Dreiecksbeziehungen im Rechteck

Dreiecksbeziehungen im Rechteck
Einem Rechteck ABCD wird ein Dreieck UVD einbeschrieben, wobei U auf AB und V auf BC
liegen. Auf diese Weise entstehen drei weitere Dreiecke im Rechteck. Die vier Dreiecke haben die
Inhalte FA , FB, FC und FD . Das Rechteck habe die Seitenlängen 1 und k.
1. Gibt es ein Rechteck in dem U und V so festgelegt werden können, dass die vier Dreiecke den
gleichen Flächeninhalt haben? Dies ist nicht möglich wie z.B. folgende Überlegung zeigt:
k
k
Aus FA =
und FC =
folgt, dass U und V jeweils auf der Seitenmitte liegen müssen.
4
4
k
k
Somit gilt FB =
und daher Fc > .
8
4
2. Welche Bedingungen gelten für U und V , wenn wenigstens gilt: FA = FB = FC ?
k
D
C
γ
FC
1-y
β
1
V
FD
FA
FB
y
α
A
k - kx
U
kx
B
U teile AB in Strecken der Längen |AU| = k-kx und |UB| = kx auf. V teile BC in Strecken der
Länge y und 1-y auf. Aus FA = FC folgt k(1-x) = k(1-y) und somit x = y
5 −1
Aus FA = FB und x = y folgt k(1-x) = kx2 und somit x =
.
2
1
Ist g der goldene Schnitt mit g2 = g+1 so ist x = g - 1 = . Für die Strecke der Länge |VC| = 1- x
g
1
gilt dann 1 - x = 1 - (g - 1) = 2 - g =
. Damit teilt V die Strecke BC im Verhältnis g:1 , d.h.
g2
im goldenen Schnitt. Entsprechendes gilt daher auch für den Punkt V auf AB.
k
k
1
1
Insgesamt ergibt sich |AU| =
, |UB| = , |BV| = und |VC| =
2
g
g
g2
g
Für die Flächeninhalte folgt dann (ebenfalls ohne Maßeinheit)
k
g
3− 5
F A = FB = FC =
= (1 − ) k = (1 − cos 36° )k =
k ≈ 0.191k
2
4
2g 2
g
3
( 3 5 − 5)
Für FD folgt also FD = k − 3(1 − )k = ( g − 2) k = ( 3 cos 36° − 2) k =
k ≈ 0.427k
2
2
4
Es gilt weiter FD = 5 FA .
Die Flächenanteile sind unter den gegebenen Bedingungen also alle unabhängig von der
Rechtecksform!
Haben im Rechteck ABCD mit dem Seitenlängen 1 und k die Dreiecke ∆ AUD , ∆ UBV und
∆ VCD gleichen Flächeninhalt, dann teilen U und V teilen die Rechteckseiten im goldenen Schnitt
1
1
1
1
g, wobei für g gilt
= g − 1 und
= 2 − g und somit +
=1
g
g g2
g2
Die Dreiecke ∆ AUD , ∆ UBV und ∆ VCD haben dann ( ohne Maßeinheit) jeweils den Flächeninhalt
k
3− 5
k
F =
bzw. F =
=
k ≈ 0.191 k
2
4
3+ 5
2g
Satz:
Haben im Rechteck ABCD die Dreiecke ∆ AUD , ∆ UBV und ∆ VCD gleichen
Flächeninhalt, dann gilt cot α + cot β = cot γ . (s. Bild)
D
ε0
k
ε5
γ
C
1
g2
ε4
β
V
ε3
1
1
g
ε1 α
A
k
g2
ε2
k
g
U
B
Für die folgenden Tangensberechnungen werden nebenstehende Formeln verwendet:
tan( δ1 + δ 2 ) =
tan δ1 + tan δ 2
1 − tan δ1 ⋅ tan δ 2
;
tan(180° − δ) = − tan δ und
tan( 90° − δ) = cot δ
Mit den Tangenswerten der Winkel ε i können die Tangens- bzw. Cotangenswerte der Winkel
α, β und γ bestimmt werden.
tan ε1 =
g2
k
tan α = − tan( ε1 + ε 2 ) =
tan ε 2 =
g2 1
+
k
k
−
g2
1−
k2
k ( g 2 + 1)
=
g2 − k2
k ≠g
,
1
k
tan ε 3 = k
tan β = − tan( ε 3 + ε 4 ) = −
k + g 2k
1 − g 2k 2
=
k( g 2 + 1)
g 2k 2 −1
tan ε 4 = g 2 k
tan ε 5 =
1
g 2k
k
cot γ = tan( ε 5 + ε 0 ) =
tan ε 0 =
g2
+
1−
1
g2 k
k
=
g 2 (k 2 + 1)
k ( g 4 − 1)
=
5 (k 2 + 1)
5k
g 4k
k
g2
g2 − k 2 + g 2 k 2 −1
1
1
(g 2 − 1) ⋅ (k 2 + 1)
(g 2 − 1) 2 ⋅ (k 2 + 1)
+
=
=
=
tan α tan β
k (g 2 + 1)
k (g 2 + 1)
k (g 4 − 1)
Wegen g 2 − 1 = g kann dies umgeformt werden zu
1
1
g 2 ( k 2 + 1)
+
=
= cot γ ; d.h. es gilt
4
tan α
tan β
k (g − 1)
cot α + cot β = cot γ
Sonderfälle:
5
, d.h. α = β ≈ 65.9° und γ max ≈ 48.19°
2
Auch für k = g ist das Dreieck UVD gleichschenklig: Basis VD und rechter Winkel bei U !
Im Quadrat gilt tan α = tan β = 5 und tan γ =