AB1267L-Gschief, Layout 1 - eMail: hallo@arno

PMa-1267 - Zufall und Wahrscheinlichkeit
GALTON schief
... Lösungen
PMa-AB1267L
Name:
Reihe
0
1
1
1
2
e ☞X(e)1
3
1
4
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
51.) Das Gegenereignis "Bei1den 8 Versuchen
5
10ist keine
10 1 dabei"
5 : 8x1Würfeln -> n = 8; k = 0
( 0)=
6 8
1
--> 1
7
P6 = 1
*
15
(5/6)
8
* 20
(1/6)
15
1
= 0,23266 -> 23,26%
35
21
7
1
0
1
7
21
35
_
P = 1 - P = 07674 ==> P = 76,74%
Antw.: Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 8 Versuchen mindestens einmal die "1" gewürfelt wird,
liegt bei ca. 77%.
9
Da haben wir nun die drei Herren beisammen: Bernoulli knobelt an Zufalls-Experimenten mit nur
genau zwei Möglichkeiten (und gleichbleibender Wahrscheinlichkeit - z.B. Münze werfen),
2a.) p = 0,5 n = 10 k = 5
dazu bastelt Galton sein Galton-Brett, das dies sehr gut veranschaulicht, und Pascal liefert mit
---> P = 252*0,03125*0,03125 = 0,246 -> 24,6%
seinem Pascalschen Dreieck die Anzahl der Pfade, die zu jedem der Töpfe führen.
Wirklich genau 5x hat nur eine Wahrscheinlichkeit von ≈25%
Nur - nicht alle Zufälle gehen fifty-fifty aus. Z.B. bei einem Würfel kann es heißen "1" oder "keine 1",
da
sind pdann
die Wahrscheinlichkeiten
1/6 für die "1" und 5/6 für "keine 1".
2b.)
= 0,5
n = 10 k = 4
2b.) p = 0,5 n = 10 k = 6
MERKE: Die Pfade sind da, aber sie werden nicht mit gleicher Wahrscheinlichkeit benutzt!
Deshalb
nun zu "n über
k" noch ->
die20,5%
Wahrscheinlichkeiten für die beiden Möglichkeiten, das
---> P =kommen
210*0,0625*0,0156
= 0,2051
---> P = 210*0,0156*0,0625 = 0,2051 -> 20,5%
ist p und (1-p) . Weil es hier nur zwei Möglichkeiten gibt, ist also die zweite Möglichkeit das Gegenn
Ereignis zur ersten Möglichkeit.
k
P=
* p * (1-p)(n-k)
2c.) 24,6% + 20,5% + 20,5% = 65,6%
k
Bernoulli-Formel:
Antw.: Mit etwa 65% Wahrscheinlichkeit kommt es zu
"4-, 5- oder 6-mal Zahl".
1.) Mit dem Würfel geht es nun um "1" oder "nicht 1", die Wahrscheinlichkeiten sind also 1/6 und 5/6.
2d.)
p =achtmal
0,65 ngewürfelt
= 10 k werden.
=5
---> P =ist
252*0,116*0,005252
= man
0,1535
-> der
15,35%
Es soll
Der Würfel
nicht gezinkt, da kann
ja aus
Erfahrung
p
=
0,65
n
=
10
k
=
6
--->
P
=
210*0,0754*0,015
=
0,2375
->
23,75%
heraus annehmen, dass bei diesen 8 Versuchen wahrscheinlich mindestens einmal die "1" dabei ist.
= 0,65
n = 10 kist
= 7denn das nun?
--->(Tip:
P = Gegenereignis
120*0,049*0,0429
= 0,2522
-> 25,22%
Aberpwie
wahrscheinlich
ist "keine
1")
1
( )
+ 23,75%
25,22%
= 64,32%
2.)15,35%
Eine Münze
wird+ 10mal
geworfen.
Die Wahrscheinlichkeit für "Zahl" und "Wappen" ist jeweils 1/2.
A.:DaDie
Wahrscheinlichkeit
für
"5-,
6- oder
beträgt
ca.nur
64%.
erwartet man doch jetzt 5mal die
Zahl;7-mal
naja, Oberseite"
vielleicht sind
es auch
4x Zahl und 6x Wappen.
a) Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit,
bei
10
Würfen
genau
5mal
"Zahl"
zu
erhalten?
n
k
(n-k)
2e.)
P=
* 0,65 * (0,35)
Anm.: Im Gegensatz zu
k auch noch "4x Zahl" und
b) Wir lassen jetzt
k=
P=
PASCAL ist hier ---->
"6x Zahl" gelten. Berechne die Wahrschein"0 mal Oberseite": 1*1*0,0000276 =
0,00276%
der "Berg" nicht mehr
lichkeiten dieser
beiden Ergebnisse!
"1 mal Oberseite":
10*0,65*0,0000788
=
0,05%
20%
in der Mitte!
c)
Mit
welcher
Wahrscheinlichkeit
kommt
es
"2 mal Oberseite": 45*0,4225*0,000225 = 0,43%
nun zu dem Ereignis
"4-, 5- oder 6-mal
Zahl"?
"3 mal Oberseite":
120*0,2746*0,000643
= 2,12%
d)
Statt
der
Münze
wird
jetzt
ein
Knopf
"4 mal Oberseite": 210*0,1785*0,00184 =
6,89%
geworfen, bei
dem die Wahrscheinlichkeit
"5 mal Oberseite":
252*0,116*0,005252
= 15,35%
für "Oberseite"
65% beträgt. =
"6 mal Oberseite":
210*0,0754*0,015
23,75%
Wie groß ist120*0,049*0,0429
hier die Wahrscheinlichkeit
für 10%
"7 mal Oberseite":
=
25,22%
das Ereignis 45*0,0319*0,1225
"5-, 6- oder 7-mal Oberseite"?
"8 mal Oberseite":
=
17,58%
Stelle die Wahrscheinlichkeiten
"9 male)Oberseite":
10*0,0207*0,35 = für die
7,25%
"0-mal
Oberseite",
"10malErgebnisse
Oberseite":
1*0,01346*1
= "1-mal Ober1,34%
seite",
...bis...
"10-mal
Oberseite"
in
dem
k
Anm.: Das Produkt der Wahrscheinlichkeiten, also 0,65 * (0,35)(n-k)
k
0%
Diagramm
als Säulen
dar! (Beachte
beim
kann auch in
anderer Reihenfolge
geschrieben
werden, d.h.
Was
"p"Video
und-was
ist "(1-p)"!)
5
(0,35)(n-k) *Rechnen:
0,65k ist auch
ok ist
(siehe
an Pfadregel
denken!).
0
10
( )