Lineare Algebra in der Oberstufe - userpages
Werbung
Lineare Algebra in der Oberstufe Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 11. April 2016 Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 1 / 21 Übersicht Ziel dieses Kapitels Wiederholung des Schulstoffs zur Linearen Algebra der Oberstufe Schaffung einer gemeinsamen inhaltlichen Basis Inhalte: Lage von Punkten, Geraden & Ebenen in der Ebene, im Raum Abstände & Winkel Das Skalarprodukt & Orthogonalität Das Vektorprodukt Gauß-Verfahren zum Lösen von Gleichungssysteme Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 2 / 21 Wiederholen – Vertiefen – Ausprobieren i Textvorlage dieses Kapitels: Lambacher Schweizer Mathematik Qualifikationsphase Leistungskurs/Grundkurs Ernst Klett Verlag 2015 Þ Das alte Mathe-Buch auskramen und lesen! b Alte Aufgaben rechnen (zusätzlich zu den Übungsaufgaben)! Ï Geogebra: Anschauung schulen! Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 3 / 21 Punkte in der Ebene bzw. im Raum x2 x2 3 P1 = = (3, 4)> 4 4 P1 = 3 3 x1 x1 a) in der Ebene R2 x3 b) im Raum R3 Punkte in der Ebene bzw. im Raum können wir durch Angabe der Koordinaten spezifizieren. Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 4 / 21 Abstände von Punkten x2 Wie berechnet man die Länge der Strecke PQ? P Q x1 Idee: zweimal Satz des Pythagoras anwenden x3 Die Strecke PQ. Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 5 / 21 Abstände von Punkten x2 Wie berechnet man die Länge der Strecke PQ? P Q x1 Idee: zweimal Satz des Pythagoras anwenden x3 Die Strecke PQ. Den Abstand zweier Punkte P = (p1 , p2 , p3 )> und Q = (q1 , q2 , q3 )> berechnen wir durch PQ := p (q1 − p1 )2 + (q2 − p2 )2 + (q3 − p3 )2 = 3 X ! 21 (qi − pi )2 i=1 Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 5 / 21 Vektoren Vektor: Tupel reeller Zahlen mit a) Richtung und b) Länge In der Ebene (in R2 ): z. B. # » 3 OP = Ortsvektor“ 4 ” x2 hat die Länge (auch: den Betrag) p √ 22 + 12 + 32 = 14 P # » OP O Stefan Ruzika Der Ortsvektor (im Raum) 2 # » OP = 1 3 und den Gegenvektor # » −OP = x1 §1: Schulstoff −2 −1 −3 ! 11. April 2016 6 / 21 Vektoren Vektoren beschreiben Verschiebungen im Koordinatensystem. x2 #» a MitVektoren kann man rechnen: 3 4 3+4 7 a) + = = 4 1 4+1 5 3 2·3 6 b) 2 · = = 4 2·4 8 x1 Vektor + Vektor Reelle Zahl · Vektor Vektoren Vektoren beschreiben Verschiebungen im Koordinatensystem. x2 #» b #» a MitVektoren kann man rechnen: 3 4 3+4 7 a) + = = 4 1 4+1 5 3 2·3 6 b) 2 · = = 4 2·4 8 x1 Vektor + Vektor Reelle Zahl · Vektor Vektoren Vektoren beschreiben Verschiebungen im Koordinatensystem. x2 #» #» a +b #» b #» a x1 MitVektoren kann man rechnen: 3 4 3+4 7 a) + = = 4 1 4+1 5 3 2·3 6 b) 2 · = = 4 2·4 8 Stefan Ruzika Vektor + Vektor Reelle Zahl · Vektor §1: Schulstoff 11. April 2016 7 / 21 Vektoren Vektoren beschreiben Verschiebungen im Koordinatensystem. x2 x2 #» #» a +b #» b #» a 5 · #» a x1 MitVektoren kann man rechnen: 3 4 3+4 7 a) + = = 4 1 4+1 5 3 2·3 6 b) 2 · = = 4 2·4 8 Stefan Ruzika #» a x1 Vektor + Vektor Reelle Zahl · Vektor §1: Schulstoff 11. April 2016 7 / 21 Linearkombination Einen Ausdruck wie #» + ν · #» λ · #» v +µ·w u, wobei λ, µ, ν reelle Zahlen (sogenannte Koeffizienten) sind, heißt #», #» Linearkombination der Vektoren #» v,w u, Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 8 / 21 Linearkombination Einen Ausdruck wie #» + ν · #» λ · #» v +µ·w u, wobei λ, µ, ν reelle Zahlen (sogenannte Koeffizienten) sind, heißt #», #» Linearkombination der Vektoren #» v,w u, Frage: Für welche Werte gilt 3 0 λ +µ = 0? 4 1 Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 8 / 21 Linearkombination Einen Ausdruck wie #» + ν · #» λ · #» v +µ·w u, wobei λ, µ, ν reelle Zahlen (sogenannte Koeffizienten) sind, heißt #», #» Linearkombination der Vektoren #» v,w u, Frage: Für welche Werte gilt 3 0 λ +µ = 0? 4 1 Und wie sieht es mit −32 3 12 √ 4 4 14 λ1 5 + λ2 −2 + λ3 − 1 = 0? 2 2 1 11 aus? Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 8 / 21 Linearkombination #» heißen kollinear, wenn es eine reelle Zahl λ ∈ R gibt, so dass gilt: 2 Vektoren #» v,w #» #» v = λw #» = #» #» sind linear Diese Bedingung ist äquivalent zu: #» v − λw 0 . Wir sagen: #» v und w abhängig. Kollinearität zweier Vektoren: der eine ist ein Vielfaches des anderen. Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 9 / 21 Geraden Jede Gerade g lässt sich durch eine Gleichung der Form #» x = #» p + λ #» u, (λ ∈ R) beschreiben. Dabei nennen wir #» p Stützvektor und #» u Richtungsvektor. x2 g x1 Geraden Jede Gerade g lässt sich durch eine Gleichung der Form #» x = #» p + λ #» u, (λ ∈ R) beschreiben. Dabei nennen wir #» p Stützvektor und #» u Richtungsvektor. x2 #» p g x1 Geraden Jede Gerade g lässt sich durch eine Gleichung der Form #» x = #» p + λ #» u, (λ ∈ R) beschreiben. Dabei nennen wir #» p Stützvektor und #» u Richtungsvektor. x2 #» u #» p g x1 Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 10 / 21 Geraden −7 3 5 b Liegt der Punkt A = −5 auf der Geraden g : #» x = −1 + λ 2 ? 8 2 −3 1 4 b Die Punkte A = −2 und B = 6 liegen auf einer Geraden. 5 −2 Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Geraden. Beachte: Die Gleichung zur Beschreibung einer Geraden ist nicht eindeutig. Eine Gerade g kann also durch mehrere Gleichungen beschrieben werden. Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 11 / 21 Lagebeziehungen von Geraden Zwei Geraden g und h im Raum können identisch sein. sich in einem gemeinsamen Punkt schneiden. zueinander parallel sein. zueinander windschief sein. Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 12 / 21 Lagebeziehungen von Geraden So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #» x = #» p + λ #» u und #» #» #» h : x = q + µv : Sind die Richtungsvektoren #» u und #» v parallel zueinander? Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 13 / 21 Lagebeziehungen von Geraden So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #» x = #» p + λ #» u und #» #» #» h : x = q + µv : Sind die Richtungsvektoren #» u und #» v parallel zueinander? Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #» p auf der Geraden h? Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 13 / 21 Lagebeziehungen von Geraden So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #» x = #» p + λ #» u und #» #» #» h : x = q + µv : Sind die Richtungsvektoren #» u und #» v parallel zueinander? Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #» p auf der Geraden h? I Wenn ja: g und h sind identisch. Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 13 / 21 Lagebeziehungen von Geraden So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #» x = #» p + λ #» u und #» #» #» h : x = q + µv : Sind die Richtungsvektoren #» u und #» v parallel zueinander? Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #» p auf der Geraden h? I I Wenn ja: g und h sind identisch. Wenn nein: g und h sind parallel. Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 13 / 21 Lagebeziehungen von Geraden So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #» x = #» p + λ #» u und #» #» #» h : x = q + µv : Sind die Richtungsvektoren #» u und #» v parallel zueinander? Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #» p auf der Geraden h? I I Wenn ja: g und h sind identisch. Wenn nein: g und h sind parallel. Wenn nein: Hat die Gleichung #» p + λ #» u = #» q + µ #» v eine Lösung? Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 13 / 21 Lagebeziehungen von Geraden So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #» x = #» p + λ #» u und #» #» #» h : x = q + µv : Sind die Richtungsvektoren #» u und #» v parallel zueinander? Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #» p auf der Geraden h? I I Wenn ja: g und h sind identisch. Wenn nein: g und h sind parallel. Wenn nein: Hat die Gleichung #» p + λ #» u = #» q + µ #» v eine Lösung? I Wenn ja: g und h schneiden sich. Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 13 / 21 Lagebeziehungen von Geraden So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #» x = #» p + λ #» u und #» #» #» h : x = q + µv : Sind die Richtungsvektoren #» u und #» v parallel zueinander? Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #» p auf der Geraden h? I I Wenn ja: g und h sind identisch. Wenn nein: g und h sind parallel. Wenn nein: Hat die Gleichung #» p + λ #» u = #» q + µ #» v eine Lösung? I I Wenn ja: g und h schneiden sich. Wenn nein: g und h sind windschief. Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 13 / 21 Skalarprodukt & Orthogonalität a1 b1 #» #» Für #» a = a2 und b = b2 definieren wir das Skalarprodukt von #» a und b als a3 b3 3 X #» #» a · b := a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = ai bi . i=1 Beachte: Beim Skalarprodukt verknüpfen wir multiplikativ zwei Vektoren und erhalten ein Skalar (also eine reelle Zahl). Dies ist schon die zweite Bedeutung von ·, die wir in dieser Vorlesung kennenlernen. Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 14 / 21 Skalarprodukt & Orthogonalität 0 #» #» #» a und b seien nachfolgend beide ungleich dem Nullvektor 0 = 0. 0 #» #» #» a und b heißen orthogonal, wenn #» a · b =0 Es gilt: −4 2 #» #» a · b = 1 · 9 = −4 · 2 + 1 · 9 + 1 · (−1) = 0 1 −1 #» #» Also: #» a und b sind orthogonal; wir schreiben dafür auch: #» a ⊥ b. Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 15 / 21 Skalarprodukt & Orthogonalität Eigenschaften (Rechenregeln) #» Für das Skalarprodukt von Vektoren #» a , b und #» c gilt: #» #» #» #» 1 a ·b = b·a #» #» 2 r · #» a · b = r · ( #» a · b ) für jede reelle Zahl r ∈ R #» #» 3 ( #» a + b ) · #» c = #» a · #» c + b · #» c 4 #» a · #» a = | #» a |2 Stefan Ruzika §1: Schulstoff (Kommutativität) (Assoziativität) (Distributivität) 11. April 2016 16 / 21 Skalarprodukt & Orthogonalität Eigenschaften (Rechenregeln) #» Für das Skalarprodukt von Vektoren #» a , b und #» c gilt: #» #» #» #» 1 a ·b = b·a #» #» 2 r · #» a · b = r · ( #» a · b ) für jede reelle Zahl r ∈ R #» #» 3 ( #» a + b ) · #» c = #» a · #» c + b · #» c 4 #» a · #» a = | #» a |2 (Kommutativität) (Assoziativität) (Distributivität) Typische Aufgaben: b Überprüfung der Orthogonalität zweier gegebener Geraden. b Bestimmung zueinander orthogonaler Vektoren. b Bestimmung fehlender Koordinaten von orthogonalen Vektoren. b Orthogonalität bei geometrischen Figuren. b Beweis der vier oben genannten Eigenschaften. Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 16 / 21 Winkel zwischen Vektoren #» Für den Winkel α zwischen den Vektoren #» a und b gilt: #» #» #» a · b = | #» a | · | b | · cos(α) Stefan Ruzika §1: Schulstoff mit 0◦ ≤ α ≤ 180◦ 11. April 2016 17 / 21 Winkel zwischen Vektoren #» Für den Winkel α zwischen den Vektoren #» a und b gilt: #» #» #» a · b = | #» a | · | b | · cos(α) mit 0◦ ≤ α ≤ 180◦ 4 2 #» Sei #» a = 3 und b = 0. Dann gilt für den Winkel α zwischen diesen beiden 3 1 #» #» Vektoren a und b : #» #» a ·b 8+0+3 11 √ cos(α) = #» #» = = √ 5 14 5 14 |a| · |b| Also gilt: α ≈ 54, 0◦ Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 17 / 21 Gauß-Verfahren Eine der häufigsten Aufgaben der Linearen Algebra / der Mathematik Lineare Gleichungssysteme (LGS) lösen. Carl Friedrich Gauß https://commons.wikimedia.org/ wiki/File:Carl Friedrich Gauß.jpg Wie löst man ein LGS? Lineare Algebra Warum ist das so richtig? Lineare Algebra Wie löst man ein LGS schnell? Wie löst man ein LGS stabil? Numerik Numerik Wo muss man LGS in der Praxis lösen? Schule ©, Optimierung, Finanzmathematik, Computergrafik, . . . quasi immer mal wieder und überall! Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 18 / 21 Gauß-Verfahren Der einfache Fall: Angenommen, es ist ein LGS in Zeilenstufenform gegeben: 2x1 Das lässt sich leicht lösen! Stefan Ruzika − 3x2 2x2 + + x3 5x3 −2x3 = −8 = −6 = 4 Rechnung an der Tafel §1: Schulstoff 11. April 2016 19 / 21 Gauß-Verfahren Gauß-Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme 1 Bringe das LGS durch Äquivalenzumformungen auf Zeilenstufenform. 2 Löse die Gleichungen der Zeilenstufenform schrittweise von unten nach oben. LGS: 3x1 3x1 3 2 x1 + 6x2 + 2x2 + 5x2 − + − 2x3 x3 5x3 = −4 = 0 = −9 Kurzschreibweise in Matrixform: 3 6 −2 −4 3 2 1 0 3 5 −5 −9 2 Rechnung an der Tafel Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 20 / 21 Stefan Ruzika §1: Schulstoff 11. April 2016 21 / 21
