p = 16 kg: 80 kg =
•
16
2
=
= 0,2 = 20 %
80 10
Berechnung des Grundwerts:
40% von G = 120 m
=> 0,4⋅G = 120m
=> G = 120m: 0,4 = 300m
•
Der Preis inkl MWSt (19%) beträgt 238 €.
Wieviel beträgt der Nettopreis?
119% von G = 238€
1,19⋅G = 238 €
G = 238 € :1,19 = 200 €
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II. Geometrie
1. Flächeninhalt
c
D
1.1. Flächeninhalt des Parallelogramms
Jedes Parallelogramm kann in ein Rechteck verwandelt werden:
Der Abstand zweier paralleler Seiten des Parallelogramms wird als
C
ha
d
b
hb
die Höhe des Parallelogramms bezeichnet.
a
A
B
Somit ergibt sich für den Flächeninhalt jedes Parallelogramms:
A = a⋅h a = b⋅h b
Bsp:
In einem Parallelogramm sind zwei parallele Seiten a und c 6 cm lang, ihr Abstand beträgt 1,5 cm.
a) Welchen Flächeninhalt besitzt das Parallelogramm?
2
AP = 6 cm⋅1,5 cm = 9 cm
b) Wie lang sind die beiden anderen Seiten des Parallelogramms, wenn sie einen Abstand von 3,6 cm
besitzen?
AP = b⋅h b ; b = A :h b
2
b = 9 cm :3,6 cm
b = 2,5 cm
1.2. Flächeninhalt des Dreiecks
C
Jedes Dreieck kann als halbes Parallelogramm aufgefasst werden.
Damit gilt für jedes Dreieck mit den Seiten a, b und c:
hb
b
1
1
1
A = ⋅a⋅ha = ⋅b⋅h b = ⋅c⋅h c
2
2
2
ha
A
a
hc
c
B
Bsp.:
Ein Dreieck ABC mit den Seiten a = 4 cm und c = 6cm besitzt die Höhe ha = 4,2cm.
Wie groß ist die Höhe hc?
A = 1⋅a⋅ha
2
A =
1
⋅4 cm⋅4,2 cm =
2
2
8,4 cm
A = 1 c⋅h c
2
hc =  2⋅A  :c
2
hc = 16,8 cm : 6 cm
hc = 2,8 cm
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1.3. Flächeninhalt des Trapezes
Jedes Trapez mit den parallelen Seiten a und c kann als
a
D
halbes Parallelogramm mit der Grundseite a+c
c
C
aufgefasst werden.
Damit ergibt sich:
A Tr =
1
⋅a c⋅h
2
c
A
b
h
d
a
B
Bsp:
•
Ein Trapez mit den parallelen Seiten a = 4 cm und c = 6 cm besitzt einen Flächeninhalt
von 12 cm².
Welchen Abstand besitzen die parallelen Seiten?
A = 1⋅ac⋅h
2
12 cm 2 = 1 ⋅ 4 cm6 cm⋅h
2
2
12 cm = 5 cm⋅h
2
h = 12 cm :5 cm
h = 2,4 cm
•
Zwischen zwei parallel verlaufenden Straßen, die einen Abstand von 1,2 km besitzen, liegt ein
trapezförmiges Grundstück mit einem Flächeninhalt von 18 ha. An eine Straße grenzt das
Grundstück mit einer Länge von 200 m an. Wie lang ist die Seite des Grundstücks an der
anderen Straße?
A = 1⋅ac⋅h
2
18 ha = 1⋅200mc⋅1,2 km
2
18 ha = 200 mc ⋅600m
2
180000m :600 m = 200 mc
300m – 200m = c
c = 100 m
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1.4. Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren
Δ1
Δ2
1cm
1cm
1
1
2
2
2
2
A = A 1 A P  A 2 = ⋅4 cm⋅3 cm 4 cm⋅5cm ⋅4 cm⋅2,5 cm = 6 cm 20 cm 5 cm = 31 cm
2
2
1.5. Oberflächeninhalt von Körpern
Der Oberflächeninhalt eines Körpers ist der Flächeninhalt seines Netzes.
Bsp.:
Ein gerades dreiseitiges Prisma ist 6cm hoch und besitzt als Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck.
Die den rechten Winkel einschließenden Seiten sind 3 cm und 4 cm lang.
Zeichne ein Netz und berechne die Oberfläche des Prismas.
Netz:
5cm
4cm
3cm
3cm
5cm
6cm
Berechnung der Oberfläche:
O Pr = 2⋅1⋅4 cm⋅3 cm4 cm3 cm5 cm⋅6 cm = 12 cm 72 cm = 84 cm
2
2
2
2
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2. Volumen
2.1. Volumeneinheiten
Kubikmillimeter
1 mm³
Kubikzentimeter
1 cm³ = 1000 mm³
Kubikdezimeter
1 dm³ = 1000 cm³
Kubikmeter
1 m³
Kubikkilometer
1 km³ = 1000 m⋅1000 m⋅1000 m = 1000 000 000m³
Milliliter
1ml
= 1 cm³
Liter
1l
= 1000 ml = 1 dm³ = 1000 cm³
Hektoliter
1hl
= 100l = 0,1m³
Umrechnungsfaktor 1000
= 1000 dm³
Umrechnung von Volumeneinheiten:
7530000 cm3
= 7 m³ 530 dm³= 7,53 m³
80004 mm³ = 80 cm³ 4 mm³
2030,075 l
= 2 m³ 30 l 75 ml
10709,32 dm³ = 10 m³ 709 dm³ 320 cm³
Rechnen mit Volumeneneinheiten
18 m³ 25 cm³ – 3 dm³ 65 cm³ = 18000,025 dm³ – 3,065 dm³= 17996,96 dm³
12m³ : 40dm³ = 12000 dm³ : 40 dm³ = 300
2 m³ : 80 cm
= 2000 dm³ : 8 dm = 250 dm²
56 l : 70 cm² = 56000 cm³ : 70 cm² = 800 cm = 8 m
2.2. Volumen von Würfel und Quader
s
c
a
VQ = a⋅b⋅c
b
s
s
V W = s⋅s⋅s = s
3
Bsp.:
•
In einem quaderförmigen Becken, das 2,4 m lang und 75 cm breit ist, steht das Wasser 60 cm
hoch. Wieviel Liter Wasser befinden sich in dem Becken?
3
3
Vwasser = 240 cm⋅75 cm⋅60 cm = 1080000 cm = 1080 dm = 1080 l
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•
Ein Würfel aus Blei mit einer Kantenlänge von 12 cm wird eingeschmolzen und zu einer
quaderförmigen Platte gegossen, die 80 cm lang und 30 cm breit ist. Wie hoch ist die Platte?
V W = 12 cm⋅12 cm⋅12 cm = 1728 cm
3
VQu = l⋅b⋅h
3
1728 cm = 80cm⋅30cm⋅h
3
2
1728 cm = 2400 cm ⋅h
3
2
h = 1728 cm :2400 cm
h = 0,72 cm = 7,2mm
•
Ein Würfel besitzt ein Volumen von 64cm³. Welche Oberfläche hat der Würfel?
3
3
V W = s⋅s⋅s = 64 cm = 4cm
s = 4cm
2
2
2
O W = 6⋅s = 6⋅4 cm⋅4 cm = 6⋅16cm = 96cm
2.3. Volumen des Prismas
VPr = G⋅h
h
G ist dabei der Flächeninhalt der Grundfläche.
G
Bsp.:
Ein Goldbarren besitzt folgende Form:
2cm
8cm
1,5cm
4cm
a) Welches Volumen besitzt der Goldbarren?
VPr = G⋅hPr
VPr = 1 ⋅ 4 cm2 cm⋅1,5 cm⋅8 cm = 4,5 cm ⋅8 cm = 36 cm
2
3
2
b) Welche Masse besitzt der Goldbarren, wenn 1cm³ Gold 19,3g wiegt?
3
m = 36 cm ⋅19,3
g
= 694,8 g
cm 3
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III. Stochastik
1. Zufallsexperimente
Erkennungsmerkmale eines Zufallsexperimentes:
Bei der Durchführung des Experimentes gilt:
1. Es wird genau ein Ergebnis von mehreren möglichen Ergebnissen eintreten.
2. Welches Ergebnis eintreten wird, lässt sich nicht vorhersagen.
Bsp.:
Das Werfen eines Würfels ist ein Zufallsexperiment: Eine der Augenzahlen 1,2,3,4,5 oder 6
•
wird erscheinen, welche, lässt sich nicht voraussagen.
Das Messen der Höhe eines bestimmten Tisches ist kein Zufallsexperiment – das Ergebnis
•
wird jedesmal die Höhe des Tisches sein.
Das Befragen der Schüler in einer beliebigen Klasse nach ihrer Lieblingssportart ist ein
•
Zufallsexperiment – bei einer unbekannten Klasse kann das Ergebnis nicht vorhergesagt
werden.
2. Relative Häufigkeit
Ein Zufallsexperiment wird n-mal durchgeführt.
Die absolute Häufigkeit z gibt an, wie oft ein bestimmtes Ergebnis auftritt.
Die relative Häufikeit der Treffer gibt an, wie groß der Anteil der Treffer an der Gesamtzahl der
Versuche ist.
absolute Häufigkeit z
Relative Häufigkeit h =
Gesamtzahl n
Bsp:
Ein Würfel wird 100 mal geworfen, die 1 erscheint 19 mal.
•
Die relative Häufigkeit h(1) ist somit
19
100
= 0,19 = 19%
Eine Münze wird 30 mal geworfen, „Zahl“ erscheint 12 mal.
•
Die relative Häufigkeit h(„Zahl“) ist somit
12
30
= 0,4 = 40%
3. Wahrscheinlichkeit
Bei einem Zufallsexperiment weist man einzelnen Ergebnissen bestimmte „Chancen“ des Auftretens
zu. Statt von Chancen spricht man in der Mathematik von Wahrscheinlichkeiten.
So nimmt man bei einem symmetrischen Würfel an, dass jede Augenzahl mit einer Wahrscheinlichkeit
von
1
6
gewürfelt wird, und beim Werfen einer Münze treten „Kopf“ und „Zahl“ mit einer
Wahrscheinlichkeit von 50% auf.
Dabei gilt das
Empirische Gesetz der großen Zahlen
Wird ein Zufallsexperiment sehr oft ausgeführt, dann stabilisieren sich für jedes Ergebnis die
relativen Häufigkeiten um einen bestimmten Wert.
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