Vorkurs Mathematik vor dem WiSe 15/16 Übungsblatt 5

24. August 2015
Vorkurs Mathematik vor dem WiSe 15/16
Übungsblatt 5
Aufgabe 5.1
Auf Ihrem Taschenrechner finden Sie die Einstellungen Rad und Deg für das Rechnen mit den trigonometrischen Funktionen in Bogenmaß bzw. Gradmaß. Finden Sie durch einsetzen geeigneter
Werte heraus welche Einstellung auf das Bogenmaß einstellt und welche auf das Gradmaß!
Aufgabe 5.2
Die Funktionen Sinus und Cosinus sind periodisch. Im Gradmaß beträgt diese Periode 360◦ . D.h.
z.B. für den Sinus:
sin(α + 360◦ ) = sin(α)
für alle α ∈ R. Diese Gleichung gilt übrigens auch, wenn statt 360◦ etwa 720◦ eingesetzt wird.
Trotzdem wird oft nur 360◦ als Periode bezeichnet, da dies die kleinste positive Zahl ist, für welche obige Gleichung erfüllt ist.
(a)
Welche Periode haben Sinus und Cosinus im Bogenmaß?
(b)
Schreiben Sie obige Gleichung nun erneut allerdings jetzt für das Bogenmaß.
(c)
(d)
(e)
(f)
Nennen Sie eine weitere Zahl statt der (kleinsten positiven) Periode, für die diese Gleichung im Bogenmaß erfüllt ist.
Ist auch der Tangens periodisch? Wenn ja, warum?
sin(x) und cos(x) sind für alle reellen Zahlen definiert. Für den Tangens gilt das nicht.
Welche Werte dürfen hier nicht eingesetzt werden (Im Grad - oder Bogenmaß)?
Ist die konstante Funktion, für die gilt, f (x) = 1 für alle x ∈ R, auch periodisch?
Aufgabe 5.3
Rechnen Sie Grad in Bogenmaß bzw. umgekehrt um:
(i)
90◦ =
(iv)
−72◦ =
(ii)
5
π=
6
(v)
5
π=
4
(iii)
15◦ =
(vi)
1=
Aufgabe 5.4
Bestimmen Sie x im Bogenmaß mit cos(4x) = 0 sowie 0 < x < π2 .
1
Aufgabe 5.5
Berechnen Sie ohne Taschenrechner die Zahlen
cos(x),
tan(x),
sin(2x)
für x mit sin(x) = 0, 6 und 0 < x < π/2.
Aufgabe 5.6
(i)
(iii)
Vereinfachen Sie:
cos2 (α) tan2 (α) + cos2 (α)
1−
1
cos2 (φ)
(ii)
1 − cos2 (φ)
sin(φ) cos(φ)
(iv)
sin(α) sin(2α) + cos(α) cos(2α)
Aufgabe 5.7
In der Vorlesung haben wir aus den Additionstheoremen für Sinus und Cosinus folgende Gleichungen hergeleitet:
cos(2α) = 2 cos(α)2 − 1
und
sin(2α) = 2 sin(α) cos(α).
Weiter haben wir ausgerechnet, dass cos( π4 ) = cos(45◦ ) =
√1
2
= sin(45◦ ) = sin( π4 ).
Verwenden Sie dies um zuerst den Wert von cos( π8 ) = cos(22, 5◦ ) und anschließend von
sin( π8 ) = sin(22, 5◦ ) zu bestimmen.
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