Vorlesungsblatt 12 - E16

Prof. Dr. F. Koch
Dr. H. E. Porteanu
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SS 2005
HÖHERE PHYSIK – SKRIPTUM
VORLESUNGBLATT XII – 19.05.05
Festkörperphysik - Kristalle
Nach unserem kurzen Ausflug in die Molekülphysik wenden wir uns dem großen Gebiet der
Festkörperphysik zu, die uns für diese und etwa 11 weitere Termine beschäftigen wird. Der
Festkörper ist die Antwort auf die Frage „wenn 2 Atome durch elektrische WW eine
Anziehungskraft spüren und sich zu einem Molekül verbinden, warum nicht 3 und mehr“. Für
n~6x1023 (die Anzahl der Atome pro Molekülgewicht) hat man einen makroskopischen Festkörper.
Das theoretische Verständnis der Festkörper beruht auf einem wesentlichen Ansatz Translationssymmetrie. Das heißt er ist so aufgebaut, dass nach einer fundamentalen Translation sich alles
wiederholt, die physikalischen Gegebenheiten wieder die gleichen sind. Diese
Symmetrieüberlagerung der Translationsinvarianz ist Grundlage aller kristallinen Festkörper.
Kristallgitter
Ein regelmäßig aufgebauter Festkörper hat als Grundlage die fundamentalen Translationen
r r r
a , b, c.
r
r
r
r
Ein Translationsvektor ist T = n 1a + n 2 b + n 3 c.
r
Die fundamentalen Translationen sind primitive, wenn jede Zelle des Festkörpers mit T erreicht
werden kann. Die primitiven fundamentalen Translationen spannen ein mathematisches Gitter auf.
Die drei primitiven Translationen generieren ein Volumen, das man primitive Einheitszelle nennt.
Diese Einheitszellen füllen den Raum komplett aus und enthalten jeweils nur einen Gitterpunkt.
Es gibt nur eine begrenzte Anzahl von möglichen Gittertypen, die man nach ihren zusätzlichen
Merkmalen (...anderen weiteren Symmetrieoperationen; Punktsymmetrieoperationen wie
Drehungswinkel, Spiegelung, Inversion) charakterisiert.
In zwei Dimensionen (2D) sind es 5 Gitter – schräg, rechteckig primitiv (P), rechteckig zentriert (C
), quadratisch und hexagonal.
In drei Dimensionen sind es 14, die der Abbildung zu entnehmen sind. In der Natur hat jeder
Festkörper eine Gitterstruktur, die der Natur seiner elektrischen Bindungen gerecht wird. Kurz und
bündig gesagt – die Struktur, die er verdient hat. Tatsächlich ist es so, dass etwa 90% aller
kristallinen Substanzen in Form von nur etwa 3-4 Gittertypen vorkommt. Die wichtigsten sind
kubisch primitiv P, kubisch innenzentriert I, kubisch flächenzentriert F und hexagonal.
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Die primitiven Zellen sind manchmal (z.B. kubisch I, kubisch F) schwierig anschaulich zu machen.
Man bevorzugt es mittels einer konventionellen Einheitszelle Dinge anschaulich zu gestalten. In
der Abbildung sind konventionelle und primitive Zellen für kubisch I und F, und für hexagonale
Gitter gezeichnet.
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Die Kennzeichnung und Benennung für Flächen und Achsen erfolgt überwiegend dem Miller Index
Schema. Für Positionen im Gitter benutzen wir das Zahlentriplet n1, n2, n3. Für Achsen und
Richtungen benutzen wir eckige Klammern z.B. [100] und die Positionszahlen, die vom Ursprung 0,
0, 0 den Vektor kennzeichnen. Die allgemeine Richtung der positiven x-Achse ist [100], der
negativen z-Achse [00-1]. Flächen definiert man nach dem Miller Index-Schema wie in der
Abbildung.
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Kristallstrukturen
Wenn man den Gitterpunkten eine gewisse Einheit (die Basis) vorschreibt, erhält man die
Kristallstruktur. Sinnbildlich ist das eine Gleichung: Kristallstruktur=Gitter+Basis. Dabei kann die
Basis ganz verschiedener Natur sein und inhärente Symmetrieelemente besitzen oder auch nicht.
Dadurch entstehen 232 verschiedene Kristallstrukturen, die man nach ihren prominentesten
Vertretern benennt. Beispiele, die wir kennenlernen sollten, sind die Kochsalzstruktur,
Cäsiumchloridstruktur, Diamantstruktur, Zinkblendestruktur und hexagonal dichteste Kugelpackung
(hcp).
1. NaCl Kristallstrukturen (Gitterkonstante im kubischen System 5.63 Å)
Gitter kubisch F
Basis Na+ 0, 0, 0
Cl- ½, 0, 0
2. CsCl Struktur (a=4.11 Å)
Gitter kubisch P
Basis Cs+
Cl-
0, 0, 0
½, ½, ½
3. Diamant (C, Si, Ge und graues Zinn haben a=3.56; 5.43; 5.65; 6.46 Å respektive)
Gitter kubisch F
Basis C
0, 0, 0
C
¼, ¼, ¼
4. Zinkblende (ZnS
Gitter kubisch F
a=5.41 A°)
Basis Zn
S
0, 0, 0
¼, ¼, ¼
5. hcp-Strukturen
Idealerweise hat diese Struktur das Achsenverhältnis c/a=1.633, wenn die Atome wirklich
kugelrund sind. Sie entstehen durch aufeinander gestapelte, dichteste Kugelpackungen in der
r r
r
Ebene. Wählt man nicht orthogonale Achsen a , b und c wie in der Abbildung, dann lässt
sich die Basis schreiben als Basis 0, 0, 0
2/3, 1/3, 1/2
Gitter hexagonal
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