Aussagenlogik:Zusammenfassung - Math.Uni

Aussagenlogik:Zusammenfassung
Mathematische Logik (WS 2016/17)
Aussagenlogik (Zusammenfassung)
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Fragestellung
In der Aussagenlogik analysiert man die Wahrheitswerte zusammengesetzter
Aussagen basierend auf den Wahrheitswerten der elementaren Teilaussagen.
Hierbei werden elementare Aussagen mit Hilfe von Verknüpfungen
(Junktoren) zu komplexeren Aussagen zusammengesetzt.
Dabei soll die Wahrheit der zusammengesetzten Aussagen nur von den
Wahrheitswerten der Teilaussagen (aber nicht von den Teilaussagen selbst!)
abhängen.
Weiter identifiziert man die Wahrheitwerte mit den Booleschen Werten:
F=0, W=1.
Hieraus ergibt sich folgende Entsprechung:
Junktor = Wahrheitsfunktion = Boolesche Funktion
Hierbei:
I
I
n-st. Wahrheitsfunktion: f : {F , W }n → {F , W }
n-st. Boolesche Funktion: f : {0, 1}n → {0, 1}
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Die von uns betrachteten Junktoren
Negation (= nicht) ¬: ¬(i) = 1 − i
Disjunktion (= inkl. oder) ∨: ∨(i, j) = max{i, j}
Konjunktion (= und) ∧: ∧(i, j) = min{i, j}
Implikation →: → (i, j) = 1 ⇔ i ≤ j
Äquivalenz ↔: ↔ (i, j) = 1 ⇔ i = j
Bemerkung: Häufig stellt man Boolesche Funktionen durch deren Wertetabelle
dar. Z.B.
x0
0
0
1
1
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x1
0
1
0
1
∨(x0 , x1 )
0
1
1
1
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Die Sprache der Aussagenlogik: Idee
In der Aussagenlogik bedient man sich einer formalen Sprache. Dadurch
werden Mehrdeutigkeiten der Umgangssprache ausgeschlossen, und die
Aussagenlogik lässt sich so als Mathematische Theorie auffassen (und daher
mit mathematischen Methoden analysieren).
Hierzu werden die elementaren Aussagen durch Aussagenvariablen
dargestellt, von denen man einen abzählbar unendlich Vorrat hat:
A0 , A1 , A2 , . . . .
Hieraus definiert man mit Hilfe der Junktoren (hier als Zeichen aufgefasst)
dann induktiv die (aussagenlogischen) Formeln, die die zusammengesetzten
Aussagen repräsentieren.
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Die Sprache der Aussagenlogik: Formeln
INDUKTIVE DEFINITION. Die aussagenlogischen (al.) Formeln sind induktiv
definiert durch
(F1) Jede Aussagenvariable An (n ≥ 0) ist eine al. Formel.
(F2) Ist ϕ eine al. Formel, so ist auch ¬ϕ eine al. Formel.
(F3) Sind ϕ1 und ϕ2 al. Formeln, so sind auch (ϕ1 ∧ ϕ2 ), (ϕ1 ∨ ϕ2 ),
(ϕ1 → ϕ2 ) und (ϕ1 ↔ ϕ2 ) al. Formeln.
Soweit sind Formeln Zeichenreihen, die eine spezielle Gestalt haben (Syntax).
Die Bedeutung der Formeln muss noch festgelegt werden (Semantik).
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Aussagenlogik: Semantik - Idee
Wir interpretieren nun Formeln als (zusammengesetze) Aussagen. Dabei
werden die Aussagenvariablen als atomare Aussagen aufgefasst und die
Junktoren als die durch diese bezeichneten Verknüpfungen interpretiert.
Hierbei gehen wir davon aus, dass jede der atomaren Aussagen entweder
wahr oder falsch ist (“tertium non datur”).
Die möglichen Wahrheitswerte der (in einer Formel vorkommenden)
Aussagenvariablen werden durch Belegungen festgelegt.
Der Wahrheitswert der Formeln bzgl. einer gegebenen Belegung lässt sich
dann induktiv nach dem Aufbau der Formeln bestimmen.
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Aussagenlogik: Semantik - Belegungen der
Aussagenvariablen
Sei im Folgenden V eine nichtleere (endliche oder unendliche) Menge von
Aussagenvariablen und sei F (V ) = {ϕ : V (ϕ) ⊆ V } die Menge der al. Formeln,
die nur Variablen aus V enthalten.
DEFINITION. Eine Belegung B der Variablenmenge V ist eine Abbildung
B : V → {0, 1}.
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Aussagenlogik: Semantik - Bewertungen der al. Formeln
Jede Belegung B einer Variablenmenge V induziert eine zugehörige Bewertung B̂
der al. Formeln in F (V ).
DEFINITION. Die zu der Belegung B : V → {0, 1} gehörende Bewertung B̂ der
aussagenlogischen Formeln in F (V ) ist induktiv wie folgt definiert (Ind(ϕ)):
1. ϕ ≡ A:
B̂(A) := B(A)
2. ϕ ≡ ¬ψ:
B̂(¬ψ) := ¬(B̂(ψ))
3. ϕ ≡ (ϕ1 ∗ ϕ2 ) (mit ∗ = ∨, ∧, →, ↔):
B̂(ϕ1 ∗ ϕ2 ) := ∗(B̂(ϕ1 ), B̂(ϕ2 ))
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Aussagenlogik: Semantik - Bewertungen der al. Formeln
Wir sagen, dass die Belegung B die Formel ϕ wahr macht (falsch macht),
falls B(ϕ) = 1 (B(ϕ) = 0) gilt.
Der Wert B(ϕ) hängt nur von der Belegung der in ϕ vorkommenden
Variablen ab (Koinzidenzlemma).
BEISPIEL. Sei V = {A, B, C , D} und sei die Belegung B : V → {0, 1} durch
B(A) = B(B) = B(D) = 1 & B(C ) = 0
gegeben und sei ϕ die Formel ϕ ≡ ¬(A ↔ C ) ∧ ¬D. Dann gilt: B(ϕ) = 0. Man
kann dies zeigen, indem man induktiv die Wahrheitswerte der Teilformeln ψ von
ϕ bezüglich B bestimmt:
ψ
B(ψ)
A
1
B
1
C
0
D
1
(A ↔ C ) ¬D
0
0
¬(A ↔ C )
1
ϕ
0
Dies entspricht gerade dem Vorgehen, dass man den Knoten im Strukturbaum (die für die entsprechenden Teilformeln stehen)
von den Blättern aus rekursiv Wahrheitswerte zuordnet, wobei ein mit A markiertes Blatt den Wert B(A) erhält und ein mit ¬
(bzw. ∗) markierter innerer Knoten, dessen Sohn den Wert i hat (bzw. dessen Söhne die Werte i0 und i1 haben) der Wert f¬ (i)
(bzw. f∗ (i0 , i1 )) zugeordnet wird. Der Wert der Wurzel ist dann gerade B(ϕ).
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Zentrale semantische Begriffe
Jede Belegung B der Variablen einer al. Formel ϕ führt zu einer Bewertung
B(ϕ) von ϕ, gibt also eine mögliche Interpretation von ϕ. Wir führen hierauf
nun die Begriffe der Allgemeingültigkeit, Erfüllbarkeit und
Widersprüchlichkeit von al. Formeln zurück:
I
I
I
Die Formel ϕ ist allgemeingültig, wenn alle Belegungen ihrer Variablen
die Formel wahrmachen.
Die Formel ϕ ist erfüllbar, wenn zumindest eine der Belegungen ihrer
Variablen die Formel wahrmacht.
Die Formel ϕ ist widerspüchlich, wenn keine Belegung ihrer Variablen
die Formel wahrmacht.
Weiter definieren wir die (semantische) Implikation (Folgerung) und
Äquivalenz für Formelpaare:
I
I
Die Formel ϕ impliziert die Formel ψ (oder: ψ folgt aus ϕ), wenn jede
Belegung, die ϕ wahrmacht, auch ψ wahrmacht,
ϕ uns ψ sind äquivalent, wenn sie von denselben Belegungen
wahrgemacht werden.
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Beispiele
Beispiele von Tautologien, die häufig verwendeten logischen Gesetzen entsprechen:
(i) A ∨ ¬A (Tertium non datur)
(ii) A → A (Selbstimplikation)
(iii) A → A ∨ B (Hintere Abschwächung)
(iv) A ∧ B → A (Vordere Abschwächung)
(v) (A → B) ∧ (B → C ) → (A → C ) (Kettenregel)
(vi) (A ∨ B) ∧ (A → C ) ∧ (B → C ) → C (Gesetz der Fallunterscheidung)
(vii) (A → B) ↔ (¬B → ¬A) (Kontraposition)
Beispiele von gültigen Äquivalenzen sind die Booleschen Gesetze.
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Implikation und Äquivalenz: Syntax vs. Semantik
LEMMA. Seien ϕ und ψ al. Formeln.
(i) ϕ impliziert ψ genau dann, wenn die Formel ϕ → ψ allgemeingültig ist:
ϕ impl ψ ⇔ ag[ϕ → ψ]
(ii) ϕ und ψ sind genau dann äquivalent, wenn die Formel ϕ ↔ ψ
allgemeingültig ist:
ϕ äq ψ ⇔ ag[ϕ ↔ ψ]
NB: Diese Zusammenhänge benutzt man, wenn man aus den im vorigen Lemma
angegebenen Tautologien die Korrektheit der entsprechenden Beweistechniken
ableitet.
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Erweiterung von Erfüllbarkeit und Folgerung auf
Formelmengen: Vorbemerkungen
In der Untersuchung einer mathematischen Theorie gehen wir in der Regel von
einer (möglicherweise unendlichen) Menge von Axiomen (den Grundsätzen der
Theorie) aus und betrachten die Aussagen, die aus diesen logisch folgen (die
Theoreme oder (Lehr-)Sätze der Theorie). Um den hierbei verwendeten
semantischen Folgerungsbegriff zu definieren, müssen wir den bereits eingeführten
Folgerungsbegriff
ϕ impl ψ (d.h. ψ folgt aus ϕ)
von einer Formel ϕ auf eine Menge T von Formeln verallgemeinern. (Wobei wir in
diesem Kapitel natürlich nur aussagenlogische Folgerungen betrachten.)
Gleichzeitig verallgemeinern wir den Erfüllbarkeitsbegriff von Formeln ϕ auf
Formelmengen T und zeigen, dass sich der Folgerungbegriff auf den
Erfüllbarkeitsbegriff zurückführen lässt. Hierbei nennen wir eine Formelmenge T
erfüllbar, wenn es eine Belegung gibt, die alle Formeln in T wahrmacht.
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Erfüllbarkeit von Formelmengen: Definition
DEFINITION 1. Sei T 6= ∅ eine nichtleere Menge al. Formeln mit Variablenmenge
V (T ).
(i) Eine Belegung B : V (T ) → {0, 1} macht die Formelmenge T wahr (kurz:
B T ), falls B alle Formeln ϕ in T wahrmacht, d.h. wenn gilt:
∀ ϕ ∈ T : B(ϕ) = 1
(ii) Die Formelmenge T is erfüllbar (kurz: erfb[T ]), wenn es eine Belegung B
von V (T ) gibt, die T wahrmacht.
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Erfüllbarkeit von Formelmengen: Bemerkungen
Enthält T nur eine Formel ϕ (d.h. T = {ϕ}), so ist T genau dann erfüllbar,
wenn ϕ erfüllbar sind.
Allgemein gilt: Ist T erfüllbar, so sind alle Formeln in T erfüllbar. Die
Umkehrung gilt aber nicht! (Gegenbeispiel!)
Für endliche, nichtleere Formelmengen lässt sich die Erfüllbarkeit auf die
Erfüllbarkeit von Formeln zurückführen: Für T = {ϕ1 , . . . , ϕn } gilt:
erfb[T ] ⇔ erfb[ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn ]
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Der semantische Folgerungsbegriff
DEFINITION. Eine al. Formel ϕ folgt aus einer (möglicherweise leeren oder
unendlichen) Menge T von al. Formeln (kurz: T ϕ), falls jede Belegung B von
V (T ) ∪ V (ϕ), die T wahrmacht, auch ϕ wahrmacht, d.h., falls gilt:
∀ B ∈ B(V (T ) ∪ V (ϕ)) [B T ⇒ B ϕ]
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Der semantische Folgerungsbegriff: Beobachtungen
Ist T die leere Menge, so macht (trivialerweise) jede Belegung jede Formel
in T wahr (da es keine Formeln in T gibt). Also:
∅ ϕ ⇔ ag[ϕ]
(Dies zeigt, dass der Folgerungsbegriff eine Verallgemeinerung des
Allgemeingültigkeitsbegriffs ist.)
Für 1-elementiges T = {ϕ} gilt:
{ϕ} ψ ⇔ ϕ impl ψ
Für endliches nichtleeres T = {ϕ1 , . . . , ϕn } gilt:
T ψ ⇔ ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn ψ ⇔ ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn impl ψ
Weiter gilt:
T ψ ⇔ ag[ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn → ψ] ( ⇔ ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn → ψ)
Insbesondere also (Vertauschbarkeit von und →):
ϕ ψ ⇔ ag[ϕ → ψ]
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Semantische Folgerung vs. Erfüllbarkeit
LEMMA (Folgerung vs. Erfüllbarkeit).
(i) T ϕ ⇔ nicht erfb[T ∪ {¬ϕ}]
(ii) T 6 ϕ ⇔ erfb[T ∪ {¬ϕ}]
Umgekehrt lässt sich für nichtleeres T die Erfüllbarkeit von T auf den
Folgerungsbegriff zurückführen:
LEMMA 3 (Erfüllbarkeit vs. Semantischer Folgerung). Für T 6= ∅ sind folgende
Aussagen äquivalent:
(i) erfb[T ]
(ii) 6 ∃ ϕ [T ϕ und T ¬ϕ]
(iii) ∃ ϕ [T 6 ϕ]
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Formeln vs. Boolesche Funktionen: von Formeln
dargestellten Booleschen Funktionen
Al. Formeln kann man als Darstellungen Boolescher Funktionen auffassen:
DEFINITION 1. Sei ϕ eine al. Formel mit V (ϕ) ⊆ {A0 , . . . , An−1 }. Die von ϕ
dargestellte (definierte) n-stellige Boolesche Funktion fϕ,n ist definiert durch
fϕ,n (i0 , . . . , in−1 ) = B̂i0 ,...,in−1 (ϕ)
wobei die Belegung Bi0 ,...,in−1 : {A0 , . . . , An−1 } → {0, 1} durch
Bi0 ,...,in−1 (Aj ) = ij (j = 0, . . . , n − 1)
gegeben ist.
Gilt V (ϕ) = {A0 , . . . , An−1 }, so schreiben wir statt fϕ,n auch einfach fϕ .
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Bemerkungen
Die Boolesche Funktion fϕ,n gibt also gerade die Wahrheitswerte von ϕ bzgl. der
möglichen Belegungen der Variablen A0 , . . . , An−1 an. Dabei erhält man
fϕ,n (i0 , . . . , in−1 ) indem man die Variablen Aj mit den Wahrheitswerten ij (für
j = 0, . . . , n − 1) belegt und dann ϕ bzgl. dieser Belegung auswertet.
Für eine Belegung B der Variablen A0 , . . . , An−1 gilt also:
fϕ,n (B(A0 ), . . . , B(An−1 )) = B(ϕ)
Die Bewertungstabelle einer Formel ϕ ist also gerade die Wertetabelle der
Funktion fϕ,n .
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Die von einer Formel dargestellte Boolesche Funktion und
die zentralen semantischen Begriffe
Seien ϕ und ψ al. Formeln, in denen höchstens die Variablen A0 , . . . , An−1
vorkommen. Dann gilt:
1
erfb[ϕ] ⇔ ∃ ~x ∈ {0, 1}n : fϕ,n (~x ) = 1
2
ag[ϕ] ⇔ ∀ ~x ∈ {0, 1}n : fϕ,n (~x ) = 1
3
kd[ϕ] ⇔ ∀ ~x ∈ {0, 1}n : fϕ,n (~x ) = 0
4
ϕ impl ψ ⇔ ∀ ~x ∈ {0, 1}n : fϕ,n (~x ) ≤ fψ,n (~x )
(d.h.: ∀ ~x ∈ {0, 1}n : fϕ,n (~x ) = 1 ⇒ fψ,n (~x ) = 1)
5
ϕ äq ψ ⇔ ∀ ~x ∈ {0, 1}n : fϕ,n (~x ) = fψ,n (~x )
(d.h.: ∀ ~x ∈ {0, 1}n : fϕ,n (~x ) = 1 ⇔ fψ,n (~x ) = 1)
Insbesondere sind also Formeln äquivalent, wenn diese dieselbe Boolesche
Funktion darstellen.
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Normalformen aussagenlogischer Formeln
und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch
aussagenlogische Formeln
Die zentralen Konzepte und Ergebnisse sind hier:
Boolesche Formeln, Disjunktive und Konjunktive Normalform
Darstellungssätze, Normalformsätze und Basen der Booleschen
Funktionen
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Normalformen: Boolesche Formeln, Literale und Klauseln
Eine Boolesche Formel ist eine aussagenlogische Formel, in der die
Junktoren → und ↔ nicht vorkommen.
Ein Literal λ ist eine Aussagenvariable (λ ≡ A) oder eine negierte
Aussagenvariable (λ ≡ ¬A).
Eine ∨-Klausel δ ist eine endliche Disjunktion von Literalen
(δ ≡ λ1 ∨ · · · ∨ λn , n ≥ 1).
Eine ∧-Klausel κ ist eine endliche Konjunktion von Literalen
(κ ≡ λ1 ∧ · · · ∧ λn , n ≥ 1).
NOTATION:
W
•
i=1,...,n ψi :≡ ψ1 ∨ · · · ∨ ψn
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•
V
i=1,...,n
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ψi :≡ ψ1 ∧ · · · ∧ ψn
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Normalformen: Disjunktive und konjunktive Normalformen
Eine Boolesche Formel ϕ ist in disjunktiver Normalform (DNF), wenn
ϕ die endliche Disjunktion von ∧-Klauseln ist: ϕ ≡ κ1 ∨ · · · ∨ κm
(m ≥ 1).
Eine Boolesche Formel ϕ ist in konjunktiver Normalform (KNF), wenn
ϕ die endliche Konjunktion von ∨-Klauseln ist: ϕ ≡ δ1 ∧ · · · ∧ δm
(m ≥ 1).
Disjunktive Normalform: ϕ ≡
W
Konjunktive Normalform: ϕ ≡
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i=1,...,m
V
κi ≡
W
≡
V
i=1,...,m δi
i=1,...,m
V
i=1,...,m
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j=1,...,ni
W
j=1,...,ni
λi,j
λi,j
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Darstellungssatz
DARSTELLUNGSSATZ. Zu jeder n-stelligen Booleschen Funktion f kann
man effektiv eine Boolesche Formel ϕ in disjunktiver Normalform angeben,
sodass V (ϕ) = {A0 , . . . , An−1 } und ϕ die Funktion f darstellt (d.h. fϕ = f
gilt).
ZUR ERINNERUNG: fϕ (B(A0 ), . . . , B(An−1 )) = B(ϕ)
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Beweis des Darstellungssatzes: Algorithmus zur Definition
von ϕ
Die Formel ϕ ist wie folgt definiert:
Für jede Eingabekombination ~x = (x0 , . . . , xn−1 ) ∈ {0, 1}n definiere die
∧-Klausel
κ~x :≡ λ(0,x0 ) ∧ · · · ∧ λ(n−1,xn−1 )
wobei
λ(i,0) ≡ ¬Ai und λ(i,1) ≡ Ai (i = 0, . . . , n − 1).
Setze
ϕ :≡
W
{~
x ∈{0,1}n :f (~
x )=1}
κ~x
Die so definierte Formel ϕ bezeichnen wir auch mit ϕf .
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Beispiel:
Die EXOR-Funktion ist durch folgende Wertetabelle bestimmt, wobei wir
in der letzten Spalte noch die zu den entsprechenden Eingaben (x0 , x1 )
gehörenden ∧-Klauseln angeben:
x0 x1 EXOR(x0 , x1 ) zugehörige ∧-Klausel
0 0
0
¬A0 ∧ ¬A1
0 1
1
¬A0 ∧ A1
1 0
1
A0 ∧ ¬A1
1 1
0
A0 ∧ A1
Die EXOR-Funktion wird also von der Formel
ϕEXOR ≡ (¬A0 ∧ A1 ) ∨ (A0 ∧ ¬A1 )
(in DNF) dargestellt.
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Folgerung aus dem Darstellungssatz: Basissatz
Unter einer Basis der Booleschen Funktionen verstehen wir eine Menge
{f1 , . . . , fk } von Booleschen Funktionen, sodass sich jede Boolesche Funktion f
explizit über den Funktionen f1 , . . . , fk definieren lässt.
1. BASISSATZ. Die Booleschen Funktionen {¬, ∨, ∧} bilden eine Basis der
Booleschen Funktionen.
Hieraus erhält man leicht:
2. BASISSATZ. Folgende Mengen sind Basen der Booleschen Funktionen:
(i) {¬, ∨}
(ii) {¬, ∧} (iii) {NOR}
(iv) {NAND}
Bedeutung von Basen: Wählt man Junktoren, die eine Basis bilden, so lassen sich
hierüber alle anderen Junktoren definieren. Die zugehörige Aussagenlogik ist
daher “universell”.
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Normalformsätze
Eine weitere direkte Folgerung aus dem Darstellungssatz ist:
NORMALFORMSATZ (DNF). Zu jeder al. Formel ϕ kann man effektiv eine
äquivalente Formel ϕDNF in disjunktiver Normalform angeben, sodass
V (ϕ) = V (ϕDNF ) gilt.
Algorithmus: Schritt 1: Gebe die Wertetabelle der Booleschen Funktion fϕ an.
Schritt 2: Wende hierauf den Algorithumus des Darstellungssatzes (DNF) an.
Analog erhält man aus einem entsprechenden Darstellungssatz (KNF):
NORMALFORMSATZ (KNF). Zu jeder al. Formel ϕ kann man effektiv eine
äquivalente Formel ϕKNF in konjunktiver Normalform angeben, sodass
V (ϕ) = V (ϕKNF ) gilt.
Wie sieht hier der Algorithmus aus? (Selbst! Vgl. nächste Folie.)
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Darstellungssatz (KNF): Algorithmus (Beispiel)
Die EXOR-Funktion ist durch folgende Wertetabelle bestimmt:
x0 x1 EXOR(x0 , x1 ) zugehörige ∨-Klausel δ(x0 ,x1 )
0 0
0
A0 ∨ A1
1
A0 ∨ ¬A1
0 1
1 0
1
¬A0 ∨ A1
1 1
0
¬A0 ∨ ¬A1
Sie wird also von der KNF-Formel
ϕEXOR ≡ (A0 ∨ A1 ) ∧ (¬A0 ∨ ¬A1 )
dargestellt.
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Komplexität in der Aussagenlogik
Für eine al. Formel ϕ und eine gegebene Belegung B der Variablenmenge
V (ϕ) lässt sich in Quadratzeit entscheiden, ob B die Formel ϕ wahrmacht.
Da die Anzahl der Belegungen von V (ϕ) exponentiell in |V (ϕ)| und daher
i.a. exponentiell in der Länge von ϕ ist, erfordern die naiven Verfahren zur
Überprüfung der Erfüllbarkeit bzw. Allgemeingültigkeit von ϕ
Exponentialzeit.
Die Frage, ob das Erfüllbarkeitsproblem für beliebige Formeln (oder äquivalent hierzu - für Formeln in KNF) in Polynomialzeit lösbar ist, gehört
zu den interessantesten offenen Problemen der Mathematik.
Diese Frage ist äquivalent zu dem sog. P-NP-Problem, das viele als das
bedeutendste offene Problem der Theoretischen Informatik ansehen und das
zu den Millenniumsproblemen der Mathematik gehört.
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Teil 2: Ein adäquater Kalkül der Aussagenlogik
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Überblick
Kalküle der Aussagenlogik
Beweise und Beweisbarkeit
Korrektheit und Vollständigkeit
Ein adäquater Kalkül der AL
Wie weist man die Korrektheit nach?
Idee für den Vollständigkeitsbeweis
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Kalküle (der AL)
Ein Kalkül K der AL wird durch folgende Komponenten bestimmt:
1
die Sprache von K: Sprache der AL für vollständigen Satz von Junktoren
(hier ¬ und ∨)festgelegt ist
2
die Menge der Axiome von K, wobei diese eine entscheidbare Teilmenge der
Menge der Formeln ist
3
die Menge der Regeln von K, wobei diese Menge entscheidbar ist und jede
Regel R die Gestalt
ϕ1 , . . . , ϕn
(R) ——————
ϕ
hat, wobei n ≥ 1 und ϕ1 , . . . , ϕn , ϕ Formeln sind.
ϕ1 , . . . , ϕn sind die Prämissen, ϕ die Konklusion von R.
I.A. verlangt man, dass Axiome und Regeln nicht nur entscheidbar sondern an
deren Form erkennbar sind, Kalküle also syntaktische Konzepte sind.
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Kalküle: Beweise und Beweisbarkeit aus T
DEFINITION. Sei K ein Kalkül und T eine Menge von (K-) Formeln. Ein (K-)
Beweis der (K-) Formel ϕ aus T ist eine endliche Folge ψ1 , . . . , ψn von (K-)
Formeln, sodass folgendes gilt:
ϕ ≡ ψn
Jede Formel ψm (1 ≤ m ≤ n) ist
I
I
I
ein (K-) Axiom oder
eine Formel aus der Formelmenge T oder
die Konklusion einer (K-) Regel R, deren Prämisse(n) in
{ψ1 , . . . , ψm−1 } liegen.
n ist die Länge des Beweises ψ1 , . . . , ψn .
DEFINITION. Eine (K-) Formel ϕ is (K-) beweisbar aus T , wenn es einen (K-)
Beweis von ϕ aus T gibt.
NB: Jede Formel ϕ ∈ T ist ein (K-) Beweis (der Länge 1) aus T und damit (K-)
beweisbar aus T .
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Beweise und Beweisbarkeit: Schreibweisen
T `K ϕ :⇔
`K ϕ :⇔
ϕ is K-beweisbar aus T
∅ `K ϕ
⇔ ϕ is K-beweisbar
Ist K aus dem Kontext bekannt, so schreiben wir ` statt `K .
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Einfache Eigenschaften der Beweisbarkeit
MONOTONIELEMMA FÜR `. Falls T ⊆ T 0 und T ` ϕ, so gilt auch T 0 ` ϕ.
TRANSITIVITÄTSLEMMA FÜR `. Gelte T ` ϕ und gelte weiter T 0 ` ψ für alle
ψ ∈ T . Dann gilt T 0 ` ϕ.
NB: Man beachte, dass die entsprechenden Aussagen auch für den semantischen
Folgerungsbegriff gelten!
ENDLICHKEITSSATZ FÜR `. Falls T ` ϕ gilt, so gibt es eine endliche
Teilmenge T0 von T mit T0 ` ϕ.
Beweisidee!
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Korrektheit und Vollständigkeit: Definitionen
DEFINITION. Sei K ein Kalkül der Aussagenlogik.
K ist korrekt (bzgl. Folgerungen), falls jede aus einer Formelmenge T
K-beweisbare Formel ϕ aus T (semantisch) folgt, also
T `K ϕ ⇒ T ϕ
für alle K-Formelmengen T und alle K-Formeln ϕ gilt.
K ist vollständig (bzgl. Folgerungen), falls jede aus einer Formelmenge T
folgende Formel ϕ aus T K-beweisbar ist, also
T ϕ ⇒ T `K ϕ
für alle K-Formelmengen T und alle K-Formeln ϕ gilt.
K ist adäquat, wenn K korrekt und vollständig ist, also stets
T ϕ ⇔ T `K ϕ
gilt.
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Aussagenlogik (Zusammenfassung)
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Nachweis der Korrektheit eines Kalküls
Um zu zeigen, dass ein Kalkül K der Aussagenlogik korrekt (bzgl.
Folgerungen) ist, genügt es zu zeigen, dass
die Axiome allgemeingültig sind und
die Regeln korrekt bzgl. Folgerungen sind.
Hierbei heißt eine Regel
(R)
ϕ1 , . . . , ϕn
ϕ
korrekt (bzgl. Folgerungen), wenn ϕ1 , . . . , ϕn ϕ gilt.
Dies ist die Aussage des Korrektheitslemma.
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Ein adäquater Kalkül: der Shoenfield-Kalkül S der
Aussagenlogik
In der Vorlesung wurde der Schoenfield-Kalkül der AL vorgestellt und
gezeigt, dass dieser adäquat (also korrekt und vollständig ist)
Die Korrektheit konnte man leicht mit Hilfe des Korrektheitslemmas
zeigen.
Der Nachweis der Vollständigkeit ist weit aufwändiger. Im Folgenden
werden die wesentlichen Schritte nochmals zusammengefasst.
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Vollständigkeit von S: zulässige Regeln (Schritt 1)
DEFINITION. Eine Regel
(R)
ϕ1 , . . . , ϕn
ϕ
ist zulässig in dem Kalkül K (oder ableitbar in K), falls
ϕ1 , . . . , ϕ n ` K ϕ
gilt.
Eine Formel ϕ ist ein zulässiges Axiom von K (oder ein ableitbares Axiom
von K), falls `K ϕ gilt.
Nach dem Satz über zulässige Erweiterungen, verändert die Hinzunahme
von zulässigen Axiomen/Regeln die Beweisbarkeit nicht, vereinfacht aber
Beweise im Kalkül. Dies wurde im 1. Beweisschritt ausgenutzt, indem S
entsprechend erweitert wurde.
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Vollständigkeit von S: Schritt 2
Im nächsten Schritt wurde gezeigt:
TAUTOLOGIESATZ:
ϕ ⇒`ϕ
VOLLSTÄNDIGKEITSSATZ FÜR ENDLICHES T . Für endliches T gilt:
T ϕ ⇒ T `ϕ
Als erster weiterer Schritt für den Beweis für unendliches T wurde weiter
gezeigt:
DEDUKTIONSTHEOREM: T ` ϕ → ψ ⇔ T ∪ {ϕ} ` ψ
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Vollständigkeit von S: Konsistente und vollständige
Formelmengen
DEFINITION. Eine Formelmenge T ist konsistent, falls es eine Formel ϕ
gibt, mit T 6` ϕ.
NB: Wie wir gesehen haben, ist eine Formelmenge T genau dann erfüllbar, wenn
es eine Formel ϕ mit T 6 ϕ gibt. Konsistenz ist daher das syntaktische
Gegenstück zur Erfüllbarkeit.
DEFINITION. Eine Formelmenge T ist vollständig, falls für jede Formel ϕ
gilt: T ` ϕ oder T ` ¬ϕ.
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Vollständigkeit von S: Erfüllbarkeitslemma und
Vollständigkeitssatz
ERFÜLLBARKEITSLEMMA (EL). Jede konsistente Formelmenge T ist erfüllbar.
Das Erfüllbarkeitslemma impliziert den Vollständigkeitssatz:
VOLLSTÄNDIGKEITSSATZ (VS). T ϕ ⇒ T ` ϕ.
Beweis des Vollständigkeitssatzes mit Hilfe von EL:
⇒
⇒
⇒
T ϕ
Annahme
nicht erfb[T ∪ {¬ϕ}]
LFE
T ∪ {¬ϕ} inkonsistent EL (Kontraposition)
T `ϕ
LBK
Um den Beweis des Vollständigkeitssatzes abzuschließen, genügt es also das
Erfüllbarkeitslemma zu beweisen! Hierzu hat man dann zunächst gezeigt, dass
jede konsistente Formelmenge eine vollständige konsistente Erweiterung besitzt.
Zu dieser hat man dann schliesslich eine wahrmachende Belegung definiert.
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Folgerungen aus dem Adäquatheitssatz: Der
Kompaktheitssatz
KOMPAKTHEITSSATZ oder ENDLICHKEITSSATZ (für den Folgerungsbegriff).
Eine Formel ϕ folgt genau dann aus einer Formelmenge T , wenn es eine endliche
Teilmenge T0 von T gibt, aus der ϕ folgt:
T ϕ ⇔ Es gibt T0 ⊆ T endlich: T0 ϕ
Beweis!
KOMPAKTHEITSSATZ oder ENDLICHKEITSSATZ (für den Erfüllbarkeitsbegriff). Eine Formelmenge T ist genau dann erfüllbar, wenn jede endliche
Teilmenge T0 von T erfüllbar ist:
erfb[T ] ⇔ Für alle T0 ⊆ T endlich: erfb[T0 ]
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