1,2M - Institut für Theoretische Physik

Erweiterung der Spectral RenormalizationMethode auf das CPT -Produkt für
PT -symmetrische Quantensysteme
Bachelorarbeit von
Christoph Lohrmann
4. August 2016
Prüfer: Priv.-Doz. Dr. Holger Cartarius
1. Institut für Theoretische Physik
Universität Stuttgart
Pfaffenwaldring 57, 70550 Stuttgart
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Motivation und Einführung in das Thema . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2 PT -symmetrische Quantenmechanik
2.1 PT -symmetrische Quantensysteme . . . . . . . .
2.2 Eigenwerte und Eigenzustände PT -symmetrischer
2.2.1 Lineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Nichtlineare Systeme . . . . . . . . . . . .
2.3 Das CP-Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
5
6
6
8
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13
14
14
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17
17
18
20
21
5 PT -symmetrisches Doppelmuldensystem
5.1 Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Chemisches Potential und Mean-Field-Energie . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
23
27
6 Konvergenz und numerische Beobachtungen
6.1 Konvergenz der Spectral Renormalization-Methode . .
6.2 Sinnvolle Schranke für den Iterationsabbruch . . . . . .
6.3 Nichtkonvergenz bei g = 0 im PT -gebrochenen Bereich
6.4 Einfluss des Parameters r . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
29
31
32
35
. . . . .
Systeme
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. . . . .
. . . . .
3 Bose-Einstein-Kondensate und Gross-Pitaevskii-Gleichung
3.1 Herleitung der Gross-Pitaevskii-Gleichung . . . . . . . .
3.2 Pseudopotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Dimensionslose GPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Anwendung in PT -symmetrischen Systemen . . . . . . .
4 Spectral Renormalization-Methode
4.1 Herleitung der Spectral Renormalization-Methode . .
4.2 Erzwingen exakter PT -Symmetrie . . . . . . . . . . . .
4.3 Abbruchbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7 Finden angeregter Lösungen mit der Spectral Renormalization-Methode
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41
iii
Inhaltsverzeichnis
7.1
7.2
7.3
Orthogonalisieren . . .
7.1.1 Vorgehen . . .
7.1.2 Ergebnisse . . .
Störungsrechnung . . .
7.2.1 Anwendbarkeit
7.2.2 Vorgehen . . .
7.2.3 Ergebnisse . . .
Vergleich . . . . . . . .
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41
41
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43
45
46
47
49
8 Zusammenfassung und Ausblick
51
Literaturverzeichnis
53
Danksagung
55
iv
1 Einleitung
1.1 Motivation und Einführung in das Thema
Nicht analytisch lösbare Differentialgleichungen treten in der Physik so häufig auf, dass
es ein Kerngebiet der Numerik ist, diese Gleichungen mit möglichst hoher Präzision
und geringem Zeitaufwand zu lösen. Es haben sich in der Quantenmechanik, in der es
meist um die Lösung einer Schrödingergleichung mit Randbedingungen geht, vor allem
zwei Methoden etabliert, nämlich solche die auf einem Shootingverfahren beruhen und
solche, die Finite-Elemente-Rechnungen durchführen. Es wurde jedoch von Ablowitz und
Musslimani eine neue Methode zur Lösung von Differentialgleichungen gefunden, die
Spectral Renormalization-Methode [1]. Mit ihr ist es möglich, Differentialgleichungen
vom Typ der Schrödingergleichung mit nichtlinearem Anteil zu lösen. Sie konvergiert
schnell, auch wenn wenig über die gesuchte Lösung bekannt ist.
In dieser Arbeit wird die Spectral Renormalization-Methode auf die Differentialgleichung angewendet, die ein Bose-Einstein-Kondensat in einem offenen Quantensystem
mit Ein- und Auskopplung beschreibt. Der Effekt der Bose-Einstein-Kondensation wurde 1924 von Einstein [2, 3] basierend auf den Arbeiten von Bose [4] vorhergesagt und
1995 erstmals beobachtet [5, 6]. Bose-Einstein-Kondensate sind ein aktuelles Forschungsthema.
Die Gross-Pitaevskii-Gleichung modelliert in einer Mean-Field-Näherung die kondensierte Phase eines solchen bosonischen Vielteilchensystems bei sehr niedrigen Temperaturen, wenn sich alle Teilchen im Grundzustand befinden. Durch die Näherung reduziert sich die N -Teilchen-Schrödingergleichung auf die Differentialgleichung einer einzigen Wellenfunktion, wobei der Einfluss aller anderen Teilchen durch einen einzigen Term,
der die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte enthält, zusammengefasst wird. Die zu lösende Differentialgleichung ist also im Gegensatz zur Schrödingergleichung nicht mehr
linear.
Eine weitere Abweichung der in dieser Arbeit betrachteten Gleichung von der meist
verwendeten Schrödingergleichung ist, dass komplexe externe Potentiale zugelassen werden. Dies kollidiert mit der Forderung, dass alle Operatoren, die Observablen repräsentieren, hermitesch sein müssen. Diese Eigenschaft stellt sicher, dass die Erwartungswerte
der Observablen immer reell sind und dass die Gesamtwahrscheinlichkeit in der Zeitentwicklung erhalten bleibt. Die Hermitezität ist aber keine notwendige Voraussetzung für
reelle Erwartungswerte oder reelle Eigenwerte beispielsweise des Hamiltonoperators.
1
1 Einleitung
Bender und Böttcher haben gezeigt [7], dass die Forderung nach Hermitezität zur Forderung nach einer PT -Symmetrie, also Raum- und Zeitumkehrinvarianz abgeschwächt
werden kann. Rein reelle Spektren und stationäre Zustände sind dann immer noch möglich. Darüber hinaus kann der Imaginärteil des Potentials als Gewinn oder Verlust von
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden. Er ermöglicht also die effektive Beschreibung eines offenen Teilsystems, bei dem von außen Teilchen hinzugefügt oder
entfernt werden. Das ganze System muss dann nicht betrachtet werden, es genügt die
Modellierung des Kopplungseffekts durch ein komplexes Potential.
Bislang gelang noch keine experimentelle Realisierung eines PT -symmetrischen Quantensystems, weder bei Raumtemperatur noch als Bose-Einstein-Kondensat. Da die Differentialgleichungen in der Optik der Schrödingergleichung sehr ähnlich sehen, konnten die
Konzepte der PT -symmetrischen Quantenmechanik auf gekoppelte Wellenleiter übertragen werden, die im Experiment das erwartete Verhalten PT -symmetrischer Systeme
aufweisen [8]. Auch im Zusammenhang mit Lasern [9] und sogar elektrischen Schwingkreisen [10] wurden entsprechende Experimente durchgeführt.
Ziel der Arbeit ist es, die Spectral Renormalization-Methode zu verwenden, um numerisch Lösungen der Gross-Pitaevskii-Gleichung mit einem PT -symmetrischen, also
komplexen Potential zu berechnen. Es wird untersucht, in welchen Parameterbereichen
die SRM konvergiert und wie sich die Konvergenzgeschwindigkeit optimieren lassen kann.
Außerdem werden Methoden vorgestellt, durch die man mit der SRM auch angeregte
Zustände erhalten kann.
1.2 Aufbau der Arbeit
Im Grundlagenteil dieser Arbeit wird zunächst in Kapitel 2 eine Einführung in die Eigenschaften von PT -symmetrischen Quantensystemen gegeben und gezeigt, welche Formen
von Eigenzuständen und Eigenwerten bei PT -symmetrischen Hamiltonoperatoren zu
erwarten sind. Außerdem wird eine Erweiterung auf eine bestimmte Klasse von nichtlinearen Hamiltonoperatoren vorgenommen, die die wichtigsten Eigenschaften der linearen
PT -symmetrischen Hamiltonoperatoren erhalten. Kapitel 3 beschäftigt sich mit BoseEinstein-Kondensaten und deren Beschreibung in der Mean-Field-Näherung über die
Gross-Pitaevskii-Gleichung. In Kapitel 4 wird die Spectral Renormalization-Methode
vorgestellt und beschrieben, wie sich diese auf physikalische Fragestellungen im Rahmen
PT -symmetrischer Quantensysteme anwenden lässt. Das betrachtete PT -symmetrische
Potential sowie seine aus der Gross-Pitaevskii-Gleichung folgenden Eigenzustände und
chemischen Potentiale in Abhängigkeit von den Potentialparametern werden in Kapitel
5 behandelt. Kapitel 6 beschäftigt sich mit den numerischen Eigenschaften der Spectral
Renormalization-Methode und Problemen mit der Konvergenz in bestimmten Parameterbereichen. In Kapitel 7 werden zwei Methoden diskutiert, wie man mit der Spectral Renormalization-Methode angeregte Lösungen der Gross-Pitaevskii-Gleichung finden kann.
2
2 PT -symmetrische Quantenmechanik
In der Quantenmechanik werden Observablen durch hermitesche Operatoren beschrieben. Dies garantiert, dass die Eigenwerte dieser Operatoren, die die möglichen Messwerte der Observablen angeben, reell sind. Die Forderung nach Hermitezität ist aber
nicht zwingend erforderlich, auch nichthermitesche Operatoren können reelle Eigenwerte
haben, was von Bender und Böttcher gezeigt wurde [7]. Zur Beschreibung von Quantensystemen, die nicht abgeschlossen sind, sondern äußeren Einflüssen unterliegen, können
nichthermitesche Hamiltonoperatoren verwendet werden, die die äußeren Einflüsse modellieren.
Das folgende Kapitel, das sich mit den Eigenschaften nichthermitescher Quantensysteme beschäftigt, ist angelehnt an die entsprechenden Abschnitte der Masterarbeiten von
Dennis Dast [11] und Daniel Haag [12].
2.1 PT -symmetrische Quantensysteme
PT -Operator
Der Paritätsoperator P beschreibt eine Raumspiegelung am Ursprung, der Zeitumkehroperator T führt dazu, dass die Zeit rückwärts läuft. Sie sind wie folgt definiert
P : x̂ → −x̂, p̂ → −p̂
T : x̂ → x̂, p̂ → −p̂, i → −i.
(2.1)
(2.2)
Dass die Zeitumkehr mit einer komplexen Konjugation verbunden sein muss, folgt zum
Beispiel daraus, dass die Kommutatoreigenschaft [x̂, p̂] = i~ unter Anwendung des T Operators erhalten bleiben muss. Die Umformung
x̂p̂ − p̂x̂ = i~ |T
−x̂p̂ + p̂x̂ = −i~ | · (−1)
x̂p̂ − p̂x̂ = i~
(2.3)
kann nur das gewünschte Ergebnis zeigen, wenn der T -Operator auf der rechten Seite
die imaginäre Einheit komplex konjugiert.
P ist ein linearer, T ein antilinearer Operator
P(aψ + bφ) = aP(ψ) + bP(φ)
T (aψ + bφ) = a∗ T (ψ) + b∗ T (φ).
3
2 PT -symmetrische Quantenmechanik
Für den PT -Operator ergibt sich also
PT : x̂ → −x̂, p̂ → p̂, i → −i
PT (aψ + bφ) = a∗ PT ψ + b∗ PT φ.
(2.4)
(2.5)
PT -symmetrische Potentiale
Ein Quantensystem wird als PT -symmetrisch bezeichnet, wenn sein Hamiltonoperator
mit dem PT -Operator vertauscht.
h
i
!
PT , Ĥ = 0
PT Ĥ = ĤPT
2
p̂2
p̂
PT
+ PT V (x̂) =
+ V (x̂) PT
2m
2m
p̂2
p̂2
PT + V ∗ (−x̂)PT =
PT + V (x̂)PT
2m
2m
V ∗ (−x̂) = V (x̂)
(2.6)
Die Forderung nach PT -Symmetrie lässt also komplexe Potentiale zu. Diese müssen
aber einen geraden Realteil und einen ungeraden Imaginärteil besitzen. Die Interpretation des Imaginärteils wird deutlich, wenn man die zeitliche Änderung der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte
betrachtet und mithilfe der Schrödigergleichung i~ ∂∂t ψ =
p̂2
2m
+ V ψ vereinfacht
∂
i
i
∂
|ψ|2 =
(ψ ∗ ψ) = ψ˙∗ ψ + ψ ∗ ψ̇ = ψ Ĥ ∗ ψ ∗ − ψ ∗ Ĥψ
∂t
∂t ~
~
2
i
p̂2
i
p̂
= ψ
+ V ∗ ψ∗ − ψ∗
+V ψ
~
2m
~
2m
i~
i
=
(ψ ∗ 4ψ − ψ 4ψ ∗ ) + ψ ∗ ψ (V ∗ − V )
2m
~
2 2
i~
= |ψ| Im V −
div j.
(2.7)
~
2m
Hierbei wurde die Wahrscheinlichkeitsstromdichte j = (ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ) eingeführt. Der
zusätzliche Term durch das komplexe Potential führt also dazu, dass bei positivem Imaginärteil Wahrscheinlichkeitsdichte hinzugefügt und bei negativem Imaginärteil Wahrscheinlichkeitsdichte entfernt wird. Der Imaginärteil des Potentials eignet sich also zur
effektiven Beschreibung der Hinzugabe von Teilchen in ein System oder das Entfernen
von Teilchen aus dem System.
Die lokale Erhaltung der Wahrscheinlichkeitsdichte beschrieben durch die Kontinuitätsgleichung
∂
i~
|ψ| = −
div j
(2.8)
∂t
2m
4
2.2 Eigenwerte und Eigenzustände PT -symmetrischer Systeme
gilt also nicht mehr. Da Im V bei einem PT -symmetrischen System eine antisymmetrische Funktion ist, ist die gesamte Wahrscheinlichkeit dennoch erhalten, falls |ψ| eine symmetrische Funktion ist, da dann das Integral über den Quell- und Senkenterm
2
|ψ|2 Im V verschwindet.
~
2.2 Eigenwerte und Eigenzustände PT -symmetrischer
Systeme
Eigenwerte des PT -Operators
Aus der Definition des PT -Operators (Gleichung 2.4) ergibt sich sofort, dass dieser
selbstinvers ist, zweimaliges Anwenden also den Ausgangszustand wieder herstellt. Aus
dieser Eigenschaft folgen die möglichen Eigenwerte. Sei |ψi ein Eigenzustand zu PT mit
dem Eigenwert λ
|ψi = PT (PT |ψi)
= PT (λ|ψi)
= λ∗ PT |ψi
= λ∗ λ|ψi
= |λ|2 |ψi
⇒ |λ| = 1.
(2.9)
Damit hat jedes λ die Form λ = eiϕ mit ϕ ∈ R. Durch die freie Phasenwahl bei einem
Zustand kann |ψi so gewählt werden, dass λ = 1. Sei |ψi ein Eigenzustand von PT zum
ϕ
Eigenwert λ = eiϕ , dann ist |ψ 0 i = ei 2 |ψi ein Eigenzustand mit Eigenwert 1
ϕ
PT |ψ 0 i = PT ei 2 |ψi
ϕ
= e−i 2 PT |ψi
ϕ
= e−i 2 eiϕ |ψi
ϕ
= ei 2 |ψi
= |ψ 0 i.
(2.10)
Solche Zustände mit Eigenwert 1 werden als exakt PT -symmetrisch bezeichnet.
5
2 PT -symmetrische Quantenmechanik
2.2.1 Lineare Systeme
Nichtentartete Eigenwerte des Hamiltonoperators
Sei |ψi ein Eigenzustand von Ĥ zum Eigenwert µ. Ĥ und PT vertauschen. Dann gilt
Ĥ|ψi = µ|ψi
PT Ĥ|ψi = PT µ|ψi
Ĥ(PT |ψi) = µ∗ (PT |ψi).
(2.11)
Ist µ komplex, so ist PT |ψi ein neuer Eigenzustand zu Ĥ mit dem Eigenwert µ∗ . Wenn
µ reell ist, erfüllen |ψi und PT |ψi dieselbe Gleichung. Ohne Entartung folgt daraus
PT |ψi = c · |ψi. |ψi ist in diesem Fall Eigenzustand des PT -Operators. Reelle Eigenwerte führen also auf PT -symmetrische Zustände. Die Umkehrung gilt ebenfalls. Sei |ψi
ein Eigenzustand von PT zum Eigenwert λ und gleichzeitig Eigenzustand von Ĥ zum
Eigenwert µ. Anschließend an Gleichung (2.11) ergibt sich dann
µ∗ PT |ψi = ĤPT |ψi
= Ĥλ|ψi
= λĤ|ψi
= λµ|ψi
= µPT |ψi.
(2.12)
Es folgt µ∗ = µ. PT -symmetrische Zustände besitzen also reelle Eigenwerte.
Entartete Eigenwerte des Hamiltonoperators
PT -symmetrische Zustände führen unabhängig von der Entartung noch immer auf reelle
Eigenwerte, da die Nichtentartung keine Voraussetzung für die Folgerungen aus Gleichung (2.12) ist. Mit etwas Rechenaufwand, nachzulesen zum Beispiel in [11], lässt sich
zeigen, dass für den Eigenraum eines reellen Eigenwerts eine Basis von PT -symmetrischen
Funktionen gefunden werden kann. Bei komplexen Eigenwerten gibt es weiterhin Paare
von Zuständen, sodass wenn |ψi Eigenzustand zum Eigenwert µ ist, PT |ψi Eigenzustand
zum Eigenwert µ∗ ist.
2.2.2 Nichtlineare Systeme
Unter bestimmten Voraussetzungen gelten die für lineare Systeme gemachten Aussagen
auch für nichtlineare Systeme. Wird das System beschrieben durch einen Hamiltonoperator
p̂
+ V + f (ψ),
(2.13)
Ĥ = Ĥlin + f (ψ) =
2m
6
2.2 Eigenwerte und Eigenzustände PT -symmetrischer Systeme
wobei V ein PT -symmetrisches Potential ist, so muss die Funktion f (ψ), die die Nichtlinearität beschreibt, folgende Eigenschaften haben, damit sich die Ergebnisse für lineare
Systeme auf nichtlineare übertragen lassen:
f ( eiϕ ψ) = f (ψ), ϕ ∈ R
PT f (ψ) = f (PT ψ)
(2.14)
(2.15)
Die erste Eigenschaft sichert die freie Phasenwahl zu. Die zweite Eigenschaft sorgt zusammen mit der ersten dafür, dass wenn |ψi PT -symmetrisch ist, die Funktion f (ψ)
invariant unter Anwendung des PT -Operators ist und somit Ĥ mit PT vertauscht.
Die Rechnungen für den Zusammenhang zwischen reellen Eigenwerten und der PT Symmetrie der Zustände verlaufen analog wie im linearen Fall. Sei |ψi ein Eigenzustand
von Ĥ mit dem Eigenwert µ. Dann gilt
Ĥ|ψi = µ|ψi
PT (Ĥlin + f (ψ))|ψi = PT µ|ψi
(Ĥlin + f (PT ψ))PT |ψi = µ∗ PT |ψi.
(2.16)
Der Zustand PT |ψi ist also Eigenzustand zum Eigenwert µ∗ . Da der Hamiltonoperator
vom Zustand abhängt, auf den er wirkt, ist wichtig, dass sich die Anwendung des PT Operators auf f (ψ) nach (2.15) auf das Argument übertragen lässt.
Ist µ reell und nicht entartet, muss PT |ψi = c|ψi gelten und somit ist |ψi PT symmetrisch. Ist µ komplex, gibt es wieder Paare von Zuständen, die durch Anwenden
von PT auseinander hervorgehen und die zueinander komplex konjugierte Eigenwerte
haben. Aus der PT -Symmetrie eines Zustands folgt wie im linearen Fall ein reeller
Eigenwert. Sei |ψi Eigenzustand von Ĥ zum Eigenwert µ und gleichzeitig Eigenzustand
zu PT mit Eigenwert λ = eiϕ , so folgt nämlich
µ∗ PT |ψi = (Ĥlin + f (PT ψ))PT |ψi
= (Ĥlin + f ( eiϕ ψ)) eiϕ |ψi
= eiϕ (Ĥlin + f (ψ))|ψi
= eiϕ µ|ψi
= µPT |ψi.
∗
⇒µ =µ
(2.17)
Ist µ entartet, folgt aus den Gleichungen (2.16) und (2.17) immer noch, dass es bei
komplexen Eigenwerten über den PT -Operator verbundene Zustandspaare mit komplex
konjugierten Eigenwerten gibt und dass PT -symmetrische Zustände reelle Eigenwerte
haben. Es kann aber keine Aussage über mögliche PT -Symmetrie von Zuständen aus
dem Eigenraum eines reellen µ getroffen werden.
7
2 PT -symmetrische Quantenmechanik
2.3 Das CP-Skalarprodukt
Die Eigenzustände hermitescher Hamiltonoperatoren sind orthogonal, da Ĥ † = Ĥ. Diese
Eigenschaft geht in der nichthermiteschen Quantenmechanik verloren. Bei den Hamiltonoperatoren, die in dieser Arbeit betrachtet werden, nämlich solchen in der Ortsdarstellung, reduziert sich das Bilden der Adjungierten aber auf eine einfache komplexe
p̂2
Konjugation. Für Hamiltonoperatoren der Form Ĥ = 2m
+ V̂ führt das auf
Ĥ † = Ĥ ∗ = Ĥ − 2i Im V̂ .
(2.18)
Für zwei Eigenzustände |ψ1 i und |ψ2 i mit Eigenwerten µ1 , µ2 gilt dann
1
hψ1 |Ĥψ2 i
µ2
1
= hψ1 | Ĥ † + 2i Im V̂ ψ2 i
µ2
µ∗
2i
= 1 hψ1 |ψ2 i + hψ1 |Im V̂ ψ2 i
µ2
µ2
2ihψ1 |Im V̂ ψ2 i
⇔ hψ1 |ψ2 i =
6= 0 i.A.
µ2 − µ∗1
hψ1 |ψ2 i =
(2.19)
Es kann allerdings ein neues Skalarprodukt eingeführt werden, sodass die Zustände orthogonal aufeinander stehen
h · | · iP = h · |P| · i.
(2.20)
Die Orthogonalität bezüglich diesem Skalarprodukt kann mit einer weiteren Eigenschaft
der Adjungierten eines PT -symmetrischen Hamiltonoperators im Ortsraum gezeigt werden
Ĥ = PT PT Ĥ = PT ĤPT = P Ĥ ∗ T T P = P Ĥ † P
⇔ P Ĥ = Ĥ † P.
(2.21)
Damit gilt für zwei Eigenzustände |ψ1 i und |ψ2 i, deren Eigenwerte µ2 6= µ∗1 erfüllen
1
hψ1 |P Ĥ|ψ2 i
µ2
µ∗
µ∗
1
= hψ1 |Ĥ † P|ψ2 i = 1 hψ1 |P|ψ2 i = 1 hψ1 |ψ2 iP
µ2
µ2
µ2
∗
⇔ (µ2 − µ1 )hψ1 |ψ2 iP = 0
⇒ hψ1 |ψ2 iP = 0.
hψ1 |ψ2 iP = hψ1 |P|ψ2 i =
(2.22)
Diese Definition erzeugt aber ein Problem mit der Norm eines Zustandes. Jeder PT φ
symmetrische Zustand mit PT |ψi = eiφ kann durch die Phasenwahl |ψ 0 i = ei 2 |ψi
8
2.3 Das CP-Skalarprodukt
exakt PT -symmetrisch gemacht werden. Die Norm ist auch unter dem P-Skalarprodukt
phasenunabhängig, da P ein linearer Operator ist. Es genügt also die Norm exakt PT symmetrischer Zustände zu betrachten. Diese wird in der Ortsdarstellung wie folgt berechnet:
hψ|ψiP = hψ|P|ψi = hPψ|ψi
Z
Z
Z
∗
= ψ(−x) ψ(x) dx = (PT ψ(x))ψ(x) dx = ψ(x)2 dx
Z
Z
2
2
= (Re ψ(x)) − (Im ψ(x)) dx + 2i Re ψ(x) Im ψ(x) dx
(2.23)
Da der Realteil von ψ(x) eine gerade und der Imaginärteil eine ungerade Funktion ist,
verschwindet der zweite Summand, die Norm ist damit immer reell. Da es aber keine
Bedingung gibt, die Aussagen über das Verhältnis von Real- und Imaginärteil einer
PT -symmetrischen Wellenfunktion macht, kann die Norm negativ werden. Um dies zu
verhindern, wird das P-Skalarprodukt um einen Faktor c erweitert, der im Falle einer
negativen P-Norm einen Faktor −1 beisteuert
hψ1 |ψ2 iCP = c hψ1 |ψ2 iP , c = sign (hψ1 |ψ1 iP ) .
(2.24)
hψ|ψiCP ≥ 0.
(2.25)
Damit gilt
Dies bedeutet nicht, dass das Skalarprodukt positiv definit ist, da nach Gleichung (2.23)
die P-Norm und damit auch die CP-Norm durchaus Null sein können, selbst wenn die
zugehörige Wellenfunktion nicht Null ist.
Die im Titel dieser Arbeit verwendete Bezeichnung CPT -Produkt bezieht sich auf die
Ortsdarstellung des hier definierten CP-Skalarprodukts, bei dem die komplexe Konjugation mit dem T -Operator identifiziert werden kann
Z
Z
∗
hψ1 |ψ2 iCP = chPψ1 |ψ2 i = c (Pψ1 ) ψ2 dx = c (PT ψ1 ) ψ2 dx .
(2.26)
Vorsicht ist allerdings geboten, wenn das CP-Skalarprodukt nicht im Ortsraum, sondern
beispielsweise im Impulsraum angewendet wird
Z
Z
∗
hψ1 |ψ2 iCP = chPψ1 |ψ2 i = (Pψ1 (p)) ψ2 (p) dp = ψ1∗ (−p)ψ2 (p) dp
(2.27)
Z
Z
6= ψ1∗ (p)ψ2 (p) dp = (PT ψ1 (p)) ψ2 (p) dp .
(2.28)
9
3 Bose-Einstein-Kondensate und
Gross-Pitaevskii-Gleichung
Bei Vertauschung ununterscheidbarer Teilchen darf sich die Physik dieser Teilchen nicht
ändern. In der Quantenmechanik bedeutet dies, dass der Mehrteilchenzustand ununterscheidbarer Teilchen unter Vertauschung zweier Teilchen nur seine Phase ändern darf.
Aus der Forderung, dass die Rückvertauschung die ursprüngliche Wellenfunktion wiederherstellt, folgt, dass die Vertauschung die Wellenfunktion entweder komplett invariant
lässt oder nur das Vorzeichen ändert.
Bosonen werden solche Teilchen genannt, bei denen die Vertauschung zweier Teilchen
keine Auswirkung auf die Wellenfunktion hat. Für sie gilt explizit nicht das Pauli-Prinzip
für Fermionen, nach dem zwei Teilchen nicht denselben quantenmechanischen Zustand
annehmen können. Dies hat einen entscheidenden Einfluss auf die Statistik bosonischer
Vielteilchensysteme. Die Bose-Einstein-Statistik beschreibt für Bosonen die mittlere Besetzungszahl eines Zustands abhängig von der Energie des Zustands und von der Temperatur. Sie besagt, dass bei sehr tiefen Temperaturen die Besetzungswahrscheinlichkeit
für den Grundzustand so hoch ist, dass sich (fast) alle Teilchen in diesem Grundzustand
befinden. Als Bose-Einstein-Kondensation wird der Effekt bezeichnet, wenn ein BoseGas eine kritische Temperatur unterschreitet, bei der der Grundzustand makroskopisch
besetzt wird.
Die Bose-Einstein-Kondensation wurde 1924 von Einstein [2, 3] vorhergesagt, der sich
auf die Ausführungen von Bose zur Photonenstatistik [4] bezog. Der experimentelle Nachweis gelang erst 1995 durch Gruppen um Cornell und Wieman [6] sowie Ketterle [5], die
dafür auch den Nobelpreis verliehen bekamen.
Zur mathematischen Beschreibung des Bose-Einstein-Kondensats (engl. Bose-Einsteincondensate, BEC) wird in der Regel die Gross-Pitaevskii-Gleichung (engl. Gross-Pitaevskii
equation, GPE) verwendet, die von Gross [13] und Pitaevskii [14] 1961 unabhängig voneinander entwickelt wurde. Sie geht von der Näherung aus, dass bei sehr niedrigen Temperaturen und Dichten die Wechselwirkung zwischen den Teilchen so gering ist, dass
ein Produktzustand aus identischen Einteilchenwellenfunktionen zur Beschreibung des
Gesamtsystems ausreichend ist. Die Herleitung im folgenden Abschnitt orientiert sich
an den entsprechenden Kapiteln aus der Masterarbeit von Dennis Dast [12] und der
Bachelorarbeit von Helmut Frasch [15].
11
3 Bose-Einstein-Kondensate und Gross-Pitaevskii-Gleichung
3.1 Herleitung der Gross-Pitaevskii-Gleichung
Die Energie-Eigenzustände eines N -Teilchen Quantensystems ergeben sich aus der zeitunabhängigen Schrödingergleichung
!
N
N
N
X
X
1X
p̂2
+
V (x̂i ) +
Ĥ|Ψi =
W (x̂i , x̂j ) |Ψi = E|Ψi.
(3.1)
2m
2
i=1
i=1
i6=j
Hierbei beschreibt V (x̂) ein externes Potential, das auf alle Teilchen gleichermaßen wirkt
und W (x̂i , x̂j ) das Wechselwirkungspotential zwischen zwei Teilchen.
Für eine schwache Wechselwirkung kann der Gesamtzustand |Ψi näherungsweise als
ein Produktzustand von Einteilchenzuständen |ψi i geschrieben werden. Da sich nach
der Näherung für tiefe Temperaturen alle Teilchen im gleichen Zustand befinden, lautet
der Ansatz für den Gesamtzustand im Ortsraum
Ψ(x) = hx|Ψi =
N
Y
ψ(xi ).
(3.2)
i=1
Dieser Produktzustand kann die Schrödingergleichung nicht lösen, da diese aufgrund
des Wechselwirkungsterms nicht separierbar ist. Es kann trotzdem derjenige Zustand
|Ψi gesucht werden, der dem Grundzustand im Rahmen der Näherungen am nächsten
kommt, also dessen Energieerwartungswert am geringsten ist. Es gilt also die MeanField-Energie
hΨ|Ĥ|Ψi
(3.3)
Emf =
hΨ|Ψi
zu minimieren. Für normierte Einteilchenzustände (hψ|Ψi = 1) ist auch der Produktzustand normiert und der Nenner fällt weg. Die Normierung kann bei der Minimierung
über die Nebenbedingung hψ|ψi − 1 = 0 sichergestellt werden. In Ortsdarstellung muss
also folgendes Funktional minimiert werden:
*N
+
N
Y Y
Emf =hΨ|Ĥ|Ψi =
ψi Ĥ ψi
Z
=
i=1
Z i=1
d3 x1 · · · d3 xN ψ ∗ (x1 ) · · · ψ ∗ (xN )


N
N
X

 ~2
1X
 ψ(x1 ) · · · ψ(xN )
−
4
+
V
(x
)
+
W
(x
,
x
)
i
i
i
j

 2m
2
j=1
i=1
j6=i
Z
~2
3
∗
ψ (x) 4ψ(x) + N d3 xV (x)ψ ∗ (x)ψ(x)
=N d x −
2m
ZZ
1
+ N (N − 1)
d3 x d3 x0 ψ ∗ (x)ψ(x)W (x, x0 )ψ ∗ (x0 )ψ(x0 )
2
Z
12
(3.4)
3.2 Pseudopotential
Zusätzlich zu Mean-Field-Energie muss bei der Minimierung nach Lagrange auch die
Nebenbedingung, multipliziert mit dem Lagrange-Parameter −µN , mit beachtet werden.
Die Mean-Field-Energie nimmt unter der Normierungsnebenbedingung ein Minimum an,
wenn
δ [Emf − µN (hψ|ψi − 1)] = 0
(3.5)
gilt. Die Funktionen ψ ∗ (x) und ψ(x) werden als unabhängig betrachtet, die Variation
nur nach ψ ∗ (x) durchgeführt.
Z
~2
N d3 x δψ ∗ (x) 4ψ(x)
δ [Emf − µN (hψ|ψi − 1)] = −
2m
Z
+ N d3 x δψ ∗ (x)V (x)ψ(x)
Z
Z
3
∗
+ N (N − 1) d x δψ (x) d3 x0 ψ ∗ (x0 )W (x, x0 )ψ(x)ψ(x0 )
Z
!
(3.6)
− µN d3 x δψ ∗ (x)ψ(x) = 0
Dies muss für alle δψ ∗ (x) erfüllt sein, sodass mit der Vielteilchennäherung N − 1 ≈ N
die Gross-Pitaevskii-Gleichung
Z
~2
3 0
∗ 0
0
0
4 + V (x) + N d x ψ (x )W (x, x )ψ(x ) ψ(x) = µψ(x)
(3.7)
−
2m
folgt. Der Lagrangeparameter µ hat auch eine physikalische Bedeutung, die sich aus der
Interpretation der Größe Emf − µN hψ|ψi ergibt. Aus der Thermodynamik ist die freie
Energie F = E − µN bekannt, die nach dieser Herleitung von normierten Lösungen der
GPE minimiert wird. Der Lagrangeparameter entspricht also dem chemischen Potential.
3.2 Pseudopotential
Die Gleichung (3.7) enthält das Wechselwirkungspotential zwischen zwei Teilchen im
Kondensat, das im allgemeinen sehr kompliziert sein kann. Für kurzreichweitige Wechselwirkungen, die etwa durch das Lennard-Jones-Potential
r 6 r0 12
0
−2
(3.8)
W (xi , xj ) = W (r = |xi − xj |) = r
r
beschreibbar sind, lassen sich aber weitere Vereinfachungen vornehmen. Bei niedrigen
Dichten in einem Bose-Einstein-Kondensat kann der Effekt des Potentials durch seine Streueigenschaften gut charakterisiert werden, da die Teilchen einander nur spü”
ren“, wenn sie sich nahe kommen. Bei sehr tiefen Temperaturen muss nur die s-WellenStreuung beachtet werden, die gesamte Wechselwirkung W (xi , xj ) lässt sich dann durch
13
3 Bose-Einstein-Kondensate und Gross-Pitaevskii-Gleichung
einen einzigen Parameter beschreiben, nämlich durch die Streulänge a. Ein anderes, in
der GPE viel leichter als das Lennard-Jones-Potential zu behandelndes Potential, das
dieselbe Streulänge besitzt, ist ein Kontaktpotential der Form
W 0 (xi , xj ) = 4π~2
a
δ(x − x0 ).
m
(3.9)
Die ausführliche Rechnung dazu ist in [16] zu finden. Mit diesem Pseudopotential vereinfacht sich (3.7) zu der Gross-Pitaevskii-Gleichung, die in dieser Arbeit betrachtet wird
2
~
2 a
2
4 + V (x) + 4π~ N |ψ| ψ(x) = µψ(x).
(3.10)
2m
m
3.3 Dimensionslose GPE
Zur numerischen Behandlung der GPE ist es notwendig, ein Einheitensystem zu finden,
in dem die zwangsläufig einheitenlosen Computerausgaben richtig interpretiert werden
können. Außerdem verhindert die Wahl geeigneter Skalierungen, dass numerische Ungenauigkeiten auftreten, die z.B. durch das Addieren oder Subtrahieren von Zahlen mit zu
verschiedener Größenordnung entstehen.
Zunächst wird eine Längenskala a0 festgelegt, die Transformation x̃ = ax0 liefert also
ein dimensionsloses Längenmaß. Diese Umskalierung wirkt sich auch auf die Norm aus.
Es ist also zweckmäßig, die Wellenfunktion selbst auch zu skalieren, um die Normierung
zu erhalten
Z
Z
1
!
3
2
1 = Ñ = d x̃ |ψ̃(x̃)| = 3 d3 x |ψ̃(x/a0 )|2
a0
3
!
3
⇒ ψ̃(x̃) = ψ̃(x/a0 ) = a02 ψ(x) = a02 ψ(a0 x̃).
Die Energie wird ausgedrückt in Einheiten von E0 =
~2
.
2ma20
(3.11)
Damit ergibt sich
a
2
−E0 4̃ + V (a0 x̃) + 4π~ N
|ψ̃(x̃)| ψ̃(x̃) = µψ̃(x̃).
ma30
2
(3.12)
0 x̃)
Mit µ̃ = Eµ0 , Ṽ (x̃) = V (a
und g = −8π aa0 N lässt sich die GPE dann in ihrer endgültigen
E0
Form schreiben. Zur besseren Übersichtlichkeit werden alle Tilden weggelassen
Ĥψ(x) = − 4 + V (x) − g|ψ(x)|2 ψ(x) = µψ(x).
(3.13)
3.4 Anwendung in PT -symmetrischen Systemen
Gleichung (3.13) entspricht den in Abschnitt 2.2.2 behandelten Gleichungen, bei denen
sich der Hamiltonoperator Ĥ = Ĥlin + f (ψ) aus einem linearen und einem nichtlinearen
14
3.4 Anwendung in PT -symmetrischen Systemen
Anteil zusammensetzt. Hier hat der nichtlineare Anteil die Form
f (ψ) = −g|ψ(x)|2 .
(3.14)
In dem Abschnitt wurden zwei Bedingungen an die Nichtlinearität gestellt, die wichtige
Eigenschaften aus dem linearen Fall weiterhin garantieren. Diese müssen nun für die
GPE überprüft werden. Es gilt
| eiϕ ψ| = |ψ|,
(3.15)
also ist die erste Bedingung f ( eiϕ ψ) = f (ψ) trivialerweise erfüllt. Die zweite Bedingung
PT f (ψ) = f (PT ψ) lässt sich ebenfalls durch Nachrechnen bestätigen
PT |ψ(x)|2 = PT (ψ ∗ (x)ψ(x)) = ψ(−x)ψ ∗ (−x) = |ψ ∗ (−x)|2 = |PT ψ(x)|2 .
(3.16)
Es kann also erwartet werden, dass bei komplexen, aber PT -symmetrischen Potentialen
reelle chemische Potentiale möglich sind.
15
4 Spectral Renormalization-Methode
Die Spectral Renormalization-Methode (SRM) wurde von Ablowitz und Musslimani eingeführt [1], um nichtlineare Differentialgleichungen des Typs
(4.1)
−µu(x) + 4u(x) − V (x)u(x) + N |u(x)|2 u(x) = 0
zu lösen, wobei N eine nicht näher spezifizierte Funktion ist. Die Methode wurde ursprünglich dazu benutzt, Solitonlösungen für optische Gitter zu finden. Es werden dabei
eine Startfunktion und ein Eigenwert µ vorgegeben. Die Spectral Renormalization-Methode ist so ausgerichtet, dass sie auf Lösungen mit dem vorgegeben µ führt. Die Norm
wird hierzu angepasst.
Für Fragestellungen im Zusammenhang mit Bose-Einstein-Kondensaten ist es in aller
Regel das Ziel, nur eine Norm vorzugeben und als Lösung die Wellenfunktion mit dem
zugehörigen chemischen Potential zu erhalten. Dazu wurde die SRM von Lukas Schwarz
[17] zum in dieser Arbeit eingesetzten Algorithmus umgewandelt.
4.1 Herleitung der Spectral Renormalization-Methode
Die zu lösende Differentialgleichung ist die eindimensionale Gross-Pitaevskii-Gleichung,
die in ihrer einheitenlosen Form gegeben ist als
Ĥ|ui = µ|ui
− 4 + V (x) − g|u(x)|2 u(x) = µ u(x).
(4.2)
Aus Gründen der numerischen Berechnung, die später ersichtlich werden, muss an dieser
Stelle der Term r · u(x) hinzuaddiert und wieder abgezogen werden, wobei r ein reeller,
positiver Parameter ist
− 4 + V (x) − g|u(x)|2 u(x) = µ u(x) + ru(x) − ru(x).
(4.3)
Durch Fouriertransformation beider Seiten der Gleichung kann der Laplaceoperator im
k-Raum als einfache Multiplikation mit −k 2 geschrieben werden. Damit ist die Differentialgleichung (4.3) in eine algebraische Gleichung überführt, die nach û(k) umgestellt
werden kann.
k 2 û(k) + F [V (x)u(x)] − F g|u(x)|2 u(x) = µû(k) + r · û(k) − r · û(k)
⇔ (k 2 + r)û = (r + µ)û − F [V u] + gF |u|2 u
(r + µ)û − F [V u] + gF [|u|2 u]
(4.4)
⇔ û =
r + k2
17
4 Spectral Renormalization-Methode
Wäre der Parameter r nicht eingeführt worden, so wäre für k = 0 der Nenner auf
der rechten Seite dieser Gleichung 0 und somit der Bruch nicht definiert. Gleichung
(4.4) stellt eine wahre Aussage dar, wenn û eine Lösung der GPE ist. Falls das nicht
gilt, kann (4.4) aber trotzdem als Iterationsgleichung benutzt werden, indem bei jedem
Schritt die neue Wellenfunktion aus der rechten Seite von (4.4) berechnet wird. Diese
Funktion û(k) muss dann für den nächsten Iterationsschritt wieder in den Ortsraum
zurücktransformiert und normiert werden.
In jedem Iterationsschritt wird also das chemische Potential, das mit der aktuellen
Wellenfunktion assoziiert ist, benötigt. Dieses wird in bekannter Weise als Erwartungswert berechnet:
µ=
hu|Ĥ|ui
hu|ui
u∗ (x) (V (x) − g|u(x)|2 ) u(x) dx
R
u∗ (x) · u(x) dx
R 2
R
R
+ |k û(k)| dk + |u(x)|2 V (x) dx − g |u(x)|4 dx
R
=
|u(x)|2 dx
=
hu|k̂ 2 |ui +
R
(4.5)
4.2 Erzwingen exakter PT -Symmetrie
Exakt PT -symmetrische Funktionen besitzen eine reelle Fouriertransformierte. Seien
f1 (x) und f2 (x) reelle Funktionen, wobei f1 gerade und f2 ungerade ist. Dann ist
u(x) = f1 (x) + if2 (x)
(4.6)
eine PT -symmetrische Funktion. Die Fouriertransformation einer geraden Funktion ist
rein reell und wieder gerade, die Fouriertransformation einer ungeraden Funktion ist rein
imaginär und ungerade. Damit ergibt sich für die Fouriertransformierte von u(x)
û(k) = F [u(x)] = F [f1 (x) + if2 (x)]
= F [f1 ] + iF [f2 ] .
| {z } | {z }
reell,
gerade
(4.7)
reell,
ungerade
Die Fouriertransformierte ist also reell, hat aber in der Regel keine besonderen Symmetrien.
Umgekehrt kann jede Funktion û(k) in einen geraden Teil fˆ1 (k) = û(k) + û(−k) und
einen ungeraden Teil fˆ2 (k) = û(k) − û(−k) zerlegt werden. Für die inverse Fouriertransformation gelten bezüglich der Symmetrien die gleichen Regeln wie für die Fouriertrans-
18
4.2 Erzwingen exakter PT -Symmetrie
formation. Wenn û(k) reell ist, folgt für u(x)
u(x) = F
−1
1 ˆ
[û(k)] = F
f1 (k) + fˆ2 (k)
2
h i
h i
1
= (F −1 fˆ1 + F −1 fˆ2 ).
2 | {z } | {z }
−1
reell,
gerade
(4.8)
rein imaginär,
ungerade
Wenn û(k) reell ist, ist u(x) also exakt PT -symmetrisch. Weiß man, dass für die betrachtete Gleichung PT -symmetrische Funktionen existieren, kann man also den Imaginärteil
von û(k) auf Null setzen. Existieren gleichzeitig PT -symmetrische und PT -gebrochene
Lösungen, so kann auf diese Weise der PT -symmetrische Zustand erreicht werden, selbst
wenn der PT -gebrochene energetisch tiefer liegt.
Theoretisch erhält die Spectral Renormalization-Methode in jedem Fall die PT -Symmetrie
einer Funktion, ob sie die GPE löst oder nicht, was daran liegt, dass der Erwartungswert
des chemischen Potentials einer PT -symmetrischen Funktion immer reell ist. Da das
Produkt PT -symmetrischer Funktionen wieder PT -symmetrisch ist (der Eigenwert der
Produktfunktion ist das Produkt der Eigenwerte der einzelnen Funktionen), sind alle
Terme in den Integralen für das chemische Potential in (4.5) PT -symmetrisch. Da V (x)
exakt PT -symmetrisch ist und alle anderen Terme rein reell und damit ebenfalls exakt
PT -symmetrisch sind, ergibt sich µ aus einem Integral über eine exakt PT -symmetrische
Funktion und ist damit reell.
In der Iterationsgleichung (4.4) lassen sich die Funktionen û(k) und u(x) als eiϕ û0 (k)
und eiϕ u0 (x) schreiben, wobei ϕ so gewählt wird, dass aus der PT -symmetrischen Funktion u(x) die exakt PT -symmetrische Funktion u0 (x) wird. Die Fouriertransformierte
û0 (k) ist damit reell. Aufgrund der Linearität der Fouriertransformation ergibt sich dann
(r + µ)û0 − F [V u0 ] + gF [|u0 |2 u0 ]
.
(4.9)
r + k2
V u0 und |u0 |2 u0 sind exakt PT -symmetrsiche Funktionen, deren Fouriertransformation
reell ist, damit ist der gesamte Bruch reell. Die neue Wellenfunktion im k-Raum ist
also das Produkt des Phasenfaktors mit einer reellen Funktion, folglich ist uneu eine
PT -symmetrische Funktion zum Eigenwert, der dem Phasenfaktor der ursprünglichen
Funktion entspricht. Die Spectral Renormalization-Methode erhält also sowohl die Symmetrie selbst als auch den PT -Eigenwert.
Da numerische Ungenauigkeiten auftreten, ist der Bruch in der numerischen Berechnung nicht exakt reell und es kommt bei der wiederholten Anwendung des Iterationsschritts zum PT -Bruch, falls es einen PT -gebrochenen Zustand mit kleinerem Realteil des chemischen Potentials gibt und ein möglicher PT -symmetrischer Zustand nicht
schneller gefunden wird als sich die numerischen Fehler aufaddieren. Deshalb wird bei
der Suche nach exakt PT -symmetrischen Zuständen in jedem Schritt der Imaginärteil
von û(k) auf Null gesetzt. Die Startfunktion kann also immer PT -gebrochen gewählt
ûneu = e−iϕ
19
4 Spectral Renormalization-Methode
werden, was dazu führt, dass die Spectral Renormalization-Methode gegen den Zustand
mit dem kleinsten Realteil des chemischen Potentials konvergiert, ob diese nun PT symmetrisch ist oder nicht, man aber bei der expliziten Suche nach PT -symmetrischen
Zuständen diese Symmetrie trotzdem erzwingen kann.
4.3 Abbruchbedingungen
Es gibt verschiedene Methoden, um zu beurteilen, wann die SRM zur Konvergenz gekommen ist, zum Beispiel kann die Änderung ∆ der Wellenfunktion in jedem Schritt
betrachtet werden
Z
∆ := |un − un−1 | dx,
(4.10)
wobei un die Wellenfunktion ist, die im n-ten Iterationsschritt berechnet wurde. Wird
diese Änderung Null oder kleiner als eine gewünschte Schranke, kann die Iteration abgebrochen werden.
Die Iteration kann aber auch unter bestimmten Voraussetzungen so langsam konvergieren, dass die Änderung in jedem Iterationsschritt zwar sehr klein ist, die Wellenfunktion
aber noch viele Schritte benötigen würde, um zu einer akzeptablen Lösung der GPE zu
werden. Sicherer ist also, den Abbruch der Iteration davon abhängig zu machen, wie gut
die Wellenfunktion die GPE erfüllt. Dazu bringt man alle Terme der GPE auf eine Seite
und bildet den Betrag
f (u(x)) : = − 4u(x) + V u − g|u(x)|2 u(x) − µu(x)
= F −1 k 2 û(k) + V u(x) − g|u(x)|2 u(x) − µu(x) .
(4.11)
Wenn u eine Lösung der GPE ist, dann ist f (x) = 0 für alle x. Ist dies nicht der Fall, ist
f eine positive reelle Funktion, die zu einer repräsentativen Zahl C aufintegriert werden
kann
Z
C[u(x)] := f (x) dx.
(4.12)
Unterschreitet C eine festgelegte Grenze, wird die GPE als gelöst angesehen und die
Iteration abgebrochen.
20
4.4 Algorithmus
4.4 Algorithmus
Der vollständige Algorithmus hat also folgende Form:
Zu Beginn
• Es muss eine gewünschten Norm N und eine Startfunktion u0 (x) vorgegeben werden.
• Die Startfunktion wird auf das vorgegebene N normiert
u00 = qR
N
u0 (x).
(4.13)
|u0 (x)|2 dx
• Die Fouriertransformierte uˆ0 0 (k) = F [u00 (x)] wird berechnet.
Im Iterationsschritt
1. Das chemische Potential wird nach Gleichung (4.5) berechnet.
2. Die neue Wellenfunktion im Fourierraum ergibt sich nach Gleichung (4.4).
3. Werden explizit nur exakt PT -symmetrische Zustände gesucht, kann an dieser
Stelle der Imaginärteil von û(k) auf Null gesetzt werden.
4. Die neue Wellenfunktion muss normiert und in den Ortsraum rücktransformiert
werden.
5. Zum Schluss wird noch die Konvergenzbedingung überprüft und gegebenenfalls die
Iteration abgebrochen,
Anmerkung zur numerischen Umsetzung
Jedes Integral über den geamten Definitionsbereich D einer Funktion kann per Fouriertransformation berechnet werden, da
Z
1
f (x) e−ikx dx
(4.14)
fˆ(k) := F [f (x)] = √
2π D
bei k = 0 ausgewertet werden kann
r Z
Z
√
2π
f (x) dx =
f (x) e−0 · ix dx = 2π fˆ(0).
2π D
D
(4.15)
Auf diese Weise werden alle Integrale zur Bestimmung des chemischen Potentials in
Gleichung (4.5) mittels CUDA-FFT berechnet.
21
5 PT -symmetrisches
Doppelmuldensystem
5.1 Potential
Für alle numerischen Berechnungen im Rest der Arbeit wird ein eindimensionales zeitunabhängiges PT -symmetrisches Doppelmuldensystem betrachtet, das durch folgendes
(analog zu den Rechnungen in Abschnitt 3.3 einheitenlos gemachtes) Potential beschrieben wird
V (x) = ω02 x2 + v0 exp −σ x2 + i Γ x exp −ρ x2 ,
(5.1)
wobei die reellen Parameter ω0 , v0 , σ, ρ konstant gehalten werden und die Kopplungsstärke Γ, die den Imaginärteil des Potentials skaliert, als Parameter variiert wird. Offensichtlich erfüllt V (x) die an ein PT -symmetrisches System gestellte Forderung V ∗ (−x) =
V (x), also dass der Realteil eine gerade und der Imaginärteil eine ungerade Funktion ist.
Die Parameter werden auf ω0 = 12 , v0 = 4, σ = 12 festgelegt. Damit die Extremstellen
des Imaginärteils mit den Minima das Realteils zusammenfallen, wird
ρ=
2 ln
σ
2σv0
ω02
≈ 0, 1202
(5.2)
gewählt. Das Potential mit diesen Parametern ist in Abbildung 5.1 dargestellt. Die zu
lösende Gross-Pitaevskii-Gleichung für die Wellenfunktionen u(x) und chemischen Potentiale µ des Kondensats lautet also
− 4 + V (x) − g · |u(x)|2 u(x) = µ u(x).
(5.3)
5.2 Zustände
In Kapitel 2 wurde gezeigt, dass PT -symmetrische Quantensysteme trotz eines komplexen Potentials reelle Eigenwerte des Hamiltonoperators aufweisen können, wenn die
Eigenfunktion selbst auch PT -symmetrisch ist. Sind die Zustände nicht mehr PT symmetrisch, so wurde gezeigt, dass dann je zwei Wellenfunktionen zu einem Paar an Eigenwerten des Hamiltonoperators gehören, wobei die Wellenfunktionen durch anwenden
des PT -Operators auseinander hervorgehen und die chemischen Potentiale zueinander
komplex konjugiert sind.
23
5 PT -symmetrisches Doppelmuldensystem
3
Re V
Im V
8
2
Re V
0
4
-1
2
-2
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
Im V
1
6
-3
Abbildung 5.1: PT -symmetrisches Potential zur Beschreibung des Doppelmuldensystems. Für x < 0 ist der Realteil negativ, hier werden Teilchen aus dem
Kondensat entfernt, im Bereich x > 0 werden Teilchen aufgrund des
positiven Imaginärteils eingekoppelt.
Lineares System
Im betrachteten System liegen bei verschwindender Nichtlinearität (g=0) entweder PT symmetrische oder PT -gebrochene Lösungen vor, der größte Wert, bei dem die Wellenfunktionen noch PT -symmetrisch sind, beträgt Γmax ≈ 0,0416. Bei Γ = 0 kann die
Phase so angepasst werden, dass der Grundzustand rein reell ist, der erste angeregte
Zustand ist dann rein imaginär. Jede andere Phase ist auch denkbar, die Zustände sind
dann aber nicht mehr exakt PT -symmetrisch.
Für Γ 6= 0 besteht zwar immer noch freie Phasenwahl, jedoch kann der Imaginärteil
dadurch nicht mehr entfernt werden. Bei den exakt PT -symmetrischen Zuständen dominiert beim Grundzustand der Realteil und beim ersten angeregten der Imaginärteil.
Dies führt im CP-Produkt zu c = 1 für den Grundzustand und c = −1 für den ersten
angeregten. Für höher angeregte Zustände setzt sich das nicht bewiesene, aber auch in
anderen PT -symmetrischen Systemen beobachtete [18] Verhalten von cn = (−1)n fort.
Von den PT -gebrochenen Zuständen hat der Zustand mit dem höheren Betragsquadrat
in der linken Mulde einen negativen Imaginärteil und der mit dem höheren Betragsquadrat in der rechten Mulde einen positiven Imaginärteil. Dies ist über die anschauliche
Bedeutung des imaginären Potentials zu verstehen, die in Abschnitt 2.1 begründet wurde: Werden zu viele Teilchen aus dem Kondensat entfernt (linke Mulde), so nimmt die
Gesamtzahl der Teilchen ab, werden zu viele hinzugegeben (rechte Mulde), so nimmt die
Teilchenzahl zu.
Die PT -gebrochenen Zustände können mit der Spectral Renormalization-Methode für
g = 0 nicht gefunden werden. Darauf wird in Abschnitt 6.3 eingegangen. Die Daten in
Abbildung 5.2 wurden für diesen Fall näherungsweise mit g = 0,005 berechnet.
24
5.2 Zustände
0,6
0,6
0,4
0,4
0,2
0,2
0
0
Re u0
Im u0
Re u1
Im u1
-0,2
-0,4
-0,6
-8
-6
-4
Re u0
Im u0
Re u1
Im u1
-0,2
-0,4
-2
0
x
2
4
6
-0,6
8
-8
-6
-4
-2
(a)
0
x
2
4
6
8
2
4
6
8
(b)
0,4
0,2
0
Re u0
Im u0
Re u1
Im u1
-0,2
-0,4
-8
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
8
-4
-2
(c)
0,8
0,8
Re uIm u|u- |
0,6
0,4
0,4
0,2
0,2
0
0
-0,2
-0,2
-0,4
-0,4
-0,6
Re u+
Im u+
|u+ |
0,6
-8
-6
-4
-2
0
x
(d)
2
4
6
8
-0,6
-8
-6
0
x
(e)
Abbildung 5.2: Beispiele für Wellenfunktionen im linearen Fall in verschiedenen Parameterbereichen von Γ. Grundzustand u0 und erster angeregter Zustand
u1 bei (a) Γ = 0, (b) Γ = 0,02, (c) Γ = 0,041 nahe bei Γmax . In (d) und
(e) ist das Paar der beiden PT -gebrochenen Zustände mit dem kleinsten
Realteil des chemischen Potentials bei Γ = 0,06 abgebildet.
Nahe an Γmax sind sich die Wellenfunktionen (Abb. 5.2(c)) sowie das chemische Potential des Grundzustands und des ersten angeregten Zustands sehr ähnlich, ein Hinweis
auf eine Entartung sowohl des chemischen Potentials als auch der Wellenfunktionen bei
Γ = Γmax .
25
5 PT -symmetrisches Doppelmuldensystem
0,8
0,6
0,6
0,4
0,4
0,2
0,2
0
0
-0,4
-0,6
-8
-6
-4
Re u0
Im u0
Re u1
Im u1
-0,2
Re u0
Re u0 , g=15
Im u1
-0,2
-0,4
-2
0
x
2
4
6
8
-0,6
-8
-6
-4
-2
(a)
2
4
6
8
2
4
6
8
(b)
0,8
0,8
Re uIm u|u- |
0,6
0,4
0,4
0,2
0
0
-0,2
-0,2
-0,4
-0,4
-8
-6
-4
-2
0
x
2
(c)
Re u+
Im u+
|u+ |
0,6
0,2
-0,6
0
x
4
6
8
-0,6
-8
-6
-4
-2
0
x
(d)
Abbildung 5.3: Wellenfunktionen für g = 0,3. (a) Die ersten beiden PT -symmetrischen
Zustände für Γ = 0 sowie zum Vergleich der PT -symmetrische Grundzustand bei g = 15. (b) Die ersten beiden PT -symmetrischen Zustände
für Γ = 0,02. (c) und (d) PT -gebrochene Zustände für Γ = 0,02. Da der
Realteil des Grundzustands sowie der Imaginärteil des ersten angeregten
Zustands bei Γ = 0 Null sind, werden diese nicht aufgetragen.
Nichtlineares System
Im nichtlinearen Fall existieren weiterhin PT -symmetrische Lösungen in einem Bereich
Γ < Γmax , wobei diese Grenze für größere g leicht zu kleineren Γ verschoben wird.
Nun gibt es aber noch einen zweiten kritischen Wert von Γ, da die PT -gebrochenen
Zustände nicht erst jenseits von Γmax existieren, sondern es einen Bereich Γk < Γ < Γmax
gibt, in dem PT -symmetrische und PT -gebrochene Zustände nebeneinander auftreten.
In diesem Bereich haben die PT -gebrochenen Zustände einen niedrigeren Realteil des
chemischen Potentials als die PT -symmetrischen. Γk hängt stark von g ab, für g > 2,4
gibt es sogar schon für Γ = 0 PT -gebrochene Zustände. Die Zustände (Abbildung 5.3)
sehen denen für g = 0 sehr ähnlich, die Maxima sind nur etwas höher und weniger breit,
26
5.3 Chemisches Potential und Mean-Field-Energie
was sich aber erst bei großen Nichtlinearitäten (Abbildung 5.3(a)) wirklich bemerkbar
macht.
5.3 Chemisches Potential und Mean-Field-Energie
Das chemische Potential sowie die Mean-Field-Energie sind abhängig von den Parametern g und Γ in Abbildung 5.4 aufgetragen. Vergleicht man in der Herleitung der GPE
in Abschnitt 3.1 die Gleichung für die Mean-Field-Energie (3.3) mit der Gleichung für
den Erwartungswert des chemischen Potentials, der sich aus Gleichung (3.7) durch Multiplikation mit ψ ∗ (x) und Integration über den gesamten Raum ergibt, so stellt man
fest, dass sich die Gleichungen nur durch einen globalen Faktor N und einen Faktor 2
im Wechselwirkungsterm unterscheiden. Die Mean-Field-Energie pro Teilchen kann also aus den Lösungen der GPE als Erwartungswert des GPE-Hamiltonians mit g̃ = 21 g
berechnet werden.
Gut zu erkennen ist, wie die Realteile des chemischen Potentials und der Mean-FieldEnergie der PT -symmetrischen Zustände für größer werdendes Γ immer ähnlicher werden, bis die chemischen Potentiale gleich werden und es keine PT -symmetrischen Lösungen gibt.
Für g = 0 spaltet der Pfad der PT -gebrochenen Lösungen mit gleichem Realteil
bei Γk = Γmax vom Pfad der PT -symmetrischen ab. Ab diesem Γ sind chemisches
Potential und Mean-Field-Energie dann komplex, die beiden PT -gebrochenen Zustände
haben zueinander komplex konjugierte µ, Emf . Der Betrag der Imaginärteile von µ und
Emf nimmt mit wachsendem Γ zu, während der Realteil des chemischen Potentials fast
konstant bleibt.
Für g 6= 0 gibt es schon bei kleineren Γ die PT -gebrochenen Zustände mit komplex
konjugierten Eigenwerten, der Realteil des chemischen Potentials hängt wie im linearen
Fall dann nicht mehr wesentlich von Γ ab.
27
2,52
2,5
2,48
2,46
2,44
2,42
2,4
2,38
2,36
2,34
0,08
g=0
g=0,1
g=0,2
g=0,3
g=0
g=0,1
g=0,2
g=0,3
0,06
0,04
0,02
Im µ
Re µ
5 PT -symmetrisches Doppelmuldensystem
0
-0,02
-0,04
-0,06
0
0,02
0,04
Γ
0,06
-0,08
0,08
0
0,02
(a)
2,52
0,08
0,04
2,46
2,44
2,42
0,06
0,08
0,02
0
-0,02
-0,04
2,4
2,38
0,08
g=0
g=0,1
g=0,2
g=0,3
0,06
Im Emf /N
Re Emf /N
2,48
0,06
(b)
g=0
g=0,1
g=0,2
g=0,3
2,5
0,04
Γ
-0,06
0
0,02
0,04
Γ
(c)
0,06
0,08
-0,08
0
0,02
0,04
Γ
(d)
Abbildung 5.4: Real- (a) und Imaginärteil (b) des chemischen Potentials sowie Real(c) und Imaginärteil (d) der Mean-Field-Energie in Abhängigkeit von Γ
bei verschiedenen g. Die durchgezogene Linie steht jeweils für die PT symmetrischen Zustände, die gestrichelte Linie für die PT -gebrochenen.
Die SRM konvergiert nicht für eine lineare GPE im PT -gebrochenen Bereich, deshalb wurde stattdessen näherungsweise mit g = 0,005 gerechnet. Dies führt im Realteil zu einer leichten Verschiebung nach unten und
im Imaginärteil zu einer Aufspaltung weg von der Null schon bei etwas
kleineren Γ.
28
6 Konvergenz und numerische
Beobachtungen
6.1 Konvergenz der Spectral Renormalization-Methode
Die Spectral Renormalization-Methode enthält in einem Durchlauf des Iterationsschritts
so viele Integrale, dass es zwar möglich ist, einen oder mehrere Schritte analytisch aufzuschreiben, jedoch sind die Integranden Funktionen mit nur wenigen bekannten Eigenschaften, sodass auf diese Weise die Konvergenz nicht nachvollzogen oder gar bewiesen
werden kann. Im linearen Fall ist es aber möglich, die Änderung der Wellenfunktion im
k-Raum näher zu betrachten und so zumindest einen Hinweis zu erhalten, warum die
SRM zum Zustand mit dem kleinsten chemischen Potential konvergiert. Die Iterationsvorschrift (4.4) aus Abschnitt 4.1 lautet im linearen Fall
ûneu =
(r + µ)ûalt − F [V ualt ]
.
r + k2
(6.1)
ualt lässt als Linearkombination von Lösungen ui der linearen GPE darstellen.
ûneu
P
(r + µ)ûalt − F [V i ci ui ]
=
r +P
k2
(r + µ)ûalt − i ci F [V ui ]
=
.
r + k2
(6.2)
Dies setzt die Vollständigkeit der Lösungen des Eigenwertproblems voraus. Diese wurde
für nichthermitesche Hamiltonoperatoren noch nicht gezeigt, allerdings gibt es numerische Berechnungen zu anderen Fragestellungen [19, 20], die ebenfalls Vollständigkeit
voraussetzen. Deren hohe Präzision gilt als numerischer Beweis für die Vollständigkeit.
Die ui sind Lösungen der GPE mit g = 0, also gilt für sie
− 4ui + V ui = µi ui
⇔ V ui = µi ui − F −1 k 2 ûi .
(6.3)
29
6 Konvergenz und numerische Beobachtungen
Einsetzen in (6.2) liefert
(µi ui − F −1 [k 2 ûi ])]
rP+ k 2
P
P
(r + µ) i ci ûi − i ci µi ûi + i ci k 2 ûi
=
r+
k2
P
P
(r + k 2 ) i ci ûi + i (µ − µi )ci ûi
=
r +k 2
X
µ − µi
=
1+
ci ûi .
2
r
+
k
i
ûneu =
(r + µ)ûalt − F [
P
i ci
(6.4)
Falls u eine Lösung des Systems ist, also mit einem uj übereinstimmt, ist ci = 0 für alle
i 6= j. Außerdem ist dann das chemische Potential µ, das als Erwartungswert huj |Ĥ|uj i
ausgerechnet wurde, gleich µj , sodass ûneu = ûj und die Iteration konvergiert ist. Falls u
keine Lösung ist, unterscheidet sich µ von jedem der µi . Im PT -symmetrischen Fall wird
durch die Spectral Renormalization-Methode exakte PT -Symmetrie in jedem Iterationsschritt erzwungen. Selbst wenn u also keine Lösung ist, ist das zugehörige µ trotzdem
reell, wie in Abschnitt 4.2 gezeigt. Der Grundzustand hat das kleinste chemische Potential, es gilt also immer µ0 ≤ µ. Für die chemischen Potentiale der angeregten Zustände
gilt nicht zwangsweise µ > µi , (i > 0), es gibt aber auf jeden Fall hoch angeregte Zustände, für die das der Fall ist. Da r + k 2 immer positiv ist, ist der eingeklammerte
Vorfaktor in Gleichung (6.4) für den Grundzustand und möglicherweise einige niedrig
angeregte Zustände größer eins und für alle höher angeregten Zustände kleiner eins. Da
der Vorfaktor eine Abhängigkeit von k hat, kann daraus nicht direkt gefolgert werden,
dass sich die Entwicklungskoeffizienten ci nach der Rücktransformation so geändert haben, dass der Anteil des Grundzustands und eventuell der niedrig angeregten Zustände
an u(x) vergrößert hat. Für große r und im k-Raum stark lokalisierte Funktionen ûi (k)
1
kann aber angenommen werden, dass die Deformation der ûi durch den r+k
2 Term so
gering ist, dass
1
1
F
ûi (k) ≈ F [ûi (k)]
(6.5)
2
r+k
r
erfüllt ist. In diesem Fall wird der Anteil der Eigenzustände an der aktuellen Wellenfunktion uneu (x) durch die Spectral Renormalization-Methode umso mehr erhöht, je kleiner
das chemische Potential des jeweiligen Eigenzustands ist, und umso mehr erniedrigt,
je größer das chemische Potential des jeweiligen Eigenzustands ist. Dadurch wird das
chemische Potential µneu im nächsten Iterationsschritt erniedrigt und es ist einsichtig,
dass nach vielen Iterationsschritten nur noch der Grundzustand verbleibt und die SRM
konvergiert ist.
30
6.2 Sinnvolle Schranke für den Iterationsabbruch
6.2 Sinnvolle Schranke für den Iterationsabbruch
In Kapitel 4 wurde eine Methode beschrieben, wie man die Qualität einer Wellenfunktion
nach Gleichung (4.12) in einer Zahl C ausdrücken kann, die sich aus der Übereinstimmung mit der zu lösenden GPE ergibt. Ein kleines C bedeutet, dass die GPE besser
erfüllt ist. Damit eine Wellenfunktion eine Lösung der GPE ist, muss C = 0 gelten. Numerisch ist dies jedoch nicht zu erreichen. Um die Frage, wie klein C sein muss, damit
die Wellenfunktion akzeptiert wird, zu beantworten, lohnt es sich, einen Blick auf den
Zusammenhang zwischen C und µ (Abbildung 6.1)zu werfen.
1
0,01
∆µ
0,0001
1e-06
1e-08
1e-10
Γ = 0,0
Γ = 0,04
Γ = 0,0
Γ = 0,04
Γ = 0,08
1e-12
100
1
0,01 0,0001 1e-06 1e-08 1e-10
C
Abbildung 6.1: Die Iteration wird so lange durchgeführt, bis C einen Wert unter 10−10
annimmt. Aufgetragen ist die Differenz ∆µ = |µn − µ| gegen Cn , wobei
µn und Cn die Werte für den n-ten Iterationsschritt sind und µ das
chemische Potential, das im allerletzten Schritt ausgerechnet wurde. Eine
durchgezogene Linie steht für g = 0, eine gestrichelte für g = 0,3.
Erwartungsgemäß liegen die Werte für das chemische Potential näher am schlussendlich berechneten Ergebnis, je besser die Wellenfunktion die GPE erfüllt. Obwohl die
Kurven eine parametrische Abhängigkeit von g und Γ zeigen, sieht man, dass ab einer Genauigkeit von C ≈ 10−6 nur noch Änderungen des chemischen Potentials in der
vierten oder fünften Nachkommastelle vorgenommen werden. Ein C von 10−6 bis 10−8
scheint also als Konvergenzkriterium angemessen.
Deutlich kleiner als 10−10 kann C aufgrund der numerischen Ungenauigkeit nicht werden. Bei den letzten Schritten in diesem Bereich liegt die durchschnittliche Änderung
jedes Funktionswerts von u(x) in der Größenordnung 10−17 , was bei einer Funktion mit
Funktionswerten in der Größenordnung 0,1 die Genauigkeit der verwendeten doubleVariablen unterschreitet.
31
6 Konvergenz und numerische Beobachtungen
70000
g=0
g=0,15
g=0,22
g=0,3
60000
50000
N
40000
30000
20000
10000
0
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Γ
Abbildung 6.2: Anzahl N der Schritte, bis C < 10−8 erreicht wird. Die durchgezogene
Linien gelten für die PT -symmetrischen Zustände, die gestrichelten für
PT -gebrochene. In allen Fällen wurde dieselbe PT -gebrochene Startfunktion gewählt.
Die Zeit, beziehungsweise die Anzahl der Iterationsschritte, die benötigt werden, bis
eine gesetzte Schranke von C unterschritten wird, hängt stark von den Parametern g
und Γ ab (s. Abbildung 6.2). Im PT -symmetrischen Bereich ist das Verhalten fast unabhängig von g. N steigt langsam an, bis Γ ≈ Γmax , dann liegen der Grundzustand und
der erste angeregte Zustand energetisch so nahe beieinander, dass es länger dauert, um
zum Grundzustand zu konvergieren. Bei den PT -gebrochenen Zuständen braucht die
SRM sehr lange zur Konvergenz in den Bereichen, in denen der PT -gebrochene Zustand
abspaltet, wo also wieder 2 Zustände energetisch dicht beieinander liegen. In dem Bereich, wo es nur noch PT -gebrochene Zustände gibt, ist die Konvergenzgeschwindigkeit
fast unabhängig von Γ, ein größeres g führt aber zu einer schnelleren Konvergenz.
6.3 Nichtkonvergenz bei g = 0 im PT -gebrochenen
Bereich
In allen bisher gezeigten Graphen für die Wellenfunktionen und für das chemische Potential beziehungsweise die Mean-Field-Energie fehlen die Werte für den linearen Fall
im PT -gebrochenen Bereich Γ > 0,042, da dort die Spectral Renormalization-Methode nicht konvergiert. Hierbei stellt sich nach vielen Iterationsschritten ein oszillierendes
Verhalten ein (Abbildungen 6.3(a) und 6.3(b)). Davor verschwindet langsam der Imaginärteil des chemischen Potentials, die Wellenfunktion wird also PT -symmetrisch. Der
32
2,8
0,3
2,7
0,2
0,1
0,07
Re µ
Im µ
0,06
0,05
0,04
2,6
0,03
Im µ
0,4
Re µ
C
6.3 Nichtkonvergenz bei g = 0 im PT -gebrochenen Bereich
0,02
2,5
0,01
0
30000
60000
Schrittnummer
2,4
90000
0
(a)
2,8
0,08
0,07
Re µ
Im µ
2,7
C
Re µ
0,06
0,04
2000
4000
6000
Schrittnummer
(c)
8000
2,4
0,06
0,05
2,6
0,04
2,5
0,02
0
0
200000
(b)
0,1
0
100000
Schrittnummer
Im µ
0
0,03
0
2000 4000 6000
Schrittnummer
0,02
8000
(d)
Abbildung 6.3: Qualität C (a) und chemisches Potential µ (b) der Wellenfunktion im
linearen Fall bei jedem Schritt der Iteration für Γ = 0,06 im PT gebrochenen Bereich. Die Startfunktion führt auf einen positiven Imaginärteil des chemischen Potentials, dieser verschwindet jedoch nach vielen
Schritten. (c) und (d) zum Vergleich die gleichen Graphen für eine kleine
Nichtlinearität g = 0,05.
33
6 Konvergenz und numerische Beobachtungen
Realteil des chemischen Potentials hingegen wird bei jedem Iterationsschritt geändert,
genauso wie die Wellenfunktion selbst. Im nichtlinearen Fall gibt es ebenfalls eine Oszillation, jedoch klingt diese ab und es wird eine Lösung gefunden (Abbildungen 6.3(c)
und 6.3(d)). Ohne Nichtlinearität hat die SRM also trotz Vorgabe einer PT -gebrochenen
Startwellenfunktion keine Möglichkeit, sich zwischen den beiden tiefst liegenden Zuständen, deren chemisches Potential im Realteil gleich ist, zu entscheiden. Dass irgendwann
nur noch diese beiden Zustände als Bestandteil des aktuellen Zustands übrig sind, ergibt
sich daraus, dass sie den kleinsten Realteil des chemischen Potentials haben und somit
die Ausführungen aus dem vorherigen Abschnitt anwendbar sind.
Dass die resultierenden Wellenfunktionen PT -symmetrisch sind, obwohl es in diesem
Γ-Bereich nur noch PT -gebrochene Zustände gibt, ist möglich, wenn sich der Zustand
|ui zu gleichen Teilen aus den beiden tiefst liegenden Eigenzuständen |u0 i und |u1 i=
PT |u0 i zusammensetzt. Warum dies irgendwann bei jeder Startfunktion, die zu Beginn
verschieden große Anteile der beiden PT -gebrochenen Eigenzustände enthält, passiert,
kann bislang nicht erklärt werden. Die Folgen können dennoch vorhergesagt werden.
|ui = c0 |u0 i + c1 |u1 i mit |c0 | = |c1 |.
Dann gilt mit c0 = c eiϕ , c1 = c eiφ (c, ϕ, φ ∈ R):
|ui = c eiϕ |u0 i + eiφ PT |u0 i
PT |ui = c e−iϕ PT |u0 i + e−iφ |u0 i
= c e−i(ϕ+φ) eiϕ |u0 i + eiφ PT |u0 i
= e−i(ϕ+φ) |ui
(6.6)
(6.7)
(6.8)
Der PT -Eigenwert hängt von der Startfunktion ab, wird diese exakt PT -symmetrisch
gewählt, ist der Eigenwert 1, was sich über sehr viele Iterationsschritte nicht verändert.
Die SRM erhält PT -Eigenwerte, wie in Abschnitt 4.2 gezeigt wurde. Aus der obigen
Gleichung erhält man dieses Ergebnis auf bekannte Art durch Multiplikation mit einer
i
globalen Phase e− 2 (ϕ+φ) . Auf die Vorfaktoren wirkt sich das so aus, dass nicht nur
|c0 | = |c1 |, sondern auch c1 = c∗0 gilt.
Die Änderung der Wellenfunktion im Iterationsschritt lautet dann mit Gleichung (6.4)
µ − µ1
µ − µ0
c0 û0 + 1 +
c1 û1
ûneu = 1 +
r + k2
r + k2
µ − µ∗0 ∗ ∗
µ − µ0
c0 û0 + 1 +
c0 û0
= 1+
r + k2
r + k2
µ − µ0
= 2Re
1+
c0 û0
(6.9)
r + k2
Da µ für die PT -symmetrische Wellenfunktion immer reell ist, während µ0 eine komplexe
Größe ist, kann niemals µ = µ0 gelten, die Wellenfunktion wird also in jedem Schritt
34
6.4 Einfluss des Parameters r
geändert, jedoch bleibt ihre PT -Symmetrie erhalten (ûneu ist reell) und es kann so nie
eine Lösung gefunden werden. Die Differenz µ − µ0 wird vom Betrag größer, je größer Γ
wird, da dann der Imaginärteil von µ0 größer wird, die Änderung der Wellenfunktion wird
dadurch beschleunigt. Dieser Effekt kann numerisch als eine erhöhte Oszillationsfrequenz
in Auftragungen wie z.B Abbildung 6.3(a) beobachtet werden.
Lösungsansätze
Sehr kleine g
Verwendet man statt g = 0 sehr kleine g, so wie das für die PT -gebrochenen Zustände
in den Abschnitten 5.2 und 5.3 angewendet wurde, können Lösungen gefunden werden.
Vorteil dieser Methode ist, dass das chemische Potential sehr gut zu den erwarteten
Werten passt, was sich vor allem im Imaginärteil zeigt. Jedoch ist der Zeitaufwand für
eine solche Lösung groß, je nach gewähltem g kann es über 200000 Schritte dauern, bis
eine akzeptable Lösung erreicht wird.
Leicht asymmetrisches Potential
Wird ein leicht asymmetrisches Potential wie
Ṽ (x) = ω02 x2 + v0 exp −σ (x + 0, 001)2 + i Γ x exp −ρ x2
(6.10)
verwendet, so ist der Unterschied zum PT -symmetrischen Doppelmuldenpotential aus
Gleichung (5.1) kaum erkennbar. Da nun die beiden Mulden nicht mehr gleichwertig bezüglich Ein- und Auskopplung von Teilchen durch den immer noch antisymmetrischen
Imaginärteil des Potentials sind, wird nun deutlich schneller eine PT -gebrochene Funktion gefunden. Die Wellenfunktionen reagieren aber sehr empfindlich auf die Störung
der PT -Symmetrie, die Lösungen aus dem Bereich, der eigentlich PT -symmetrisch sein
sollte, zeigen deutliche Abweichungen von der PT -Symmetrie und Imaginärteile des chemischen Potentials in der Größenordnung 10−3 , was im Vergleich zu den Imaginärteilen
aus Abbildung 5.4 schwer zu vernachlässigen ist.
6.4 Einfluss des Parameters r
Der Parameter r wird bei der Herleitung der Spectral Renormalization-Methode nur
eingeführt, um eine Null im Nenner zu vermeiden, er hat keine physikalische Bedeutung
und verändert nichts an den Eigenfunktionen und Eigenwerten des Systems, auf das die
SRM angewendet wird. Trotzdem zeigt sich, dass die Konvergenzgeschwindigkeit von r
abhängt. Dies kann im linearen Fall verstanden werden, wenn man in Gleichung (6.4)
die alte Wellenfunktion identifiziert. Die neue Wellenfunktion setzt sich dann zusammen
35
6 Konvergenz und numerische Beobachtungen
aus
ûneu
X
µ − µi
=
1+
ci ûi
2
r
+
k
i
X µ − µi
= ûalt +
ci ûi
r + k2
i
(6.11)
Ein kleineres r führt also zu einer größeren Änderung der Funktion gegenüber dem
letzten Iterationsschritt. Dies ist in Abbildung 6.4 dargestellt.
20000
6000
g=0
g = 0,15
g = 0,3
5000
12000
3000
N
N
4000
8000
2000
4000
1000
0
g = 0,1
g = 0,2
g = 0,3
16000
0
5
10
15
r
(a)
20
25
30
0
0
5
10
15
r
20
25
30
(b)
Abbildung 6.4: Zahl N der Schritte, bis die GPE als gelöst gesehen wird (a) im PT symmetrischen Bereich bei Γ = 0,02, (b) im PT -gebrochenen Bereich
bei Γ = 0,06. Für kleinere g und einen größeren Bereich von r treten
keine neuen Phänomene auf, die Geraden werden jedoch für g → 0 so
steil, dass ihre Darstellung nicht mehr sinnvoll ist. Werte im Bereich
kleiner r fehlen, da die Spectral Renormalization-Methode dort gar nicht
konvergiert.
Auffällig ist, dass der Wert von g im PT -symmetrischen Bereich keinen Einfluss auf
die Konvergenzgeschwindigkeit hat. Dass für kleine g und insbesondere g = 0 im Bereich der PT -gebrochenen Funktionen Probleme auftreten, wurde schon in Abschnitt
6.3 diskutiert.
Zwei andere Beziehungen fallen ebenfalls auf: Die Abhängigkeit der benötigten Schrittzahl N von r ist nicht nur erwartungsgemäß monoton steigend, sondern beschreibt eine
Gerade, außerdem gibt es einen Bereich kleiner r, bei dem die SRM gar nicht konvergiert.
Erklärung der Gerade
Für g = 0 kann Gleichung (6.11) herangezogen werden. Sie zeigt, dass für kleine k der
Nenner des Bruchs hauptsächlich bestimmt wird durch r, für k 2 r spielt r dann
36
6.4 Einfluss des Parameters r
u0
u1
u2
u3
u4
3
2
Re û(k)
1
0
-1
-2
-3
-4
-2
0
k
2
4
Abbildung 6.5: Der Grundzustand und die ersten 4 angeregten Zustände für g = 0,
Γ = 0,02 in der k-Darstellung. Gezeigt ist nur der Realteil, da exakt
PT -symmetrische Zustände wie in Abschnitt 4.2 gezeigt eine rein reelle
Fouriertransformierte haben
kaum eine Rolle mehr. Dass r insgesamt den dominierenden Beitrag liefert sodass die
Änderung der Funktion mit 1/r skaliert, zeigt ein Blick auf die Funktionen ûi in Abbildung 6.5. Die Wellenfunktionen sind im Fourierraum stark lokalisiert, es treten nur
im Bereich |k| < 4 Fourierkomponenten auf, die signifikant von 0 verschieden sind. Die
Funktionswerte für diese k bestimmen also maßgeblich die Änderung der Wellenfunktionen im Iterationsschritt. Für die Werte von r, für die die Spectral RenormalizationMethode konvergiert, ist r größer als k 2 und somit ist es einsichtig, dass die Änderung
der Wellenfunktion ungefähr mit 1/r skaliert und damit die Zahl der benötigten Schritte
in etwa mit r anwächst.
Für g 6= 0 lässt sich die Iterationsgleichung (4.4) nicht mehr so schön nach Eigenfunktionen im k-Raum aufspalten. Der Term r + k 2 steht aber immer noch im Nenner
und wenn sich û(k) einer Lösung angenähert hat, ist diese ebenfalls um k = 0 zentriert,
sodass die Argumentation analog geführt werden kann.
Die Extrapolation der Geraden zu r = 0 zeigt, dass der Zusammenhang N (r) nicht
exakt linear ist, sondern ein Beitrag dazukommt, der im PT -gebrochenen Bereich von g
abhängt.
Nichtkonvergenz für kleine r
Der kleiste Wert von r, ab dem die Spectral Renormalization-Methode konvergiert, ist
unabhängig von g, wie aus Abbildung 6.4 ersichtlich ist. Jedoch besteht eine Abhän-
37
6 Konvergenz und numerische Beobachtungen
10000
l = 15
l = 20
l = 25
8000
N
6000
4000
2000
0
0
10
20
30
r
40
50
60
Abbildung 6.6: Benötigte Schrittzahlen N bis zur Lösung der GPE (g = 0, 1 , Γ = 0, 02).
Nicht eingezeichnete Punkte für kleine r fehlen, weil dort die SRM nicht
konvergiert
gigkeit zu einem anderen Parameter, nämlich der Breite l des betrachteten x-Intervalls.
Diese Größe hat keine physikalische Bedeutung, da das Potential und die Lösungen der
GPE auf ganz R definiert sind, ist aber numerisch nötig, da nur eine endliche Anzahl
an speicherbaren Punkten zur Verfügung steht. Die Wellenfunktionen aus Abbildung
5.2 und 5.3 sind bei |x| > 6 schon stark abgefallen, für die Grundzustände wird also
l = 15 verwendet, um den gesamten interessanten Bereich abzudecken. Bei höher angeregten Zuständen ist diese Einschränkung zu eng. Die Wellenfunktionen, die sich denen
des harmonischen Oszillators annähern, werden immer breiter, d.h. l muss vergrößert
werden.
In Abbildung 6.6 wird sichtbar, dass l keinen Einfluss auf die Konvergenzgeschwindigkeit hat, jedoch auf das minimale r, das gewählt werden muss, damit die Spectral Renormalization-Methode konvergiert. Wenn die Spectral Renormalization-Methode nicht
konvergiert, zeigt sie im Gegensatz zum Verhalten bei g = 0 im PT -gebrochenen Bereich (Abschnitt 6.3) kein langsames oszillierendes Verhalten, bei dem über viele Schritte
hinweg die Wellenfunktion verschiedene Formen annimmt. Stattdessen springt die Wellenfunktion bei jedem Schritt zwischen nur zwei Formen hin- und her, die in Abbildung
6.7 dargestellt sind.
38
6.4 Einfluss des Parameters r
0,6
0,6
Re u
Im u
0,4
0,2
0,2
0
0
-0,2
-0,2
-0,4
-0,4
-8
-6
Re u
Im u
0,4
-4
-2
0
x
(a)
2
4
6
8
-8
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
8
(b)
Abbildung 6.7: Die beiden Wellenfunktionen, zwischenen denen in jedem Schritt hinund gesprungen wird bei l = 15 und r = 8. Der Realteil sieht aus wie
die Lösung, er wird auch nicht mehr geändert. Der Imaginärteil hingegen
zeigt in der Mitte das richtige Verhalten (antisymmetrische Funktion),
an den Rändern kommt es aber zum Ausbrechen der Funktion.
39
7 Finden angeregter Lösungen mit der
Spectral Renormalization-Methode
Die Spectral Renormalization-Methode konvergiert gegen den Zustand mit dem kleinsten Realteil des chemischen Potentials. Ist dieser PT -gebrochen, es existieren aber höher
liegende Zustände, die PT -symmetrisch sind, so können diese erreicht werden, indem
der Imaginärteil der Fouriertransformierten der Wellenfunktion auf Null gesetzt wird,
was exakte PT -Symmetrie erzwingt. Um darüber hinaus angeregte PT -symmetrische
Zustände zu finden, müssen Methoden außerhalb der ursprünglichen Spectral Renormalization-Methode angewendet werden. Zwei von diesen werden im Folgenden vorgestellt
und verglichen.
7.1 Orthogonalisieren
7.1.1 Vorgehen
In Abschnitt 2.2.1 wurde gezeigt, dass die PT -symmetrischen Zustände eines PT symmetrischen Systems bezüglich des CP-Skalarprodukts orthogonal zueinander sind.
Im linearen Fall ist jeder normierbare Zustand eine Linearkombination aus Eigenzuständen des Systems. Man kann also das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren
anwenden, um bei der Suche nach angeregten Zuständen die Anteile der bisher gefundenen Zustände aus der Startfunktion zu entfernen. Aufgrund numerischer Ungenauigkeiten reicht es nicht, diese Orthogonalisierung nur mit der Startfunktion vorzunehmen,
kleine Reste der niedriger gelegenen Zustände würden Teil der Funktion bleiben und die
Spectral Renormalization-Methode würde wieder gegen den Grundzustand konvergieren.
Deshalb muss in jedem Schritt eine Orthogonalisierung nach folgendem Schema durchgeführt werden: Seien |ui i mit 0 ≤ i < n die bisher gefundenen Zustände des Systems
und |un i der Zustand, der gerade von der Spectral Renormalization-Methode gesucht
wird. Dann ist |un i0 mit
0
|un i = |un i −
n−1
X
i=0
hui |un iCP |ui i
(7.1)
orthogonal zu allen Zuständen |ui i.
41
7 Finden angeregter Lösungen mit der Spectral Renormalization-Methode
Im nichtlinearen Fall funktioniert diese Orthogonalisierung nicht mehr exakt, da die
Eigenzustände nicht mehr zwingend orthogonal zueinander sind. Für kleine Nichtlinearitäten ist jedoch zu erwarten, dass die von der Spectral Renormalization-Methode mit
Orthogonalisierung“ gefundenen Zustände nicht zu weit von den wahren Zuständen ab”
weichen. Außerdem schließt die Nichtlinearität nicht zwingend aus, dass einige Zustände
trotzdem orthogonal zueinander sind.
7.1.2 Ergebnisse
Im linearen Fall funktioniert die Orthogonalisierung, es können sehr hoch angeregte
Zustände berechnet werden. Jedoch wird der Zeitaufwand pro Zustand immer größer,
da in jedem Schritt die Projektion auf jeden tiefer liegenden Zustand abgezogen werden
muss. Bei n Zuständen führt dies auf einen Aufwand O(n2 ).
Bei g 6= 0 stellt sich irgendwann ein Gleichgewicht zwischen der Änderung der Funktion, die das Orthogolisieren“ verursacht, und der Änderung, die der eigentliche Iterati”
onsschritt der Spectral Renormalization-Methode vornimmt, ein. Als Abbruchbedingung
der Iteration eignet sich nun eine Schranke von C nicht mehr, da die Funktion, die sich
in diesem Gleichgewicht ergibt, keine exakte Lösung der GPE ist. Stattdessen werden
die beiden Funktionsänderungen miteinander verglichen und wenn sich diese gegenseitig
aufheben, die Iteration abgebrochen.
0,0012
0,03
Γ=0
Γ = 0,01
Γ = 0,02
Γ = 0,03
Γ = 0,038
C
0,0008
0,0006
0,02
0,015
0,0004
0,01
0,0002
0,005
0
0
0,05
Γ=0
Γ = 0,01
Γ = 0,02
Γ = 0,03
Γ = 0,038
0,025
C
0,001
0,1
(a)
0,15
g
0,2
0,25
0,3
0
0
0,05
0,1
0,15
g
0,2
0,25
0,3
(b)
Abbildung 7.1: GPE-Prüfvariable C, die sich im Gleichgewicht einstellt, für den ersten
(a) und zweiten (b) angeregten Zustand
Der erste angeregte Zustand kann bei Γ = 0 mit etwa der selben Genauigkeit (C ≈
10−9 ) wie der Grundzustand erreicht werden, da unabhängig von g der Grundzustand in
seiner exakt PT -symmetrischen Form eine rein reelle gerade Funktion ist und der erste
angeregte eine rein imaginäre ungerade. Der Integrand des CP-Skalarprodukts ist dann
also eine rein imaginäre ungerade Funktion und das Integral damit Null. Für Γ = 0 sind
42
7.2 Störungsrechnung
diese ersten beiden Zustände unabhängig von der Nichtlinearität orthogonal zueinander.
Mit wachsendem Γ sind die Zustände nicht mehr rein reell oder imaginär, wodurch die
Orthogonalisierung schlechter funktioniert. Deshalb hängt C nicht nur von g, sondern
auch von Γ ab. Der zweite angeregte Zustand steht bei Γ = 0 zwar orthogonal auf dem
ersten, da die Wellenfunktion wie beim Grundzustand rein reell gewählt werden kann,
jedoch nicht auf dem Grundzustand, weshalb Γ hier keine große Rolle spielt. Außer in
der Nähe des Punktes, an dem die PT -symmetrischen Lösungen verschwinden, ist die
Abhängigkeit C(g) linear.
Die erreichten Genauigkeiten sind für den ersten angeregten Zustand in der Größenordnung 10−3 und damit besser als für den zweiten. Vor allem für kleine g und Γ liefert
die Orthogonalisierungsmethode brauchbare Ergebnisse. Beim zweiten angeregten Zustand sind die Geraden deutlich steiler, jedoch liegen die Werte von C im betrachteten
Bereich noch im Rahmen.
Bei der Begründung, warum die Eigenzustände zu verschiedenen Eigenwerten bezüglich dem CP-Skalarprodukt orthogonal zueinander sind (Gleichung (2.22)) wurde verwendet, dass µ1 6= µ∗2 . Im PT -gebrochenen Bereich gilt aber genau das. Mit |ψ1 i und
|ψ2 i = PT |ψ1 i einem PT -gebrochenen Zustandspaar zu den Eigenwerten µ1 und µ2 = µ∗2
lässt sich das Skalarprodukt ausrechnen:
hψ1 |ψ2 iP = hψ1 |P|ψ2 i = hψ1 |PPT |ψ1 i = hψ1 |T |ψ1 i
Z
Z
∗
∗
= ψ1 (x)ψ1 (x) dx = (ψ1∗ (x))2 dx 6= 0 i.A.
(7.2)
Die Zustände sind also nicht orthogonal und diese Methode zum Finden angeregter
Lösungen funktioniert nicht mehr, weshalb nur Fälle mit Γ < 0,4 betrachtet werden.
7.2 Störungsrechnung
Mithilfe der zeitunabhängigen Störungstheorie nach Schrödinger können Zustände für
analytisch nicht lösbare Systeme näherungsweise bestimmt werden. Die folgende Herleitung beruht auf [21] und [22]. Voraussetzung für die Anwendung der Störungsrechnung
ist, dass die Nichtlösbarkeit nur von einer kleinen Störung herrührt, die Zustände für
das System ohne diese Störung aber bekannt sind. Der Hamiltonoperator muss sich aufteilen lassen in einen lösbaren Anteil Ĥ0 und eine Störung Ĥ1 , die über einen kleinen
Störparameter g skaliert ist
Ĥ = Ĥ0 + g Ĥ1 .
(7.3)
43
7 Finden angeregter Lösungen mit der Spectral Renormalization-Methode
Die Eigenzustände |ni und -energien En des gestörten Systems werden nun im Störparameter entwickelt.
X
|ni =
g i |n(i) i,
(7.4)
i
En =
X
g i En(i) ,
(7.5)
i
wobei |n(0) i der n-te Zustand des ungestörten Systems ist und alle anderen |n(i) i noch zu
bestimmende Korrekturen sind. Der Ansatz wird in die Schrödingergleichung eingesetzt,
um die Korrekturen zu berechnen
X
X
X
(Ĥ0 + g Ĥ1 )
g i |n(i) i =
g j En(j)
g i |n(i) i.
(7.6)
i
j
i
Das Ausmultiplizieren und Vergleichen der Vorfaktoren vor den verschiedenen g-Potenzen
liefert ein Gleichungssystem für die Energie- und Zustandskorrekturen. Die Terme in
nullter und erster Ordnung in g ergeben
Ĥ0 |n(0) i = En(0) |n(0) i
Ĥ0 |n(1) i + Ĥ1 |n(0) i = En(0) |n(1) i + En(1) |n(0) i.
(7.7)
(7.8)
Gleichung (7.7) liefert keine neue Information, da sie der ungestörten Schrödingergleichung entspricht, deren Lösungen als bekannt vorausgesetzt werden. Gleichung (7.8)
hingegen kann verwendet werden, um die Korrekturen erster Ordnung zu bestimmen.
Zuvor muss allerdings geklärt werden, welchen Wert hn(0) |n(1) i hat. Der Zustand |ni soll
normiert sein. Da in Gleichung (7.4) keine gesonderte Normierung vorgesehen ist, muss
|n(0) i normiert sein, damit die Gleichheit auch für g = 0 erfüllt sein kann. Schreibt man
die Normierungsbedingung
X
hn|ni =
g i g j hn(i) |n(j) i = 1
(7.9)
i,j
aus und sortiert nach g-Potenzen, folgt deshalb hn(0) |n(1) i = 0. Dies gilt allerdings nur für
die ungestörte Lösung und die Korrektur erster Ordnung. Die Korrektur zweiter Ornung
|n(2) i steht beispielsweise nicht senkrecht auf |n(0) i.
Aufgrund der Vollständigkeit der ungestörten Zustände kann die Störung erster Ordnung in Eigenfunktionen des ungestörten Systems entwickelt werden,
X
|n(1) i =
cm |m(0) i.
(7.10)
m
Durch die Orthogonalität hn(0) |n(1) i = 0 muss cn = 0 sein. Zur Berechnung aller anderen
Entwicklungskoeffizienten ck wird Gleichung (7.8) mit hk (0) | =
6 hn(0) | durchmultipliziert,
44
7.2 Störungsrechnung
wobei angenommen wird, dass keine Entartung vorliegt.
X
X
cm hk (0) |Ĥ0 |m(0) i+ hk (0) |Ĥ1 |n(0) i = En(0)
cm
hk (0) |m(0) i
| {z }
m
X
m
m
+En(1) hk (0) |n(0) i,
δk,m , da ungestörte
Lösungen orthonormiert
(0) (0)
cm Em
hk |m(0) i + hk (0) |Ĥ1 |n(0) i = En(0) ck + En(1)
δk,n ,
|{z}
=0, da k6=n
(0)
ck Ek
+ hk (0) |Ĥ1 |n(0) i = En(0) ck
⇔ ck =
hk (0) |Ĥ1 |n(0) i
(1)
(0)
En − Ek
.
(7.11)
Damit können also alle Entwicklungskoeffizienten der ersten Zustandskorrektur des nten Zustands des gestörten Systems berechnet werden. Der Zustand in erster Näherung
lautet dann
X hk (0) |Ĥ1 |n(0) i
|k (0) i.
(7.12)
|ni ≈ |n(0) i + g
(1)
(0)
E
−
E
n
k
k6=n
7.2.1 Anwendbarkeit
Die Störungsrechnung arbeitet mit einer Reihenentwicklung des Zustands und des chemischen Potentials in einem Störparameter, in diesem Fall g. Um herauszufinden, welche
Ordnungen betrachtet werden müssen, wird in einem ersten Schritt geklärt, von welcher
Ordnung in g die Abweichung des Grundzustandes mit Störung (g 6= 0) vom ungestörten
Zustand (g = 0) ist. Diese Abweichung wird wie folgt berechnet:
p
(7.13)
C1 := hũ|ũi, |ũi = |u0 i − |ug i
mit |u0 i = |u(g = 0)i, |ug i = |u(g 6= 0)i. Die Auftragung C1 (g) findet sich in Abbildung
7.2.
Für Γ = 0 ist die Kurve auch für größere g fast eine Gerade, die Krümmung ist
mit bloßem Auge kaum erkennbar, aber vorhanden. Je näher Γ dem Wert Γmax kommt,
ab dem es keine PT -symmetrischen Wellenfunktionen mehr gibt, desto größer wird die
Abweichung. Die µ(Γ)-Kurve ist in diesem Bereich sehr steil, eine kleine Änderung von
Γ führt zu einer großen Änderung des chemischen Potentials und der Wellenfunktion.
Da dieser Maximalwert von g abhängt, tritt der Effekt bei gegebenem Γ auf, wenn g sich
dem Wert nähert, bei dem Γ = Γmax gilt.
Zu erkennen ist aber auch deutlich, dass im bisher immer betrachteten Bereich 0 ≤ g ≤
0,3 die Abweichung des gestörten Grundzustands von ungestörten linear in g ist. Es kann
die Annahme gemacht werden, dass dies auch für die niedrig angeregten Zustände gilt,
deshalb kann Störungsrechnung erster Ordnung angewendet werden, um diese Zustände
zu berechnen.
45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0,01
Γ=0
Γ=0,01
Γ=0,02
Γ=0,03
0,008
0,006
C1
C1
7 Finden angeregter Lösungen mit der Spectral Renormalization-Methode
0,004
Γ=0
Γ = 0,01
Γ = 0,02
Γ = 0,04
0,002
0
1
2
3
g
4
5
6
0
0
0,05
0,1
0,15
g
0,2
0,25
0,3
Abbildung 7.2: Abweichung der Wellenfunktion mit Störung von der Wellenfunktion ohne Störung (g = 0) in verschiedenen Parameterbereichen von g. Es werden nur PT -symmetrische Wellenfunktionen betrachtet. Da das größte
Γ, für das es noch PT -symmetrische Lösungen gibt, mit wachsendem g
immer kleiner wird, brechen die Kurven in der linken Abbildung ab.
7.2.2 Vorgehen
Um angeregte Zustände des gestörten Systems in erster Ordnung zu berechnen, wird
Gleichung (7.12) verwendet. Da bei der Herleitung verwendet wird, dass hk (0) |m(0) i =
δk,m , muss bei nichthermiteschen Systemen ein Skalarprodukt verwendet werden, bezüglich dem die Eigenzustände orthonormiert gewählt werden können. Es wird also das in
Kapitel 2.3 vorgestellte CP-Skalarprodukt benutzt.
Der Hamiltonoperator, der die Störung beschreibt, lautet für das betrachtete System
Ĥ1 u(x) = −|u(x)|2 u(x),
(7.14)
der Störparameter ist das g, das die Wechselwirkungsstärke im BEC angibt. Gleichung
(7.12) enthält die Summe über alle Eigenzustände des ungestörten Systems. Praktisch
können nicht unendlich viele Zustände berechnet werden, weshalb die Summe bei 40
Zuständen abgebrochen wird (Begründung im Abschnitt 7.2.3). Da bei g = 0 die Orthogonalisierungsmethode sehr gut funktioniert, wird diese benutzt, um die hoch angeregten
Zustände des linearen Systems zu berechnen.
Das chemische Potential der gestörten Zustände wird nicht wie in der Störungsrech(0)
(1)
(0)
nung üblich über die erste Energiekorrektur µn ≈ µn + gµn = µn + ghn(0) |Ĥ1 |n(0) i
berechnet, stattdessen wird der neu berechnete Zustand |ni verwendet, also der Erwartungswert µn = hn|Ĥ|ni gebildet. Der Grund hierfür ist, dass µ verwendet wird, um
die Qualität C der Wellenfunktion zu bestimmen, es sollte also das µ direkt aus der
Wellenfunktion berechnet werden.
46
7.2 Störungsrechnung
0,003
0,0025
C
0,002
10
25
40
100
Zustände
Zustände
Zustände
Zustände
0,1
0,15
g
0,0015
0,001
0,0005
0
0
0,05
0,2
0,25
0,3
Abbildung 7.3: Qualität des durch die Störungsrechnung berechneten ersten angeregten
Zustands bei Γ = 0,02 für verschieden viele verwendete Zustände des
ungestörten Systems.
7.2.3 Ergebnisse
Es werden der erste und zweite angeregte Zustand des Systems unter Zuhilfenahme
verschieden vieler Lösungen des ungestörten Systems berechnet und ihre Qualität C
ermittelt. Das Ergebnis davon ist in Abbildung 7.3 zu sehen.
Die Verwendung von mehr ungestörten Lösungen führt zu besseren Näherungen für
den gestörten Zustand, allerdings lässt sich das nicht ewig fortsetzen. Werden mehr als
40 ungestörte Zustände verwendet, nimmt C nicht mehr merklich ab. Zu beobachten ist
auch, dass bei zu wenigen verwendeten ungestörten Zuständen C zumindest am Anfang
linear ansteigt. Wenn man genug ungestörte Zustände benutzt, tritt C vor allem in
höherer Ordnung auf.
In Abbildung 7.4 ist aufgetragen, wie gut die Berechnung der angeregten Zustände mit der Störungsrechnung gegenüber der Orthogonalisierung abschneidet. Für den
ersten angeregten Zustand löst die Orthogonalisierung bei Γ = 0 die GPE exakt, die
Störungsrechnung hingegen weist auch hier ein gekrümmtes Verhalten des Fehlers auf.
Im Bereich Γ < 0,3 liegen die Parabeln der Störungsrechnung zumindest teilweise unter
den Geraden der Orthogonalisierung, hier liefert die Störungsrechnung also bessere Ergebnisse. Wenn Γ allerdings größer als 0,3 wird, unterliegt die Störungsrechnung schon
bei kleinen g der Orthogonalisierung. Wie bei der Orthogonalisierung sind die Werte
für C im Bereich kleiner g jedoch noch im Rahmen dessen, was als Lösung akzeptiert
werden kann.
47
7 Finden angeregter Lösungen mit der Spectral Renormalization-Methode
0,005
0,35
Γ=0
Γ = 0,02
Γ = 0,03
Γ = 0,038
0,004
C
0,25
C
0,003
0,002
0,2
0,15
0,1
0,001
0
Γ=0
Γ = 0,02
Γ = 0,03
0,3
0,05
0
0,05
0,1
0,15
g
0,2
0,25
0
0,3
0
1
3
4
5
3
4
5
g
(a)
(b)
0,025
1,4
Γ=0
Γ = 0,02
Γ = 0,03
Γ = 0,038
0,02
Γ=0
Γ = 0,02
Γ = 0,03
1,2
C
1
C
0,015
0,01
0,8
0,6
0,4
0,005
0
2
0,2
0
0,05
0,1
(c)
0,15
g
0,2
0,25
0,3
0
0
1
2
g
(d)
Abbildung 7.4: Qualität C der durch Störungstheorie (durchgezogene Linien) und durch
Orthogonalisierung (gestrichelte Linien) berechneten Zustände. (a),(b)
erster angeregter Zustand. (c),(d) zweiter angeregter Zustand.
48
7.3 Vergleich
8e-05
Γ=0,0
Γ=0,02
Γ=0,03
Γ=0,038
6e-05
∆µ
∆µ
4e-05
2e-05
0
-2e-05
0
0,05
0,1
0,15
g
0,2
0,25
0,3
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
-0,05
Γ=0,0
Γ=0,02
Γ=0,03
0
1
2
3
4
5
g
Abbildung 7.5: Differenz ∆µ = µStör − µOrth der chemischen Potentiale, die mittels Störungsrechnung beziehungsweise durch Orthogonalisieren für den zweiten
angeregten Zustand ermittelt wurden.
Beim zweiten angeregten Zustand hingegen ist die Störungsrechnung der Orthogonalisierung für jedes Γ überlegen. Die Genauigkeit ist teilweise bis zu einer Größenordnung
besser. Ist man jedoch nicht an exakten Wellenfunktionen interessiert, sondern an dem
chemischen Potential eines Zustands, so wirkt sich diese Verbesserung kaum aus. Die Abweichungen des durch Orthogogonalisieren gewonnenen chemischen Potentials von dem
durch die Störungsrechnung berechneten sind für kleine g wie der bisher betrachtete Bereich 0 ≤ g ≤ 0,3 unmerklich klein. Erst wenn zu größeren g übergegangen wird, macht
sich der Unterschied, aufgetragen in Abbildung 7.5, wirklich bemerkbar. Für größere g
ist die Qualität C der Lösungen sowohl bei der Orthogonalisierung als auch bei der Störungsrechnung so schlecht, dass keinem der beiden Ergebnisse wirklich getraut werden
kann.
7.3 Vergleich
Sowohl die Orthogonalisierung als auch die Störungsrechnung liefern für angeregte Zustände Wellenfunktionen, die in ihrer Genauigkeit C je nach Parametern g und Γ teilweise
8 Größenordnungen schlechter sind als die Wellenfunktionen des Grundzustandes. Dies
ist nicht verwunderlich, da die Orthogonalisierung in einem nichtlinearen System nur in
Ausnahmefällen exakt funktionieren kann und bei der Störungsrechnung nur Korrekturen erster Ordnung berechnet wurden.
Für den ersten angeregten Zustand sind die Wellenfunktionen aus der Orthogonalisierung für kleine Γ oder große g besser, der zweite angeregte Zustand wird durch die
Störungsrechnung im betrachteten Parameterbereich immer genauer berechnet.
Der Zeitaufwand für die Störungsrechnung ist für ein einzelnes g allerdings deutlich
größer als für die Orthogonalisierung, da für jedes Γ zunächst 40 Zustände des linearen
Systems bestimmt werden müssen, bevor die gestörten Zustände ausgerechnet werden
49
7 Finden angeregter Lösungen mit der Spectral Renormalization-Methode
können. Weil die hoch angeregten Zustände über ein größeres x-Intervall ausgedehnt sind,
muss das numerisch betrachtete Intervall vergrößert werden. Um die Auflösung genügend
hoch zu halten, müssen mehr Gitterpunkte verwendet werden, was den Zeitaufwand
zusätzlich erhöht. Ein noch größerer Effekt der Verbreiterung des Intervalls ist, dass nun
der Parameter r, der die Konvergenzgeschwindigkeit maßgeblich bestimmt, vergrößert
werden muss und somit nicht nur jeder einzelne Schritt mehr Zeit in Anspruch nimmt,
sondern auch deutlich mehr Schritte bis zur Konvergenz benötigt werden.
Sollen Lösungen für viele verschiedene g gefunden werden, kann sich das Aufwandsverhältnis umdrehen, da bei der Störungsrechnung zwar am Anfang viele ungestörte
Zustände bestimmt werden müssen, diese dann aber verwendet werden können, um mit
konstantem Aufwand Zustände für viele verschiedene Störparameter in fast beliebiger
Anregung zu berechnen. Bei der Orthogonalisierung muss hingegen für jedes Parameterpaar (g, Γ) der Zustand neu berechnet werden, wobei die Konvergenz der Spectral Renormalization-Methode in der Regel deutlich mehr Zeit in anspruch nimmt als das Berechnen
der ersten Zustandskorrektur, deren Zeitaufwand hauptsächlich durch das Aufintegrieren
von lediglich 40 Matrixelemeneten der Form hk (0) |Ĥ1 |n(0) i verursacht wird. Ist ein angeregter Zustand gesucht, müssen bei der Orthogonalisierung für jedes Parameterpaar alle
tiefer liegenden Zustände auch berechnet werden, bevor der gesuchte Zustand ermittelt
werden kann.
Je nach Wahl der Parameter und Anzahl der gewünschten Zustände ist also entweder
die Orthogonalisierung oder die Störungsrechnung schneller. Die chemischen Potentiale,
die von den beiden Methoden berechnet werden, unterscheiden sich in so geringem Maße,
dass die Zeitersparnis bei der Verwendung einer Methode gegenüber einem möglichen
Genauigkeitsgewinn bei Verwendung der anderen überwiegt.
50
8 Zusammenfassung und Ausblick
Ziel dieser Arbeit war es, zu untersuchen, inwiefern sich die Spectral RenormalizationMethode (SRM) zur Lösung von Differentialgleichungen im Zusammenhang mit der
Bose-Einstein-Kondensation in PT -symmetrischen Quantensystemen eignet und ob auch
angeregte Zustände gefunden werden können.
Die mathematische Beschreibung des Bose-Einstein-Kondensats erfolgt über die zeitunabhängige Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE), die eine Mean-Field-Näherung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung für Vielteilchensysteme ist. Die GPE sieht der Schrödingergleichung sehr ähnlich, sie enthält für kurzreichweitige Wechselwirkungen nur einen
zusätzlichen Term −g|ψ(x)|2 ψ(x), also eine Nichtlinearität. In diesem Term ist die Wechselwirkung eines Teilchens mit allen anderen zusammengefasst.
Das Potential, in dem die Kondansation stattfindet, ist ein nichthermitesches aber
PT -symmetrisches Doppelmuldenpotential, also ein Potential mit geradem Realteil und
ungeradem Imaginärteil. Dieser Imaginärteil führt zu einem zusätzlichen Term in der
Kontinuitätsgleichung, der zu einem Anwachsen oder Abfallen von Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte führt. Er kann also als Ein- und Auskopplung von Teilchen interpretiert werden.
Bereits in früheren Arbeiten [11, 12, 23] wurde gezeigt, dass die von Bender und Böttcher [7] vorhergesagten PT -symmetrischen Eigenzustände mit reellen Eigenwerten des
Hamiltonoperators in dem Doppelmuldenpotential auftreten. Diese Ergebnisse konnten
mit der Spectral Renormalization-Methode fast vollständig reproduziert werden.
Die SRM konvergiert in fast allen Bereichen der physikalischen Parameter. Nur wenn
die Wechselwirkung zwischen den Teilchen auf Null gesetzt wird (der nichtlineare Term
also wegfällt) und der Imaginärteil des Potentials so groß gewählt wird, dass es keine PT symmetrischen Zustände mehr gibt, stellt sich ein oszillierendes Verhalten ein, die SRM
konvergiert nicht. Unabhängig von der Startfunktion, die normalerweise beliebig gewählt
werden kann, strebt die SRM in diesem Bereich zu einer PT -symmetrischen Funktion, die
sich aus der Linearkombination der beiden PT -gebrochenen Zustände zusammensetzt,
die zueinander komplex konjugierte Eigenwerte mit dem kleinsten Realteil haben.
Eine weitere Abhängigkeit von einem rein numerischen, unphysikalischen Parameter
konnte festgestellt werden. Dieser bestimmt die Konvergenzgeschwindigkeit, je kleiner
er gewählt wird, desto schneller kommt es zur Konvergenz. Wird er jedoch zu klein
gewählt, konvergiert die Spectral Renormalization-Methode gar nicht mehr. Die Grenze,
wie klein dieser Parameter werden darf, hängt von der Größe des numerisch betrachteten
x-Intervalls ab.
51
8 Zusammenfassung und Ausblick
Die Zeit, bis eine Lösung gefunden wird, hängt von den gewählten Parametern ab
und bewegt sich zwischen Zehntel-Sekunden und Minuten. Neben der teilweise hohen
Geschwindigkeit ist ein weiterer Vorteil der Spectral Renormalization-Methode, dass die
einzige Vorgabe, die Startfunktion für die Iteration, beliebig gewählt werden kann. Je
näher die Startfunktion dem Ergebnis ist, desto schneller ist der Endzustand erreicht,
aber auch mit Zufallszahlen als Startfunktion kommt es zur Konvergenz. Es muss also
nicht wie beim Shooting-Verfahren schon vor Beginn ungefähr bekannt sein, in welchem
Bereich sich die Lösung befinden wird.
Angeregte Zustände können mit der Spectral Renormalization-Methode erhalten werden, wenn ein PT -symmetrischer Zustand einen höheren Realteil seines Eigenwerts hat
als ein PT -gebrochener. In diesem Fall kann der Imaginärteil der Fouriertransformierten
der Wellenfunktion in jedem Schritt auf Null gesetzt werden, was exakte PT -Symmetrie
erzwingt. Im linearen Fall kann außerdem die Orthogonalität der PT -symmetrischen
Zustände bezüglich des CP-Skalarprodukts
hψ1 |ψ2 iCP = chPψ1 |ψ2 i, c = sign hPψ1 |ψ1 i
(8.1)
ausgenutzt werden, um hoch angeregte Zustände zu erhalten. Hierbei wird in jedem
Schritt die CP-Projektion des aktuellen Zustands auf alle tiefer liegenden, zuvor berechneten Zustände vom aktuellen Zustand abgezogen. Ist der Wechselwirkungsterm
(die Nichtlinearitität) von Null verschieden, kann dieses Vorgehen eigentlich nicht mehr
angewendet werden. In dem Bereich kleiner Nichtlinearitäten funktioniert diese Orthogonalisierung jedoch trotzdem näherungsweise und liefert für niedrig angeregte Zustände
annehmbare Wellenfunktionen und Eigenwerte.
Eine zweite Methode, angeregte Zustände zu erhalten, ist die zeitunabhängige Störungsrechnung nach Schrödinger, die in dieser Arbeit in erster Ordnung angewendet
wurde. Sie liefert in bestimmten Parameterbereichen und für höher angeregte Zustände
bessere Ergebnisse als das Orthogonalisieren. Im Bereich kleiner Nichtlinearitäten unterscheiden sich die durch Orthogonalisieren und die durch die Störungsrechnung gefundenen Eigenwerte nur sehr gering, der Unterschied wird aber für größere Nichtlinearitäten
deutlich sichtbar.
Der Zeitaufwand für beide Methoden hängt von der Fragestellung ab. Ist nur ein einziger Zustand gesucht oder sollen einzelne Zustände für verschieden große Imaginärteile
des Potentials gesucht werden, ist das Orthogonalisieren schneller, da jeweils nur alle
Zustände niedriger als der gesuchte berechnet werden müssen und bei der Störungsrechnung jedes mal sehr viele angeregte Zustände des ungestörten Systems (g=0) gefunden
werden müssen. Sind aber viele Zustände zu verschiedenen g gesucht, kann die Störungsrechnung schneller sein, da mit einem Satz an Lösungen des ungestörten Systems viele
Lösungen für unterschiedliche Nichtlinearitäten schnell berechnet werden können.
Für zukünftige Arbeiten steht noch die Überprüfung an, wie sich die Spectral Renormalization-Methode auf Systeme in mehreren Dimensionen anwenden lässt und ob die
Störungsrechnung in höherer Ordnung bessere Ergebnisse für angeregte Zustände des
Systems mit größerer Nichtlinearität liefern kann.
52
Literaturverzeichnis
[1] Mark J. Ablowitz und Ziad H. Musslimani. Spectral renormalization method for
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54
Danksagung
Mein Dank gilt all jenen, die zum gelingen dieser Arbeit beigetragen haben. An erster
Stelle bedanke ich mich bei meinem Betreuer Holger Cartarius, der mir über die gesamte Zeit mit Rat und Tat zu physikalischen und numerischen Themen zur Seite stand.
Außerdem möchte ich mich bei meinen Bürokollegen Kirill Alpin und Johannes Reiff
bedanken, die mir nicht nur bei Programmierfragen immer weiterhelfen konnten. Nicht
zuletzt sind meine Kommilitonen und alle Kollegen am ITP1 zu nennen, die das Anfertigen dieser Arbeit auch auf persönlicher Ebene sehr angenehm gemacht haben, sowie
meine Familie, die mich während dem Studium und auch davor immer unterstützt hat.
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Erklärung
Ich versichere,
• dass ich diese Bachelorarbeit selbständig verfasst habe,
• dass ich keine anderen als die angegebenen Quellen benutzt und alle wörtlich oder
sinngemäß aus anderen Werken übernommenen Aussagen als solche gekennzeichnet
habe,
• dass die eingereichte Arbeit weder vollständig noch in wesentlichen Teilen Gegenstand eines anderen Prüfungsverfahrens gewesen ist,
• dass ich die Arbeit weder vollständig noch in Teilen bereits veröffentlicht habe, es
sei denn, der Prüfungsausschuss hat die Veröffentlichung vorher genehmigt
• und dass der Inhalt des elektronischen Exemplars mit dem des Druckexemplars
übereinstimmt.
Stuttgart, den 4. August 2016
Christoph Lohrmann