Leibnitz 2012 Folgen, Reihen, Kombinatorik Birgit Vera Schmidt 1

Leibnitz 2012
Folgen, Reihen, Kombinatorik
Birgit Vera Schmidt
1. Man bestimme jeweils das 13., 42., 1234567. und n. Element von jeder der folgenden Folgen:
(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
(n) 2, 5, 11, 23, 47, ...
(b) 1, 8, 27, 64, 125, ...
(o) 1, 2, 4, 12, 15, 60, ...
(c) 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
(p) 1, 3, 6, 4, 2, 4, 8, 6, 3, 5, ...
(d) 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...
(q) 35, 30, 120, 60, 55, 220, 110, ...
(e) 1, 5, 14, 30, 55, 91, ...
(r) 1, 3, 2, 6, 5, 15, 14, ...
(f) 1, 4, 27, 256, 3125, ...
(s) 1, 2, 5, 12, 29, ...
(g) 1, 2, 6, 24, 120, ...
(t) 1, 4, 8, 15, 26, 44, ...
(h) 1, 2, 2, 4, 8, 32, 256, ...
(u) 1, 3, 7, 14, 26, 46, ...
(i) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
(v) 4, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 4, 4, 4, 3, 5, 8, ...
(j) 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, ...
(w) 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 4, ...
(k) 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, ...
(x) 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, ...
(l) 1, 2, 4, 8, 10, 20, 22, ...
(y) 16, 25, 33, 40, 46, 51, 55, ...
(m) 1, 3, 9, 13, 65, 71, ...
(z) 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, ...
2. Sei ABC ein gleichseitiges Dreieck, und I1 sein Inkreismittelpunkt. Man spiegle I1 an der Seite AB und erhalte
I2 . Dann spiegle man I2 an der Seite BC (bzw. der Verlängerung davon) und erhalte I3 . Man spiegle I3 an der
Seite CA und erhalte I4 . Man spiegle I4 wieder an der Seite AB um I5 zu erhalten, I5 an der Seite BC um I6
zu erhalten, und so weiter.
Für jedes n bestimme man die Lage des Punktes In (in Abhängigkeit von der Lage des Dreiecks ABC).
3. Lukas mischt ein normales Kartendeck gründlich, und deckt dann eine Karte nach der anderen auf. Martin hat
zu Beginn 1e, und kann vor jeder Karte einen beliebigen Teil seines Vermögens auf die Farbe der aufgedeckten
Karte (rot oder schwarz) wetten. Rät er korrekt, so erhält er das Doppelte des eingesetzten Betrages, andernfalls
verliert er den Einsatz.
Beispielsweise kann er bis zur letzten Karte auf das Wetten verzichten, und bei der letzten Karte, deren Farbe
er weiß, alles einsetzen und somit mit Sicherheit mit 2e nach Hause gehen.
Gibt es einen Weg, mit dem Martin garantieren kann, dass er mit mehr als 2e nach Hause geht? Was ist der
höchste Betrag, den er garantiert erreichen kann?
4. Man bestimme die Anzahl der möglichen Überdeckungen eines (n × 2) Rechtecks mit (1 × 2)-Dominosteinen.
5. Ein Smart ist halb so lang wie ein normales Auto. Auf einem Parkstreifen hätten n Smarts hintereinander Platz.
Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, den Parkstreifen lückenlos zu verparken?
6. Die n Ritter der Tafelrunde sitzen um die runde Tafel, und spielen ein Spiel. Jeder Ritter hat einige Spielsteine
vor sich liegen, und zwar genau so viele, dass seine Anzahl das arithmetische Mittel von dem ist, was seine beiden
Nachbarn haben. Wenn es insgesamt n2 Spielsteine gibt, wieviele besitzt dann jeder mindestens?
7. Mischa hat rote und schwarze Plastikperlen und möchte daraus eine Halskette mit n Perlen basteln, wobei keine
zwei roten Perlen direkt nebeneinander aufgefädelt sein sollen. Wieviele Möglichkeiten gibt es?
8. Burak hat rote und schwarze Plastikperlen und möchte daraus eine Halskette mit n Perlen basteln, sodass immer
eine ungerade Anzahl von Perlen einer Farbe nebeneinander ist. Wieviele Möglichkeiten gibt es dafür?
9. Für welche n ∈ N kann man ein (n × n)-Quadrat in n Teilquadrate zerlegen?
10. Man zeige: Wenn man die natürlichen Zahlen von 1 bis 2001 in beliebiger Reihenfolge hintereinander aufschreibt,
so ergibt die entstandene Zahl nie eine Kubikzahl.
11. Man bestimme alle Primzahlen in der Folge h1, 101, 10101, 1010101, ...i.
√
√ √
12. Man zeige, dass 2, 3 und 5
(a) nicht gleichzeitig Elemente einer arithmetischen Folge sein können.
(b) nicht gleichzeitig Elemente einer geometrischen Folge sein können.
13. Sei hxn i eine Folge mit x1 = 3, x2 = 9, und xn+1 = 5xn − 4xn−1 . Wieviele Quadrat- bzw. Kubikzahlen gibt es
in der Folge?
14. Sei
s
xn =
r
6+
q
6 + ··· +
6+
√
6
mit n Wurzelzeichen. Man berechne den Grenzwert dieser Folge, oder zeige, dass sie divergiert.
15. Sei
s
xn =
r
2+3
2+3
q
√
2 + ··· + 3 2
mit n Wurzelzeichen. Man berechne den Grenzwert dieser Folge, oder zeige, dass sie divergiert.
16. Sei
xn =
1
1
1+
1+
1
1+···+ 1
1
mit n Bruchstrichen. Man berechne den Grenzwert dieser Folge, oder zeige, dass sie divergiert.
17. Sei
xn =
√
n
n
für alle n. Man berechne den Grenzwert dieser Folge, oder zeige, dass sie divergiert.
18. Sei x1 = 1 und
xn+1 =
√
1 + xn
für alle n. Man berechne den Grenzwert dieser Folge, oder zeige, dass sie divergiert.
19. Sei x1 = 1 und
1
1 + xn
für alle n. Man berechne den Grenzwert dieser Folge, oder zeige, dass sie divergiert.
xn+1 =
20. Sei x1 = 1 und
xn+1 =
1
1 + x1n
für alle n. Man berechne den Grenzwert dieser Folge, oder zeige, dass sie divergiert.
21. Man bestimme die Anzahl der Teilmengen von {1, ..., n}, die keine aufeinanderfolgenden Zahlen beinhalten.
22. Man bestimme die Anzahl der Permutationen von {1, ..., n}, bei der keine Zahl an ihrem Platz bleibt.
23. Ein Rundfunkgebühreneintreiber möchte in einer Häuserreihe stichprobenartige Kontrollen durchführen. Er legt
dazu vorher fest, welche der Häuser er kontrollieren wird. Da seiner Erfahrung nach Nachbarn einander warnen,
möchte er keine nebeneinanderliegenden Häuser überprüfen. Wie viele mögliche Auswahlen gibt es bei einer
Häuserzeile mit n Häusern?
24. Man zeige: F12 + F22 + · · · + Fn2 = Fn · Fn+1 (wobei hFn i die Folge der Fibonacci-Zahlen ist).
P∞
25. Für jede reelle Zahl b bestimme man alle reellen Zahlen x mit x − b = k=0 xk . (GWF, 2003)
26. Es sei A0 = {1, 2} und für n > 0 entsteht An aus An−1 indem man zu An−1 die natürlichen Zahlen hinzunimmt,
die sich als Summe von zwei verschiedenen Zahlen aus An−1 darstellen lassen. Es sei an = |An | die Anzahl der
Zahlen in An . Man bestimme an als Funktion von n. (GFW, 2001)
27. Um jeden Gitterpunkt (x, y) mit nicht negativen ganzen Zahlen als Koordinaten wird ein Quadrat mit dem
Gitterpunkt als Mittelpunkt und der Seitenlänge 20.9
x 5y in beliebiger Lage gelegt. Man bestimme den minimalen
Flächeninhalt dieser aus unendlich vielen Quadraten bestehenden Figur. (BWF, 2003)
28. In einem Straßennetz, dessen Anfang dargestellt ist, sind die Punkte in der mittleren Horizontalen der Reihe
nach mit 1, 4, 7, ... bezeichnet, die oberen Punkte der Reihe nach mit 2, 5, 8, ... und die unteren der Reihe nach
mit 3, 6, 9, ... Wie viele Wege von 1“ nach 3n+1“ gibt es, die Punkte nur in monoton wachsender Reihenfolge
”
”
besuchen? (BWF, 2002)
29. Ein Rechteck ABCD wird in Rechtecke unterteilt, deren Seiten alle parallel zu den Seiten von ABCD sind.
Jedes dieser Rechtecke hat ganzzahlige Breite oder ganzzahlige Höhe (oder beides). Man zeige, dass auch ABCD
ganzzahlige Höhe oder Breite hat.