Vom Bose-Einstein-Kondensat zum gekickten Kreisel

Vom Bose-Einstein-Kondensat zum
gekickten Kreisel
Diplomarbeit von
Martin P. Strzys
Durchgeführt am
Fachbereich Physik
der Technischen Universität Kaiserslautern
Unter Anleitung von Herrn
apl. Prof. Dr. H. J. Korsch
Kaiserslautern, Oktober 2006
ii
Überblick
Bose-Einstein-Kondensate haben seit ihrer experimentellen Realisierung [1, 2] sowohl für
Experimentatoren, als auch für Theoretiker völlig neue Möglichkeiten eröffnet. Mit Hilfe
optischer Gitter können die verschiedensten Potentiale, angefangen bei räumlich periodischen Gitter-Systemen, die als Modelle für Festkörper dienen, bis hin zu Systemen mit
wenigen Potentialmulden, erzeugt werden [3]. Die theoretische Beschreibung im Rahmen
der sogenannten mean-field -Näherung hat sich dabei als sehr erfolgreich erwiesen. Bei
tiefen Temeraturen wird in dieser Näherung das gesamte Kondensat durch eine einzige
Wellenfunktion ψ(r, t) und die Wechselwirkung der Atome durch ein mittleres Potential c |ψ(r, t)|2 beschrieben. Die experimentelle Situation wird dadurch bereits sehr gut
wiedergegeben. Dem gegenüber steht die quantenmechanisch exakte Beschreibung des
Kondensats als Vielteilchensystem, die bei großen Teilchenzahlen wesentlich aufwändiger
ist.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Beschreibung eines Bose-Einstein-Kondensats mit
gekickter, also zeitlich periodisch δ-förmig modulierter, Wechselwirkung in einem Doppelmuldenpotential. Die Zeitevolution zeitlich periodisch getriebener Systeme kann im
Rahmen der Floquettheorie mit Hilfe des Propagators über eine Periode, des sogenannten
Floquetoperators, beschrieben werden. Dieser nimmt für den Fall des gekickten Kondensats die einfache Form
F = e−icV τ e−iH0 τ
(1)
an, mit der Periode τ und der interatomaren Wechselwirkung V . Hierbei ist H0 der Hamiltonoperator ohne Wechselwirkung. Wie sich zeigt, entspricht dieser Floquetoperator
in einer geeigneten Basis dem eines gekickten Kreisels, wie er von Haake et al. in verschiedenen Arbeiten untersucht worden ist [4, 5]. Beim gekickten Kreisel handelt es sich um
einen quantenmechanischen Drehimpuls L dessen Quadrat L2 eine Erhaltungsgöße mit
den Eigenwerten l(l + 1), l = 0, 1, . . . ist. Die Dynamik des Systems wird im klassischen
Grenzfall l → ∞ mit steigender Wechselwirkung c zunehmend von Chaos geprägt. Diese
Tatsache macht das System im Kontext von Quantenchaos interessant. In der Tat geben sowohl die Quantendynamik als auch das Spektrum des Floquetoperators Aufschluss
darüber, ob das entsprechende klassische System reguläre oder chaotische Dynamik aufweist. Das klassische Chaos hinterläßt demnach auch seine Spuren in der Quantenmechanik. Es wird sich herausstellen, dass die mean-field -Näherung exakt dem klassischen
Grenzfall des gekickten Kreisels entspricht — Quantenchaos tritt demnach auch beim gekickten Bose-Einstein-Kondensat auf. In dieser Arbeit wollen wir sowohl die mean-field -
iv
als auch die Vielteilchenbeschreibung des gekickten Kondensats näher betrachten und
anschließend einander gegenüberstellen. Im Einzelnen befassen sich die Kapitel mit den
folgenden Themen:
Kapitel 1 In der Einleitung wird zunächst der Hamiltonoperator für das gekickte BoseEinstein-Kondensat im Doppelmuldenpotential hergeleitet. Anschließend formulieren wir das System in der mean-field -Näherung.
Kapitel 2 Dieses Kapitel beschäftigt sich ausschließlich mit dem mean-field -System. Dieses läßt sich analog als klassisches kanonisches System beschreiben. Die Dynamik, Fixpunkte und die Symmetrien dieses Systems stehen im Mittelpunkt
des Interesses.
Kapitel 3 Nachdem das mean-field -System untersucht wurde, wird einiges davon auf
das volle Vielteilchensystem übertragen. Die Symmetrien spielen hierbei eine
besondere Rolle, da sie das Spektrum der Operatoren maßgeblich prägen. Um
dies zu sehen bedienen wir uns der Theorie der Zufallsmatrizen.
Kapitel 4 In diesem Kapitel wird die Dynamik des mean-field -Systems mit der des Vielteilchensystems verglichen. Von besonderem Interesse ist hierbei der sogenannte self-trapping-Effekt auf der mean-field -Seite, sowie dynamisches Tunneln
auf der Vielteilchenseite. Den Abschluss des Kapitels bildet eine Betrachtung
des chaotischen Regimes und dessen Effekte im Vielteilchensystem.
Kapitel 5 Das letzte Kapitel befasst sich mit der spektralen Analyse. Die Eigenwerte
des Floquetoperators des Vielteilchensystems werden hierbei in Abhängigkeit
der verschiedenen Systemparameter untersucht. Schließlich wird ein erneuter Vergleich von mean-field - und Vielteilchensystem mit Hilfe der mittleren
Energien pro Periode angestellt.
Am Schluss der Arbeit steht ein kurzer Ausblick.
v
vi
Und der Schritt zum Atom erwies sich ohne Übertreibung
als im höchsten Grade verhängnisvoll.
Denn im Augenblick letzter Zerteilung und Verwinzigung des Materiellen
tat sich plötzlich der astronomische Kosmos auf!
Thomas Mann, Der Zauberberg“
”
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1.1 Das Kondensat als Zwei-Zustandssystem
1.2 Das gekickte Kondensat . . . . . . . . .
1.3 Der gekickte Kreisel . . . . . . . . . . . .
1.4 Klassisches System und mean-field . . .
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2 Beschreibung im mean-field
2.1 Zweiniveausysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Die Blochgleichungen . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Das äquivalente kanonische System . . . . . .
2.2 Das nichtlineare Zweiniveausystem . . . . . . . . . .
2.3 Das gekickte System . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Die nichtlinearen Blochgleichungen . . . . . .
2.3.2 Dynamik - Lösung der Bewegungsgleichungen
2.3.3 Fixpunkte der Abbildung - Linearisierung . .
2.3.4 Stabilität der Fixpunkte . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Umlauffrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6 Dynamik - ein wenig Numerik . . . . . . . . .
2.3.7 Symmetrien und Fixpunkte . . . . . . . . . .
3 Das Vielteilchensystem
3.1 Eine geeignete Basis . . . . . . . . . . . . .
3.2 Der Floquetoperator . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Eine rekursive Abbildung . . . . . . .
3.2.2 Floquet-Zustände und Quasienergien
3.3 Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Drei Symmetrieklassen . . . . . . . . . . . .
3.5 Vermiedene Kreuzungen . . . . . . . . . . .
3.6 Zufallsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
5
6
7
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11
11
11
13
15
16
16
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19
21
22
23
26
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31
31
34
34
35
37
39
40
42
viii
4 Dynamik im Vergleich
4.1 Breakdown & Revival . . . .
4.2 Reguläre Inseln und Tunneln
4.3 Husimi-Dichten . . . . . . .
4.4 Chaotische Zustände . . . .
INHALTSVERZEICHNIS
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47
47
50
59
61
5 Spektrale Analyse
65
5.1 Dynamik der Quasienergien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Mittlere Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6 Ausblick
75
Kapitel 1
Einführung
Seit das erste Bose-Einstein-Kondensat (BEC) experimentell erzeugt werden konnte [1,2],
sind bereits viele Systeme, die theoretisch von grundlegendem Interesse sind, mit einem
solchen BEC realisiert worden. Der Vorteil dieser Realisierung besteht darin, dass die
Dichte, das Absolutquadrat der Wellenfunktion des Kondensats, direkt experimentell beobachtet werden kann. Dies wird durch die makroskopische Besetzung des Grundzustandes
ermöglicht, die bei der Kondensation eintritt. Näherungsweise kann das Systems deshalb
durch eine einzige Wellenfunktion beschrieben werden. Ausgehend vom Hamiltonoperator
für das Kondensat mit N Teilchen kann unter Vernachlässigung der Quantenfluktuationen die sogenannte Gross-Pitaevskii-Gleichung, eine nichtlineare Schrödingergleichung für
die makroskopische Wellenfunktion, hergeleitet werden. Für große Teilchenzahlen, geringe Dichten und niedrige Temperaturen ist diese Näherung hervorragend zur Beschreibung
eines Kondensats geeignet.
In dieser Arbeit soll ein BEC als Zwei-Zustandssystem mit zeitlich periodisch δ-förmig
modulierter interatomarer Wechselwirkung untersucht werden, was der Realisierung eines
gekickten Kreisels entspricht. In diesem Kapitel wollen wir zunächst den Hamiltonoperator
für ein solches Zwei-Zustandssystem aus dem Hamiltonoperator für ein BEC in einem
Doppelmuldenpotential herleiten. Anschließend werden wir daraus die Gross-PitaevskiiGleichung ableiten, die uns die Beschreibung des Systems durch eine makroskopische
Wellenfunktion ermöglicht.
1.1
Das Kondensat als Zwei-Zustandssystem
Bosonische Atome in einem externen Potential Vext (r) können im Formalismus der zweiten
Quantisierung durch den Hamiltonoperator [6, 7]
"
#
!2
∆ + Vext (r) ψ̂(r)d3 r
H =
ψ̂ (r) −
2m
!
1
ψ̂ † (r)ψ̂ † (r" )U(r, r " )ψ̂(r " )ψ̂(r)d3 rd3 r "
+
2
!
†
(1.1)
2
Einführung
beschrieben werden. Hierbei sind ψ̂ † (r) und ψ̂(r) die bosonischen Feldoperatoren1 für
Teilchenerzeugung und -vernichtung am Ort r, welche die kanonische Vertauschungsrelation
[ψ̂(r), ψ̂ † (r)] = δ(r − r" )
(1.2)
erfüllen. Drei- oder Mehr-Teilchen-Wechselwirkungen werden bei diesem Ansatz nicht
berücksichtigt. Bei Bose-Einstein-Kondensaten ist im Allgemeinen sowohl die Teilchendichte als auch die Temperatur sehr gering. Unter diesen Umständen kann das interatomare Wechselwirkungspotential U(r, r " ) stark vereinfacht werden. Betrachtet man Teilchenstreuung mit Hilfe der Partialwellenzerlegung unter diesen Bedingungen, so ist die
Streuamplitude von Partialwellen mit Drehimpulsen l > 0 um den Faktor (kB T /Ec )l kleiner als die der s-Wellen. Ec ist hierbei eine Energie die für das interatomare Potential
charakteristisch ist; für Alkaliatome liegt sie in der Größenordnung 0.1−1 mK·kB [8]. Weit
unterhalb der kritischen Temperatur (Tc ≈ 200 nK für 87 Rb) können deshalb die Beiträge
der Partialwellen mit l > 0 in guter Näherung vernachlässigt werden. Die Asymptotik der
Streuwellenfunktion für s-Wellen ist im Grenzfall kleiner Energien, E ! 0, durch
r→∞
ψ(r) −−−→
sin (k(r − as ))
r
(1.3)
gegeben [9] und hängt somit nur von der s-Wellen-Streulänge as ab. Aufgrund der geringen Dichte und kleinen Streuenergien können die Details des Streuprozesses vernachlässigt
werden [10]. Die Streuwelle wird dann durch den asymptotischen Ausdruck hinreichend
beschrieben. Das interatomare Wechselwirkungspotential U(r, r " ) kann durch die Punktwechselwirkung
4π!2 as
Ueff (r, r" ) =
δ(r − r " ) = c̃ δ(r − r " ),
(1.4)
m
modelliert werden, welche dieselbe s-Wellen-Streulänge erzeugt. Die Größe c̃ ist hierbei
die effektive interatomare Wechselwirkungsstärke des Kondensats. Der Hamiltonoperator
nimmt mit diesem Potential die Form
"
#
!
!2
†
∆ + Vext (r) ψ̂(r)d3 r
H =
ψ̂ (r) −
2m
!
c̃
(1.5)
+
ψ̂ † (r)ψ̂ † (r)ψ̂(r)ψ̂(r)d3 r
2
an. Die Heisenberg-Bewegungsgleichung für den Feldoperator
i!
∂
ψ̂(r, t) = [ψ̂(r, t), H]
∂t
liefert in dieser Näherung die Gleichung
"
#
!2
∂
∆ + Vext (r, t) ψ̂(r, t) + c̃ ψ̂ † (r, t)ψ̂(r, t)ψ̂(r, t).
i! ψ̂(r, t) = −
∂t
2m
(1.6)
(1.7)
Im Folgenden werden Operatoren nur dann mit einem Dach gekennzeichnet, falls es zu Verwechslungen kommen kann, wie z.B. beim Feldoperator ψ̂ oder beim Operator der Gesamtteilchenzahl N̂ .
1
Vext(x)
1.1. Das Kondensat als Zwei-Zustandssystem
3
v
!
0
x
Abbildung 1.1: Schematische
Tunnelfrequenz, ε: Rabi-Frequenz
Darstellung
eines
Doppelmuldenpotentials,
v:
Ein-Teilchen-
0
0
Im Folgenden betrachten wir als externes Potential Vext (r) = Vext
(r)+F ·r. Hierbei ist Vext
ein symmetrisches Doppelmuldenpotential [11–15]. Die beiden Minima des Potentials seien
0
(r 1,2 ) = 0. Eine leichte Verstimmung der beiden Mulden
bei r 1 und r 2 und wir setzen Vext
können wir durch den zusätzlichen linearen Potentialterm F · r berücksichtigen, wobei F
entlang der Verbindungsachse der beiden Minima zeigt. Weiterhin nehmen wir an, dass
auch unter Berücksichtigung der Zwei-Teilchen-Wechselwirkung die beiden niedrigsten
Energieniveaus eng benachbart sind und die höheren Niveaus weiter entfernt liegen. Liegt
eine solche Situation vor, so kann man die Diskussion des Systems in guter Näherung
auf diese beiden Zustände beschränken. In einer Umgebung um jedes der Minima kann
das Doppelmuldenpotential durch das harmonische Potential Vharm (r) genähert werden.
Mit Hilfe der normierten Wellenfunktion u(r) für ein Teilchen in dem Potential Vharm (r)
können wir nun die in einer der beiden Potentialmulden lokalisierten Zustände u1,2 (r) =
u(r − r 1,2 ) definieren. Ist der Abstand d = |r 1 − r 2 | der beiden Minima groß genug, so
kann in der sogenannten tight-binding-Näherung der Überlapp der Zustände der beiden
Mulden vernachlässigt werden, so dass
!
u∗j (r)uk (r)d3 r ≈ δjk ,
j, k = 1, 2
(1.8)
gilt. Die beiden Linearkombinationen
1
u± (r) = √ (u1 (r) ± u2 (r))
2
(1.9)
0
sind dann näherungsweise Eigenfunktionen des Doppelmuldenpotentials Vext
(r) mit den
Eigenwerten E± . Nun können wir die bosonischen Operatoren für Teilchenerzeugung und
-vernichtung
!
(1.10)
aj (t) = u∗j (r)ψ̂(r, t)d3 r, j = 1, 2
4
Einführung
in einer der beiden Potentialmulden definieren. Dank der tight-binding-Näherung gelten
die Vertauschungsrelationen
[ai , a†j ] = δij
wobei
und [ai , aj ] = 0,
(1.11)
die Identität ist. Setzt man schließlich den Ansatz
ψ̂(r) = u1 (r)a1 + u2 (r)a2
(1.12)
in den Hamiltonoperator (1.1) ein, so erhält man die Bose-Hubbard-Darstellung
$
% Fd $
%
a†1 a1 − a†2 a2
H = E0 a†1 a1 + a†2 a2 +
2
% !c $
%
!v $ †
+
a1 a2 + a†2 a1 −
a†1 a†1 a1 a1 + a†2 a†2 a2 a2 ,
2
2
(1.13)
wobei wir die Größen
E+ + E−
E0 =
2
c̃
und c = −
!
!
|u(r)|4 d3 r
(1.14)
eingeführt haben. Die Frequenz v für das Tunneln eines Teilchens von einer Mulde in
die andere berechnet sich gemäß v = (E− − E+ )/! aus der Energiedifferenz der beiden
Zustände (1.9).
Mit Hilfe der Vertauschungsrelationen kann der Term der interatomaren Wechselwirkung
des Hamiltonoperators (1.13) gemäß
'
1& †
† †
† †
†
2
a1 a1 a1 a1 + a2 a2 a2 a2 =
(a1 a1 − a2 a2 ) + N̂(N̂ − 2)
(1.15)
2
umgeschrieben werden. Hierbei haben wir den Operator N̂ = a†1 a1 + a†2 a2 für die Gesamtteilchenzahl eingeführt, die wegen [H, N̂] = 0 eine Erhaltungsgröße ist. Aus diesem Grund
müssen die Terme des Hamiltonoperators (1.13), die nur von der Gesamtteilchenzahl N
abhängen, im Folgenden nicht mehr berücksichtigt werden, da sie lediglich zu einer irrelevanten Verschiebung des Enerienullpunktes führen. Mit der Rabi-Frequenz ε = F d/!
gelangen wir letztendlich zu dem Hamiltonoperator
% !v $
% !c $
%2
!ε $ †
a1 a1 − a†2 a2 +
a†1 a2 + a†2 a1 −
a†1 a1 − a†2 a2 .
H=
(1.16)
2
2
4
Im Folgenden setzen wir für die restliche Diskussion ! = 1. Es ist wichtig zu erwähnen,
dass durch die Wahl der Vorzeichen in (1.14) entgegen der herkömmlichen Konvention die
Zwei-Teilchen-Wechselwirkung des Kondensats für c > 0 attraktiv und für c < 0 repulsiv
ist. Der Hilbertraum, auf dem H operiert, ist (N + 1)-dimensional und damit endlich, was
die Untersuchung erleichtert. Entsprechend erhalten wir (N + 1) Eigenzustände für unser
N-Teilchen-System.
Wir wollen noch kurz über die Gültigkeit und die experimentelle Realisierbarkeit dieser
Zwei-Moden-Näherung für das Bose-Einstein-Kondensat nachdenken. Experimentell kann
1.2. Das gekickte Kondensat
5
ein BEC in einer magneto-optischen Falle erzeugt werden. Um ein Doppelmuldenpotential
zu realisieren kann das harmonische Fallenpotential durch einen eingestrahlten Laser in
zwei Teile geteilt werden [16]; die Laserfrequenz sollte weit von allen Resonanzen entfernt
sein. Durch Regeln der Intensität kann dann die Frequenz für das Tunneln einzelner
Teilchen und damit die Kopplung zwischen den beiden Mulden über einen großen Bereich
eingestellt werden. Damit nun lediglich die beiden niedrigsten Energieniveaus bevölkert
werden, muss man darüber hinaus sicherstellen, dass die interatomare Wechselwirkung
c̃N/V im Vergleich zu den Abständen der Eigenmoden !ωFalle der Falle klein ist. Sie muss
somit die Bedingung [11, 12]
|c̃|
N
4π!2 |as | N
!2
=
&
= !ωFalle
V
m
4πr03
mr02
(1.17)
erfüllen, wobei r0 der charakteristische Radius der Falle ist. Die Voraussetzung für die
Gültigkeit der Zwei-Moden-Näherung
r0 ' N|as |
(1.18)
ist eine Bedingung, welche die Größe der Falle mit der Teilchenzahl verknüpft. Typische
Werte, wie etwa r0 ≈ 1 µm und as ≈ 5 nm erfordern demnach eine Teilchenzahl von
N & 200, was im Vergleich zu experimentell realisierten Kondensaten mit Teilchenzahlen
der Größenordnung N ≈ 103 − 106 sehr gering ist [1,2,17–19]. In jüngster Zeit werden allerdings auch auf dem Gebiet der Bose-Einstein Kondensate mit kleineren Teilchenzahlen
Fortschritte gemacht [15]. In diesem Experiment wird das Doppelmuldenpotential durch
die Überlagerung eines periodischen Potentials, das durch eine Laserstehwelle erzeugt
wird, mit einer optischen Dipolfalle erzeugt. Mit diesem Aufbau konnten Kondensate
mit N ≈ 1100 Teilchen realisiert werden; bei einem Abstand der Potentialminima von
ca. 4.4 µm ist damit in diesem Fall die Gültigkeit der Zwei-Moden-Näherung in der Tat
gewährleistet.
Eine andere Möglichkeit ein Zwei-Moden-Kondensat zu realisieren besteht darin, ein Kondensat mit zwei Spin-Komponenten zu erzeugen [20, 21]. In diesem Fall wird der Gültigkeitsbereich der Zwei-Niveau-Näherung für sphärisch symmetrische Fallen mit ωFalle ≤
100 Hz für Teilchenzahlen N < 104 erreicht [12].
1.2
Das gekickte Kondensat
Ein Zwei-Niveau-Kondensat, wie es in Abschnitt 1.1 beschrieben wurde, ist bereits in
einer Vielzahl von theoretischen Arbeiten vor allem vor dem Hintergrund des nichtlinearen Landau-Zener Tunnelns untersucht worden [11, 12, 22–28]. Auch zu Varianten mit
periodisch getriebenem Energieabstand !ε der beiden Potentialmulden sind theoretische
Konzepte bekannt [13, 14] und vor kurzem ist ein Modell, das eine gekickte, d.h. zeitlich
periodisch δ-förmig variierte Ein-Teilchen-Tunnelfrequenz v aufweist, theoretisch untersucht worden [29]. Ein gekickter Rotor könnte durch ein Bose-Einstein-Kondensat auf
einem Ring realisiert werden, das ein zusätzliches gekicktes Potential erfährt [30]. Um
6
Einführung
die Rechnungen für dieses System zu vereinfachen, ist es denkbar auch die Wechselwirkung der Teilchen gekickt anzunehmen, was in [31] theoretisch untersucht wird. In [32]
schließlich wird ein Kondensat in einem eindimensionalen Topf mit einem zusätzlichen
gekickten Kosinus-Potential betrachtet; untersucht wird dabei die mittlere Energie im
Hinblick auf Quanten-Resonanz bzw. Antiresonanz. Vorteil all dieser Systeme ist die einfache Propagation von Kick zu Kick, da während dieser Intervalle das Potential bzw. der
Wechselwirkungsterm wegfällt.
Wir wollen uns in dieser Arbeit mit dem Zwei-Niveau-Kondensat mit gekickter interatomarer Wechselwirkung beschäftigen. Um dies zu erreichen modulieren wir die Wechselwirkungsstärke c mit Hilfe der zeitlich periodischen Funktion
(
c(t) = cτ
δ(t − nτ ), τ ∈ +
(1.19)
n∈
mit der Periode τ . Der Hamiltonoperator dieses Systems
H(t) =
% v$
% c(t) $
%2
ε$ †
a1 a1 − a†2 a2 +
a†1 a2 + a†2 a1 −
a†1 a1 − a†2 a2
2
2
4
(1.20)
ist nun explizit zeitabhängig.
1.3
Der gekickte Kreisel
Eine interessante Parallele wird sichtbar, wenn man den Hamiltonoperator (1.20) auf eine
andere Art und Weise darstellt. Hierzu definieren wir zunächst drei Operatoren, welche
die typischen Vertauschungsrelationen der SU(2)-Algebra erfüllen:
%
1$ †
a1 a2 + a†2 a1 ,
2
%
1 $ †
a1 a2 − a†2 a1 ,
=
2i
%
1$ †
a1 a1 − a†2 a2 .
=
2
Lx =
Ly
Lz
(1.21)
Für diese drei Drehimpulsoperatoren“ gilt in der Tat [Li , Lj ] = iLk mit i, j, k = x, y, z
”
zyklisch, was sich mit Hilfe der kanonischen Vertauschungsrelationen zeigen läßt. Dieser Übergang (1.21) zu Drehimpulsoperatoren wird Jordan-Schwinger-Transformation genannt. Das Quadrat des Drehimpulses beträgt
*
)
N̂
N̂
L2 = L2x + L2y + L2z =
.
(1.22)
+
2
2
Es hängt nur von der Gesamtteilchenzahl ab und ist eine Erhaltungsgröße. Dem Drehimpuls L läßt sich daher die Drehimpulsquantenzahl l = N/2 zuordnen; die z-Komponente
1.4. Klassisches System und mean-field
7
misst den Unterschied der Besetzungszahlen. Setzt man die neu definierten Operatoren
ein, so nimmt der Hamiltonoperator des Systems die Gestalt
H(t) = εLz + vLx − c(t)L2z
(1.23)
an. Für den Fall ε = 0 ist dies genau der Hamiltonoperator eines gekickten Kreisels,
der von Haake et al. ausführlich untersucht worden ist [4, 5]. Man studiert hierbei das
Verhalten eines Drehimpulses, der eine Präzession, begleitet von periodischen Kicks in
Form einer Torsion entlang der z-Achse, ausführt. Der gekickte Kreisel ist zu einem der
Standardsysteme für die Untersuchung von Quantenchaos geworden. Neben den angesprochenen Realisierungsmöglchkeiten für den gekickten Rotor kann demnach auch der
gekickte Kreisel mit Hilfe eines Bose-Einstein-Kondensats umgesetzt werden. Erwähnt
werden sollte hier auch, dass das System mit gekicktem v und ε = 0, das in [29] betrachtet wird, ebenfalls auf einen gekickten Kreisel führt, da, wie wir später sehen werden, die
Zeitentwicklung dieser beiden Systeme identisch ist. Die Frage, ob das viel untersuchte
theoretische Konzept gekickter Kreisel auch experimentell realisiert werden kann [33], ist
somit um eine Antwortmöglichkeit reicher.
1.4
Klassisches System und mean-field
Im Allgemeinen ist die theoretische Behandlung von Bose-Einstein-Kondensaten als quantenmechanisches N-Teilchen-System sehr aufwändig, da die Teilchenzahlen, und damit
auch die Dimension des Hilbertraumes, in der Regel sehr groß sind. Diese steigt im Allgemeinen exponentiell mit N an; für das Zwei-Niveausystem beträgt sie N + 1. Aus
diesem Grund sucht man nach alternativen Beschreibungen. Die sogenannte mean-field Näherung [7] hat sich hierfür als hervorragend geeignet erwiesen. Im Wesentlichen werden bei der mean-field -Näherung die Feldoperatoren ψ̂, ψ̂ † durch komplexe Zahlen ψ,
ψ ∗ ersetzt; aus dem Hamiltonoperator H wird dadurch die Hamiltonfunktion H. Dieses
Vorgehen ist dem Übergang von der Quantenelektrodynamik zur klassischen Elektrodynamik äquivalent. Befindet sich eine große Zahl von Photonen in demselben Zustand,
so kann vernachlässigt werden, dass die Feldoperatoren nicht kommutieren. Das elektromagnetische Feld kann dann durch klassische Felder beschrieben werden, welche die
Maxwell-Gleichungen erfüllen. Die Tatsache, dass in einem BEC ebenfalls eine große Zahl
von Teilchen nur einen einzigen Zustand bevölkern, kann auf dieselbe Art und Weise
ausgenutzt werden. Im Falle der Zwei-Niveau-Näherung muss demnach die Ersetzung
aj −→ ψj ,
a†j −→ ψj∗ ,
j = 1, 2
(1.24)
durchgeführt werden. Diese Vorschrift ist jedoch nicht eineindeutig. Eine Vertauschung
der Operatoren aj und a†j würde keine Veränderung der Hamiltonfunktion H hervorrufen,
da die komplexen Zahlen ψj und ψj∗ selbstverständlich kommutieren. Um diesem Problem
aus dem Weg zu gehen, wählen wir in der N-Teilchen Darstellung im Folgenden die
symmetrisierte Darstellung der Operatoren (siehe dazu auch [34]). Hierzu werden die
8
Einführung
Operatoren der Form a†j aj durch ihre symmetrisierte Form (a†j aj + aj a†j )/2 ersetzt. Der
Operator der Gesamtteilchenzahl N̂ wird dann gemäß
N̂ −→ N̂
sym
a†1 a1 + a1 a†1 a†2 a2 + a2 a†2
+
= N̂ +
=
2
2
(1.25)
durch den symmetrisierten Operator N̂ sym ersetzt. Führt man nach der Symmetrisierung
von N̂ die Ersetzung (1.24) durch, so erhält man für die Betragsquadrate von ψ1 und ψ2
die Normierungsbedingung
|ψ1 |2 + |ψ2 |2 = N + 1.
(1.26)
Die Wellenfunktion ist demnach auf die Anzahl der Zustände des Vielteilchensystems
normiert. Die drei Drehimpulsoperatoren Lx , Ly und Lz sind bereits symmetrisch, da ai
und aj für i *= j vertauschen und
1 †
(a a1 + a1 a†1 − a†2 a2 − a2 a†2 )
4 "1
#
1
1
1
†
†
=
a1 a1 + − a2 a2 −
= Lz
2
2
2
=
Lsym
z
(1.27)
gilt. Im Falle des Hamiltonoperators (1.20) führt die Ersetzung (1.24) dann zur entsprechenden Hamiltonfunktion
ε
v
c(t) ∗
H = (ψ1∗ ψ1 − ψ2∗ ψ2 ) + (ψ1∗ ψ2 + ψ2∗ ψ1 ) −
(ψ1 ψ1 − ψ2∗ ψ2 )2
2
2
4
(1.28)
des mean-field -Systems. Alle Teilchen in einer der beiden Potentialmulden werden nun
durch die beiden Komponenten ψ1 und ψ2 der makroskopischen Wellenfunktionen Ψ =
(ψ1 , ψ2 ) beschrieben, so dass die interatomare Wechselwirkung durch eine Selbstwechselwirkung der Wellenfunktionen gegeben ist. Der entsprechende Wechselwirkungsterm in
der Hamiltonfunktion H ist deshalb nichtlinear in ψ1 und ψ2 . Die Bezeichnung mean-field Näherung ist dadurch zu erklären, dass hier das mittlere Potential −c(t)(|ψ1 |2 − |ψ2 |2 )/2
die interatomare Wechselwirkung modelliert. Ein Teilchen bewegt sich demnach im mittleren Feld, das durch die anderen Teilchen erzeugt wird. Insofern entspricht die meanfield -Näherung der Betrachtungsweise im Ein-Teilchen-Bild. Die Beschreibung durch ein
mittleres Feld ist für große Teilchenzahlen hervorragend zur Beschreibung des Systems geeignet. Da der Wechselwirkungsterm von den Betragsquadraten |ψj |2 abhängt, muss die
Normierungsbedingung (1.26) jedenfalls beachtet werden, und die Wellenfunktion kann
nicht beliebig umnormiert werden. Die Normierung der Wellenfunktion legt die Teilchenzahl fest. Die mean-field -Beschreibung kann demnach Fluktuationen der Teilchenzahl im
Kondensat, sei es durch Stöße oder durch thermische Anregung, nicht beschreiben. Infolge
dessen ist die Hamiltonfunktion H dieser Näherung nur unter den Bedingungen geringer
Temperatur und kleiner Dichte geeignet um das System zu beschreiben. Für Temperaturen weit unter der kritischen Temperatur sowie Dichten N/V mit
|as | &
"
N
V
# 13
(1.29)
1.4. Klassisches System und mean-field
9
und große Teilchenzahlen N trifft dies zu, und die mean-field -Näherung erweist sich dann
als sehr zuverlässig.
Abschließend muss nun noch die Feldgleichung, welche die Zeitentwicklung der komplexen
Größen ψ1 und ψ2 beschreibt, angegeben werden. H besitzt die kanonische Struktur eines
klassischen hamiltonschen Systems mit den kanonisch konjugierten Variablen ψj und ψj∗
[35]. In diesem Sinne kann man die mean-field -Näherung als klassisches System ansehen.
Die entsprechenden kanonischen Gleichungen (auch hier mit ! = 1)
i
dψj
∂H
,
=
dt
∂ψj∗
j = 1, 2
liefern die gesuchte Feldgleichung, die Gross-Pitaevskii-Gleichung
"
#
ε c(t)
v
2
2
iψ̇1 =
−
(|ψ1 | − |ψ2 | ) ψ1 + ψ2
2
2
2
"
#
ε c(t)
v
ψ1 −
−
(|ψ1 |2 − |ψ2 |2 ) ψ2 ,
iψ̇2 =
2
2
2
(1.30)
(1.31)
mit der Normierung |ψ1 |2 + |ψ2 |2 = N + 1. Es handelt sich hierbei um eine nichtlineare Schrödingergleichung, welche – abgesehen von dem Wechselwirkungsterm – einem quantenmechanischen Zwei-Zustandssystem entspricht. Wie wir im folgenden Kapitel sehen werden, kann das System – wie auch die Dynamik, die durch die lineare
Schrödingergleichung beschrieben wird [36] – durch eine Amplituden-Phasen-Zerlegung
auf ein äquivalentes klassisches System mit kanonischen Gleichungen für die konjugierten
klassischen Variablen q und p abgebildet werden [37, 38].
Darüber hinaus besteht zwischen dem vollen Vielteilchensystem und der mean-field Näherung ein semiklassischer Zusammenhang, wobei 1/N die Rolle von ! übernimmt.
Der klassische Limes
1
−→ 0
(1.32)
N
liefert in diesem Zusammenhang die Gross-Pitaevskii-Gleichung [5,12]. Die Begriffe mean”
field -System“ und klassisches System“ werden vor diesem Hintergrund im Folgenden
”
synonym genutzt werden.
Zum Abschluss des Kapitels folgen noch einige Anmerkungen zur Gross-Pitaevskii-Gleichung. Wir haben die diskrete Gross-Pitaevskii-Gleichung für ein Zwei-Zustandssystem
hergeleitet. Für den allgemeinen Fall benutzt man den Bogoliubov-Ansatz [39]
(
√
ψ̂(r) = a0 ψ0 (r) +
aj ψj (r) ≈ Nψ0 (r) + δ ψ̂(r)
(1.33)
j
und geht damit in Gleichung (1.7) ein. Vernachlässigt man die Quantenfluktuationen δ ψ̂,
so erhält man die Gross-Pitaevskii-Gleichung
#
"
∂
!2
2
i! ψ0 (r, t) = −
(1.34)
∆ + Vext (r, t) + c̃ |ψ0 (r, t)| ψ0 (r, t).
∂t
2m
10
Einführung
Hierbei ist zu beachten, dass die Wellenfunktion ψ0 in diesem Fall auf N normiert ist. Es
sei darauf hingewiesen, dass der Bogoliubov-Ansatz (1.33) zu einer spontanen Brechung
der Eichsymmetrie
führt [7]. Der Erwartungswert des Feldoperators ist dann
√
+ des
, Systems
ungleich null, da ψ̂ = Nψ0 gilt. Für Zustände mit fester Teilchenzahl N ist dies nicht
möglich, der Erwartungswert muss in diesem Fall verschwinden. Eine weitreichende Konsequenz der spontanen Symmetriebrechung ist die Tatsache, dass die Theorie nicht mehr
Galilei-invariant ist [8, 40]. Mit mehr Aufwand kann dieses Problem umgangen werden,
indem die Gross-Pitaevskii-Gleichung ohne Symmetriebrechung hergeleitet wird (siehe
z.B. [8]). Im Folgenden werden wir deshalb nicht weiter auf diese Problematik eingehen.
Zusammenfassung
In diesem Kapitel haben wir, ausgehend vom Hamiltonoperator für ein BEC in einem
äußeren Potential in zweiter Quantisierung den Bose-Hubbard-Hamiltonoperator für ein
Zwei-Zustandskondensat hergeleitet. Darüber hinaus haben wir gesehen, dass ein periodisch δ-förmiges Modulieren der interatormaren Wechselwirkung zu einem typischen Fall
eines gekickten Kreisels führt, wie er im Zusammenhang mit Quantenchaos“ insbesonde”
re von Haake untersucht worden ist. Abschließend haben wir das System im Rahmen der
mean-field -Näherung auf ein nichtlineares Zweiniveausystem abgebildet, bei welchem sich
ein Teilchen im mittleren, durch die übrigen Atome erzeugten Feld bewegt. Die Dynamik
dieses Systems gehorcht der Gross-Pitaevskii-Gleichung und soll im folgenden Kapitel
näher betrachtet werden.
Kapitel 2
Beschreibung im mean-field
Im Folgenden wollen wir uns mit der mean-field -Beschreibung des gekickten Bose-EinsteinKondensats beschäftigen. In dieser Näherung wird das System durch die Hamiltonfunktion
der Form
ε
v
c(t) ∗
∗
(ψ1 ψ1 − ψ2∗ ψ2 )2
) = (ψ1∗ ψ1 − ψ2∗ ψ2 ) + (ψ1∗ ψ2 + ψ2∗ ψ1 ) −
H(ψ1,2 , ψ1,2
2
2
4
(2.1)
beschrieben. Die Dynamik des Systems ist durch die kanonischen Gleichungen i dψj /dt =
∂H/∂ψj∗ für die beiden konjugierten Variablen ψj und ψj∗ , j = 1, 2 bestimmt. Diese Gleichungen entsprechen einem quantenmechanischen Zweiniveausystem mit einer Kopplung
und einem zusätzlichen, über den Parameter c gesteuerten, nichtlinearen Wechselwirkungsterm. In Matrixschreibweise läßt sich dies in Form der Gross-Pitaevskii-Gleichung,
bzw. der nichtlinearen Schrödingergleichung,
)
)
*)
*
*
ψ1 (t)
v
ψ1 (t)
d
1 ε + c(t)κ
i
=
(2.2)
dt ψ2 (t)
2
v
−(ε + c(t)κ)
ψ2 (t)
zusammenfassen, wobei wir die Größe κ = |ψ2 |2 − |ψ1 |2 eingeführt haben. Bevor wir uns
nun näher mit diesem System beschäftigen, betrachten wir zunächst ein Zweiniveausystem
ohne die nichtlineare Wechselwirkung und suchen alternative Formulierungen, die bei
unserem konkreten Problem weiterhelfen und die Dynamik des Systems anschaulicher
machen.
2.1
Zweiniveausysteme
2.1.1
Die Blochgleichungen
Die beiden Energieeigenzustände des Hamiltonoperators H eines quantenmechanischen
Zweiniveausystems seien φj mit j = 1, 2 und erfüllen Hφj = ωj φj . Der Hamiltonoperator
kann somit in der Basis {φj }j∈{1,2} als diagonale (2 × 2)-Matrix dargestellt werden. Die
Zeitentwicklung ist dann φj (t) = φj e−iωj t . Die Aufenthaltswahscheinlichkeit für jeden der
12
Beschreibung im mean-field
beiden Zustände |φj (t)|2 = |φj |2 bleibt deshalb zeitlich konstant.
Schalten wir nun eine Kopplung zwischen den beiden Niveaus ein, so läßt sich der Hamiltonoperator des zugehörigen Systems in der Basis {φj }j∈{1,2} als hermitesche (2×2)-Matrix
der Form
)
*
1 ε1 v
H=
(2.3)
mit ε1 , ε2 ∈
2 v ∗ ε2
darstellen [41]. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man sich auf den Fall v ∈
sowie ε1 = −ε2 = ε beschränken; die Matrix H ist dann rein reell und es bleibt lediglich
eine globale Phase unberücksichtigt. Verwendet man Einheiten in denen ! = 1 ist, was
wir auch im Folgenden stets tun wollen, so wird die Dynamik des Zustandsvektors der
Form Ψ(t) = ψ1 (t)φ1 + ψ2 (t)φ2 durch die Schrödingergleichung
)
*
)
*
ψ1 (t)
ψ1 (t)
d
i
=H
(2.4)
dt ψ2 (t)
ψ2 (t)
beschrieben. Die Wellenfunktion normieren wir hierbei gemäß ,Ψ(t),2 = |ψ1 |2 + |ψ2 |2 = 1.
Es ist ebenso möglich den Statistischen Operator * für den Zustand Ψ(t) zu betrachten,
der sich dann ebenfalls als hermitesche Matrix
)
*
|ψ1 |2 ψ1 ψ2∗
*=
(2.5)
ψ1∗ ψ2 |ψ2 |2
darstellen läßt. Verwendet man die Pauli-Matrizen {σj }j∈{1,2,3} , die zusammen mit der
Einheitsmatrix σ0 eine Basis des Raumes der (2 × 2)-Matrizen bilden, so läßt sich * auch
in der Form [42]
1
(2.6)
* = (σ0 + n · σ) mit n ∈ S 2 ( 3 )
2
schreiben, wobei S 2 ( 3 ) die zweidimensionale Einheitssphäre im 3 ist. Dies entspricht
genau dem statistischen Operator eines Spin-1/2-Systems und folglich ist es ausreichend,
die Dynamik des reellen Einheitsvektors n zu untersuchen. Wegen der Analogie zu einem
Spin-System wird der Vektor n auch Polarisationsvektor genannt. Wir betrachten im
Folgenden den Vektor des Erwartungswertes eines solchen Spin-Systems, den Blochvektor
s = n/2 mit den Komponenten
1
sx = (ψ1∗ ψ2 + ψ1 ψ2∗ ),
2
sy =
1 ∗
(ψ1 ψ2 − ψ1 ψ2∗ ),
2i
1
sz = (|ψ1 |2 − |ψ2 |2 ).
2
(2.7)
Die Gesamtenergie H = -Ψ|HΨ. läßt sich durch den Blochvektor in der Form
H(s) = εsz + vsx
(2.8)
darstellen.
Die Zeitentwicklung des Statistischen Operators wird durch die von-Neumann-Gleichung
*˙ = −i [H, *]
(2.9)
2.1. Zweiniveausysteme
13
beschrieben. Der Hamiltonoperator nimmt in der Basis der Pauli-Matrizen die Form
v
ε
H = σx + σz
2
2
(2.10)
an und setzt sich somit aus einer Drehung um die σx -Achse und einer Drehung um die
σz -Achse zusammen. In dieser Basis erhält man aus der von-Neumann-Gleichung (2.9) für
die Zeitentwicklung des Blochvektors s folgende Gleichungen, die Blochgleichungen [41]
ṡx = −εsy
ṡy = εsx − vsz
ṡz = vsy ,
(2.11)
welche z.B. die Dynamik eines Spins in einem äußeren Magnetfeld beschreiben. Diese
Gleichungen können zusammengefaßt in Matrixschreibweise als ṡ = M0 s geschrieben
werden. Wir haben damit die Dynamik des Zwei-Niveau-Systems vollständig auf eine
Sphäre mit Radius 1/2 abgebildet. Die Blochgleichungen (2.11) werden durch s(t) =
R(t)s0 gelöst, mit

 2
v
ε2
ε
εv
+
cos
ωt
−
sin
ωt
(1
−
cos
ωt)
2
2
2
ω
ω
ω
ω


ε
R(t) = 
(2.12)
sin
ωt
cos
ωt
− ωv sin ωt  ,
ω
εv
v
ε2
v2
(1 − cos ωt) ω sin ωt ω2 + ω2 cos ωt
ω2
√
wobei ω = ε2 + v 2 ist. Die Matrix R(t) beschreibt eine Drehung um den Winkel ωt
um die Achse (v/ω, 0, ε/ω) und geht für den einfachen Spezialfall ε = 0 in eine Drehung
um die σx -Achse um den Winkel vt über. Es kann nützlich sein, den Blochvektor in
Kugelkoordinaten mit den Komponenten
sx =
1
sin ϑ cos ϕ,
2
sy =
1
sin ϑ sin ϕ,
2
sz =
1
cos ϑ
2
(2.13)
anzugeben. Durch Vergleich mit (2.7) können wir damit die Komponenten des Zustandvektors Ψ in der Form
ϑ
ϑ
(2.14)
ψ1 = cos , ψ2 = eiϕ sin
2
2
darstellen.
2.1.2
Das äquivalente kanonische System
Ein quantenmechanisches N-Niveau-System durch ein klassisches Analogon zu beschreiben ist erstrebenswert, um ein intuitives Verständnis für die Dynamik zu entwickeln.
Besonderes Interesse an einer solchen Darstellung kam vor allem bei der Untersuchung
des elektronischen Systems von Atomen bzw. Molekülen bei Streuprozessen auf [36,43,44].
Hier konnte gezeigt werden, dass durch eine Zerlegung in Amplitude und Phase das quantenmechanische N-Zustands-System auf ein klassisches Hamiltonsches System mit N Freiheitsgraden abgebildet werden kann. Die klassischen kanonischen Gleichungen, sowie die
14
Beschreibung im mean-field
quantenmechanische Schrödingergleichung sind dann völlig äquivalent und beschreiben
exakt dieselbe Dynamik. Im Folgenden wollen wir dieses Konzept auf das vorliegende
Zweiniveausystem anwenden.
Die Schrödingergleichung (2.4) läßt sich mit Hilfe der Gesamtenergie
4 v
ε3
|ψ1 |2 − |ψ2 |2 + (ψ1∗ ψ2 + ψ1 ψ2∗ )
(2.15)
H = -Ψ|HΨ. =
2
2
auch in der Form
i
∂
dψj
=
H(Ψ, Ψ∗ )
dt
∂ψj∗
(2.16)
schreiben. Die Dynamik, die durch die Schrödingergleichung beschrieben wird, besitzt also
die kanonische Struktur der klassischen Mechanik mit den kanonisch konjugierten Variablen ψj und ψj∗ . Äquivalent dazu bilden auch die beiden Größen |ψj |2 und arg(ψj ) für jedes
j ein kanonisch konjugiertes Paar. Das vorliegende System ist invariant unter Variation
der globalen Phase der Wellenfunktion. Aus diesem Grund ist die Gesamtwahrscheinlichkeit, also ,Ψ,, erhalten. Unter Berücksichtigung dieser Erhaltungsgröße besitzt das
System lediglich einen Freiheitsgrad und kann entsprechend durch nur ein Paar kanonisch
konjugierter Variablen, q = arg(ψ2 ) − arg(ψ1 ) und p = |ψ1 |2 − 1/2, beschrieben werden.
Normieren wir die Wellenfunktion auf eins, |ψ1 |2 + |ψ2 |2 = 1 und lassen wir
5 die globale
Phase unberücksichtigt,
so kann man die Wellenfunktion in der Form ψ1 = 1/2 + p e−iq
5
und ψ2 = 1/2 − p schreiben. Die Gesamtenergie als Funktion der neuen Variablen q
und p, also die Hamiltonfunktion des äquivalenten kanonischen Systems, lautet dann
6
1
− p2 cos q,
H(q, p) = εp + v
(2.17)
4
und die kanonischen Gleichungen nehmen die Form
q̇ =
∂H
∂p
und ṗ = −
∂H
∂q
(2.18)
an. Hierbei ist q ∈ [−π, π) und p ∈ [−1/2, 1/2]. Anstatt die quantenmechanische Zeitentwicklung zu untersuchen, kann völlig analog auch das klassische Hamiltonsche System
mit der Hamiltonfunktion (2.17) betrachtet werden. Dieses System ist isochron, besitzt
also – genau wie der harmonische Oszillator – die interessante Eigenschaft, dass alle Bahnen im Phasenraum dieselbe Umlaufzeit T haben. Darauf kommen wir in Abschnitt 2.3.5
nochmals zu sprechen. Die Eigenzustände des Quantensystems finden ihre Entsprechung
dann in den stationären Punkten des klassischen Systems,
√ also den Extrema von H. Insbesondere entsprechen die beiden Eigenwerte E± = ± √
ε2 + v 2 des Hamiltonoperators H
genau den Werten der Hamiltonfunktion H(q± , p± ) = ± ε2 + v 2 an ihren beiden Extrema
(q± , pp m).
Der im vorhergehenden Abschnitt eingeführte Blochvektor s kann auch durch die beiden
kanonischen Variablen q und p ausgedrückt werden. Man erhält dann für seine Komponenten
6
6
1
1
− p2 cos q, sy =
− p2 sin q, sz = p.
(2.19)
sx =
4
4
2.2. Das nichtlineare Zweiniveausystem
15
Hiermit kann das äquivalente kanonische System auf eine Sphäre mit Radius 1/2 abgebildet werden. Die Dynamik entspricht dann genau der durch die Blochgleichungen (2.11)
gegebenen.
2.2
Das nichtlineare Zweiniveausystem
Wir betrachten nun das quantenmechanische Zweiniveausystem mit einer zusätzlichen
mean-field -Energie, die proportional zur Differenz der Besetzung der beiden Zustände ist.
Der Hamiltonoperator für dieses System ist nichtlinear, kann aber formal als Matrix der
Form
*
)
ε
+
cκ
v
1
mit κ = |ψ2 |2 − |ψ1 |2
(2.20)
H(|ψ1 |2 , |ψ2 |2 ) =
2
v
−(ε + cκ)
dargestellt werden. Die Eigenschaften solcher Systeme sind bereits in einer Vielzahl von
Arbeiten behandelt worden [22–26]. Die Dynamik des Zustandsvektors ψ(t) wird durch
die Gross-Pitaevskii-Gleichung
*
*
)
)
ψ1 (t)
ψ
(t)
d
1
i
= H(|ψ1 |2 , |ψ2 |2 )
(2.21)
dt ψ2 (t)
ψ2 (t)
beschrieben. Wie bereits im linearen Fall, kann diese Gleichung auch im nichtlinearen Fall
in der Form (2.16) geschrieben werden. Hierbei ist H die Gesamtenergie des Systems; der
Zusammenhang H = -Ψ|HΨ. gilt jedoch lediglich im linearen Fall.
Auch die Dynamik, die durch diese nichtlineare Schrödingergleichung beschrieben wird,
besitzt eine kanonische Struktur mit den kanonisch konjugierten Variablen ψj und ψj∗ [35,
37, 38]. Wie bereits im linearen Fall können äquivalent dazu auch die beiden Größen |ψj |
und arg(ψj ) für jedes j als kanonische Variablen verwendet werden. Auch das nichtlineare
System ist invariant unter Variation der globalen Phase der Wellenfunktion und erhält
somit die Norm. Anders als im linearen Fall kann hier jedoch nicht beliebig normiert
werden, da der nichtlineare Wechselwirkungsterm von der Norm abhängt. In Kapitel 1
haben wir gesehen, dass in unserem Fall das System gemäß ,Ψ,2 = N + 1 normiert ist.
Dies bedeutet für den Betrag des Blochvektors |s| = s = (N + 1)/2. Analog zu Abschnitt
2.1.2 können wir unter Berücksichtigung der neuen Normierung die beiden Größen q =
arg(ψ2 ) − arg(ψ1 ) und p = |ψ1 |2 − s als kanonisch konjugiertes Paar zur Beschreibung
der Dynamik verwenden. Es gelten dann erneut die kanonischen Bewegungsgleichungen
(2.18), wobei sich diesmal für die Gesamtenergie
v
c
ε
H = (|ψ1 |2 − |ψ2 |2 ) + (ψ1∗ ψ2 + ψ1 ψ2∗ ) − (|ψ1 |2 − |ψ2 |2 )2
2
2
4
(2.22)
ergibt. Ohne Berücksichtigung der globalen Phase kann man die Wellenfunktion wie im
√
linearen Fall durch Zerlegung in Amplitude und Phase in der Form ψ1 = s + p e−iq und
√
ψ2 = s − p darstellen. Die Gesamtenergie als Funktion der neuen Variablen q und p
lautet dann
5
H(q, p) = εp + v s2 − p2 cos q − cp2 ,
(2.23)
16
Beschreibung im mean-field
und die kanonischen Gleichungen nehmen die Form
p
q̇ = ε − v 5
cos q − 2cp
s2 − p2
5
ṗ = v s2 − p2 sin q
(2.24)
(2.25)
an. Diese klassischen Bewegungsgleichungen sind völlig äquivalent zur Gross-PitaevskiiGleichung (2.21) und die nichtlinearen Eigenzustände von H entsprechen, wie im linearen
Fall, den stationären Punkten des Hamiltonschen Systems. In Analogie zum linearen Fall
kann auch hier die Dynamik des Blochvektors s auf einer Sphäre mit dem Radius s =
(N +1)/2 untersucht werden; die Blochgleichungen enthalten dann zusätzliche nichtlineare
Terme [12]. Darauf werden wir im folgenden Abschnitt zurückkommen.
2.3
2.3.1
Das gekickte System
Die nichtlinearen Blochgleichungen
Betrachten wir nun das in Abschnitt 2.2 beschriebene nichtlineare System, wobei wir die
Nichtlinearität, die über den Parameter c gesteuert wird, nicht mehr als zeitlich konstant
annehmen. Die Wechselwirkung soll nun aus periodischen δ-Kicks bestehen und es gelte
(
c(t) = cτ
δ(t − nτ ), τ ∈ + .
(2.26)
n∈
Der Hamiltonoperator für ein solches System besteht aus einem zeitunabhängigen linearen
sowie einem zeitabhängigen nichtlinearen Teil. Er kann formal in der Form
H = H0 + c(t)V (|ψ1 |2 , |ψ2 |2 , t)
mit
1
H0 =
2
)
ε v
v −ε
*
1
und V (|ψ1 |2 , |ψ2 |2 , t) =
2
(2.27)
)
κ 0
0 −κ
*
(2.28)
mit κ = |ψ2 |2 − |ψ1 |2 geschrieben werden. Die Hamiltonfunktion lautet dann
v
c(t) ∗
ε
(ψ1 ψ1 − ψ2∗ ψ2 )2
H = (ψ1∗ ψ1 − ψ2∗ ψ2 ) + (ψ1∗ ψ2 + ψ2∗ ψ1 ) −
2
2
4
(2.29)
und in den Bewegungsgleichungen (2.24), (2.25) ist lediglich c durch c(t) zu ersetzen. Wir
wählen im Folgenden stets τ = 1, führen τ jedoch stets mit. Durch eine Reskalierung
der Zeit und der übrigen Parameter kann man τ = 1 stets erreichen. Betrachten wir
nun erneut die Dynamik des Blochvektors mit den Komponenten (2.7). In der Basis der
Paulimatrizen nimmt der Hamiltonoperator die Form
v
ε
H = H0 + V = σx + σz − c(t)sz σz
2
2
(2.30)
2.3. Das gekickte System
17
an. Der lineare Term H0 beschreibt wiederum eine Drehung um die σx -Achse und eine
Drehung um die σz -Achse. Der neue nichtlineare Term entspricht einer Drehung um die
σz -Achse um einen Winkel proportional zur Komponente sz . Mit Hilfe der von-NeumannGleichung (2.9) erhält man nun die nichtlinearen Blochgleichungen
ṡx = −εsy + 2c(t)sy sz
ṡy = εsx − vsz − 2c(t)sx sz
ṡz = vsy .
(2.31)
Betrachtet man diese gekoppelten Gleichungen, so stellt man leicht fest, dass sich die
Dynamik des Systems ändert, sofern man die Normierung und damit den Betrag des
Blochvektors ändert. Dies kann man jedoch umgehen, indem man auch die nichtlineare
Wechselwirkung umskaliert. Um Systeme mit unterschiedlicher Teilchenzahl N und dadurch unterschiedlicher Norm besser miteinander vergleichen zu könnnen kann es sinnvoll
sein, den Blochvektor jeweils jemäß s → s/s auf die Einheitssphäre abzubilden. Damit
die Bewegunsgleichungen (2.31) dann noch immer gelten muss die Nichtlinearität gemäß
c → sc umskaliert werden. Bei dieser Transformation handelt es sich jedoch nicht um eine
kanonische Transformation, das Phasenraumvolumen und die Energie bleiben nicht erhalten, da effektiv nur der Impuls transformiert wird. Sie hat jedoch den Vorteil, dass auf
diese Art und Weise alle N-Teilchen-Systeme qualitativ miteinander verglichen werden
können.
2.3.2
Dynamik - Lösung der Bewegungsgleichungen
Um die Dynamik zu untersuchen sind die Bewegungsgleichungen
p
cos q − 2c(t)p
q̇ = ε − v 5
2
s − p2
5
ṗ = v s2 − p2 sin q.
(2.32)
(2.33)
zu lösen. Für c ≡ 0 ist dies analytisch möglich, und man erhält in diesem Fall
wobei
p(t; q0 , p0 ) = (α2 + β 2 )(s + p0 ) + γ 2 (s − p0 )
7
+2 s2 − p20 (βγ cos q0 + αγ sin q0 ),
√
ε
ωt
v
ωt
ωt
, β = sin , γ = sin
und ω = ε2 + v 2
2
ω
2
ω
2
ist. Die relative Phase q(p(t); q0 , p0 ) läßt sich dann aus
8
:
2(βγ
−
iαγ)p
s2 − p20 9 2
0
2 iq0
2 −iq0
(α
eiq(t) = 5
+
+
2iαβ
−
β
)e
+
γ
e
s2 − p2 (t)
s2 − p2 (t)
α = cos
(2.34)
(2.35)
(2.36)
berechnen; q0 = q(0) und p0 = p(0) sind die Startwerte.
Im Fall c = c(t) gilt diese Lösung nur für nτ ≤ t < (n + 1)τ, n ∈ . Zu jedem Zeitpunkt
18
Beschreibung im mean-field
a)
b)
0.5
p/(N+1)
p/(N+1)
0.5
0
!0.5
!1
!0.5
0
q/"
0.5
!0.5
!1
1
c)
!0.5
0
q/"
0.5
1
!0.5
0
q/"
0.5
1
d)
0.5
p/(N+1)
0.5
p/(N+1)
0
0
!0.5
!1
!0.5
0
q/"
0.5
1
0
!0.5
!1
Abbildung 2.1: Phasenraumportraits, stroboskopische Poincaréschnitte, für ε = 0, v = 1, τ = 1;
a) c(N + 1) = 0, b) c(N + 1) = 1.1, c) c(N + 1) = 1.8 und d) c(N + 1) = 3.5
t = nτ muss noch der zusätzliche Term −2cτ p(nτ ) in der Differentialgleichung für q̇
berücksichtigt werden. Tut man dies, so erhält man eine diskrete iterative Abbildung von
Kick zu Kick
pn+1 = p(τ + 0; qn , pn )
qn+1 = q(pn+1 ; qn , pn ) − 2cτ pn+1 ,
(2.37)
wobei wir die Größen pn = p(nτ + 0) und qn = q(nτ + 0) eingeführt haben. Die Notation nτ + 0 ist hierbei bewusst gewählt, um anzudeuten, dass der letzte Kick bereits
berücksichtigt worden ist.
2.3. Das gekickte System
19
Um die Dynamik gekickter Systeme zu veranschaulichen, eignen sich stroboskopische Poincaréschnitte des klassischen Phasenraumes besonders gut. Man plottet zu jedem Zeitpunkt
t = nτ + 0 den Impuls“ p gegen die relative Phase q. Dies ist in Abb. 2.1 für verschiedene
”
Parameterwerte von c geschehen. Im Grunde handelt es sich bei dieser Darstellung um
eine Projektion der Blochkugel auf die Ebene. In a) ist der Phasenraum für den linearen
Fall c = 0 zu sehen. Das System besitzt hier offensichtlich zwei elliptische Fixpunkte. Bei
dem Fixpunkt (q, p) = (0, 0) handelt es sich um ein Maximum der Energiefläche, und entsprechend ist (π, 0) ein Minimum. Die Separatrix wird durch die Geraden q = −π/2 und
q = π/2 gebildet. Die Umlaufperiode aller elliptischen Bahnen ist in diesem Fall konstant.
Die elliptischen Bahnen entsprechen Rabi-Oszillationen des Zwei-Niveau-Systems. In b)
liegt eine Nichtlinearität von c(N + 1) = 1.1 vor und es ist bereits zur ersten Bifurkation
des Fixpunktes (π, 0) gekommen; in c) erkennt man chaotische Bereiche und in d) steht
die erste Bifurkation des Fixpunktes (0, 0) gerade bevor.
Das System zeigt also das typische Verhalten klassischer nichtlinearer und damit chaotischer Systeme. An dieser Stelle sei auf eine Parallele zum nicht gekickten System aus
Abschnitt 2.2 hingewiesen. Diese System zeigt den sogenannten self-trapping-Übergang
[11, 14, 23, 37, 38]. Für Parameterwerte c > ckrit oberhalb eines kritischen Wertes ckrit , der
aus der Bedingung [26]
2
2
2
(2.38)
[ckrit (N + 1)] 3 = ε 3 + v 3
bestimmt werden kann, treten hier zwei neue Fixpunkte auf. Es handelt sich hierbei um
ein neues Minimum sowie ein Sattelpunkt. Das System besitzt dann zwei Minima, eines
für p < 0 und eines für p > 0. Befindet sich das System nun in der Umgebung eines
der Minima, so ist das BEC praktisch in einer der beiden Potentialmulden lokalisiert, da
p + (N + 1)/2 = |ψ1 |2 gilt. Die Tunnel-Oszillationen sind dann unterbunden, und das Kondensat ist somit ohne zusätzliches äußeres Potential in einer der beiden Mulden gefangen,
woher die Bezeichnung self-trapping rührt. Im gekickten System kommt es zu einem ganz
ähnlichen Prozess. Die beiden regulären Inseln, die nach der Bifurkation des Fixpunktes
(π, 0) entstehen sind ebenfalls in den Bereichen p < 0 bzw. p > 0 lokalisiert. Befindet sich
das System in einem solchen Zustand, so sind auch hier die Tunnel-Oszillationen nicht
mehr möglich und das Kondensat ist in einer der Potentialmulden gefangen. Man kann
deshalb auch in diesem Fall von self-trapping-Zuständen sprechen.
Dieser Effekt ist in Abbildung 2.2 deutlich zu erkennen. Während für c = 1 eine Oszillation
zwischen +p0 und −p0 stattfindet ist das System für c = 2 in der Regulären Insel um
den Fixpunkt mit q < 0 und p < 0 gefangen. Bei der Betrachtung der Dynamik des
Vielteilchensystems in Kapitel 4 werden die self-trapping-Zustände nochmals eine Rolle
spielen.
2.3.3
Fixpunkte der Abbildung - Linearisierung
Anhand von Abb. 2.1 ist gut zu erkennen, dass die Abbildung (2.37) zwei offensichtliche
Fixpunkte besitzt, von denen im linearen Fall, c ≡ 0, einer bei x = (q, p) = (0, sε/ω)
und einer bei (π, −sε/ω) liegt. Um Aussagen über deren dynamische Stabilität sowie
das Verhalten der Abbildung in einer kleinen Umgebung um diese Fixpunkte treffen zu
20
Beschreibung im mean-field
0.5
p/(N+1)
0.25
0
!0.25
!0.5
0
20
40
60
80
100
t/#
120
140
160
180
200
Abbildung 2.2: Zeitlicher Verlauf von p/(N + 1) für die Parameter τ = 1, v = 1 und ε = 0 über 200
Kickperioden; Startvektor der Propagation (q0 , p0 ) = (−2.35, −0.417(N + 1)), − c = 1, − c = 2
können, entwickeln wir die Hamiltonfunktion (2.23) für c ≡ 0 um die Fixpunkte. Sei x0
einer der Fixpunkte, dann gilt grad H(x0 ) = 0. Die Linearisierung HL (x) hat damit die
Form
;
,
1+
HL (x) = const. +
(x − x0 );D 2 H(x0 )(x − x0 ) ,
(2.39)
2
wobei D 2 H(x) die Hessematrix ist. Die Bewegungsgleichungen sind nun gekoppelte lineare
Differentialgleichungen, die leicht gelöst werden können. Es zeigt sich, dass die Hessema∂2H
∂2H
= ∂q∂p
= 0. Damit erhält man dann
trix in den Fixpunkten diagonal ist, es gilt also ∂p∂q
x(t) = RL (x − x0 ) + x0 als Lösung, wobei
)
*
ω̃
cos ω̃t
sin
ω̃t
Q
RL (t) =
,
(2.40)
−Q
sin
ω̃t
cos ω̃t
ω̃
Q=
∂ 2 H ;;
,
∂q 2 x0
P =
∂ 2 H ;;
∂p2 x0
und ω̃ 2 = QP
ist. Nun muss noch c = c(t) berücksichtigt werden. Entwickelt man H für c = const.
2
so ändert sich lediglich ∂∂pH2 = P − 2c. Wird die Nichtlinearität nun gemäß c(t) =
<
cτ n∈ δ(t − nτ ) periodisch eingeschaltet, läßt sich dies durch eine Matrixmultiplikation zu den Zeitpunkten t = nτ mit der Matrix
)
*
1 −2cτ
KL =
(2.41)
0
1
beschreiben. Das Ergebnis ist erneut eine diskrete iterierte Abbildung
xn+1 = KL RL (τ )(xn − x0 ) + KL x0 ,
(2.42)
mit xn = x(nτ + 0), welche die Abbildung (2.37) bzw. (2.48) in einer kleinen Umgebung
um die beiden Fixpunkte (0, sε/ω) und (π, −sε/ω) approximiert.
2.3. Das gekickte System
2.3.4
21
Stabilität der Fixpunkte
Mit Hilfe der linearisierten Abbildung (2.42) kann nun die Stabilität der beiden Fixpunkte
untersucht werden [45]. Hierzu genügt es, die Matrix L = KL RL zu untersuchen. Sie hat
die Struktur
)
*
2
ζ − 2cη − Aω̃ 2 η − 2cζ
L=
,
(2.43)
η
ζ
sin ω̃τ und ζ = cos ω̃τ . Für die Eigenwerte λ± von L gilt der Zusammenhang
mit η = − Q
ω̃
>
5
1=
2
Sp L ± (Sp L) − 4 det L
(2.44)
λ± =
2
wobei hier det L = 1 und Sp L = 2(ζ − cη) ist; die Abbildung ist also flächentreu und
es gilt λ+ λ− = 1. Die Stabilität des Fixpunktes kann also lediglich von Sp L abhängen.
Tatsächlich kann man zwei Fälle unterscheiden:
• |Sp L| > 2: Beide Eigenwerte sind reell und können in der Form
?
falls Sp L > 2
e±ξ
λ± =
∓ξ
falls Sp L < 2
−e
mit dem Stabilitätsexponenten ξ geschrieben werden. Die beiden Eigenvektoren x±
von L zeigen dann in die stabile bzw. nicht stabile Richtung der Abbildung und es
handelt sich um einen instabilen hyperbolischen Fixpunkt.
• |Sp L| < 2: Die beiden Eigenwerte sind in diesem Fall komplex konjugiert und
können in der Form λ± = e±iχ geschrieben werden, wobei χ der sogenannte Stabilitätswinkel ist. Man kann zeigen, dass in diesem Fall die Bildpunkte xn = Ln x0 auf
einer Ellipse liegen; es handelt sich somit um einen stabilen elliptischen Fixpunkt.
Die Fixpunkte sind demnach stabil, falls |Sp L| < 2 gilt (wie wir später sehen werden gibt
es in diesem Bereich allerdings Stellen, an denen keine Aussage über die Stabilität möglich
ist). In unserem konkreten Fall ergeben sich somit folgende Kriterien für die Stabilität
der Fixpunkte in Abhängigkeit von der Nichtlinearität c:
Sp L < 2
Sp L > −2
⇔
⇔
ζ −1
η
ζ −1
c >
η
ζ +1
c >
η
ζ +1
c <
η
c <
für η > 0
für η < 0
für η > 0
(2.45)
für η < 0.
Wir sind nun also in der Lage bei gegebenen Parametern v, ε und τ den Stabilitätsbereich
für die Fixpunkte der Abbildung in Abhängigkeit von c anzugeben. Als Beispiel betrachten
22
Beschreibung im mean-field
6
5
T/"
4
3
2
1
0
!1
!0.5
0
q/"
0.5
1
Abbildung 2.3: Umlaufperioden T der Bahnen die durch den Punkt (q, p) = (q, 0) im Phasenraum
verlaufen; numerische Werte für ε = 0, v = 1, c(N + 1) = 0 •, 0.5 •, 1 •, 1.5 •; die Verbindungslinien
dienen nur der Veranschaulichung.
wir den Fall τ = 1, ε = 0 und v = 1. Hier ergibt sich nach den Kriterien Stabilität des
Fixpunktes (q, p) = (0, 0) für c(N + 1) ∈ (−1.092, 3.661). Der Fixpunkt (π, 0) ist für
c(N + 1) ∈ (−3.661, 1.092) stabil. Beim Überschreiten des Stabilitätsbereiches treten
Bifurkationen der Fixpunkte auf (siehe Abb. 2.1). Wie wir im nächsten Abschnitt sehen
werden, können jedoch auch innerhalb des Stabilitätsbereiches Bifurkationen auftreten.
2.3.5
Umlauffrequenzen
Für jede periodische Bahn im Phasenraum kann die Umlauffrequenz Ω des Zustandsvektors bestimmt werden. Im linearen Fall kann diese analytisch
berechnet werden; sie ist für
√
2
2
alle Bahnen konstant und beträgt gerade Ω = ω = ε + v . Im nichtlinearen Fall trifft
dies nicht mehr zu. Die Frequenzen können jedoch für jede Bahn numerisch bestimmt werden. In Abb. 2.3 ist die numerisch bestimmte Umlaufperiode T für eine Bahn, die durch
den Punkt (q, p) = (q, 0) im Phasenraum verläuft, gegen q aufgetragen. Für c = 0 haben
alle Bahnen dieselbe Periode T = 2π. Im Fall c *= 0 verhält sich dies anders: Ist |q| klein,
so werden die Perioden mit steigendem c kürzer. Für |q| = π wird T mit wachsendem c
größer. Ab einem Wert von c = 1.092/2s strebt T für |q| → π gegen unendlich.
Um dieses Verhalten zu verstehen betrachten wir die Linearisierung aus Abschnitt 2.3.3.
In der Nähe der Fixpunkte können die Frequenzen auch mit Hilfe der linearisierten Abbildung berechnet werden. Die beiden Eigenwerte von L können im Falle eines elliptischen
Fixpunktes in der Form λ± = e±iζ geschrieben werden. Hierbei ist Ω = ζ gerade die
gesuchte Frequenz in der Nähe des Fixpunktes. Für Ω gilt deshalb die Beziehung
cos Ω =
Sp L
.
2
(2.46)
Die Frequenzen, und damit auch die Umlaufperioden T = 2π/Ω, hängen also auch von
der Stärke der Nichtlinearität c ab. Nimmt die Periode T einen ganzzahligen Wert an, so
2.3. Das gekickte System
23
40
6
30
T
T
5
4
10
3
2
20
0
0
2
c(N+1)
4
0
0.5
c(N+1)
1
Abbildung 2.4: Umlaufperiode T in der Nähe der Fixpunkte (q, p) = (0, 0) (links) und (π, 0) (rechts);
ε = 0, v = 1.
kommt es zu Aufspaltungen dieser Bahn. Das sogenannte Residuum [45]
1
R = (2 − Sp L)
4
(2.47)
eines Fixpunktes gibt Aufschluss darüber, wann dies geschieht. Wie in [45] gezeigt handelt
es sich für 0 < R < 1 um einen stabilen elliptischen Fixpunkt; für die kritischen Werte R =
0, 1, 1/2, 3/4 ist mit Hilfe der linearisierten Abbildung keine Aussage über die Stabilität
des Fixpunktes möglich. Genau an diesen Stellen wird die Periode T ganzzahlig und
Bifurkationen treten ein. Für den Beispielfall ε = 0 und v = 1 ergibt sich für R = 1/2 die
Periode T = 4 und für R = 3/4 der Wert T = 3.
Das Verhalten der beiden Fixpunkte ist auch anhand von Abb. 2.4 zu verstehen. Für
c = 0 haben alle Bahnen die Periode T = 2π. Steigt die Nichtlinearität c an, so nimmt
die Periode von Bahnen in der Nähe des Fixpunktes (q, p) = (0, 0) kontinuierlich ab.
Die Periode T = 2 wird genau an der oberen Grenze des Stabilitätsbereiches, also bei
c(N + 1) = 3.661 erreicht. Hier wird die Bahn instabil, und es kommt zur Bifurkation des
Fixpunktes. Das Verhalten in der Nähe des zweiten Fixpunktes (π, 0) ist anderer Art. Hier
steigt die Periode mit zunehmender Nichtlinearität kontinuierlich an und strebt schließlich,
wenn sich c der oberen Grenze des Stabilitätsbereiches (c(N + 1) = 1.092) nähert, gegen
unendlich. Auch hier kommt es am Rande des Stabilitätsbereiches zur Bifurkation.
2.3.6
Dynamik - ein wenig Numerik
Anstatt die Bewegungsgleichungen (2.32) zu lösen, kann auch der Hamiltonoperator (2.27)
zur Untersuchung der Dynamik herangezogen werden. Die Zeitentwicklung gekickter Systeme kann aufgrund der Periodizität H(t + τ ) = H(t) mit Hilfe des Floquet-Operators
F (t) = U(t + τ, t), also dem Propagator über eine Periode, beschrieben werden. Mit
F = U(τ, 0), dem Floquet-Operator von unmittelbar nach einem Kick bis unmittelbar
24
Beschreibung im mean-field
nach dem darauffolgenden, erhält man die rekursive Abbildung
Ψn+1 = F Ψn
(2.48)
für den Zustandsvektor Ψn = Ψ(nτ + 0). Für alle Zeiten t mit nτ ≤ t < (n + 1)τ , n ∈
handelt es sich um ein lineares Zweiniveausystem, das durch den Hamiltonoperator H0
beschrieben wird. Die Zeitentwicklung ist dann durch U0 (t) = e−iH0 t gegeben. Zu den
Zeitpunkten t = nτ kommt jedoch der nichtlineare Term V des Hamiltonoperators zum
Tragen. Formal kann die Lösung der Schrödingergleichung mit zeitabhängigem Hamiltonoperator
∂
i Ψ(t) = H(t)Ψ(t)
(2.49)
∂t
für t > 0 in der Form U(t, 0)Ψ(0) mit dem Propagator
#A
@
" ! t
"
"
H(t )dt
U(t, 0) = T exp −i
(2.50)
0
geschrieben werden, wobei der Operator T gemäß
?
A(t1 )B(t2 ) für t1 > t2
T [A(t1 )B(t2 )] =
B(t2 )A(t1 ) für t2 > t1
(2.51)
für die richtige Zeitordnung sorgt. In unserem Fall ergibt sich mit (2.50) und t = τ für
den Floquet-Operator insgesamt
F = e−icV τ e−iH0 τ .
(2.52)
Aufgrund der periodischen δ-Kicks faktorisiert F , so dass nicht mehr zu erkennen ist,
welcher der beiden Terme der ursprünglich gekickte war. Kickt man anstatt des nichtlinearen Terms den linearen, so führt dies demnach zu derselben Zeitentwicklung. Die
experimentell schwer zu realisierende δ-förmige Zeitabhängigkeit erleichtert demnach die
theoretische Untersuchung des Systems, da der Floquetoperator eine besonders einfache
Struktur aufweist. In Matrixschreibweise nimmt der Floquet-Operator die Gestalt
)
*)
*
c
e−i 2 κτ
cos ω2 τ − i ωε sin ω2 τ
0
−i ωv sin ω2 τ
F =
(2.53)
c
cos ω2 τ + i ωε sin ω2 τ
0
ei 2 κτ
−i ωv sin ω2 τ
an. Um die Dynamik des Systems zu veranschaulichen, können nun wiederum stroboskopische Poincaréschnitte angefertigt und im klassischen Phasenraum dargestellt werden.
Das Ergebnis ist identisch mit Abbildung 2.1.
Auch für den Blochvektor s erhält man als Lösung der Gleichungen (2.31) eine iterierte
Abbildung von Kick zu Kick der Form
sn+1 = F sn = K(τ )R(τ )sn ,
(2.54)
2.3. Das gekickte System
25
Abbildung 2.5: Stroboskopische Poincaréschnitte der Dynamik des Blochvektors s, für ε = 0, v = 1,
τ = 1 und a) c(N + 1) = 0, b) c(N + 1) = 1.1, c) c(N + 1) = 1.8 bzw. d) c(N + 1) = 3.5
wobei F = K(τ )R(τ ) der Floquetoperator für s ist. Hierbei beschreibt die Drehmatrix


R(τ ) = 
v2
ω2
εv
ω2
ε2
ω2
cos ωτ − ωε sin ωτ
ε
sin ωτ
cos ωτ
ω
v
(1 − cos ωτ) ω sin ωτ
+

(1 − cos ωτ )

− ωv sin ωτ

ε2
v2
+ ω2 cos ωτ
ω2
εv
ω2
(2.55)
eine Drehung mit der Achse (v/ω, 0, ε/ω) um den Winkel ωτ . K(τ ) kann formal als (3×3)Matrix der Gestalt


cos 2csz τ sin 2csz τ 0


K(τ ) =  − sin 2csz τ cos 2csz τ 0 
(2.56)
0
0
1
26
Beschreibung im mean-field
geschrieben werden. Hier ist der Effekt der Kicks, nämlich die Drehung um die σz -Achse
um einen Winkel proportional zu sz , nochmals deutlich sichtbar. Die Kicks führen demnach zu einer Torsion entlang der σz -Achse. Stellt man diese Abbildung graphisch dar, so
entspricht das einer Projektion der stroboskopischen Poincaréschnitte auf die Sphäre mit
Radius s. Für einige Werte von c ist dies in Abb. 2.5 dargestellt. Es ist gut zu erkennen,
dass die reine Rotation um die σx -Achse für c = 0 mit zunehmender Nichtlinearität von
einer zusätzlichen Drehung um die σz -Achse überlagert wird.
Wir wollen nun den zeitlichen Verlauf der Dynamik während einer Kickperiode genauer
betrachten. In Abbildung 2.6 ist dies für einen Fixpunkt und die Parameter ε = 0, v = 1,
τ = 1 und c = 2 gezeigt. In rot dargestellt ist die Drehung R(τ ) um die σx -Achse, in grün
Abbildung 2.6: Verlauf der Dynamik während einer Kickperiode für einen Fixpunkt von F und die
Parameter ε = 0, v = 1, τ = 1 und c = 2; • Drehung R(τ ), • Torsion K(τ ).
die Torsion“ K(τ ). Für einen Fixpunkt von F , wie in der Abbildung dargestellt, führt
”
K(τ ) wieder zum Ausgangspunkt zurück.
2.3.7
Symmetrien und Fixpunkte
Um die Eigenzustände des Floquetoperators zu bestimmen kann z.B. die Darstellung für
den Blochvektor verwendet werden. Gilt F s = s, so ist s ebenfalls Eigenzustand von F −1 .
Aufgrund des nichtlinearen Terms K ist F −1 besser geschlossen darstellbar, weswegen die
Diskussion für diesen Operator fortgesetzt wird. Es gilt
F −1 s = R−1 K −1 s = s
⇔
K −1 s = Rs
(2.57)
2.3. Das gekickte System
27
was sich in Form der drei Gleichungen
A
@
v2
0 = sx cos ωτ − cos 2csz τ + 2 (1 − cos ωτ)
(2.58)
ω
%
$
εv
ε
+sy sin 2csz τ − sin ωτ + sz 2 (1 − cos ωτ )
ω
ω
%
$ε
v
0 = sx
sin ωτ − sin 2csz τ + sy (cos ωτ − cos 2csz τ ) − sz sin ωτ
(2.59)
ω
ω
A
@
ε2
εv
v
0 = sx 2 (1 − cos ωτ ) + sy sin ωτ + sz cos ωτ − 1 + 2 (1 − cos ωτ ) (2.60)
ω
ω
ω
darstellen läßt, die nun numerisch auszuwerten wären. Das System weist jedoch Symmetrien auf, und es läßt sich zeigen, dass die Fixpunkte stets auf den Symmetrielinien
zu finden sind. Um dies genauer zu untersuchen definieren wir zunächst Operatoren Mj ,
die eine Achse σj an der dazu senkrechten Ebene spiegeln, so dass Mj σj = −σj und
Mj σk = σk für j, k = x, y, z, j *= k gilt. Nun können wir den Operator Ty gemäß
Ty = My R
(2.61)
definieren. Ty ist eine Drehspiegelung und besitzt deshalb die Eigenschaften
Ty2 = ,
det(Ty ) = −1.
(2.62)
Wegen
Ty F −1 Ty = My RR−1 K −1 My R = My K −1 My R = KR = F
(2.63)
ist Ty die Zeitumkehr für den Floquetoperator F . Für die Fixpunkte von Ty gilt
Ty s = My Rs = s
⇔
Rs = My s,
(2.64)
was sich wiederum in Form von drei Gleichungen
@
A
v2
ε
εv
sx cos ωτ − 1 + 2 (1 − cos ωτ ) − sy sin ωτ + sz 2 (1 − cos ωτ ) = 0
ω
ω
ω
ε
v
sx sin ωτ + sy (1 + cos ωτ) − sz sin ωτ = 0
ω
ω
A
@
εv
v
ε2
sx 2 (1 − cos ωτ ) + sy sin ωτ + sz cos ωτ − 1 + 2 (1 − cos ωτ ) = 0
ω
ω
ω
darstellen läßt. Dieses Gleichungssystem wird von all jenen Punkten s gelöst, welche die
Relation
ε
ω
ωτ
(2.65)
sz = sx + sy cot
v
v
2
erfüllen und demnach auf einer Ebene liegen. Da der Blochvektor darüber hinaus auf der
Sphäre mit Radius s liegt, bilden die Fixpunkte von Ty eine Ty -Symmetrielinie, nämlich
den Schnittkreis der Ebene (2.65) mit der Blochkugel s2 = s2 . Man stellt durch Umformungen fest, dass die Gleichung (2.60) mit (2.65) identisch ist; die Fixpunkte von F
liegen also alle auf der Ty -Symmetrielinie. In Abbildung 2.7 ist der klassische Phasenraum
28
Beschreibung im mean-field
Abbildung 2.7: − Poincaréschnitte der Dynamik für ε = 1, v = 1, τ = 1 und c(N + 1) = 1.1;
− Ty -Symmetrielinie; die Abbildungen zeigen die beiden Seiten der Blochkugel
für die Parameter ε = 1, v = 1, τ = 1 und c(N + 1) = 1.1 dargestellt. Die rote linie
kennzeichnet die Ty -Symmetrielinie.
Weitere Symmetrien treten auf, wenn man den Parameter ε = 0 setzt. Dieser Spezialfall
wird im Folgenden näher betrachtet werden. Die Fixpunktgleichungen (2.58) gehen dann
in die einfacheren Gleichungen
sx cos 2csz τ − sy sin 2csz τ = sx
(sx sin 2csz τ + sy cos 2csz τ ) cos vτ + sz sin vτ = sy
− (sx sin 2csz τ + sy cos 2csz τ ) sin vτ + sz cos vτ = sz
(2.66)
(2.67)
(2.68)
über. Es ist zu erkennen, dass die beiden Punkte sy = sz = 0, sx = ±s in diesem Fall
für beliebige Werte von c Fixpunkte der Abbildung sind. Für größere Werte von c kommt
es – wie bereits beschrieben – zu Bifurkationen und es entstehen neue Fixpunkte, die sich
mit Hilfe der Gleichungen
sx = −sy cot (2cksy )
sz = ksy
s2 sin 2 (cksy )
2
sy =
1 + k 2 sin 2 (cksy )
(2.69)
(2.70)
(2.71)
bestimmen lassen; hierbei wurde der Parameter k = cot vτ2 eingeführt. Wiederum liegen
die Fixpunkte auf der Ty -Symmetrielinie, die jetzt der Schnittkreis der Ebene
$v %
(2.72)
sy = sz tan τ
2
mit der Blochkugel ist. Sämtliche Fixpunkte liegen also auf einem Großkreis, der durch
eine Drehung um die σx -Achse um den Winkel −v/2 aus dem Großkreis in der σx -σz -Ebene
hervorgeht.
2.3. Das gekickte System
29
Abbildung 2.8: − Poincaréschnitte der Dynamik für ε = 0, v = 1, τ = 1 und c(N + 1) = 1.1;
− Ty -Symmetrielinie; die Abbildungen zeigen die beiden Seiten der Blochkugel
Die zusätzliche Symmetrie im Fall ε = 0 zeigt sich in der Invarianz unter der Drehung
um die σx -Achse um den Winkel π, was anhand von Abbildung 2.8 zu erkennen ist. Dies
hängt mit dem Auftreten einer zweiten Zeitumkehrsymmetrie bezüglich des Operators Tz
zusammen. Völlig analog zum Operator Ty kann auch Tz gemäß
Tz = Mz R
(2.73)
eingeführt werden; Mz ist hierbei die entsprechende Spiegelung der σz -Komponente. Tz
besitzt dieselben Eigenschaften wie Ty , nämlich
Tz2 = ,
det(Tz ) = −1,
Tz F −1 Tz = F.
(2.74)
Die Fixpunkte von Tz liegen in der Ebene
sy = −
sz
tan v2 τ
(2.75)
und die Tz -Symmetrielinie ist somit der Großkreis senkrecht zur Ty -Symmetrielinie. Dass
im Falle ε = 0 zwei Zeitumkehroperatoren für den Floquetoperator existieren, läßt sich
ausnutzen, um einen Operator zu konstruieren unter dem der Floquetoperator invariant
ist. So gilt
Ty Tz F Tz Ty = Ty F −1 Ty = F
(2.76)
und F ist invariant unter der Transformation Ty Tz . Betrachtet man diesen Operator etwas
näher so stellt man fest, dass
Ty Tz = Tz Ty = My Mz = Rx (π)
(2.77)
gilt. Der Floquetoperator ist demnach invariant bezüglich einer Drehung um den Winkel
π um die σx -Achse, was sich durch die Beziehung
Rx (π)F Rx (π) = F
(2.78)
30
Beschreibung im mean-field
Abbildung 2.9: − Poincaréschnitte der Dynamik für ε = 0, v = 1, τ = 1 und c(N + 1) = 1.8;
− Ty -Symmetrielinie, links: Halbkugel mit sx > 0, rechts: Halbkugel mit sx < 0
ausdrücken läßt. Die ganze Dynamik und damit auch die stroboskopischen Poincaréschnitte zeigen diese Symmetrie. Dies bedeutet insbesondere, dass zu jedem Fixpunkt s+ des
Floquetoperators ein weiterer Zwillingsfixpunkt s− = Rx (π)s+ existiert, der gerade das
Bild von s+ unter der Drehung Rx (π) ist. Dies ist an Abb. 2.9 besonders gut zu erkennen.
Im rechten Teil der Abbildung sind die regulären Inseln um die beiden Fixpunkte s± zu
sehen, die den self-trapping-Zuständen des nicht gekickten Systems entsprechen.
Zusammenfassung
Wir haben uns nun ein Bild von der Dynamik des mean-field -Systems gemacht. Unser
System kann demnach auf ein klassisches nichtlineares System abgebildet werden, welches
sowohl reguläre als auch chaotische Dynamik aufweist, je nach Stärke der Wechselwirkung
c. Darüber hinaus haben wir uns mit den Fixpunkten und Symmetrien beschäftigt. Die
Fixpunkte können wir numerisch berechnen und mit Hilfe einer linearisierten Abbildung
der Dynamik auf ihre Stabilität untersuchen. Im allgemeinen Fall besitzt das System eine
Zeitumkehr-Symmetrie Ty ; für dem Spezialfall ε = 0 kommt eine weitere Zeitumkehrsymmetrie Tz hinzu. Diese beiden Symmetrien bewirken wiederum eine räumliche Symmetrie
und zwar die Invarianz unter einer Drehung um den Winkel π um die σx -Achse.
Wie beim nicht gekickten System tritt auch beim gekickten ebenfalls ein self-trappingEffekt ein. Das Kondensat ist dann in einer der beiden Potentialmulden gefangen. Wie
sich das volle N-Teilchen-System verhält, wollen wir nun im Folgenden betrachten.
Kapitel 3
Das Vielteilchensystem
Die Dynamik des mean-field -Systems ist, wie wir gesehen haben, je nach Stärke der nichtlinearen Wechselwirkung mehr oder weniger stark von Chaos geprägt. Mit steigender
Nichtlinearität c kommt es sukzessive zu Bifurkationen der Fixpunkte. Schließlich breitet
sich ein chaotischer See mehr und mehr auf Kosten kleiner Inseln regulärerer Dynamik
aus und erfüllt letztlich praktisch den gesamten Phasenraum. Das quantenmechanische
Vielteilchensystem, das den Ausgangspunkt unserer Überlegungen bildete, kann aufgrund
der Linearität der Quantenmechanik selbstverständlich kein solches Chaos hervorbringen;
deshalb ist es interessant die beiden Systeme gegenüberzustellen. Dazu ist jedoch noch
einige Vorarbeit nötig, die wir in diesem Kapitel leisten werden.
Das gekickte BEC in einem Doppelmuldenpotential wird im Vielteilchenbild durch einen
Hamiltonoperator der Form
(
H(t) = H0 + cτ V
δ(t − nτ ) = H0 + c(t)V
(3.1)
n∈
mit
H0 = vLx + εLz
und V = −L2z
(3.2)
beschrieben. Auch hier läßt sich wiederum ein Floquetoperator F und damit eine iterative
Abbildung einführen. Die Eigenschaften von F und die Symmetrien dieser Abbildung
sollen im Folgenden untersucht werden.
3.1
Eine geeignete Basis
Um die Dynamik näher zu untersuchen ist es sinnvoll, den Hamiltonoperator bzw. den
Floquetoperator in einer geeigneten Basis darzustellen. Zunächst bietet sich dafür die
Besetzungszahl- bzw. Fock-Basis an. Da das System die Teilchenzahl erhält, ist der entsprechende Hilbertraum bei N Teilchen (N + 1)-dimensional. Die Basiszustände ergeben
sich in diesem Fall aus dem Vakuumzustand |0, 0., also dem Zustand, in dem in keiner
der beiden Mulden ein Teilchen ist, mit Hilfe der Erzeuger und Vernichter gemäß
1
n
N −n
|n. = |n, N − n. = 5
(a†1 ) (a†2 )
|0, 0. ,
(3.3)
n!(N − n)!
32
Das Vielteilchensystem
mit n = 0, 1, . . . , N. Die Matrixelemente der Drehimpulsoperatoren berechnen sich in
dieser Basis zu
-j| Lx |k. = λk δj,k+1 + λj δj+1,k
-j| Ly |k. = −iλk δj,k+1 + iλj δj+1,k
#
"
N
δj,k ,
k−
-j| Lz |k. =
2
(3.4)
5
wobei λk = 12 (k + 1)(N − k) ist. Lx und Ly haben demnach nur Einträge auf den
Nebendiagonalen, und Lz ist diagonal. Der Operator L2 hängt nur von der Teilchenzahl
ab und vertauscht mit Lz . Die Zustände |n. sind also gleichzeitig Eigenzustände von L2
und Lz ,
#
"
N N
2
+ 1 |n.
(3.5)
L |n. =
2 2
"
#
N
Lz |n. =
n−
|n. ,
(3.6)
2
und somit äquivalent zur üblichen Drehimpulsbasis |l, m. mit den Quantenzahlen l = N/2
und m = n − N/2.
Für den Vergleich mit der mean-field -Dynamik ist jedoch die Beschreibung in der Basis
der kohärenten Drehimpulszustände besser geeignet. Diese sind gemäß [46, 47]
|ϑ, ϕ. = R(ϑ, ϕ) |N.
(3.7)
definiert und gehen durch die Drehung R(ϑ, ϕ) = eiϑ(Lx sin ϕ−Ly cos ϕ) aus dem Zustand
|N. hervor; ϑ ∈ [0, π] und ϕ ∈ [−π, π) sind hierbei Polar- bzw. Azimutalwinkel. Dem
Zustand |N. entspricht im mean-field -System der Nordpol der Blochkugel. Die kohärenten
Zustände bilden eine übervollständige Basis des Hilbertraumes. Entwickelt man sie in der
Besetzungszahlbasis, so erhält man die Darstellung
8" #
" #
" #
N
(
N
ϑ
ϑ i(N −n)ϕ
n
N −n
cos
sin
e
|n. .
(3.8)
|ϑ, ϕ. =
n
2
2
n=0
<
Mit Hilfe der Vollständigkeitsrelation n |n. -n| = für die Fockzustände folgt dann für
die kohärenten Zustände |ϑ, ϕ. die Beziehung [46]
!
dΩ
|ϑ, ϕ. -ϑ, ϕ| = .
(3.9)
(N + 1)
S 2 4π
Demnach kann jeder beliebige Zustand auch in kohärente Zustände entwickelt werden.
Für zwei kohärente Zustände |ϑ, ϕ. und |ϑ" , ϕ" . gilt außerdem [46]
@ "
#
"
#
"
"
; " ",
+
ϑ
−
ϑ
ϕ
−
ϕ
! )N/2
i(ϕ−ϕ
= e
cos
ϑ, ϕ;ϑ , ϕ
cos
2
2
#
"
#AN
"
ϕ − ϕ"
ϑ + ϑ"
sin
,
(3.10)
−i cos
2
2
3.1. Eine geeignete Basis
33
;
+
,
und damit insbesondere ϑ, ϕ;ϑ, ϕ = 1. Für die Erwartungswerte der Drehimpulsoperatoren in einem kohärenten Zustand -Lj . = -ϑ, ϕ| Lj |ϑ, ϕ., j = x, y, z gilt
N
sin ϑ cos ϕ
2
N
sin ϑ sin ϕ
-Ly . =
2
N
cos ϑ.
-Lz . =
2
-Lx . =
(3.11)
Der Vektor -L. = (-Lx . , -Ly . , -Lz .) liegt demzufolge auf einer Kugel mit dem Radius
N/2.
Die Zustände |ϑ, ϕ. haben darüber hinaus die Eigenschaft, solche geringster Unschärfe im
Bezug auf die Ausrichtung des Drehimpulses zu sein. Um dies zu sehen, betrachtet man
die gedrehten Drehumpulsoperatoren R(ϑ, ϕ)Lj R−1 (ϑ, ϕ) = L"j , j = x, y, z. Diese erfüllen
wie die Drehimpulsoperatoren selbst Vertauschungsrelationen der Form [L"i , L"j ] = iL"k ,
sowie eine Unschärferelation der Form
+ "2 , + "2 , 1 " 2
Li Lj ≥ -Lk .
4
mit
i, j, k zyklisch.
(3.12)
Bei dieser Unschärferelation für die Orientierung des Drehimpulses ist das Gleichheitszeichen gerade für die kohärenten Zustände erfüllt. Für die Varianz des Drehimpulses ergibt
sich nach kurzer Rechnung
13
1
24
2
-ϑ,
ϕ|
L
= ,
|ϑ,
ϕ.
−
-ϑ,
ϕ|
L
|ϑ,
ϕ.
2
l
l
(3.13)
unabhängig von ϑ und ϕ. Für den späteren Vergleich mit der Dynamik des mean-field Systems bietet sich der normierte Erwartungswert des Drehimpulses an. Man identifiziert
hierzu die Größe x = (2/N) -L., die im Fall der kohärenten Zustände auf der Einheitssphäre S 2 ( 3 ) liegt, mit dem normierten Blochvektor s/s = n. Um die Varianz (3.13)
aufgrund der Unschärfe zu berücksichtigen, kann man mit x auch einen Raumwinkel
∆Ω = 2/N in der Richtung (ϑ, ϕ) assoziieren, der im Grenzwert für große N auf einen
Punkt zusammenschrumpft. Im Allgemeinen, wenn es sich nicht um den Erwartungswert in einem kohärenten Zustand handelt, liegt x innerhalb der Blochkugel. Möchte
man die kanonischen Variablen des äquivalenten Hamiltonschen Systems oder die meanfield -Wellenfunktionen ebenfalls in Kugelkoordinaten ausdrücken, so benötigt man die
Beziehungen
q = ϕ,
p=
√
N +1
ϑ
cos ϑ bzw. ψ1 = N + 1e−iϕ cos ,
2
2
ψ2 =
√
ϑ
N + 1 sin . (3.14)
2
34
3.2
3.2.1
Das Vielteilchensystem
Der Floquetoperator
Eine rekursive Abbildung
Der Hamiltonoperator (3.1) ist zeitlich periodisch
H(t + τ ) = H(t).
(3.15)
Wir definieren nun analog zu unserem Vorgehen in Kapitel 2 einen Floquetoperator gemäß
#A
@
" ! t+τ
"
"
H(t )dt
,
(3.16)
F (t) = T exp −i
t
wobei T der Zeitordnungsoperator ist. Aufgrund der δ-Wechselwirkung faktorisiert F und
nimmt die Gestalt
(3.17)
F = F (0) = e−icV τ e−iH0 τ
an. Wie bereits im mean-field -Fall, induziert auch hier der Floquetoperator eine diskrete
rekursive Abbildung, die sich im Heisenbergbild für einen Operator A(t) in der Form
An+1 = F † An F
(3.18)
schreiben läßt, wobei An = A(nτ + 0) ist. Für uns ist die Zeitentwicklung des Vektors -L.,
also des Erwartungswertes des Drehimpulses, von besonderem Interesse, denn die Dynamik dieses Vektors läßt sich anschließend mit der mean-field -Dynamik des Blochvektors
am besten vergleichen. Um die Zeitentwicklung zu berechnen, sind die Ausdrücke F † Lj F ,
j = x, y, z, auszuwerten. Hierbei nützlich ist das folgende
Theorem 1. Seien A, B zwei Operatoren mit [A, B] *= 0 und ξ ∈
gilt [48]
eξA Be−ξA = B + ξ[A, B] +
ein Parameter, dann
ξ3
ξ2
[A, [A, B]] + [A, [A, [A, B]]] + . . . .
2!
3!
(3.19)
Die Berechnung von F + Lj F kann in zwei Schritten erfolgen. Mit Hilfe von Theorem 1
kann man die Größen eiH0 τ Lj e−iH0 τ berechnen und erhält
" 2
#
v
ε2
ε
εv
iH0 τ
−iH0 τ
Lx e
=
+ 2 cos ωτ Lx − sin ωτ Ly + 2 (1 − cos ωτ) Lz
e
2
ω
ω
ω
ω
ε
v
eiH0 τ Ly e−iH0 τ =
(3.20)
sin ωτ Lx + cos ωτ Ly − sin ωτ Lz
ω
ω
" 2
#
ε
εv
v
v2
iH0 τ
−iH0 τ
Lz e
=
(1 − cos ωτ ) Lx + sin ωτ Ly +
+
cos ωτ Lz ,
e
ω2
ω
ω2 ω2
mit H0 = vLx + εLz und V = −L2z . Dies kann mit der Matrix (2.55) auch verkürzt in der
Form
eiH0 τ Le−iH0 τ = R(τ )L
(3.21)
3.2. Der Floquetoperator
35
geschrieben werden. Der quantenmechanische Drehimpuls wird demnach durch den linearen Term des Hamiltonoperators von Kick zu Kick in der gleichen Weise transformiert
wie der Blochvektor in der mean-field -Näherung.
Analog kann man nun die Größen eicV τ Lj e−icV τ berechnen. Mit den üblichen Bezeichnungen L+ = Lx + iLy und L− = Lx − iLy ergibt sich dann
eicV Lx e−icV
eicV Ly e−icV
eicV Lz e−icV
4
13
L+ e−ic(1+2Lz ) + L− eic(1+2Lz )
2
4
13
L+ e−ic(1+2Lz ) − L− eic(1+2Lz )
=
2i
= Lz .
=
(3.22)
Die Gleichungen (3.20) liefern dann zusammen mit (3.22) eine analytische Vorschrift für
die Rekursion
$
%
(n+1)
(n)
(n)
= F † Lj F = eiH0 τ eicV τ Lj e−icV τ e−iH0 τ
(3.23)
Lj
der Drehimpulsoperatoren. Für den Fall ε = 0 vereinfachen sich die Gleichungen zu
:
19
(Lx + i(Ly cos vτ − Lz sin vτ )) e−ic(1+2Ly sin vτ +2Lz cos vτ )
2
+ h.c.
9
:
1
(Lx + i(Ly cos vτ − Lz sin vτ )) e−ic(1+2Ly sin vτ +2Lz cos vτ )
F † Ly F =
2i
+ h.c.
F † Lz F = Ly sin vτ + Lz cos vτ .
F † Lx F =
3.2.2
(3.24)
Floquet-Zustände und Quasienergien
Der Floquetoperator (3.17) ist definitionsgemäß unitär. Aus diesem Grund läßt sich die
Eigenwertgleichung folgendermaßen formulieren:
F (t)ψκ (t) = e−i+κτ ψκ (t).
(3.25)
Die Eigenwerte von F bilden ein Orthonormalsystem des Hilbertraumes und es gilt
+ ; ,
ψκ ;ψµ = δκ,µ .
(3.26)
Die reellen Größen 6κ bezeichnet man als Quasienergien. Sie sind das Äquivalent zu den
Energien zeitunabhängiger Systeme. Da es sich bei den 6κ im Wesentlichen um eine Phase
handelt, sind sie jedoch nur modulo 2π/τ definiert; zu jedem 6κ gehört demnach eine ganze
Klasse von Quasienergien {6κ + n2π/τ } mit n ∈ . Aus jeder dieser Klassen läßt sich ein
Repräsentant so auswählen, dass er in der ersten Brillouin-Zone, dem Intervall [−π/τ, π/τ )
liegt. Im Folgenden bezeichnen wir der Einfachheit halber diesen Repräsentanten mit
6κ . In Analogie zum Bloch-Theorem für räumlich periodische Systeme wie sie in der
36
Das Vielteilchensystem
Festkörperphysik z.B. für Elektronen im Kristallgitter untersucht werden [49, 50], formuliert man für zeitlich periodische Systeme das sogenannte Floquet-Theorem. Danach
faktorisieren die Floquet-Eigenzustände gemäß
ψκ (t) = e−i+κ t φκ (t)
(3.27)
in eine Phase und einen zeitlich periodischen Anteil
φκ (t + τ ) = φκ (t).
(3.28)
In der klassischen Mechanik kann man für zeitlich periodische Systeme einen erweiterten Phasenraum einführen in welchem sich das System durch eine zeitunabhängige neue
Hamiltonfunktion [51]
K(q, p, t" , pt! ) = H(q, p, t" ) + pt!
(3.29)
beschreiben läßt, wobei hier die Zeit t als zusätzliche Koordinate t" mit dem kanonisch
konjugierten Impuls pt! eingeführt wird. Das neue System im erweiterten Phasenraum
besitzt somit einen zusätzlichen Freiheitsgrad, ist dafür jedoch zeitunabhängig. Dieses
Verfahren läßt sich auf die Quantenmechanik übertragen. Indem man Gleichung (3.29)
gemäß der üblichen Ersetzungen quantisiert erhält man den Quasienergieoperator
K(t" ) = H(t" ) − i
∂
.
∂t"
(3.30)
Die Eigenwerte von K sind wegen Gleichung (3.27) und
H(t)ψκ (t) = i
∂
ψκ (t)
∂t
(3.31)
gerade die Quasienergien:
"
#
∂
K(t)φκ (t) = H(t) − i
φκ (t) = 6κ φκ (t).
∂t
(3.32)
Um wie in der klassischen Mechanik auch hier nur ein zeitunabhängiges System betrachten zu müssen, führen wir nun den erweiterten Hilbertraum K = H ⊗ T ein. H ist
hierbei der Hilbertraum, der durch die Eigenwerte von H0 aufgespannt wird, während
T der Raum aller periodischen Funktionen mit Periode τ ist. Auf K kann man das
Skalarprodukt
!
;
+ ; ,
,
1 τ+
;
κµ K =
κ(t);µ(t) dt, κ, µ ∈ K
(3.33)
τ 0
definieren. Das periodische System kann demnach als zeitunabhängiges System in K
betrachtet werden.
3.3. Symmetrien
3.3
37
Symmetrien
Die Symmetrien, die sich beim mean-field -System offenbarten, haben ihre Entsprechung
im vollen Quantensystem. Auch hier sind sie von Interesse und sollen näher betrachtet werden. Bevor wir mit der Zeitumkehrsymmetrie beginnen, führen wir zunächst den
Operator der komplexen Konjugation C ein. C ist antilinear und es gilt
C(z1 ψ1 (x) + z2 ψ2 (x)) = z1∗ Cψ1 (x) + z2∗ Cψ2 (x),
Cψ(x) = ψ ∗ (x) sowie C 2 = ;
(3.34)
für die Drehimpulsoperatoren gilt insbesondere
CLx C = Lx ,
CLy C = −Ly
und CLz C = Lz .
(3.35)
Im einfachen Fall des Hamiltonoperators eines Teilchens in einem reellen Potential V (x)
kehrt die Transformation
t" = −t,
x" = x,
p" = −p L" = −L und ψ " (x) = Cψ(x)
(3.36)
die Zeitrichtung um. Bei Systemen geladener Teilchen in einem äußeren magnetischen
Feld führt diese Transformation jedoch nicht zum Ziel. In unserem konkreten Fall (3.1)
handelt es sich gerade um den Hamiltonoperator einer linearen Präzession eines Drehimpulses L z.B. in einem externen magnetischen Feld, der zusätzlich periodisch nichtlineare
Kicks erfährt. Die herkömmliche Transformation für die Zeitumkehr (3.36) erfüllt hier
demnach nicht ihren Zweck. Auch bei solchen Systemen kann dennoch in manchen Fällen
ein Operator für die Zeitumkehr gefunden werden. Ein allgemeiner Zeitumkehroperator
T muss antiunitär sein [5], wie sich aus der Struktur der Schrödingergleichung ergibt, d.h.
er muss die Beziehung
+ ; , + ; ,
T ψ ;T φ = φ;ψ
(3.37)
erfüllen. Ein antiunitärer Operator kann wiederum als Verkettung eines unitären Operators U mit der komplexen Konjugation C in der Form
T = CU
(3.38)
dargestellt werden. Fordert man darüber hinaus, dass die Wellenfunktion bei zweimaliger
Anwendung von T bis auf eine Phase wiederhergestellt wird, so läßt sich zeigen [5], dass
T2 = ±
(3.39)
gelten muss.
Im Falle zeitunabhängiger Hamiltonoperatoren H bedeutet ein Vertauschen des Zeitumkehroperators mit H, [H, T ] = 0, Zeitumkehrsymmetrie. Ist der Hamiltonoperator
H = H(t) jedoch zeitabhängig, wie in unserem Fall, so muss T H(−t)T −1 = H(t) gefordert werden, um diese Symmetrie zu erreichen. Ist die Zeitabhängigkeit periodisch, so ist
es sinnvoll, die T -Symmetrie als Eigenschaft des Floquetoperators in der Form
T F T −1 = F † = F −1
(3.40)
38
Das Vielteilchensystem
auszudrücken. Umkehren der Zeitrichtung ist gleichbedeutend mit dem Invertieren des
Floquetoperators.
Wir können nun einen Operator T der Form (3.38) gemäß
T = Ce−iH0 τ
(3.41)
definieren, der die Eigenschaft T 2 = besitzt; für den inversen Operator gilt deshalb
T −1 = T . Benutzt man die Identitäten (3.34), so stellt man fest, dass es sich bei dem neu
definierten Operator T um einen Zeitumkehroperator für den Floquetoperator handelt:
T F T = Ce−iH0 τ e−icV τ e−iH0 τ Ce−iH0 τ = eiH0 τ eicV τ = F −1 .
(3.42)
Wie man sieht, hängt dies nicht mit der speziellen Gestalt von H0 oder V zusammen.
Ein Zeitumkehroperator dieser Art kann demnach für alle gekickten Systeme der Gestalt
(3.1) angegeben werden, sofern für H0 und V gleichzeitig eine reelle Darstellung gefunden
werden kann.
Zieht man sich erneut auf den Fall ε = 0 zurück, können weitere Symmetrien gefunden werden. Bereits das mean-field -System zeigte dann eine Symmetrie bezüglich einer
Drehung um π um die x-Achse. Auch dies spiegelt das Quantensystem wider. Der Operator Rx (ϕ) = e−iϕLx beschreibt eine Drehung um den Winkel ϕ um die x-Achse. Der
Floquetoperator vertauscht mit der Drehung Rx = Rx (π),
[F, Rx ] = 0,
(3.43)
denn für die Drehimpulsoperatoren gilt
Rx Lx Rx = Lx ,
Rx Ly Rx = −Ly
und Rx Lz Rx = −Lz .
(3.44)
Die Eigenwertgleichung (3.25) kann auch in der Form
F |κ. = e−i+κτ |κ.
(3.45)
mit κ = 1, 2, . . . , N + 1 geschrieben werden. Aufgrund der zusätzlichen Rx -Symmetrie
(3.43) lassen sich die N + 1 Floqueteigenzustände nun in zwei Klassen einteilen. Um
diese zu charakterisieren, muss man jedoch unterscheiden, ob die Teilchenzahl gerade oder
ungerade ist. Zwischen der Teilchenzahl N und der Drehimpulsquantenzahl l besteht, wie
wir in Abschnitt 3.1 gesehen haben, der Zusammenhang
l=
N
.
2
(3.46)
Betrachten wir zunächst den Fall, dass N gerade ist. Gemäß (3.46) ist die Drehimpulsquantenzahl dann ganzzahlig. Die Drehung Rx = e−iπLx ist hermitesch und es gilt
Rx2 = .
(3.47)
3.4. Drei Symmetrieklassen
39
Die Eigenwerte von Rx sind demnach ±1. Da F und Rx wegen (3.43) gemeinsame Eigenfunktionen haben, lassen sich die Floqueteigenzustände |κ. in zwei Klassen einteilen; eine
ist gerade bezüglich der Drehung Rx , die andere ungerade und es gilt
Rx |κ± . = ± |κ± . .
(3.48)
Wieviele gerade bzw. ungerade Zustände es gibt, hängt wiederum davon ab, ob l gerade
oder ungerade ist. Ist l gerade, so existieren l + 1 gerade Zustände und l ungerade; ist
l ungerade so ist dies genau umgekehrt, es existieren dann l + 1 ungerade und l gerade
Floqueteigenzustände.
Ist die Teilchenzahl N ungerade, so verhält sich die Situation ein wenig anders. In diesem
Fall ist die Drehimpulsquantenzahl l halbzahlig. Somit gilt
Rx2 = − ,
(3.49)
und die Eigenwerte von Rx sind in diesem Fall ±i. Die Floqueteigenzustände |κ. lassen
sich wiederum in zwei Klassen einteilen, so dass
Rx |κ± . = ±i |κ± .
(3.50)
gilt. Es gibt in diesem Fall eine gerade Anzahl von Floquetzuständen, von denen (N +1)/2
gerade und ebenso viele ungerade sind.
Dank der Rx -Symmetrie kann nun ein zweiter Zeitumkehroperator für F konstruiert werden. Man definiert
T̃ = CRx e−iH0 τ = CeiπLx e−ivLx τ
(3.51)
wobei erneut T̃ 2 =
gilt. Mit den Beziehungen (3.35) und (3.44) folgt für T̃ in der Tat
T̃ F T̃ = CRx e−iH0 τ e−icV τ e−iH0 τ CRx e−iH0 τ = eiH0 τ eicV τ = F −1 .
(3.52)
Die beiden Zeitumkehroperatoren T und T̃ sind die Entsprechungen zu den Matrizen
Ty und Tz des mean-field -Systems, die auf dieselbe Art und Weise konstruiert wurden.
Hierzu muss man lediglich wegen CLy C = −Ly die komplexe Konjugation C mit der
Spiegelung My identifizieren. Die Kombination aus Drehung und komplexer Konjugation CRx entspricht dann wegen CRx (π)Ly CRx (π) = Ly und CRx (π)Lz CRx (π) = −Lz
der Spiegelung Mz . Aufgrund der Konstruktion gilt ebenfalls die der Gleichung (2.77)
entsprechende Beziehung
T T̃ = T̃ T = Rx (π).
(3.53)
Die Symmetrieoperatoren sind also nicht unabhängig voneinander, so dass effektiv nur
zwei Symmetrien vorliegen.
3.4
Drei Symmetrieklassen
Im Allgemeinen lassen sich Hamiltonoperatoren, sofern kein Zerfall berücksichtigt wird,
durch hermitesche Matrizen darstellen. Abhängig von der Symmetrie des jeweiligen Systems kann man sich jedoch auf Teilmengen der hermiteschen Matrizen beschränken
40
Das Vielteilchensystem
und die Hamiltonoperatoren somit in Klassen einteilen [5]. So sind beispielsweise Matrizen, die Hamiltonoperatoren mit einer Zeitumkehrsymmetrie bezüglich des Operators
T , [H, T ] = 0, mit T 2 = beschreiben, reell und damit symmetrisch. Von einer kanonischen Transformation fordert man nun, dass sie zum einen die Hermitizität der Matrix
sowie ihre Eigenwerte und zum anderen die zusätzliche Einschränkung auf eine Teilmenge,
die durch Symmetrien hervorgerufen wird, erhält. Im Falle von Hamiltonoperatoren ohne
zusätzliche Symmetrien in einem N-dimensionalen Hilbertraum bedeutet dies, dass die
kanonischen Transformationen alle der unitären Gruppe U(N) entstammen. Systeme mit
der eben genannten Zeitumkehrsymmetrie hingegen haben, da es sich um reelle Matrizen
handelt, kanonische Transformationen aus der Gruppe O(N), also reelle orthogonale Matrizen. Aus welcher Gruppe die kanonischen Transformationen von Systemen mit einer T Symmetrie mit T 2 = − stammen, hängt von der Anwesenheit zusätzlicher geometrischer
Symmetrien ab. Sind neben der T -Symmetrie gar keine zusätzlichen vorhanden, so bilden
Matrizen aus der symplektischen Gruppe Sp(N) die kanonischen Transformationen. Ist
eine weitere geometrische Symmetrie vorhanden, so ist der Hamiltonoperator im Allgemeinen eine komplexe Matrix, so dass die kanonischen Transformationen aus der Gruppe
U(N) stammen. Sind darüber hinaus weitere geometrische Symmetrien vorhanden, so
kann der Hamiltonoperator unter Umständen auch hier durch eine reelle Matrix dargestellt werden; die kanonischen Transformationen sind dann entsprechend O(N)-Matrizen.
Allgemein lassen sich Hamiltonoperatoren demnach in drei Klassen einteilen: solche mit
unitären, orthogonalen und symplektischen kanonischen Transformationen.
Betrachtet man ein System mit periodischer Zeitabhängigkeit, so kann auch für den Floquetoperator, der im Allgemeinen durch eine unitäre Matrix dargestellt werden kann,
eine Einteilung in unterschiedliche Klassen, analog zu der eben für Hamiltonoperatoren
erläuterten, vorgenommen werden: Demnach sind kanonische Transformationen von Floquetoperatoren ohne T -Symmetrie U(N)-Matrizen. Bei Vorhandensein einer T -Symmetrie
mit T 2 = kann F durch eine komplexe symmetrische Matrix dargestellt werden, und die
kanonischen Transformationen sind O(N)-Matrizen. Ist eine T -Symmetrie mit T 2 = −
vorhanden, so sind die kanonischen Transformationen Sp(N)-Matrizen falls keine, U(N)Matrizen falls eine und, unter Umständen, O(N)-Matrizen, falls mehrere geometrische
Symmetrien vorliegen.
Wie wir in Abschnitt 3.3 gesehen haben, besitzt unser BEC-System eine Zeitumkehrsymmetrie mit T 2 = sowie eine geometrische Symmetrie bezüglich der Drehung Rx (π). Für
den Hamiltonoperator (3.1) kann, da er nur zwei Komponenten des Drehimpulses enthält,
eine reelle symmetrische Darstellung gefunden werden – in der Standardbasis sind Lx und
Lz bereits reell und symmetrisch – und das System gehört deshalb zur orthogonalen Klasse.
3.5
Vermiedene Kreuzungen
Hamiltonoperatoren bzw. Floquetoperatoren können einer der drei Klassen unitär, orthogonal und symplektisch zugeordnet werden. Diese Zugehörigkeit spiegelt sich auch im
Verhalten der Eigenwerte dieser Operatoren bei Variation eines Parameters wider, denn
3.5. Vermiedene Kreuzungen
41
sie bestimmt die Wahrscheinlichkeit von Niveaukreuzungen. Um dies zu sehen, betrachten
wir stellvertretend einen Floquetoperator der Form
F = e−icV τ e−iH0 τ ,
(3.54)
der von einem Parameter c abhängt. Stellt man F in einer Basis, die durch die Quantenzahlen der Erhaltungsgrößen gekennzeichnet ist, dar, so zerfällt die Matrix in unabhängige
Blöcke mit festen Quantenzahlen. Die Eigenwerte gruppieren sich, je Block, in sogenannten
Multipletts. Variiert man den Kontrollparameter c, so können Eigenwerte verschiedener
Multipletts deshalb entarten, die Niveaus sich also kreuzen. Bei Eigenwerten aus ein und
demselben Multiplett verhält sich dies anders. Betrachtet man ein Subsystem aus zwei
Zuständen eines Multipletts, so läßt sich der Floquetoperator Fred durch eine unitäre
(2 × 2)-Matrix der Form
)
*
w + iz
x + iy
(3.55)
Fred =
−x + iy w − iz
mit w 2 + x2 + y 2 + z 2 = 1 darstellen. Die beiden Eigenwerte E1,2 sind vom Betrag eins
und es gilt
5
(3.56)
E1,2 = w ± i x2 + y 2 + z 2 .
Um eine Entartung der beiden Eigenwerte zu erreichen, müssen demnach im Fall einer
unitären Matrix die drei Parameter unter der Wurzel kontrolliert verändert werden. Die
Variation des einen Parameters c des Floquetoperators reicht demnach im Allgemeinen
nicht aus, um eine Entartung herbeizuführen. Die Zahl der Parameter, die typischerweise
variiert werden müssen um eine Entartung zu erzwingen, nennt man auch Kodimension n
der Niveaukreuzung. Gehört F zur orthogonalen Klasse, so ist F symmetrisch, was x = 0
impliziert, und es ist n = 2. Der Fall, dass F zur symplektischen Klasse gehört, ist ein
wenig komplexer und liefert n = 5. Es hängt demnach in der Tat von den Symmetrien
des Floquetoperators bzw. Hamiltonoperators ab, wie wahrscheinlich kleine Abstände
zweier benachbarter Niveaus sind; je mehr Parameter dazu verändert werden müssen,
desto unwahrscheinlicher sind geringe Abstände, die Niveaus stoßen sich ab. Man definiert
die Verteilung der Niveauabstände P (S) gemäß [5]
P (S) = -δ(S − ∆E). ,
(3.57)
wobei ∆E der Abstand benachbarter Niveaus ist und - · . die Mittelung über alle ∆E
bezeichnet. Es gilt dann [5]
P (S) ∼ S n−1
für S −→ 0.
(3.58)
Kleine Abstände der Niveaus werden also, in für die jeweilige Symmetrieklasse charakteristische Weise, unterdrückt. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von linearer, quadratischer bzw. quartischer Niveauabstoßung (level repulsion) im orthogonalen, unitären
bzw. symplektischen Fall.
Dies alles gilt für typische Systeme, sprich Systeme mit einem chaotischen klassischen
Limes. Ist der klassische Grenzwert integrabel, so existieren genauso viele Erhaltungsgrößen wie Freiheitsgrade und der Hamilton- bzw. Floquetoperator wird in der Basis der
42
Das Vielteilchensystem
Eigenzustände der Erhaltungsgrößen diagonal. Jeder Eigenwert bildet nun selbst einen
der voneinander unabhängigen Blöcke mit festen Quantenzahlen; Entartungen sind somit
grundsätzlich nicht unterdrückt. Im Grenzfall gilt
P (S) −→ P (0) *= 0 für S −→ 0.
(3.59)
Bei Veränderung eines Parameters können in diesem Fall, wie zuvor bei Niveaus unterschiedlicher Multipletts, Niveaukreuzungen auftreten.
Unser System gehört aufgrund der T -Symmetrie zur orthogonalen Klasse und ist im klassischen Grenzfall für c = 0 integrabel, für große c dagegen chaotisch. Wir erwarten deshalb
eine zunehmend lineare Abstoßung der Niveaus für wachsendes c.
Wir haben gesehen, dass der Grad der Niveauabstoßung mit der Zugehörigkeit zu einer der drei Symmetrieklassen zusammenhängt. Das asymptotische Verhalten der Verteilung der Abstände benachbarter Niveaus konnten wir angeben, jedoch nicht die gesamte
Verteilungsfunktion P (S). Hierzu sind statistische Aussagen notwendig, die im nächsten
Abschnitt plausibel gemacht werden sollen.
3.6
Zufallsmatrizen
Da allein die Zugehörigkeit zu einer der drei Symmetrieklassen über die Verteilung P (S)
der Niveauabstände entscheidet, lassen sich Hamilton- bzw. Floquetoperatoren auch durch
hermitesche bzw. unitäre Zufallsmatrizen modellieren. Man ordnet diese Zufallsmatrizen
je nach Symmetrien drei Ensembles zu. Die Hamiltonoperatoren werden in das Gaußsche
orthogonale Ensemble (GOE), das Gaußsche unitäre Ensemble (GUE) bzw. das Gaußsche
symplektische Ensemble (GSE) eingeteilt [52]. Dyson führte für unitäre Matrizen, wie den
Floquetoperator, das zirkulare orthogonale Ensemble (COE), zirkulare unitäre Ensemble
(CUE) bzw. das zirkulare symplektische Ensemble (CSE) ein [53]. Für diese Ensembles
können Verteilungen der Wahrscheinlichkeitsdichte der Matrixelemente, Verteilungen der
Eigenwerte, Zustandsdichten, Verteilungen der Eigenvektoren sowie die Verteilungen P (S)
der Niveauabstände angegeben werden. Im Falle von (2 × 2)-Matrizen erhält man so die
Verteilungen P (S) für die drei Gaußschen Ensembles, die sogenannten Wigner-DysonVerteilungen zu [5, 54]
π −S 2 π/4
e
2
32
2
PGUE (S) = S 2 2 e−S 4/π
π
18
2
4 2
PGSE (S) = S 6 3 e−S 64/9π ,
3π
PGOE (S) = S
wobei die Normierung
! ∞
0
P (S)dS = 1 und
-S. =
!
∞
0
SP (S)dS = 1
(3.60)
(3.61)
3.6. Zufallsmatrizen
43
P(S)
1
0.5
0
0
1
2
S
3
4
Abbildung 3.1: Die Verteilungen der Abstände benachbarter Niveaus im Vergleich: Wigner-DysonVerteilungen: − PGOE (S), − PGUE (S), − PGSE (S); − Poissonverteilung
verwendet wurde. Diese Verteilungen können auch für höhere Dimensionen berechnet
werden, im Grenzfall N → ∞ stimmen die Verteilungen P (S) für die drei Gaußschen
sowie für die drei zirkularen Ensembles jedoch bis auf mittlere quadratische Abweichungen
der Größenordnung 10−5 - 10−4 mit (3.60) überein. Die drei Verteilungen (3.60) spiegeln
darüber hinaus auch den Grad der Niveauabstoßung wider, der für die Symmetrie des
jeweiligen Ensembles typisch ist, und haben den entsprechenden Grenzwert (3.58). In
Abbildung 3.1 sind die drei Wigner-Dyson-Verteilungen gezeigt; hier ist gut zu erkennen,
wie stark die einzelnen Verteilungen eine Kreuzung der Niveaus unterdrücken.
Systeme mit klassisch integrablem Grenzwert können typischerweise durch diagonale Zufallsmatrizen modelliert werden, deren Matrixelemente unkorreliert sind. Die Verteilung
der Abstände benachbarter Niveaus berechnet sich in diesem Fall zu
P (S) = e−S
(3.62)
und ist somit eine Poissonverteilung (s. Abb. 3.1). Es gilt P (0) = 1, so dass in diesem
Fall, im Gegensatz zu den zuvor betrachteten nicht integrablen Systemen, kleine Abstände
der Niveaus und damit auch Kreuzungen bevorzugt werden. Ein Sonderfall sind autonome System mit nur einem Freiheitsgrad. Sie sind zwar stets integrabel, gehorchen jedoch
keiner universalen Statistik der Niveauabstände. Eine weitere Ausnahme bilden Systeme mit hoch organisierten Spektren, wie z.B. harmonische Oszillatoren mit rationalen
Frequenzverhältnissen.
Betrachten wir nun unser System. Die Dynamik des mean-field -Systems läßt sich über den
Parameter c von regulär bis stark chaotisch einstellen. Die Quasienergieniveaus durchlaufen deshalb in Abhängigkeit von c einen Übergang von sich nicht abstoßenden Niveaus mit
einer exponentiellen Abstandsverteilung bis hin zu solchen mit vermiedenen Kreuzungen
44
Das Vielteilchensystem
0.8
1
0.8
0.6
P(S)
P(S)
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
1
2
3
S
4
5
6
0
1
2
3
S
Abbildung 3.2: Verteilung der Abstände benachbarter Quasienergien für ε = 0, v = 1, τ = 1 und
N = 100; links: Mittel über 50 Werte für c(N + 1) ∈ [0.5, 1], − Poissonverteilung; rechts: Mittel über 50
Werte für c(N + 1) ∈ [10.5, 11], − PGOE (S)
und Wigner-Dyson-verteilten Abständen. Aufgrund der Zeitumkehrsymmetrie mit T 2 =
gehört der Floquetoperator F zur orthogonalen Klasse und wir erwarten eine lineare Abstoßung der Niveaus. In Abbildung 3.2 ist die Verteilung der Abstände benachbarter Quasienergien für das gekickte BEC mit den Parametern ε = 0, v = 1, τ = 1 und N = 100
dargestellt. Links befindet sich das System im regulären Regime. Zu sehen ist das Histogramm der Abstände Phist (S), wobei über 50 Spektren mit Werten von c(N + 1) ∈ [0.5, 1]
in äquidistanten Abständen
gemittelt wurde. Für
B
B den Vergleich mit den Theoriekurven
wurde die Normierung Phist (S)dS = 1 sowie SPhist (S)dS = 1 analog zu (3.61) verwendet. Trotz der geringen Teilchenzahl decken sich Histogramm und Poissonverteilung.
Als Maß für die Abweichung verwenden wir die quadratische Abweichung
!
2
(3.63)
∆P = (P (S) − Phist (S))2 dS.
In diesem Fall beträgt ∆P 2 = 0.018. Rechts wurde der Parameterbereich c(N + 1) ∈
[10.5, 11] gewählt; das klassische System befindet sich dann im chaotischen Regime. Auch
hier wurde auf gleiche Art über 50 Spektren gemittelt. Es ist gut zu erkennen, dass
auch in diesem Fall das Histogramm und die theoretische Vorhersage der Wigner-DysonVerteilung gut übereinstimmen (∆P 2 = 0.047). Für größere Teilchenzahlen wird die Statistik besser. Abbildung 3.3 zeigt Histogramme für dieselben Parameter, allerdings N = 500
Teilchen. Die Abweichungen von den Theoriekurven sind hier geringer, die quadratische
Abweichung beträgt im regulären Regime nur noch ∆P 2 = 0.014, im chaotischen Regime
∆P 2 = 0.03.
Im Bereich mit gemischt chaotisch-regulärem klassischen Phasenraum ist die Abstandsstatistik eine andere. Wir erwarten in diesem Fall eine Überlagerung von Poisson- und
Wigner-Dyson-Verteilung. Eine solche Überlagerung wird für das GOE durch die BerryRobnik-Verteilung [55]
"√
# $
%
π
π
2 2
2 −aS
erfc
(3.64)
P (S, a) = a e
bS + 2ab + b3 S e−aS−πb S /4
2
2
3.6. Zufallsmatrizen
45
1
0.8
0.6
0.6
P(S)
P(S)
0.8
0.4
0.2
0.2
0
0.4
0
2
4
S
6
0
8
0
1
2
S
3
4
Abbildung 3.3: Verteilung der Abstände benachbarter Quasienergien für ε = 0, v = 1, τ = 1 und
N = 500; links: Mittel über 50 Werte für c(N + 1) ∈ [0.5, 1], − Poissonverteilung; rechts: Mittel über 50
Werte für c(N + 1) ∈ [10.5, 11], − PGOE (S)
1
0.8
0.6
0.6
P(S)
P(S)
0.8
0.4
0.2
0.2
0
0.4
0
2
4
S
6
0
0
1
2
3
S
Abbildung 3.4: Verteilung der Abstände benachbarter Quasienergien für ε = 0, v = 1, τ = 1 und
N = 100; links: Mittel über 50 Werte für c(N + 1) ∈ [1.5, 2], − P (S, a) mit a = 0.19; rechts: Mittel über
50 Werte für c(N + 1) ∈ [3.5, 4], − P (S, a) mit a = 0.65
beschrieben. Der Parameter a ist hierbei der Anteil der regulären Phasenraumfläche am
gesamten Phasenraum, b entsprechend der Anteil der chaotischen Phasenraumfläche und
es gilt a + b = 1. In Abbildung 3.4 sind Verteilungen der Abstände benachbarter Niveaus
für den Parameterbereich c(N + 1) ∈ [1.5, 2] (links) bzw. c(N + 1) ∈ [3.5, 4] (rechts) gezeigt. Wie zuvor wurde auch hier über 50 Spektren gemittelt. In beiden Fällen ist der klassische Phasenraum gemischt regulär-chaotisch. Zum Vergleich wurde eine Berry-RobnikVerteilung (3.64) angepasst. Die Abbildungen zeigen deutlich, dass diese Überlagerung von
Poisson- und Wigner-Dyson-Verteilung gut geeignet ist, um die Abstandsverteilung der
Niveaus für Systeme mit gemischtem Phasenraum zu beschreiben. Anhand der quantenmechanischen Spektren kann demnach auch eine Aussage über die Anteile von regulärer
bzw. chaotischer Phasenraumfläche getroffen werden. Für den Fall c(N + 1) ∈ [1.5, 2]
ergibt der Parameter a einen regulären Anteil des Phasenraumes von (65 ± 3)%; für
46
Das Vielteilchensystem
c(N + 1) ∈ [3.5, 4] sind nur noch ca. (19 ± 2)% des Phasenraumes regulär. In Abb. 2.1 c)
bzw. d) ist der klassische Phasenraum für c(N + 1) = 1.8 bzw. c(N + 1) = 3.5 zu sehen.
Ermittelt man für diese beiden Fälle den regulären Anteil der Fläche des Phasenraumes
durch Propagation, so erhält man von den Ergebnissen der Abstandsstatistik leicht abweichende Werte von ca. 80 % bzw. 15 %. Die Anteile regulärer bzw. chaotischer Dynamik am
Phasenraum können demnach durch Anpassung der Berry-Robnik-Verteilung abgeschätzt
werden.
Zusammenfassung
Wir haben in diesem Kapitel gesehen, dass es einige Parallelen zwischen dem klassischen System und dem entsprechenden Quantensystem gibt. Analog zu der rekursiven
Abbildung für den Blochvektor in der mean-field -Näherung konnte hier eine rekursive
Abbildung für den quantenmechanischen Drehimpuls konstruiert werden. Die Symmetrien des klassischen Systems wie Zeitumkehr- bzw. Rotationssymmetrie finden hierbei ihre
Entsprechungen. Insbesondere das Vorhandensein von Zeitumkehrsymmetrien spielt im
quantenmechanischen System eine wichtige Rolle, da dies über die Gruppe der kanonischen Transformationen des Systems entscheidet. Aus welcher Gruppe von Abbildungen
die kanonischen Transformationen für ein System kommen, ist wiederum anhand des
(Quasi)-Energiespektrums zu erkennen. Je nach Zugehörigkeit zu einem der Gaußschen
bzw. zirkularen Ensembles weisen die Niveaus bei Variation eines Parameters nämlich
einen unterschiedlichen Grad an Abstoßung auf. Ob eine Zeitumkehrsymetrie vorliegt
wird damit experimentell beobachtbar. Durch Analyse der Spektren kann schließlich ebenfalls festgestellt werden, ob das entsprechende klassische System reguläre oder chaotische
Dynamik aufweist, da die Verteilung der Abstände benachbarter Niveaus hierfür charakteristisch ist.
Kapitel 4
Dynamik im Vergleich
Es gibt verschiedene Varianten, die Dynamik des mean-field -Systems mit der des vollen
Vielteilchensystems zu vergleichen. Neben der Möglichkeit, den Blochvektor s direkt dem
auf eins normierten Erwartungswert des Drehimpulsoperators gegenüberzustellen, können
auch quantenmechanische Phasenraumdichten, wie z.B. die Husimi-Verteilung, im klassischen Phasenraum des mean-field -Systems betrachtet werden. Wir wollen uns im Folgenden insbesondere mit den klassischen Fixpunkten und den Inseln regulärer Dynamik
beschäftigen und sehen, wie diese sich im N-Teilchen-System widerspiegeln.
4.1
Breakdown & Revival
Betrachten wir zu Beginn als Anfangszustand |ψ(0). den kohärenten Zustand |ϑ, φ. =
|0, 0., der mit dem Fock-Zustand |N. identisch ist. Alle Teilchen befinden3√
sich in der4
N + 1, 0
ersten Potentialmulde und der entsprechende mean-field -Zustand ist Ψ =
bzw. der Blochvektor s/s = (0, 0, 1). Lassen wir für den Augenblick nur kleine Nichtlinearitäten zu, so dass das klassische System einen fast rein regulären Phasenraum aufweist (vgl. Abschnitt 2.3.2 und folgende). Die Bewegung des Blochvektors entspricht dann
im Wesentlichen einer Präzession um die σx -Achse mit nur kleinen Störungen durch die
nichtlinearen Kicks. Die rekursive Abbildung (3.23) liefert uns zu jedem Zeitpunkt t = nτ
einen Wert für den auf eins normierten Erwartungswert x = (2/N) -L. des Drehimpulses,
dessen Lage im Bezug zur klassischen Phasenraumbahn nun untersucht werden kann.
In Abbildung 4.1 betrachten wir das System für die Parameter c(N + 1) = 0.5, N = 50.
Die Parameter ε = 0, v = 1 und τ = 1 behalten wir für den Rest des Kapitels stets bei.
Während der ersten Perioden folgt das Vielteilchensystem nahezu der klassischen Bahn.
Im Zeitverlauf nehmen die Abweichungen jedoch zu und |x| wird zusehends kleiner, so dass
der normierte Erwartungswert x ins Innere der Blochkugel abtaucht und sich schließlich
spiralförmig dem Urprung nähert. Anhand der Abbildung 4.2 ist zu erkennen, dass das
volle N-Teilchen-System die Oszillationen des mean-field -Systems über einen längeren
Zeitraum reproduziert. Die Frequenz stimmt mit der der mean-field -Näherung überein
und ist von der Teilchenzahl N unabhängig; die Amplitude nimmt jedoch ab. Dasselbe
konnte auch für das nicht gekickte System (1.16) in [14] gezeigt werden.
48
Dynamik im Vergleich
a)
b)
1
sz/s
sz/s
1
0
!1
1
1
!1
0
0
sy/s
!1 !1
s /s
x
c)
1
1
0
0
sy/s
!1 !1
s /s
x
d)
1
sz/s
1
sz/s
0
0
0
1
!1
1
1
!1
1
0
0
sy/s
!1 !1
sx/s
0
0
sy/s
!1 !1
sx/s
Abbildung 4.1: Vergleich der Dynamik von mean-field -System (−) und Vielteilchensystem (•) für den
Startvektor s/s = x = (0, 0, 1) und die Parameter ε = 0, v = 1, τ = 1, N = 50 sowie c(N + 1) = 0.5;
a) mean-field -Phasenraum; b) normierter Erwartungswert x über 10 Kickperioden, c) über 30 Kickperioden, d) über 100 Kickperioden.
Nach eine gewissen Zeit kehrt sich der Prozess allerdings um, und |x| nähert sich wieder
dem Wert eins an. Um dieses Verhalten zu untersuchen, reicht
+ es aus,+die, z-Komponente
zu betrachten, die dem normierten Besetzungsunterschied a+
1 a1 − a2 a2 /N der beiden
Mulden entspricht und damit eine direkte Observable darstellt. In Abbildung 4.3 ist der
zeitliche Verlauf der z-Komponente für denselben Parametersatz wie in Abb. 4.1 dargestellt. Es ist gut zu erkennen, wie die z-Komponente fast verschwindet und nach einer
gewissen Zeit (t/τ ≈ 650) wieder nahezu eins wird. Dieses Phänomen ist auch als breakdown and revival bekannt. Der Grund für dieses Verhalten ist das diskrete Spektrum des
N-Teilchen-Systems [11, 14, 56, 57]. Der Anfangszustand ψ(0) kann gemäß
(
ψ(0) =
Cκ |κ.
(4.1)
κ
4.1. Breakdown & Revival
49
0.5
0.5
sz/s
1
sz/s
1
0
!0.5
!1
0
!0.5
0
20
40
60
80
!1
100
0
t/#
20
40
60
80
100
t/#
Abbildung 4.2: Vergleich des Zeitverlaufs der z-Komponente für die Parameter ε = 0, v = 1, τ = 1
sowie c(N + 1) = 0.5; Startvektor: s/s = x = (0, 0, 1); • mean-field, • N-Teilchen (die Verbindungslinien
dienen nur der besseren Übersicht); links: N = 33 Teilchen, rechts: N = 100 Teilchen.
1
z
s /s
0.5
0
!0.5
!1
0
200
400
600
800
1000
t/#
Abbildung 4.3: Zeitlicher Verlauf der z-Komponente von x über 1000 Kickperioden für dieselben Parameter wie in Abb. 4.1
1
z
s /s
0.5
0
!0.5
!1
0
400
800
1200
1600
2000
t/#
Abbildung 4.4: Zeitlicher Verlauf der z-Komponente wie in Abb. 4.3 für N = 100 Teilchen und über
1000 Kickperioden.
50
Dynamik im Vergleich
in die Floquetzustände entwickelt werden. Für die Zeitentwicklung der Floquetzustände
wiederum gilt
ψκ (t) = e−i+κt φκ (t).
(4.2)
Die Phasen der einzelnen Floquetzustände verändern sich demnach mit unterschiedlicher
Frequenz, welche durch die Quasienergien gegeben ist. Wann eine Rephasierung und damit
eine Rekonstruktion von ψ(0), also ein revival aufritt, hängt somit von den Abständen
der Quasienergien ab. Der durchschnittliche Quasienergieabstand beträgt
-∆ε. =
2π
.
N +1
(4.3)
Die Zeit, in der sich das Szenario quasiperiodisch wiederholt, die sog. revival -Zeit trev , ist
deshalb proportional zu N + 1:
trev ∼ N + 1.
(4.4)
Darüber hinaus hängt trev vom Wechselwirkungsparameter c sowie den populierten Floquetzuständen ab. Vergleicht man Abbildung 4.3 mit Abbildung 4.4, in der die z-Komponente für N = 100 Teilchen dargestellt ist, so ist dies in Übereinstimmung mit der
Abhängigkeit (4.4). Für N = 50 Teilchen entnimmt man den Abbildungen eine revival Zeit von trev ≈ 650τ , für N = 100 Teilchen trev ≈ 1300τ , was in Übereinstimmung mit
(4.4) einem Faktor von ca. 2 entspricht. Die numerische Propagation zeigt außerdem, dass
die Breiten ∆t der Einhüllenden in den Abbildungen 4.3 und 4.4 gemäß der Abhängigkeit
√
(4.5)
∆t ∼ N + 1
√
skalieren. Die Breite für N = 100 Teilchen ist ca. um den Faktor 2 größer als die für
N = 50 Teilchen.
Das Phänomen von breakdown and revival ist für das nicht gekickte System 1.16 von
Holthaus und Stenholm in [14] untersucht worden. Der Zeitliche Verlauf der z-Komponente des normierten Drehimpulses weist für dieses System eine große Ähnlichkeit mit
der Darstellung 4.3 auf.
4.2
Reguläre Inseln und Tunneln
Bislang haben wir nur kleine Nichtlinearitäten und damit einen vollständig regulären
klassischen Phasenraum betrachtet. Für größere Werte von c ist der Phasenraum jedoch
gemischt regulär bzw. chaotisch. Systeme mit einem solchen gemischten Phasenraum sind
bereits ausführlich untersucht worden. Dabei stellt sich heraus, dass beim entsprechenden
Quantensystem aufgrund des Tunneleffektes Zustände, die zu klassisch dynamisch strikt
getrennten Teilen des Phasenraumes gehören, periodisch ineinander übergehen. Es handelt sich hierbei nicht um ein Tunneln durch eine Potentialbarriere; die beiden Teile des
Phasenraumes können z.B. auch durch einen chaotischen Bereich getrennt sein, so dass
klassisch keinen Austausch möglich ist. Beim periodisch getriebenen Rotor z.B. konnte
Tunneln zwischen zwei regulären Inseln im chaotischen See gefunden werden [58]. Diesen
4.2. Reguläre Inseln und Tunneln
51
Effekt bezeichnet man als dynamisches Tunneln. Er wurde auch für ein Teilchen im periodisch getriebenen Doppelmuldenpotential [59–61] gefunden. Ein periodisch getriebenes
Pendel [62, 63] zeigt ebenfalls dynamisches Tunneln. Dieses System läßt sich experimentell mit Bose-Einstein Kondensaten realisieren, so dass dieses Tunneln direkt beobachtet
werden konnte [64–68]. In [69] ist von Haake et al. auch Tunneln beim gekickten Kreisel
theoretisch untersucht worden. Dort wurden jedoch nicht zwei klassische Fixpunkte, sondern ein 2-Zyklus, d.h. zwei Fixpunkte von F 2 , betrachtet, zwischen denen das klassische
System hin- und herspringt.
Wir wollen nun im Folgenden das dynamische Tunneln von einer regulären Insel zur anderen beim gekickten Kreisel näher untersuchen. Hierfür eignen sich besonders die beiden
klassischen Fixpunkte s± = (ϑ± , ϕ± ), die nach der Bifurkation des Fixpunktes (π/2, π)
für Parameter c(N + 1) > 1.1 entstehen (siehe Kapitel 2). Dies sind die beiden bereits in
Kapitel 2 angesprochenen self-trapping-Zustände. Sie bilden ein symmetrisches Paar, da
sie durch die Drehung Rx (π) auseinander hervorgehen und sind die Zentren zweier Inseln
regulärer Dynamik, die mit wachsendem c(N +1) vom Äquator (z = 0) aus in Richtung der
Pole (z = ±1) wandern. Wir betrachten nun die Zeitentwicklung von kohärenten Zuständen, die um einen der Fixpunkte lokalisieren. Die klassischen Fixpunkte s± können mit
Hilfe der Fixpunktgleichungen (2.69) numerisch berechnet werden. Die beiden kohärenten
Zustände, die diesen Fixpunkten entsprechen, bezeichnen wir mit |ϑ± , ϕ± .. Als Startvektor für die Propagation dient der Zustand auf der Südhalbkugel |ϑ− , ϕ− .. Betrachten
wir exemplarisch den Fall c(N + 1) = 2; der entsprechende Phasenraum des mean-field Systems ist in Abbildung 4.5 a) dargestellt; die beiden Fixpunkte s± sind durch rote
Punkte markiert. Wir wollen nun die Dynamik des Vielteilchensystems untersuchen. Die
Propagation starten wir mit dem kohärenten Zustand |ψ(0). = |ϑ− , ϕ− ., welcher zu dem
Fixpunkt s− der Südhalbkugel gehört. Zum Vergleich mit dem mean-field -System plotten
wir wie zuvor den normierten Erwartungswert x. In Abbildung 4.5 b) ist die Propagation
für eine Teilchenzahl von N = 10 über 40 Kickperioden dargestellt. Man erkennt, dass sich
dieses System auf einer spiralförmigen Bahn“ um die kürzeste Verbindung der beiden
”
klassischen Fixpunkte durch das Innere der Einheitskugel von s− nach s+ bewegt. Klassisch wäre dieses Verhalten nicht möglich, da es sich um zwei reguläre Inseln mit stabilen
Fixpunkten handelt. Aufgrund der Drehimpulserhaltung ist die Dynamik des mean-field Systems darüber hinaus auf die Einheitssphäre beschränkt. Wir haben es hier demnach
mit einem Tunnelphänomen zu tun. In den Abbildung 4.5 c) ist dieselbe Situation für
N = 20 Teilchen dargestellt. Hier tritt das Tunneln auf der beobachteten Zeitskala von
1000 Kickperioden ebenfalls ein. Die spiralförmige Bahn liegt nun jedoch enger an der
Verbindungslinie der Fixpunkte. Die Unschärfe des normierten Erwartungswertes x des
Drehimpulses beträgt gemäß (3.13) gerade 2/N und nimmt demnach mit steigendem N
ab. Der kohärente Anfangszustand |ϑ− , ϕ− . ist stärker lokalisiert, und die Dynamik wird
auf einen kleineren Bereich eingeschränkt. In d) ist die Zeitentwicklung für N = 100 Teilchen zu sehen. Auch hier wurde erneut über 1000 Perioden propagiert, das Tunneln setzt
während dieser Zeit jedoch nicht ein, und das System bleibt in einer kleinen Umgebung
des Anfangszustandes lokalisiert. Dieses Verhalten entspricht dem self-trapping-Effekt des
klassischen Systems (vgl. Abschnitt 2.3.2) und wird noch näher betrachtet werden.
52
Dynamik im Vergleich
a)
b)
1
sz/s
sz/s
1
0
0
1
!1
1
1
!1
1
0
0
sy/s
!1 !1
sx/s
!1 !1
sx/s
d)
c)
1
sz/s
1
sz/s
0
0
sy/s
0
0
1
!1
1
0
0
sy/s
!1 !1
sx/s
1
!1
1
0
0
sy/s
!1 !1
sx/s
Abbildung 4.5: a) mean-field -Phasenraum für die Parameter ε = 0, v = 1, τ = 1 und c(N + 1) = 2,
sowie die beiden Fixpunkte s± ; b) Propagation von |ϑ− , ϕ− . über 40 Perioden für N = 10; c) wie zuvor,
jedoch 1000 Perioden und N = 20; d) wie in c), jedoch N = 100.
Den Tunnelprozess wollen wir im Folgenden näher untersuchen. Hierzu betrachten wir
die Projektion des kohärenten Zustandes |ϑ− , ϕ− . auf die Floquetzustände. Diese Größe
gibt Aufschluss darüber, wie groß die Anteile der einzelnen Floquetzustände an dem
kohärenten Anfangszustand sind. In allen Fällen zeigt sich ein ähnliches Bild: im Wesentlichen tragen nur zwei Floquetzustände |κ± . bei. Einer von ihnen ist gerade, der
andere ungerade bezüglich der Drehung Rx , d.h. es gilt
Rx |κ± . = ± |κ± .
bzw. Rx |κ± . = ±i |κ± .
(4.6)
wenn N/2 ganz- bzw. halbzahlig ist. In Abbildung 4.6 ist
den Fall c(N + 1) = 2
; für ,;
;+ dies
2
und N = 20 dargestellt. Links ist das Betragsquadrat ; κ;ϑ− , ϕ− ; der Projektion des
kohärenten Anfangszustandes auf die Floquetzustände zu sehen. Die beiden Zustände κ =
15 und κ = 16 reichen demnach aus, um den kohärenten Anfangszustand bis auf über 94 %
4.2. Reguläre Inseln und Tunneln
53
0.5
0.1
|<n|$>|2
|%$|&!,'!(|2
0.4
0.3
0.2
0.05
0.1
0
5
10
$
15
20
0
0
5
10
n
15
20
;+ ;
,;2
Abbildung 4.6: links: Betragsquadrate der Projektionen ; κ;ϑ− , ϕ− ; des kohärenten Anfangszustan;+ ; ,;2
des auf die Floquetzustände für c = 2 und N = 20; rechts: Betragsquadrate der Projektionen ; n;κ ;
der Floquetzustände
" κ = 15, • κ = 16 für dieselben Parameter und zum
;3+ ; auf die, Besetzungszahlbasis,
+ ;
,4;2
Vergleich • 1/2 ; n;ϑ+ , ϕ+ + n;ϑ− , ϕ− ; , die Verbindungslinien dienen nur der besseren Übersicht.
zu rekonstruieren (die Nummerierung der Floquetzustände |κ. ist hierbei willkürlich und
;+ ; ,;2
durch die numerischen Verfahren festgelegt). Rechts sind die Betragsquadrate ; n;κ ; der
Projektionen der beiden Floqueteigenzustände auf die Besetzungszahlbasis dargestellt.
Man erkennt zwei deutliche Maxima bei n = 2 und n = 18. Die Zustände |n. sind, wie
wir gesehen haben, Eigenzusände von Lz . Der Zustand |0. entspricht dem Südpol, der
Zustand |N. dem Nordpol der Einheitssphäre. Welche Zustände |n. zu einem Zustand
beitragen, ist somit ein Maß dafür, wo dieser in z-Richtung lokalisiert ist. Die beiden
Maxima entsprechen demnach den z-Koordinaten der beiden Fixpunkte.
Führt man die Projektionen mit dem Anfangszustand |ϑ+ , ϕ+ . durch, so ergibt sich dasselbe Bild. Auch hier tragen dieselben Floquetzustände bei. Der Zustand |κ+ = 15. ist
gerade, |κ− = 16. ungerade und beide sind in einer Umgebung um die Fixpunkte s±
herum lokalisiert. Die Linearkombinationen
1
|ψ± . = √ (|κ+ . ∓ |κ− .)
(4.7)
2
sind dann eine Näherung für die beiden kohärenten Zustände |ϑ± , ϕ± . d.h. es gilt
|ϑ± , ϕ± . ≈ |ψ± . .
(4.8)
Führt man die Propagation mit einem der Vektoren |ψ± . als Startvektor durch, so ist der
Zustand |ψ(t). zu jedem Zeitpunkt t eine Linearkombination der beiden Floquetzutände
|κ± . und der Vektor x liegt damit stets auf der direkten Verbindungslinie der beiden
Inselzustände. Das Auftreten der spiralförmigen Bahn, die auf einem Schlauch“ um die
”
Verbindungslinie der beiden klassischen Fixpunkte liegt, ist somit auf die Beteiligung der
übrigen Floquetzustände an diesem Prozess zurückzuführen.
Umgekehrt lassen sich die beiden Floquetzustände |κ± . durch die entsprechende Linearkombination der kohärenten Zustände annähern.
In Abbildung 4.6 ist darum zum Ver√
gleich ebenfalls das Betragsquadrat von 1/ 2 (|ϑ+ , ϕ+ . + |ϑ− , ϕ− .) dargestellt.
54
Dynamik im Vergleich
1
|%)(t)|&±,phi±(|2
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
500
t/#
1000
Abbildung 4.7: Betragsquadrate der Projektionen von ψ(t) auf die beiden kohärenten Zustände |ϑ± , ϕ± .
;+
;
;+
;
,;2
,;2
im zeitlichen Verlauf über 1000 Perioden; − ; ψ(t);ϑ− , ϕ− ; , − ; ψ(t);ϑ+ , ϕ+ ; und − orthogonale
Anteile
;+ ;
,;2
Betrachten wir nun den zeitlichen Verlauf näher. Die Projektionen ; κ;ψ(t) ; bleiben zeitlich konstant und liefern stets dasselbe Bild wie in Abb. 4.6. Der Zustand |ψ(t). kann deshalb zu jedem Zeitpunkt, nicht nur für t = 0, im Wesentlichen durch die ;beiden
; Floquet+
,;2
zustände beschrieben werden. In Abbildung 4.7 sind die Betragsquadrate ; ψ(t);ϑ± , ϕ± ;
der Projektionen von |ψ(t). auf die beiden kohärenten Inselzustände sowie die Projektion
auf den hierzu orthogonalen Unterraum über 1000 Perioden gezeigt. Man erkennt, dass
sich das System nach dieser Zeit praktisch vollständig im Zustand |ϑ+ , ϕ+ . befindet. Wir
beobachten demnach in der Tat ein dynamisches Tunneln zum Zwillingsfixpunkt s+ .
Zusammenfassend läßt sich sagen, dass wir es näherungsweise mit einem System zweier
Zustände |κ± . zu tun haben, und das Tunneln somit analog zum Zweiniveausystem beschrieben werden kann [41]. Wegen (4.8) können wir für unseren Anfagszustand |ψ(0). =
|ψ− . schreiben. Für die Zeitentwicklung von ψ gilt dann
3
4
1
ψ(t) = √ e−i++ t φ+ (t) − e−i(+− −++ )t φ− (t) ,
2
(4.9)
mit t = nτ . Hieran erkennt man, dass der Tunnelprozess zeitlich periodisch ist. Die
Tunnelperiode Ttunnel kann man sofort angeben:
Ttunnel =
2π
2π
.
=
6− − 6+
∆6
(4.10)
Die ganzen Überlegungen sind völlig analog zum Tunneln durch eine Potentialbarriere, wobei die Quasienergien die Funktion der Energien zeitunabhängiger Systeme übernehmen.
Das Tunneln zwischen den beiden Inselzuständen entspricht einem Tunneln des BoseEinstein-Kondensats von einer Potentialmulde zur anderen. Befindet sich das System im
oberen Inselzustand |ϑ+ , ϕ+ . so ist der Erwarungswert von Lz positiv und das Kondensat
befindet sich überwiegend (im Falle c(N +1) = 2 zu ca. 80 %) in der ersten Potentialmulde.
Für den Zustand |ϑ− , ϕ− . verhält sich dies genau entgegengesetzt.
4.2. Reguläre Inseln und Tunneln
55
10
10
T
tunnel
N = 30
5
10
N = 33
0
10
0
50
100
150
N
Abbildung 4.8: Gemäß (4.10) berechnete Werte der Tunnelzeit Ttunnel in Abhängigkeit von N für festes
c(N + 1) = 2; • Werte für Ttunnel aus der numerischen Propagation
Die mit dem einfachen Modell gemäß (4.10) berechneten Tunnelperioden stimmen hervorragend mit den Ergebnissen der numerischen Propagation des kohärenten Anfangszustandes überein. In Abbildung 4.8 ist die Zeit Ttunnel für festes c(N + 1) = 2 über N, die gemäß
(4.10) berechnet wurde, aufgetragen (man beachte die logarithmische Skalierung der T Achse). In rot dargestellt sind die Werte für die Tunnelzeit, die durch die Propagation
des Anfangszustandes bestimmt worden sind. Zunächst steigt die Tunnelzeit exponentiell
mit der Teilchenzahl an, denn in diesem Bereich gilt für den Abstand der Quasienergien
des Tunneldubletts ∆6 ∼ e−N . An einigen Stellen jedoch treten größere Sprünge auf. Die
Tunnelzeit sinkt drastisch ab, teilweise um mehrere Größenordnungen, und steigt dann
sofort wieder an. Diese Resonanzen“ sind für verschiedene Systeme, z.B. den getriebenen
”
anharmonischen Oszillator, bereits dokumentiert worden [59, 62, 70]. Erklärt wird dieses
Phänomen im Allgemeinen durch eine vermiedene Kreuzung der beiden Tunnelniveaus 6±
mit einem dritten Zustand bei Variation des Parameters N. Die Abstoßung der Quasienergieniveaus bewirkt dann eine Vergrößerung des Abstandes ∆6 der Tunnelniveaus und
damit nach (4.10) ein Absinken der Tunnelzeit. Die verhält sich bei diesem konkreten
System ebenso. In der Tat ist zu beobachten, dass auch hier ein dritter Zustand |κ0 . an
dem Prozess beteiligt ist. Entscheidend hierbei ist jedoch
Tatsache, dass dieser
;+ ; nicht,;die
2
;
;
;
dritte Zustand geringfügig stärker populiert wird ( κ0 ϑ− , ϕ−
≈ 0.1) als die übrigen
Zustände im nicht resonanten Fall. Die Tunnelzeit selbst läßt sich nämlich auch in diesen Fällen aus dem Niveauabstand ∆6 der beiden Tunnelzustände berechnen, wie der
Vergleich mit der Propagation zeigt, so dass es sich effektiv um einen Zweiniveauprozess
handeln muss. Ausschlaggebend ist demnach anscheinend tatsächlich die Abstoßung der
Niveaus, denn die Quasienergie des dritten Zustands 60 liegt dicht bei dem Tunneldublett 6± . Mit zunehmender Teilchenzahl nimmt auch die Anzahl der Quasienergieniveaus
zu, so dass vermiedene Kreuzungen immer häufiger werden. Dies erklärt auch, weshalb
die Resonanzen erst bei größeren Teilchenzahlen einsetzen. Betrachten wir zur näheren
Illustration die Resonanz bei N = 30, 33. Dort ändert sich die Tunnelzeit über zwei
Größenordnungen. In Abbildung 4.9 sind die Anteile der Floqueteigenzustände an dem
kohärenten Inselzustand |ϑ− , ϕ− . dargestellt. Es ist deutlich zu erkennen, dass im Falle
Dynamik im Vergleich
0.5
0.5
0.4
0.4
|%$|&!,'!(|2
|%$|&!,'!(|2
56
0.3
0.2
0.1
0.3
0.2
0.1
0
10
20
0
30
$
10
20
30
$
;+ ;
,;2
Abbildung 4.9: Betragsquadrate ; κ;ϑ− , ϕ− ; der Projektionen des kohärenten Anfangszustandes auf
die Floquetzustände für c(N + 1) = 2 und N = 30 (links) bzw. N = 33 (rechts).
1
z
s /s
0.5
0
!0.5
!1
0
2000
4000
6000
8000
10000
t/#
Abbildung 4.10: Zeitlicher Verlauf der z-Komponente von x über 10000 Kickperioden für c(N + 1) = 2;
− N = 30, − N = 33
der stark verminderten Tunnelzeit bei N = 33 ein dritter Zustand stärker populiert wird.
Betrachten wir nun die Quasienergien. Für N = 30 beträgt ∆6 = 1.85 · 10−5 und das
nächste Niveau liegt ∆60 = 0.19 vom Tunneldublett entfernt. Für N = 33 zeigt sich ein
völlig anderes Bild. Hier beträgt ∆6 = 1.60 · 10−3 und der Abstand zum nächstliegenden
Niveau ist hier um eine Größenordnung geringer und beträgt lediglich ∆60 = 1.14 · 10−2.
Bei den anderen Resonanzen ergibt sich ein ähnliches Bild. Zusammenfassend läßt sich damit bestätigen, dass vermiedene Kreuzungen des Tunneldubletts mit einem dritten Niveau
zu Resonanzstrukturen der Tunnelzeit bei Variation von N führen.
Betrachten wir nun den zeitlichen Verlauf der z-Komponente für die beiden Fälle N =
30, 33. Dieser ist in Abbildung 4.10 aufgetragen. Der Unterschied in der Tunnelzeit von
zwei Größenordnungen ist hier deutlich zu erkennen. Während das System mit N = 33
Teilchen auf dieser Zeitskala mehrfach hin- und hertunnelt ist bei dem System mit N = 30
Teilchen noch keine Veränderung der z-Komponente zu sehen. In diesem Zustand kommt
der self-trapping-Charakter des klassischen Systems zum Vorschein. Im mean-field -System
4.2. Reguläre Inseln und Tunneln
57
8
10
6
Ttunnel
10
4
10
2
10
0
10
1.1
1.5
1.9
2.3
2.7
3.1
c(N+1)
Abbildung 4.11: Gemäß (4.10) berechnete Werte der Tunnelzeit Ttunnel in Abhängigkeit von c bei fester
Teilchenzahl N = 30
wäre das Kondensat tatsächlich in einer der beiden Mulden gefangen, da es sich hier um
einen wirklichen Fixpunkt der Dynamik handelt. Wenn man die Parameter entsprechend
wählt, kann demnach Ähnliches auch im Vielteilchensystem beobachtet werden. Auf einer
relativ langen Zeitskala ist dann kein Tunneln zu beobachten, und das System ist praktisch
in einer der beiden Potentialmulden gefangen.
Betrachtet man die Abbildung 4.10, so fallen die zusätzlichen Modulationen im zeitlichen
Verlauf der z-Komponente auf. Auch diese lassen sich mit Hilfe des dritten Zustandes
verstehen. Es handelt sich hierbei um ein Tunneln in diesen dritten Zustand, welches das
Tunneln zwischen den beiden Inseln überlagert. Die Periode T0 der Modulationen läßt sich
gemäß (4.10) mit dem Quasienergieabstand ∆60 des dritten Zustandes zum Tunneldublett
berechnen. Im konkreten Fall ergibt sich eine Periode von T0 = 551, was hervorragend
mit der numerischen Propagation übereinstimmt.
Es ist ebenfalls interessant, die Tunnelzeit bei fester Teilchenzahl in Abhängigkeit von c zu
untersuchen. Der Vorteil hiervon besteht darin, dass c im Gegensatz zu N kein diskreter
Parameter ist und die Kreuzungsszenarien deshalb aufgelöst werden können. Für jeden
Wert von c erhält man in diesem Fall allerdings einen anderen klassischen Phasenraum,
insbesondere verschieben sich die beiden Inseln zwischen denen der Tunnelprozess stattfindet bei Variation von c. In Abbildung 4.11 ist Ttunnel für N = 30 im Bereich c ∈ [1.1, 3.2]
dargestellt. Es zeigt sich ein ähnliches Bild wie bei der Darstellung in Abhängigkeit von N.
Hier steigt die Tunnelzeit jedoch zu Beginn stärker als exponentiell an. Im weiteren Verlauf treten auch hier Resonanzen auf, die analog zur vorangegangenen Diskussion erklärt
werden können. Besonders interessant ist die Tatsache, dass der self-trapping-Effekt nur
in einem gewissen Wertebereich von c auftritt. In Abb. 4.8 ist ein Anstieg der Tunnelzeit
zu beobachten, nur stellenweise in der Umgebung der Resonanzen nimmt die Tunnelzeit
wieder ab. In Abhängigkeit von c ist jedoch mit Eintreten der Resonanzen der Trend nicht
mehr wachsend, self-trapping wird nun unterdrückt. Für c(N + 1) ! 2 stabilisiert sich die
Tunnelzeit eher bei Werten von Ttunnel ≈ 1000τ , so dass nicht mehr zwangsläufig von
self-trapping gesprochen werden kann. Die Wechselwirkung, die self-trapping überhaupt
ermöglicht, schränkt ihn demnach ab einer gewissen Stärke wieder ein.
58
Dynamik im Vergleich
3
2
!$
1
1
0
2
!1
!2
!3
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
c(N+1)
2.4
2.6
2.8
3
Abbildung 4.12: Quasienergien (κ für N = 30 Teilchen in Abhängigkeit von c; • Tunneldublett (± .
0.0533
!0.4
!$
!$
0.0525
!0.45
0.0515
!0.5
0.0505
2.2428 2.2429 2.243 2.2431 2.2432
c(N+1)
2.335
2.34
2.345
c(N+1)
2.35
2.355
Abbildung 4.13: Vergrößerungen der beiden durch Kreise markierten Bereiche von Abb. 4.12;
links: Kreuzung (1), rechts: Kreuzung (2).
Betrachten wir die Quasienergien nun ein wenig genauer. Dies ist ein kleiner Vorgriff auf
Kapitel 5; dort erfolgt eine detaillierte Diskussion der Abhängigkeiten der Quasienergien von den Systemparametern. In Abbildung 4.12 ist der Verlauf der Quasienergien in
Abhängigkeit von c für N = 30 Teilchen im Bereich c(N + 1) ∈ [1.1, 3.1] dargestellt.
In rot hervorgehoben sind die Quasienergieniveaus des Tunneldubletts 6± . Diese laufen
zunächst zusammen und sind in dieser Darstellung für Werte c(N + 1) > 1.6 nicht mehr
auseinanderzuhalten. Es ist zu erkennen, dass Kreuzungen mit einem dritten Niveau sehr
häufig auftreten, es gibt jedoch bei weitem nicht so viele Resonanzen. Dies läßt sich verstehen, wenn man die Kreuzungsszenarien näher betrachtet. Exemplarisch sollen nun zwei
Kreuzungen herausgegriffen werden; diese beiden sind in Abb. 4.12 mit einem Kreis markiert. In Abbildung 4.13 sind Vergrößerungen dieser beiden Kreuzungen zu sehen. Links
ist die mit (1) markierte Kreuzung zu sehen. Die beiden Tunnelniveaus sind hier von der
Kreuzung unbeeinflusst, ihr Abstand bleibt praktisch konstant, die Tunnelzeit ändert sich
4.3. Husimi-Dichten
59
deshalb nicht und die Kurve in Abb. 4.11 ist auch an der Stelle der Kreuzung, also für
c ≈ 2.2 glatt.
Anders verhält sich das bei Kreuzung (2). Hier übernimmt ein drittes Niveau 60 die Rolle
eines der beiden Tunnelniveaus z.B. 6− . In einem Übergangsbereich haben dann 60 und
6− ca. denselben Abstand zu 6+ . Das Betragsquadrat der Projektion aller drei Zustände
auf den kohärenten Zustand |ϑ− , ϕ− . ist in diesem Bereich in der nähe von 0.3, es sind
demnach drei Zustände vorhanden, die hauptsächlich in den Inseln lokalisiert sind. Im
weiteren Verlauf besteht das Tunneldublett dann aus den beiden Niveaus 6+ und 60 . Bei
einem derartigen Szenario nimmt der Abstand der Tunnelniveaus im Übergangsbereich
zwangsläufig zu und die Tunnelzeit sinkt dadurch. Die hier betrachtete Kreuzung führt
zu der deutlichen scharfen Senke der Tunnelzeit bei c(N + 1) ≈ 2.3 die in Abb. 4.11 zu
sehen ist.
Auch das scharfe Maximum in Abb. 4.11 bei c(N + 1) ≈ 2.0 läßt sich verstehen. Es ist viel
höher, als aus der Abbildung ersichtlich ist. In der Tat scheint die Tunnelzeit an dieser
Stelle zu divergieren, da die beiden Tunnelniveaus sich hier eventuell kreuzen. Da sie zu
unterschiedlichen Symmetrieklassen gehören sind solche Kreuzungen erlaubt.
Wir haben gesehen, dass die self-trapping-Zustände des klassischen Systems im Vielteilchensystem ihre Entsprechung finden. Wie gut die Floquetzustände im Allgemeinen
tatsächlich zu gewissen Zuständen des mean-field -Systems korrespondieren, wird anhand
der Phasenraumdichten, die wir im folgenden Abschnitt betrachten wollen, deutlich werden.
4.3
Husimi-Dichten
Das Konzept des Phasenraumes hat sich in der klassischen Physik als sehr nützlich erwiesen. Die Darstellung von Trajektorien im Phasenraum oder von Poincaréschnitten ist
ein wunderbares Hilfsmittel für die Veranschaulichung der Dynamik und ermöglicht ein
intuitives Verständnis der verschiedenen Zustände des betrachteten Systems. In der Quantenmechanik erscheint dieses Konzept zunächst bedeutungslos. Ein klassischer Zustand,
ein Punkt im Phasenraum, steht sofort im Widerspruch zur Heisenbergschen Unschärferelation. Diese läßt als kleinste Einheit im Phasenraum nur eine Fläche von der Größe
des Planckschen Wirkungsquantums h zu. Für den Vergleich eines quantenmechanischen
Systems mit seiner klassischen Entsprechung will man das Konzept des Phasenraumes
jedoch nicht aufgeben und so sucht man nach Möglichkeiten der Definition einer quantenmechanischen Phasenraumdichte. Dichteverteilungen auf dem Phasenraum sind in der statistischen Mechanik ein vertrautes Hilfsmittel; sie berücksichtigen eine statistische Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zustände. Die Aufgabe besteht nun darin, den statistischen
Charakter der Quantenmechanik in vergleichbarer Weise auf den Phasenraum abzubilden.
Um dies zu erreichen sind mehrere Definitionen einer Quasi-Phasenraumdichte möglich.
Keine von ihnen besitzt jedoch alle Eigenschaften einer klassischen Phasenraumdichte.
Wir wollen im Folgenden die Husimi-Verteilung Q(ϑ, ϕ) betrachten [71, 72]. Man definiert diese Dichte für einen reinen Zustand |ψ. mit Hilfe der kohärenten Zustände |ϑ, ϕ.
60
Dynamik im Vergleich
b)
sz/s
1
0
1
!1
1
c)
!1 !1
sx/s
d)
1
sz/s
1
sz/s
0
0
sy/s
0
0
1
!1
1
0
0
sy/s
!1 !1
1
!1
1
sx/s
0
0
sy/s
!1 !1
sx/s
Abbildung 4.14: Die drei Tunnelzustände für den Parametersatz N = 33 und c(N + 1) = 2: a) mean;+
; ,;2
;+
; ,;2
;+
; ,;2
field -Phasenraum zum Vergleich, b) Husimi-Dichte ; ϑ, ϕ;κ+ ; , c) ; ϑ, ϕ;κ− ; , d) ; ϑ, ϕ;κ0 ;
gemäß [73]
;+
; ,;2
Q(ϑ, ϕ) = ; ϑ, ϕ;ψ ; .
(4.11)
Die Husimi-Verteilung hat einige Eigenschaften einer klassischen Phasenraumdichte, die
sie besonders zur Veranschaulichung eines Zustands geeignet machen. So gilt definitionsgemäß immer Q ≥ 0; darüber hinaus kann der Zustand
ψ(ϑ, ϕ) (bis auf eine Konstante)
B
aus Q(ϑ, ϕ) rekonstruiert werden. Allerdings ist Q(ϑ, ϕ)dϕ *= |ψ(ϑ)|2 . Wir benutzen die
Husimi-Verteilung, um Aussagen darüber treffen zu können, wie wahrscheinlich es ist, dass
sich ein quantenmechanisches System im Zustand |ψ. in einem gewissen Bereich des Phasenraumes aufhält. Von besonderem Interesse sind die Husimi-Dichten der Eigenzustände
|κ. des Floquetoperators
;+
; ,;2
Qκ (ϑ, ϕ) = ; ϑ, ϕ;κ ; .
(4.12)
4.4. Chaotische Zustände
61
In Abbildung 4.14 sind die Husimi-Dichten der drei Tunnelzustände |κ± . und |κ0 . für den
im vorhergehenden Abschnitt beschriebenen Fall N = 33 und c(N + 1) = 2 dargestellt. In
a) ist zum Vergleich der klassische Phasenraum gezeigt. Anhand der Abbildungen b) und
c) ist deutlich zu erkennen, dass die beiden Zustände des Tunneldubletts in den regulären
Inseln lokalisiert sind. Abb. d) zeigt den dritten Zustand |κ0 .; dieser hat in den Inseln
nur eine geringe Dichte. Er ist über einen größeren Bereich delokalisiert und umfasst
auch teilweise klassisch chaotische Bereiche. Die Verteilung spiegelt jedoch ebenfalls die
Struktur des klassischen Phasenraumes wider. Die Linearkombinationen (4.7) beschränken
sich dann entsprechend auf die Insel der Nord- bzw. der Südhalbkugel und rekonstruieren,
wie wir gesehen haben, einen im klassischen Fixpunkt zentrierten kohärenten Zustand zu
über 90 %.
Es bleibt festzuhalten, dass die Husimi-Verteilungen der Floquetzustände sich am klassischen Phasenraum orientieren. Die unterschiedlichen Bahntypen können auch hier wiedergefunden werden. Bislang haben wir jedoch stets Zustände des Vielteilchensystems
untersucht, die in Bereichen regulärer Dynamik des klassischen Phasenraumes lokalisiert
sind. Die Dynamik des Quantensystems orientiert sich offenbar auch in chaotischen Bereichen an den Strukturen des klassischen Phasenraumes. In [74] konnte dies für ein BEC
in einem periodisch getriebenen Doppelmuldenpotentialbestätigt werden.
Im Folgenden wollen wir nun einen Blick auf die übrigen Zustände werfen.
4.4
Chaotische Zustände
Die Dynamik des klassischen Systems ist für große Nichtlinearitäten (c ! 10) vollständig
von Chaos geprägt. Eine Trajektorie, in einem beliebigen Punkt des Phasenraumes gestartet, füllt dann nach und nach immer größere Teile des Phasenraumes. Nun ist es
von Interesse, wie sich das quantenmechanische System in diesem Regime verhält. Wie
wir in Kapitel 3 gesehen haben ist das Spektrum des Floquetoperators für solche Werte
des Parameters c im Vergleich zum regulären Regime stark verändert. Die Abstände der
Quasienergieniveaus sind nun Wigner-Dyson-verteilt und weisen eine lineare Abstoßung
auf (siehe Abschnitt 3.6). In Abbildung 4.15 a) ist der klassische Phasenraum für ε = 0,
v = 1, τ = 1 und c(N + 1) = 10, in b) - d) ausgewählte Husimi-Verteilungen Qκ (ϑ, ϕ)
für N = 50 Teilchen zur Veranschaulichung dargestellt. Auch diese Husimi-Verteilungen
weisen die Rx -Symmetrie des Systems auf. Abgesehen davon zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung jedoch in der Tat statistischen Charakter und ist – wie beim klassischen
System auch – über den gesamten Phasenraum delokalisiert. Anhand der Projektionen
der Floquetzustände |κ. auf die Fockzustände
;+ ; ,;2 |n. ist dies nochmals ersichtlich. In Abbildung 4.16 sind die Betragsquadrate ; n;κ ; dieser Projektionen für dieselben Floquetzustände wie in Abbildung 4.15 dargestellt. Man erkennt, dass die Zustände entlang der
z-Richtung nicht lokalisiert sind, es tragen verschiedenste Fockzustände bei. Dass ein und
derselbe Floquetzustand in den unterschiedlichsten Bereichen des Phasenraumes eine von
null verschiedene Aufenthaltsverteilung hat führt dazu, dass die Dynamik auch das quantenmechanische System schnell durch große Teile des Phasenraumes führt. Betrachten wir
62
Dynamik im Vergleich
a)
b)
1
sz/s
sz/s
1
0
0
1
!1
1
1
!1
1
0
0
sy/s
!1 !1
sx/s
c)
!1 !1
sx/s
d)
1
sz/s
1
sz/s
0
0
sy/s
0
0
1
!1
1
0
0
sy/s
!1 !1
sx/s
1
!1
1
0
0
sy/s
!1 !1
sx/s
Abbildung 4.15: a) Klassischer Phasenraum für die Parameter ε = 0, v = 1, τ = 1 und c(N + 1) = 10;
Husimi-Verteilungen für N = 50 Teilchen: b) Q8 (ϑ, ϕ); c) Q31 (ϑ, ϕ), d) Q49 (ϑ, ϕ)
stellvertretend für die gesamte Dynamik erneut die z-Komponente des normierten Erwartungswertes x, den Besetzungszahlunterschiede der beiden Potentialmulden. Dieser ist in
Abbildung 4.17 für N = 50 Teilchen über 1000 Kickperioden gezeigt. Die x- und die yKomponente verhalten sich analog. Verglichen mit der regulären Dynamik (vgl. Abb. 4.3
bzw. 4.4) zeigt sich hier ein völlig anderes Bild. An die Stelle regelmäßiger Oszillationen,
die durch breakdowns and revivals moduliert werden, tritt hier ein sprunghaftes statistisches Verhalten. Hier findet kein erneutes Rephasieren der einzelnen Floquetanteile des
Startvektors statt, und der Vektor x bewegt sich im Inneren der Blochkugel.
Der Unterschied zwischen regulärer und chaotischer Dynamik wird demzufolge auch im
Quantensystem sichtbar, nicht nur am Spektrum des Floquetoperators, sondern auch am
dynamischen Verhalten selbst, das statistische Elemente aufweist.
4.4. Chaotische Zustände
63
0.12
|%n|$(|2
0.09
0.06
0.03
0
0
10
20
30
40
50
n
;+ ; ,;2
Abbildung 4.16: Betragsquadrate ; n;κ ; der Projektionen der Floquetzustände auf die Besetzungszahlbasis für die Parameter N = 50 und c(N + 1) = 10: • κ = 8, • κ = 31 und • κ = 49; die
Verbindungslinien dienen nur der besseren Übersicht.
1
z
s /s
0.5
0
!0.5
!1
0
200
400
600
800
1000
t/#
Abbildung 4.17: Zeitlicher Verlauf der z-Komponente von x für N = 50 Teilchen über 1000 Kickperioden für c(N + 1) = 10
Zusammenfassung
Die Dynamik des Vielteilchensystems reproduziert für eine gewissen Zeit ∆t die Oszillationen des mean-field -Systems. Aufgrund des diskreten Sprektrums kommt es jedoch zum
Szenario sogenannter breakdowns and revivals; die Amplitude sinkt stark ab und steigt
erst nach der revival -Zeit erneut an.
Wir haben gesehen, dass die self-trapping-Zustände des klassischen Systems im Vielteilchensystem ihre Entsprechung finden. Aufgrund des dynamischen Tunnelns oszilliert das
System jedoch periodisch zwischen diesen beiden Zuständen hin und her. Wählt man die
Parameter geschickt, so kann die Zeitskala auf der dieses Tunneln stattfindet jedoch sehr
groß gemacht werden, so dass self-trapping effektiv zu beobachten ist. Betrachtet man die
Tunnelzeit in Abhängigkeit von c für Feste Teilchenzahl N, so stellt man fest, dass für
größere Werte von c self-trapping nicht mehr auftritt.
64
Dynamik im Vergleich
Schließlich haben wir gesehen, dass die Unterscheidung zwischen regulärer und chaotischer
Dynamik auch in bei Quantensystemen sinnvoll sein kann. Befindet sich das System im
chaotischen Regime, so ist in der Tat ein zeitlich statistisches Verhalten des Drehimpulses
zu beobachten und die Husimi-Verteilungen der Floquetzustände sind über den gesamten
Phasenraum delokalisiert.
Kapitel 5
Spektrale Analyse
Bislang haben wir uns hauptsächlich mit den dynamischen Eigenschaften des gekickten
Bose-Einstein-Kondensats beschäftigt. In diesem Kapitel wollen wir nun die Quasienergien
und die Floquet-Zustände näher untersuchen. Wir haben bereits in Kapitel 3 gesehen, dass
die Verteilung der Abstände benachbarter Quasienergien Aufschluss darüber gibt, ob das
entsprechende klassische System integrabel ist oder nicht. Während integrable Systeme
Kreuzungen der Niveaus nicht unterbinden (level clustering) hängt es bei chaotischen von
den Symmetrien des Systems ab, wie groß der Grad der Abstoßung der Niveaus (level
repulsion) ist. Wir wollen nun sehen, ob sich das chaotische Verhalten des klassischen
Systems noch an anderer Stelle bemerkbar macht. Dazu werden wir die Quasienergien bei
Variation der verschiedenen Systemparameter untersuchen.
Wie in Kapitel 4 dargestellt, ist ein Zusammenhang zwischen den Floquetzuständen und
den klassischen Fixpunkten naheliegend. Dies ist nicht zuletzt anhand der Husimi-Verteilungen und deren Lokalisierung deutlich erkennbar. Wir wollen nun versuchen, auch die
Energien der klassischen Fixpunkte zu den Quasienergien in Relation zu setzen.
5.1
Dynamik der Quasienergien
Der Floquetoperator des Vielteilchen-Systems läßt sich numerisch leicht diagonalisieren,
womit sich wiederum die Quasienergien berechnen lassen. Um die Abhängigkeit der Quasienergien von den einzelnen Systemparametern zu untersuchen wird der Floquetoperator
für verschiedene, jeweils feste Werte des entsprechenden Parameters diagonalisiert. Auf
diese Weise kann man den Verlauf der Quasienergieniveaus untersuchen.
Das Verhalten der Quasienergien bei Variation von v ist in Abbildung 5.1 links zu sehen. Gewählt wurden hierbei die Parameter ε = 0 und eine Teilchenzahl von N = 30.
2
Aufgrund der Gestalt des Floquetoperators F = eicLz τ e−ivLx τ sind die Quasienergien periodisch in v. Für v = nπ mit n ∈ ist das System integrabel und die Quasienergieabstände
sind Poisson-verteilt. Dazwischen findet ein Übergang zur linearen Abstoßung der Niveaus statt, der, wie wir in Kapitel 3 gesehen haben, mit einer Berry-Robnik-Verteilung
beschrieben werden kann. Für v = 1 stimmt die Verteilung bereits gut mit der Wigner-
Spektrale Analyse
3
3
2
2
1
1
!$
!$
66
0
0
!1
!1
!2
!2
!3
!3
0
2
4
0
6
2
4
6
v
8
10
!
Abbildung 5.1: Verlauf der Quasienergien (κ ; links: N = 30, ε = 0, v ∈ [0, 2π], gezeigt sind nur die
geraden Zustände mit -κ| Rx |κ. = +1; rechts: N = 10, v = 1, ε ∈ [0, 10]
3
2
!$
1
0
!1
!2
!3
0
1
2
3
4
5
c(N+1)
6
7
8
9
10
Abbildung 5.2: Verlauf der Quasienergien im Bereich c(N + 1) ∈ [0, 10] für ε = 0, v = 1, τ = 1, N = 30
Teilchen; gezeigt sind nur die geraden Floquet-Zustände für die -κ| Rx |κ. = +1 gilt.
Dyson-Verteilung überein (vgl. Kapitel 3, Abb. 3.2 für eine Darstellung mit N = 100
Teilchen).
In Abbildung 5.1 ist rechts der Verlauf der Quasienergien für die Parameter v = 1 und
N = 10 über ε dargestellt. Im Falle kleiner ε befinden wir uns im chaotischen Regime und
es herrscht erneut lineare Abstoßung der Niveaus vor. Mit wachsendem ε fällt der lineare
Term e−i(εLz +vLx ) stärker ins Gewicht, das entspechende mean-field -System wird weniger
chaotisch und Kreuzungen der Niveaus werden weniger stark unterdrückt.
Besonders interessant ist der Verlauf der Quasienergieniveaus bei Variation des Parameters c. Betrachten wir nun den Verlauf der Quasienergieniveaus über einen weiten Bereich
des Wechselwirkungsparameters, wie in Abbildung 5.2 dargestellt1 . Gezeigt sind hier nur
Die Darstellungen der Quasienegien des gekickten Kreisels in [5] suggerieren ein anderes Verhalten.
Ihre mittlere Steigung ist dort bei stärkerer Wechselwirkung c null. Die Quasienergien fluktuieren dann
lediglich um ihre Gleichgewichtslagen.
1
67
3
3
2
2
1
1
!$
!$
5.1. Dynamik der Quasienergien
0
0
!1
!1
!2
!2
!3
0.5
!3
1
c(N+1)
1.5
9
9.5
c(N+1)
10
Abbildung 5.3: Vergrößerte Auschnitte von Abb. 5.2; links: reguläres Regime, rechts: chaotisches Regime
die geraden Floquet-Zustände, da die erlaubten Kreuzungen zwischen Niveaus, die zu
geraden bzw. ungeraden Zuständen gehören, das Bild verfälschen würden. Da die Quasienergien nur modulo 2π definiert sind, zeigt der Plot eine zylindrische Stuktur; Niveaus,
die unter einen Wert von −π fallen, kehren bei +π wieder zurück. Man kann also sagen,
dass sich die Quasienergien auf Spiralen um einen Zylinder winden, entlang dessen Achse
die Wechselwirkung c verändert wird. Dies tun sie scheinbar mit großer Regelmäßigkeit,
und der in der Statistik der Abstände benachbarter Niveaus so evidente Übergang vom
regulären zum chaotischen Regime ist in dieser Darstellung nicht zu erkennen. Ganz im
Gegenteil fällt zunächst das offenbar gleichförmige Verhalten ins Auge. Mit nahezu gleicher Steigung scheinen sich die Niveaus um den Quasienergie-Zylinder“ zu wickeln und
”
ohne den statistischen Beleg wäre nicht von einem derart signifikanten Unterschied der Niveauabstoßung auszugehen. Vergrößert man Ausschnitte so erkennt man jedoch scheinbare
Niveaukreuzungen im klassisch regulären Bereich (siehe Abbildung 5.3, links), während
diese im chaotischen Regime nicht mehr auftreten (siehe Abbildung 5.3, rechts).
Von der augenscheinlich ähnlichen mittleren Steigung der Niveaus inspiriert, wollen wir
diese ein wenig genauer beleuchten. Als Steigung der Quasienergien bezeichnen wir in
κ
diesem Zusammenhang die Größe ∂+
. Wir wollen diese nun direkt berechnen. Hierzu
∂c
benötigen wir lediglich das folgende
Theorem 2 (Hellmann-Feynman). Sei H(λ) ein von einem Parameter λ abhängiger
Hamiltonoperator und sei |ψ(λ). der Eigenvektor von H(λ) zum Eigenwert E(λ). Dann
gilt [75, 76]
∂H
∂E
= -ψ(λ)|
|ψ(λ). .
(5.1)
∂λ
∂λ
Im Folgenden nutzen wir dies für unsere Situation aus. Hierzu betrachten wir den Quasienergieoperator K(t), den wir gemäß
K(t) = H(t) − i
∂
∂
= 6Lz + vLx − c(t)L2z − i
∂t
∂t
(5.2)
68
Spektrale Analyse
definiert haben. Er operiert auf dem erweiterten Hilbertraum, den wir in Abschnitt 3.2.2
eingeführt hatten. Der Vorteil des erweiterten Hilbertraumes besteht darin, dass wir alle
Theoreme, die für zeitunabhängige Systeme gelten, hier gleichfalls anwenden dürfen. Die
Quasienergien ergeben sich mit Hilfe des Quasienergieoperators zu
!
1 τ
6κ =
-φκ (t)| K(t) |φκ (t). dt,
(5.3)
τ 0
wobei
ψκ (t) = e−i+κ t φκ (t)
(5.4)
die Eigenzustände des Floquetoperators sind. Das Hellmann-Feynman-Theorem liefert
dann für die Ableitung der Quasienergien den Ausdruck
!
1 τ
∂6κ
∂K
=
|φκ (t). dt
-φκ (t)|
∂c
τ 0
∂c
!
(
1 τ
-φκ (t)| τ
δ(t − nτ )L2z |φκ (t). dt
= −
τ 0
n∈
= − -φκ (τ )| L2z |φκ (τ ). .
(5.5)
Auch die über alle Niveaus gemittelte Ableitung können wir angeben. Dazu muss nur
noch über alle (N + 1) Niveaus gemittelt werden und man erhält die mittlere Steigung
der Quasienergieniveaus:
C
D
∂6κ
−1 (
=
-ψκ (τ )| L2z |ψκ (τ ).
∂c κ
N +1 κ
"
#
; ,
,
−1 ( +
N + ;;
;
ψκ (τ ) n δn,m n −
=
m ψκ (τ )
N + 1 κ,n,m
2
"
#
,;2
−1 (
N ( ;;+ ;;
n ψκ (τ ) ;
=
n−
N +1 n
2
κ
"
#
(
−1
N2
2
=
n − nN +
N +1 n
4
"
#
N N
= −
+1 .
(5.6)
6
2
Interessanterweise hängt sie nur von der Gesamtteilchenzahl N ab und ist insbesondere
unabhängig von der Stärke der Wechselwirkung c. Dies bestätigt unseren ersten Eindruck
vom regelmäßigen Verhalten der Quasienergien bei Variation von c aufs Neue und steht im
Widerspruch zur Darstellung in [5]. Betrachten wir deshalb die Ableitung (5.5) der Quasienergien genauer. Wie zuvor die Quasienergien selbst, stellen wir nun die Steigung der
Quasienergien für feste Teilchenzahl N über dem Parameter c dar, was in Abbildung
,
+ 5.4
κ
,
zu sehen ist. Die horizontale rote Linie zeigt den numerisch ermittelte Mittelwert ∂+
∂c κ
der genau dem erwarteten Wert für N = 30 Teilchen gemäß −N/6 (N/2 + 1) = −80 entspricht. Hier zeigt sich im Vergleich zu den Quasienergien selbst ein völlig anderes Bild.
5.1. Dynamik der Quasienergien
69
0
*!$/* c
!50
!100
!150
0
1
2
3
4
5
c(N+1)
6
7
8
9
10
κ
Abbildung 5.4: − Verlauf der Ableitung ∂#
∂c im Bereich c(N + 1) ∈ [0, 10] für ε = 0, v = 1, τ = 1,
N = 30 Teilchen; gezeigt
+ κ ,sind nur die geraden Floquet-Zustände für die -κ| Rx |κ. = +1 gilt; − Mittelwert
über alle Zustände: ∂#
∂c κ = −80.
Es ist eine deutliche Veränderung der Steigung der Niveaus beim Eintritt ins chaotische
Regime bei c(N + 1) ≈ 1.5 festzustellen. Im regulären Regime verändern sie sich relativ langsam. Beim eintritt ins chaotische Regime werden diese Veränderunge vesentlich
größer, und im Falle von globalem Chaos für c(N + 1) ! 4.5 werden die Niveaus geradezu
durcheinandergewirbelt. Die Streuung um den Mittelwert ist in diesem Regime deutlich
kleiner als im Übergangsbereich.
Hingewiesen werden sollte auch auf die teils raschen Sprünge den Ableitungen, wobei stets
zwei Niveaus den Platz wechseln. Dies ist möglich, da Kreuzungen der Ableitungen der
Quasienergien nicht verboten sind. Es handelt sich hierbei nicht um numerische Artefakte,
sondern um die Entsprechungen der vermiedenen Kreuzungen der Quasienergien, denn an
diesen Stellen tauschen zwei Quasienergieniveaus ihre Steiungen aus. Betrachtet man dieses Verhalten, so drängt sich nahezu die Interpretation der Niveaus als Strömungslinien
auf und man ist versucht, den Übergang des klassischen Systems zum Chaos mit dem
Übergang einer Strömung vom laminaren ins turbulente Regime in Verbindung zu bringen. In der Tat ist eine Uminterpretation der Energieniveaus bekannt. In dem oft als
Pechukas-Yukawa-Gas bezeichneten Modell werden die Niveaus, die über einem Systemparameter aufgetragen sind, als Trajektorien fiktiver Teilchen interpretiert [77–79]. Der
Parameter übernimmt dann die Eigenschaft einer fiktiven Zeit und die Ableitung nach
κ
diesem Parameter, in unserem Fall also die zuvor berechnete Ableitung ∂+
aus (5.5),
∂c
entspricht dann der Geschwindigkeit dieser Teilchen. Die Zahl der fiktiven Teilchen beträgt in unserem Fall N + 1 und ist somit um eins größer als die der realen Teilchen.
Tatsächlich läßt sich einem solchen eindimensionalen Gas“ ein Hamiltonsches System
”
mit der Hamiltonfunktion [5]
N +1
1( 2 (1
|lκµ |2
H=
pκ +
2 κ=1
8 sin2 (6κ /2 − 6µ /2)
κ(=µ
(5.7)
70
Spektrale Analyse
zuordnen, mit den Größen
∂6κ
pκ = -κ| V |κ. = − -κ| L2z |κ. =
und
" ∂c
#
6κ − 6µ
2
i(+κ −+µ )/2
sin
lκµ = 2 -κ| Lz |µ. e
.
2
(5.8)
Diese Größen erfüllen die kanonischen Gleichungen
∂H
∂6κ
=
∂c
∂pκ
und
∂H
∂pκ
=−
,
∂c
∂6κ
(5.9)
jedoch ist die Wechselwirkung“ lκµ nicht konstant sondern gehorcht einer dritten Diffe”
rentialgleichung
@
"
"
#
#A
( 1
6κ − 6λ
6λ − 6µ
∂lκµ
−2
−2
=
lκλ lλµ sin
− sin
(5.10)
∂c
4
2
2
λ(=κ,µ
und ist somit selbst eine dynamische Variable. Trotz der komplexen Gestalt der Bewegungsgleichungen ist dieses System stets integrabel, da das Integrieren dieser Gleichungen dem Diagonalisieren des Hamiltonoperators bzw. des Floquetoperators entspricht.
Aufgrund ihrer Integrabilität sind solche dynamischen Systeme von mathematischem
Interesse. Der Fall mit konstanten Wechselwirkungen lκµ ist als Calogero-Moser- bzw.
Sutherland-Moser-Dynamik bekannt [80–82] und der Fall mit zeitabhängigen lκµ wurde
in [83] untersucht.
Da es sich um ein hamiltonsches System handelt, ist die Gesamtenergie (5.7) erhalten, was
man wie folgt erkennt: H kann als Summe einer kinetischen“ und einer potentiellen“
”
”
Energie der fiktiven Gasteilchen aufgefasst werden:
H = Ekin + Epot mit
N +1
N +1
1( 2
1(
pκ =
-κ| V |κ.2
Ekin =
2 κ=1
2 κ=1
(
1
|-κ| V |µ.|2 .
Epot =
2 κ(=µ
(5.11)
und
(5.12)
(5.13)
In die beiden Energien Ekin und Epot gehen ausschließlich die Betragsquadrate der Maein. H ist
trixelemente Vκµ = -κ| V |µ. von V in der Basis |κ. der
+ ; Floqueteigenzustände
,
;
somit eine Norm der Matrix V . Da die Matrix Wnκ = n κ unitär ist, erhält die Transformation V → W † V W die Norm von V , unabhängig vom Parameter c. Die Gesamtenergie
ist demnach konstant.
Das Verhältnis von kinetischer zu potentieller Energie ändert sich jedoch in Abhängigkeit
von c. Die kinetische Energie ist, bis auf eine Konstante, gleich der Breite der Geschwindigkeitsverteilung, was der Breite der Ableitung der Quasienergien in Abb. 5.4 entspricht.
In Abbildung 5.5 ist der Verlauf von Ekin und Epot über dem Paramter c aufgetragen. Es
5.1. Dynamik der Quasienergien
71
E/(N+1)
2
550
450
350
250
0
1
2
3
4
5
c(N+1)
6
7
8
9
10
Abbildung 5.5: Verlauf von Ekin (−) und Epot (−) im Bereich c(N + 1) ∈ [0, 10] für N = 50 Teilchen;
τ = 1, v = 1, ε = 0
ist deutlich zu erkennen, dass der potentielle Anteil mit steigendem c auf Kosten des kinetischen Anteils anwächst. Die Breite der Geschwindigkeitsverteilung wird entsprechend
kleiner. Die Ableitungen ∂+∂cκ fluktuieren dann zwar schnell um den Mittelwert, die Fluktuationen sind jedoch kleiner und damit ist die Streuung gering. Die potentielle Energie
ist in diesem System stets positiv und es handelt sich demnach um eine rein repulsive
Wechselwirkung der fiktiven Teilchen. Wenn die Wechselwirkung mit steigendem c größer
wird, bedeutet dies eine stärkere Abstoßung der Teilchen“ bzw. der Quasienergieniveaus.
”
Betrachten wir die Größen |lκµ |2 ein wenig genauer. Sie sind gemäß (5.7) ein Maß für
die Stärke des Potentials der Zwei-Teilchen-Wechselwirkung. Mitteln wir diese über alle
Teilchenpaare κ *= µ, so erhalten wir eine Kenngröße für die durchschnittliche Stärke
der Wechselwirkung. In Abbildung (5.6) ist dieser Mittelwert -|lκµ |2 .κµ über c dargestellt.
Anhand dieser Darstellung ist zu erkennen, dass das Zwei-Teilchen-Potential mit Einsetzen
810
%|l
$µ
|2(/(N+1)2!N
860
760
0
1
2
3
4
5
c(N+1)
6
7
8
9
10
,
+
Abbildung 5.6: Mittlere Stärke des Zwei-Teilchen-Potentials |lκµ |2 im Bereich c(N + 1) ∈ [0, 10] für
N = 50 Teilchen; τ = 1, v = 1, ε = 0
der ersten Bifurkationen im mean-field -System (also für Werte c(N + 1) ! 1.1) stärkeren
72
Spektrale Analyse
Modulationen unterliegt. Die numerische Auswertung zeigt, dass für die Periode ∆c dieser
Oszillation die Proportionalität
1
(5.14)
∆c(N + 1) ∼
N
gilt. Das Einsetzen der Modulationen des mittleren Potentials mit dieser Frequenz kann
somit als Indikator für chaotisches Verhalten des entsprechenden mean-field -Systems genutzt werden.
Nachdem wir nun das Verhalten der Quasienergieniveaus in Abhängigkeit der Systemparameter untersucht haben, können wir festhalten, dass sich der Übergang des zugehörigen
klassischen Systems vom regulären ins chaotische Regime darin widerspiegelt. Im Folgenden wird nun der Zusammenhang zwischen den 6κ des Vielteilchensystems und den
(Quasi-)Energien des klassischen Systems näher betrachtet werden.
5.2
Mittlere Energien
Betrachtet man zeitlich periodisch getriebene Systeme, so ist die mittlere Energie pro
Periode in einem Quasienergiezustand eine Kenngröße des Systems. Für den weiteren
Vergleich von mean-field - und Vielteilchensystem wollen wir nun die mittleren Energien
heranziehen. Diese haben zwei wesentliche Vorteile: Zum einen besitzen sie – im Gegensatz zu den Quasienergien – eine natürliche Ordnung. Zum anderen beschreiben sie sowohl
für das Vielteilchen- als auch für das mean-field -System dieselbe Größe, denn die Eigenwerte des nichtlinearen mean-field -Floquetoperators entsprechen keinen (Quasi-)Energien
des Vielteilchensystems. Für das volle N-Teilchen-System mitteln wir die Energien der
Floqueteigenzustände über eine Periode:
!
1 τ
-Hκ .τ =
-ψκ (t)| H(t) |ψκ (t). dt
τ 0
*
! )
(
1 τ
-ψκ (t)| H0 |ψκ (t). + c
δ(t − nτ ) -ψκ (t)| V |ψκ (t). dt
=
τ 0
n∈
= -ψκ (0)| H0 |ψκ (0). + c -ψκ (0)| V |ψκ (0). .
(5.15)
Den zweiten Summanden haben wir bereits zuvor in (5.5) berechnet. Damit ergibt sich
für die mittlere Energie
-Hκ .τ = -ψκ (0)| H0 |ψκ (0). + c
∂6κ
.
∂c
(5.16)
Um den ersten Summanden anzugeben benutzen wir erneut das Hellmann-FeynmanTheorem. Für die Ableitug der Eigenwerte des Floquetoperators nach der Kickperiode
τ ergibt sich
∂F
∂ −i+κτ
e
|κ.
= -κ|
∂τ
∂τ
= −ic e−i+κ τ -κ| V |κ. − i e−i+κτ -κ| H0 |κ. .
(5.17)
73
0.5
0.5
0.25
0.25
%H( / (N+1)
%H( / (N+1)
5.2. Mittlere Energien
0
!0.25
!0.5
0
!0.25
!0.5
1.5
2
2.5
c(N+1)
3
3.5
1.5
2
2.5
c(N+1)
3
3.5
Abbildung 5.7: Mittlere Energien für den Bereich c ∈ [1, 3.5] im Vergleich: − -Ek .τ der Eigenzustände
des mean-field -Systems, − -Hκ .τ der Floquetzustände des Vielteilchensystems; links: N = 10 Teilchen,
rechts: N = 30 Teilchen.
Benutzt man hier erneut die Beziehung (5.5) so ergibt sich für den ersten Summanden in
(5.15)
∂6κ
∂6κ
−c
.
(5.18)
-κ| H0 |κ. = 6κ + τ
∂τ
∂c
Zusammenfassend kann man daher die mittlere Energie des Floquetzustandes ψκ (t) pro
Periode in der Form
∂6κ
-Hκ .τ = 6κ + τ
(5.19)
∂τ
angeben. Vergleichen wollen wir diese Größen mit den mittleren Energien der Fixpunkte
(qk , pk ) des äquivalenten klassischen Systems, der Eigenzustände des nichtlinearen meanfield -Floquetoperators. Für die mittlere Energie des Fixpunktes k pro Kickperiode erhalten wir
!
1 τ
-Ek .τ =
H(qk , pk , t)dt
τ 0
*
! )
7
(
1 τ
=
δ(t − nτ )p2k (t) dt
εpk (t) + v s2 − p2k (t) cos qk (t) − cτ
τ 0
n∈
!
! τ(
1 τ
=
H0 (qk , pk )dt − c
δ(t − nτ )p2k (t)dt
τ 0
0 n∈
= H0 (qk , pk ) − cp2k
(5.20)
Wir können nun die beiden Größen -Hκ .τ und -Ek .τ für feste Teilchenzahl N über c auftragen und miteinander vergleichen. In Abbildung 5.7 ist dieser Vergleich für N = 10 bzw.
N = 30 Teilchen für den Bereich c ∈ [1, 3.5] dargestellt. Die mittleren Energien in den
Fixpunkten des klassischen Systems bilden ein Skelett für die mittleren Energien in den
Floquetzuständen. In dem betrachteten Bereich besitzt das mean-field -System vier Fixpunkte. Die Energien der beiden Fixpunkte sx /s = 1 und sx /s = −1 haben unabhängig
74
Spektrale Analyse
von c die Energien -E.τ = ±(N + 1)/2. Die beiden aus der ersten Bifurkation hervorgegangenen Fixpunkte s± (siehe Kapitel 2) sind energetisch entartet. Aus diesem Grund
sind in Abb.5.7 nur drei klassische Energien zu sehen. Die größte und die kleinste davon
grenzen die mittleren Energien des Vielteilchensystems ein. Für größere Teilchenzahlen N
nähern sich die Vielteilchen-Energien diesen Grenzen mehr und mehr an. Darüber hinaus
sind Bereiche zu erkennen, in denen die -Hκ .τ dichter liegen. Einer dieser Bereiche bildet
nahezu eine horizontale Linie und fällt mit der mean-field -Energie -E.τ = −(N + 1)/2
zusammen. Dieses Verhältnis von mean-field -Energien zu den Energien des Vielteilchensystems ist auch für das System ohne periodische Kicks dokumentiert [14]. Die Energien
des klassischen Systems grenzen dort die Energieeigenwerte bzw. entsprechen der Linie
höchster Dichte der Niveaus. Für das System ohne Kicks kann dasselbe Verhalten auch
bei Variation von ε gefunden werden [28]. Im Fall des gekickten Systems sind jedoch
zusätzliche Bereiche größerer Niveaudichte zu erkennen (siehe Abb. 5.7) die in diesem
Bild allerdings keine Entsprechungen in den Energien des klassischen Systems finden.
Hier sind weitere Untersuchungen nötig.
Zusammenfassung
Die Quasienergieniveaus ändern sich mit den einzelnen Systemparametern in charakteristischer Weise. Im Modell des Pechukas-Yukawa-Gases faßt man die Niveaus als fiktive
Teilchen auf und betrachtet deren Dynamik, weshalb man auch von der Dynamik der
Niveaus (bzw. level dynamics) spricht. Bei Variation des Wechselwirkungsparameters c
ist insbesondere anhand der Steigung der Niveaus ∂+∂cκ der Übergang vom regulären ins
chaotische Regime deutlich sichtbar. Das Abstoßen der Niveaus im chaotischen Regime
ist an der Zunahme der potentiellen Energie der fiktiven Teilchen deutlich zu erkennen.
Schließlich bieten die mittleren Energien pro Kickperiode eine weitere Möglichkeit, das
mean-field - mit dem Vielteilchensystem zu vergleichen. Trägt man die mittleren Energien
über dem Parameter c auf, so bilden die klassischen Energien ein Skelett der Energien
in den einzelnen Floquetzuständen. Die Struktur des Vielteilchensystems ist hier jedoch
wesentlich komplexer.
Kapitel 6
Ausblick
Einige Zusammenhänge, die in dieser Arbeit untersucht wurden, sind noch nicht völlig
verstanden. An dieser Stelle soll auf zwei ausgewählte interessante Punkte hingewiesen
werden.
Die Dynamik des Vielteilchensystems weicht in mancher Hinsicht von der des mean-field Systems ab. Insbesondere das dynamische Tunneln zwischen zwei regulären Inseln ist ein
reiner Quanteneffekt. Wir haben gesehen, dass für eine geeignete Wahl der Parameter die
Tunnelzeit jedoch sehr groß wird, so dass man effektiv dennoch von self-trapping reden
kann. Die Abhängigkeit der Tunnelzeit Ttunnel von der Wechselwirkung c gibt allerdings
Hinweise darauf, dass für große Werte von c self-trapping unterdrückt ist. Dieses Regime
sollte näher betrachtet werden. In der Regel nimmt die Anzahl der Zustände, die in den
Inseln lokalisiert sind, jedoch bei großen Werten von c stark zu, da die Zustände stärker
delokalisiert sind. Ein einfaches Zwei-Zustands-Modell reicht in diesem Regime demnach
nicht mehr zur Beschreibung der Dynamik aus. Erste Hinweise kann hier die numerische
Propagation liefern.
Die Kreuzungsszenarien, die zu den resonanzartigen Einbrüchen im Verlauf der Tunnelzeit
über c führen, sind durch ein Zwei-Niveau-Modell ebenfalls unzureichend beschrieben. In
einem Übergangsbereich existieren offenbar drei Inselzustände, die alle gleichrangig an
der Dynamik beteiligt sind.
An manchen Stellen ist umgekehrt ein extremes Ansteigen der Tunnelzeit zu beobachten. Diesen scharfen Spitzen entstehen dadurch, dass sich die beiden Tunnelniveaus sehr
nahe kommen bzw. eventuell in der Tat kreuzen. Dieser Effekt bietet die interessante
Möglichkeit auch beim Vielteilchensystem echtes self-trapping zu beobachten.
Der zweite wichtige Punkt ist der Vergleich der mittleren Energien des Vielteilchensystems
mit dem mean-field -System in Abhängigkeit von c. Dort haben wir gesehen, dass die meanfield -Energien ein Gerüst der Quasienergien bilden. Nicht alle Strukturen des N-TeilchenSystems, insbesondere Linien hoher Niveaudichte, haben eine klassische Entsprechung.
Als mögliche Kandidaten hierfür sollten die periodischen Zyklen des klassichen Systems,
also Fixpunkte der n-fach iterierten Abbildung F n , näher untersucht werden.
76
Ausblick
Das chaotische Regime ist ebenfalls noch einer näheren Betrachtung wert. Es ist zu erwarten, dass sich dort die Strukturen wieder vereinfachen und einen eher statistischen
Charakter annehmen.
Der tiefere Zusammenhang zwischen mean-field -Näherung und Vielteilchensystem ist trotz
vieler Bemühungen in Teilen noch immer unverstanden. Nur intensive weitere Forschungen können hier Licht ins Dunkel bringen.
Literaturverzeichnis
[1] M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, C. E. Wieman, and W. E. Cornell,
Observation of Bose-Einstein Condensation in a Dilute Atomic Vapor, Science 269
(1995) 198
[2] K. B. Davis, M. O. Mewes, M. R. Andrews, N. J. van Druten, D. S. Durfee, D. M.
Kurn, and W. Ketterle, Bose-Einstein Condensation in a Gas of Sodium Atoms,
Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 3969
[3] I. Bloch, Ultracold quantum gases in optical lattices, Nature Physics 1 (2005) 23
[4] F. Haake, M. Kuś, and R. Scharf, Classical and Quantum Chaos for a Kicked Top,
Z. Phys. B 65 (1986) 381
[5] F. Haake, Quantum Signatures of Chaos, Springer, Berlin, Heidelberg, New York,
2001
[6] A. Griffin, D. W. Snoke, and S. Stringari, Bose-Einstein Condensation, Cambridge
University Press, Cambridge, England, 1995
[7] L. Pitaevskii and S. Stringari, Bose-Einstein Condensation, Oxford University Press,
Oxford, 2003
[8] A. J. Leggett, Bose-Einstein condensation in the alkali gases: Some fundamental
concepts, Rev. Mod. Phys. 73 (2001) 307
[9] J. R. Taylor, Scattering Theory, John Wiley, New York, 1972
[10] Y. Castin, Bose-Einstein condensates in atomic gases, in R. Kaiser, editor, Les Houches Session LXXII, Coherent atomic matter waves. Springer, 2000
[11] G. J. Milburn, J. Corney, E. M. Wright, and D. F. Walls, Quantum dynamics of an
atomic Bose-Einstein condensate in a double-well potential, Phys. Rev. A 55 (1997)
4318
[12] J. R. Anglin and A.Vardi, Dynamics of a two-mode Bose-Einstein condensate beyond
mean-field theory, Phys. Rev. A 64 (2001) 013605
[13] M. Holthaus and S. Stenholm, Coherent control of the self-trapping transition, Eur.
Phys. J. B 20 (2001) 451
78
LITERATURVERZEICHNIS
[14] M. Holthaus, Towards coherent control of a Bose-Einstein condensate in a double
well, Phys. Rev. A 64 (2001) 011601
[15] R. Gati, M.Albiez, J. Fölling, B. Hemmerling, and M. K. Oberthaler, Realization of
single Josephson junction for Bose-Einstein condensates, Appl. Phys. B (2006) 207
[16] M. R. Andrews, C. G. Townsend, H. J. Miesner, D. S. Durfee, D. M. Kurn, and
W. Ketterle, Observation of interference between two Bose condensates, Science 275
(1997) 637
[17] C. C. Bradley, C. A. Sackett, J. J. Tollett, and R. G. Hulet, Evidence of BoseEinstein Condensation in an Atomic Gas with Attractive Interactions, Phys. Rev.
Lett. 75 (1995) 1687
[18] M.-O. Mewes, M. R. Andrews, N. J. van Druten, D. M. Kurn, D. S. Durfee, and
W. Ketterle, Bose-Einstein Condensation in a Tightly Confining dc Magnetic Trap,
Phys. Rev. Lett. 77 (1996) 416
[19] J. R. Ensher, D. S. Jin, M. R. Matthews, C. E. Wieman, and E. A. Cornell, BoseEinstein Condensation in a Dilute Gas: Measurement of Energy and Ground-State
Occupation, Phys. Rev. Lett. 77 (1996) 4984
[20] M. R. Matthews, B. P. Anderson, P. C. Haljan, D. S. Hall, M. J. Holland, J. E.
Williams, C. E. Wieman, and E. A. Cornell, Watching a Superfluid Untwist Itself:
Recurrence of Rabi Oscillations in a Bose-Einstein Condensate, Phys. Rev. Lett. 83
(1999) 3358
[21] R. W. Ghrist E. A. Cornell C. J. Myatt, E. A. Burt and C. E. Wieman, Production
of Two Overlapping Bose-Einstein Condensates by Sympathetic Cooling, Phys. Rev.
Lett. 78 (1997) 586
[22] A. Smerzi, S. Fantoni, S. Giovanazzi, and S. R. Shenoy, Quantum Coherent Atomic
Tunneling between Two Trapped Bose-Einstein Condensates, Phys. Rev. Lett. 79
(1997) 4950
[23] S. Raghavan, A. Smerzi, S. Fantoni, and S. R. Shenoy, Coherent oscillations between
two weakly coupled Bose-Einstein condensates: Josephson Effects, π oscillations, and
macroscopic quantum self-trapping, Phys. Rev. A 59 (1999) 620
[24] Biao Wu and Qian Niu, Nonlinear Landau-Zener Tunneling, Phys. Rev. A 61 (2000)
023402
[25] A. Vardi and J. R. Anglin, Bose-Einstein condensates beyond mean field theory:
Quantum backreaction as decoherence, Phys. Rev. Lett. 86 (2001) 568
[26] J. Liu, D. Choi, B . Wu and Q. Niu, Theory of nonlinear Landau-Zener tunneling,
Phys. Rev. A 66 (2002) 023404
LITERATURVERZEICHNIS
79
[27] E.-M. Graefe, Ausgewählte lineare und nichtlineare Landau-Zener-Szenarien, Diplomarbeit, Technische Universität Kaiserslautern, 2005
[28] D. Witthaut, E. M. Graefe, and H. J. Korsch, Towards a Landau-Zener formula
for an interacting Bose-Einstein condensate in a two-level system, Phys. Rev. A 73
(2006) 063609
[29] Q. Xie and W. Hai, Quantum entanglement and chaos in kicked two-component BoseEinstein condensates, Eur. Phys. J. D 33 (2005) 265
[30] J. Liu, Chuanwei Zhang, Mark G. Raizen, and Q. Niu, Transition to instability in
a periodically kicked Bose-Einstein condensate on a ring, Phys. Rev. A 73 (2006)
013601
[31] B. Mieck and R. Graham, Bose Einstein condensate of kicked rotators, J. Phys. A
37 (2004) L581
[32] D. Poletti, L. Fu, J. Liu, and B. Li, Quantum resonance and anti-resonance for
a periodically kicked Bose-Einstein Condensate in a one dimensional Box, e-print:
cond-mat/0603362 (2006)
[33] F. Haake, Can the kicked top be realized?, Journal of Modern Optics 47 (2000) 2883
[34] S. Mossmann and C. Jung, Semiclassical approach to Bose-Einstein condensates in
a triple well potential, e-print: quant-ph/0604158 (2006)
[35] J. Liu, B. Wu, and Q. Niu, Nonlinear Evolution of Quantum States in the Adiabatic
Regime, Phys. Rev. Lett. 90 (2003) 170404
[36] H. D. Meyer and W. H. Miller, A classical analog for electronic degrees of freedom in
nonadiabatic collision processes, J. Chem. Phys. 70 (1979) 3214
[37] J. C. Eilbeck, P. S. Lomdahl, and A. C. Scott, The Discrete Self-Trapping Equation,
Physica D 16 (1985) 318
[38] V. M. Kenkre and D. K. Campbell, Self-trapping on a dimer: Time-dependent solutions of a discrete nonlinear Schrödinger equation, Phys. Rev. B 34 (1986) 4959
[39] N. N. Bogoliubov, J. Phys. USSR 11 (1947) 23
[40] S. Stenholm, Heuristic field theory of Bose-Einstein condensates, Phys. Rep. 363
(2002) 173
[41] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Quantenmechanik, W. de Gruyter, Berlin,
New York, 1997
[42] V. F. Müller, Quantenmechanik, Oldenbourg, München Wien, 2000
80
LITERATURVERZEICHNIS
[43] W. H. Miller and C. W. McCurdy, Classical trajectory model for electronically nonadiabatic collision phenomena. A classical analog for electronic degrees of freedom, J.
Chem. Phys. 69 (1978) 5163
[44] H. D. Meyer and W. H. Miller, Classical models for electronic degrees of freedom:
Derivation via spin analogy and application to F ∗ + H2 → F + H2 , J. Chem. Phys.
71 (1979) 2156
[45] H. J. Korsch and H.-J. Jodl, Chaos – A Program Collection for the PC, Springer,
1998
[46] F. T. Arecchi, Eric Courtens, Robert Gilmore, and Harry Thomas, Atomic Coherent
States in Quantum Optics, Phys. Rev. A 6 (1972) 2211
[47] A. M. Perelomov, Generalized Coherent States and Their Applications, Springer,
Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo, 1986
[48] W. H. Louisell, Quantum Statistical Properties of Radiation, John Wiley, New York,
1990
[49] F. Bloch, Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern, Z. Phys 52
(1928) 555
[50] N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics, Saunders College, Philadelphia, 1976
[51] H. J. Korsch, Quantendynamik in starken Feldern, Vorlesungsskript Universität Kaiserslautern (WS 1997/98), 1998
[52] E. P. Wigner, Group Theory and its Applications to the Quantum Mechanics of
Atomic Spectra, Academic, New York, 1959
[53] F. J. Dyson, J. Math. Phys. 3 (1962) 140, 157, 166
[54] H.-J. Stöckmann, Quantum Chaos, Cambridge University Press, Cambridge, 1999
[55] M. V. Berry and M. Robnik, Semiclassical level spacings when regular and chaotic
orbits coexist, J. Phys. A 17 (1984) 2413
[56] E. M. Wright, D. F. Walls, and J. C. Garrison, Collapses and Revivals of BoseEinstein Condensates Formed in Small Atomic Samples, Phys. Rev. Lett. 77 (1996)
2158
[57] A. Imamoglu, M. Lewenstein, and L. You, Inhibition of Coherence in Trapped BoseEinstein Condensates, Phys. Rev. Lett. 78 (1997) 2511
[58] V. Averbuckh, N. Moiseyev, B. Mirbach, and H. J. Korsch, Dynamical tunneling
through a chaotic region: A continuously driven rigid rotor, Z. Phys. D 35 (1995) 247
LITERATURVERZEICHNIS
81
[59] W. A. Lin and L. E. Ballentine, Quantum Tunnelling and Chaos in a Driven Anharmonic Oscillator, Phys. Rev. Lett. 65 (1990) 2927
[60] W. A. Lin and L. E. Ballentine, Quantum Tunnelling and Regular and Irregular
Quantum Dynamics of a Driven Double–Well Oscillator, Phys. Rev. A 45 (1992)
3637
[61] R. Bavli and H. Metui, Properties of an electron in a quantum double well driven
by a strong laser: Localization, low–frequency, and even–harmonic generation, Phys.
Rev. A 47(4) (1993) 3299
[62] L. Bonci, A. Farusi, P. Grigolini and R. Roncaglia, Tunneling rate fluctuations induced
by nonlinear resonances: A quantitative treatment based on semiclassical arguments,
Phys. Rev. E 58(5) (1998) 5689
[63] V. Averbukh, Shmuel Osovski, and N. Moiseyev, Controlled Tunneling of Cold Atoms:
From Full Suppression to Strong Enhancement, Phys. Rev. Lett. 89 (2002) 253201
[64] W. K. Hensinger, A. G. Truscott, B. Upcroft, N. R. Heckenberg, and H. RubinszteinDunlop, Atoms in an amplitude-modulated standing wave – dynamics and pathways
to quantum chaos, J. Opt. B 2 (2000) 659
[65] W. K. Hensinger et. al., Dynamical tunneling of ultracold atoms, Nature 412 (2001)
52
[66] W. K. Hensinger et. al., Experimental study of the quantum driven pendulum and its
classical analog in atom optics, Phys. Rev. A 64 (2001) 033407
[67] D.A. Steck, W. H. Oskay, and M. G. Raizen, Observation of Chaos-Assisted Tunneling
Between Islands of Stability, Science 293 (2001) 274
[68] S. Osovski and N. Moiseyev, Fingerprints of classical chaos in manipulation of cold
atoms in the dynamical tunneling experiments, Phys. Rev. A 72 (2005) 033603
[69] R. Grobe and F. Haake, Dissipative death of quantum coherence in a spin system, Z.
Phys. B 68 (1987) 503
[70] J. Y. Shin and H. W. Lee, Floquet analysis of quantum resonance in a driven nonlinear system, Phys. Rev. E 50 (1994) 902
[71] K. Husimi, Some formal properties of the density matrix, Proc. Phys. Math. Soc.
Japan 22 (1940) 264
[72] M. Hillery, R. F. O‘Connel, M. O. Scully, and E. P. Wigner, Distribution Functions
in Physics: Fundamentals, Phys. Rep. 106 (1984) 121
[73] A. P. Hines, R. H. McKenzie, and G. J. Milburn, Quantum entanglement and fixedpoint bifurcations, Phys. Rev. A 71 (2005) 042303
82
LITERATURVERZEICHNIS
[74] K. W. Mahmud, H. Perry, and W. P. Reinhardt, Quantum phase-space picture of
Bose-Einstein condnsates in a double well, Phys. Rev. A 71 (2005) 023615
[75] R. P. Feynman, Forces in Molecules, Phys. Rev. 56 (1939) 340
[76] H. Hellmann, Einführung in die Quantumchemie, Deuticke, Leipzig, 1937
[77] P. Pechukas, Distribution of Energy Eigenvalues in the Irregular Spectrum, Phys.
Rev. Lett. 51 (1983) 943
[78] T. Yukawa, New Approach to the Statistical Properties of Energy Levels, Phys. Rev.
Lett. 54 (1985) 1883
[79] T. Yukawa, Lax form of the quantum mechanical eigenvalue problem, Phys. Lett. A
116 (1986) 227
[80] B. Sutherland, Exact Results for a Quantum Many-Body Problem in One Dimension.
II, Phys. Rev. A 5 (1972) 1372
[81] F. Calogero and C. Marchioro, Exact solution of a one-dimensional three-body scattering problem with two-body and/or three-body inverse-square potentials, J. Math.
Phys. 15 (1974) 1425
[82] J. Moser, Three integrable Hamiltonian systems connected with isospectral deformations, Adv. Math. 16 (1975) 1
[83] S. Wojciechowski, An integrable marriage of the Euler equations with the CalogeroMoser system, Phys. Lett. A 111 (1985) 101
Danksagung
Am Ende dieser Arbeit bleibt nur noch Danke!“ zu sagen. Einige Menschen haben mich
”
während der Zeit der Diplomarbeit begleitet und unterstützt – ohne sie wäre diese Arbeit
nicht möglich gewesen.
Zunächst danke ich meinem Chef, Herrn Prof. Dr. Hans Jürgen Korsch, für seine Geduld,
interessante Fragestellungen und Diskussionen und für sein offenes Ohr zu jeder Zeit.
Ich danke den jetzigen und vormaligen Mitgliedern der Arbeitsgruppe Theoretische
”
Quantendynamik“, Dr. Stefan Moßmann, Eva-Maria Graefe, Kevin Rapedius, Dirk Witthaut, Bernhard Breid, Timo Hartmann, Andrea Schulze, Thorsten Wagner, Friederike
Trimborn und Volker Kegel für Gespräche, Anmerkungen und Korrekturen. Besonders
danken möchte ich Eva, für nicht endende Diskussionen und ihre große Hilfsbereitschaft
bei allen Problemen.
Meiner Freundin, Astrid Niederle, danke ich für ihre kompromisslose und liebevolle Unterstützung.
Besonderer Dank gebührt meinen Eltern, die mich stets unterstützt haben und ohne die
mein Studium nicht möglich gewesen wäre: Ihr seid immer für mich da, danke für alles!“
”