Elektronenmasse ¨Ubersicht

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◮ Teilchen in Feldern | Elektronenmasse
PhysikLV-Skript
Elektronenmasse
Übersicht
1 Einführung
1
2 Elektronenmasse
2
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1 Einführung
Noch nie hat jemand ein Elektron gesehen oder gar einen Kaffee mit ihm
getrunken. Diese mysteriösen Teilchen verbergen sich und sind viel zu
klein, als dass unser Auge sie wahrnehmen könnte. Niemand weiß, wie
sie aussehen, welche Form und Farbe sie haben und woher sie kommen.
Dennoch wissen wir, was diese Teilchen auszeichnet. Wir wissen bereits
ziemlich viel über sie und steuern sie so häufig, dass es diesen kleinen Teil-
Darf es ein Kaffee sein, liebes
”Elektron? “
chen eigentlich schwindlig werden müsste.
Quelle: pixabay.com - Hans Braxmeier (public domain)
Die Form der Wechselwirkungen mit Elektronen ist dabei unglaublich vielfältig. Ganze Teilgebiete der
Physik, wie die Elektrizität und der Elektromagnetismus, kommen ohne das Elektron nicht aus. Fließt
beispielsweise eine Elektron durch einen Leiter, so erzeugt es ein Magnetfeld. Anders herum erzeugt
ein angelegtes magnetisches Wechselfeld einen elektrischen Strom, ohne den wiederum die leckere Tomatensauce auf dem Induktionsherd kalt bliebe und nur halb so gut schmecken würde.
Auch die elektromagnetische Strahlung beruht auf Wechselwirkungen mit Elektronen. Beispielsweise
emittiert ein Elektron eine elektromagnetische Welle, wenn es seine Geschwindigkeit ändert, also beschleunigt oder abgebremst wird. So entsteht beispielsweise die Röntgenstrahlung, die deinem Arzt
zeigen kann, ob der Arm gebrochen oder nur verstaucht ist.
In unserem folgenden Experiment möchten wir mehr über diese kleinen Teilchen erfahren. Wir wollen
versuchen zu messen, wie schwer bzw. leicht ein einziges von ihnen ist.
Hierfür benutzen wir ein sogenanntes Fadenstrahlrohr. Es ist aufgebaut
aus einer Elektronenstrahlröhre, die in einer gasgefüllten Glaskugel endet.
Am Anfang der Röhre, an einer so genannten Glühkathode, werden Elektronen aus einem Draht herausgelöst. Es bildet sich um diesen eine Elektronenwolke. Diese wird mit Hilfe einer zwischen der Anode und Kathode
angelegten Spannung Richtung Glaskugel beschleunigt. Durch ein Loch in
der Anode kommt ein dünner Strahl an Elektronen in die gasgefüllte Kugel, wo sie das Gas entlang des Strahls zum Leuchten versetzen.
In der Glühkathode wird ein
Elektronenstrahl erzeugt.
Quelle: wikipedia.org - Thaddeus P. Bejnar (public
domain)
Der Grund für das Leuchten ist, dass wenn eine Elektron auf ein Gasmolekül trifft, es dort mit den Valenzelektronen wechselwirkt. Wie beim Billard kann es ein anderes Elektron aus seiner vorgesehenen
Bahn schießen. Genauer gesagt, überträgt das anfliegende Elektron einen Teil seiner kinetischen Energie auf das Elektron des Moleküls. Diese Energie macht es für dieses Elektron möglich, sich auf einer
höheren Bahn zu befinden. Das Molekül wird als angeregt bezeichnet. Nach einer kurzen Zeit möchte
das Elektron allerdings wieder in seinen Grundzustand übergehen, fällt auf die untere Bahn zurück
und emittiert die kinetische Energie des angeflogenen Elektrons in Form von Licht. Es entsteht also ein
Leuchten entlang des Elektronenstrahls.
Ein freies Elektron schlägt ein Valenzelektron aus seiner Bahn.
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Das Molekül befindet sich in einem
angeregten Zustand.
Das Valenzelektron fällt auf seine
Bahn zurück und emittiert dabei
Strahlung.
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PhysikLV-Skript
Vervollständigt wird der Versuchsaufbau mit einem Helmholtz-Spulenpaar. Dieses erzeugt ein homogenes Magnetfeld in der Glaskugel, sobald es von einem Strom I durchflossen wird.
Verblüffenderweise ändert sich die Form des leuchtenden Strahls. Er ist nun kreisförmig. Da die Wechselwirkung der Elektronen für das Leuchten verantwortlich ist, müssen die Elektronen auf eine Kreisbahn abgelenkt worden sein.
Nach Anlegen des Magnetfeldes befinden sich die Elektronen auf
einer Kreisbahn.
Der fertige Versuchsaufbau - ein Fadenstrahlrohr.
Quelle: wikipedia.org - Thaddeus P. Bejnar (public domain)
Quelle: wikipedia.org - Marcin Bialek (CC BY-SA 3.0)
2 Elektronenmasse
Was geht hier vor? Wieso bewegen sich plötzlich die Elektronen auf einer Kreisbahn und wie soll man
nur durch Anlegen eines Magnetfeldes die Masse der Elektronen bestimmen können?
Lass uns diesen Versuch von ganz vorne betrachten.
◮ Beschleunigung der Elektronen
Zu Beginn werden in einer evakuierten Glasröhre Elektronen aus der Glühkathode herausgelöst und
bilden dort eine Elektronenwolke. Sie sind dort kurzzeitig in Ruhe. Wird dann eine Beschleunigungsspannung U0 angelegt, bildet sich ein elektrisches Feld aus und die Elektronen werden aus der Ruhe
zur Anode hin beschleunigt. In dieser befindet sich ein kleines Loch, durch das nur wenige Elektronen
kommen. Es ist so klein, dass sich ein Elektronenstrahl bildet.
Heizspule
+
Heizspule
-
-
-
+
-
-
- - -
- -
-
- +
Beschleunigungsspannung
U0 = 0 V
An der Glühkathode entsteht eine Elektronenwolke.
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Beschleunigungsspannung
U0
Die Elektronen fliegen zur Anode und es bildet sich ein
Elektronenstrahl aus.
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PhysikLV-Skript
Bei der Beschleunigung der Elektronen verrichtet das elektrische Feld die Arbeit Wel . Sie wird in kinetische Energie Wkin umgewandelt. Da die Röhre evakuiert ist, geht hierbei keine Energie verloren. Es gilt
also der Energieerhaltungssatz:
Wel = Wkin
1
e · U0 = · me ·v2
|{z}
|{z}
2 |{z}
konstant bekannt
| ·
2
me
gesucht
Die Ladungen e und die Masse me der Elektronen sollten bei dieser Betrachtung konstant bleiben. Die
Spannung U0 wird von uns angelegt und gesteuert. Lediglich die Geschwindigkeit v ist von diesen
Rahmenbedingungen abhängig und ist, nach obiger Umrechnung, folgendermaßen gegeben:
v2 =
2 · e · U0
me
Mit dieser Geschwindigkeit werden die Elektronen in das Magnetfeld die Glaskugel geschossen.
◮ Bewegung der Elektronen im Magnetfeld
Das von dem orangenen Helmholtz-Spulenpaar erzeugte magnetische Feld ist in die Zeichenebene hinein gerichtet. Dies kannst du an den Kreuzen in den grauen Kreisen der rechten Abbildung entnehmen.
Die linke Abbildung zeigt das Fadenstrahlrohr von vorne. Man sieht hier ebenfalls, dass die Feldlinien
des Magnetfeldes durch die Glaskugel nach hinten weisen. Auch fällt auf, dass das Magnetfeld in dem
Bereich, wo sich die Elektronen befinden, als nahezu homogen aufgefasst werden kann.
Richtung der Feldlinien beim Betrachten des Fadenstrahlrohres
von vorne.
Die Elektronen werden vom Magnetfeld auf eine Kreisbahn
gezwungen.
Durch den Verlauf der Glasröhre im rechten Bild werden die Elektronen nach oben abgelenkt und sollten eigentlich geradeaus weiter fliegen. Diese Flugbahn ist von den hellen Elektronen dargestellt. Durch
das Anlegen des Magnetfeldes allerdings werden die Elektronen auf eine Kreisbahn mit dem Radius r
abgelenkt. Dies geschieht auf Grund der Lorentzkraft FL . Weiteres hierzu findest du im PhysikLV-Skrip
Bewegung und Verhalten im B-Feld.“
”
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PhysikLV-Skript
Bewegen sich die Elektronen nach oben und ist das Magnetfeld in die Zeichenebene hinein gerichtet,
so sorgt die Lorentzkraft FL dafür, dass diese nach rechts abgelenkt werden. Dies geht aus der LinkenHand-Regel hervor:
Richtung des B-Feldes
Richtung der Lorentzkraft
Richtung der e-
Die Linke-Hand-Regel veranschaulicht die Richtung der Lorentzkraft.
Da sich die Bewegung der Elektronen bei Punkt 1 nach oben (blau) und nach rechts (rot) überlagern,
ergibt sich die kommende Bewegungsrichtung (grün) des Elektrons aus der Vektoraddition dieser zwei
Pfeile. In Punkt 2 ist die Bewegungsrichtung der Elektronen nun die vormals grün markierte Richtung.
Da sich diese Richtung allerdings erneut mit der Lorentzkraft FL überlagert, fliegt das Elektron nach
rechts. Bei Position 3 wird die vorher grün markierte kommende Bewegungsrichtung des Elektrons
nun blau dargestellt und es erfolgt wieder eine Ablenkung durch die Lorentzkraft FL . Dieser Vorgang
setzt sich in jedem Moment fort und führt dazu, dass sich das Elektron auf einer Kreisbahn (punktiert)
verweilt.
2
3
1
Die Vektoraddition der aktuellen Bewegungsrichtung der Elektronen (blau)
und der Lorentzkraft (rot) ergibt die
kommende Bewegungsrichtung (grün)
der Elektronen.
Die Lorentzkraft FL (rot) hält also das Elektron auf der Kreisbahn und ist immer nach innen gerichtet.
Sie wirkt hier als Zentripetalkraft FZ (siehe PhysikLV-Skript Rotationen“).
”
Laut diesem Skript ist die Formel für die Zentripetalkraft FZ :
FZ = m ·
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v2
r
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PhysikLV-Skript
Laut dem gleichnamigen PhysikLV-Skript lautet eine Formel für die Lorentzkraft FL , die die magnetische Flussdichte B enthält, folgendermaßen:
FL = q · v · B
Da wir nur Elektronen als Ladungsträger betrachten und diese die Elementarladung e aufweisen, verändert
sich die Formel für die Lorentzkraft FL wie folgt:
FL = q · v · B
mit q = e
= e·v·B
Da hier die Lorentzkraft FL der Zentripetalkraft FZ entspricht, gilt das Kräftegleichgewicht wie folgt:
FZ = FL
me ·
v2
= e·v·B
r
Betrachten wir diese Gleichung, in der wir die Masse me eines Elektrons bestimmen möchten.
Der Radius r des Leuchtkreises ist konstant und an Hand von Markierungen auf der Glaskugel gut ablesbar. Die magnetische Flussdichte B bleibt über den Versuch lang gleich und wird durch das HelmholtzSpulenpaar gesteuert. Die Ladung e der Elektronen ist ebenfalls konstant.
Der Betrag der Geschwindigkeit v der Elektronen im Fadenstrahlrohr ist seit dem Durchfliegen durch
die Anode gleich. Er ändert sich auch in der Glaskugel nicht, da die Elektronen eine gleichförmige
Kreisbewegung durchführen (siehe PhysikLV-Skript Rotation“). Die bereits bestimmte Gleichung für
”
die Geschwindigkeit v kannst du nun in die obige Gleichung einsetzen und kannst sie folgendermaßen
umformen:
v2
= e·v·B
r
r
2·e ·U
2·e·U
me ·
= e ·B·
me ·r
me
me ·
mit v2 =
|
2
4 · U2
2·e·U
= B2 ·
me
r2
| ·
r2
4
2 · e · B2 · r 2
4 · me
| ·
me
U
U=
me =
2·e·U
me
e · B2 · r 2
2·U
Wie bereits oben erwähnt, sind die Größen e, B, r und U über den Versuchszeitraum hinweg konstant
und ihr Betrag hängt alleine vom Versuchsaufbau ab.
In zahlreichen Versuchen wirst du feststellen können, dass der Wert der Elektronmasse me immer gleich
bleibt. Sie ist eine Naturkonstante und besitzt den folgenden Wert:
me = 9, 1 · 10−31 kg
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PhysikLV-Skript
◮ Beispiel: Massenverhältnisse
Was kann man sich nun unter so einer kleinen Zahl vorstellen? Stellen wir uns das Verhältnis einer
Elektronenmasse und eines Kilogramms, also z.B. einer 1L-Flasche Wasser vor.
Das Verhältnis eines Elektron zu einer Flasche Wasser beträgt dann gerade die Masse des Elektrons.
Also:
me
m1L-Flasche
= 9, 1 · 10−31 kg
Lässt sich dieses Verhältnis anschaulich auf der Erde darstellen?
Nicht auf der Erde, doch in unserem Sonnensystem. Betrachten wir unsere Sonne. Sie besitzt die Masse
mSonne = 2 · 1030 kg.
Damit besitzen fünf Sonnen eine Masse von
m5 Sonnen = 10 · 1030 kg = 1 · 1031 kg.
Also selbst fünf Sonnen besitzen erst eine Masse von 1 · 1031 kg. Um also das gleiche Verhältnis zu
erhalten, wie das von einer 1L-Flasche Wasser zu der Masse eines Elektrons, benötigen wir die Masse
von 45 Sonnen:
m5 Sonnen = 1 · 1031 kg
| ·9
m45 Sonnen = 9 · 1031 kg
Vergleichen wir dieses Ergebnis ebenfalls mit einer 1L-Wasserflasche, so erhalten wir folgendes Verhältnis:
m1L-Flasche
= 9 · 10−31 kg
m45 Sonnen
Das Massenverhältnis eines Elektrons zu einer 1L-Wasserflasche ist also in etwa so groß, wie das Verhältnis
von dem Gewicht einer Wasserflasche zu 45 Sonnenmassen.
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