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Trigonometrie
Geometrie Kapitel 3
MnProfil - Mittelstufe KSOe
Ronald Balestra
CH - 8046 Zürich
www.ronaldbalestra.ch
29. Januar 2012
Inhaltsverzeichnis
3 Trigonometrie
3.1 Warum Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Trigonometrie am Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Das Bogenmass & die Graphen der trigonometrischen Funktionen
3.5 Astrometrie - ein WebQuest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Längen- & Winkelmessgeräte . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Die alten Griechen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Kepler & seine Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Sinus- und Cosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.5 Der Venustransit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.6 Radioastronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
3
7
12
15
15
15
15
15
15
15
4 Trigonometrie - 2. Teil
16
4.1 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Trigonometrie im beliebigen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.1 Der Cosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.2 Der Sinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2.3 Eindeutigkeit der Lösungen bei der Anwendung des Sinusund Cosinussatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4 Goniometrische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
I
3
3.1
Trigonometrie
Warum Trigonometrie
In der Trigonometrie (von griechisch trigonon - Dreieck und métron - Mass)
werden wir uns mit der Berechnung von Seiten und Winkeln in einem Dreieck
befassen.
Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks lassen sich mit Hilfe des Satzes von
Pythagoras schon einige Aufgaben exakt lösen:
Beispiel 3.1.1 In einem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC sind die Länge der
Hypotenuse c = 6 und die Länge einer Kathete b = 3, 7
bekannt.
Konstruiere das Dreieck ∆ABC und berechne die Länge
der zweiten Kathete und die Höhe des Dreiecks ∆ABC.
Doch schon für die Bestimmung der Winkelöffnungen sind wir auf wenig
genaue Hilfsmittel angewiesen:
1
Durch das Konstruieren mit Zirkel und Lineal und dem Bestimmen der Winkelöffnung mit Hilfe des Geodreiecks schleichen sich Fehler ein, die wir später
durch die Anwendung trigonometrischer Berechnungsmethoden werden verhindern können.
Zu dem sind wir bei unseren bisherigen Berechnungen, um den Satz des Pythagoras überhaupt anwenden zu können, auf die Existenz eines rechten Winkel
angewiesen und auch auf die Angabe der richtigen Dreiecksteile:
Beispiel 3.1.2 In einem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC sind die Länge der
Kathete a = 5, 5 und die Öffnung des Winkels α = 630
bekannt.
Konstruiere das Dreieck ∆ABC und berechne die Längen
der übrigen Seiten und die Grösse des fehlenden Winkels.
Mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen werden wir später auch diese
Aufgabe (und ähnliche) exakt lösen können.
2
3.2
Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
Wir beginnen mit den trigonometrischen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck
und untersuchen dazu die folgenden Dreiecke auf Gemeinsamkeiten:
Was haben die folgenden Dreiecke gemeinsam ?
3
Wir fassen zusammen:
Def.:
In einem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC mit den üblichen Bezeichnungen werden die trigonometrischen Funktionen wie folgt
definiert:
sin α :=
cos α :=
tan α :=
Bem.:
• sin β :=
• cos β :=
• tan β :=
. . . und wir können schon die ersten Beziehungen zwischen sin und cos (in
einem rewchtwinkligen Dreieck) formulieren:
4
Aufgaben :
Bestimme mit dem Taschenrechner die folgenden
Werte:
1. den Sinus von 130 , 76.50 , 658290 ,
2. den Cosinus von 770 , 43.90 , −540 ,
3. den Tangens von 20 , 37.880 ,
4. den Winkel mit dem zugehörigen Sinuswert
0.8, 0.2, −0.6,
5. den Winkel mit dem zugehörigen Cosinuswert
0.8, 0.2, 2.1,
6. den Winkel mit dem zugehörigen Tangenswert
0.8, 0.2, 2.1.
Bestimme die folgenden Werte exakt und verifiziere
deine Resultate mit dem TR:
α
00
300
450
600
sin
...
...
...
...
...
cos
...
...
...
...
...
tan
...
...
...
...
...
5
900
Standardaufgaben :
Für die folgenden Aufgaben arbeiten wir wieder in
einem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC mit den üblichen Bezeichnungen:
1. Geg: c = 56.4 ∧ α = 38.50
Ges.: a, b
2. Geg: a = 148.2 ∧ β = 38.50
Ges.: b, c
3. Geg: a = 10.74 ∧ b = 6.48
Ges.: α, c, β
Aufgaben: Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 1
6
3.3
Trigonometrie am Einheitskreis
In diesem Abschnitt werden wir den Einheitskreis einführen und an ihm die
trigonometrischen Beziehungen neu definieren. Wir werden ihn als praktisches
Hilfsmittel kennenlernen und festellen, . . .
• dass die bisherigen Definitionen (im rechtwinkligen Dreieck) weiterhin
Gültigkeit haben,
• dass wir die trigonometrischen Funktionen nicht nur auf Winkel zwischen
00 und 900 anwenden können
und
• dass es einige interessante Beziehungen zwischen den trigonometrischen
Funktionen gibt.
Der Einheitskreis:
Def.:
cos ϕ := x-Koordinate von P
sin ϕ := y-Koordinate von P
tan ϕ := Quotient der y- & der x-Koordinate von P
Veranschaulichung:
7
Verwende zur Lösung der folgenden Aufgaben den Einheitskreis:
Aufgaben :
1. Bestimme die folgenden Werte:
ϕ
00
900
1800
2700
3600
sin
...
...
...
...
...
cos
...
...
...
...
...
tan
...
...
...
...
...
2. Beweise: sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1
3. Beweise: sin ϕ = cos(900 − ϕ)
4. Beweise: cos ϕ = sin(900 − ϕ)
Als einen weiteren Zusammenhang wollen wir festhalten: tan ϕ =
8
sin ϕ
cos ϕ
Mit Hilfe des Einheitskreises lassen sich viele Beziehungen und Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen erkennen:
• Für welche Winkel ist der sin-Wert negativ ?
• Für welche Winkel ist der cos-Wert > 0, 5 ?
• Für welche Winkel ist der tan-Wert positiv ?
9
• Für welche Winkel erhalten wir den selben sin-Wert ?
und aus dem Verhalten der x-Koordinaten können wir schliessen:
• Für welche Winkel erhalten wir denselben cos-Wert ?
und aus dem Verhalten der x-Koordinaten können wir schliessen:
•
Was für Beziehungen zwischen sin und cos lassen sich mit
Hilfe des 3. Quadranten bestimmen ?
Aufgabe :
Formuliere eigene Beziehungen zwischen sin und cos.
10
Wir wollen uns abschliessend noch mit dem Tangens beschäftigen:
Nach Definition gilt für den Tangens: tan ψ :=
im 2. Quadranten:
tan ψ =
im 3. Quadranten:
tan ψ =
im 4. Quadranten:
tan ψ =
Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 6 - 1. Seite
11
sin ψ
cos ψ
3.4
Das Bogenmass & die Graphen der trigonometrischen
Funktionen
Neben der Darstellung der Argumente der trigonometrischen Funktionen im
Gradmass ist auch die Darstellung im sog. Bogenmass üblich. Wir verwenden
als Grundlage den Zusammenhang zwischen dem Umfang des Einheitskreises
und der zugehörigen Winkelöffnung:
. . . und definieren:
Aufgaben :
1. Stelle die Aufgabe im Bogenmass dar und berechne den Funktionswert:
(a) sin 300
(b) cos 1200
(c) tan 900
2. Stelle die Aufgabe im Gradmass dar und bestimme den Funktionswert:
(a) sin π2
(b) cos − π6
(c) tan 2π
3
12
Die graphischen Darstellungen von sin, cos & tan:
• für den Sinus:
• für den Cosinus:
13
• für den Tangens:
Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 6 - 2. Seite
14
3.5
Astrometrie - ein WebQuest
Die Astrometrie beschäftigt sich mit den geometrischen Methoden der Distanzbestimmung in der Astronomie.
In diesem WebQuest werdet ihr euch dazu in Gruppen mit den folgenden Themen auseinandersetzen:
3.5.1
Längen- & Winkelmessgeräte
Die Entwicklung und Anwendung verschiedener Messgeräte.
3.5.2
Die alten Griechen
Das Wissen über die Entfernungen in unserem Sonnensystem vor der Zeit Keplers.
3.5.3
Kepler & seine Gesetze
Seine Gestze und die Anwendung auf die Entfernungsbestimmungen
3.5.4
Sinus- und Cosinussatz
Die Verallgemeinerung der trigonometrischen Bezieheung auf beliebige Dreiecke.
3.5.5
Der Venustransit
Die Bestimmung der Distanz Erde-Sonne
3.5.6
Radioastronomie
Moderne Methoden der Entfernungsbestimmung
15
4
Trigonometrie - 2. Teil
Wir werden im 2. Teil der Trigonometrie mit einer kurzen Repetition der bisherigen trigonometrischen Beziehungen beginnen und uns anschliessend mit den
trigonometrischen Beziehungen im beliebigen Dreieck befassen. Dies wird uns
auf den Sinus- und Cosinussatz führen, dessen Anwendungen wir an Besipielen
besprechen werden und uns inbesondere auch die Eindeutigkeit von Lösungen
bei deren Anwendungen diskutieren.
Wir werden uns mit weiteren trigonometrischen Beziehungen auseinandersetzen, den sog. Additionstheoremen.
Abschliessend werden wir noch die Goniometrischen Gleichungen diskutieren.
4.1
Repetition
16
..
Geometrie-Aufgaben: Repetitionsserie
17
4.2
4.2.1
Trigonometrie im beliebigen Dreieck
Der Cosinussatz
Der Cosinussatz: In einem beliebigen Dreieck ∆ABC gilt:
Beweis:
18
Aufgaben :
In einem beliebigen Dreieck ∆ABC sind folgende
Grössen gegeben:
a = 8 , b = 5 , γ = 750
Konstruiere das Dreieck ∆ABC und bestimme
c , α &β .
19
4.2.2
Der Sinussatz
Der Sinussatz: In einem beliebigen Dreieck ∆ABC gilt:
Beweis:
20
Aufgaben :
In einem beliebigen Dreieck ∆ABC sind folgende
Grössen gegeben:
α = 250 ,
a=4,
b=6
Konstruiere das Dreiech ∆ABC und bestimme
c , β &γ.
Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 7
21
4.2.3
Eindeutigkeit der Lösungen bei der Anwendung des Sinus- und
Cosinussatzes
Wir wollen nun der Frage nachgehen, unter welchen Bedingungen eine oder
mehrere Lösungen existieren und wir wie viele Lösungen gebrauchen.
Grundsätzlich gilt, das bei Dreiecksaufgaben die Lösungen eindeutig bestimmt sind, wenn die Kongruenzsätze erfüllt sind:
1. . . .
2. . . .
3. . . .
4. . . .
Bei der Umkehrung der Sinus- und Cosinusfunktion (sin−1 und cos−1 ) entstehen aber mehrere Lösungen:
• Ist der Cosinuswert bekannt, so liefert uns der TR einen zugehörigen Winkel, während die Anwendung des Einheitskreises und die Periodizität unendlich viele Lösungen liefert:
Bsp.: cos ϕ = 0, 7
· der TR liefert:
ϕ0 = . . .
· der Einheitskreis liefert :
ϕ0 = . . .
ψ0 = . . .
· die Periodizität
liefert:
ϕ1 = . . .
ϕ2 = . . .
..
.
ϕk = . . .
ψ1 = . . .
ψ2 = . . .
..
.
ψk = . . .
22
des
Cosinus
• Ist der Sinuswert bekannt, so liefert uns der TR einen zugehörigen Winkel,
während die Anwendung des Einheitskreises und die Periodizität unendlich viele Lösungen liefert:
Bsp.: sin ϕ = 0, 4
· der TR liefert:
ϕ0 = . . .
· der Einheitskreis liefert :
ϕ0 = . . .
ψ0 = . . .
· die Periodizität
liefert:
ϕ1 = . . .
ϕ2 = . . .
..
.
des
Cosinus
ϕk = . . .
ψ1 = . . .
ψ2 = . . .
..
.
ψk = . . .
Welche Lösung/ Lösungen sind nun zu verwenden und unter welchen Bedingungen ist es überhaupt notwendig, eine zweite Lösung zubestimmen?
• Im Fall Cosinus:
· die zweite Lösung ist immer
· ⇒
· ⇒
• Im Fall Sinus:
· die zweite Lösung ist immer
· ⇒
· ⇒
Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 8
23
4.3
Additionstheoreme
Wir werden uns in diesem Kapitel mit exakt berechenbaren Sinus- & Cosinuswerten beschäftigen und beginnen mit den uns schon bekannten Werten im
rechtwinkligen Dreieck:
Über den Einheitskreis können wir nun auch die folgenden Werte exakt berechnen:
Die Periodizität liefert noch unendlich viele weitere, aber mathematisch nicht
weiter interessante, exakt berechenbare trigonometrischen Werte.
24
Da die trigonometrischen Funktionen nicht linear sind,
lässt sich z.B. sin(300 ) nicht einfach durch
1
2
sin(600 ) berechnen:
oder z.B. sin(300 ) + sin(600 ) 6= sin(300 + 600 ) = sin(900 ):
Wir wollen nun Formeln entwickeln, welche einen Zusammenhang z.B. zwischen sin(α + β) und sin α und sin β herstellt. Dies führt uns auf die sog:
Summenformeln / Additionstheoreme
25
Aufgaben :
Analog lassen sich die folgenden Beziehungen herleiten:
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
Für den Fall, dass α und β spitz, die Summe α + β aber stumpf ist, hilft die
folgende Figur:
26
Der Fall, dass α und β nicht mehr spitz sind, lässt sich durch geschicktes Umformen und Anwenden der Additionstheoreme auf die bewiesenen Situationen
herleiten:
Aufgaben :
Berechne exakt die folgenden Werte:
• sin 750
• cos 750
• tan 750
27
Wir wollen noch das Additionstheorem für den Tangens herleiten und seine
Anwendung im Bestimmen von Schnittwinkeln zwischen Geraden untersuchen:
Beispiel 4.3.1 Bestimme den Schnittwinkel, unter welchem sich die folgenden Geraden schneiden:
g(x) =
5
7
x + 6 und h(x) = − x − 4
2
3
28
Aufgaben :
Leite die Doppelwinkelformeln her:
sin 2α
=
2 sin α cos α
cos 2α
=
(cos α)2 − (sin α)2
=
=
tan 2α
=
(1)
(2)
2
(3)
2(cos α) − 1
2 tan α
1 − (tan α)2
(4)
1 − 2(sin α)
2
(5)
. . . und Veranschauliche an folgender Figur die Gleichung (1), (3) & (4):
29
Für die Herleitung von sin 360 (und weitere exakte Werte) verwende für
ein selbständiges Durcharbeiten den folgenden Link:
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/cos36.shtml
30
Verschaffe Dir einen Überblick über die weiteren Formeln (Halbwinkel-Formeln,
Produkt-Summen-formel, Summen-Produkt-Formeln, . . . )
und löse die folgenden Aufgaben:
31
Aufgaben :
Berechne die folgenden Winkel exakt:
p
√
• sin 150 = 12 2 − 3
p
√
• cos 360 = 41 ( 10 − 2 5)
• tan 270 =
√
5−1−
32
p
√
5−2 5
4.4
Goniometrische Gleichungen
Wir schliessen unsere Trigonometrie mit einem kurzen Einblick in die
Goniometrische Gleichungen.
Das sind Gleichungen, in welchen die Unbekannte in mindestens einem trigonometrischen Term vorkommt.
Ein einfaches Beispiel:
π
cos x =
4
Wir wollen im Folgenden uns mit vier ausgewählten Beispielen befassen, welche durch geschicktes Umformen einfach zu lösen und interessant zu diskutieren
sind:
• (tan x)2 = tan x
• cos 2x − cos x = 0
33
• 3 sin x − 4 cos x = 0
• 3 sin x − 4 cos x = 5
Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 9
34