3. ¨Ubung zur Mathematik II f¨ur Biologen

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT ZU KÖLN
Dr. M. Schulz
M. Sc. C. Heuser
Sommersemester 2015
20. April 2015
3. Übung zur Mathematik II für Biologen
Allgemeine Hinweise:
• Abgabe: 27. bzw. 28. April in den jeweiligen Übungen.
Aufgabe 1.
(8 Punkte, schriftlich)
(i) (2 Punkte) Seien E und F Ereignisse aus einer Ergebnismenge Ω mit P(F) > 0. Zeigen Sie, dass
P(E|F) = 1 − P(E|F) gilt.
(ii) (3 Punkte) Seien A und B zwei unabhängige Ereignisse einer Ergebnismenge Ω mit P(A) > 0 und
P(B) > 0. Zeigen Sie, dass dann auch gilt P(B|A) = P(B), P(A|B) = P(A) und P(A|B) = P(A).
(iii) (3 Punkte) Beweisen Sie, dass das unmögliche Ereignis 0/ und das sichere Ereignis Ω unabhängig von
jedem beliebigen Ereignis A ⊂ Ω sind.
Aufgabe 2.
(10 Punkte, schriftlich)
Bei einer Sportveranstaltung wird ein Dopingtest durchgeführt. Wenn ein Sportler gedopt hat, dann fällt der
Test zu 99,9% positiv aus. Hat ein Sportler aber kein Doping genommen, zeigt der Test trotzdem zu 5% ein
positives Ergebnis an. Aus Erfahrung weiß man das 25% der Sportler gedopt sind.
(i) (2 Punkte) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ ausfällt, obwohl der Sportler
gedopt hat?
(ii) (4 Punkte) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Dopingprobe poitiv ausfällt.
(iii) (4 Punkte) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt hat, falls seine Dopingprobe
negativ ausgefallen ist.
Aufgabe 3.
(12 Punkte, schriftlich) Löwen jagen unter anderem Riedböcke, Zebras und Gnus, jedoch
ist nicht jeder Jagd erfolgreich. Nur 14% aller Jagden auf Rieböcke, 22% auf Zebras und 32% auf Gnus sind
erfolgreich. Wir gehen davon aus, dass alle Jagdangriffe zu 45% auf Riedböcke, zu 35% auf Zebras und zu
20% auf Gnus erfolgen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
(i) (2 Punkte) ist die Jagd eines Löwen auf ein Zebra erfolgreich?
(ii) (2 Punkte) frisst ein Löwe nach einer Jagd kein Gnu?
(iii) (2 Punkte) frisst der Löwe nach einer erfolgreichen Jagd ein Riedbock?
(iv) (2 Punkte) ist die Jagd eines Löwen erfolgreich?
(v) (4 Punkte) hat ein Löwe mindestens ein Zebra und zwei Gnus bei 10 Angriffen erlegt?
Aufgabe 4.
(mündlich - Multiple choice)
Bei den einzelnen Aufgabenteilen ist mitunter mehr als eine Antwort richtig. Kreuzen Sie die richtigen
Lösungen an!
In einer Gesundheitsuntersuchung wurden 60 Männer und 40 Frauen nach ihrem Rauchverhalten befragt.
Unter den Männern waren 30 braunhaarige, von denen 15 Raucher waren, 20 Männer waren blond und
von diesen rauchten 4. Die restlichen zehn Männer waren Nichtraucher und hatten schwarze Haare. Bei
den Frauen stellte sich heraus, dass 12 von ihnen braunhaarig waren und davon 5 rauchten. Von den 17
blonden Frauen rauchten 6. Unter den Befragten waren nun noch 2 rothaarige Nichtraucherrinnen und 9
schwarzhaarige Frauen, von denen eine Raucherin war.
(i) Bezeichne mit M das Ereignis, dass eine zufällig ausgewählte Person ein Mann ist und mit F das
Ereignis, dass eine zufällig ausgewählte Person eine Frau ist. Weiter bezeichne R das Ereignis, dass
eine zufällig ausgewählte Person ein Raucher ist.
P(M) = 1 − P(F).
P(R) = P(M ∪ R) + P(F ∩ R).
P(R) = P(M ∩ R) + P(F ∩ R).
P(R) = P(M ∪ R) + P(F ∪ R).
(ii) Wir bezeichnen mit braun“ die Eigenschaft, dass eine Person braune Haare hat. Die Eigenschaft eine
”
andere Haarfarbe zu haben werden analog bezeichnet.
P(R ∩ schwarz“) = 1%.
”
P( braun“) = 42, 5%.
”
/
P(R ∩ rot“) = 0.
”
P(R ∪ blond“) = P(R) + P( blond“) − P(R ∩ blond“) = 58%.
”
”
”
(iii)
P( schwarz“ | M) = 62 .
”
P(R | braun“) = 23 .
”
P( rot“ | M) = 0.
”
P( blond“ | R) =
”
10
31 .