Vorlesung 07 - Universität Düsseldorf

Mathematik für Biologen
Prof. Dr. Rüdiger W. Braun
Heinrich-Heine Universität Düsseldorf
5. November 2009
Binomialkoeffizienten
n bezeichne die Gesamtzahl der Objekte, und k bezeichne die
Anzahl der Züge.
I
n!
n · (n − 1) · · · (n − k + 2) · (n − k + 1)
n
=
=
k
k! · (n − k)!
k · (k − 1) · · · 2 · 1
I
ist die Anzahl der möglichen Auswahlen von k Objekten aus
n-Objekten.
n
Die Zahl
heißt Binomialkoeffizient. Man sagt “n über k”.
k
weitere Beispiele für Binomialkoeffizienten
I
I
4·3
4
=
=6
2
2·1
10 · 9 · 8
10
= 120
=
3
3·2·1
Rechenregeln
Für jedes n und jedes k ≤ n gelten
I
I
I
I
n
=1
0
n
=n
1
n
n
=
k
n−k
n
n
n+1
+
=
k
k +1
k +1
Die meisten Taschenrechner können Binomialkoeffizienten
ausrechnen, z. B. meiner mit der Taste nCr .
Pascalsches Dreieck
Das Pascalsche
Dreieck zeigt die Binomialkoeffizienten, beginnend
0
mit
0
1
1
1
1
1
1
1
1
3
4
5
6
7
1
3
6
10
15
21
1
2
10
20
35
1
4
1
5
15
35
1
6
21
1
7
1
Binomialverteilung, einleitendes Beispiel
10-facher Wurf eines fairen Würfels: Mit welcher
Wahrscheinlichkeit fallen genau 3 Sechsen?
1
6
I
Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelfall p =
I
Vereinfachte Aufgabe: Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind die
ersten drei Würfe Sechsen und die anderen keine? Lösung:
p 3 · (1 − p)7 = 0.16673 · 0.83337 = 0.001292
I
Die 3 Sechsen können
anbeliebiger Stelle der Würfelfolge
10
= 120 Möglichkeiten, die alle mit
fallen, dafür gibt es
3
Wahrscheinlichkeit 0.001292 auftreten
I
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10 Würfen eines fairen
Würfels genau 3 Sechsen fallen, ist
120 · 0.001292 = 0.1550
Binomialverteilung
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung
n
Bn,p (k) =
· p k · (1 − p)n−k
k
ist die Binomialverteilung mit n Freiheitsgraden zum Parameter p.
Dabei
I
ist n die Anzahl der einzelnen Versuche
I
ist p die Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelfall
I
erfolgen die Versuche unabhängig
Bn,p (k) gibt die Wahrscheinlichkeit von genau k Erfolgen an
Beispiel zur Binomialverteilung
Die Ukraine hat 45 Millionen Einwohner, von denen 60 000 die
Schweinegrippe haben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine
Schule mit 400 Schülern mindestens einen Infektionsfall?
Gleichmäßige Verteilung der Infektionen vorausgesetzt.
I
“Erfolg” = “Ansteckung”. Dann beträgt die
Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelfall
p=
60 000
= 0.001333
45 000 000
I
A = “mindestens eine Erkrankung an der Schule”
I
Ac = “alle Schüler gesund”
I
P(Ac ) = B400,p (0) = (1 − p)400 = 0.5864
I
Mit Wahrscheinlichkeit P(A) = 1 − P(Ac ) = 0.4136 gibt es
mindestens einen Infektionsfall
Stabdiagramm von B10, 1/6
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00 0
2
4
6
8
10
Stabdiagramm von B10, 1/6 , Fortsetzung
Rote Fläche ist die Antwort auf die Frage:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit fallen beim 10-fachen Wurf eines
fairen Würfels mindestens 3 Sechsen?
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
2
4
6
8
10
Kumulierte Binomialverteilung
Mit welcher Wahrscheinlichkeit fallen beim 10-fachen Wurf eines
fairen Würfels mindestens 3 Sechsen?
Antwort:
10
X
P=
B10, 1/6 (k) = 0.2248
k=3
Um diesen Wert zu erhalten, muss man 8 Zahlen aufsummieren.
Das kann umständlich sein, daher gibt es Tabellen der kumulierten
Binomialverteilung
n
X
Bn, p (k)
k=r
Tabelle der kumulierten B10, p
Tabelle der Werte
n
X
Bn, p für n = 10
k=r
r
1
2
3
4
5
6
7
8
p
0.
.15
80313
45570
17980
04997
00987
00138
00013
00001
.16
82510
49195
20640
06136
01301
00196
00021
00001
1
6
83849
51548
22477
06973
01546
00244
00027
00002
.17
84484
52704
23413
07415
01680
00271
00030
00002
.18
86255
56084
26280
08834
02132
00367
00044
00004
.19
87842
59324
29222
10393
02663
00488
00062
00005
Lesehinweise für kumulierte Tabellen
I
10
X
B10, 0.18 (k) = 0.08834
k=4
I
freie Felder oberhalb der Tabelle sind 1 im Rahmen der
Tabellengenauigkeit
I
freie Felder unterhalb der Tabelle sind 0 im Rahmen der
Tabellengenauigkeit
I
Tabellen erhalten Sie von mir
Beispiel Pharmapräparat
Ein neues Medikament wird an 47 erkrankten Fischen ausprobiert.
Die Heilungswahrscheinlichkeit im Einzelfall betrage 85%. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens 40 Fische geheilt?
Wir benötigen eine kumulierte Tabelle von B47, 0.85
Tabelle der kumulierten B47, p
r
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
p
0.
0.85
99999
99998
99992
99971
99907
99726
99258
98168
95872
91537
84232
73340
59096
42953
27335
14691
06361
02069
00448
00048
0.86
0.87
0.88
0.89
99999
99997
99988
99957
99863
99602
98940
97429
94337
88689
79559
66616
50715
34038
19403
08950
03113
00722
00083
99999
99995
99982
99937
99801
99427
98497
96422
92293
85022
73792
58762
41589
25170
12394
04621
01153
00144
99998
99993
99974
99909
99714
99183
97885
95054
89592
80349
66792
49818
32036
16872
06764
01822
00246
99999
99998
99990
99962
99870
99592
98844
97043
93208
86048
74462
58457
39958
22553
09752
02847
00418
Beispiel Pharmapräparat, Fortsetzung
Aus der kumulierten Tabelle von B47, 0.85 lesen wir ab:
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 40 Fische geheilt werden,
ist gleich 0.59096
Abschnitt 2.5
Zufallsvariable
diskrete Verteilungen
Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable ist eine Abbildung vom Ereignisraum Ω in die
Menge der reellen Zahlen. Sie ordnet somit jedem
Elementarereignis ω eine reelle Zahl X (ω) zu.
Beispiel:
10-facher Wurf eines fairen Würfels. Die Anzahl der Sechsen
definiert eine Zufallsvariable X .
Zufallsvariablen lenken den Blick auf die interessanten Daten,
indem sie die Elementarereignisse ausblenden.
Interpretation
Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariable X
Ereignisraum Ω
Elementarereignis ω
Wert X (ω)
Experiment
Messvorrichtung
Menge aller möglichen Versuchsabläufe
beobachteter Versuchsablauf
beobachteter Messwert
Schreibweisen
X eine Zufallsvariable auf Ω. Wir schreiben zur Abkürzung (hierbei
sind a und b irgendwelche Zahlen):
{X = a} = {alle Elementarereignisse ω, für die X (ω) = a}
{X ≤ a} = {alle Elementarereignisse ω, für die X (ω) ≤ a}
{a < X ≤ b} = {alle Elementarereignisse ω, für die a < X (ω) ≤ b}
usw.
Beispiel zur Schreibweise
I
Dreifacher Wurf einer fairen Münze, also Ω = {A, Z }3
I
X bezeichne die Anzahl der Würfe mit “Adler”. Dann kann X
die Zahlen 0,1,2 und 3 annehmen
I
{X = 2} = {(A, A, Z ), (A, Z , A), (Z , A, A)}
3
P(X = 2) = = 0.375
8
I
Verteilungen von Zufallsvariablen
I
Wenn m1 , m2 , m3 , . . . die möglichen Werte von X sind, dann
kann man die mj als Elemente eines neuen Ereignisraums M
auffassen.
I
Aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung P auf dem
ursprünglichen Ereignisraum Ω bekommt man dann eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung PX auf M durch
PX (mj ) = P(X = mj )
I
So ist z. B. die Binomialverteilung Bn,p die Verteilung PX ,
wenn X die Erfolge bei n unabhängigen Wiederholungen eines
Experiments mit Erfolgswahrscheinlichkeit p zählt
Beispiel Dreiecksverteilung
I
zweifacher Wurf eines fairen Würfels,
X = Differenz zwischen erstem und zweitem Wurf
I
{X = 5} = {(6, 1)}
I
{X = 4} = {(6, 2), (5, 1)}
I
{X = 3} = {(6, 3), (5, 2), (4, 1)}
I
usw.
I
Wir erhalten die Dreiecksverteilung von der folgenden Folie
Dreiecksverteilung
0.18
0.16
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
4
2
0
2
4
Blatt 1, Aufgabe 1b
Relative Häufigkeitsverteilung der Differenz aus erstem und
zweitem Wurf
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
4
2
0
2
4
Blatt 1, Aufgabe 1a
Relative Häufigkeitsverteilung der Zahlen
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
2
4
6
8
10