Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie Klausur Name

M. J. Sauer
WS 2016 / 2017
Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie
Name:
Klausur
Matrikel-Nr.:
Aufgabe 1 (Regressionsgerade und Korrelationskoeffizient)
[25 Minuten]
Aus einer Stufe 8 einer Realschule wurden zufällig acht Schülerinnen und Schülern zufällig ausgewählt und bezüglich ihres Freizeitverhaltens befragt – und zwar in Hinblick auf die durchschnittliche wöchentliche Zeit (in Stunden), die einerseits mit dem Fernseher oder dem Computer und andererseits mit sportlicher Betätigung zugebracht wird.
Im Folgenden sind diese Daten gegeben.
Nummer
Zeit für TV
und Computer
5
14
23
27
30
35
45
50
1
2
3
4
5
6
7
8
Zeit für Sport
8
4,5
5
11
2,5
4,5
2
0
Teil (a):
Zeichnen Sie die Daten in ein Koordinatensystem ein.
Hinweis: Achten Sie auf ein adäquates Layout!
Teil (b):
Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und die empirische Varianz bezüglich des Merkmals
„Zeit für TV und Computer“! [Alle Rechnungen mit drei Nachkommastellen!]
Hinweis (zur Erinnerung): Die empirische Varianz ist wie folgt definiert:
Es seien x1 ,  , xn die Daten einer Stichprobe des Umfangs n bezüglich eines quantitativen
Merkmals. Dann heißt die Zahl
2
1 n
2
s 
 xi  x
n  1 i 1
die empirische Varianz der Stichprobe.


Teil (c):
Berechnen Sie mit Hilfe der folgenden Definition die Regressionsgerade zu diesen Datenpaaren
der obigen Tabelle! [Alle Rechnungen mit maximal drei Nachkommastellen!]
Definition der Regressionsgerade: Die Gerade g :    mit x  y  g  x   ax  b mit
n
a
 x  y  n x y
i 1
n
i
i
x
i 1
i
2

 n x
2
und b  y  a  x
heißt Ausgleichsgerade oder Regressionsgerade zu den gegebenen Datenpunkten
 x1 , y1  ,  ,  xn , yn  .
Teil (d): [Wir benutzen nun folgende Abkürzung: SQR = Summe der Quadrate der Residuen.]
Erläutern Sie, welche entscheidende Tatsache für die SQR der in Teil (c) berechneten Regressionsgeraden g im Vergleich zu der SQR einer beliebigen anderen Geraden h gilt.
Teil (e):
< Die Bearbeitungszeit für diesen Aufgabenteil fließt nicht in die oben angegebene Arbeitszeit
von 25 Minuten für Aufgabe 1 ein! Dieser Aufgabenteil ist für die vorhandene Klausur zu zeitaufwändig; aber er ist eine gute Übung zum Verständnis der in Teil (d) genannten Tatsache. >
Berechnen Sie die Summe der Quadrate aller acht Residuen (SQR) – und zwar
(e.1) bezüglich der folgenden ungeeigneten Geraden h :    mit x  y  h  x    x  25 .
(e.2) bezüglich der Regressionsgeraden g , deren Koeffizienten Sie in Teil (c) berechnet haben.
[Alle Rechnungen mit maximal drei Nachkommastellen!]
Vergleichen Sie diese beiden Werte, damit Sie nun auch sehen, dass die Regressionsgerade die
von Ihnen in (d) genannte Bedingung erfüllt.
Teil (f):
Zeichnen Sie die Regressionsgerade aus Teil (d) in das Koordinatensystem von Teil (a).
Sie wissen, dass der Korrelationskoeffizient zu gegebenen Datenpaaren Werte im Intervall
 1,  1 annehmen kann. Geben Sie nun – allein aufgrund dieser Skizze (!) – eine begründete
Einschätzung über den Wert des Korrelationskoeffizienten zu den gegebenen acht Datenpaaren!
Hinweis: Der exakte Wert des Korrelationskoeffizienten soll nicht berechnet werden und auch
nicht für die Argumentation verwendet werden.
Aufgabe 2 (Kombinatorik)
[15 Minuten]
Für die einzelnen Kombinatorik-Figuren gelten die folgenden Formeln:
Es gibt nk Stichproben der Form [mW|Rw ] .
n
Es gibt
Stichproben der Form [oW; Rw ] .
 n  k 
n
Es gibt   Stichproben der Form [oW|Ruw] .
k 
 n  k  1
Es gibt 
 Stichproben der Form [mW|Ruw] .
 k

Werden aus dem Alphabet Z1 ,..., Z n  Permutationen mit Wiederholungen gebildet (Wörter der
Länge k, bei denen jedes Zeichen Zi genau ki -mal vorkommt), so gibt es dafür
k
Mögk1 ...  k n
lichkeiten.
Teil (a):
Lösen sie die folgende Aufgabe mittels des Vier-Schritt-Modells und machen Sie diese vier
Schritte in der Bearbeitung kenntlich!
Vier-Schritt-Modell:
(1) Angabe konkreter Ergebnisse
(3) Übertragung in ein Modell
(2) Beantwortung der Grundfragen
(4) Anwendung der Formel
Aufgabenstellung:
Gegeben sei der nebenstehende Ausschnitt aus dem
Stadtplan der gitterförmig angelegten Innenstadt von
Mannheim. Wie viele Wege (ohne Umwege) gibt es
von P nach Q? (Wichtig: An jeder Kreuzung darf nur
nach Osten oder nach Süden gelaufen werden. )
P
Q
Teil (b):
Mittels der folgenden sehr überschaubaren Aufgabe sollen Sie den Beweis der Formel zur Kombinatorik-Figur [mW | Ruw] nachvollziehen – also insbesondere das „Identifikationsargument“!
Aufgabenstellung: Zwei nicht unterscheidbare Spatzen können sich auf drei Bäume verteilen.
Frage: Wie viele Möglichkeiten der Verteilung kann ein Beobachter wahrnehmen?
(a) Schreiben Sie als Beispiele drei Verteilungsmöglichkeiten auf und codieren Sie diese mittels
der Zeichen 0 und 1.
(b) Wir machen nun die Nullen und Einsen unterscheidbar. Schreiben Sie nun alle 4!=24 Möglichkeiten auf, die vier unterscheidbaren Objekte 01 ,02 ,11 ,12 auf vier Plätzen anzuordnen.
(c) Nun gilt aber: Die Nullen sind nicht unterscheidbar und die Einsen sind ebenfalls nicht unterscheidbar! Machen Sie jetzt deutlich, wie man mittels eines Identifikationsarguments die
obige Frage beantwortet. Genauer:
(1) Welche Tupel werden jeweils identifiziert? [Verwendung von Farben!]
(2) Welche Division ist nach dem Identifikationsprozess durchzuführen?
(3) Welche 6 Tupel bleiben nach der Division übrig?
Aufgabe 3 (Laplace-Wahrscheinlichkeit, Verteilung einer diskreten ZV)
[20 Minuten]
Teil (a):
Ein ideales Oktaeder (dessen Seiten die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 tragen) wird geworfen. Die
Augenzahl eines Wurfes ist die Zahl auf der oben liegenden Fläche.
Teil (1): Der Oktaeder wird fünf Mal nacheinander geworfen.
(1.1) Geben Sie in mathematischer Schreibweise den Ergebnisraum  an!
(1.2) Sei E das Ereignis: „Es fällt genau zwei Mal die Eins“.
Zeigen Sie: E hat 3430 Elemente! [Verbale Kurzbegründungen!]
(1.3) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit von E!
Teil (2): Man führt eine Folge abzählbar vieler Würfe des Oktaeders durch.
Sei X die Zufallsvariable, welche die Nummer desjenigen Oktaeder - Wurfes angibt,
bei dem zum ersten Mal eine Acht fällt.
(2.1) Bestimmen Sie die W - Verteilung der Zufallsvariablen X !
(2.2) Bestimmen Sie X    !
4
(2.3)
Berechnen Sie
 P  X  i
!
i 1
(2.4)
Zeigen Sie mittels konkreter Rechnung, dass gilt PX  X      1 !
(2.5)
Sei A : u  X    u ist eine durch 4 teilbare Zahl . Berechnen Sie PX  A  !
(2.6)
Berechnen Sie E  X  !
[Hinweis: Sie dürfen (und müssen) die folgende Formel benutzen:

1
i  q i 1  
für q  1 .]

2
i 1
1  q 
Teil (b):
Gegeben sei die Menge   1, 2, 3, 4 .
Erläutern Sie, wie man  zu einem W – Raum machen kann!
Aufgabe 4 (Spezielle Verteilungen diskreter ZV)
[10 Minuten]
Modellieren Sie die folgende Aufgabenstellung und lösen Sie dann die Aufgabe!
5
Bei einem Bernoulli-Experiment sei die Treffer-Wahrscheinlichkeit p  .
7
Wie oft muss dieses Bernoulli-Experiment mindestens durchgeführt werden, damit die Wahrscheinlichkeit, dass bei dieser Bernoulli-Kette mindestens ein Treffer vorhanden ist, mindestens
bei 90 % liegt?
Aufgabe 5 (Tschebycheff-Ungleichung)
[15 Minuten]
Teil (a):
Geben sie präzise die Aussage der Tschebyscheff-Ungleichung an!
Verdeutlichen Sie diese Aussage ikonisch und verbal!
Teil (b):
Eine Verpackungsmaschine soll ein Kaugummiband in Streifen mit der Länge 9 cm zerschneiden. Stichproben, die zur Kontrolle genommen wurden, lassen vermuten, dass der Erwartungswert der Streifenlänge mit dem Sollwert von 9 cm übereinstimmt und dass die Standardabweichung/Streuung 2 mm beträgt.
Aus der Tagesproduktion eines zufällig bestimmten Tages wird ein Kaugummistreifen entnommen. Sei X die diskrete ZV, welche die Länge dieses Kaugummistreifens angibt.
[X kann als diskrete ZV angesehen werden, denn die Länge des Kaugummistreifens kann in der
Firma physikalisch nur auf einen Millimeter genau gemessen werden.]
Was kann man über die Wahrscheinlichkeit aussagen, dass ein zufällig entnommener Streifen
eine Länge hat, die um echt weniger als 4 mm vom Sollwert abweicht (also eine Länge hat, deren Abstand zur Sollwert-Länge kleiner als 4 mm ist)?