SUSY-Partner des zweidimensionalen PT

SUSY-Partner des zweidimensionalen
PT −symmetrischen Doppelmuldenpotentials
Bachelorarbeit von
Patric Rommel
21. August 2015
Prüfer: Prof. Dr. Günter Wunner
1. Institut für Theoretische Physik
Universität Stuttgart
Pfaffenwaldring 57, 70550 Stuttgart
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Motivation und Einführung in das Thema . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2 PT -symmetrische Quantenmechanik
2.1 Hermitesche Operatoren in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . .
2.2 Der PT -Operator und PT -Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
3 Supersymmetrische Quantenmechanik
3.1 Eindimensionale Supersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Supersymmetrie in zwei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
11
4 Anwendung des Formalismus auf ein PT -symmetrisches Doppelmuldenpotential
4.1 Numerisches Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Anwendung auf das Doppelmuldenpotential . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Entfernung des Grundzustandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Entfernung des ersten angeregten Zustandes . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Nähere Betrachtung der Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . .
21
21
23
25
28
35
5 Zusammenfassung und Ausblick
43
Literaturverzeichnis
45
Danksagung
47
iii
1 Einleitung
1.1 Motivation und Einführung in das Thema
Ein quantenmechanisches System heißt PT -symmetrisch, wenn es unter gleichzeitiger
Anwendung des Paritätsoperators P und des Zeitumkehroperators T invariant bleibt.
Das äussert sich darin, dass der dazugehörige Hamiltonoperator mit dem PT -Operator
kommutiert, [Ĥ, PT ] = 0. Ein solches System kann selbst dann noch reelle Eigenenergien haben, wenn man komplexwertige Potentiale zulässt. Ein komplexwertiges Potential
kann beispielweise für eine effektive Beschreibung für ein System mit Teilchengewinn und
-verlust verwendet werden. Der PT -symmetrische Fall tritt dann auf, wenn die Gewinne
und Verluste sich ausgleichen und ein stationärer Zustand vorhanden ist.
Einen vielversprechender Ansatz, ein solches PT -symmetrisches System tatsächlich
physikalisch zu verwirklichen, bieten Bose-Einstein-Kondensate in einem Doppelmuldenpotential, bei welchen in einer Mulde Atome in das System eingekoppelt und aus
der anderen ausgekoppelt werden. Auch in der Optik gibt es Systeme, für die eine
zur PT -symmetrischen Quantenmechanik äquivalente Beschreibung möglich ist. In PT symmetrischen Systemen auftretende Effekte können hier auch für technische Anwendungen dienlich sein. Beispielsweise kann man mit ihrer Hilfe unidirektionale Wellenleiter realisieren [1]. Dieser Effekt tritt nur bei Systemen mit einer Kerr-Nichtlinearität
auf, welche ein in der Optik vorhandenes Pendant zur Gross-Pitaevskii-Nichtlinearität
darstellt. Man kann zeigen, dass in einem System mit einer solchen Nichtlinearität PT gebrochene Zustände auftreten, die zu einer dynamischen Instabilität führen [2, 3]. Während das für die Anwendung in Wellenleitern ein gewünschter Effekt ist, schränkt er bei
Bose-Einstein-Kondensaten die Beobachtbarkeit von PT -symmetrischen Zuständen ein.
Es wäre daher im Experiment von Vorteil, wenn man diese Zustände entfernen könnte,
ohne die anderen Zustände zu beeinflussen.
Eine Möglichkeit, aus einem Spektrum Energieniveaus zu entfernen, bietet der Supersymmetrieformalismus. In einer Dimension kann mit ihm zu einem gegebenen Potential
V ein Partnerpotential V (1) gefunden werden, das ein identisches Spektrum von Energieeigenwerten aufweist, mit Ausnahme eines einzigen Niveaus. Dieses ist entfernt. Eine
Vorraussetzung dafür ist allerdings, dass die zum entfernten Niveau gehörende Wellenfunktion keine Knoten hat. In der hermiteschen Quantenmechanik ist das unter normierten Zuständen nur für den Grundzustand möglich. Mit Hilfe der PT -symmetrischen
Quantenmechanik kann man diese Einschränkung aber überwinden, denn eine der Besonderheiten von PT -symmetrischen Systemen ist es, dass angeregte Zustände nicht mehr
1
1 Einleitung
notwendigerweise Knoten haben. Auf diese kann man also auch den Supersymmetrieformalismus anwenden, und ein Partnerssystem finden, in dem die zu ihnen gehörenende
Energie nicht im Spektrum vorhanden ist. Da das betrachtete Bose-Einstein-Kondensat
ein PT -symmetrisches System darstellt, könnte man also versuchen, auf diese Weise die
störenden Zustände zu entfernen, ohne das restliche Spektrum zu beeinträchtigen.
In zwei Dimensionen verkompliziert sich die Situation ein wenig. Man kann immer
noch ein Partnersystem finden, in dem alle vorherigen Energieniveaus vorhanden sind,
bis auf ein ausgewähltes, welches unter geeigneten Bedingungen entfernt ist. Es kommen
jedoch auch zusätzliche Zustände hinzu, die keine Entsprechung im Ursprungssystem
haben [4]. Eine zusätzliche technische Schwierigkeit ergibt sich zudem daraus, dass das
Partnersystem in zwei Dimensionen ein matrixwertiges Potential mit vektorwertigen
Eigenzuständen besitzt.
In dieser Bachelorarbeit soll der Formalismus der Supersymmetrie nun auf ein zweidimensionales PT -symmetrisches Doppelmuldenpotential angewand werden. Ziel ist es,
zu untersuchen, ob es immer noch gelingt, den Grundzustand und insbesondere auch
angeregte Zustände zu entfernen und welche Rolle die neu hinzukommenden Energieniveaus spielen. Dazu wird hier ausschließlich die lineare Schrödingergleichung betrachtet,
noch nicht die Gross-Pitaevskii-Gleichung.
1.2 Aufbau der Arbeit
Zu Beginn wird eine kurze Einführung in die PT -symmetrische Quantenmechanik gegeben, mit dem Ziel, die wichtigsten Eigenschaften, die für diese Arbeit relevant sind, darzulegen. Anschließend wird der Supersymmetrieformalismus zunächst in einer Dimension
eingeführt und dann auf zwei Dimensionen erweitert. Dieser wird das Hauptwerkzeug
sein, mit dessen Hilfe dann anschließend ausgehend vom angesetzten Doppelmuldenpotential die supersymmetrischen Partnersysteme gefunden werden. Sowohl die Lösung
der Schrödingergleichung mit dem ursprünglichen Potential, als auch die Errechnung des
Partnerpotentials wird numerisch erfolgen, ebenso wie die Lösung der Schrödingergleichung im neuen System. Dazu wird ein bereits vorhandenes, auf einer Finite-ElementeMethode basierendes Programm der Problemstellung angepasst. Nach der Einführung in
die Grundlagen des Themas wird daher kurz erläutert, wie die Schrödingergleichung mit
einem Matrixpotential für eine numerische Lösung in die Form eines verallgemeinerten
Eigenwertproblems gebracht werden kann.
Schließlich wird der Formalismus der Supersymmetrie konkret auf den Grundzustand
und den ersten angeregten Zustand im Doppelmuldenpotential angewandt. Es wird sich
zeigen, dass es tatsächlich für beide Fälle gelingt, ein Partnerspektrum zu finden, in
dem das entsprechende Energieniveau fehlt. Diese Ergebnisse werden zusammen mit
den Wellenfunktionen und Potentialen graphisch präsentiert. Anschließend wird noch in
2
1.2 Aufbau der Arbeit
einem kleinen Abschnitt die Form der alten und neuen Wellenfunktionen analysiert und
verglichen.
3
2 PT -symmetrische Quantenmechanik
2.1 Hermitesche Operatoren in der Quantenmechanik
In der herkömmlichen Quantenmechanik werden Observablen durch hermitesche Operatoren repräsentiert. Ein messbarer Wert der Observablen ist dann ein Eigenwert dieses
Operators. Sei also zum Beispiel A eine Observable und  der zugehörige Operator. Der
Operator heißt hermitesch, wenn
† =  .
(2.1)
Dies hat unmittelbar zur Folge, dass das Spektrum von  vollständig reell ist. Denn sei
Ai ein Eigenwert von  zum normierten Eigenzustand |ψi, h· |· i das Skalarprodukt des
Hilbertraumes, dann ist:
Ai = hψ|Âψi = h† ψ|ψi = hÂψ|ψi = Ai
⇒
Ai ∈ R .
(2.2)
An typischen Observablen wie beispielsweise der Energie oder des Impulses lässt sich
erkennen, dass nur reelle Wert als Ergebnisse von Messprozessen Sinn ergeben. Daher
ist es sinnvoll, von Anfang an zu fordern, dass zu Observablen gehörige Operatoren hermitesch sind. So ist sichergestellt, dass die Quantenmechanik für Messergebnisse immer
reelle Zahlen vorhersagt. Auf eine andere Möglichkeit dieses Verhalten zu erzwingen wird
im folgenden Abschnitt eingegangen.
2.2 Der PT -Operator und PT -Symmetrie
Im Folgenden soll eine knappe Einführung in die Grundlagen der PT -symmetrischen
Quantenmechanik gegeben werden. Der Abschnitt orientiert sich an den entsprechenden
Kapiteln in [5, 6]. Auf diese sei auch für eine etwas ausführlichere Beschreibung mit
physikalischer Interpretation verwiesen.
Der Paritätsoperator P soll bei Anwendung auf einen quantenmechanischen Zustand
den am Ursprung des Orts- und des Impulsraumes gespiegelten Zustand liefern:
Pψ(x, t) = ψ(−x, t) ,
Pψ(p, t) = ψ(−p, t) .
(2.3)
(2.4)
5
2 PT -symmetrische Quantenmechanik
Sei |xi ein Eigenzustand des Ortsoperators x̂ zum Eigenwert x und |pi ein Eigenzustand
des Impulssoperators p̂ zum Eigenwert p. Dann lässt sich die Wirkung des Paritätsoperators auch mit
P|xi = | − xi ,
P|pi = | − pi ,
(2.5)
(2.6)
ausdrücken.
Der Zeitumkehroperator T soll lediglich für eine Spiegelung im Impulsraum sorgen,
im Ortsraum bleibt der Zustand unverändert:
T |xi = |xi ,
T |pi = | − pi .
(2.7)
(2.8)
Es ist sofort ersichtlich, dass beide Operatoren selbstinvers sind. Zunächst wird das
Kommutatorverhalten mit Orts- und Impulsoperator untersucht,
(P x̂ + x̂P) |xi = x| − xi − x| − xi = 0 .
(2.9)
Es gilt also die Antikommutatorrelation {P, x̂} = 0. Analog zeigt man auch:
{P, p̂} = 0 ,
{T , p̂} = 0 ,
[T , x̂] = 0 .
(2.10)
(2.11)
(2.12)
Hierbei ist [· , · ] der Kommutator. Hieraus lässt sich eine wichtige Eigenschaft des Zeitumkehroperators folgern; hierzu wird [x̂, p̂] = i~ verwendet:
T i~T = T (x̂p̂ − p̂x̂)T = T x̂p̂T − T p̂x̂T = −x̂p̂T T + p̂x̂T T = − [x̂, p̂] = −i~ . (2.13)
Der Zeitumkehroperator bewirkt also eine komplexe Konjugation. Der Zusammenhang
mit der Zeit wird bei Betrachtung des Zeitentwicklungsoperators Û (t1 , t2 ) klar, welcher
den Übergang zwischen den beiden Zeitpunkten t1 und t2 vermittelt. Für
nicht explizit
R
i t2
von der Zeit abhängige Systeme lautet er Û (t1 , t2 ) = exp − ~ t1 Ĥdt . Die komplexe
Konjugation kann hier als Umkehrung des Zeitverlaufes interpretiert werden.
Paritäts- und Zeitumkehroperator lassen sich nun zum PT -Operator verbinden. Seine
Auswirkungen auf Ort und Impuls sind wie folgt:
PT |xi = |xi ,
PT |pi = | − pi .
6
(2.14)
(2.15)
2.2 Der PT -Operator und PT -Symmetrie
Insgesamt bewirkt er eine Spiegelung im Ortsraum bei gleichzeitiger komplexer Konjugation. Für ihn ergeben sich folgende Kommutator- und Antikommutatorrelationen:
{PT , p̂} = 0 ,
[PT , x̂] = 0 .
(2.16)
(2.17)
(2.18)
Der PT -Operator ist wie der Paritätsoperator und der Zeitumkehroperator ebenfalls
selbstinvers. Damit lassen sich Eigenschaften möglicher Eigenwerte des Operators untersuchen. Hierzu sei |ψi ein Eigenzustand zum Eigenwert λ, dann folgt
|ψi = PT PT |ψi = λPT |ψi = |λ|2 |ψi ⇒ |λ|2 = 1 .
(2.19)
Es sind also alle Eigenwerte des PT -Operators von der Form λ = eiφ mit φ ∈ [0, 2π). Für
φ = 0 bleibt der Zustand invariant unter Anwendung des PT -Operators. Er wird dann
als exakt PT -symmetrisch bezeichnet. Aufgrund der freien Wahl der globalen Phase in
der Quantenmechanik kann jeder Eigenzustand stets als exakt PT -symmetrisch gewählt
werden. Sei also |ψi wieder Eigenzustand wie oben zum Eigenwert λ = eiφ . Betrachte
φ
den Zustand |ψ̃i = ei 2 |ψi. Dann ist
φ
φ
φ
PT |ψ̃i = PT ei 2 |ψi = e−i 2 PT |ψi = e−i 2 eiφ |ψi = |ψ̃i ,
|ψ̃i ist also exakt PT -symmetrisch.
Ein quantenmechanisches System heißt PT -symmetrisch, wenn der Hamiltonoperator
mit dem PT -Operator vertauscht,
h
i
Ĥ, PT = 0 .
(2.20)
Das ist eine Bedingung an das Potential,
h
i
Ĥ, PT = 0
ĤPT = PT Ĥ
p̂
p̂2
PT + V (x)PT = PT
+ PT V (x)
2m
2m
p̂2
p̂2
PT
+ PT V (−x) = PT
+ PT V (x) .
2m
2m
2
Es folgt also
V (x) = V (−x) .
(2.21)
Die Bedingung ist äquivalent dazu, dass Realteil des Potentials eine gerade und Imaginärteil des Potentials eine ungerade Funktion ist.
7
2 PT -symmetrische Quantenmechanik
Der Eigenwert E eines exakt PT -symmetrischen Zustandes |ψi in einem PT -symmetrischen System mit Hamiltonoperator Ĥ ist stets reell:
E|ψi = Ĥ|ψi = ĤPT |ψi = PT Ĥ|ψi = PT E|ψi = EPT |ψi = E|ψi ,
⇒E =E.
Es ist also auf diese Weise möglich, auch für nicht-hermitesche Hamiltonoperatoren eine
Klasse von Systemen und Zuständen mit reellen Eigenwerten zu finden.
8
3 Supersymmetrische
Quantenmechanik
Mit Hilfe des Sypersymmetrieformalismuses ist es möglich, zu einem quantenmechanischen System ein oder mehrere Partnersysteme zu finden, sodass ein enger Zusammenhang zwischen den jeweiligen Spektren besteht. Im Folgenden soll nun zuerst dieser Formalismus im Fall eines eindimensionalen Quantensystems eingeführt werden. Anschließend wird er auf zweidimensionale Systeme ausgedehnt. Der Aufbau dieses Abschnittes
orientiert sich an [4].
3.1 Eindimensionale Supersymmetrie
Im eindimensionalen Fall ist es stets möglich, zu einem gegeben Potential ein Partnerpotential zu finden, sodass entweder die Spektren der Systeme identisch sind, ein neues
Grundzustandsenergieniveau zum Spektrum hinzukommt oder die alte Grundzustandsenergie fehlt.
Hierzu betrachte man einen eindimensionalen Hamiltonoperator Ĥ mit Potential V (x).
Sei ψS eine beliebige, nicht notwendigerweise normierbare Eigenfunktion von Ĥ zum
Eigenwert ES . ψS erfüllt dann die Eigenwertgleichung
∂2
ψS (x) + V (x)ψS (x) = ES ψS .
(3.1)
∂x2
Unter der essentiellen Bedingung, dass ψS keinen Knoten besitzt, lässt sich diese Gleichung nun nach dem Potential auflösen. Man erhält
−
V (x) =
1 ∂ 2 ψS (x)
+ ES .
ψS (x) ∂x2
(3.2)
Hiermit lässt nun der Hamiltonoperator umschreiben,
Ĥ = −
∂2
1 ∂ 2 ψS (x)
+
+ ES ,
∂x2 ψS (x) ∂x2
(3.3)
und in eine faktorisierte Form bringen. Dazu führt man folgende Operatoren ein:
∂
∂χ
+
,
(3.4)
Q+ = −
∂x ∂x
∂
∂χ
Q− =
+
,
(3.5)
∂x ∂x
9
3 Supersymmetrische Quantenmechanik
mit χ = − ln(ψS ). Die faktorisierte Form lautet:
Ĥ = Q+ Q− + ES .
(3.6)
Für die neu eingeführten Operatoren gilt
+ −
∂2
Q ,Q =
χ,
∂x2
†
und für hermitesche Systeme: Q+ = Q− .
(3.7)
(3.8)
Der Hamiltonoperator des Partnersystems lautet:
Ĥ (1) = Q− Q+ + ES .
(3.9)
Es gelten folgende Vertauschungsrelationen zwischen den Hamiltonoperatoren Ĥ und
Ĥ (1) :
Ĥ (1) Q− = Q− Ĥ ,
ĤQ+ = Q+ Ĥ (1) .
(3.10)
(3.11)
Mit diesen lässt sich der enge Zusammenhang der beiden Spektren zeigen. Sei dazu ψ
eine Eigenfunktion des Hamiltonoperators Ĥ des Ausgangsystems zum Eigenwert E.
Für Q− ψ 6= 0 gilt dann
Ĥ (1) Q− ψ = Q− Ĥψ = Q− Eψ = EQ− ψ .
(3.12)
Wie zu erkennen ist, muss also Q− ψ Eigenfunktion des neuen Hamiltionoperators sein,
und zwar mit dem gleichen Eigenwert E. Umgekehrt gilt nun für die Eigenfunktion ψ (1)
des Partnersystems Ĥ (1) zum Eigewert E (1)
ĤQ+ ψ (1) = Q+ Ĥ (1) ψ (1) = Q+ E (1) ψ (1) = E (1) Q+ ψ (1) .
(3.13)
Wie oben ist also Q+ ψ (1) Eigenzustand von Ĥ zum Eigenwert E (1) , sofern er nicht
verschwindet. Für die Normierung erhält man
hQ− ψ|Q− ψi = hψ|Q+ Q− |ψi = hψ|Ĥ − ES |ψi = E − ES ,
(3.14)
beziehungsweise
hQ+ ψ (1) |Q+ ψ (1) i = hψ (1) |Q− Q+ |ψ (1) i = hψ (1) |Ĥ (1) − ES |ψ (1) i = E (1) − ES .
(3.15)
Hierzu wurde angenommen, dass ψ und ψ (1) normiert sind. Die Normierbarkeit ist also
für E > ES und E (1) > ES gewährleistet. Bei Gleichheit verschwindet der jeweilige Bildzustand. Wählt man also für ES eine Energie, die niedriger als die Grundzustandsenergie
ist, dann wird das normierbare Spektrum im Partnerpotential vollständig reproduziert
10
3.2 Supersymmetrie in zwei Dimensionen
und die Eigenwerte sind in beiden Systemen identisch. Das ist nur möglich, wenn ψS
selbst nicht normierbar ist. Wählt man den Grundzustand, so stimmen zumindest alle
angeregten Zustände in beiden Systemen überein. Es ist auch zu erkennen, dass keine
Energie gewählt werden kann, die größer als die Grundzustandsenergie ist. Für einen
möglichen Zustand im Partnersystem zur Energie ES folgt aus Gleichung (3.15):
|Q+ ψ (1) |2 = 0 ⇒ Q+ ψ (1) = 0 ,
∂χ (1)
∂
+
)ψ = 0 .
(−
∂x ∂x
Dies ist eine lineare Differenzialgleichung. Mit χ = − ln(ψS ) folgt für die Lösung ψ (1) =
A · ψS−1 mit einer reellen Konstante A. Es kann also nur jeweils einer der beiden Zustände normierbar sein. Wird für ψS der normierbare Grundzustand im Ausgangssystem gewählt, dann ist er im Partnersystem entfernt. Man kann also auf diese Weise
ein Partnerspektrum finden, welches mit dem ursprünglichen bis auf Abwesenheit der
Grundzustandsenergie vollständig übereinstimmt.
3.2 Supersymmetrie in zwei Dimensionen
In zwei Dimensionen ist das Vorgehen ähnlich. Sei ψS wieder ein Eigenzustand zum
Eigenwert ES . Wieder muss ψS nicht notwendigerweise normierbar sein, darf aber keinen
Knoten haben. Dann kann die Eigenwertgleichung wieder umgeformt werden,
ES ψS (x, y) = −∆ψS (x, y) + V (x, y)ψS (x, y)
∂2
∂2
= − 2 ψS (x, y) − 2 ψS (x, y) + V (x, y)ψS (x, y) .
∂x
∂y
Wieder lässt sich nach dem Potential auflösen. Man erhält
1
∂2
1
∂2
V (x, y) =
ψS (x, y) +
ψS (x, y) + ES .
ψS (x, y) ∂x2
ψS (x, y) ∂y 2
(3.16)
Damit lassen sich nun wieder neue Operatoren definieren,
∂
∂χ
+
,
∂x ∂x
∂
∂χ
Q+
+
,
2 = −
∂y ∂y
∂
∂χ
Q−
+
,
1 =
∂x ∂x
∂
∂χ
Q−
+
,
2 =
∂y ∂y
mit χ = − ln(ψS ) .
Q+
1 = −
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
(3.21)
11
3 Supersymmetrische Quantenmechanik
Es gilt für hermitsche Hamiltonoperatoren wieder
†
Q+
= Q−
l
l ,
(3.22)
(3.23)
wobei l = 1, 2. Hiermit nimmt der Hamiltonoperator Ĥ wieder faktorisierte Form an,
−
Ĥ = Q+
l Ql + ES .
(3.24)
Hierbei und für den restlichen Abschnitt wird die Summenkonvention benutzt. Im Unterschied zum eindimensionalen Fall ist der Partner-Hamiltonian ein Matrixoperator:
+
Hˆ(1) lm = Ĥδlm + [Q−
l , Qm ] .
(3.25)
+
[Q−
l , Qm ] = 2∂l ∂m χ ,
(3.26)
Es gilt
∂
∂
und ∂2 = ∂y
. Damit lässt sich für das Partnersystem ein matrixwertiges
wobei ∂1 = ∂x
Potential angeben,
(1)
Vlm (x, y) = V (x, y)δlm + 2∂l ∂m χ(x, y) .
(3.27)
Das heißt auch, dass Wellenfunktionen im neuen System vektorwertig mit zwei Einträgen
sind. Die Norm des Vektors ist durch die Summe der Normen der Einträge gegeben. Sei
(1)
ψl mit l = 1, 2 der Eintrag der Wellenfunktion mit Index l, wobei ψ (1) Eigenzustand
des neuen Hamiltonoperators zur Energie E (1) ist. Die Eigenwertgleichung hat dann die
Form
(1) (1)
(1)
Ĥlm ψm
= E (1) ψl .
(3.28)
Die Hamiltonoperatoren erfüllen wieder ähnliche Vertauschungsrelationen wie im Eindimensionalen
(1)
−
Ĥlm Q−
m = Ql Ĥ ,
ĤQ+
l =
(1)
Q+
m Ĥml
(3.29)
.
(3.30)
Sei ψ Eigenzustand im ursprünglichen System zum Eigenwert E.
(1)
ĤQ+
l ψl
(1)
+ (1)
= Q+
ψm = E (1) Q+
m ψm .
m Ĥml ψl = Qm E
(1)
−
−
−
Ĥlm Q−
m ψ = Ql Ĥψ = Ql Eψ = EQl ψ .
(3.31)
(3.32)
Anwendung der neu eingeführten Operatoren ermöglicht es also wieder, im jeweils anderen System Partnerzustände mit der selben Energie zu finden. Zunächst wird der
Zustand, welcher aus ψ gewonnen wird, untersucht.
−
+ −
hQ−
l ψ|Ql ψi = hψ|Ql Ql |ψi = hψ|Ĥ − ES |ψi = E − ES .
12
(3.33)
3.2 Supersymmetrie in zwei Dimensionen
Wieder folgt, dass alle Zustände mit größeren Energien als ES im Partnerpotential reproduziert werden. Für E = ES folgt, dass Q−
l ψ = 0. Wählt man eine Energie, die kleiner
als die Grundzustandsenergie ist, so wird das gesamte Spektrum von Ĥ im Spektrum
von Ĥ (1) reproduziert. Nimmt man den Grundzustand, so sind alle angeregten Energien
des Ursprungssystem vorhanden. Allerdings sind in beiden Fällen noch weitere Energien
vorhanden, die kein Gegenpart im Ursprungsspektrum haben. Es gibt ein weiteres Partnersystem mit Hamiltonoperator Ĥ (2) , dem diese Zustände zugeordnet werden können,
+
Ĥ (2) = Q−
l Ql + ES = Ĥ + 2∆χ .
(3.34)
Im Gegensatz zu Ĥ (1) ist sein Potential skalar,
V (2) (x, y) = V (x, y) + 2∆χ(x, y) .
(3.35)
Auch für die beiden Hamiltonoperatoren Ĥ (1) und Ĥ (2) gelten wieder Vertauschungsrelationen. Hierfür definiert man die neuen Operatoren
Pl+ = lk Qk − und Pl− = lk Qk + ,
(3.36)


falls (l k) gerade Permutation von (1 2) ,
1
lk = −1 falls (l k) ungerade Permutation von (1 2) ,


0
sonst .
(3.37)
mit
Die Vertauschungsrelationen haben wieder die selbe Form wie in den vorherigen Fällen,
(1)
Ĥml Pl+ = Pm+ Ĥ (2) ,
(1)
Ĥ (2) Pl− = Pl− Ĥlm .
(3.38)
(3.39)
Sei ψ (2) Eigenfunktion von Ĥ (2) zum Eigenwert E (2) . Es folgt wie oben, dass Pl+ ψ (2)
(1)
Eigenfunktion von Ĥ (1) zum Eigenwert E (2) ist, sofern Pl+ ψ (2) 6= 0. Ebenso ist Pl− ψl
Eigenfunktion von Ĥ (2) mit Eigenwert E (1) , falls es nicht verschwindet. Für Pl+ ψ (2) gilt
zusätzlich:
− (2)
− (2)
+ (2)
= −kl Q−
Q−
= lk Q−
l Qk ψ
l Qk ψ
l Pl ψ
− (2)
− (2)
.
= kl Q−
= kl Q−
l Qk ψ
k Ql ψ
+ (2)
⇒ Q−
= 0.
l Pl ψ
(3.40)
Man sieht, dass die zusätzlichen Zustände in Hˆ(1) , die aus dem Spektrum von Hˆ(2)
stammen, auf 0 abgebildet werden und keinen Bildzustand im Spektrum von Ĥ haben.
13
3 Supersymmetrische Quantenmechanik
Um den genauen Zusammenhang zwischen den Spektren von Ĥ, Ĥ (1) und Ĥ (2) zu
verdeutlichen, wird Ĥ (1) in eine neue Form gebracht,
+ −
(1)
+
+ −
− +
Ĥmn
= Ĥδmn + [Q−
m , Qn ] = Ql Ql δmn + ES δmn + Qm Qn − Qn Qm
+ −
+
+ −
= Q−
m Qn + ES δmn + Ql Ql δmn − Qn Qm
+ −
+
= Q−
m Qn + ES δmn + mk na Qk Qa
+
− +
= Q−
m Qn + ES δmn + Pm Pn .
Mit
+
Ĥmn = Q−
m Qn
(3.41)
Ĥmn = Pm− Pn+
(3.42)
Ĥ (1) = Ĥ + Ĥ + ES · E .
(3.43)
und
erhält man die Form
Für die Operatoren Ĥ und Ĥ gilt:
(ĤĤ)mn = Ĥma Ĥan
+ − +
= Q−
m Q a P a Pn
+
−
+
= Q−
m Qa al Ql nk Qk
+
−
+
− + + −
= al nk Q−
m Qa Ql Qk = −la nk Qm Qa Ql Qk
+ + −
− + + −
= la nk Q−
m Ql Qa Qk = la nk Qm Qa Ql Qk
⇒ ĤĤ = 0 .
(3.44)
ĤĤ = 0 .
(3.45)
Analog folgt auch
Beide Operatoren können als neue Hamiltonian verstanden werden. Sie sind wieder
Matrixoperatoren und haben vektorwertige Eigenfunktionen. Sei im Folgenden stets Ψ
Eigenfunktion von H zum Eigenwert E und ψ̃ Eigenfunktion von H zum Eigenwert Ẽ. Ist
die Eigenenergie eines Zustandes von einem Operator nicht Null, so ist sie automatisch
Null beim jeweils anderen:
0 = ĤĤψ̃ = Ẽ Ĥψ̃
⇒ Ĥψ̃ = 0 .
14
(3.46)
3.2 Supersymmetrie in zwei Dimensionen
Analog dazu auch
ĤΨ = 0 .
(3.47)
Es lässt sich nun zeigen, dass für E (1) 6= ES jeder Eigenvektor von Ĥ (1) als Summe
von Eigenvektoren von Ĥ und Ĥ zum Eigenwert E (1) − ES geschrieben werden kann. Sei
dazu die Eigenwertgleichung:
(E (1) − ES )ψ (1) = (Ĥ (1) − ES E)ψ (1) = Ĥψ (1) + Ĥψ (1) .
Es folgt:
1
1
(1)
Ĥψ
+
Ĥψ (1) .
E (1) − ES
E (1) − ES
Gleichung (3.44) impliziert gleichzeitig:
ψ (1) =
(3.48)
Ĥ(E (1) − ES )ψ (1) = Ĥ(Ĥψ (1) + Ĥψ (1) ) = ĤĤψ (1)
(3.49)
(1)
(3.50)
⇒ Ĥ(Ĥψ ) = (E
(1)
(1)
− ES )(Ĥψ ) .
Ebenso folgt aus (3.45):
Ĥ(Ĥψ (1) ) = (E (1) − ES )(Ĥψ (1) ) .
(3.51)
Abgesehen von möglichen Zuständen mit E (1) = ES ist also jeder Eigenzustand von
Ĥ (1) eine Linearkombination von Eigenzuständen von Ĥ + ES E und Ĥ + ES E zur selben
Energie.
ˆ (2) = Ĥ (2) − E . Die
ˆ (1) = Ĥ (1) − E und H̃
ˆ = Ĥ − E , H̃
Im folgenden Abschnitt sei H̃
S
S
S
Bezeichnungen der zugehörigen Eigenzustände seien wie bisher, da die Wellenfunktionen
durch eine solche Energieverschiebung unverändert bleiben. Damit wird Gleichung (3.43)
zu
ˆ (1) = Ĥ + Ĥ.
H̃
(3.52)
Alternativ könnte man ES = 0 setzen.
Die neuen Hamiltonoperatoren erfüllen getrennt Vertauschungsrelationen mit den
ˆ und H̃
ˆ (2) :
Operatoren H̃
− ˆ
Ĥlm Q−
m = Ql H̃ ,
ˆ + = Q+ Ĥ ,
H̃Q
m ml
l
(3.53)
(3.54)
und
ˆ (2) ,
Ĥlm Pm− = Pl− H̃
ˆ (2) P + = P + Ĥ .
H̃
l
m
ml
(3.55)
(3.56)
15
3 Supersymmetrische Quantenmechanik
Analog zu allen vorherigen Fällen auch, erhält man wieder:
Ĥlm Q−
m ψ = (E − ES )ψ ,
ˆ + Ψ = EQ+ Ψ ,
H̃Q
l
l
l
l
Ĥlm Pm− ψ (2) = (E (2) − ES )Pl− ψ (2) ,
ˆ (2) P + ψ̃ = ẼP + ψ̃ .
H̃
l
l
l
l
(3.57)
(3.58)
(3.59)
(3.60)
+
− (2)
Sofern die neuen Zustände Q−
und Pl+ ψ̃l nicht verschwinden, sind es
m ψ, Ql Ψl , Pm ψ
also Eigenfunktionen.
Zunächst wird untersucht, wann Q−
m ψ = 0, m = 1, 2 gilt,
Q−
mψ = 0 ,
∂m ψ + ∂m χψ = 0 .
Wenn die Differenzialgleichung für m = 1 und m = 2 erfüllt sein soll und die Lösung
normierbar, so erhält man
ψ = ψS .
(3.61)
Das bedeutet, dass lediglich das Bild des Zustandes im Spektrum von Ĥ (1) nicht auftaucht, der zur Faktorisierung verwendet wurde. Wählt man den Grundzustand, so sind
alle angeregten Zustände vorhanden, der Grundzustand fehlt hingegen. Mit dem gleichen
Vorgehen ermittelt man auch, dass Pm− ψ (2) = 0, m = 1, 2 gilt, wenn
ψ (2) ∝ ψS−1 .
(3.62)
Ein solcher Zustand kann nicht normierbar sein, wenn ψS normierbar ist. In diesem Fall
ˆ (2) auch Eigenwerte von Ĥ. Wie
sind also stets alle Energien aus den Spektrum von H̃
sieht es umgekehrt aus? Hierzu zunächst im Fall von Ĥ: Aus
Q+
m Ψm = 0
folgt sofort
+
Q−
l Qm Ψm = 0 l = 1 , 2 ⇒ ĤΨ = 0 .
(3.63)
ˆ Analog gilt
Das heißt, lediglich für ĤΨ = 0 hat Ψ keinen Bildzustand in H̃.
Pm+ ψ̃m = 0
mit den gleichen Folgen.
16
⇒ Ĥψ̃ = 0 ,
(3.64)
3.2 Supersymmetrie in zwei Dimensionen
ˆ (2) aus, so erhält
Geht man von einem normierten Spektrum des Hamiltonoperators H̃
man für die Bildzustände:
2
X
|Pl− ψ (2) |2 = hPl− ψ (2) |Pl− ψ (2) i
l=1
= hψ (2) |Pl+ Pl− |ψ (2) i
(2)
+
= hψ (2) |lk lm Q−
k Qm |ψ i
+
(2)
= hψ (2) |Q−
m Qm − ES |ψ i
= hψ (2) |Ĥ (2) − ES |ψ (2) i = E (2) − ES .
Der Zustand ist also für E 6= ES normierbar. Für E (2) = ES verschwindet er. Dies reproduziert das Ergebnis von (3.33) für das zweite Partnerpotential. Unter Verwendung
der zuvor hergeleiteten Relationen zwischen Ĥ, Ĥ und Ĥ (1) erhält man, dass das normierte Spektrum von Ĥ (1) die normierten Spektren des ursprünglichen Systems Ĥ und
des zweiten Partners Ĥ (2) vollständig enthält, mit einer möglichen Ausnahme von ES .
Bleibt die Frage, ob Ĥ (1) Eigenenergien zu normierten Zuständen hat, die weder im
Spektrum von Ĥ noch im Spektrum von Ĥ (2) auftauchen. Hierzu wird zunächst untersucht, was die Norm der Bildzustände von normierten Eigenzuständen aus Ĥ und Ĥ
ist:
− +
+
hQ+
l Ψl |Qm Ψm i = hΨl |Ql Qm |Ψm i = hHlm Ψm i = EhΨl |Ψl i = E .
(3.65)
Analog erhält man für Ĥ
hPl+ ψ̃l |Pm+ ψ̃m i = Ẽ .
(3.66)
Die Bildzustände sind also normierbar, wenn die Energien nicht Null sind. Da alle Eigenzuständen von Ĥ (1) mit Energien verschieden von ES als Linearkombination von
Eigenzuständen von Ĥ + ES E und Ĥ + ES E geschrieben werden können, folgt, dass alle
Energieniveaus E (1) 6= ES eins zu eins mit Energieniveaus aus Ĥ oder Ĥ (2) übereinstimmen.
Abschließend muss noch untersucht werden, inwiefern Zustände mit E (1) = ES eine
Rolle spielen. Für einen solchen Zustand muss gelten:
Ĥψ (1) + Ĥψ (1) = 0 .
(3.67)
Linksseitige Anwendung von Ĥ beziehungsweise Ĥ ergibt zusammen mit Gleichungen
(3.44) und (3.45)
ĤĤψ (1) = 0 ,
(3.68)
ĤĤψ (1) = 0 .
(3.69)
17
3 Supersymmetrische Quantenmechanik
(1)
(1)
Es folgt, dass sowohl Q+
als auch Pl+ ψl beide verschwinden, hier am Beispiel von
l ψl
(1)
+ (1)
Q+
ist analog.
l ψl . Die Rechnung für Pl ψl
hĤψ (1) |Ĥψ (1) i = hψ (1) |ĤĤψ (1) i = 0
⇒ Ĥψ (1) = 0 .
(1)
− +
(1)
(1)
(1)
(1)
+ (1)
hQ+
l ψl |Qm ψm i = hψ |Ql Qm |ψm i = hψ |Ĥlm ψm i = 0
(1)
⇒ Q+
l ψl
= 0.
Das ergibt zwei Differenzialgleichungen:
(1)
0 = Q+
l ψl
(1)
(1)
(1)
(1)
= −∂1 ψ1 + ∂1 χψ1 − ∂2 ψ2 + ∂2 χψ2
(3.70)
und
(1)
0 = Pl+ ψl
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
−
= Q−
2 ψ1 − Q1 ψ2 = ∂2 ψ1 + ∂2 χψ1 − ∂1 ψ2 − ∂1 χψ2 .
(3.71)
Man setzt an (vergleiche [7]):
(1)
(1)
∂1 ψ1 = ∂1 χψ1 ,
(1)
∂2 ψ1
(1)
∂1 ψ2
(1)
∂2 ψ2
=
=
=
(1)
−∂2 χψ1
(1)
−∂1 χψ2
(1)
∂2 χψ2 .
(3.72)
,
(3.73)
,
(3.74)
(3.75)
An dieser Stelle führt man die Größe χ̃ ein, sodass
∂1 χ̃ = −∂1 ln ψS ,
∂2 χ̃ = ∂2 ln ψS .
(3.76)
(3.77)
Das ist möglich, falls ψS (x, y) = ψSx (x) · ψSy (y). Man erhält, dass
χ̃ = − ln(ψS ) + Cy ,
χ̃ = ln(ψS ) + Cx .
(3.78)
(3.79)
Mit Funktionen Cx und Cy , die nur von x respektive y abhängen. Ist ψS normiert, dann
folgt aus (3.78) und (3.79) für ein festes y beziehungsweise x,
χ̃ → +∞ für x → ±∞ ,
χ̃ → −∞ für y → ±∞ .
18
(3.80)
(3.81)
3.2 Supersymmetrie in zwei Dimensionen
Für die Lösungen der Gleichungen (3.73) bis (3.75) erhält man:
(1)
(3.82)
(1)
(3.83)
ψ1 = C1 · exp(χ̃) ,
ψ2 = C2 · exp(−χ̃) ,
wobei C1 und C2 reelle Konstanten sind. Mit (3.80) und (3.81) kann keine der beiden
Komponenten normierbar sein.
Man erhält nun insgesamt das Ergebnis, dass das Spektrum von Ĥ (1) gerade die Vereinigung der Spektren von Ĥ und Ĥ (2) ist, lediglich der Zustand zur Energie ES taucht,
zumindest unter gewissen Bedingungen, nicht auf.
19
4 Anwendung des Formalismus auf ein
PT -symmetrisches
Doppelmuldenpotential
Aus den Ausführungen im Kapitel zur Supersymmetrie folgt, dass der Formalismus
nur für Zustände anwendbar ist, die höchstens die Grundzustandsenergie haben. Diese
Schlussfolgerung ist jedoch nur gewährleistet, solange der verwendete Hamiltonoperator
hermitesch ist. Ist das nicht der Fall, so gelten (3.8) und (3.23) nicht mehr. Dies hat
zur Folge, dass die Umformungen in (3.14), (3.15) beziehungsweise (3.33) und (3.65)
nicht mehr möglich sind. Ausserdem kann es dann auch angeregte Zustände geben, die
keine Knoten besitzten. Beispielsweise wurde in [8] gezeigt, dass der erste angeregte
Zustand eines PT -symmetrischen Doppel-δ-Potentials knotenfrei ist. Das eröffnet die
Möglichkeit, den Formalismus auch auf angeregte Zustände anzuwenden und zu versuchen ein Partnersystem zu finden, in welchem diese fehlen. Wie in [5, 8] gezeigt, ist
das in einer Dimension für ein PT -symmetrisches Doppel-δ-Potential tatsächlich möglich. Im folgenden Abschnitt soll der Fall eines zweidimensionalen PT -symmetrischen
Doppelmuldenpotentials betrachtet werden.
4.1 Numerisches Vorgehen
Für die Numerik wurde ein bestehendes Programm zur Lösung der Schrödingergleichung
angepasst. Das Programm basiert auf einer Finiten-Elemente-Methode. Betrachte die
Schrödingergleichung für einen Hamiltonoperator mit einem matrixwertigen Potential
V (1) :
(1) (1)
(1)
Ĥlm ψm
= E (1) ψl .
(4.1)
Man erhält zwei Gleichungen:
(1)
(1)
(1)
(4.2)
(1)
(1)
(1)
(4.3)
(1)
−∆ψ1 + V1m ψm
= E (1) ψ1 ,
(1)
−∆ψ2 + V2m ψm
= E (1) ψ2 .
Man setzt für ψ (1) eine Linearkombination von BSpline-Basisfunktionen {ui } mit den
Koeffizienten {ci } an:
n
X
(1)
ψl =
cli ui .
(4.4)
i=1
21
4 Anwendung des Formalismus auf ein PT -symmetrisches Doppelmuldenpotential
Einsetzen in die Schrödingergleichungen ergibt:
−∆
−∆
n
X
(1)
c1i ui + V1m
n
X
1
cm
i ui − E
n
X
i=1
i=1
i=1
n
X
n
X
(1)
n
X
c2i ui + V2m
i=1
1
cm
i ui − E
c1i ui = 0 ,
(4.5)
c2i ui = 0 .
(4.6)
i=1
i=1
Für eine Näherungslösung soll das Skalarprodukt mit einer beliebigen Basisfunktion uj
verschwinden:
Z
Z
n Z
X
1
m (1)
1
1
uj ci (−∆ui )dV + ci V1m uj ui dV − E
ci uj ui dV = 0 ,
(4.7)
i=1
n Z
X
c2i uj (−∆ui )dV
Z
+
(1)
cm
i V2m uj ui dV
−E
1
Z
c2i uj ui dV
= 0.
(4.8)
i=1
Mit partieller Integration erhält man, da die BSplines an den Rändern verschwinden:
Z
Z
n Z
X
(1)
1
m
1
1
∇uj ∇ui dV ci + V1m uj ui dV ci − E
uj ui dV ci = 0 ,
(4.9)
i=1
n Z
X
∇uj ∇ui dV
c2i
Z
+
(1)
V2m uj ui dV cm
i
−E
1
Z
uj ui dV
c2i
= 0.
(4.10)
i=1
Dies lässt sich in eine verallgemeinerte Eigenwertgleichung für den Vektor (c11 ...c1n c21 ...c2n )
umformen. Dazu sei:
R

für i, j ≤ n
R ∇ui ∇uj dV
(4.11)
Hij =
∇ui−n ∇uj−n dV für i, j > n ,


0
sonst ,
R (1)
für i, j ≤ n
V11 ui uj dV



R V (1) u u dV
für i > n und j ≤ n
i−n i
,
(4.12)
Vij = R 12(1)

V21 ui uj−n dV
für i > n und j ≤ n


R (1)
V22 ui−n uj−n dV für i, j ≤ n
R

für i, j ≤ n
R ui uj dV
Mij =
(4.13)
ui−n uj−n dV für i, j > n .


0
sonst
Damit erhält man die Gleichung
(Hij + Vij )cj = E (1) Mij cj ,
22
j = 1, ..., 2n .
(4.14)
4.2 Anwendung auf das Doppelmuldenpotential
Diese verallgemeinerte Eigenwertgleichung lässt sich numerisch lösen und auf diese Weise
können die Eigenzustände der matrixwertigen Partnertpotentiale V (1) und V (2) untersucht werden. Dazu verwendet man die Formeln (3.27) und (3.35),
(1)
Vlm (x, y) = V (x, y)δlm + 2∂l ∂m χ(x, y) ,
V (2) (x, y) = V (x, y) + 2∆χ(x, y) .
Hierbei ist χ = − ln(ψS ), wobei ψS die Wellenfunktion des zu entfernenden Zustandes
ist. Es muss also zunächst die Schrödingergleichung mit dem ursprünglichen Potential
gelöst werden, um die entsprechenden Wellenfunktionen zu bekommen. Dies geschieht
numerisch mit Hilfe des ursprünglichen Programmes.
4.2 Anwendung auf das Doppelmuldenpotential
Das verwendete Ursprungspotential V hat die Form:
1
1
V (x, y) = x2 + y 2 + 4 exp(− x2 ) + i · γ exp(−0.12(y 2 + (x − 2)2 ))
4
2
− exp(−0.12(y 2 + (x + 2)2 ))
(4.15)
Hierbei ist γ ein Parameter, der die Nichthermizität des Hamiltonoperators steuert. Realund Imaginärteil des Potentials sind in den Abbildungen 4.1(a) und 4.1(b) zu sehen.
Es handelt sich also um ein in x-Richtung PT -symmetrisches Potential. Dies ermöglicht es im Supersymmetrieformalismus nicht nur den Grundzustand für ψS zu verwenden. Die untersuchten Partnersysteme sind Ĥ (1) und Ĥ (2) , wobei das Hauptaugenmerk
auf Ĥ (1) liegt.
Alle gezeigten Wellenfunktionen des Partnersystems wurden nicht noch einmal normiert. Zum Einen hat die genaue Skalierung der Wellenfunktion wenig Aussagekraft,
solange sie normierbar ist und der Verlauf bekannt ist. Zum Anderen hätte eine Normierung aufgrund des numerischen Vorgehens falsche Wellenfunktionen vorgetäuscht:
Numerische Ungenauigkeiten bei verschwindenden Wellenfunktionen wären durch die
Normierung auf die Größenordnung der nichtverschwindenden Wellenfunktionen skaliert
worden und hätten den Eindruck ergeben, es gäbe Wellenfunktionen, wo keine sind.
Dieser Effekt wird in den Abbildungen 4.14 und 4.15 im Abschnitt 4.2.3 zu sehen sein.
Wie ersichtlich werden wird, versagt die numerische Behandlung des Problems für
kleine Werte von γ. Für zu große Werte hingegen liegt man bereits über dem Bifurkationspunkt, bei welchem Grundzustand und erster angeregter Zustand entarten und
daher eine Entfernung der beiden nicht mehr unterschieden werden kann. Daher wurde
zunächst ein γ gewählt, welches sehr nahe an der Bifurkation, aber noch darunter liegt.
Auf diese Weise ist die größte numerische Genauigkeit gewährleistet und es kann dennoch zwischen Grundzustand und erstem angeregten Zustand unterschieden werden. Als
Nachteil ist jedoch zu erwarten, dass die Wellenfunktionen der Zustände keine großen
23
4 Anwendung des Formalismus auf ein PT -symmetrisches Doppelmuldenpotential
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
30
25
20
15
10
5
−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5
0
(a) Abgebildet ist der Realteil des ursprünglichen Potentials V
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
0.06
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5
−0.06
(b) Zu sehen ist der Imaginärteil des ursprünglichen Potentials V für γ = 0, 06164
Abbildung 4.1: Die beiden Diagramme zeigen das verwendete Potential. Es besitzt einen
nicht-verschwindenden Imaginärteil und ist somit kein Potential, wie es
in der hermiteschen Quantenmechanik auftreten würde.
24
4.2 Anwendung auf das Doppelmuldenpotential
Eigenenergien Ĥ
3,44098
3,48906
4,93977
5,43557
5,44436
Eigenenergien Ĥ (1)
Eigenenergien Ĥ (2)
3,48906
4,93977
5,43555
5,44436
5,48994
5,48981
5,49446
5,49434
6,5918
6,5918
6,93915
6,93892
6,93947
6,93923
7,43209
7,43206
Tabelle 4.1: Die Energiespektren der drei Systeme für γ = 0,052 sind hier im direkten
Vergleich dargestellt. Die Energieniveaus wurden so angeordnet, dass die
Zuordnung zwischen den Partnersystemen sofort ersichtlich ist. Die kleinen
Abweichungen sind durch numerische Ungenauigkeiten zu erklären.
Unterschiede mehr zeigen, also im Ursprungspotential Grundzustand und erster angeregter Zustand sehr ähnlich sind und im Partnersystem der Grundzustand bei Entfernen
des alten ersten angeregten Zustandes kaum von dem bei Entfernen des alten Grundzustandes zu differenzieren ist.
4.2.1 Entfernung des Grundzustandes
Zunächst wird für die Anwendung des Supersymmetrieformalismus der Grundzustand
von Ĥ verwendet. Man erhält die in Abbildung 4.2 dargestellten Einträge des Partnerpotentials V (1) . Die numerisch bestimmten Spektren sind in Tabelle 4.1 dargestellt. Man
sieht, dass wie für den hermiteschen Fall hergeleitet, auch bei diesem nicht-hermiteschen
Hamiltonoperator das Spektrum von Ĥ (1) gerade die Vereinigung der Spektren von Ĥ
und Ĥ (2) ohne die Grundzustandsenergie ES ist. Die durch Ĥ (2) zusätzlich hinzukommenden Eigenzustände spielen erst ab dem dritten angeregten Zustand eine Rolle.
Die beiden Nichtdiagonal-Elemente sind identisch. In Figur 4.3 ist der Verlauf der
Energien des Grund- und ersten angeregten Zustandes im ursprünglichen Potential V
zusammen mit der Grundzustandsenergie im Potential V (1) in Abhängigkeit des Parameters γ dargestellt. Bei etwa γ = 0, 061649 kommt es im ursprünglichen Potential zu
einem Bruch der PT -Symmetrie: Die Grundzustandsenergie und die Energie des ersten
angeregten Zustandes bekommen den gleichen Realteil, aber nichtverschwindende Imaginärteile mit umgekehrten Vorzeichen. Es ist zu erkennen, dass der Verlauf des neuen
Grundzustands genau dem ersten angeregten Zustand im alten Potential entspricht. Die
alte Grundzustandsenergie ist entfernt. In den Abbildungen 4.4 bis 4.7 sind die Wellen-
25
4 Anwendung des Formalismus auf ein PT -symmetrisches Doppelmuldenpotential
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
35
30
25
20
15
10
5
0
−5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
−0.001
−0.002
−0.003
−0.004
−0.005
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
35
30
25
20
15
10
5
0
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−4−3−2−1 0 1 2 3 4
3
2
1
0
−1
−2
−3
0.015
0.01
0.005
0
−0.005
−0.01
−0.015
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
−0.01
−0.02
−0.03
−0.04
−0.05
−4−3−2−1 0 1 2 3 4
Abbildung 4.2: Es wurden die Einträge des matrixwertigen Partnerpotentials V (1) zum
Potential V bei gleichem γ graphisch dargestellt. Die linke Spalte ist stets
der Realteil, die rechte der Imaginärteil. In der ersten Zeile ist der Eintrag
(1)
(1)
(1)
(1)
V11 und in der dritten der Eintrag V22 . Da V12 und V21 identisch sind,
können sie durch einen einzigen Plot dargestellt werden, welcher in der
mittleren Zeile zu sehen ist.
26
4.2 Anwendung auf das Doppelmuldenpotential
3.5
neuer Grundzustand
alter Grundzustand
alter erster angeregter Zustand
3.49
Realteil der Energie
3.48
3.47
3.46
3.45
3.44
3.43
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
γ
0.065
0.07
0.075
0.08
Abbildung 4.3: Dargestellt ist der Energieverlauf des ursprünglichen Grundzustandes,
ursprünglichen ersten angeregten Zustandes zusammen mit dem neuen
Grundzustand in Abhängigkeit von γ.
27
4 Anwendung des Formalismus auf ein PT -symmetrisches Doppelmuldenpotential
Eigenenergien Ĥ
3,44098
3,48906
4,93977
5,43557
Eigenenergien Ĥ (1)
3,44098
Eigenenergien Ĥ (2)
4,93978
5,4354
5,4429
5,4427
5,44436
5,44436
5,49446
5,49443
6,5918
6,5918
6,93947
6,93876
6,93895
6,93824
7,43209
7,43193
Tabelle 4.2: Das sind die Energiespektren der drei Systeme für γ = 0,052.
funktionen des alten Grundzustandes, des alten ersten angeregten Zustandes und die
beiden Komponenten der Wellenfunktion des neuen Grundzustandes dargestellt.
Genaue Betrachtung des Graphen 4.7 zeigt, dass die Wellenfunktion des angeregten
Zustandes keinen Knoten besitzt. Das bedeutet, dass der Supersymmetrieformalismus
auch auf diesen Zustand anwendbar ist: Man kann ihn für ψS wählen und untersuchen,
ob auch hier das zugehörige Energieniveau im Partnersystem Ĥ (1) fehlt. Im folgenden
Abschnitt wird genau das durchgeführt.
4.2.2 Entfernung des ersten angeregten Zustandes
Zunächst einmal wird in Abbildung 4.8 das neue Potential V (1) dargestellt. In Figur
4.9 wird wieder der Verlauf der Energien der untersten zwei Energieniveaus aus dem
Ursprungspotential mit dem neuen Grundzustand in Abhängigkeit von γ verglichen.
Diesmal bleibt der Grundzustand vorhanden, hingegen ist der erste angeregte Zustand
entfernt. Für niedrige γ−Werte wird die Numerik ungenau. Das lässt sich damit erklären,
dass im Grenzfall γ → 0 der Hamiltonoperator Ĥ wieder hermitesch wird. Dann hat der
erste angeregte Zustand einen Knoten und der Supersymmetrieformalismus ist nicht
anwendbar. Es ist also zu erwarten, dass Ungenauigkeiten in der Numerik schon für
γ-Werte nahe, aber nicht identisch Null für große Abweichungen sorgen.
In Tabelle 4.2 sind die untersten Energieniveaus aus den normierten Spektren zu sehen. Es ist erkennbar, dass Ĥ (1) das selbe Spektrum wie in den anderen Fällen zeigt,
nur dass nun der Grundzustand des alten Potentials vorhanden ist und dafür der erste angeregte Zustand fehlt. Es ist auf diese Weise also tatsächlich möglich, nicht nur
den Grundzustand, sondern auch andere Zustände zu entfernen, sofern die zugehörigen
Wellenfunktionen keine Knoten aufweisen.
In den Abbildungen 4.10, sowie 4.11(a) und 4.11(b) sind die Komponenten des neuen
28
4.2 Anwendung auf das Doppelmuldenpotential
0.3
5
4
3
0.2
2
1
0
−1
0.1
−2
−3
−4
−5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
0
5
4
3
−0.1
2
1
0
−1
−0.2
−2
−3
−4
−5
−0.3
Abbildung 4.4: In dieser Abbildung sind die Wellenfunktionen der untersten beiden
Energieniveaus im alten System gezeigt. Die obere Zeile zeigt den Grundzustand und die untere den ersten angeregten Zustand. Der Realteil ist
in beiden Fällen links und der Imaginärteil rechts. Die Wellenfunktionen
sind wie erwartet fast nicht zu unterscheiden. Das liegt daran, dass für
diese Plots γ = 0, 06164 verwendet wurde, was sehr nahe am Bifurkationspunkt mit γ = 0, 061649 liegt (vergleiche auch Abbildungen 4.3 und
4.9).
29
4 Anwendung des Formalismus auf ein PT -symmetrisches Doppelmuldenpotential
5
0.6
4
3
2
1
0
0.4
−1
−2
−3
−4
−5
0.2
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
5
4
0
3
2
1
0
−1
−0.2
−2
−3
−4
−5
−0.4
Abbildung 4.5: Abgebildet sind Real- und Imaginärteil der ersten und zweiten Komponente des Grundzustandes im System Ĥ (1) . Das Betragsquadrat der
ersten Komponente weist einen einzelnen Peak auf, wie in Figur 4.6(a)
noch einmal gezeigt. Die zweite Komponente verschwindet, wie in Abbildung 4.6(b) verdeutlicht wird.
30
4.2 Anwendung auf das Doppelmuldenpotential
5
0.45
4
0.4
3
0.35
2
0.3
1
0.25
0
0.2
−1
0.15
−2
−3
0.1
−4
0.05
−5
0
−5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
5
(a) Um den genauen Verlauf der ersten Komponente des neuen Grundzustandes
noch einmal darzustellen, ist hier das Betragsquadrat der Wellenfunktion dargestellt.
Der Verlauf ähnelt einer anisotropen gaußschen Glockenkurve.
5
3.5e−12
4
3e−12
3
2.5e−12
2
1
2e−12
0
1.5e−12
−1
−2
1e−12
−3
5e−13
−4
−5
0
−5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
5
(b) Das Betragsquadrat der zweiten Komponente des Grundzustandes. Die angenommenen Werte sind so klein, dass sie als numerische Fehler zu interpretieren
sind. Es folgt, dass diese Komponente verschwindet.
Abbildung 4.6: Diese Graphiken zeigen die Betragsquadrate der Komponenten des neuen
Grundzustandes.
31
4 Anwendung des Formalismus auf ein PT -symmetrisches Doppelmuldenpotential
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Abbildung 4.7: Hier wird der Betrag der Wellenfunktion des ersten angeregten Zustandes
im Ursprungssystem gezeigt.
32
4.2 Anwendung auf das Doppelmuldenpotential
35
30
25
20
15
10
5
0
−5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
0.006
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
0.004
0.002
0
−0.002
−0.004
−0.006
35
30
25
20
15
10
5
0
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−4−3−2−1 0 1 2 3 4
3
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
2
1
0
−1
−2
−3
0.015
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
0.01
0.005
0
−0.005
−0.01
−0.015
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
−0.01
−0.02
−0.03
−0.04
−0.05
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−4−3−2−1 0 1 2 3 4
Abbildung 4.8: Es wurden wieder genau analog zum vorherigen Abschnitt die Einträge des matrixwertigen Partnerpotentials V (1) zum Potential V bei
γ = 0, 06164 graphisch dargestellt. Die linke Spalte sind die Realtei(1)
le, die rechte die Imaginärteile. Die oberste Zeile gibt den Eintrag V11 ,
(1)
(1)
die mittlere die identischen Einträge V12 und V21 und die unterste den
(1)
Eintrag V22 .
33
4 Anwendung des Formalismus auf ein PT -symmetrisches Doppelmuldenpotential
3.5
neuer Grundzustand
alter Grundzustand
alter erster angeregter Zustand
3.48
Realteil der Energie
3.46
3.44
3.42
3.4
3.38
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
γ
0.065
0.07
0.075
0.08
Abbildung 4.9: Energieverlauf des ursprünglichen Grundzustandes, ursprünglichen ersten angeregten Zustandes zusammen mit dem neuen Grundzustand in
Abhängigkeit von γ. Fällt γ unter einen Wert von ungefähr 0,052 wird
der numerische Fehler zu groß, um sinnvolle Ergebnisse zu liefern.
34
4.2 Anwendung auf das Doppelmuldenpotential
Grundzustandes dargestellt.
Die hier gewonnenen neuen Potentiale und Wellenfunktionen sind praktisch identisch
zu denen, die bei Entfernung des Grundzustandes gewonnen wurden. Das war aufgrund
der Nähe zum Bifurkationspunkt auch zu erwarten und belegt, dass nicht nur die Eigenenergien, sondern auch die dazugehörigen Wellenfunktionen gegen den neuen entarteten
Grundzustand konvergieren.
4.2.3 Nähere Betrachtung der Wellenfunktionen
Da die bisherigen Plots für γ-Werte sehr nahe am Bifurkationspunktes erstellt wurden,
sind eventuell vorhandene Unterschiede der verschiedenen Wellenfunktionen und Potentiale nur schwer erkennbar. Wie in Abbildung 4.9 jedoch zu sehen ist, versagt die Numerik
für zu kleine Werte für γ. Der Abbildung entnimmt man auch, dass die kleinstmöglichen
Werte, die noch sinnvolle Ergebnisse liefern sollten, sich im Bereich von etwa γ ≈ 0,052
befinden. Deswegen werden im Folgenden noch einmal einige der Wellenfunktionen für
diesen Wert gezeigt. Sie werden zudem nun alle normiert, um Unterschiede die von der
Skalierung stammen, zu umgehen. Zunächst einmal wurde der Grundzustand und der
erste angeregte Zustand des Ausgangspotentials in 4.12 geplottet. Die Komponenten
des neuen Grundzustandes bei Entfernung des alten sind in den Abbildungen in 4.14
zu sehen. Im Vergleich dazu wurden in 4.15 die Komponenten des Grundzustandes im
Partnersystems bei Entfernung der ersten angeregten Energie dargestellt.
Um die beiden neuen Grundzustände zu untersuchen, wird der Betrag der ersten Komponente verglichen. Die zweite Komponente ist nicht von Interesse, da sie wie in 4.10
gesehen verschwindet. Was in den Abbildungen 4.14 und 4.15 für die zweite Komponente
zu sehen ist, ist auf numerische Fehler zurückzuführen. Das Ergebnis ist in Figur 4.16
dargestellt: Wenn man die Grundzustandsenergie entfernt, dann ist der Peak in x- und
y-Richtung in etwa isotrop. Entfernt man hingegen den ersten angeregten Zustand, so ist
der Peak in x-Richtung stärker lokalisiert als in y-Richtung und auch insgesamt stärker
ausgeprägt. Dieses Verhalten läuft dem im Ursprungspotential genau entgegen: Wenn
man den alten Grundzustand entfernt, so ist der neue quasi ein Partner des alten ersten
angeregten Zustandes. Bei Entfernung des ersten angeregten Zustandes ist es umgekehrt.
Doch im Ursprungssystem war es der Grundzustand, der im Vergleich zum ersten angeregten Zustand weniger stark ausgeprägte Peaks zeigt. Eine mögliche Erklärung dafür
findet man in der Art und Weise, wie die neuen Systeme erstellt wurden. Es ist stets der
entfernte Zustand, der zur Konstruktion des neuen Potentials verwendet wird, und es
ist daher auch zu erwarten, dass sich seine Symmetrie im neuen System widerspiegelt.
35
4 Anwendung des Formalismus auf ein PT -symmetrisches Doppelmuldenpotential
5
0.6
4
3
2
1
0
0.4
−1
−2
−3
−4
−5
0.2
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
5
4
0
3
2
1
0
−1
−0.2
−2
−3
−4
−5
−0.4
Abbildung 4.10: Abgebildet sind wieder Real- und Imaginärteil der ersten und zweiten Komponente des Grundzustandes im System Ĥ (1) für den Fall des
entfernten ersten angeregten Zustandes. Die zweite Komponente verschwindet wieder (vergleiche Figur 4.6(b).)
36
4.2 Anwendung auf das Doppelmuldenpotential
5
0.45
4
0.4
3
0.35
2
0.3
1
0.25
0
0.2
−1
0.15
−2
−3
0.1
−4
0.05
−5
0
−5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
5
(a) Hier ist der in etwa gaußförmige Verlauf der ersten Komponente mit einem
einzelnen Peak zu sehen.
5
3.5e−12
4
3e−12
3
2.5e−12
2
1
2e−12
0
1.5e−12
−1
−2
1e−12
−3
5e−13
−4
−5
0
−5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
5
(b) Wieder ist zu sehen, dass die zweite Komponente verschwindet.
Abbildung 4.11: Diese Graphiken zeigen die Beträge der Komponenten des neuen Grundzustandes, wenn man den ersten angeregten Zustand des alten Potentials entfernt hat.
37
4 Anwendung des Formalismus auf ein PT -symmetrisches Doppelmuldenpotential
0.4
5
4
0.3
3
2
1
0.2
0
−1
−2
−3
0.1
−4
−5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
0
5
4
−0.1
3
2
1
−0.2
0
−1
−2
−3
−0.3
−4
−5
−0.4
Abbildung 4.12: Oberer Zeile: Grundzustand im alten System, Untere Zeile: Erster angeregter Zustand im alten System; Linke Spalte: Realteile, Rechte Spalte: Imaginärteile. Der Unterschied ist nun deutlicher zu erkennen. Im
Grundzustand befinden sich im Realteil zwei Gaußglocken mit gleichem
Vorzeichen, während sich das Vorzeichen im ersten angeregten Zustand
unterscheidet. In den Imaginärteilen sind jedoch bei beiden Energien
die Vorzeichen jeweils unterschiedlich. In 4.13(a) und 4.13(b) wird noch
einmal der Betrag der beiden Wellenfunktionen verglichen.
38
4.2 Anwendung auf das Doppelmuldenpotential
5
0.4
4
0.35
3
0.3
2
1
0.25
0
0.2
−1
0.15
−2
0.1
−3
0.05
−4
−5
0
−5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
5
(a) Es ist der Grundzustand im Ausgangssystem für ein γ von 0,052 zu sehen.
5
0.4
4
0.35
3
0.3
2
1
0.25
0
0.2
−1
0.15
−2
0.1
−3
0.05
−4
−5
0
−5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
5
(b) Hier ist der erste angeregte Zustand des Ausgangssystems beim selben γ dargestellt.
Abbildung 4.13: Diese Graphiken zeigen die Beträge der Wellenfunktionen der untersten
beiden Energieniveaus im Ausgangssystem. Als Hauptunterschied ist zu
erkennen, dass im angeregten Zustand der Abfall des Betrages zwischen
den beiden Erhebungen stärker ausgeprägt ist.
39
4 Anwendung des Formalismus auf ein PT -symmetrisches Doppelmuldenpotential
5
0.6
0.3
0.5
0.25
4
3
2
0.2
0.4
1
0.15
0
0.3
0.1
−1
0.2
−2
−3
0.05
0.1
0
0
−0.05
−4
−5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
5
0.4
0.5
4
0.3
0.4
3
0.2
0.3
0.1
0.2
0
0.1
2
1
0
−0.1
0
−0.2
−0.1
−3
−0.3
−0.2
−4
−0.4
−0.3
−5
−0.5
−0.4
−1
−2
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Abbildung 4.14: Der Grundzustand im Partnersystem bei Entfernung der alten Grundzustandsenergie. Die linke Spalte sind Realteile, die rechte Imaginärteile. Oben ist die erste Komponente und unten die zweite.
40
4.2 Anwendung auf das Doppelmuldenpotential
5
0.7
0.6
4
0.6
0.5
3
0.5
2
1
0.4
0
0.3
−1
0.2
−2
0.4
0.3
0.2
0.1
0.1
−3
−4
0
0
−5
−0.1
−0.1
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
0.3
0.8
0.2
0.6
2
0.1
0.4
1
0
0.2
−1
−0.1
0
−2
−0.2
−0.2
−0.3
−0.4
−0.4
−0.6
4
3
0
−3
−4
−5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Abbildung 4.15: Der Grundzustand im Partnersystem bei Entfernung der alten ersten
angeregten Energie. Die linke Spalte sind Realteile, die rechte Imaginärteile. Oben ist die erste Komponente und unten die zweite.
41
4 Anwendung des Formalismus auf ein PT -symmetrisches Doppelmuldenpotential
5
0.8
4
0.7
3
0.6
2
0.5
1
0
0.4
−1
0.3
−2
0.2
−3
0.1
−4
−5
0
−5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
5
(a) Der Betrag der ersten Komponente des Grundzustandes in Ĥ (1) ist hier zu sehen,
wenn man den ersten angeregten Zustand entfernt. Die Wellenfunktion hat die selbe
Eigenenergie wie der alte Grundzustand.
5
0.8
4
0.7
3
0.6
2
0.5
1
0
0.4
−1
0.3
−2
0.2
−3
0.1
−4
−5
0
−5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
5
(b) Hier ist der Betrag der ersten Komponente des Grundzustandes im System Ĥ (1)
dargestellt, wenn man die Grundzustandsenergie entfernt. Die Wellenfunktion hat
die selbe Eigenenergie wie der alte erste angeregte Zustand.
Abbildung 4.16: Im direkten Vergleich der beiden Wellenfunktionen sind die Unterschiede besser zu erkennen.
42
5 Zusammenfassung und Ausblick
Hintergrund dieser Arbeit ist, dass es möglich ist, auch für nichthermitesche Hamiltonoperatoren reelle Energiespektren zu gewinnen. Eine Möglichkeit dazu bietet der
PT -Operator, der sich aus dem Paritätsoperator P und dem Zeitumkehroperator T zusammensetzt. Eigenfunktionen dieses Operators werden PT -symmetrisch genannt. Es
kann gezeigt werden, dass mit Hilfe des PT -Operators tatsächlich eine Klasse von Hamiltonoperatoren gefunden werden kann, die nicht hermitesch sind, aber dennoch reelle
Eigenenergien haben: Hamiltonoperatoren Ĥ, die mit dem PT -Operator kommutieren,
d.h. für die [Ĥ, PT ] = 0 gilt, mit PT -symmetrischen Eigenfunktionen haben genau diese
Eigenschaft.
Die andere Grundlage dieser Bachelorarbeit ist der Supersymmetrieformalismus in der
Quantenmechanik. In einer Dimension ist es mit diesem möglich, zu einem gegebenen
Potential ein System zu finden, dessen Spektrum bis auf Ausnahme eines einzigen Wertes
zu dem des ursprünglichen Systems identisch ist. Allerdings muss die Wellenfunktion, zu
der dieser Eigenwert gehört, knotenfrei sein. Wenn man sich auf normierbare Zustände
beschränkt, ist dies in der hermiteschen Quantenmechanik nur für den Grundzustand
möglich. In zwei Dimensionen erhält man fast das selbe Ergebnis; das Partnerspektrum
enthält jedoch zusätzliche Zustände, die im ursprünglichen System nicht vorhanden sind.
Diese sind mit den Zuständen eines zweiten Partnersystems korreliert.
Eine Besonderheit in der PT -symmetrischen Quantenmechanik ist, dass angeregte
Zustände nicht mehr notwendigerweise Knoten haben. Dies ermöglicht es, den Supersymmetrieformalismus auch auf angeregte Zustände anzuwenden und diese in einem
Partnersystem zu entfernen. Das ist in einem eindimensionalen System bereits untersucht worden und funktioniert [5]. Ziel dieser Arbeit war es, dieses Ergebnis auf zwei
Dimensionen zu erweitern. Daher wurde ein zweidimensionales PT -symmetrisches Doppelmuldenpotential betrachtet. Für dieses wurde die Schrödingergleichung aufgestellt
und numerisch gelöst, um auf diese Weise die Wellenfunktionen der zu entfernenden Zustände zu gewinnen. Aus diesen ließen sich mit die Potentiale der supersymmetrischen
Partner finden. Jenes ist für das Hauptpartnersystem matrixwertig und die Wellenfunktionen haben zwei Komponenten. Zur Lösung der neuen Schrödingergleichung musste
daher ein vorhandenes Programm zur Lösung der gewöhnlichen Schrödingergleichung
dieser neuen Problemstellung angepasst werden.
Mit Hilfe des Supersymmetrieformalismuses in zwei Dimensionen konnten auf diese
Weise tatsächlich Partnersysteme gefunden werden, in welchen jeweils der Grundzustand beziehungsweise der erste angeregte Zustand aus dem Spektrum entfernt sind. Ein
43
5 Zusammenfassung und Ausblick
Vergleich der Spektren der drei Systeme zeigt, dass die neu hinzukommenden Zustände,
zumindest in diesem System, erst ab dem dritten angeregten Zustand eine Rolle spielen.
Vermeidet man also Energien, die hoch genug sind, um diese anzuregen, so verhalten
sich die supersymmetrischen Partner wie im eindimensionalen Fall.
Die einfachste Verallgemeinerung des Durchgeführten ist eine Betrachtung höher angeregter Zustände als nur der erste. Im hermiteschen Fall haben höher angeregte Zustände
im Allgemeinen mehr Knoten. Dadurch kommen die Wellenfunktionen bei kleiner Nichthermizität an mehr Lininen als zuvor sehr nahe an Null. Es ist zu erwarten, dass das
eine größere Herausforderung an die Numerik stellt.
Die erzielten Ergebnisse verwendeten lediglich die Schrödingergleichung. Eine vielversprechende Möglichkeit die PT -Symmetrie in einem realen physikalischen System zu
verwirklichen bieten jedoch Bose-Einstein-Kondensate mit Einkoppelung und Verlust
von Teilchen. Diese werden durch die Gross-Pitaevskii-Gleichung beschrieben, welche im
Gegensatz zur Schrödingergleichung eine zusätzliche Nichtlinearität enthält. Ein natürlicher nächster Schritt wäre es also, sich die Gross-Pitaevskii-Gleichung mit Nichtlinearität
und deren Lösungen für des Partnersystems anzuschauen. In einer Dimension wurden
entsprechende Untersuchen bereits gemacht [8]. Es wäre von Interesse, zu erfahren, ob
sich die dort gewonnen Ergebnisse auch im zweidimensionalen Fall reproduzieren lassen.
Die theoretischen Grundlagen des Supersymmetrieformalismus sind für beliebig dimensionale Systeme bekannt [4]. Da reale Bose-Einstein-Kondensate dreidimensionial
sind, bestünde ein weiterer möglicher nächster Schritt darin, den Formalismus für drei
Dimensionen zu untersuchen, mit dem Ausblick, einen praktikablen experimentellen Aufbau zu realisieren, in welchem die PT - beziehungsweise Supersymmetrie beobachtbar ist.
44
Literaturverzeichnis
[1] Hamidreza Ramezani, Tsampikos Kottos, Ramy El-Ganainy und Demetrios N. Christodoulides. Unidirectional nonlinear PT -symmetric optical structures. Phys. Rev.
A 82, 043803 (2010).
[2] Daniel Haag, Dennis Dast, Andreas Löhle, Holger Cartarius, Jörg Main und Günter
Wunner. Nonlinear quantum dynamics in a PT -symmetric double well. Phys. Rev.
A 89, 023601 (2014).
[3] Andreas Löhle, Holger Cartarius, Daniel Haag, Dennis Dast, Jörg Main und Günter Wunner. Stability of Bose-Einstein condensates in a PT symmetric double-δ
potential close to branch points. Acta Polytechnica 54, 133–138 (2014).
[4] A.A. Andrianov, N.V. Borisov und M.V. Ioffe. The factorization method and quantum systems with equivalent energy spectra. Physics Letters A 105, 19–22 (1984).
[5] Nikolas Abt. Supersymmetrische Erweiterung des PT -symmetrischen Doppel-DeltaPotentials. Bachelorarbeit, Universität Stuttgart (2014).
[6] Andreas Löhle. Stabilitätslücke bei PT -symmetrischen Bose-Einstein-Kondensaten.
Bachelorarbeit, Universität Stuttgart (2013).
[7] A Alonso Izquierdo, M A Gonzalez Leon, M de la Torre Mayado und J Mateos
Guilarte. On two-dimensional superpotentials: from classical Hamilton–Jacobi theory
to 2D supersymmetric quantum mechanics. Journal of Physics A: Mathematical and
General 37, 10323 (2004).
[8] Nikolas Abt, Holger Cartarius und Günter Wunner. Supersymmetric Model of a BoseEinstein Condensate in a -Symmetric Double-delta Trap. International Journal of
Theoretical Physics Seiten 1–14.
45
Danksagung
Ich möchte mich bei jedem bedanken, der mir bei der Erstellung dieser Bachelorarbeit
geholfen hat. Mein besonderer Dank gilt Dr. Holger Cartarius und Daniel Haag, die mir
bei Problemen jeder Art sehr hilfreich zur Seite standen. Natürlich möchte ich mich auch
bei Herrn Prof. Dr. Günter Wunner bedanken, der mir die Bachelorarbeit am Institut
ermöglicht und die Rolle meines Prüfers übernommen hat. Auch bedanken möchte ich
mich bei meinen Bürokollegen Stefan Käser und Sascha Böhrkircher, die mir immer wieder bei technischen Kleinigkeiten weitergeholfen haben. Es hat Spaß gemacht, mit euch
in einem Büro zu arbeiten. Zuletzt möchte ich mich noch beim gesamten Institut ITP1
bedanken, für eine angenehme Arbeitsatmossphäre und unterhaltsame Diskussionen in
der Kaffeerunde.
47
Ehrenwörtliche Erklärung
Ich erkläre,
• dass ich diese Bachelorarbeit selbständig verfasst habe,
• dass ich keine anderen als die angegebenen Quellen benutzt und alle wörtlich oder
sinngemäß aus anderen Werken übernommenen Aussagen als solche gekennzeichnet
habe,
• dass die eingereichte Arbeit weder vollständig noch in wesentlichen Teilen Gegenstand eines anderen Prüfungsverfahrens gewesen ist,
• dass ich die Arbeit weder vollständig noch in Teilen bereits veröffentlicht habe, es
sei denn, der Prüfungsausschuss hat die Veröffentlichung vorher genehmigt
• und dass der Inhalt des elektronischen Exemplars mit dem des Druckexemplars
übereinstimmt.
Stuttgart, den 21. August 2015
Patric Rommel