Tableaukalkül für Aussagenlogik • Verallgemeinerbar für Modallogik

Tableaukalkül für Aussagenlogik
Tableau:
•
•
•
•
Test einer Formel auf Widersprüchlichkeit
Fallunterscheidung baumförmig organisiert
Keine Normalisierung, d.h. alle Formeln sind erlaubt
Struktur der Formel wird beachtet
•
Verallgemeinerbar für Modallogik,
Prädikatenlogik, mehrwertige Logik. . .
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 1 3. M ai2012
Tableaukalkül: Grundbegriffe
•
•
α-Formeln (konjunktive Formeln)
β-Formeln (disjunktive Formeln)
Zerlegungen:
AD, SS
α
X ∧Y
¬(X ∨ Y )
¬(X =⇒ Y )
(X ⇐⇒ Y )
α1
X
¬X
X
X =⇒ Y
α2
Y
¬Y
¬Y
Y =⇒ X
β
X ∨Y
¬(X ∧ Y )
X =⇒ Y
¬(X ⇐⇒ Y )
β1
X
¬X
¬X
¬(X =⇒ Y )
β2
Y
¬Y
Y
¬(Y =⇒ X)
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 2 3. M ai2012
Tableau: Definition
Idee beim Tableau-Kalkül:
Zeige, dass die eingegebene Aussage inkonsistent ist.
Definition
Ein aussagenlogisches Tableau ist ein markierter Baum
die Knoten sind mit Formeln markiert.
Die Eingabeformel ist an der Wurzel
Ein Pfad ist geschlossen, wenn 0 oder ¬1 vorkommt,
oder gleichzeitig F und ¬F auf dem Pfad
Ein Pfad ist (atomar) geschlossen, wenn 0 oder ¬1 vorkommt,
oder Atom A und ¬A auf diesem Pfad ist
Ein Tableau ist (atomar) geschlossen, wenn alle Pfade (atomar) geschlossen
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 3 3. M ai2012
Tableau-Aufbau-Regeln
•
•
•
Eingabe ist eine Formel F
Initial: nur Knoten F
Danach Expansionsregeln:
¬¬X
X
Beachte:
Einschränkung:
α
α1
α2
β
β1 | β2
¬0
1
¬1
0
Die expandierte Formel muss kein Blatt sein.
Formel pro Pfad nur einmal expandieren
Ein Formel F ist bewiesen, wenn aus dem Tableau mit einem Knoten
und der Formel ¬F ein geschlossenes Tableau erzeugt worden ist.
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 4 3. M ai2012
Strategien
Aufbau-Regeln sind nicht-deterministisch
D.h. Reihenfolge ist nicht vorgeschrieben.
Effiziente Strategie:
AD, SS
möglichst wenig verzweigen
d.h. bevorzuge α-Regeln
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 5 3. M ai2012
Beispiel
Tableau für X ∧ ¬X:
X ∧ ¬X
|
X
|
¬X
geschlossen
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 6 3. M ai2012
Beispiel
Tableau für ¬(X ∧ Y =⇒ X):
¬(X ∧ Y =⇒ X)
|
X ∧Y
|
¬X
|
X
|
Y
geschlossen
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 7 3. M ai2012
Optimierung für Äquivalenzen
Neue Tableau-Expansionsregeln
A⇔B
A ¬A
B ¬B
¬(A ⇔ B)
A ¬A
¬B B
Nur eine Fallunterscheidung statt zwei !!
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 8 3. M ai2012
Beispiel: Äquivalenzen
¬((P ⇔
Q) ⇔ (QWW⇔
P ))
gg
W
(P ⇔ Q)
gg
ggggg
g
g
g
g
gggg
ggggg
WWWWW
WWWWW
WWWWW
WW
¬(P ⇔ Q)
¬(Q
⇔ P)
o
ggggg
ggggg
g
g
g
g
ggggg
ggggg
g
g
g
g
gg
Q⇔P
¬P
¬Q
Q
¬Q
P
¬P
¬Q
Q
...
...
...
P
¬P
P
xx
xx
x
xx
xx
AD, SS
oo
ooo
o
o
ooo
ooo
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 9 3. M ai2012
Q
Beispiel
Zeige, dass P =⇒ (Q =⇒ P ) eine Tautologie ist:
¬(P =⇒ (Q =⇒ P ))
P
¬(Q =⇒ P )
Q
¬P
geschlossen, da P und ¬P auf dem Pfad liegen.
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 10 3. M ai2012
Beispiel
Zeige ((P =⇒ Q) ∧ (Q =⇒ R)) =⇒ (P =⇒ R):
Dazu starte mit ¬(((P =⇒ Q) ∧ (Q =⇒ R)) =⇒ (P =⇒ R)):
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 11 3. M ai2012
(P =⇒ Q)
(Q =⇒ R)
¬(P =⇒ R)
P
¬P
iii
iiii
i
i
i
iiii
iiii
i
i
i
iiii
geschlossen
¬R QQQQ
¬Q
QQQ
QQQ
QQQ
QQQ
ooo
ooo
o
o
oo
ooo
o
o
oo
geschlossen
Q OOOOO
OOO
OOO
OOO
OOO
R
geschlossen
Algorithmische Korrektheit des Tableaukalküls
Nachweis von:
1. Korrektheit (Soundness): Der Kalkül erzeugt geschlossene Tableaus nur für unerfüllbare Formeln.
2. Vollständigkeit (Completeness): Für jede unerfüllbare Formel kann
der Tableaukalkül ein geschlossenes Tableau erzeugen.
Zusätzliche gute Eigenschaften:
•
•
AD, SS
Tableaukalkül für Aussagenlogik terminiert immer
Liefert Information, auch wenn er fehlschlägt.
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 13 3. M ai2012
Korrektheit des Tableaukalküls (2)
Definition
•
•
Ein Pfad eines Tableaus ist erfüllbar, wenn die Konjunktion aller Formeln auf dem Pfad erfüllbar ist.
Ein Tableau ist erfüllbar, wenn es einen Pfad gibt,
der erfüllbar ist.
Beachte: Wenn eine Menge von Formeln 0 oder ¬1 enthält, dann ist
sie nicht erfüllbar.
Es gilt: Ein geschlossenes Tableau ist nicht erfüllbar.
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 14 3. M ai2012
Korrektheit des Tableaukalküls (3)
Satz Wenn T → T 0 mit einer Transformationsregel, dann gilt:
T ist erfüllbar gdw. T 0 ist erfüllbar
Mittels Fallunterscheidung über mögliche Expansionen:
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 15 3. M ai2012
Fundierte Ordnungen
Ziel: Terminierung
fundierte (well-founded) Ordnung:
ist eine partielle Ordnung ≥ auf einer Menge M ,
ohne unendlich absteigende Ketten a1 > a2 > . . .
zB. Natürliche Zahlen: 5 > 4 > 2 > 1.
Es gilt: Die lexikographische Kombination von fundierten Ordnungen
ist wieder eine fundierte Ordnung.
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 16 3. M ai2012
Fundierte Ordnungen: Multimengenordnung
(M, >) Menge mit fundierter Ordnung
Mult(M ) endliche Multimengen über M
Z.B. Multimengen über IN:
{3, 3, 2, 1}, ∅, {1, 1, 1, 1, 1, 100}
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 17 3. M ai2012
Fundierte Ordnungen: Multimengenordnung
Seien A und B Multimengen über M
A >> B, gdw
∃X, Y mit X 6= ∅, B = (A \ X) ∪ Y und
zu jedem Element von Y existiert
ein echt größeres Element in X
Z. B in Mult(IN):
{3, 3, 2, 1} >> {3, 2, 2, 2},
denn {3, 2, 2, 2} = {3, 3, 2, 1} \ {3, 1} ∪ {2, 2, 2}.
Es gilt:
AD, SS
Die Multimengenordnung >> ist eine partielle Ordnung.
>> ist fundiert, gdw. > fundiert ist.
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 18 3. M ai2012
Terminierung des Tableaukalküls
Lemma Der Tableaukalkül für Aussagenlogik terminiert, wenn man jede
Formel auf jedem Pfad höchstens einmal expandiert.
Beweis:
Benutze Multimengenordnung . . .
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 19 3. M ai2012
Korrektheit des Tableaukalküls
Zusammen ergibt sich bis jetzt:
•
•
AD, SS
Wenn F erfüllbar:
Der Tableaukalkül terminiert,
Das Endtableau ist nicht geschlossen
Wenn F unerfüllbar:
Der Tableaukalkül terminiert,
Das Endtableau ist nicht erfüllbar
Frage? ist es auch geschlossen?
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 20 3. M ai2012
Korrektheit des Tableaukalküls
Betrachte:
Endtableau, das nicht geschlossen ist
Darin einen nicht geschlossenen Pfad.
Es gilt: Die Formelmenge H auf dem Pfad ist abgeschlossen und hat
folgende Eigenschaften:
•
•
•
•
•
A ∈ H und ¬A ∈ H geht nicht.
0 6∈ H, ¬1 6∈ H
¬¬X ∈ H =⇒ X ∈ H
α ∈ H =⇒ α1 ∈ H und α2 ∈ H
β ∈ H impliziert β1 ∈ H oder β2 ∈ H
D.h.: H ist eine (aussagenlogische) Hintikka-Menge
Es gilt: Hintikka-Mengen sind erfüllbar
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 21 3. M ai2012
Korrektheit des Tableaukalküls
Zusammenfassend ergibt sich jetzt:
•
•
Wenn F erfüllbar:
Der Tableaukalkül terminiert,
Das Endtableau ist nicht geschlossen
Wenn F unerfüllbar:
Der Tableaukalkül terminiert,
Das Endtableau ist geschlossen
D.h. der Tableaukalkül für Aussagenlogik terminiert und ist korrekt.
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 22 3. M ai2012
Quantifizierte Boolesche Formeln
Quantifizierte Boolesche Formeln (QBF) sind
Boolesche Formeln mit Quantoren.
Syntax:
Q := 0 | 1
| P ( Boolesche Variable)
| (Q1 ∧ Q2) | (Q1 ∨ Q2) | (Q1 op Q2)
| (¬ Q)
| ∀X.Q | ∃X.Q
wobei X Variable
Die Quantifizierung ist nur über die zwei Wahrheitswerte 0, 1
Die Gültigkeit ist nur für geschlossene QBFs definiert.
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 23 3. M ai2012
QBF: Komplexität
Gültigkeit von QBF-Formeln ist PSPACE-vollständig.
D.h. alle bekannten Algorithmen benötigen im worst-case exponentielle
Zeit.
Ziel: Untersuchung und Optimierung der Entscheidungsalgorithmen
Hoffnung: großer Anteil praktisch relevanter Probleme effizient entscheidbar
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 24 3. M ai2012
Polynomielle Hierarchie
QBFs repräsentieren die Komplexitätsklassen der polynomiellen Hierarchie.
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 25 3. M ai2012
Aussagenlogik in QBFs:
•
Erfüllbarkeit einer aussagenlogischen Formel F
entspricht
Gültigkeit der QBF ∃p1, . . . , pn.F ,
wobei pi die Variablen in F sind.
•
aussagenlogischen Formel F ist Tautologie
entspricht
Gültigkeit der QBF ∀p1, . . . , pn.F ,
wobei pi die Variablen in F sind.
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 26 3. M ai2012
Normalformen für QBFs:
Eine Variante:
•
Pränex-Form
• Alle Quantoren sind im Präfix der Formel
• der Rumpf ist eine aussagenlogische Formel.
•
Pränexe Klauselform
• Alle Quantoren sind im Präfix der Formel
• der Rumpf ist eine aussagenlogische Klauselmenge
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 27 3. M ai2012
Pränexform einer QBF erzeugen
•
Alle gebundenen Variablen müssen verschieden sein.
Wenn nicht: neue Namen verwenden
1.
Implikation und Äquivalenz ersetzen.
2.
Negationen nach innen schieben, u.a. mit
¬(∀X.P ) → (∃X.¬P ) und ¬(∃X.P ) → (∀X.¬P )
3.
Quantoren nach außen schieben, wobei
F ∨ ∀X.P → ∀X.F ∨ P
usw. auch für die anderen Kombinationen
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 28 3. M ai2012
Normalformen für QBFs:
•
Pränexe Klauselform
Zuerst überführen in eine Pränexform
Dann den Rumpf in eine Klauselform überführen;
dabei die entstehende Quantoren wieder in den Pränex schieben
Wenn die QBF keine Äquivalenzen enthält, Dann gilt:
Die Transformation ist effizient durchführbar:
Die Regel ist:
P.F [G] → P.∃X.((X ⇐⇒ G) ∧ F [X])
Alternativ:
P.F [G] → P.∀X.((X ⇐⇒ G) =⇒ F [X])
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 29 3. M ai2012
Äquivlenzen in QBFs:
Wenn Äquivalenzformeln (F1 ⇔ F2) als Unterformeln vorkommen:
•
Elimination der Äquivalenzen kann die Formel exponentiell
vergrößern
•
Gültigkeit der Formel ist in polynomiellem Platz entscheidbar
(d.h. in PSPACE)
•
D.h.: die Methode: Umwandeln in pränexe Klauselform, dann
semantischer Baum ist nicht passend.
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 30 3. M ai2012
Nochmal: CNF-Herstellung in der Aussagenlogik
Zur Frage: Warum wird Äquivalenz von aussagenlogischen Formeln F
von schneller CNF-Herstellung nicht erhalten:
• Erhaltung der Erfüllbarkeit gilt, da man in der ersten Variante nur
eine existenzquantifizierte Variable hinzufügt; und die Formel als
∃(X).F interpretiert.
• Erhaltung der Tautologie-Eigenschaft gilt,
wenn man die zweite Transformation verwendet.
Für eine Formel ∀X.F
• Äquivalenz der aussagenlogischen Formeln vorher und nachher gilt
i.a. nicht, da Mischungen aus Quantoren auftreten
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 31 3. M ai2012
Gültigkeit von QBF-Formeln
Naiver Algorithmus und gleichzeitig Def der Gültigkeit von F
Transformiere F durch Quantorenelimination:
1. ∀P.F → F [1/P ] ∧ F [0/P ]
2. ∃P.F → F [1/P ] ∨ F [0/P ]
Resultat nach Simplifikation: 0 oder 1
Nachteil: Zwischenergebnisse können exponentiell groß sein
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 32 3. M ai2012
Beispiel
F = ∀x∃y.x ⇐⇒ y.
Quantorenelimination ergibt:
1. (∃y.1 ⇐⇒ y) ∧ (∃y.0 ⇐⇒ y).
2. ((1 ⇐⇒ 1) ∨ (1 ⇐⇒ 0)) ∧ ((0 ⇐⇒ 1) ∨ (0 ⇐⇒ 0))
3. Resultat: 1
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 33 3. M ai2012
Klassifizierung von Klauseln
Gegeben: QBF in pränexer Klauselform.
Klassifikation von Klauseln:
1. Eine Klausel ist wahr, wenn sie ein Literal 1 enthält, oder eine
Variable sowohl positiv als auch negativ (Tautologie).
2. Eine Klausel ist falsch, wenn 1. nicht gilt und wenn die Klausel
keine existenziell quantifizierte Variable enthält.
Z.B. eine Klausel mit nur allquantifizierten Variablen ist falsch,
wenn sie keine Tautologie ist.
3. Andere Klauseln nennt man offen.
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 34 3. M ai2012
Ein Beispiel
∃x1∀x2∃x3∃x4.((¬x
∨ ¬x ) ∧ (x ∨ x ) ∧ (x ∨ ¬x{z2 ∨ ¬x3)})
1 ∨ x{z2 ∨ ¬x3 )} ∧ (x
|
| 3 {z 4 } | 3 {z 4 } | 1
c1
c2
c3
c4
Diese Formel ist nicht gültig:
zz
zz
z
1zzz
zz
zz
z
zz
x
}}
}}}}
}
}
}
2}}}}}
}}}}
}
}}}
}
}
}}
¬x
~~
~~
~
3 ~~
~~
~
~
~
~
·
x
c1






4


·
x
c2
AA
AA
AA 1
AA
AA
·
¬x
x2
x2
~~
~~
~
3 ~~
~~
~
~
~
~
x
¬x3
· ???
· AAA
??
??
4
??
??
??
?
¬x
c3
c4






4


x
c2
· AAAAAAA
·
AAA
AAAA
2
AAAA
AAAA
AAAA
¬x
·
¬x3
· ???
??
??
4
??
??
??
?
¬x
c3
Beachte: Doppelkanten = UND-Verzweigung; Einfachkante = Oder
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 35 3. M ai2012
Entscheidungsprozedur semantischer Baum
Eingabe:
Datenstruktur:
AD, SS
Pränexe Klauselform
UND-ODER-Baum,
ALL ↔ UND
EX ↔ ODER
Knoten sind Formeln
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 36 3. M ai2012
Semantischer Baum: Erzeugung
•
•
•
•
•
Wurzel = Input-Formel in pränexer Klauselform
Am Knoten K erste Variable des Quantorenpräfix von FK analysieren:
1. ∀x, dann UND-Knoten.
Die beiden Töchterknoten sind:
FK [1/x] und FK [0/x]
2. ∃x, dann ODER-Knoten.
Die beiden Töchterknoten sind:
FK [1/x] und FK [0/x]
Knoten ist Blatt, wenn FK aussagenlogisch zu 1 oder 0 auswertbar
unter Benutzung der Def. wahre / falsche Klauseln
Auswertung des Ausgabe-Baums:
Auswertung entsprechend der UND, bzw ODER-Struktur
und Werten an den Blättern.
Ergebnis: 0 oder 1.
Optimierungsmöglichkeit: Vertauschen von gleichartig quantifizierten
benachbarten Variablen
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 37 3. M ai2012
Quellen des Nichtdeterminismus
• Welche Variable wird zur Fallunterscheidung verwendet?
• Welcher Fall wird zuerst untersucht pro Variable?
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 38 3. M ai2012
Beispielimplementierung
> dpll string
•
•
•
AD, SS
verarbeitet Pränexformeln
Parse erzeugt eine Formel-Datenstruktur
Eine vereinfachte DP-Prozedur (analog semantischer Baum)
wird verwendet, mit einfachen Regeln
Unit-propagation, aber keine isolierten Literale.
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 39 3. M ai2012
Beispiel
∀x, ∃y.x ⇐⇒ y:
∀x∃y.x ⇐⇒
y
RRR
ggggg
ggggg
g
g
g
g
ggggg
ggggg
g
g
g
g
gg
ggggg
∃y.1
⇐⇒PP y
n
nnn
nnn
n
n
nnn
nnn
n
n
n
1 ⇐⇒ 0
PPP
PPP
PPP
PPP
PPP
P
1 ⇐⇒ 1
Der Wert an der Wurzel ist 1.
> dpll "ALL x EX y: (x <=> y)"
"Formel ist Tautologie"
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 40 3. M ai2012
RRR
RRRR
RRRR
RRR
RRRR
R
∃y.0
⇐⇒PP y
l
ll
lll
l
l
l
lll
lll
l
l
l
lll
0 ⇐⇒ 1
PPP
PPP
PPP
PPP
PPP
P
0 ⇐⇒ 0
Optimierungen:
Vermeiden von Fallunterscheidungen:
• Wenn aktuelle Variable nicht in der Klauselmenge enthalten ist,
dann streiche diese aus dem Präfix.
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 41 3. M ai2012
Optimierungen: Unit-Propagation
Situation: Formel am Knoten
Eine Klausel c ist eine Unit, gdw.
c hat genau ein existenzielles Literal (x oder ¬x) und
für alle anderen (universellen) Literale y oder ¬y,
y ist rechts von x im Quantorenpräfix
Aktion :
Nur ein Tochterknoten:
F [1/x], wenn x das Literal ist und
F [0/x], wenn ¬x das Literal ist.
Beachte: x muss nicht die Top-Variable sein
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 42 3. M ai2012
Optimierungen: Isoliertes Literal
Definition Ein Literal in einer Klauselmenge ist isoliert (pur),
wenn das Komplement nicht in der Klauselmenge vorkommt.
Aktion:
Sei x die Variable im isolierten Literal.
1. Wenn x Ex-quantifiziert ist,
Tochterknoten: F [1/x], wenn x das Literal ist und
Tochterknoten: F [0/x], wenn ¬x das Literal ist.
2. Wenn x All-quantifiziert ist,
Tochterknoten mit F [0/x], wenn x das Literal ist und
F [1/x], wenn ¬x das Literal ist.
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 43 3. M ai2012
Relevanz-Markierungen
Dependency-directed Backtracking mit Relevanz-Markierungen
von Ex-Variablen
Annahme:
QBF in Pränexform; die Formel ist eine Klauselmenge
Transformation:
schnelle
CNF-Erzeugung,
existenzquantifiziert.
Prozedur:
Semantische-Baum-Prozedur sucht nur nach 0 (d.h. Widerspruch).
Idee:
AD, SS
wobei
neue
Variablen
Wenn man an einem Knoten verzweigt für eine existenzquantifizierte Variable x; und im linken Zweig (x = 0) findet man eine
Klausel, die unabhängig von x immer falsch ist,
dann ist diese Klausel auch im rechten Zweig (x = 1) falsch
und man kann sofort backtracken.
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 44 3. M ai2012
Relevanz-Markierungen
Markierungsalgorithmus: Relevanzmarker für Ex-Variablen
1.
Bei Verzweigung an einer Ex-Variablen: markiere diese als
irrelevant.
2.
Wenn an einem Knoten eine falsche Klausel c entdeckt wird,
dann wird am Knoten ein backtracking gemacht;
gleichzeitig werden alle Ex-Variablen dieser Klausel c als relevant
markiert.
2.
Kommt man (von links unten) beim backtracking an einen Knoten N , der an einer Ex-Variablen y verzweigt,
und y ist (noch) als irrelevant markiert,
dann kann man den rechten Zweig überspringen.
AD, SS
2012, F olien Ded−Aussagenlogik, Seite 45 3. M ai2012