Mengen und Logik - Vorkurs Informatik

Mengen und Logik
Vorkurs Informatik
Institut für Informatik
Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf
Sommersemester 2016
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Warum Mengenlehre und Logik?
Mengenlehre und Logik sind notwendig für
• Mathematikvorlesungen
• Vorlesungen in (theoretischer) Informatik
• einfache logische Ausdrücke auch schon beim Programmieren simpler
Programme
Logisches Verständnis ist eine grundlegende Fähigkeit für Informatiker.
Viele Ideen, Definitionen und Beispiele dieses Foliensatzes stammen aus:
Wie man mathematisch denkt
Eine Einführung in die mathematische Arbeitstechnik für Studienanfänger
Autor: Kevin Houston
Verlag: Springer Spektrum
ISBN: 978-3-8274-297-1
2 / 45
Gliederung
1 Mengen
2 Aussagenlogik
3 Quantoren
4 Pingo
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Was ist das und wofür brauchen wir es?
Die folgende Definition liefert einen anschaulichen Begriff einer Menge und
ist für unsere Zwecke ausreichend.
Definition (nach Cantor)
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten
wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres
Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen.
Wir möchten uns später mit sogenannten Quantoren auseinander setzen.
Hierfür benötigen wir Mengen.
4 / 45
Mengen
Aussagenlogik
Beispiele
Aufgabe 1
Welche Mengen kennt Ihr?
5 / 45
Quantoren
Pingo
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Beispiele
Aufgabe 1
Welche Mengen kennt Ihr?
• Die Menge der Studierenden in diesem Raum.
• Die Menge der Menschen, die in Düsseldorf lebt.
• t1, 2, 3u
• t Hund, Katze, Maus u
• tt1, 2u, 3u
• Die Menge der natürlichen Zahlen N “ t1, 2, 3, 4, . . . u.
• Die Menge der ganzen Zahlen Z “ t. . . , ´3, ´2, ´1, 0, 1, 2, 3, . . . u.
• Die Menge der natürlichen Zahlen, die durch zwei teilbar sind:
tn P N | n : 2 “ 0u
• Die Menge aller negativen ganzen Zahlen:
tz P Z | z ă 0u
5 / 45
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Notation
Es gibt verschiedene Möglichkeiten Mengen zu notieren:
• Textuelle Beschreibung:
Die Menge der Studierenden in diesem Raum.
• Aufzählung aller Elemente der Menge innerhalb von Mengenklammern
t Hund, Katze, Maus u
• Mengen mit bestimmten Namen:
N
• Beschreibung in Mengenklammern mit Einschränkungen
tz P Z | z ă 0u
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Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Elemente einer Menge
Die Zeichen P und R
Wenn m ein Element der Menge M ist schreiben wir kurz m P M.
Wenn m kein Element der Menge M ist schreiben wir kurz m R M.
Beispiele
• Hund P t Hund, Katze, Maus u
• H R t Hund, Katze, Maus u
• 3 P t1, 2, 3u
• 3 R t2, 4, 6u
• ´3 P Z
• ´3 R N
• t1, 2u P tt1, 2u, 3u
• t1, 2u R t1, 2, 3u
7 / 45
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Weitere Beispiele für Mengen
Aufgabe 2
• Schreibt jeder alleine drei Mengen auf.
• Gebt für jede Menge zwei Elemente an, die in dieser enthalten sind und
zwei Elemente, die nicht in dieser enthalten sind.
• Findet euch mit eurem Sitznachbarn zusammen und korrigiert euch
gegenseitig. Meldet euch, wenn Ihr Fragen habt oder Hilfe benötigt.
Hier nochmal die Beispiele von der letzten Folie:
8 / 45
• Hund P t Hund, Katze, Maus u
• ´3 P Z
• H R t Hund, Katze, Maus u
• ´3 R N
• 3 P t1, 2, 3u
• t1, 2u P tt1, 2u, 3u
• 3 R t2, 4, 6u
• t1, 2u R t1, 2, 3u
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Kardinalität von Mengen und die leere Menge
• Die leere Menge ist die einzige Menge, die keine Elemente enthält.
• Wir schreiben entweder tu oder H.
• Wir können eine Menge definieren, die die leere Menge enthält (dies
wird tatsächlich manchmal benötigt!): tHu
• Achtung: H und tHu sind nicht dasselbe.
• Die leere Menge enthält also keine Elemente. Wir schreiben hierfür
|H| “ 0.
• Auch die Elemente anderer endlicher Mengen können wir zählen1 . Diese
Zahl nennt sich Kardinalität einer Menge.
• Beispiel: |t10, 20, 30, 40u| “ 4
1
9 / 45
Für unendliche Mengen lernt Ihr das später in den Mathevorlesungen
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Gleichheit von Mengen
Definition
Zwei Mengen X und Y sind gleich genau dann, wenn sie die gleichen
Elemente haben. Wir schreiben dann X “ Y . Ansonsten schreiben wir
X ‰ Y.
Anmerkung: Insbesondere kommt es nicht auf die Reihenfolge an, in der wir
Elemente in eine Menge schreiben. Sie dürfen auch beliebig oft vorkommen.
Beispiele:
• tHund, Katze, Maus, Mausu “ t Hund, Katze, Mausu
• t1, 2, 3, 4u “ t4, 2, 3, 1u
10 / 45
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Teilmengen
Definition
Es sei X eine Menge. Eine Menge Y heißt Teilmenge von X, wenn jedes
Element von Y auch in X enthalten ist. Wir schreiben dann Y Ď X .
Y ist eine echte Teilmenge von X , wenn zusätzlich X ‰ Y gilt. Wir schreiben
dann Y Ă X .
Beispiele:
• t1, 2, 3, 4u Ă N
• Sei M eine Menge, aber nicht die leere Menge. Dann gilt H Ă M.
• Sei M eine Menge. Dann gilt H Ď M.
• t3u Ă tt1, 2u, 3u
• tt1, 2uu Ă tt1, 2u, 3u
• aber t1, 2u Ć tt1, 2u, 3u
11 / 45
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Teilmengen
Definition
Es sei X eine Menge. Eine Menge Y heißt Teilmenge von X, wenn jedes
Element von Y auch in X enthalten ist. Wir schreiben dann Y Ď X .
Y ist eine echte Teilmenge von X , wenn zusätzlich X ‰ Y gilt. Wir schreiben
dann Y Ă X .
Beispiele:
• t1, 2, 3, 4u Ă N
• Sei M eine Menge, aber nicht die leere Menge. Dann gilt H Ă M.
• Sei M eine Menge. Dann gilt H Ď M.
• t3u Ă tt1, 2u, 3u
• tt1, 2uu Ă tt1, 2u, 3u
• aber t1, 2u Ć tt1, 2u, 3u
Die Symbole P und Ă müssen streng unterschieden werden.
11 / 45
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Aufgabe zu Kardinalität und Teilmengen
Aufgabe 3
Betrachtet eure Mengen aus Aufgabe 2. Schreibt für jede dieser Mengen auf,
welche Kardinalität sie hat. Schreibt weiterhin einige Teilmengen für eure
Mengen auf. Kontrolliert euch wieder gegenseitig.
12 / 45
Gliederung
1 Mengen
2 Aussagenlogik
3 Quantoren
4 Pingo
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Aussagen
Aufgabe 4
Diskutiert in der Gruppe: Was ist eine Aussage?
14 / 45
Pingo
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Aussagen
Aufgabe 4
Diskutiert in der Gruppe: Was ist eine Aussage?
Definition
Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist.
Beispiele:
• 2 + 2 ist vier.
• Es gibt unendlich viele Primzahlen.
• 0 = 1.
• Alle Katzen sind grau.
• P = NP.
• Öffne das Fenster.
14 / 45
Pingo
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Aussagen
Aufgabe 4
Diskutiert in der Gruppe: Was ist eine Aussage?
Definition
Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist.
Beispiele:
• 2 + 2 ist vier. – wahr
• Es gibt unendlich viele Primzahlen.
• 0 = 1.
• Alle Katzen sind grau.
• P = NP.
• Öffne das Fenster.
14 / 45
Pingo
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Aussagen
Aufgabe 4
Diskutiert in der Gruppe: Was ist eine Aussage?
Definition
Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist.
Beispiele:
• 2 + 2 ist vier. – wahr
• Es gibt unendlich viele Primzahlen. – wahr
• 0 = 1.
• Alle Katzen sind grau.
• P = NP.
• Öffne das Fenster.
14 / 45
Pingo
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Aussagen
Aufgabe 4
Diskutiert in der Gruppe: Was ist eine Aussage?
Definition
Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist.
Beispiele:
• 2 + 2 ist vier. – wahr
• Es gibt unendlich viele Primzahlen. – wahr
• 0 = 1. – falsch
• Alle Katzen sind grau.
• P = NP.
• Öffne das Fenster.
14 / 45
Pingo
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Aussagen
Aufgabe 4
Diskutiert in der Gruppe: Was ist eine Aussage?
Definition
Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist.
Beispiele:
• 2 + 2 ist vier. – wahr
• Es gibt unendlich viele Primzahlen. – wahr
• 0 = 1. – falsch
• Alle Katzen sind grau. – falsch
• P = NP.
• Öffne das Fenster.
14 / 45
Pingo
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Aussagen
Aufgabe 4
Diskutiert in der Gruppe: Was ist eine Aussage?
Definition
Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist.
Beispiele:
• 2 + 2 ist vier. – wahr
• Es gibt unendlich viele Primzahlen. – wahr
• 0 = 1. – falsch
• Alle Katzen sind grau. – falsch
• P = NP. – Wir wissen nicht, ob dies stimmt oder nicht. Aber es ist eine
Aussage. (Dieses Problem wird euch in eurem Studium sicherlich
nochmal begegnen.)
• Öffne das Fenster.
14 / 45
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Aussagen
Aufgabe 4
Diskutiert in der Gruppe: Was ist eine Aussage?
Definition
Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist.
Beispiele:
• 2 + 2 ist vier. – wahr
• Es gibt unendlich viele Primzahlen. – wahr
• 0 = 1. – falsch
• Alle Katzen sind grau. – falsch
• P = NP. – Wir wissen nicht, ob dies stimmt oder nicht. Aber es ist eine
Aussage. (Dieses Problem wird euch in eurem Studium sicherlich
nochmal begegnen.)
• Öffne das Fenster. – keine Aussage
14 / 45
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Übungen
Aufgabe 5
Welche der folgenden Sätze sind Aussagen?
15 / 45
1
Aristoteles war Grieche.
2
3
Aristoteles war bedeutend.
?
Die Zahl 2 ist rational.
4
Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen.
Pingo
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Übungen
Aufgabe 5
Welche der folgenden Sätze sind Aussagen?
1
Aristoteles war Grieche.
2
3
Aristoteles war bedeutend.
?
Die Zahl 2 ist rational.
4
Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen.
Aufgabe 6
Angenommen Ihr seht auf einem Tisch genau vier Münzen liegen. Welche
der folgenden Aussagen sind wahr?
15 / 45
1
Es liegen vier Münzen auf dem Tisch.
2
Es liegen fünf Münzen auf dem Tisch.
3
Es liegen drei Münzen auf dem Tisch.
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Negation
Definition
Die Negation einer Aussage A ist die Aussage, die wahr ist, wenn A falsch ist
und umgekehrt.
Beispiele:
Winston Churchill war Engländer.
x ist ungerade.
Winston Churchill
Engländer.
x ist nicht ungerade.
Notation:
• nicht(A)
•
A
• A
• Programmierer schreiben oft auch !A
16 / 45
war
Logisches Gatter:
nicht
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Wahrheitstabelle – Nicht
In der Informatik steht 1 oft für wahr und 0 für falsch. Wir werden dies ab hier
so benutzen. Eine Wahrheitstabelle gibt die Zustände einer logischen
Funktion für alle möglichen Eingaben an.
A
A
0
1
1
0
Aufgabe 7
Wie sieht die Wahrheitstabelle für
A
0
1
17 / 45
p Aq aus?
A
1
0
p Aq
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Und
Mit der und“-Verknüpfung könnt ihr mehrere logische Aussagen
”
zusammensetzen. Ihr Gebrauch entspricht dem Gebrauch in normaler
Sprache.
Beispiele:
• Mein Hund ist schwarz und Pauls Hund ist weiß.
• Ihr müsst Informatik- und Mathematikvorlesungen hören.
• Ich mag Eis und ich mag keine Sahne.
Statt und“ wird häufig ^ geschrieben. Programmierer schreiben außerdem
”
oft &&.
18 / 45
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Wahrheitstabelle – Und
19 / 45
A
B
A^B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
Pingo
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Wahrheitstabelle – Und
A
B
A^B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
Aufgabe 8
Wie sieht die Wahrheitstabelle für A ^
19 / 45
A
B
0
0
1
1
0
1
0
1
B aus?
A^
B
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Wahrheitstabelle – Und
A
B
A^B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
Aufgabe 8
Wie sieht die Wahrheitstabelle für A ^
19 / 45
A
B
0
0
1
1
0
1
0
1
B
B aus?
A^
B
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Logisches Gatter - Und
Logisches Symbol für Und:
Der logische Ausdruck A ^
werden:
A
B
20 / 45
B kann in einer Schaltung wie folgt dargestellt
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Logisches Und
Aufgabe 9
Wie sieht die logische Schaltung für den Ausdruck A ^ B ^
21 / 45
C aus?
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Logisches Und
Aufgabe 9
Wie sieht die logische Schaltung für den Ausdruck A ^ B ^
Lösung:
A
B
C
21 / 45
C aus?
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Oder
Paul geht einkaufen oder mit dem Hund spazieren.
Achtung Falle: Im normalen Sprachgebrauch interpretieren wir, dass Paul
entweder einkaufen geht, oder mit dem Hund spazieren geht. Ein Logiker,
wird die Aussage aber auch dann als wahr bewerten, wenn Paul beides
macht!
Beispiele
• Es sei m oder n ungerade.
Bedeutung: Eine der Zahlen m oder n soll ungerade sein. Die andere
Zahl kann sowohl gerade als auch ungerade sein.
• Mein Hund ist schwarz oder Pauls Hund ist weiß (Bedeutung auf
nächster Folie).
22 / 45
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Übung – Oder
Aufgabe 10
Mein Hund ist schwarz oder Pauls Hund ist weiß.
Entscheidet, ob die Aussage über die Hunde wahr ist, wenn folgende
Bedingungen gelten:
23 / 45
mein Hund
Pauls Hund
schwarz
schwarz
weiß
weiß
schwarz
weiß
schwarz
weiß
Aussage wahr?
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Wahrheitstabelle – Oder
Statt oder“ schreibt man häufig _. Programmierer schreiben oft ||.
”
A B A_B
0 0
0
0 1
1
1 0
1
1 1
1
24 / 45
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Wahrheitstabelle – Oder
Statt oder“ schreibt man häufig _. Programmierer schreiben oft ||.
”
A B A_B
0 0
0
0 1
1
1 0
1
1 1
1
Aufgabe 11
Wie sieht die Wahrheitstabelle für A ^ B _
A
0
0
1
1
Hinweis:
B
B aus?
A^
B
0
1
0
1
bindet stärker als ^ und ^ bindet stärker als _! Also ist
A^B_
24 / 45
A^
A^B_
A^
B “ pA ^ Bq _ pp Aq ^ p Bqq
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Wahrheitstabelle – Oder
Statt oder“ schreibt man häufig _. Programmierer schreiben oft ||.
”
A B A_B
0 0
0
0 1
1
1 0
1
1 1
1
Aufgabe 11
Wie sieht die Wahrheitstabelle für A ^ B _
A
0
0
1
1
Hinweis:
B
A^
B aus?
A^B_
A^
B
0
1
0
1
bindet stärker als ^ und ^ bindet stärker als _! Also ist
A^B_
24 / 45
A^B
A^
B “ pA ^ Bq _ pp Aq ^ p Bqq
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Wahrheitstabelle – Oder
Statt oder“ schreibt man häufig _. Programmierer schreiben oft ||.
”
A B A_B
0 0
0
0 1
1
1 0
1
1 1
1
Aufgabe 11
Wie sieht die Wahrheitstabelle für A ^ B _
A
0
0
1
1
Hinweis:
B
A^
B
A^
B aus?
A^B_
A^
B
0
1
0
1
bindet stärker als ^ und ^ bindet stärker als _! Also ist
A^B_
24 / 45
A^B
A^
B “ pA ^ Bq _ pp Aq ^ p Bqq
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Logisches Gatter - Oder
Logisches Symbol für Oder:
Der logische Ausdruck A ^ B _
dargestellt werden:
A
B
C
25 / 45
C kann in einer Schaltung wie folgt
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Logisches Oder
Aufgabe 12
Wie sieht die logische Schaltung für den Ausdruck A ^ B _
26 / 45
A^
B aus?
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Logisches Oder
Aufgabe 12
Wie sieht die logische Schaltung für den Ausdruck A ^ B _
Lösung:
A
B
26 / 45
A^
B aus?
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Logische Schaltungen
Aufgabe 13
Wann ist in der folgenden logischen Schaltung D “ 1? Gib den passenden
logischen Ausdruck D sowie eine zugehörige Wahrheitstabelle an.
A
B
D
C
27 / 45
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Äquivalenz
Definition
Zwei Aussagen sind äquivalent, wenn ihre Wahrheitstabellen identisch sind.
Beispiel:
Mein Hund ist schwarz oder Pauls Hund ist weiß.“ ist äquivalent zu
”
nicht(mein Hund ist weiß und Pauls Hund ist schwarz)“.
”
28 / 45
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Aufgabe zur Äquivalenz
Aufgabe 14
Sind die Aussagen
29 / 45
pA ^ Bq und
A
B
0
0
1
1
0
1
0
1
A_
pA ^ Bq
B äquivalent?
A_
B
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Implikation
Definition
Eine Implikation ist eine Aussage der Form
Wenn Aussage A wahr ist, dann ist Aussage B wahr.
Beispiele:
• Wenn ich Winston Churchill bin, dann bin ich Engländer.
• Wenn ich Engländer bin, dann bin ich Winston Churchill.
• Vorausgesetzt alle Menschen mögen Käse: Wenn der Mond aus Käse
ist, dann ist er eine leckere Mahlzeit.
• Wenn a ă b gilt, dann folgt a2 ă b 2 .
• Wenn x gerade ist, dann ist x 2 gerade.
Aufgabe 15
Diskutiert in der Gruppe welche dieser Aussagen wahr sind.
30 / 45
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Wahrheitstabelle – Implikation
Die Implikation schreibt man auch als A ñ B. Gelesen wird dies als wenn A,
”
dann B“ oder aus A folgt B“.
”
31 / 45
A
B
AñB
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
Beispiel
Wenn der Mond aus Käse ist,
dann ist er eine leckere Mahlzeit.
Wenn der Mond aus Käse ist,
dann haben wir heute Vorkurs
Wenn ich den Vorkurs halte, bin ich allwissend.
Wenn x gerade ist, dann ist x 2 gerade.
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Experiment von P.C. Wason
Voraussetzungen: Stellt euch vor, dass vor euch vier Karten auf dem Tisch
liegen. Ihr wisst, dass immer auf einer der Seiten eine Zahl und auf der
anderen Seite ein Buchstabe steht. Folgende vier Karten liegen vor euch:
A
32 / 45
J
3
8
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Experiment von P.C. Wason
Voraussetzungen: Stellt euch vor, dass vor euch vier Karten auf dem Tisch
liegen. Ihr wisst, dass immer auf einer der Seiten eine Zahl und auf der
anderen Seite ein Buchstabe steht. Folgende vier Karten liegen vor euch:
A
J
3
8
Aufgabe 16
Findet heraus, ob die Aussage Wenn eine Karte einen Vokal auf der einen
”
Seite hat, dann ist auf der anderen Seite eine gerade Zahl“ wahr ist. Ihr dürft
keine Karten umdrehen, die Ihr nicht umdrehen müsst. Welche der Karten
müsst ihr umdrehen?
Überlegt dies zuerst alleine (5 Minuten). Und diskutiert anschließend mit eurem
Sitznachbarn (5 Minuten). Findet dann in der ganzen Gruppe heraus, welche
verschiedenen Antworten ihr geben würdet und wieso. Formuliert eine allgemeine
Regel, welche Karten umgedreht werden müssen (Vokale, Konsonanten, gerade
Zahlen, ungerade Zahlen).
32 / 45
Gliederung
1 Mengen
2 Aussagenlogik
3 Quantoren
4 Pingo
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Der Allquantor
Der Allquantor @ sagt aus, dass eine Eigenschaft für alle Elemente einer
Menge gelten soll.
Beispiele
• Für alle reellen Zahlen x ist x 2 ě 0.
@x P R : x 2 ě 0.
• Sei U die Menge der ungeraden Zahlen. Für alle x P U ist x 2 ` 1 R U.
@x P U : x 2 ` 1 R U.
34 / 45
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Aufgabe zum Allquantor
Aufgabe 17
• Formuliere in Worten:
@z P Z : ´z P Z
• Formuliere in Zeichen:
Für alle ganzen Zahlen x ist x gerade oder ungerade.
35 / 45
Pingo
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Der Existenzquantor
Der Existenzquantor D sagt aus, dass ein Element existiert, das eine
bestimmte Eigenschaft erfüllt.
Beispiele:
• Es gibt eine natürliche Zahl n, deren Quadrat 4 ist.
Dn P N : n2 “ 4
• Es gibt keine natürliche Zahl m, deren Quadrat -1 ist.
Em P N : m2 “ ´1
36 / 45
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Aufgabe zum Existensquantor
Aufgabe 18
• Formuliere in Worten (die folgende Aussage ist falsch):
Dn P N : n ă 0
• Formuliere in Zeichen:
Es gibt eine reelle Zahl, die gleich ihrem Quadrat ist.
37 / 45
Pingo
Gliederung
1 Mengen
2 Aussagenlogik
3 Quantoren
4 Pingo
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Pingo
Zum Abschluss unserer theoretischeren Abschnitte möchten wir nochmal
einige Fragen zu jedem Kapitel stellen. Damit Ihr alle euren Wissensstand
dann realistisch einschätzen könnt, werdet ihr die Fragen anonym
beantworten. Anschließend werden wir natürlich alle Fragen auflösen und
darüber diskutieren.
Die Fragen werden teilweise etwas über den Tellerrand des präsentierten
Stoffs hinausgehen.
Wir benutzen hierfür Pingo – ein an der Universität Paderborn entwickeltes
Tool für solche Zwecke. Mitmachen könnt ihr über alle Internetfähigen Geräte
mit einem normalen Webbrowser. Eine Registrierung ist nicht notwendig.
Die URL lautet: http://pingo.upb.de/<SESSION ID>
39 / 45
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Frage 1
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
• Es gibt eine Menge, die kein Element enthält.
• Es gibt Mengen, die Mengen enthalten.
• Mengen enthalten immer Zahlen.
• Eine Menge kann ein Element mehrfach enthalten.
• Es gibt Mengen mit unendlich vielen Elementen.
40 / 45
Pingo
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Frage 1 – Lösung
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
• Es gibt eine Menge, die kein Element enthält.
• Es gibt Mengen, die Mengen enthalten.
• Mengen enthalten immer Zahlen.
• Eine Menge kann ein Element mehrfach enthalten.
• Es gibt Mengen mit unendlich vielen Elementen.
40 / 45
Pingo
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Frage 2
Sei M “ t1, 2, tHund, Katzeu, H, 3, 4u eine Menge. Welche der folgenden
Aussagen sind wahr?
• 1PM
• tHund, Katzeu P M
• |M| “ 7
• |M| “ 6
• t3, 4u Ď M
• t3, 4u Ă M
• HĂM
41 / 45
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Frage 2 – Lösung
Sei M “ t1, 2, tHund, Katzeu, H, 3, 4u eine Menge. Welche der folgenden
Aussagen sind wahr?
• 1PM
• tHund, Katzeu P M
• |M| “ 7
• |M| “ 6
• t3, 4u Ď M
• t3, 4u Ă M
• HĂM
41 / 45
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Frage 3
Gegeben seien die Aussagen A: ”Mein Hund ist schwarz.” und B: ”Pauls
Hund ist weiß.”. Wie drückt man den Satz: ”Mein Hund ist schwarz und Pauls
Hund ist weiß.” in Aussagenlogik aus?
• A^B
• A_B
42 / 45
•
pA _ Bq
•
pA ^ Bq
•
A^B
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Frage 3 – Lösung
Gegeben seien die Aussagen A: ”Mein Hund ist schwarz.” und B: ”Pauls
Hund ist weiß.”. Wie drückt man den Satz: ”Mein Hund ist schwarz und Pauls
Hund ist weiß.” in Aussagenlogik aus?
• A^B
• A_B
42 / 45
•
pA _ Bq
•
pA ^ Bq
•
A^B
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Frage 4
Zu welcher logischen Verknüpfung gehört die letzte Spalte?
A
B
?
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
• A^B
• A_B
43 / 45
•
pA _ Bq
•
pA ^ Bq
•
A_B
Pingo
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Frage 4 – Lösung
Zu welcher logischen Verknüpfung gehört die letzte Spalte?
A
B
?
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
• A^B
• A_B
43 / 45
•
pA _ Bq
•
pA ^ Bq
•
A_B
Pingo
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Frage 5
Welcher logische Ausdruck gehört zu dem folgenden logischen Gatter?
A
B
C
• A^B_C
• A^B_
C
• pA _ Bq ^
• A_B^
C
C
• A _ B ^ p Cq
44 / 45
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Pingo
Frage 5 – Lösung
Welcher logische Ausdruck gehört zu dem folgenden logischen Gatter?
A
B
C
• A^B_C
• A^B_
C
• pA _ Bq ^
• A_B^
C
C
• A _ B ^ p Cq
44 / 45
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Frage 6
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
• @x P R : x ď 0
• Dx P R : x ď 0
• Dn P N : ´n ď 0
• @n P N : ´n ď 0
• @x P R` , x ď 1 : x 2 ď x
45 / 45
Pingo
Mengen
Aussagenlogik
Quantoren
Frage 6 – Lösung
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
• @x P R : x ď 0
• Dx P R : x ď 0
• Dn P N : ´n ď 0
• @n P N : ´n ď 0
• @x P R` , x ď 1 : x 2 ď x
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Pingo
Lösungen I
Ab hier folgen (nach der Veranstaltung) die Lösungen zu den (meisten)
Aufgaben dieses Foliensatzes.
Lösung 1 - 3
Diese Aufgabe wird in der Gruppe diskutiert. In den Folien wird keine Lösung
präsentiert.
Lösung 4
Die Lösung dieser Aufgabe wird auf der entsprechenden Folie eingefügt.
1 / 10
Lösungen II
Lösung 5
1
Aristoteles war Grieche.
Dieser Satz ist wahr und damit eine Aussage.
2
Aristoteles war bedeutend.
Dieser Satz ist für einige Leute wahr, für andere nicht. Daher ist er nicht
entweder wahr oder falsch und damit keine Aussage.
?
Die Zahl 2 ist rational.
Dieser Satz ist falsch und damit ebenfalls eine Aussage.
3
4
2 / 10
Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen.
Dieser Satz ist wahr und damit eine Aussage.
Lösungen III
Lösung 6
1
richtig
2
falsch
3
ebenfalls richtig
Logisch betrachtet bedeutet Es liegen vier Münzen auf dem Tisch“,
”
dass mindestens vier Münzen auf dem Tisch liegen. Es dürfen also auch
beliebig viel mehr Münzen auf dem Tisch liegen.
Lösung 7
A
0
1
3 / 10
A
1
0
p Aq
0
1
Lösungen IV
Lösung 8
A
B
0
0
1
1
0
1
0
1
B
1
0
1
0
A^
B
0
0
1
0
Lösung 9
Die Lösung dieser Aufgabe wird auf der entsprechenden Folie eingefügt.
4 / 10
Lösungen V
Lösung 10
mein Hund
Pauls Hund
Aussage wahr?
schwarz
schwarz
weiß
weiß
schwarz
weiß
schwarz
weiß
ja
ja
nein
ja
Die Aussage besagt also, das entweder beide Hunder schwarz sind, oder
beide Hunde weiß sind, oder genau mein Hund schwarz und Pauls und weiß
ist.
5 / 10
Lösungen VI
Lösung 11
A
B
A^B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
A^
1
0
0
0
B
A^B_
A^
B
1
0
0
1
Lösung 12
Die Lösung dieser Aufgabe wird auf der entsprechenden Folie eingefügt.
6 / 10
Lösungen VII
Lösung 13
Logischer Ausdruck:
D“
A ^ B ^ p B _ Cq
Die Klammern nicht vergessen!
Wahrheitstabelle:
A
B
C
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
A^B
0
0
1
1
0
0
0
0
D “ 1, wenn A “ 0, B “ 1 und C “ 1.
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B_C
1
1
0
1
1
1
0
1
D
0
0
0
1
0
0
0
0
Lösungen VIII
Lösung 14
A
B
0
0
1
1
0
1
0
1
pA ^ Bq
1
1
1
0
A_
B
1
1
1
0
Ja, die Aussagen sind äquivalent. Diese Aussage ist als das DeMorgansche
Gesetz bekannt.
Lösung 15
Folgende Aussagen sind wahr:
• Wenn ich Winston Churchhill bin, dann bin ich Engländer.
• Wenn der Mond aus Käse ist, dann ist er eine leckere Mahlzeit.
• Wenn x gerade ist, dann ist x 2 gerade.
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Lösungen IX
Lösung 16
• Das A muss umgedreht werden, da auf der Rückseite eine gerade Zahl
stehen muss.
• Das J muss nicht umgedreht werden. Auf der Rückseite darf eine
beliebige Zahl stehen. Die Aussage ist ja nicht: Wenn auf einer Seite
eine gerade Zahl steht, dann muss auf der anderen Seite ein Vokal
stehen.
• Die 3 müssen wir umdrehen, da wir sicherstellen müssen, dass auf der
Rückseite kein Vokal steht.
• Die 8 müssen wir nicht umdrehen. Die Argumentation ist wie bei J.
Allgemein formuliert: Man muss immer alle Vokale und alle ungeraden
Zahlen umdrehen.
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Lösungen X
Lösung 17
• Zu jeder ganzen Zahl z ist ´z ebenfalls eine ganze Zahl.
•
@x P Z : x ist gerade _ x ist ungerade
Lösung 18
• Es gibt eine natürliche Zahl n, die kleiner als 0 ist.
•
Dr P R : r “ r 2
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