FTh2

HS09
FTh2 - Thermodynamik
J. Borth
Thermodynamik
Skript zum Modul HTh2
Joachim Borth
16/09/2009
1
Grundlagen der Thermodynamik ...........................................................................1
1.1
Aufgaben der Thermodynamik .......................................................................1
1.2
Grössen und Einheiten in der Thermodynamik..................................................2
1.3
Thermischen Zustandsgrössen .......................................................................2
1.3.1
Volumen .............................................................................................3
1.3.2
Druck..................................................................................................3
1.3.3
Temperatur..........................................................................................4
2
Thermische Zustandsgleichung.............................................................................8
2.1.1
Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases ......................................8
2.1.2
Verschiedene Zustandsänderungen ..........................................................9
2.1.3
Thermische Zustandsgleichung bei realen Gasen...................................... 12
2.1.4
Materiemaße, Stoffmenge, molare Gaskonstante ..................................... 12
2.1.5
Normvolumen .................................................................................... 15
2.1.6
Zusammensetzung von Gemischen......................................................... 16
3
Erster Hauptsatz der Thermodynamik .................................................................. 18
3.1
Thermodynamische Systeme........................................................................ 18
3.2
Wärme und Arbeit ..................................................................................... 22
3.2.1
Wärmeübergang ................................................................................. 23
3.2.2
Arbeit am geschlossenen System .......................................................... 24
3.3
Energieerhaltungssatz für geschlossene Systeme ............................................ 27
3.3.1
Energieerhaltung für ein abgeschlossenes System.................................... 27
Innere Energie ................................................................................... 27
3.3.2
3.3.3
Erster Hauptsatz für geschlossene Systeme............................................. 29
3.4
Energiebilanz für das offene System............................................................. 30
3.4.1
Enthalpie .......................................................................................... 31
3.4.2
Erster Hauptsatz für offene Systeme ...................................................... 32
3.4.3
Berechnung der reversiblen technischen Arbeit Wt rev
,12 ............................... 33
3.4.4
Wellenarbeit und Kupplungsarbeit......................................................... 35
3.5
Kalorische Zustandsgleichungen und spezifische Wärmen ................................ 36
3.5.1
Spezifische Wärme bei festen und flüssigen Körpern ................................ 36
3.5.2
Spezifische Wärme idealer Gase bei konstantem Volumen ......................... 39
3.5.3
Spezifische Wärme idealer Gase bei konstantem Druck ............................. 41
I
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3.5.4
Zusammenhang zwischen spezifischer Wärmekapazität bei konstantem
Volumen cv und spezifischer Wärmekapazität bei konstantem Druck c p .................. 42
4
Der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik............................................................ 44
4.1
Die Entropie ............................................................................................. 47
4.2
Das T,s - Diagramm ................................................................................... 49
5
Prozesse und Zustandsänderungen...................................................................... 50
5.1
Prozesse und Zustandsänderungen in geschlossenen Systemen......................... 50
5.1.1
Isochore Zustandsänderung ................................................................. 50
5.1.2
Isobare Zustandsänderung ................................................................... 51
5.1.3
Isotherme Zustandsänderung ............................................................... 53
5.1.4
Isentrope Zustandsänderung ................................................................ 55
5.1.5
Polytrope Zustandsänderung ................................................................ 58
5.2
Prozesse und Zustandsänderungen in offenen Systemen.................................. 62
5.2.1
Isochore Zustandsänderung ................................................................. 63
5.2.2
Isobare Zustandsänderung ................................................................... 65
5.2.3
Isotherme Zustandsänderung ............................................................... 66
5.2.4
Isentrope Zustandsänderung ................................................................ 69
5.2.5
Polytrope Zustandsänderung ................................................................ 70
6
Kreisprozesse .................................................................................................. 72
6.1
Arbeit und Wärme im Kreisprozess ............................................................... 74
6.2
Der thermische Wirkungsgrad ...................................................................... 76
6.3
Der rechtslaufende Carnot-Prozess ............................................................... 77
6.4
Der linkslaufende Carnot-Prozess als Beispiel für Wärmepumpe und Kältemaschine
80
7
Ergänzungen ................................................................................................... 84
7.1
Ergänzungen (Entropie) ............................................................................. 87
7.2
Ergänzungen ( T,s - Diagramm) ................................................................... 89
7.2.1
Ergänzungen (Zustandsänderungen im T,s - Diagramm) ............................ 91
II
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J. Borth
1 Grundlagen der Thermodynamik
1.1 Aufgaben der Thermodynamik
•
•
•
•
Untersuchung des thermischen Verhaltens der Stoffe
in allen Phasen, fest, flüssig oder gasförmig, oder die Phasenübergängen
Übertragung und Umwandlung von Energie insbesondere Wärme
¾ Wärmeerzeugung (Verbrennung)
¾ Wärmetransport (Wärmeleitung, Konvektion, Strahlung)
¾ Umwandlung von Wärme in Arbeit und umgekehrt (Wärmekraftmaschinen,
Arbeitsmaschinen)
Bewertung von verschiedenen Energiearten und deren Umwandlung
(„Reibungsarbeit“)
Untersuchung von thermischen, technischen Prozessen und Systemen
2004, Sulzer Hexis
Brennstoffzelle
1904, Gebrüder Sulzer
James Watt
1736-1819
2000 Sulzer AG
Abb. 1: Die Dampfmaschine (ab 1755) und die Sulzer Hexis Brennstoffzelle (Entwicklung ab 1990)
Abb. 2: Kehrichtverbrennungsanlage Winterthur als Beispiel für Verbrennung, Wärmetransport und
Umwandlung von Wärme in Arbeit
1
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Eine Definition der Thermodynamik
„Die technische Thermodynamik ist die Lehre vom Zusammenhang zwischen Wärme und
Arbeit“
1.2 Grössen und Einheiten in der Thermodynamik
Physikalische Grössen bezeichnen physikalische Eigenschaften von Stoffen. Einige müssen
unabhängig von anderen Grössen definiert werden. Man bezeichnet diese Grössen als
Basisgrössen. Aus den Basisgrössen und Basiseinheiten des internationalen
Einheitensystems SI (Système international d’unités) lassen sich z.B. mit Naturgesetzen
weitere physikalische Grössen ableiten.
Grösse
Kurzzeichen
Einheit
Länge
L
m
Masse
m
kg
Zeit
τ
s
Thermodynamische
Temperatur
T
K
Stoffmenge
n
mol
.
Werden in einer Gleichung zwischen physikalischen Grössen (einer sogenannten
Grössengleichung) Werte eingesetzt, so ist die physikalische Grösse immer vollständig durch
das Produkt aus Zahlenwert und Einheit zu ersetzen!
Beispiel:
Arbeit = Kraft ⋅ Weg
W = F ⋅l
mit der Kraft F = 80000 N und dem Weg l = 0.2m ergibt sich
W = 80000 N ⋅ 0.2m = 16000 Nm = 16000 J = 16kJ
1.3 Thermischen Zustandsgrössen
Als Zustandsgrössen bezeichnet man physikalische Grössen, die den thermodynamischen
Zustand eines Systems beschreiben.
Die thermischen Zustandsgrössen sind das Volumen V , der Druck p und die
thermodynamische Temperatur T .
2
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1.3.1 Volumen
Das Volumen V ist der Raum, den ein Stoff mit der Masse m ausfüllt:
[m ]
3
V
Das spezifische Volumen v ist Volumen pro Masse
v=
V ⎡ m3 ⎤
m ⎢⎣ kg ⎥⎦
Die Dichte ρ ist der Kehrwert des spezifischen Volumens
ρ=
m 1
=
V v
⎡ kg ⎤
⎢⎣ m3 ⎥⎦
1.3.2 Druck
Die Kraft, die normal zu einer Fläche wirkt, pro Fläche ist der Druck p :
p=
⎤
⎡ N
⎢⎣1 m 2 = 1Pa ⎥⎦
Fn
A
Der Druck durch das Eigengewicht des Mediums
p=
G m⋅ g
=
A
A
mit m = ρ ⋅ V und V = A ⋅ h ist der Druck
p=
ρ ⋅ A⋅h⋅ g
A
= ρ ⋅g ⋅h
Druckunterschiede durch Eigengewicht können bei Gasen häufig vernachlässigt werden.
Ausnahme sind z.B. die Auftriebseffekte und Druckunterschiede wie sie im Winter in
Treppenhäusern oder in Aufwindkraftwerken auftreten können (Stichwort „Kamineffekt“).
Abb. 3: Aufwindkraftwerk bei Manzanares, Spanien; 200m Höhe; 50 kW Leistung
3
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Der Zustand eines Systems wird durch den Absolutdruck p bezeichnet. Der Absolutdruck
wird z.B. durch die Differenzdruckmessung ermittelt:
p = pb + pd
pb = Bezugsdruck(z.B. der Umgebungsdruck)
pd = Δp = Differenzdruck
Bei atmosphärischem Bezugsdruck pamb gilt für den Absolutdruck mit dem Überdruck pe :
p = pamb + pe
Für Druckmessung werden z.B. Piezodrucksensoren der beiden Winterthurer Firmen Kistler
und Keller verwendet.
1.3.3 Temperatur
.
Die Temperatur T ist die Basisgrösse für den energetischen Zustand eines Systems.
Sie ist eine aus der Erfahrung bekannte physikalische Grösse, die auch mit kalt und warm
beschrieben wird.
Bringt man zwei Körper mit unterschiedlicher Temperatur zusammen, so wird der kältere
Körper wärmer und der wärmere Körper kälter, bis sich eine gemeinsame Temperatur
eingestellt hat.
Nullter Hauptsatz der Thermodynamik:
Zwei Systeme mit der gleichen Temperatur sind im thermischen Gleichgewicht.
Der Nullte Hauptsatz ist die Grundlage der Temperaturmessung:
Thermometer
mit Flüssigkeit C
Stoff A
Wenn
TA = TC
Stoff B
und
4
TB = TC
dann gilt
TA = TB
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Temperaturskalen:
Empirische Temperaturskala:
Temperatur
Für einen Umgebungsdruck von
Schmelzpunkt des Wassers:
Siedepunkt des Wassers:
[ C]
D
t
p = 1.01325bar
„Grad Celsius“
gilt beim
t = 0D C
t = 100D C
thermodynamische Temperaturskala:
Temperatur
[K ]
T
„Kelvin“
Absoluter Nullpunkt der Skala ist die Temperatur T = 0 K = −273.15D C
Umrechnung:
⎛ t
⎞
T = ⎜ D + 273.15 ⎟ K
⎝1 C
⎠
⎛T
⎞
− 273.15 ⎟ D C
t =⎜
⎝ 1K
⎠
Temperaturmessung
•
Widerstandsthermometer
Prinzip: Die Änderung des elektrischen Widerstands durch unterschiedliche Temperaturen
wird gemessen z.B. mit PT100 Element.
•
Thermoelement
Ein Thermoelement ist ein Bauteil, mit dem aufgrund des
Seebeck-Effektes Temperaturen gemessen werden können.
Der Seebeck-Effekt besagt, dass zwei unterschiedliche
Metalle, die –wie beim Thermoelement- miteinander
Metall B
verbunden sind, an ihrer Anschlusstelle eine
thermoelektrische Spannung entstehen lassen, wenn entlang
der Metalle ein Temperaturgefälle besteht. Diese
thermoelektrische Spannung (auch Thermokraft genannt) ist
temperaturabhängig und hat bei Metallen eine Größe von
t1=10°C
wenigen Mikrovolt pro Kelvin Temperaturunterschied.
5
Metall A
t2=50°C
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•
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Strahlungsthermometer (Pyrometer)
Berührungslose Messung der Oberflächentemperatur durch die Messung der Wärmestrahlung
(elektromagnetische Wellen im Infrarotbereich), die jeder Körper abgibt. Die Leistung der
Strahlung ist eine Funktion der thermodynamischen Temperatur.
•
Q = A ⋅ ε ⋅σ ⋅T 4
Wirkungsweise: Eine geschwärzte Platinplatte absorbiert die Strahlung. In der Folge erwärmt
sich das Metall. Die Widerstandsänderung in Folge der Erwärmung kann gemessen werden.
•
Ausdehnungsthermometer
Nutzen die Wärmeausdehnung verschiedener Materialen:
1. Metallausdehnungsthermometer
2. Flüssigkeitsthermometer (Achtung: die Wärmedehnung ist nicht konstant)
3. Gasthermometer
Gasthermometer haben den Vorteil, dass das darin enthaltene ideale Gas eine konstante
Wärmedehnung aufweist. Als ideal werden Gase bezeichnet, die in ihrem Zustand weit
entfernt sind vom Verflüssigungspunkt. Das gilt in der Regel für geringe Drücke und hohe
Temperaturen, z.B. für Luft von 1bar und t=20°C.
Abb.: Prinzip des Gasthermometers; Druckmessung bei konstantem Volumen; bei verändertem Druck muss der
rechte Schenkel des Quecksilbermanometers soweit vertikal verschoben werden, bis die Kuppe des Quecksilbers
auf der linken Seite genau wieder die Spitze berührt.
6
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v2 =konstant
2
1.8
1.6
p=
J. Borth
R ⋅T
v
1.4
v1 > v2
Druck bar
1.2
v1 =konstant
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-300
-200
-100
0K
0
100
Temperatur °C
200
300
400
273.15 K
Abb.: Gasthermometers; Druckmessung in Abhängigkeit von der Temperatur bei konstantem Volumen (ideales
Gas)
2
v=
1.8
R ⋅T
p
p2 =konstant
spezifisches Volumen m3/kg
1.6
p1 > p2
1.4
1.2
p1 =konstant
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-300
0K
-200
-100
0
100
Temperatur °C
200
300
400
273.15 K
Abb.: Prinzip des Gasthermometers; Volumenmessung in Abhängigkeit von der Temperatur bei konstantem
Druck (ideales Gas)
Entweder wird die Druckänderung bei konstantem Volumen gemessen (obere Abb.) oder wie
in der unteren Abbildung das Volumen bei konstantem Druck. Verlängert man in den
Diagrammen den linearen Verlauf von Druck oder spezifischem Volumen, so ergibt sich in
beiden Fällen eine Temperatur, bei der der Druck zu Null wird p = 0 oder das Volumen
verschwindet v = 0 .
Diese Temperatur ist t = −273.15°C . Durch Verschieben der Temperaturskala in diesen Punkt
erhält man die thermodynamische Temperatur, deren kleinster (theoretischer) Wert T = 0 K
(null Kelvin) ist (Umrechnung siehe oben).
7
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2 Thermische Zustandsgleichung
Die thermische Zustandsgleichung beschreibt bei allen homogenen (gleich
zusammengesetzten) Stoffen den Zusammenhang zwischen den thermischen
Zustandsgrössen v, p, T
f (v, p, T ) = 0
2.1.1 Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases
Als ideal werden Gase bezeichnet, die in ihrem Zustand weit entfernt sind vom
Verflüssigungspunkt. Dann sind die Moleküle soweit voneinander entfernt, dass keine
unmittelbare Kraft aufeinander ausüben. Das gilt in der Regel für geringe Drücke und hohe
Temperaturen, z.B. für Luft von 1bar und t=20°C.
Bei idealen Gasen gilt:
p ⋅ v = Ri ⋅ T
mit
Kurzzeichen Einheit
N
= 1Pa ]
m2
m3
[
]
kg
dem Druck:
p
dem spezifischen Volumen:
v
der Temperatur:
T
[K]
Ri
[
der spezifischen bzw.
speziellen Gaskonstante
eines Gases:
[1
J
]
kgK
Andere Schreibweise
p ⋅ V = m ⋅ Ri ⋅ T
Mit der Masse:
m
kg
8
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Werte der Gaskonstante:
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Luft
R Luft =
287.2
Sauerstoff
RO2 =
259.8
Stickstoff
RN2 =
296.8
Wasserstoff
RH 2 =
4124.5
Methan (Erdgas)
RCH 4 =
518.3
Kohlendioxid
CO2
RCO2 =
188.9
J
kg ⋅ K
J
kg ⋅ K
J
kg ⋅ K
J
kg ⋅ K
J
kg ⋅ K
J
kg ⋅ K
2.1.2 Verschiedene Zustandsänderungen
Eine Zustandsänderung ist ein thermodynamischer Prozess, der die Zustandsgrössen und
damit den Zustand eines Systems durch die Zufuhr und Abfuhr von Energie verändert.
Isobare Zustandsänderung: p = konstant
Die Gleichung für die isobare Zustandsänderung wurde von Joseph Louis Gay-Lussac 1802
entdeckt und als Gay-Lussac’sches Gesetz bezeichnet:
p1 = konstant
V [m3]
p2 = konstant
G = m*g = konstant
V
p
p3 = konstant
T
p1 < p2 < p3
-273.15
0
9
0
t [°C]
273.15
T [K]
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Für p = konstant gilt:
V = Konstante ⋅ T = C ⋅ T
V
=C
T
V1
V
=C = 2
T1
T2
oder mit m = konstant
T2 V2 v2
=
=
T1 V1 v1
Diese Zusammenhänge lassen sich auch aus dem Gasgesetz p ⋅ V = m ⋅ Ri ⋅ T ableiten:
V1 V2 m ⋅ Ri
=
=
T1 T2
p
Isochore Zustandsänderung: V = konstant
Die Gleichung für die isochore Zustandsänderung ergibt sich bei idealen Gasen aus dem
Experiment:
v1 = konstant
p [Pa]
V = konstant
v2 = konstant
Gas
p
T
v3 = konstant
v1 < v2 < v3
Wärmeabfuhr
Wärmezufuhr
-273.15
0
0
t [°C]
273.15
T [K]
Für v = V = konstant gilt:
p = Konstante ⋅ T = C ⋅ T
10
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p
=C
T
p1
p
=C = 2
T1
T2
oder
T2 p2
=
T1 p1
Diese Zusammenhänge lassen sich ebenfalls aus dem Gasgesetz ableiten:
p1 p2 m ⋅ Ri Ri
=
=
=
T1 T2
V
v
Isotherme Zustandsänderung
Die Gleichung für die isotherme Zustandsänderung wurde von Robert Boyle 1662 und
unabhängig auch von Edme Mariotte 1676 entdeckt und wird daher als Boyle-Mariotte’sches
Gesetz bezeichnet:
11
10
9
8
Druck bar
7
6
5
4
3
2
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
spezifisches Volumen m3/kg
p v = konstant
oder
Daraus folgt:
p V = konstant
p1v1= p2v 2
11
1.6
1.8
2
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oder
Also:
p1V 1= p2V 2
J. Borth
p2 V 1 v1
=
=
p1 V 2 v 2
Diese Zusammenhänge lassen sich ebenfalls aus dem Gasgesetz ableiten:
p1v1 = p 2 v 2 = Ri ⋅ T = kons tan t
p1V 1= p2V 2= m ⋅ Ri ⋅ T
2.1.3 Thermische Zustandsgleichung bei realen Gasen
Bei realen Gasen wird die Zustandsgleichung mit dem Realgasfaktor Z korrigiert. Z ist vom
Gas, dem Druck und der Temperatur abhängig. Werte für die Funktion Z können z.B. dem
VDI-Wärmeatlas entnommen werden.
ideales Gas:
reales Gas
Mit dem Realgasfaktor Z:
p⋅v
=1
Ri ⋅ T
p⋅v
=Z
Ri ⋅ T
Z = f ( p, T )
2.1.4 Materiemaße, Stoffmenge, molare Gaskonstante
Stoffmenge
Zunächst wird ein Stoff durch seine chemische Bezeichnung gekennzeichnet, wie z:B:
O2 ; N 2 ; CH 4 ; NH 3 ;
Die Materiemenge eines Stoffes kann angegeben werden durch seine
Masse m [kg ]
Oder
Stoffmenge n [mol ]
Bei chemischen Reaktionen wird mit der Stoffmenge gerechnet:
C + O2 = CO2
1 kmolC + 1 kmolO2 = 1 kmolCO2
12
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Die Stoffmenge ist ein Mass für die Anzahl der Teilchen/Moleküle. Die Loschmidt’sche Zahl,
international als Avogadrozahl oder Avogadro-Konstante bezeichnet, gibt die Zahl der
Moleküle in der Stoffmenge von 1 mol an und hat den Wert:
N A = 6.022 ⋅ 1023
1
1
= 6.022 ⋅ 1026
mol
kmol
Die Molekül-Zahl hat ihren Ursprung in der ursprünglichen Festlegung, dass die Stoffmenge
von 1 kmol Wasserstoff H 2 eine Masse von 2 kg hat (Die Masse von H 2 wird durch die
Masse der 2 Protonen bestimmt).
Die Beziehung zwischen Masse und Stoffmenge lautet:
m = n⋅M
Mit der molaren Masse oder Molmasse
M
⎡ kg ⎤
⎢⎣ kmol ⎥⎦
Die molare Masse ist eine stoffabhängige Grösse.
z.B.:
M CH 4 = 16.043
kg
kmol
Gilt auch für Gasmischungen:
M Luft = 28.96
kg
kmol
Das molare Volumen oder Molvolumen ist:
⎡ m3 ⎤
⎢ kmol ⎥
⎣
⎦
Vm =
V
n
Vm =
V V
= ⋅M = v⋅M
n m
Molare Gaskonstante Rm
Das Gesetz von Avogadro (1811) besagt:
Bei allen idealen Gasen enthält das gleiche Volumen bei gleicher Temperatur und gleichem
Druck die gleiche Anzahl von Molekülen also die gleiche Stoffmenge.
13
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Molekül
Der Abstand der Moleküle in einer idealen Gasmasse m wird unabhängig vom Stoff durch die
thermischen Zustandsgrössen V, p, T bestimmt.
Ideales Gas A:
Ideales Gas B:
VA , p A , TA , n A
VB , pB , TB , nB
Für:
VA = VB
TA = TB
p A = pB
n A = nB
Aus dem Gasgesetz folgt:
p ⋅V = m ⋅ R ⋅ T
m = n⋅M
p ⋅V = n ⋅ M ⋅ R ⋅ T
oder
p ⋅V = m ⋅ R ⋅ T
m = n⋅M
p ⋅V
= M ⋅R
n ⋅T
also:
p A ⋅ VA pB ⋅ VB
=
= M A ⋅ RA = M B ⋅ RB = Rm
nA ⋅ TA nB ⋅ TB
Für die molare Gaskonstante (auch universelle, bzw. allgemeine Gaskonstante) gilt:
Rm = M i ⋅ Ri = 8314.5
14
J
kmol ⋅ K
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Die Zustandsgleichung für ideale Gase auf der Basis der Stoffmenge:
p ⋅ V = m ⋅ Ri ⋅ T
p ⋅ V = n ⋅ M i ⋅ Ri ⋅ T
p⋅
V
= M i ⋅ Ri ⋅ T
n
p ⋅ Vm = Rm ⋅ T
2.1.5 Normvolumen
Der physikalische Normzustand „n“ ist definiert durch
t n = 0D C
die Normtemperatur
den Normdruck
pn = 1.01325 ⋅ bar
Dann gilt für das molare Volumen bei Normzustand, auch als molares Normvolumen
bezeichnet:
Vm , n
R ⋅T
= m n =
pn
Vm , n = 22.4141
J
⋅ 273.15 K
kmol
N
1.01325 ⋅ 105 2
m
8314.5
m3
kmol
Daraus abgeleitet folgt für das Normvolumen:
Vn = n ⋅ Vm , n
Und die Normdichte:
ρn =
m
n⋅M
M
=
=
Vn n ⋅ Vm , n Vm , n
Wenn ein Normvolumenstrom angeben wird, ist dies ein Massenstrom!
•
m=
•
•
pn
⋅ Vn = ρ n ⋅ Vn
R ⋅ Tn
Vn sind dem entsprechend die sogenannten Normkubikmeter.
15
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2.1.6 Zusammensetzung von Gemischen
Allgemein gilt für Mischungen:
Masse
Masse m der Mischung aus der Summe der
Komponenten i
k
m = mMi = m1 + m2 + ..... + mk = ∑ mi
i =1
Massenanteil μi der Komponenten i
i
=1
i =1
n = n Mi = n1 + n2 + ..... + nk =
k
∑n
i
i =1
k
∑y
ni
;
n
yi =
Stoffmengenanteil yi der Komponenten i
∑μ
mi
;
m
μi =
Stoffmenge
Stoffmenge n der Mischung aus der Summe der
Komponenten i
k
i
=1
i =1
Molare Masse
M=
Molare Masse M der Mischung
1
=
M
Oder
k
∑y M
i
i =1
k
i
μi
∑M
i =1
i
mi
Umrechnung Stoffmengenanteil in Massenanteil
ni
Mi
M
=
= μi
m
n
Mi
M
yi =
Ideale Mischung
Volumen
Ein ideales Gemisch liegt vor, wenn für T = konst.
k
und p = konst. das Volumen V der Mischung sich V = V = V + V + ..... + V = V
Mi
k
i
1
2
∑
aus der Summe der Teilvolumen i ergibt
i =1
(Gesetz von Amagat)
ri =
Volumenanteil ri der Komponenten i
k
∑r = 1
Vi
;
V
i
i =1
Dichte
mi
Vi
m
ρ i* = i
V
m
ρ= =
V
ρi =
Dichte einer Komponente ρ i
*
Partialdichte einer Komponente ρ i
Dichte der Mischung ρ
ρ=
Oder
16
m
=
V
k
∑ρ
*
i
i =1
k
∑r ρ
i
i =1
i
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ρ i μi
=
ri
ρ
Umrechnung
ri ρ i = μ i ρ
oder
Spezifisches Volumen
k
∑μ v
v=
Spezifisches Volumen v der Mischung
i i
i =1
Oder mit
ρ=
1
1
1
und ρ i =
v
vi
ρ
k
μi
∑ρ
=
i =1
i
Mischung idealer Gase
Expandiert eine ungemischte Gaskomponente i von ihrem Teil- oder Partialvolumen Vi auf das
Gesamtvolumen V der Gasmischung, nimmt der Druck vom Gesamtdruck p auf den Partialdruck
pi* ab. Denn für jede Gaskomponente gilt das Gasgesetz:
Aus
pVi = mi RiT
und
pi*V = mi RiT
folgt
pVi = pi*V
Druck p der idealen Gasmischung
Es gilt das Gesetz von Dalton: Die Summe der
Partialdrücke aller Komponenten ist gleich dem
Gesamtdruck p
p=
k
∑p
*
i
i =1
pi*
= ri p
k
k
ρ = ∑ρ = ∑
*
i
Dichte der idealen Gasmischung
Die spezielle Gaskonstante einer Gasmischung
R=
i =1
k
i =1
pi*
Ri T
∑μ R
i
i
i =1
R=
Rm
M
mit
1
=
M
k
μi
∑M
i =1
i
Das Gesetz von Avogadro besagt: Bei allen idealen Gasen ist bei gleichem Druck, gleicher
Temperatur und gleichem Volumen die gleiche Anzahl Moleküle vorhanden. Daher gilt:
pVm = RmT
Vm = (Vm ) i
V Vi
=
n ni
aus
folgt
und
Sind also Druck und Temperatur konstant, ist der
Stoffmengenanteil gleich dem Volumenanteil:
ri = y i
Die molare Masse M einer Gasmischung
M =
k
∑r M
i
i =1
17
i
HS09
FTh2 - Thermodynamik
J. Borth
3 Erster Hauptsatz der Thermodynamik
3.1 Thermodynamische Systeme
Ein thermodynamisches System
• ist ein Bereich, der thermodynamisch untersucht wird,
• ist durch eine Systemgrenze, - auch Bilanzhülle genannt-, von seiner Umgebung
getrennt,
• wird durch die Übertragung von Energie über die Systemgrenzen hinweg beeinflusst.
Z.B. der Audi 5-Zyl. Verbrennungsmotor
Wege der Energieübertragung …..
Mechanisch in Form vom
Arbeit
thermisch in Form von
Wärme
18
durch Stoffströme
HS09
FTh2 - Thermodynamik
J. Borth
Geschlossenes System
Offenes System
Keine Stoffübertragung, aber eine
bewegliche Systemgrenze ist möglich
Feste Systemgrenze, aber Stofftransport
über die Systemgrenze ist möglich
allgemein geschlossenes System
allgemein offenes System
z.B. Zylinder – Kolben- System
adiabates geschlossenes System
z.B. Verdichter und Kühler
adiabates offenes System
z.B. Zylinder – Kolben- System
z.B. isolierter Verdichter
rigides offenes System
rigides geschlossenes System
geschlossener Behälter
Abgeschlossenes System
z.B. Wärmetauscher
geschlossener Behälter
19
HS09
FTh2 - Thermodynamik
J. Borth
Zusammenfassung wichtiger Begriffe
Zustandsgrössen
thermische Zustandsgrössen
kalorische Zustandsgrössen
physikalische Grössen, die den thermodynamischen
Zustand eines Systems beschreiben.
Druck
p
N⎤
⎡
⎢⎣1Pa = 1 m 2 ⎥⎦
Temperatur
T
[K ]
Volumen
V
[m ]
3
Innere Energie
U
Enthalpie
H
[J ]
[J ]
spezifische Zustandsgrössen
auf die Masse m bezogene Zustandsgrössen
⎡ m3 ⎤
V
z.B.: spezifisches Volumen v =
m ⎢⎣ kg ⎥⎦
molare Zustandsgrössen
auf die Stoffmenge n bezogene Zustandsgrössen
Beispiel:
V ⎡ m3 ⎤
molares Volumen oder Molvolumen Vm =
n ⎢⎣ kmol ⎥⎦
intensive Zustandsgrössen
Von der Grösse des Systems unabhängige
Zustandsgrössen
z.B.: Druck, Temperatur z.B.: alle spezifische Grössen
V
V
wie v =
oder molaren Grössen wie Vm =
m
n
extensive Zustandsgrössen
Von der Grösse des Systems abhängige
Zustandsgrössen; Zustandsgrösse proportional zur
Systemgrösse wie m, V , n
Prozessgrössen
Grössen, die vom Verlauf der Zustandsänderung
abhängig sind und an den Systemgrenzen auftreten,
wie Arbeit W12 und Wärme Q12
Zustandsänderung
Eine ZÄ ist ein thermodynamischer Prozess, der die
Zustandsgrössen und den Zustand eines Systems durch
die Zufuhr und Abfuhr von Energie verändert.
Quasistatische Zustandsänderung
Eine ZÄ läuft so langsam ab, dass sie als Folge von
Gleichgewichtszuständen betrachtet werden kann.
D.h. zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt während
einer Zustandsänderung von 1 nach 2 hat im ganzen
System jede Zustandsgrösse einen ganz bestimmten
20
HS09
FTh2 - Thermodynamik
J. Borth
Wert, der an allen Orten gleich ist.
Beispiel: Die langsame Erwärmung einer Flüssigkeit
oder eines Gases ; zu einem bestimmten Zeitpunkt
herrscht an allen Orten die gleiche Temperatur
Gegenbeispiel: Schnelle Verdichtung von Gas;
Druckwellen mit lokalen Temperatur- und
Dichteänderungen laufen durch das Gas
Reversible Prozesse
Ein Prozess ist reversibel oder
umkehrbar, wenn der ursprüngliche
Zustand wiederhergestellt werden
kann, ohne dass Änderungen in der
Umgebung zurückbleiben. D.h. der
Zustand kann ohne äussere Hilfe
wieder hergestellt werden.
1
p1 , T1 , V1
2
p2 , T2 , V2
3
p3 , T3 , V3
Irreversible Prozesse
B
Ein irreversibler Prozess ist nicht
umkehrbar, ohne dass Änderungen in
der Umgebung zurückbleiben.
A
Ein irreversibler Prozess kann nur mit
Hilfe von aussen rückgängig
gemacht werden.
1
2
B
Ursache für irreversible Prozesse sind
Reibung (Dissipationsarbeit),
elektrische Verluste, Formänderungsarbeit, Temperatur- oder Druckausgleich u.s.w.
A
21
HS09
FTh2 - Thermodynamik
J. Borth
3.2 Wärme und Arbeit
Robert v. Mayer, Heilbronner Arzt und Physiker, 1842
„Wärme ist eine Energieform “
Diese Tatsache wurde unabhängig auch von N.L.S. Carnot und J.P. Joule entdeckt.
•
Wärme ist die Energie, die allein durch einen Temperaturunterschied
zwischen System und Umgebung an der Systemgrenze übertragen wird
•
Arbeit ist eine
die von einer
Energieübertragung,
Kraft
an einem System verrichtet wird,
wenn sie verschoben wird
2 →
W = ∫ F ds
1
•
Wärme und Arbeit sind verschiedene Formen des Energieaustausches
Nachweis der Äquivalenz von Wärme und mechanischer Arbeit durch den Schaufelradversuch
von Joule (1843):
22
HS09
FTh2 - Thermodynamik
J. Borth
3.2.1 Wärmeübergang
Mechanismen des Wärmetransports
Wärmeleitung
Konvektion
Strahlung
Energieübertragung durch
Schwingungsenergie benachbarter Moleküle im Festkörper, in
Flüssigkeiten oder in Gasen
(kinetische Gastheorie)
Die Wärmeenergie wird jeweils
von einem Teilchen zum
nächsten weitergegeben.
Energietransport durch
Massentransport, nämlich durch
die Strömung von Materie
Energieübertragung durch
elektromagnetische Strahlung,
Transport durch die Photonen,
den Elementarteilchen der
elektromagnetischen Strahlung
Elektromagnetische Wellen treten
in einem bestimmten
Wellenlängenbereich als
Strahlung auf
Die innere Energie wird durch
Teilchen transportiert, die sich
bewegen.
Reine Wärmeleitung nur dann in
gasförmigen, flüssigen oder
festen Medien, wenn keine
makroskopische Bewegung
vorhanden ist
Nur in flüssigen und gasförmigen
Medien möglich
Wärmeenergie wird durch den
leeren Raum übertragen.
Wärmestrom:
•
ΔT
Q = A⋅λ ⋅
Δs
mit der Oberfläche A ,
der Wärmeleitfähigkeit λ ,
der Temp.differenz ΔT ,
der Materialdicke Δs .
Die Wärme ist der Wärmestrom
multipliziert mit der Zeitdauer
Wärmestrom:
Wärmestrom von einer Fläche 1
zu einer Fläche 2:
•
Q = A ⋅ α ⋅ ΔT
mit der Oberfläche A ,
dem Wärmeübergangskoeff. α
der Temp.differenz ΔT ,
Die Wärme ist der Wärmestrom
multipliziert mit der Zeitdauer
Vorzeichenkonvention
Energie, die dem System zugeführt wird, ist positiv und
Energie, die aus dem System abgeführt wird, ist negativ!
23
•
(
)
Q = ϕ12 ⋅ A1 ⋅ ε ⋅ σ ⋅ T2 − T1
mit dem Sichtfaktor ϕ12 ,
der Oberfläche 1 A1 ,
dem Emissionskoeff. ε ,
Boltzmann-Konst. σ = 5.67 ⋅10 −8
4
4
W
m2K 4
Temp. auf der Oberfläche 1 T1
Temp. auf der Oberfläche 2 T2
HS09
FTh2 - Thermodynamik
J. Borth
3.2.2 Arbeit am geschlossenen System
3.2.2.1 Volumenänderungsarbeit
4
3.5
Druck bar
3
2.5
Wv12
2
dWv
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
spezifisches Volumen m3/kg
dWV = − F ⋅ ds = − p ⋅ A ⋅ ds = − p ⋅ dV
Volumenänderungsarbeit:
2
WV12 = − ∫ p ⋅ dV
1
Spezifische Volumenänderungsarbeit:
wV12 =
WV12
m
2
= − ∫ p ⋅ dv
24
1
2
HS09
FTh2 - Thermodynamik
J. Borth
•
Die Volumenänderungsarbeit WV12
•
Gas im System) zu- oder abgeführte reversible Arbeit
Das Vorzeichen der Volumenänderungsarbeit ist so gewählt, dass bei der Verdichtung
gilt:
Wenn dV < 0 dann ist dWV > 0
•
ist die einem geschlossenen System (z.B. dem
Die Volumenänderungsarbeit ist eine Prozessgrösse und damit vom Verlauf der
Zustandsänderung abhängig
Verschiebearbeit
Die Verschiebearbeit
ist die Volumenänderungsarbeit an der Umgebung:
Wu12 = − pb ⋅ (V2 − V1 )
Nutzarbeit an der Kolbenstange
11
10
9
8
Druck bar
7
6
5
Aus der Volumenänderungsarbeit
4
WV12 = Wn12 + Wu12
3
2
1
0
ergibt sich für die Nutzarbeit
0
0.5
1
1.5
spezifisches Volumen m3/kg
Wn12 = WV12 − Wu12
2
2
2
1
1
Wn12 = WV12 − Wu12 = − ∫ pdV + pb ⋅ (V2 − V1 ) = − ∫ ( p − pb ) ⋅ dV
25
HS09
FTh2 - Thermodynamik
J. Borth
3.2.2.2 Dissipationsarbeit
•
Dissipationsarbeit ist Arbeit durch innere
Reibungsverluste, z.B. durch ein Rührwerk
•
Dissipationsarbeit kann einem System immer nur
zugeführt werden d.h.
WDiss12 ≥ 0!
•
Die Dissipationsarbeit ist irreversibel.
3.2.2.3 Gesamtarbeit
Die Gesamtarbeit ist die Summe aus Volumenänderungsarbeit und Dissipationsarbeit:
Wg12 = WV 12 + Wdiss12
2
Wg12 = − ∫ pdV + Wdiss12
1
•
Bei der Kompression ist die zugeführte Gesamtarbeit vom Betrag her um die
Dissipationsarbeit grösser als die Volumenänderungsarbeit: Wg12 ≥ WV 12
•
Bei der Expansion ist die abgegebene Gesamtarbeit vom Betrag her um die
Dissipationsarbeit kleiner als die Volumenänderungsarbeit: Wg12 ≤ WV 12
Bei Kolbenverdichtern kann die Dissipationsarbeit gegenüber der äusseren Reibungsarbeit an
Dichtungen und Lagern häufig vernachlässigt werden.
Der genaue Blick:
26
HS09
FTh2 - Thermodynamik
J. Borth
3.3 Energieerhaltungssatz für geschlossene Systeme
3.3.1 Energieerhaltung für ein abgeschlossenes System
In jedem abgeschlossenen Gebiet ist die Summe aller Energie
konstant
3.3.2 Innere Energie
Erstes Experiment: ein adiabates geschlossenes System
1a
1b
Nach dem Prinzip der Energieerhaltung muss die
zugeführte Arbeit im Gas als innere Energie gespeichert werden
27
HS09
FTh2 - Thermodynamik
J. Borth
Zweites Experiment: ein rigides geschlossenes System
Q12
Fall 2:
Auch hier muss die dem System in Form von Wärme zugeführte Energie im Gas gespeichert
werden.
Die in einem System gespeicherte Energie nennt man innere Energie U
Es gilt für den
Fall 1a):
WV12 = U 2 − U1
Fall 1b):
WDiss12 = U 2 − U1
Fall 2):
Q12 = U 2 − U1
Bemerkungen zur inneren Energie:
•
Die innere Energie ist eine Zustandsgrösse, da sie von der Art der Zuführung
unabhängig ist.
•
Die innere Energie wird als kalorische Zustandsgrösse bezeichnet.
•
Die spezifische innere Energie ist definiert als:
•
Man kann sich die innere Energie als die Summe aller potentiellen und kinetischen
u=
U
m
⎡J ⎤
⎢ kg ⎥
⎣ ⎦
Energien aller Moleküle im System vorstellen.
•
Der absolute Betrag der inneren Energie ist nicht messbar, nur die Änderung der
inneren Energie ist messbar!
28
HS09
FTh2 - Thermodynamik
3.3.3 Erster Hauptsatz für geschlossene Systeme
Der Energieerhaltungssatz bzw die Energiebilanz liefert für das allgemeine geschlossene
System den ersten Hauptsatz:
Die von aussen zu- oder abgeführte Energie ist gleich
der Änderung der inneren Energie.
Q12 + WV12 + WDiss12 = U 2 − U1
Oder:
2
Q12 − ∫ p ⋅ dV + WDiss12 = U 2 − U1
1
Q12 + Wg12 = U 2 − U1
In spezifischer Form:
q12 + wV12 + wDiss12 = u2 − u1
2
q12 − ∫ p ⋅ dv + wDiss12 = u2 − u1
1
29
J. Borth
HS09
FTh2 - Thermodynamik
J. Borth
3.4 Energiebilanz für das offene System
Die bisher behandelten Prozesse liefen in geschlossenen Systemen ab. In einem einmal
ablaufenden Prozess wurde dabei Arbeit zu oder abgeführt. In der Technik viel wichtiger
sind Prozesse in offenen Systemen, bei denen ein Stoff durch feste Systemgrenzen in ein
Kontrollvolumen strömt und dabei kontinuierlich Arbeit aufnimmt oder abgibt.
•
Wir betrachten nun ein allgemeines offenes System, bei dem Q12 ≠ 0 und W12 ≠ 0 ist
•
Die Randbedingungen verändern sich zeitlich nicht (sind stationär): m1 = m 2
•
Die Arbeit am offenen System wird als technische Arbeit Wt ,12 bezeichnet.
Die Entsprechung am geschlossenen System ist die Gesamtarbeit Wg ,12 .
•
Die technische Arbeit setzt sich aus der reversiblen technischen Arbeit Wt rev
,12 und
der Dissipationsenergie (Dissipationsarbeit) Wdiss ,12 zusammen:
•
•
Wt ,12 = Wt rev
,12 + Wdiss ,12
Wt rev
,12
ist der
Wdiss ,12 ist der
reversible
Teil der technischen Arbeit.
irreversible
Teil der technischen Arbeit.
Um den ersten Hauptsatz für offene Systeme herzuleiten, wird das offene System als ein
geschlossenes Ersatzsystem dargestellt:
30
HS09
FTh2 - Thermodynamik
J. Borth
In der Zeitspanne Δτ = τ 2 − τ 1 wird die Masse m = m1 mit den Zustandsgrössen p1 ; T1 ; V1 ; U1
am Eintritt (1) in den Kontrollraum eingeschoben. Gleichzeitig wird am Austritt (2) die
gleiche Masse m = m2 mit den Zustandsgrössen p2 ; T2 ; V2 ; U 2 ausgeschoben.
Es tritt dadurch sowohl eine Einschiebearbeit als auch eine Ausschiebearbeit auf:
2
Einschiebearbeit:
WV , ein = − ∫ p dV = + p1 ⋅ V1 > 0
(Arbeit wird zugeführt!)
1
2
Ausschiebearbeit:
WV , aus = − ∫ p dV = − p2 ⋅ V2 < 0
(Arbeit wird abgeführt!)
1
Die Energiebilanz für das Ersatzsystem lautet:
Q12 + Wt ,12 + p1 ⋅ V1 − p2 ⋅ V2 = U 2 − U1
Der Ausdruck p1 ⋅ V1 − p2 ⋅ V2 ist die Verschiebearbeit.
Mit den Prozessgrössen auf der linken Seite und den Zustandsgrössen auf der rechten Seite
kann man die Gleichung umstellen:
Q12 + Wt ,12 = ( p2 ⋅ V2 + U 2 ) − (U1 + p1 ⋅ V1 )
3.4.1 Enthalpie
Die Summe aus innere Energie U und dem Produkt von Druck und Volumen p ⋅ V wird als
Enthalpie H bezeichnet:
H = U + p ⋅V
•
•
Die Enthalpie H ist eine Zustandsgrösse, weil sie sich nur aus Zustandsgrössen
zusammensetzt.
Die Enthalpie wird auch als kalorische Zustandsgrösse bezeichnet.
31
HS09
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J. Borth
3.4.2 Erster Hauptsatz für offene Systeme
Der erste Hauptsatz für offene Systeme ohne Änderung der kinetischen und
potentiellen Energie lautet:
Q12 + Wt ,12 = H 2 − H1
[J ]
Q12 + Wt rev
,12 + WDiss ,12 = H 2 − H1
q12 + wtrev
,12 + wDiss ,12 = h2 − h1
⎡J ⎤
⎢ kg ⎥
⎣ ⎦
Äussere Energien
•
•
•
Kinetische und potentielle Energie eines Fluids werden als äussere Energien
bezeichnet.
Die Änderung der äusseren Energien ist daher die Änderung von potentieller und
kinetischer Energie zwischen Ein- und Austritt aus dem System.
Äussere Energien sind reversible Energien!
ΔEa = Ea , 2 − Ea ,1 =
(
)
m
⋅ c22 − c12 + m ⋅ g ⋅ (z 2 − z1 )
2
32
HS09
FTh2 - Thermodynamik
J. Borth
Der erste Hauptsatz für offene Systeme mit Änderung der kinetischen und potentiellen
Energie lautet:
Q12 + Wt ,12 = H 2 − H 1 +
m
⋅ ( c 22 − c12 ) + m ⋅ g ⋅ ( z 2 − z1 )
2
[J ]
In spezifischer Form:
(
)
⎡J ⎤
⎢ kg ⎥
⎣ ⎦
1
⋅ c 22 − c12 + g ⋅ ( z 2 − z1 )
2
q12 + wt ,12 = h2 − h1 +
In der Leistungs-Form:
•
•
m ⋅ q12 + m ⋅ wt ,12
•
Q 12 + Pt ,12
•
•
(
)
•
m
= m ⋅ (h2 − h1 ) + ⋅ c 22 − c12 + m ⋅ g ⋅ (z 2 − z1 )
2
•
•
•
(
⎡ kg J ⎤
⎢ s ⋅ kg ⎥
⎣
⎦
)
•
m
= H 2 − H 1 + ⋅ c 22 − c12 + m ⋅ g ⋅ ( z 2 − z1 )
2
[W ]
Die Leistung der Arbeit ist:
•
•
rev
Pt ,12 = Pt ,rev
12 + PDiss ,12 = m ⋅ wt ,12 + m ⋅ w Diss ,12
[W ]
3.4.3 Berechnung der reversiblen technischen Arbeit Wt rev
,12
2
Vergleichbar mit der Volumenänderungsarbeit, die durch WV 12 = − ∫ pdV berechnet werden
1
kann, ist nun auch ein Ausdruck für die reversible technische Arbeit Wt ,rev
12 gesucht:
Der erste Hauptsatz für geschlossene Systeme
Wird die Definitionsgleichung der Enthalpie
Q12 + WDiss12 + WV 12 = U 2 −U 1
H = U + p ⋅V
abgeleitet ergibt sich die differentielle
Form:
2
Q12 + WDiss12 − ∫ pdV = U 2 −U 1
1
kann auch in differentieller Form geschrieben
werden:
dH = d (U + p ⋅ V )
dQ + dWDiss − p ⋅ dV = dU
dH = dU + p ⋅ dV + V ⋅ dp
dQ + dWDiss = dU + p ⋅ dV
dH − V ⋅ dp = dU + p ⋅ dV
33
HS09
FTh2 - Thermodynamik
J. Borth
Durch Subtrahieren der beiden Gleichungen erhält man eine neue Gleichung, in der die
übertragene Wärme, die Dissipationsarbeit, die Enthalpie und der Ausdruck Vdp stehen:
dQ + dWDiss = dH − V ⋅ dp
Nach Umstellen und Integration ergibt sich:
2
∫ V ⋅ dp = H 2 − H1 − Q12 − WDiss,12
1
Stellt man den ersten Hauptsatz für offene Systeme mit Änderung der äusseren Energien um,
Wt ,rev
12 −
m
⋅ ( c 22 − c12 ) − m ⋅ g ⋅ ( z 2 − z1 ) = H 2 − H 1 − Q12 − WDiss ,12
2
findet man aus dem Vergleich der beiden Gleichungen einen Ausdruck für die reversible
rev
technische Arbeit Wt12
:
2
Wt ,rev
12 = ∫ V ⋅ dp +
1
m
⋅ ( c 22 − c12 ) + m ⋅ g ⋅ (z 2 − z1 )
2
oder
2
wtrev
,12 = ∫ v ⋅ dp +
1
(
)
1
⋅ c 22 − c12 + g ⋅ ( z 2 − z1 )
2
Ist die Änderung der äusseren (kinetischen und potentiellen) Energien vernachlässigbar ist
die technische Arbeit Wt rev
,12 :
2
Wt rev
,12 = ∫ V ⋅ dp
1
11
11
10
10
9
9
8
8
7
7
Druck bar
Druck bar
Die reversible technische Arbeit Wt rev
,12 kann im p,V - Diagramm grafisch dargestellt werden:
6
5
6
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
0.5
1
1.5
spezifisches Volumen m3/kg
2
34
0
0
0.5
1
1.5
spezifisches Volumen m3/kg
2
HS09
FTh2 - Thermodynamik
J. Borth
3.4.4 Wellenarbeit und Kupplungsarbeit
G
M = F ⋅r
Das Moment an der Welle:
Die Arbeit an der Welle pro Umdrehung:
Die Leistung an der Welle:
≈
We = F ⋅ s = F ⋅ 2π ⋅ r = M ⋅ 2π
Pe =
We
ω
= We ⋅ f = We ⋅
= M ⋅ω
T
2π
Mit der Schwingungsdauer T , der Frequenz f und der Drehzahl n
Pe = M ⋅ ω = M ⋅ 2π ⋅ n
Arbeit und Leistung an der Welle eines offenen Systems mit Berücksichtigung der
mechanischen Verluste
Die Wellenarbeit und Leistung
an rotierenden Wellen unter
Berücksichtigung der mechanischen Reibungsverluste in
den Lagern der Maschine ist
kleiner als die innere Arbeit:
mit dem mechanischen Wirkungsgrad ηm ( 0 < η m < 100% ) folgt
⎛
⎞
1
für Arbeitsmaschinen wie Pumpen und Verdichter: ⎜⎜ Pe ,12 =
Pt ,12 ⎟⎟
ηm
⎝
⎠Verdichter
für Kraftmaschinen wie Turbinen:
(Pe,12 = η m ⋅ Pt ,12 )Turbine
35
HS09
FTh2 - Thermodynamik
J. Borth
3.5 Kalorische Zustandsgleichungen und spezifische Wärmen
Im Folgenden geht es um die Frage, wie der energetische Zustand eines Stoffes mit Hilfe
einer anderen Zustandsgrösse, der Temperatur, bestimmt werden kann.
Aus der Erfahrung wissen wir, dass die Temperatur eines Körpers steigt, wenn man ihn
erhitzt, d.h. wenn ihm Energie in Form von Energie zugeführt wird. Umgekehrt sinkt die
Temperatur, wenn Wärme abgeführt wird.
3.5.1 Spezifische Wärme bei festen und flüssigen Körpern
Betrachtet man nun einen festen und einen flüssigen Körper bei konstantem Druck, so kann
eine Energiebilanz nach dem ersten Hauptsatz für geschlossene Systeme aufgestellt werden:
fester Körper
p = konstant
Heizen:
Kühlen:
q12 + wV12 + wDiss12 = u2 − u1
flüssiger Körper
q12 > 0
q12 < 0
q12 + wV12 + wDiss12 = u2 − u1
Beim festen Körper kann keine Dissipationsarbeit zugeführt werden: wDiss ,12 = 0
2
2
q12 − ∫ p ⋅ dv = u2 − u1
q12 + wDiss12 − ∫ p ⋅ dv = u2 − u1
1
1
Nach Umformen des ersten Hauptsatzes und mit Hilfe der Definition der Enthalpie folgt,
dass bei konstantem Druck (p = konstant oder dp = 0) die Zufuhr oder Abfuhr von Energie in
Form von Wärme oder Dissipationsarbeit eine Änderung der Enthalpie eines Körpers oder
Stoffes bewirkt.
Allgemein gilt:
dq + dwDiss = dh − v ⋅ dp
36
HS09
FTh2 - Thermodynamik
J. Borth
v ⋅ dp = 0
Für p = konstant ist:
fester Körper
flüssiger Körper
q12 = h2 − h1
q12 + wDisst ,12 = h2 − h1
Bei konstantem Druck verändern reale feste oder flüssige Körper ihr Volumen unter Zu- bzw.
Abfuhr von Wärme oder Zufuhr von Dissipationsarbeit nur geringfügig. Vernachlässigt man
die Volumenänderung, ist also das Volumen des festen und des flüssigen Körpers konstant,
gibt es auch keine Volumenänderungsarbeit.
dh = d (u + p ⋅ v ) = du + p ⋅ dv + v ⋅ dp
=0
=0
dh = du
also für p =konstant und v=konstant ist:
Es gilt dann genauso für :
fester Körper
flüssiger Körper
q12 = u 2 − u1
q12 + wDisst ,12 = u 2 − u1
Aus der Beobachtung folgt, dass sich mit der zu- oder abgeführten Wärme bzw. zugeführten
Dissipationsarbeit auch die Temperatur verändert:
dq = c ⋅ dT = c ⋅ dt
bzw.
dq + dwDiss = c ⋅ dT = c ⋅ dt
bzw.
Q12 + WDiss ,12 = m ⋅ ∫ c(t ) ⋅ dt
Oder
2
Q12 = m ⋅ ∫ c(t ) ⋅ dt
2
1
1
⎡ J ⎤
Mit der spezifischen Wärmekapazität c = f (t ) ⎢
⎥
⎣ kg ⋅ K ⎦
Man sieht also, dass aus der Temperaturerhöhung eines Körpers die zu- oder
abgeführten Wärme bzw. zugeführten Dissipationsarbeit oder auch die Änderung der
inneren Energie oder der Enthalpie berechnet werden kann. Für feste oder flüssige Körper
ist bei konstantem Druck die Änderung der inneren Energie und die Änderung der Enthalpie
etwa gleich gross. Daher sind auch die Werte für die spezifische Wärmekapazität bei
konstantem Druck oder bei konstantem Volumen etwa gleich gross.
•
Die spezifische Wärmekapazität ist messbar.
37
HS09
•
•
FTh2 - Thermodynamik
J. Borth
Die spezifische Wärmekapazität ist anschaulich gesprochen die Wärme (oder
Dissipationsarbeit) mit der man die Temperatur von 1 kg eines Stoffes um 1 K
steigern kann. Voraussetzung ist, dass keine Änderung des Aggregatzustandes
einsetzt.
Die spezifische Wärmekapazität ist abhängig von der Temperatur.
2
2
Aus Q12 + Wdiss12 = m ⋅ ∫ c ⋅ dt = m ⋅ cm t ⋅ (t2 − t1 ) folgt:
t2
cm
1
t2
t1
1
=
∫ c ⋅ dt
1
(t 2 − t1 )
D
Tabelliert werden nur Werte zwischen 0 C und einer Endtemperatur t :
t =100 D C
z.B.
t = 200 D C
cm t = 0 D C ⋅ ; cm t = 0 D C ⋅ usw.
Um passende Werte für die mittlere spezifische Wärmekapazität zu ermitteln, muss aus den
tabellierten Werten umgerechnet werden
cm 02D C ⋅ t 2 − cm 01D C ⋅ t1
t
cm t =
t2
1
t
t 2 − t1
Passende Werte für die spezifische Wärmekapazität zwischen 0D C und der jeweiligen
t
Temperatur t werden durch lineare Interpolation von Werte cm 0 D C für benachbarte
Temperaturen gewonnen.
38
HS09
FTh2 - Thermodynamik
J. Borth
3.5.2 Spezifische Wärme idealer Gase bei konstantem Volumen
Der erste Hauptsatz für geschlossene Systeme vereinfacht
sich, wenn das Volumen konstant bleibt, da die Volumenänderungsarbeit verschwinden muss
2
Q12 + WDiss12 − ∫ pdV = U 2 −U 1
1
Q12 + WDiss12 = U 2 −U 1
für
V = konst
q12 + wDiss12 = u 2 − u1
Aus der Beobachtung das bei Energiezufuhr Q12 + WDiss12 > 0
die Temperatur steigt und aus dem ersten Hauptsatz folgt:
dQ + dWDiss = dU = m ⋅ cV ⋅ dT
⎡ J ⎤
Mit der spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Volumen cv ⎢
⎥
⎣ kg K ⎦
2
Q12 + Wdiss12 = U 2 − U 1 = m ⋅ ∫ cv (t ) ⋅ dt
1
Q12 + Wdiss12 = U 2 − U 1 = m ⋅ cv m
t2
t1
⋅ (t 2 − t1 )
Aus der Temperaturabhängigkeit von cv = f (t ) folgt für die mittlere spezifische
Wärmekapazität bei konstantem Volumen:
2
∫ c dt
v
cv ,m
t2
t1
=
1
t 2 − t1
Tabelliert werden nur Werte zwischen 0D C und einer Endtemperatur t . Um passende Werte
für die mittlere spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen zu ermitteln, muss aus
den tabellierten Werten umgerechnet werden
cv m
t2
t1
=
cv m
t2
0D C
⋅ t 2 − cv m
t 2 − t1
39
t1
0D C
⋅ t1
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Passende Werte für die spezifische Wärmekapazität zwischen 0D C und der jeweiligen
Temperatur t werden durch lineare Interpolation von Werte cv m
t
0D C
für benachbarte
Temperaturen gewonnen.
Mit dem sogenannten Überströmversuch von Gay-Lussac und Joule kann man zeigen, dass
die innere Energie bei idealen Gasen tatsächlich nur von der Temperatur abhängig ist.
Ausgangspunkt des Versuchs sind zwei zur Umgebung hin isolierte Behälter A und B. Im
Behälter A werden der Druck p1 , die Temperatur T1 usw. gemessen:
( p1 , T1 , v1 , u1 , m ) A > 0
Im Behälter B herrscht Vakuum: m B ,1 = 0 und p B ,1 = 0
A
Zeitpunkt 1
B
A
Zeitpunkt 2
B
Nun öffnet man das Ventil zwischen beiden Behältern, sodass es zu einem Druckausgleich
kommt. Nachdem einige Zeit vergangen ist und alle instationären Vorgänge abgeklungen
sind, wird folgendes gemessen:
p 2 < p1 und v 2 > v1
Man stellt aber auch fest, dass sich die Temperatur nicht verändert hat: T2 = T1 !!
Also gilt:
dT = 0
Da mit der Umgebung kein Energieaustausch stattgefunden hat, konnte sich die innere
Energie des Systems nicht verändern. Wohl aber hat sich das spezifische Volumen stark
vergrössert. Die Gesamtmasse im System bleibt konstant: m = konst .
Da weder Arbeit noch Wärme über die Systemgrenzen ausgetauscht werden, folgt aus dem
1. Hauptsatz:
Q12 + Wdiss12 = U 2 − U 1
U 2 = U 1 oder
u 2 = u1
also auch
du = 0
Allgemein gilt für die Änderung der inneren Energie:
⎛ ∂u ⎞
⎛ ∂u ⎞
du = ⎜
⎟ ⋅ dT + ⎜ ⎟ ⋅ dv = 0
⎝ ∂T ⎠
⎝ ∂v ⎠
∂u
⎛ ∂u ⎞
Wenn also du = 0 und dT = 0 dann muss ⎜ ⎟ ⋅ dv = 0 bzw.
= 0 ! sein
∂v
⎝ ∂v ⎠
Daraus folgt, dass die innere Energie wirklich nur von der Temperatur abhängig ist!
u = f (T )
40
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3.5.3 Spezifische Wärme idealer Gase bei konstantem Druck
Der erste Hauptsatz für geschlossene Systeme kann für den
Fall einer Zustandsänderung mit konstantem Druck
( p = konst ) umgeformt werden
2
q12 + wDiss12 − ∫ pdv = u2 −u1
1
q12 + wDiss12 = u2 −u1+ p ⋅ (v2 −v1 )
mit h = u + p ⋅ v und h2 −h1 = u2 −u1+ p ⋅ (v2 −v1 )
folgt
q12 + wDiss12 = h2 − h1
Aus der Beobachtung, dass bei Energiezufuhr q12 + wDiss12 > 0 die Temperatur steigt und aus
dem ersten Hauptsatz folgt:
dq + dwDiss = dh = c P ⋅ dT
⎡ J ⎤
cP ⎢
⎥
⎣ kgK ⎦
Mit der spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Druck
2
Q12 + Wdiss12 = H 2 − H1 = m ⋅ ∫ c p (t ) ⋅ dt
1
Q12 + Wdiss12 = H 2 − H1 = m ⋅ c p m
t2
t1
⋅ (t2 − t1 )
Aus der Temperaturabhängigkeit von c p = f (t ) folgt für die mittlere spezifische
Wärmekapazität bei konstantem Druck ähnlich wie oben dargestellt:
c pm
t2
t1
=
c pm
t2
0D C
⋅ t 2 − c pm
t 2 − t1
41
t1
0D C
⋅ t1
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Die Gleichungen für die Änderung der inneren Energie oder der Enthalpie
U 2 − U1 = m ⋅ cv m
t2
H 2 − H1 = m ⋅ c p m
t2
t1
⋅ (t2 − t1 )
t1
⋅ (t2 − t1 )
[J ]
bzw. die Gleichungen für die Änderung der spezifischen inneren Energie oder der
spezifischen Enthalpie:
u2 − u1 = cv m
t2
h2 − h1 = c p m
t2
t1
t1
⋅ (t2 − t1 )
⋅ (t2 − t1 )
⎡J ⎤
⎢ kg ⎥
⎣ ⎦
werden als kalorische Zustandsgleichungen des idealen Gases bezeichnet.
Da die innere Energie und die Enthalpie Zustandsgrössen sind, gelten die kalorischen
Zustandsgleichungen bei idealen Gasen für alle Arten von Zustandsänderungen.
Für die vereinfachende Annahme von konstanten spezifischen Wärmekapazitäten ergibt sich:
u2 − u1 = cv ⋅ (t2 − t1 )
h2 − h1 = c p ⋅ (t 2 − t1 )
3.5.4 Zusammenhang zwischen spezifischer Wärmekapazität bei konstantem Volumen
cv und spezifischer Wärmekapazität bei konstantem Druck c p
Aus der Definitionsgleichung der Enthalpie h = u + p ⋅ v
h2 − h1 = u 2 − u1 + p 2 ⋅ v 2 − p1 ⋅ v1 ,
dem idealen Gasgesetz
p ⋅ v = Ri ⋅ T
und den kalorischen Zustandsgleichungen
u 2 − u1 = c v ⋅ (t 2 − t1 ) = cv ⋅ (T2 − T1 )
h2 − h1 = c p ⋅ (t 2 − t1 ) = c p ⋅ (T2 − T1 )
folgt
Also gilt
c p ⋅ (t 2 − t1 ) = cv ⋅ (t 2 − t1 ) + Ri ⋅ (T2 − T1 )
c p = cv + Ri
42
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Das Verhältnis der beiden spezifischen Wärmekapazitäten wird κ bezeichnet.
Bei einem idealen Gas ist κ der Isentropenexponent:
κ=
cp
cv
Daraus ergeben sich folgende Beziehungen:
cv =
1
⋅ Ri
κ −1
cp =
κ
κ −1
⋅ Ri
Werte für verschiedene Gase :
Ideales Gas
Isentropenexponent κ
Beispiel
1-atomig
1.667
Edelgase He, Ar
Geltungsbereich
allgemein
2-atomig
1.4
Sauerstoff O2 ,
Stickstoff N 2 ,
Luft
Bei mittleren
Temperaturen
Die molaren Wärmekapazitäten eines idealen Gases sind die auf 1 kmol eines Gases
bezogenen Wärmekapazitäten.
Cm v = M ⋅ cv
Cm v = M ⋅ cv
⎡ J ⎤
⎢⎣ molK ⎥⎦
Die Differenz der beiden molaren Wärmekapazitäten ist die allgemeine Gaskonstante:
Cm p − Cm v = M ⋅ (c p − cv ) = M ⋅ Ri
Cm p − Cm v = Rm
Cm v =
Cm p =
1
⋅R
κ −1 m
κ
κ −1
43
⋅ Rm