Herbst 2009 Einzelprüfungsnummer: 64013 Seite: 1

Herbst 2009
Einzelprüfungsnummer: 64013
Seite: 1
Themenschwerpunkt A
Mechanik
Aufgabe 1: Freies Teilchen auf Kegel
Ein Teilchen der Masse m bewege sich kräftefrei auf einem Kegel, der in Zylinderkoordinaten
(r, ϕ, z) durch z = αr mit α > 0 definiert ist. Die Bewegung des Teilchens sei auf z > 0 beschränkt.
a) Bestimmen Sie die Lagrange-Funktion L(r, ṙ, ϕ, ϕ̇).
(6 Punkte)
b) Leiten Sie aus der Lagrange-Funktion der vorigen Teilaufgabe die Bewegungsgleichungen für
r und ϕ her.
(8 Punkte)
c) Weisen Sie nach, dass der Drehimpuls Lz um die z-Achse erhalten ist. Zeigen Sie ferner, dass
der Energieerhaltungssatz in der Form
Aṙ 2 +
B
=E
r2
gilt. Was ergibt sich für die Konstanten A und B?
(1)
(5 Punkte)
d) Begründen Sie, dass ṙ = ϕ̇(dr/dϕ) gilt. Verwenden Sie diese Beziehung zusammen mit (1), um
die Bahnkurve r(ϕ) zu bestimmen. Welche minimale Höhe erreicht das Teilchen bei gegebenem
Drehimpuls L und gegebener Energie E?
(6 Punkte)
Nützliche Formel:
Z
a
1
1
dx √
= arccos
a
x
x x2 − a 2
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Aufgabe 2: Relativistische Bewegung
a) In der nichtrelativistischen Mechanik ändern sich beim Wechsel von einem Inertialsystem in
ein anderes die räumlichen Koordinaten, aber die Abstände zwischen Raumpunkten sind invariant. In der relativistischen Mechanik gibt es eine andere Größe, die als invarianter Abstand
zweier Ereignisse interpretiert wird.
Geben Sie diese Größe für zwei Ereignisse an, die bei (x1 , y1 , z1 , t1 ) und (x2 , y2 , z2 , t2 ) stattfinden.
Es gibt instabile Elementarteilchen, die nach einer gewissen Zeit zerfallen. Als Halbwertszeit solcher
Teilchen wird die Zeitspanne bezeichnet, nach der von ursprünglich N Teilchen im Mittel N/2
zerfallen sind, wobei die Halbwertszeit im Ruhesystem der Teilchen zu messen ist bzw. angegeben
wird.
c) Betrachten Sie einen Strahl instabiler Teilchen, die mit v = 0.9 c zwei Zähler passieren, die
im Labor entlang der z-Achse stehen und einen Abstand von 9 m haben. Der erste Zähler
detektiert 1000 Teilchen, der zweite Zähler nur 250.
Bestimmen Sie die Halbwertszeit der Teilchen in deren Ruhesystem. Für die Größe der Lichtgeschwindigkeit können Sie den Wert 3 · 108 ms verwenden.
(15 Punkte)
d) Betrachten Sie nun einen extrem langen, geraden Stab, der um einen Winkel α gegen die xAchse geneigt ist (siehe Abb.) und sich mit der gleichförmigen Geschwindigkeit v nach unten
bewegt.
Geben Sie die Geschwindigkeit vA an (in Abhängigkeit von α und v), mit der sich der Schnittpunkt A nach rechts bewegt. Kann diese Geschwindigkeit im Prinzip, d.h. geometrisch betrachtet, größer als die Lichtgeschwindigkeit werden? Kann mit einem real existierenden Stab durch
Hin- und Herbewegen ein Signal mit Überlichtgeschwindigkeit übermittelt werden? Begründen
Sie Ihre Antwort.
(10 Punkte)
Stab
v
A
α
x
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Themenschwerpunkt B
Elektrodynamik/Optik
Aufgabe 1: Punktladung im Zentrum einer Kugelschale
Eine Punktladung Q befindet sich im Zentrum einer dünnen, ideal leitenden Kugelschale vom
Radius R (Dicke vernachlässigbar). Die Kugelschale sei zunächst ungeladen.
a) Bestimmen Sie die elektrische Feldstärke und das elektrostatische Potential für diese Anordnung. Erklären Sie das Ergebnis physikalisch.
(9 Punkte)
b) Wie ändern sich die Ergebnisse von Teilaufgabe a), wenn (zusätzlich zur Punktladung) die
Kugelschale selbst die Ladung −Q trägt? Nehmen Sie an, dass es sich um eine homogene
Ladungsverteilung handelt.
(8 Punkte)
c) Der Unterschied zwischen der elektrostatischen Energie des Gesamtsystems und derjenigen der
beiden getrennten Einzelsysteme (Punktladung und Kugelschale) stellt die Bindungsenergie
der Anordnung aus Teilaufgabe b) dar. Berechnen Sie diese Bindungsenergie.
Hinweis: Die elektrostatische Energie ist gegeben durch
Z
0
~ 2.
E=
d3 r E
2
(1)
(8 Punkte)
Aufgabe 2: Dielektrika im Plattenkondensator
Bei einem Paar unendlich ausgedehnter,
ebener Kondensatorplatten (vgl. Skizze),
deren Flächen senkrecht zur z-Achse stehen,
sei die linke Platte bei z = 0 und trage die
Flächenladungsdichte +σ (mit σ > 0), die
rechte Platte sei bei z = d und trage die
Flächenladungsdichte −σ. Das Potential der
linken Platte sei Null.
εe1
0
ε2
d1
d
z
Der Raum zwischen den Platten sei mit zwei Schichten dielektrischen Materials ausgefüllt, wobei
die linke Schicht die Dielektrizitätskonstante 1 und Dicke d1 habe. Die andere Schicht habe die
Dielektrizitätskonstante 2 .
~
a) Berechnen Sie das elektrische Feld E(z)
und die Polarisation P~ (z) zwischen den Kondensatorplatten.
(12 Punkte)
b) Berechnen Sie den Verlauf des Potentials φ(z) im Kondensator, und skizzieren Sie ihn unter
der Annahme 2 > 1 .
(8 Punkte)
c) Geben Sie die Kapazität pro Fläche des Kondensators an.
(5 Punkte)
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Themenschwerpunkt C
Thermodynamik
Aufgabe 1: Bose-Kondensat
Bei tiefen Temperaturen bildet sich för nicht wechselwirkende Bosonen eine neue Phase, das sogenannte Bose-Kondensat. Hier sollen die thermodynamischen Eigenschaften des Bose-Kondensats
diskutiert werden.
Gegeben sei die Wärmekapazität CV eines Systems von N Bosonen bei konstantem Volumen V
bei tiefen Temperaturen
CV = CV (T, V, N ) = KT 3/2 V .
(1)
Hierbei bezeichnet K eine Konstante. Die Teilchenzahl N ist für diese Aufgabe durchweg konstant.
a) Bestimmen Sie die zugehörige Entropie als Funktion der Temperatur und des Volumens unter
Berücksichtigung des dritten Hauptsatzes.
(5 Punkte)
b) Berechnen Sie die freie Energie F (T, V, N ) des Systems, und leiten Sie daraus die thermische
Zustandsgleichung P = P (T, V, N ) ab. Beachten Sie, dass für nicht wechselwirkende Teilchen
die innere Energie am absoluten Nullpunkt identisch Null ist. Zeigen Sie, dass die isotherme
Kompressibilität
1 ∂V
(2)
κT = −
V ∂P T,N
in der gesamten Tieftemperaturphase divergiert.
(12 Punkte)
Zwischenergebnis zur Kontrolle: Bis auf einen dimensionslosen Faktor ist die freie Energie
durch CV T gegeben.
c) Zeigen Sie die thermodynamische Identität
1 ∂V
∂P
α
, wobei α =
=
∂T V,N
κT
V ∂T P,N
(3)
den thermischen Ausdehnungskoeffizienten bezeichnet. Berechnen Sie (∂P/∂T )V,N . Welche
Schlussfolgerung ziehen Sie für α?
(8 Punkte)
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Aufgabe 2: Reversible Expansion eines Gases
Ein Gas expandiert vom Volumen VA zum doppelten Volumen VB = 2VA und leistet dabei mechanische Arbeit. Betrachten Sie die drei skizzierten thermodynamischen Prozesse, die vom Zustand
A mit dem Druck pA und dem Volumen VA zum Zustand B mit dem Volumen VB und Druck pB
führen. Es seien A → C isotherm, D → B isobar, C → B und A → D isochor, und die gestrichelte
Kurve A → B ist eine Gerade im p, V -Diagramm.
Diese Prozesse sollen reversibel ablaufen, und pA und VA seien bekannt. Ferner soll gelten, dass
der Zustand A mit dem Zustand B ebenso durch einen adiabatischen Prozess, also ohne Wärmeübertrag verbunden werden kann, der nicht eingezeichnet ist. Das Gas soll durch ein ideales Gas
beschrieben werden, also durch die Gesetze U = (3/2) N kB T und pV = N kB T , wobei U die innere
Energie, N die Teilchenzahl und T die Temperatur des Gases ist.
a) Berechnen Sie die relative Änderung des Druckes pB /pA und der Temperatur TB /TA bei diesem
Prozess.
(7 Punkte)
b) Berechnen Sie die Änderung der inneren Energie UB − UA . Hängt diese Größe vom jeweiligen
Prozess ab?
(7 Punkte)
c) Bei welchen der drei Prozesse wird Wärme vom Gas aufgenommen, und bei welchen wird
Wärme abgegeben (ohne Rechnung)?
(5 Punkte)
d) Berechnen Sie diese Wärme Q und die dabei geleistete Arbeit W für die drei Prozesse als
Funktion von pA VA .
(6 Punkte)
-6-
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Themenschwerpunkt D
Quantenmechanik
Aufgabe 1: Attraktives δ-Potential
Ein Teilchen der Masse m bewege sich in einem eindimensionalen Potential der Form
V (x) = −
~2
gδ(x),
2m
g >0.
(1)
Die Wellenfunktion ϕ(x), welche die stationäre Schrödinger-Gleichung erfüllt, gehorcht der Bedingung
lim [ϕ0 (+) − ϕ0 (−)] = −gϕ(0)
(2)
&0
0
mit ϕ (x) = dϕ(x)/dx.
a) Welche Einheit hat die Größe g?
(2 Punkte)
b) Wie verhält sich die Wellenfunktion als Funktion von x für einen gebundenen Zustand im
Bereich x 6= 0 bei gegebener Energie E < 0?
Bestimmen Sie die Grundzustandswellenfunktion (ohne Normierung) und die Grundzustandsenergie E0 unter Verwendung der Bedingung (2).
(7 Punkte)
Im Folgenden soll eine von links (x < 0) einfallende Welle
ϕein (x) = A eikx
betrachtet und der Transmissionskoeffizient untersucht werden.
c) Bestimmen Sie die Wellenfunktion in den Bereichen x < 0 und x > 0. Eine Normierung ist
nicht nötig.
(7 Punkte)
d) Bestimmen Sie die Stromdichten der einfallenden und transmittierten Welle. Bestimmen und
skizzieren Sie den Transmissionskoeffizienten als Funktion der Energie.
(9 Punkte)
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Aufgabe 2: Quantenkreisel
Die Rotationsenergie eines quantenmechanischen Teilchens soll durch den Hamilton-Operator
Ĥ = a (L̂2x + L̂2y ) + b L̂2z
mit reellen Parametern 0 < a ≤ b beschrieben werden. L̂x , L̂y und L̂z sind die Komponenten des
~ˆ
Bahndrehimpulsoperators L.
a) Welche physikalische Bedeutung haben die Parameter a und b, und welches Teilchen könnte
dieser Hamilton-Operator beschreiben?
(5 Punkte)
b) Drücken Sie den Hamilton-Operator Ĥ durch die Operatoren L̂2 und L̂z aus, und berechnen
Sie die Energien der stationären Zustände.
(6 Punkte)
c) Geben Sie den Entartungsgrad der Eigenenergien an, und zwar für
(i) a = b und für
(ii) 0 < b − a a.
Zufällige Entartungen sollen dabei nicht berücksichtigt werden.
(4 Punkte)
Die Eigenzustandsvektoren zu den Operatoren L̂2 und L̂z mit den entsprechenden Quantenzahlen
l und m seien die normierten Vektoren |l, mi. Betrachten Sie nun den Zustand
1
1
1
|Ψi = |1, 0i + |2, 1i + √ |2, 2i .
2
2
2
d) Welche Energiewerte werden in diesem Zustand gemessen, und mit welcher Wahrscheinlichkeit?
(5 Punkte)
e) Berechnen Sie den Mittelwert und die Schwankung des Operators L̂z für diesem Zustand.
(5 Punkte)