TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
D R . VANESSA K RUMMECK
Lineare Algebra I für Lehramt Gymnasium (Wintersemester 2011/12)
— Aufgabenblatt 10 (23. Dezember 2011) —
— Präsenzaufgaben —
Aufgabe 56. Darstellungsformen komplexer Zahlen.
Eine komplexe Zahl z ∈ C lässt sich darstellen in
• Normalform oder kartesischer Form:
z = a + ib mit a, b ∈ R
• trigonometrischer Form:
z = r(cos ϕ + i sin ϕ) mit r, ϕ ∈ R
• Exponentialform:
z = reiϕ mit r, ϕ ∈ R
Das Tupel (a, b) beschreibt die kartesischen Koordinaten der komplexen Zahl z in der Gaußschen Zahlenebene R × iR. Das Tupel (r, ϕ) gibt die komplexe Zahl z in Polarform an, wobei r ∈ R+
0 und ϕ aus einem
Intervall der Länge 2π gewählt werden können.
1.) Wie lassen sich kartesische Form und Polarform einer komplexen Zahl ineinander umrechnen ?
2.) Geben Sie folgende komplexe Zahlen in allen drei möglichen Darstellungsformen an:
p
√
√
2
a) 2ei 3 π
b) 3 + 4i
c) −( 5 + 1) − i 10 − 2 5
3.) Welche Vorteile haben die verschiedenen Darstellungen beim Rechnen mit komplexen Zahlen ?
Aufgabe 57. Polynomring.
Sei (R, +, ·) ein Ring und
R[x] :=
( n
X
)
i
ai x n ∈ N , ai ∈ R
i=0
die Menge aller Polynome in x mit Koeffizienten aus R.
Den höchsten Exponenten eines Polynoms p mit nicht verschwindendem Koeffizienten nennt man grad(p)
und identifiziert für n < m
a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + an+1 xn+1 + · · · + am xm ∧ an+1 = · · · = am = 0
mit
a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn .
Zeigen Sie, dass (R[x], +, ·) bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation von Polynomen ein Ring
ist.
Hinweis: Der explizite Nachweis der Assoziativität der Multiplikation darf weggelassen werden.
Aufgabe 58. Nullstellenbestimmung.
Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt: Jedes reelle Polynom p ∈ R[X] vom Grad grad(p) = n ≥ 1
besitzt mindestens eine Nullstelle ξ ∈ C (d.h. p(ξ) = 0). Nach Aufgabe 15.5 (Blatt 3) ist dann auch die
zu ξ konjugierte Zahl ξ Nullstelle von p (d.h. p(ξ) = 0).
1.) Folgern Sie daraus, dass jedes Polynom p ∈ R[X] mit ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.
2.) Zeigen Sie, dass ξ = 2 dreifache Nullstelle der Polynome
f (x) := x5 − 8x4 + 21x3 − 14x2 − 20x + 24
und
g(x) := x5 − 8x4 + 27x3 − 50x2 + 52x − 24
ist. Bestimmen Sie auch die übrigen Nullstellen von f (x) und g(x).
— Hausaufgaben —
Aufgabe 59. Kommutative, aber nicht assoziative Verknüpfung.
Die Menge R ist mit der üblichen Addition „ + “ und der üblichen Multiplikation „ · “ ein Körper.
Zeigen Sie: Die Verknüpfung


   
a2 · b3 + a3 · b2
b1
a1
} : R3 → R3 mit a2  } b2  := a1 · b3 + a3 · b1 
a1 · b2 + a2 · b1
b3
a3
ist kommutativ, aber nicht assoziativ.
Aufgabe 60. Sehr komplex.
1.) Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form z = a + ib mit a, b ∈ R:
2+i
1+i 4
1 + i 10
(2 − 2i)(1 + 3i) + (1 + i)(2 + 3i)
a.)
b.) √
.
c.)
d.)
3 + 4i
1−i
(3 + i)(1 − i) + (2 − i)(1 + 3i)
2
2.) Bestimmen Sie alle n ∈ N, für die gilt:
(1 + i)n + (1 − i)n = 0.
Aufgabe 61. Eingeschränkter Taschenrechner.
Sie haben sich einen neuen Taschenrechner gekauft, der auch mit komplexen Zahlen rechnen kann. Er kann
addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren (natürlich nicht durch 0). Er hat auch eine Taste für
die Exponentialfunktion. Leider stellen Sie zu Hause fest, dass der Rechner keine Tasten für sin, cos und
tan besitzt.
Wie können sie dennoch mit ihrem Taschenrechner die Werte von sin(x), cos(x), tan(x) für gegebenes
x ∈ R bestimmen? Ändert sich etwas an der Berechnung, wenn x ∈ C?
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*sing* We wish you a MERRY CHRISTMAS *sing* We wish you a MERRY CHRISTMAS *sing*
*sing* We wish you a MERRY CHRISTMAS *sing* and a HAPPY NEW YEAR !!! *sing*
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Abgabe der Hausaufgaben:
am Dienstag, 17.01.2012, zu Beginn der Vorlesung - Rückmeldung zu Präsenz- und Hausaufgaben von
Blatt 9 und 10 bis Donnerstag, 12.01.2012, 16:00 Uhr. Da in der einen Tutorgruppe am Freitag, dem
13.01.2012 die Präsenzaufgaben der beiden Blätter 9 und 10 besprochen werden (müssen), sei Ihnen
das Feedback in Ihrem eigenen Interesse nochmals explizit ans Herz gelegt.