¨Ubung zur Vorlesung Statistik I WS 2013

Übung zur Vorlesung Statistik I
WS 2013-2014
Übungsblatt 12
20. Januar 2014
Die folgenden Aufgaben sind aus ehemaligen Klausuren!
Aufgabe 38.1 (1 Punkt: In einer Studie werden 10 Patienten therapiert. Die
Heilungswahrscheinlichkeit sei 50%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
A
die letzten drei Patienten alle geheilt werden?
B
mindestens zwei der letzten drei Patienten geheilt werden?
C
der erste, der letzte und von den übrigen weitere 3 geheilt werden?
Lösung:
A
1
8
B
1
8
C
1
4
+ 3 81 = 48 =
8 1
7
= 128
3 256
1
2
Aufgabe 38.2 (1 Punkte):
A
Beschreiben Sie mit Hilfe eines Laplace Wahrscheinlichkeitsraums das
dreimalige Werfen einer unverfälschten Münze. Geben Sie die Elemente
dieses Raums und die Wahrscheinlichkeit für jedes Element explizit an.
B
Obiges Experiment werde beschrieben durch drei unabhängige Zufallsvariablen Xi , i = 1, 2, 3, jeweils mit Xi = −1 für Zahl und Xi = +1 für
Kopf beim i-ten Wurf. Wie lautet die Bildmenge und Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsvariable S = X1 + X2 + X3.
Lösung:
A
1 stehe für “Kopf“ und −1 für “Zahl“.
Ω = {(1, 1, 1), (−1, 1, 1), (1, −1, 1), (−1, −1, 1),
(1, 1, −1), (−1, 1, −1)(1, −1, −1), (−1, −1, −1)}
Da Ω Laplace Raum ist, hat jedes Element von Ω die Wahrscheinlichkeit
1
= 81 .
|Ω|
B
Bildmenge:
B = {3, 1, −1, −3}.
1
8
3
P(1) =
8
3
P(−1) =
8
1
P(−3) =
8
P(3) =
Aufgabe 38.3 (1 Punkt):
A
Die Wahrscheinlichkeit, beim Wurf eines fairen Würfels eine 1 zu würfeln, ist 16 . In drei Versuchen würfelt man genau zweimal eine 1. Wie
wahrscheinlich ist es, dass man beim ersten mal eine 1 gewürfelt hat?
B
Wie wahrscheinlich ist es, dass man beim ersten mal eine 1 gewürfelt
hat, wenn bekannt ist, dass man beim dritten mal eine 1 gewürfelt hat?
Lösung:
A
A: Unter den drei Würfen befinden sich genau 2 mal die 1.
B: Der erste Wurf ist eine 1.
Gefragt ist nach der bedingten Wahrscheinlichkeit
P(B|A) =
P(B ∩ A)
P(A)
Durch Abzählen der Elementarereignisse im zugehörigen Laplaceraum
erhält man:
5
P(B ∩ A) =
108
und
15
P(A) =
.
216
Daraus folgt
P(B ∩ A)
2
P(B|A) =
= .
P(A)
3
B
Jetzt definiert man:
C: Unter den drei Würfen befinden sich genau 2 mal die 1 und der dritte
Wurf ist eine 1.
B: Der erste Wurf ist eine 1.
Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit:
P(B|C) =
P(B ∩ C)
P(C)
Es gilt
P(B ∩ C) =
und
P(C) =
5
216
10
.
216
Daraus folgt
P(B|C) =
Aufgabe 38.4 (1 Punkt):
P(B ∩ C)
1
= .
P(C)
2
A
Eine Zufallsvariable X hat Erwartungswert 3 und Varianz 9. Bestimmen
Sie Erwartungswert, Varianz und Streuung (Standardabweichung) der
Zufallsvariablen 3 ∗ X + 3.
B
Eine Zufallsvariable Y nimmt nur die Werte 0 und 1 an. Y hat Erwartungswert 0.2. Berechnen Sie Varianz und Streuung von Y .
Lösung:
A
E(3 ∗ X + 3) = 3E(X) + 3 = 12
Var(3 ∗ X + 3) = Var(3 ∗ X) = 9 ∗ Var(X) = 81
p
σ(3 ∗ X + 3) = Var(3 ∗ X + 3) = 9
B
Y ist binomialverteilt mit einer Versuchswiederholung. Damit gilt ganz
allgemein
E(Y ) = p,
Var(Y ) = p(1 − p)
und
σ(Y ) =
p
p(1 − p).
Aus p = 0.2 folgt damit Var(Y ) = 0.2 ∗ 0.8 = 0.16 und σ(Y ) = 0.4.
Aufgabe 38.5 (1 Punkt): Eine Zufallsvariable X habe Erwartungswert 3
und Standardabweichung 4. Eine Zufallsvariable Y habe Erwartungswert 4
und Standardabweichung 3. Angenommen die Zufallsvariable X + Y habe
A
Erwartungswert 7 und Standardabweichung 5
B
Erwartungswert 7 und Standardabweichung 7
C
Erwartungswert 7 und Standardabweichung 9.
Geben Sie für jeden der drei Fälle an, ob die beiden Zufallsvariablen unabhängig sein können (mit Begründung).
Lösung: Sind X und Y unabhängig, dann gilt
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) = 9 + 16 = 25.
Die Standardabweichung von X + Y muss also 5 sein. Damit können nur in A
X und Y unabhängig sein.
Aufgabe 38.6 (1 Punkt): Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Zufallsexperiment das Ereignis X < 5 zu erhalten, sei 0.05, die Wahrscheinlichkeit X > 5 zu
erhalten sei ebenfalls 0.05. Kann die Zufallsvariable mit einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung verteilt sein? (Begründung!)
Lösung: Nein! Da
1 = P(X < 5) + P(X = 5) + P(X > 5)
und damit
P(X = 5) = 0.9
gilt, macht die Verteilungsfunktion bei 5 einen Sprung der Höhe 0.9. Sie ist damit nicht stetig. Bei stetigen Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit einzelner
Punkte immer 0.
Aufgabe 38.7 (1 Punkt): Die Funktion f ist stetig, symmetrisch zur yAchse und größer gleich Null. Es gilt für f : Das Integral von −∞ bis −3 ist
0.2 und das Integral von −3 bis +3 ist 0.6. Kann f eine Dichtefunktion sein?
Begründen Sie Ihre Antwort.
Lösung: Ja! Da das Integral von 3 bis ∞ wegen der Symmetrie von f auch 0.2
sein muss, ist das Integral von f über die gesamte reelle Achse gleich 1.
Aufgabe 38.8 (1 Punkt): Berechnen Sie für eine poissonverteilte Zufallsvariable X mit Erwartungswert λ die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass
X ≥ 2 ist, wenn X ≥ 1 ist.
Lösung:
P(X ≥ 2|X ≥ 1) =
P(X ≥ 2 und X ≥ 1)
P(X ≥ 2)
1 − e−λ − λe−λ
=
=
.
P(X ≥ 1)
P(X ≥ 1)
1 − e−λ
Aufgabe 38.9 (1 Punkt): Es sei S die Summe zweier unabhängiger poissonverteilter Zufallsvariablen mit Parameter λ1 und λ2 . Man kann beweisen, dass
dann S wieder poissonverteilt ist. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass S = 0 ist.
Lösung: Seien X und Y unabhängig und poissonverteilt mit Erwartungswerten
λ1 und λ2 .
P(X + Y = k) =
k
X
i=0
e−λ1
λi1 −λ2 λk−i
2
e
i!
(k − i)!
−(λ1 +λ2 )
= e
k
(k−i)
X
λi1 λ2
i!(k − i)!
i=0
k
e−(λ1 +λ2 ) X i (k−i)
k!
λ1 λ2
k!
i!(k − i)!
i=0
k
e−(λ1 +λ2 ) X i (k−i) k
=
λ1 λ2
k!
i
i=0
=
= e−(λ1 +λ2 )
(λ1 + λ2 )k
k!
Im letzten Schritt wird die allgemeine Binomische Formel
k X
k i k−i
(a + b) =
ab
i
i=0
k
angewandt. Das beweist, dass S = X + Y poissonverteilt mit Erwartungswert
λ1 + λ2 ist. Demnach ist
P(S = 0) = e−(λ1 +λ2 ) .
Aufgabe 38.10 (1 Punkt): Als Normbereich bezeichnet man bei diagnostischen Tests diejenigen Messwerte, die dafür sprechen, dass der/die Getestete
gesund ist (=negatives Testresultat). Beurteilen Sie die folgenden Aussagen:
A
Wenn der Normbereich verkleinert wird, steigt die Spezifität.
Richtig oder falsch?
B
Wenn der Normbereich verkleinert wird, steigt die Sensitivität.
Richtig oder falsch?
(Es wird davon ausgegangen, dass durch die Änderung des Normbereichs sich
für mindestens einen Kranken und mindestens einen Gesunden das Testergebnis ändert.)
Lösung:
A
Falsch.
B
Richtig.
Folgt direkt aus den Definitionen von Sensitivität und Spezifität.
Aufgabe 38.11 (1 Punkt): Bei einem Patienten verlief ein klinischer Test
positiv. Sollte es den Patienten eher beunruhigen, wenn er erfährt, dass die
Sensitivität des Tests niedrig ist oder wenn er erfährt, dass die Spezifität des
Tests niedrig ist?
Lösung: Irgendwie ist zwar alles in der Medizin beunruhigend, aber wenn die
Spezifität des Tests gering ist, dann ist auch der positive prädiktive Wert eher
klein. D.h. ein positiver Test bedeutet nur mit mäßiger Wahrscheinlichkeit,
dass der Patient auch wirklich krank ist. Es besteht also noch eine gewisse
Hoffnung!.
Aufgabe 38.12 (1 Punkt): Füllen Sie die vier Lücken aus.
Ein Fehler erster Art wurde begangen, wenn die Nullhypothese
aber nach der Studie die Alternative
wurde.
Ein Fehler zweiter Art wurde begangen, wenn die Nullhypothese
aber nach der Studie die Alternative
wurde.
war,
war,
Lösung:
Ein Fehler erster Art wurde begangen, wenn die Nullhypothese wahr war, aber
nach der Studie die Alternative angenommen wurde.
Ein Fehler zweiter Art wurde begangen, wenn die Nullhypothese falsch war,
aber nach der Studie die Alternative nicht angenommen wurde.
Aufgabe 38.13 (1 Punkt): Verifizieren Sie die folgenden Aussagen:
A
Die Power einer Studie steigt, wenn bei sonst gleichen Rahmenbedingungen die Fallzahl verdoppelt wird.
Richtig/falsch?
B
Die Power einer Studie steigt, wenn bei sonst gleichen Rahmenbedingungen das Signifikanzniveau verdoppelt wird.
Richtig/falsch?
C
Die Power einer Studie steigt, wenn bei sonst gleichen Rahmenbedingungen der wahre Effekt verdoppelt wird.
Richtig/falsch?
Lösung:
A
Richtig.
B
Richtig.
C
Richtig.
Aufgabe 38.14 (1 Punkt): Ziel einer Studie ist die Senkung des Blutdrucks.
Die Patienten werden zufällig auf zwei Medikamente A und B verteilt. Der
Blutdruck wird unmittelbar vor Beginn der Studie und nach drei Wochen
Therapie gemessen. Die Werte werden stetig gemessen und sind normalverteilt. Dasselbe gilt für Differenzen der Werte. Mit welchem statistischen Test
bzw. welcher statistischen Methode wird geprüft,
A
ob sich die beiden Gruppen am Anfang unterschieden,
B
ob die Werte am Ende der Studie für die Patienten insgesamt unterschiedlich zu den Werten am Anfang der Studie waren,
C
ob sich die beiden Gruppen am Ende unterschieden,
D
ob die Differenz “Messung nach drei Monaten minus Anfangswert“ in den
Gruppen unterschiedlich war,
E
ob ein Zusammenhang zwischen den Werten am Anfang und am Ende
besteht?
Lösung:
A
t-Test für unabhängige Stichproben.
B
t-Test für abhängige Stichproben.
C
t-Test für unabhängige Stichproben.
D
t-Test für unabhängige Stichproben.
E
Korrelations- und Regresionsanalyse.
Aufgabe 38.15 (1 Punkt): Die Prüfgröße des Chi-Quadrat Tests lautet:
X (Beobachtete Häufigkeit - Erwartete Häufigkeit)2
X=
Erwartete Häufigkeit
Zellen
In einer Studie kam es zu folgenden Ergebnissen:
krank gesund gesamt
Therapie A
40
60
100
Therapie B
110
90
200
War das Ergebnis auf dem 5% Niveau (zweiseitig) signifikant? (Kritischer Wert:
3.84)
Lösung: X = 6, also signifikant auf dem Niveau 5%.
Aufgabe 38.16 (1 Punkt):
A
Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen mit Varianz σ12 bzw. σ22 .
Berechnen Sie die Varianz von X − Y und X + Y .
B
X werde in m (Meter) und Y in kg gemessen. Welche Einheiten tragen
die Cov(X, Y ), die Pearson Korrelation und die Spearman Korrelation
von X und Y ?
Lösung:
A
Var(X−Y ) = Cov(X−Y, X−Y ) = Var(X)−Cov(X, Y )−Cov(Y, X)+Var(−Y ) = σ12 +σ22
und
Var(X+Y ) = Cov(X+Y, X+Y ) = Var(X)+Cov(X, Y )+Cov(Y, X)+Var(Y ) = σ12 +σ22
B
Die Kovarianz wird in mkg gemessen. Die beiden Korrelationskoeffizienten sind dimensionslos.
Schicken Sie Ihre Lösung bis spätestens Sonntag, den 26.1.2014 direkt an
Ihre(n) Tutor(in):
[email protected] (Franziska Metge).
[email protected] (Konrad Neumann)
[email protected] (Ivo Parchero)