1.4 Atom-Licht-Wechselwirkung

1.4
1.4.1
Atom-Licht-Wechselwirkung
Störungsrechnung
Hamilton-Operator:
H = H0 +
H1
|{z}
’Störung’ (klein)
Man kann schreiben
H = H0 + λH1 (0 ≤ λ ≤ 1)
Damit lautet die Schrödingergleichung
Hλ Ψ(λ) = Eλ Ψ(λ)
Reihenentwicklung:
E
=
E0 + λE1 + λ2 E2 . . .
(n)
Ψλ
=
Ψ0 + λΨ1 + λ2 Ψ2 + . . .
(n)
(n)
(n)
Einsetzen und Koeffizientenvergleich (von λ(n) ). Damit ist die Energie in “1. Ordnung”:
D
E
(n)
(n)
(n) E (n) = E0 + Ψ0 H1 Ψ0
Wellenfunktion in 1. Ordnung:
D
E
(n)
Ψ
=
E X
(n)
+
Ψ0
m6=n
E
(n) (m) E
Ψ0 H1 Ψ0
(m)
Ψ
0
(n)
(m)
E0 − E0
Die Beimischung anderer Wellenfunktionen ist also proportional zum Matrixelement hm0 | H1 |n0 i und umgekehrt proportional zum energetischen Abstand.
Energie in 2. Ordnung:
E (n)
D
E
(n) 2
D
E X | Ψ(m)
H
|
Ψ
1
0
0
(n)
(n)
(n) +
= E0 + Ψ0 H1 Ψ0
(m)
(n)
E0 − E0
{z
} n6=m
|
|
{z
}
linear in Störung
quadratisch in Störung
Alternative Näherungsrechnung für den Einflußder Störung: Beschränkung auf Unterraum. Benutze aus der vollständigen
Basis nur endlich viele Funktionen.
Ψ
=
N
X
cn |ni
n=1


c1


⇒ Ψ ist schreibbar als Vektor  ... . Damit Schrödingergleichung:
cN
~ = EC
~
HC
mit

H


= 

h1| H |1i
h2| H |1i
..
.

h1| H |2i . . .
h2| H |2i . . .
..
..
.
.
hN | H |1i




hN | H |N i
49
Falls die Funktionen |ni Eigenfunktionen von H sind:

H
E1
0
E2




=
..





.
EN
0
Für H = H0 + H1 ist die Matrix dann nicht mehr diagonal!
Beispiel: zwei Zustände, damit:
H
=
h1| H0 + H1 |1i h1| H0 + H1 |2i
h2| H0 + H1 |1i h2| H0 + H1 |2i
Es gilt:
h1| H0 |1i = E1
h1| H0 |2i =
0
sei zusätzlich:
h1| H1 |1i =
h2| H1 |2i = 0
h2| H1 |1i =
h1| H1 |2i = γ (reell)
Damit:
H
=
E1
γ
γ
E2
Diagonalisieren: das charakteristische Polynom ist
|
E1 − x
γ
| =
γ
E2 − x
=
(E1 − x)(E2 − x) − γ 2
x2 − (E1 + E2 )x + E1 E2 − γ 2
Damit ergibt sich das Eigensystem
Energie E10
=
Eigenvektor |10 i =
Energie E20
=
Eigenvektor |20 i =
p
1
((E1 + E2 ) − (E2 − E1 )2 + 4γ 2 )
2
2γ
p
|1i −
|2i
E2 − E1 + (E2 − E1 )2 + 4γ 2
p
1
((E1 + E2 ) + (E2 − E1 )2 + 4γ 2 )
2
2γ
p
|2i −
|1i
E2 − E1 + (E2 − E1 )2 + 4γ 2
(die Eigenvektoren sind nicht normiert). Die Beimischung der jeweils anderen Zustände ist für kleine γ (schwache Störung)
also linear in γ.
Graph der Energien:
50
Die Wellenfunkion verändert sich vom reinen Zustand zum vollständig gemischten Zustand.
Eine andere Situation ergibt sich im entarteten Fall: E1 = E2 = E0 . Hier ist
E0 γ
H =
γ E0
und das charakteristische Polynom lautet:
(E0 − x)2 − γ 2 = (E0 − x − γ)(E0 + x + γ)
Damit ist das Eigensystem
E10
=
|10 i =
E20
=
|20 i =
E0 − γ
1
√ (|1i − |2i)
2
E0 + γ
1
√ (|1i + |2i)
2
Die Mischung der Zustände ist immer vollständig, unabhängig von γ!
Graph der Energien:
1.4.2
Anwendung: Stark-Effekt beim H-Atom
Wasserstoffatom im elektrischen Feld (in z-Richtung).
Hamilton-Operator:
p~2
e2
Ĥ =
−
+ ezE = Ĥ0 + Ĥ1
2m 4π0 r
Betrachten 2s,2p-Zustände (nichtrelativistisch ⇒keine Spin-Bahn-Kopplung)
Matrixelemente:
Ry
h2s| Ĥ0 |2si = h2p| Ĥ0 |2pi = −
4
ˆ
ˆ
h2s| Ĥ1 |2si = eE Ψ∗ (~r)2s zΨ(~r)2s d~r = eE |Ψ(~r)2s |2 zd~r = 0
Ebenso:
m=0,±1 Ĥ1 2pm=0,±1 = 0
2p
Ry h2s| Ĥ0 2pm=0,±1 = (−
) 2s|2pm=0,±1 = 0
4
51
Übrig bleibt:
h2s| Ĥ1 2pm=0,±1
Es ist
1
= R2s (r) √
4π
r
3
= R2p (r)
cos θ
4π
r
3
sin θe±iφ
= R2p (r)
8π
= r cos θ
Ψ2s
Ψm=0
2p
m=±1
Ψ2p
z
Damit
ˆ
h2s| Ĥ1 2pm=0
∞
ˆ
2π
=
0
ˆ
= eE
|0
0
∞
ˆ
π
R2s (r) eE r cos θR2p (r) cos θr2 sin θdθdφdr
√ ˆ π
3
3
R2s (r)R2p (r)r dr
cos2 θ sin θdθ · 2π
4π 0
|
{z
}
{z
}
0
√
−3 3a0
4π/3
= −3a0 eE = γ
ˆ
h2s| Ĥ1 2pm=±1
=
∞
√ ˆ π
ˆ 2π
3
√
cos θ sin2 θdθ
e±iφ dφ
R2s (r)R2p (r)r dr
4π 2 0
0
{z
}
{z
}|
{z
}
|
3
eE
|0
6=0
=0
Damit wird in der Basis der 2s- und 2p-Zustände die Wellenfunktion


c2s
 c2p,m=0 

Ψ=
 c2p,m=−1 
c2p,m=1
und der Hamiltonoperator

E2
 γ
Ĥ = 

0
γ
E2
0




E2
E2
Matrix diagonalisieren; damit ergeben sich neue Eigenenergien und neue Eigenzustände.
Feldabhängigkeit der Energien:
52
=0
Wellenfunktionen:
(Ladungsverschiebung in −z-Richtung, energetisch günstig)
(Ladungsverschiebung in z-Richtung, energetisch ungünstig)
Aber kein Effekt für m = ±1: Ψ2s + Ψ2p,m=1 führt nur zur Verschiebung ⊥ zu z ⇒ kein Energiegewinn bzw. -verlust!
Betrachten n = 1: Basis Ψ1s , Ψ2p,m=0
Matrixelemente:
h1| H0 |1i =
E1
h1| H1 |1i =
0
128 √
2a0 = γ
243
h1| H1 |2i =
..
.
Damit lautet der Hamiltonoperator:
H=
E1
γ
Die resultierende Feldabhängigkeit der Energien ist dann:
53
γ
E2
quadratischer Stark-Effekt!
Vergleich mit klassischer Polarisierbarkeit:
Ladung in Potential:
mit elektrischem 2Feld:
Dipol p = qx = qD E = αE (HO), p = qa (Kasten)
potentielle Energie: V = pE = αE 2 (HO, quadratisch), V = qaE (Kasten, linear)
1.4.3
Zeitabhängiges Feld
Langsame Variation des elektrischen Feldes ⇒ Polarisation des Atoms folgt dem Feld
Energieaufnahme: Leistung
P = F~ · ~v = (−eE) cos ωt < ż >t
mit < z >t = z0 cos ωt
⇒< ż >t = z0 (−ω) sin ωt
⇒ P = eE cos ωt sin ωt z0
ˆ
Arbeit während einer Periode:
τ
W =
P dt = 0
0
d.h. keine Absorption (Energieaufnahme) oder Emission (Energieabgabe)!
(Energieaufnahme oder -abgabe erfolgt nur bei Phasenverschiebung zwischen Feld und Polarisation!)
1.4.4
Wirkungsquerschnitt
Die meisten Materialien absorbieren (oder streuen) Licht. ⇒ Abschwächung
54
Es gilt:
I = I0 · e−αl
α: Absorptionskoeffizient
Geht die Abschwächung auf nichtwechselwirkende Atome oder Moleküle zurück, so gilt:
I = I0 · e−nσl
n: Dicht der Teilchen [ m13 ], σ: Absorptionsquerschnitt [m3 ]
Für kleine n · σ · l gilt:
I = I0 (1 − nσl)
Bei durchleuchteter Fläche A gilt: Teilchen im Volumen N = n · A · l
nAlσ
A
⇒ Durch die Teilchenabsorption “abgedeckter” Flächenanteil: NAσ =
⇒ transmittierte Intensität: I = I0 (1 − nσl)
⇒ Wirkungsquerschnitt: “intransparente” Fläche um jedes Teilchen
1.4.5
= nσl
Zwei-Niveau-System im zeitabhängigen Feld
Ψ
= c1 |1i + c2 |2i =
c1
c2
Die zeitabhängige Schrödingergleichung:
i~
lautet damit
∂
i~
∂t
∂
Ψ = HΨ
∂t
c1 (t)
c2 (t)
= H(t)
c1 (t)
c2 (t)
Es ist:
Ĥ = Ĥ0 + eE ẑ sin ωt
(Feld in z-Richtung)
Mit
h1| Ĥ0 |1i =
E1 , h2| Ĥ0 |2i = E2
h1| Ĥ0 |2i =
0, h1| Ĥ1 |2i = E sin ωt e h1| ẑ |2i
55
wird der Hamilton-Operator also:
E1
µ12 E sin ωt
µ21 E sin ωt
E2
Ĥ =
mit dem Dipolmatrixelement
µ12 = | − e h1| ẑ |2i |
Lösungsansatz:
c1 (t)
c2 (t)
=
=
e
−iE1 t/~
b1 (t)
e
−iE2 t/~
b2 (t)
(ohne äußeres Feld sind b1 , b2 Konstanten)
Einsetzen in Schrödingergleichung:
ḃ1 (t)
=−
ḃ2 (t)
=−
µ12 E i(ω−ω12 )t
(e
− e−i(ω+ω12 )t )b2 (t)
2~
µ21 E
i(ω+ω12 )t
−e−i(ω−ω12 )t )b1 (t)
(
|e {z }
2~
schnelle Osz., mittelt sich weg
mit ~ω12 = E2 − E1
Für schwächere Felder gilt:
ḃ1 (t)
=
ḃ2 (t)
=
µ12 E i(ω−ω12 )t
e
b2 (t)
2~
µ21 E −i(ω−ω12 )t
e
b1 (t)
2~
−
(”Rotating wave approximation”)
Lösung für den angeregten Zustand:
b2 (t)
=
mit ∆ω = ω − ω12 (“Verstimmung”) und Ω =
√
iΩ
∆ω 2 + Ω2
−i ∆ω
t
2
√
e
sin(
t)
2
∆ω 2 + Ω2
µ12 E
~
(“Rabi-Frequenz”)
Wahrscheinlichkeit für den angeregten Zustand:
P2 (t)
= |c2 (t)|2 = |b2 (t)|2 =
√
Ω2
∆ω 2 + Ω2
2
sin
(
t)
2
2
∆ω + Ω
2
Für den Grundzustand:
P1 (t)
=
|c1 (t)|2 = 1 − |c2 (t)|2 = 1 − |b2 (t)|2
Diskussion
Fall 1: resonant (∆ω = 0)
⇒ |b2 (t)|2 = sin2 ( Ω2 t)
56
Gepulste Anregung: definierter Endzustand
π~
erzeugt |b2 | = 1, |b1 | = 0
“π-Puls”: Ωt = π → t = µE
“2π-Puls”: Ωt = 2π erzeugt |b2 | = 0, |b1 | = 1
“ 12 π-Puls”: Ωt = 12 π (“kohärente Überlagerung”) erzeugt |b2 | = |b1 | =
√1
2
Bemerkung: Die Rabi-Oszillation bedeutet einen ständigen Wechsel zwischen Energieaufnahme (Absorption) und Energieabgabe (stimulierte Emission).
Fall 2: nicht resonant (∆ω 6= 0)
τ=
√
2π
∆ω 2 +Ω2
maximale Amplitude
Ω2
∆ω 2 +Ω2
(Lorentzprofil)
Zeitabhängigkeit des Dipolmoments
Ein-Elektronen-Atom, zeitabhängiger Ortserwartungswert für das Elektron in z-Richtung:
ˆ
< z >t
=
Ψ(~r, t)zΨ(~r, t)d~r = hΨ| z |Ψi
in 2-Niveau-Näherung:
ˆ
< z >t
=
=
(c1 (t)Ψ1 (~r) + c2 (t)Ψ2 (~r))∗ z(c1 (t)Ψ1 (~r) + c2 (t)Ψ2 (~r)) d~r
c∗1 c2 h1| z |2i + c∗2 c1 h2| z |1i + |c1 |2 h1| z |1i +|c2 |2 h2| z |2i
| {z }
| {z }
=0
Dipolmoment in z-Richtung damit:
< pz >t
= < −ez >t
57
=0
= e−i(E2 −E1 ) /~ b∗1 b2 (−e) h1| z |2i +e−i(E2 −E1 ) /~ b∗2 b1 (−e) h2| z |1i
{z
}
|
1
1
µ12
=
2Re(eiω12 t b∗1 b2 µ12 )
(zeitabhängig!)
Das Dipolmoment oszilliert mit ω12 . Die Amplitude der Oszillation ist Null, falls b1 = 0, b2 = 0 oder µ12 = 0.
Für |b1 | = |b2 | =
√1
2
ist < pz >t = cos(ω12 t + Φ)µ12
Im resonanten Fall (∆ω = 0) ist die Zeitabhängigkeit der Zustandsbesetzung und des Dipolmoments also:
Das oszillierende Dipolmoment (und damit die Absorption und Energie) wird maximal für gemischte Zustände und Null
für reine Zustände.
Der reine angeregte Zustand |b2 | = 1 kann also nicht emittieren! (dies geht nur durch stimulierte Emission: die Anwesenheit des anregenden Felds führt zu “Beimischung” des Grundzustands und damit einem oszillierenden Dipol)
Aber: angeregte Atome strahlen spontan; die theoretische Behandlung muß also erweitert werden
58
1.4.6
Raten-Gleichungen: Einstein-Koeffizienten
In einem 2-Niveau-System gibt es drei mögliche Übergänge:
Mit der Besetzungswahrscheinlichkeit n1 = |c1 |2 , n2 = |c2 |2 lauten die dazugehörigen Raten:
1. Absorption
Rate:
K1 = B12 ρ(ν12 ) · n1
B12 : Einstein-Koeffizient (Absorptionsstärke)
ρ(ν12 ): spektrale Energiedichte bei ν = ν12 = ∆E/h
(Zusammenhang mit Intensität: I(ν) = c · ρ(ν))
2. stimulierte Emission
Rate:
KE = B21 · ρ(ν12 ) · n2
3. spontane Emission
Rate:
KS = A · n2
Verknüpfung von B12 , B21 , A durch Betrachtung des thermischen Gleichgewichts
Hier gilt im stationären Fall:
KA = KS + KE
also
B12 ρ(ν12 )n1 = B21 ρ(ν12 )n2 + An2
Außerdem gilt:
g2 ∆E
n2
= e− /kB T
n1
g1
gi : Entartung (Anzahl Zustände), ∆E = hν12
Einsetzen:
g2 ∆E
B12 ρ(ν12 )n1 = (B21 ρ(ν12 ) + A) e− /kB T n1
g1
ρ(ν12 ) =
A/B21
hν
g1 B12 kB12
T
g2 B21 e
−1
Vergleich mit Planck-Formel:
ρ(ν) =
hν
|{z}
En. der Mode
8πν 2
c3 }
| {z
Modendichte
1
e
|
hν
kB T
−1
{z }
Besetzungswahrsch.
59
=
8πhν 3
hν
c3 (e kB T − 1)
Die beiden Formeln stimmen überein, falls gilt:
B12
g2
B21
g1
3
8πhν12
B21
c3
=
A =
Bedeutung:
1. die Stärke der Anregung ist gleich der Stärke der Abregung (für g1 = g2 )
2. Für die stimulierte Emission gilt:
K = B21
ρ(ν12 )
| {z }
n2
En.-dichte Lichtfeld
Für die spontane Emission gilt:
K
=
8πhν 3
c3 }
| {z
B21
n2
2-fache En.dichte Vak.
Daraus folgt: die spontane Emission ist stimulierte Emission durch die Nullpunktsschwingung des elektromagnetischen Feldes!
Zeitabhängige Behandlung
mit Lichtintensität (Leistung pro Fläche)
I=
und
A
cρ(ν)
12
B0 =
12
12
B12 =
B21 (g1 = g2 ) :
cA
cA
ṅ1
= −B 0 In1 + B 0 In2 + An2
ṅ2
= B 0 In1 − B 0 In2 − An2
lauten die Ratengleichungen
Für Anfangsbedingungen n1 (0) = 1, n2 (0) = 0 lautet die Lösung:
B0I
−(2B 0 I+A)t
1
−
e
n2 (t) =
2B 0 I + A
Energieaufnahme:
P = ∆E(
ṅ2 +
|{z}
Anregung
60
An
|{z}2
)
Verlust (Emission)
Für kleine t:
P = ∆EB 0 I = σI
Der Wirkungsquerschnitt ist also:
σ = ∆EB 0
Für große t:
P = ∆E A
B0I
2B 0 I + A
Hier gilt für B 0 I A:
P = ∆EB 0 I
und damit wieder
σ = ∆EB 0
Aber: Ratengleichungen zeigen keine Oszillation!
1.4.7
Dichtematrix-Rechnung (2-Niveau-System)
Spontane Emission ist proportional zur Aufenthaltswahrscheinlichkeit im oberen Niveau
⇒ Übergang von Amplituden der Wellenfunktion zu Betragsquadraten ci → |ci |2 .
Ausgehend von (s. 1.4.5)
ḃ1
=
ḃ2
=
Ω
− ei∆ωt b2
2
Ω −i∆ωt
e
b1
2
mit Ω: Rabi-Frequenz, ∆ω: ω − ω12 “Detuning”
erhält man:
ṅ1
=
=
ṅ12
=
usw.
|ḃ1 |2 = (b∗1˙b1 ) = ḃ∗1 b1 + b∗1 ḃ1
Ω
Ω
− e−i∆ωt b∗2 b1 − ei∆ωt b∗1 b2
2
2
Ω
Ω
(b∗1˙b2 ) = − e−i∆ωt b∗2 b2 + e−i∆ωt b∗1 b1
2
2
Einführung der spontanen Emission:
ṅ2
=
−Rn2
ṅ1
=
ṅ12
=
+Rn2
R0
− n12
2
R: Populationszerfall
R’: Dephasierung
(in einfachen Fällen ist R = R0 )
61
Damit:
ṅ1
=
ṅ2
=
ṅ12
=
Ω
Ω
− e−i∆ωt n21 − ei∆ωt n12 + Rn2
2
2
Ω i∆ωt
Ω −i∆ωt
e
n12 + e
n21 − Rn2
2
2
Ω
Ω
R0
n12 ; n12 = n∗21
− e−i∆ωt n2 + e−i∆ωt n1 −
2
2
2
Diskussion der Lösungen:
Fall 1: resonant, keine Dämpfung (∆ω = 0, R = R0 = 0)
Für n2 (0) = 0:
n2 (t)
Ω
sin2 ( t)
2
=
Fall 2: resonant, mit Dämpfung (∆ω = 0, R = R0 6= 0)
⇒ für große Zeiten stationär, mit
n2
=
Ω2/R
2
R + 2Ω /R
Zeitabhängigkeit:
für Ω > R:
für Ω < R:
62
Vergleich mit Ratengleichungen:
n2
=
⇒A
=
0
BI
=
B0I
A + 2B 0 I
R
Ω2
R
(in Resonanz)
(R kann allerdings auch andere Relaxationsprozesse beinhalten, während A nur die spontane Emissionsrate angibt)
Fall 3: nichtresonant, mit Dämpfung (∆ω 6= 0, R = R0 6= 0)
⇒ stationär für große Zeiten mit
n2
=
( R2 )2
Ω2 /4
2
+ ∆ω 2 + Ω /2
Absorbierte Leistung für große Zeiten:
P
=
∆E · R · n2
=
∆E · R
( R2 )2
Ω2 /4
2
+ ∆ω 2 + Ω /2
Bei geringer Intensität (Ω R):
P
= ~ω
RΩ2 /4
( R2 )2 + ∆ω 2
(entspricht dem Absorptionsprofil freier Atome)
Die Breite des Profils ist direkt mit der Lebensdauer des angeregten Zustands verbunden. Falls keine Anregung vorliegt,
63
also Ω = 0, gilt:
= −Rn2
ṅ2
= n2 (0)e−Rt
⇒ n2 (t)
⇒ Lebensdauer τ
1/R
=
Die Fläche unter dem Profil ist:
ˆ
πRΩ2 /4
P (ω) dω = ~ω12 q
2
( R2 )2 + Ω2
Für Ω R:
ˆ
P (ω)dω
~ω12 Ω2 π
2
πω12 |µ12 |2 E 2
2~
=
=
Dies ist unabhängig von R!
1.4.8
Vergleich mit klassischem harmonischem Oszillator
“Elektron an Feder” im elektrischen Feld:
mẍ +
ẋ +
2ß
|{z}
Dämpfung
D
|{z}
x
= −eE sin ωt
Federkonst.
Lösung (für große Zeiten),:
x(t)
= A sin(ωt + φ)
mit
|A|2
=
e2 E 2 /m2
(ω02 − ω 2 )2 +
4β 2 2
m2 ω
Absorbierte Leistung:
P (t)
=
~ (t)
F~ (t) · V
=
2βV (t) · V (t)
=
2β|A|2 ω 2 · cos2 (ωt + φ)
Zeitgemittelt:
P̄
= β|A|2 ω 2
= βω 2
≈
e2 E 2 /m2
(ω02 − ω 2 )2 +
4β 2 2
m2 ω
βe2 E 2 /m2
4(ω − ω0 )2 + 4β 2 /m2
64
Auch hier ist die Breite des Profils wieder mit der “Lebensdauer” verbunden: ohne äußere Kraft (mẍ + 2β ẋ + Dx = 0)
schwingt der Oszillator entsprechend:
√
β
2
2
x(t) = x0 · e− m t e±i D/m+β /m t
Energie im Oszillator:
E
=
=
⇒τ
=
1
1
Dx2 + mẋ2
2
2
2β
E0 e− m t
m
2β
Damit ist sowohl beim 2-Niveau-System (bei geringer Anregung) und dem klassischem harmonischem Oszillator die Breite
der Anregungskurve gleich der inversen Lebensdauer!
Die integrierte Leistungsaufnahme des “klassischen Elektrons” ist damit:
ˆ
e2 E 2 π
P (ω)dω =
4m
(unabhängig von der Dämpfung 2β)
Vergleich QM-Klassik:
ˆ
P (ω)dω
=
=
⇒ |µ12 |2
=
e2 E 2 π
4m
πω12 |µ12 |2 E 2
2~
e2 ~
2mω12
(quadriertes “Dipolmoment” eines Elektrons im harmonischen Potential; entspricht dem Dipolerwartungswert h0| z |1z i des
harmonischen Oszillators!)
65
1.4.9
Oszillatorstärke
Absorbierte Leistung
P (ω)
σ(ω)
| {z }
=
I(ω)
Wirk.-querschn.
⇒ σ(ω)
Integriert für “klassisches Elektron” (mit I =
=
P (ω)
I(ω)
c0 2
2 E )
ˆ
ˆ
σ(ω)dω
=
=
P (ω)
dω
I(ω)
e2 π
20 cm
Definition: Oszillatorstärke f
f
(0 ≤ f ≤ 1
=
ˆ
2m0 c
σ(ω)dω
e2 π
für ein einzelnes Elektron)
Nur ein Übergang möglich:
Verschiedene Übergänge möglich:
Verallgemeinert für N-Elektronen-System: für die Oszillatorstärke aller Übergänge aus dem Grundzustand gilt:
X
fi = Nel (Thomas-Reiche-Kuhn Summenregel)
i
Beispiel:
harmonischer Oszillator, 1 Elektron:
66
Atom, 1 Elektron:
1.4.10
Lebensdauer, Linienform
Klassischer gedämpfter harmonischer Oszillator: exponentiell abnehmende Schwingung
x(t)
=
x0 e−t/2τ cos(ω0 t) · Θ(t)
Falls Ladung schwingt: Abstrahlung (führt zur Dämpfung!)
Spektrum des abgestrahlten Felds:
Fouriertransformation des Dipols:
ˆ ∞
−ex̃(ω) =
x0 e−t/2τ
cos(ω0 t)
| {z }
0
= 21 (eiω0 t +e−iω0 t )
67
eiωt dt
=
−e
x0
2
1
i(ω0 − ω) −
1
2τ
+
1
i(ω0 + ω) −
Abgestrahlte Leistung:
|x̃(ω)|2 ∝
P (ω) ∝
1
(ω0 − ω)2 +
1
4τ 2
Zusammenfassung
Übergangsdipolmoment
|µ12 |2 = | − e < 2|z|1 > |2 = f12
Lebensdauer
τ=
3ε0 c3 h
6πε0 c3 m 1
=
3
2
2|µ12 |2 ω12
e2 ω12
f12
Linienbreite (“natürliche”, d.h. ohne Doppler- oder Stoßverbreiterung)
∆ω =
1
=R
τ
Absorptionsquerschnitt in Resonanz
σ = ~B 0 = ~ω
1.4.11
Ω2 /R
|µ12 |2 E 2
3 2
= ~ω
τ=
λ
I
~2 I
2π 12
Übergangsmatrixelemente, Auswahlregeln
Abhängig von der Art der Anregung sind nur bestimmte Übergänge erlaubt.
Allgemein: externes Feld erzeugt Störung (beschrieben durch Ĥ1 )
Übergangsrate 1. Ordnung:
k
| hf | Ĥ1 |ii |2
|{z}
|{z}
final
initial
{z
}
|
∝
Übergangsmatrixelement
1. elektrischer Dipolübergang, Ein-Elektronen-System
Matrixelement:
~ |ii =
hf | p~E
|{z}
Ĥ1
68
~ |ii
−e hf | ~rE
1
2τ
Wellenfunktionen:
h~r|ii =
Ψi (~r) = R(r)Θlmi i eimi φ
linear polarisiertes E-Feld (z-Richtung):
~
E(t)
⇒ µif
=
~ = zE0 e−iωt
E0~ez e−iωt ⇒ ~rE
=
−e hf | z |ii
=
−e hf | r cos θ |ii
ˆ 2π
ˆ
ˆ
mf ∗ mi
∗
3
ei(mi −mf )φ dφ
−e Rf (r)Ri (r)r dr
Θlf Θli cos θ sin θdθ
|
{z
} |0
{z
}
=
6=0 für ∆l=±1und∆m=0
6=0 für ∆m=0
⇒ Übergang ist erlaubt für
∆l
=
±1
∆m
=
0
(Auswahlregel für linear polarisiertes elektrisches Feld)
Positiv zirkular polarisiertes Feld (in x-y-Ebene):
~
E(t)
⇒ Ĥ1
E
√0 ~ex e−iωt + i~ey e−iωt
2
E0 −iωt
~ = (x + iy) √
= ~rE
e
2
=
Matrixelement:
µif
=
=
=
e
− √ hf | x + iy |ii
2
e
− √ hf | r · sin θeiφ |ii
2
ˆ 2π
ˆ
ˆ π
e
mf ∗ mi
∗
3
2
−√
ei(mi −mf +1)φ dφ
Rf Ri r dr
Θlf Θli sin θdθ
2
0
0
{z
}|
{z
}
|
6=0 für ∆l=±1und∆m=±1
⇒ Übergang ist erlaubt für
∆l
=
±1
∆m
=
+1
∆l
=
±1
∆m
=
−1
(positiv zirkular polarisiertes Licht)
entsprechend
(negativ zirkular polarisiertes Licht)
⇒ Zeeman-Effekt:
Elektron im vereinfachten H-Atom (ohne Spin) im B-Feld
69
6=0 für ∆m=+1
π: linear polarisiertes Licht (in Richtung B-Feld)
σ± : zirkular polarisiertes Licht
Emission entsprechend:
in z-Richtung:
in x,y-Richtung:
2. Magnetische Dipolübergänge:
B-Feld in x-Richtung
Matrixelement:
hf |
e
(Lx + 2Sx ) |ii B0 e−iωt
2m
|
{z
}
magn. Moment
Auswahlregeln:
∆l
=
0
∆ml
=
±1, 0
70
∆ms
=
±1, 0
Absorptionsquerschnitt typischerweise 2-3 Größenordnungen kleiner als für elektrischen Dipol.
3. Elektrische Quadrupol-Übergänge:
Matrixelement:
hf |
e
(ypz + zpy ) |ii Ez e−iωt
2mc
Auswahlregeln:
∆l
=
0, ±2
∆m
=
0, ±1, ±2
(möglich durch Bahndrehimpuls des Photons!)
Typischerweise 8 Größenordnungen schwächer als elektrischer Dipol.
4. Zweiphotonenübergang:
Matrixelement:
1 2 X µin µnf
E
4
ωin − ω
Auswahlregeln:
∆l
=
0, ±2
∆m
=
0, ±1, ±2
(∆m hängt von der Art der Lichtpolarisation ab)
5. elektrischer Dipolübergang, Mehrelektronensystem:
∆J
=
0, ±1
∆mJ
=
0, ±1
(kein (J = 0) → (J = 0) )
Bei L-S-Kopplung:
∆L = ±1
∆mL
=
0, ±1
∆S
=
0
∆j
=
0, ±1
∆mj
=
0, ±1
Bei j-j-Kopplung:
für das übergehende Elektron
71