¨Ubungsblatt 7 (30. Mai bis 3. Juni)

Statistik II
Prof. Dr. Bernd Wilfling
Dipl.-Vw. Heike Bornewasser-Hermes
Sommersemester 2011
Übungsblatt 7 (30. Mai bis 3. Juni)
Stetige Zufallsvariablen und diskrete Verteilungsmodelle
Stetige Zufallsvariablen und Verteilungsparameter
1. Betrachten Sie die Funktion


0.5 für 0 ≤ x < 1
f (x) = 1
für 1 ≤ x < 1.5 .


0
sonst
(a) Zeichnen Sie die Funktion f (x).
(b) Zeigen Sie, dass es sich bei f (x) um eine Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X handelt.
(c) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X und zeichnen Sie diese.
(d) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
(e) Bestimmen Sie den Median von X.
2. Gegeben sei die Dichtefunktion fX (x) der stetigen Zufallsvariablen X:


0.5 für 0 ≤ x < 1
fX (x) = 0.25 für 1 ≤ x < 3 .


0
sonst
(a) Stellen Sie die Dichtefunktion graphisch dar.
(b) Bestimmen Sie den Erwartungswert von X.
(c) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X.
1
(d) Bestimmen Sie den Median von X.
Diskrete Verteilungsmodelle
3. Beschreiben Sie, was man unter der Binomialverteilung und der geometrischen
Verteilung versteht. Stellen Sie deren Gemeinsamkeiten und Unterschiede heraus.
4. Ein Testbogen setzt sich aus 10 Fragen zusammen. Bei jeder Frage gibt es 5
Antwortalternativen, von denen genau eine richtig ist. Ein Prüfling versucht, die
richtigen Antworten zu erraten. Es sei X die Anzahl richtig geratener Antworten.
(a) Wie ist die Zufallsvariable X verteilt? (Name der Verteilung + Parameter)
(b) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X auf.
(c) Wie viele Fragen wird der Prüfling erwartungsgemäß richtig erraten?
(d) Bestimmen Sie die Varianz von X.
(e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
i. den Test zu bestehen, wenn dazu mehr als die Hälfte der Fragen richtig
beantwortet werden müssen?
ii. genau 2 Antworten richtig zu erraten?
iii. mehr als 2 Antworten richtig zu erraten?
iv. mindestens 2 Antworten richtig zu erraten?
v. höchstens 2 Antworten richtig zu erraten?
vi. weniger als 2 Antworten richtig zu erraten?
5. Eine automatisch gesteuerte Ampelanlage zeigt 10 Sekunden lang grün, 40 Sekunden lang rot, 10 Sekunden lang grün, usw.. Ein Zyklus dauert also 50 Sekunden,
da Fußgängerampeln kein gelbes Licht haben. Herr Walker muss diesen Übergang
täglich benutzen. Seine Ankunftszeiten am Fußgängerüberweg sind rein zufällig
verteilt. Er geht also bis zum Straßenrand, schaut dann erst, ob die Ampel rot
oder grün zeigt und verhält sich als braver Verkehrsteilnehmer entsprechend der
jeweiligen Anzeige.
Gestern musste Herr Walker zehnmal über diesen Übergang gehen. Es sei X die
2
Anzahl der Fälle, in denen Herr Walker die Ampel ohne Verzögerung überqueren
konnte.
(a) Wie ist die Zufallsvariable X verteilt?
(b) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X auf.
(c) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau fünfmal ohne Verzögerung
weitergehen konnte?
(e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er jedesmal warten musste?
6. Ein Würfel wird so oft geworfen, bis zum ersten Mal die 6 fällt. Es sei X die
Anzahl der benötigten Würfe.
(a) Welche Werte kann X annehmen?
(b) Wie ist die Zufallsvariable X verteilt?
(c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X.
(d) Wieviele Würfe werden durchschnittlich benötigt?
7. Erläutern Sie die Grundidee und wichtigsten Eigenschaften der Poissonverteilung.
8. An einem Bankschalter werden die Kundenankünfte (Anzahl der pro 10-MinutenIntervall ankommenden Kunden) beobachtet. Für 50 derartige Zeitintervalle erhält man folgende Ergebnisse:
1
1
1
0
0
0 0 0 0 1 2 2 0 2
1 0 4 1 0 0 3 0 1
0 2 1 1 3 0 2 2 2 .
0 1 2 1 2 1 6 2 0
0 1 1 2 1 2 0 1 1
(a) Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten und stellen Sie diese graphisch dar.
(b) Stellen Sie dieser empirischen Häufigkeitsverteilung die Stabdiagramme der
Poissonverteilung mit den Parametern λ = 1, λ = 0.5 und λ = 2 gegenüber. Welche dieser Poissonverteilungen passt sich dem Beobachtungsmaterial besser an?
3
(c) Gehen Sie im folgenden von der Poissonverteilung aus, die sich in (b) dem
Beobachtungsmaterial besser anpasst.
i. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem 10-Minuten-Intervall
A. nicht mehr als 2 Personen,
B. mehr als 1 Person,
C. mindestens 1, aber höchstens 4 Personen ankommen?
ii. Wieviele ankommende Personen würden Sie in einem 10-Minuten-Intervall
erwarten? Vergleichen Sie diesen Wert mit dem arithmetischen Mittel.
4