Stochastik/Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie (Informatik

Stochastik/Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
(Informatik B.Sc. und LA Regelschule)
WS 2015/2016, FSU Jena
Prof. Dr. Ilya Pavlyukevich
Lena-Susanne Boltz, Markus Böhm, Jannis Koberstein, Alexandra Neamţu
Ausgabetermin:
Abgabetermin:
10.12.2015
07.01.2016
8. Übungsblatt
Aufgabe 71. Seien X und Y unabhängige Geom(p)-verteilte Zufallsvariable, d.h. für jedes k ∈ {1, 2, 3, . . . }
gilt
P(X = k) = P(Y = k) = (1 − p)k−1 p, p ∈ (0, 1).
Bestimmen Sie die Verteilung der Differenz Z = X − Y .
Aufgabe 72. Bestimmen Sie den Mittelwert EX, wenn die Zufallsvariable X
a) Geom(p)-verteilt,
b) Geom0 (p)-verteilt,
c) poissonverteilt zum Parameter λ > 0
ist.
Aufgabe 73. Es werden N faire Würfel geworfen. Bestimmen Sie den Mittelwert der Summe aller Augenzahlen.
Aufgabe 74 (4 Punkte). Es seien X und Y zwei unabhängige Zufallsvariablen mit der Verteilung
P(X = k) = P(Y = k) = 2−k ,
k ∈ N\{0}.
Bestimmen Sie die Verteilung der Summe Z = X + Y .
Aufgabe 75 (4 Punkte). c
1. Für ein q > 2 habe die Zufallsvariable X mit Werten in N0 die Verteilung
(
1
k ∈ {1, 2, . . . }
k,
P(X = k) = q P∞ 1
1 − k=1 qk , k = 0.
Bestimmen Sie q für den Fall, dass EX = 34 .
k
2. Eine Zufallsvariable Y nimmt die Werte k ∈ {0, 1, 2, . . . } mit Wahrscheinlichkeiten jeweils pk = K ck!
an. Bestimmen Sie die Konstanten K und c, wenn EY = µ > 0.
3. Zusatzfrage (1 Bonuspunkt): Warum wird im 1. Aufgabenteil q > 2 verlangt?
Aufgabe 76 (4 Punkte). Der Weihnachtsmann verteilt zehn Geschenke an sechs Kinder, indem er für jedes
Geschenk mit einem (fairen) Würfel auswürfelt, welches Kind das Geschenk bekommt.
a) Für i = 1, . . . , 6 sei Xi eine Zufallsvariable mit Xi = 1, wenn das i-te Kind gar kein Geschenk bekommt
und Xi = 0 wenn das i-te Kind mindestens ein Geschenk bekommt. Berechnen Sie P(Xi = 1).
b) Es sei Y eine Zufallsvariable, die die Anzahl der Kinder angibt, die kein Geschenk bekommen haben.
Berechnen Sie mit Hilfe des Ergebnisses aus a) den Erwartungswert EY .
Aufgabe 77 (4 Bonuspunkte). Definieren Sie für die Lösung der folgenden Aufgabe geeignete Zufallsvariablen
und Ereignisse und begründen Sie Ihre Rechenschritte vollständig! (Geben Sie dafür auch jedes Mal an, wenn
Sie die Disjunktheit oder Unabhängigkeit von Ereignissen benutzen.)
In einer Urne befinden sich zehn schwarze und fünf weiße Kugeln. Es werden sechs Kugeln gezogen, wobei
die ersten drei mit Zurücklegen und die anderen drei ohne Zurücklegen gezogen werden.
1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der sechs Kugeln weiß ist.
2. Das Experiment wird solange wiederholt, bis bei einem Durchgang mindestens eine der Kugeln weiß
war. (Nach jedem Durchgang werden alle gezogenen Kugeln zurückgelegt.) Wie groß ist der Erwartungswert für die Anzahl der Wiederholungen?
3. In einem weiteren Experiment werden sechs Kugeln aus der Urne gezogen, wobei zu Beginn mit einem
(fairen) Münzwurf entschieden wird, ob mit oder ohne Zurücklegen gezogen wird. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass höchstens eine der gezogenen Kugeln weiß ist?
Wir wünschen allen Studierenden frohe Weihnachten
und ein erfolgreiches Jahr 2016!
Abgabetermin: Die mit
gekennzeichneten Aufgaben sind zu bearbeiten und am 07.01.16 vor der
Vorlesung abzugeben. In begründeten Ausnahmefällen können die Serien donnerstags bis 14.15 Uhr per
E-mail an die Übungsleiter geschickt werden.
[email protected], [email protected], [email protected],
[email protected]
Zulassungsvoraussetzungen für die Klausur: 50% der Hausaufgaben und mindestens zweimaliges Vorrechnen an der Tafel.
Klausurtermin: Montag, 22.02.2016, 10-12 Uhr, Hörsaal 024 UHG, Fürstengraben 1
Nachklausurtermin: Montag, 21.03.2016, 10-12 Uhr, Domaschk-HS, August-Bebel-Str. 4, 1. OG
Die Übungsserien finden Sie unter:
http://www.stochastik.uni-jena.de/Mitarbeiter/Prof_+Dr_+I_+Pavlyukevich/Teaching.html
Termine für das Tutorium:
SR 3 IAAC, Humboldtstr. 8, 16-18 Uhr
Mi, 16.12.
Mi, 13.01.2016
SR 003, AB 4, 18-20 Uhr
Di, 05.01.
Di, 19.01.2016.