Aufbau der Materie II Festkörperphysik für LA nicht vertieft

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Aufbau der Materie II
Festkörperphysik für LA nicht
vertieft
neue Folien WS 09/10
Literaturempfehlungen
1.
2.
3.
4.
Charles Kittel: Einführung in die Festkörperphysik
(Oldenbourg Verlag)
Konrad Kopitzki: Einführung in die Festkörperphysik
(Teubner Verlag)
Harald Ibach & Hans Lüth: Festkörperphysik.
Einführung in die Grundlagen (Springer Verlag)
N. W. Ashcroft, N. D. Mermin: Festkörperphysik
(Oldenbourg Verlag)
Warum Festkörperphysik?
Weil unsere Welt wesentlich aus
Festkörpern bzw Flüssigkeiten besteht
Bisher: Atom- und Molekülphysik. Bei hoher
Temperatur, bzw niedriger Dichte, ist alles
gasförmig. Kann zB Gasplaneten, Sterne,
… beschreiben. Auf riesigen Längen- und
Zeitskalen komplexe Strukturen möglich,
auf kleinen Skalen “langweilig”
Was kann die FK-Physik
erklären?
• Warum sind manche Stoffe elektrisch
leitfähig, andere nicht?
• Warum sind manche Stoffe magnetisch?
• Warum gibt es durchsichtige Materialien?
• Wie wird Wärme gespeichert und
transportiert?
• Warum dehnen sich Festkörper bei
Erwärmung aus?
• Wie hart bzw. weich ist ein Material?
Worauf basieren die
Erklärungen?
• wichtigstes Hilfsmittel: Kristalline Ordnung
Æ erleichtert Beschreibung
• Elektronische Eigenschaften (Leitfähigkeit,
Lichtabsorption, …) aus Bandstruktur und
Fermistatistik
• Phononen (Gitterschwingungen) geben
Auskunft über thermische Leitfähigkeit,
Schallausbreitung, Härte, …
• und vieles mehr!
Millersche Indizes
• Beste Definition über reziprokes Gitter, siehe
später: (hkl)⊥Ghkl
• Im kubischen System gilt außerdem (hkl)-Ebene
⊥ [hkl]-Richtung
• Begründung: Ebenengleichung kann man so
schreiben:
n ⋅ r = const
• Die Vektoren n und r beziehen sich auf die
jeweilige Basis, die i. allg. nicht orthonormal ist,
beim kubischen Gitter aber schon.
Millersche Indizes
Bei nicht-orthonormalen Einheitsvektoren steht dann n nicht
mehr senkrecht auf der zugehörigen Ebene
Beispiel: strecke 2D Quadratgitter zum
2D Rechteckgitter
Beide Ebenen haben dieselben Millerschen Indizes, weil die Achsenabschnitte
gleich sind. Im rechten Bild steht aber die Ebene nicht mehr senkrecht auf der
Kristallrichtung mit gleichem Namen
Unterschied Beugung 3D, 2D
Optik: Beugungsgitter werden mit Licht bestrahlt
Man sieht immer ein Beugungsbild, egal unter welchem Winkel das Licht
einfällt
Kristallstruktur: Röntgenreflex erscheint nur bei ausgewählten Winkeln
Grund: reziprokes Gitter in 3D besteht aus diskreten Punkten, bei einem
2D Objekt
wird die dritte Dimension durch kontinuierliche “Stäbe” im reziproken
Raum ergänzt
(Fouriertransformierte einer δ-Funktion)
Phasenproblem in der
Röntgenstrukturanalyse
• Man kann nur die Intensität der Strahlung
messen, nicht die Phase
• Keine inverse Fouriertransformation
möglich
• verschiedene Strukturen können dasselbe
Beugungsbild ergeben
• Nimm hypothetische Struktur an, berechne
Beugungsbild und vergleiche mit
Experiment
Beispiel in 1D
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5
0.0
0.0
-0.5
-0.5
-1.0
-1.0
-1.5
0
2
3
4
5
20
0
6
1
2
1
2
Amplitude
1.0
0.5
0.0
180
Phase
Phase
Amplitude
1
10
Zeit
90
0
10
Zeit
20
3
4
5
6
3
4
5
6
1.0
0.5
0.0
180
90
0
1
2
3
4
Frequenz
5
6
Frequenz
Ionenbindung
• setzt mindestens zwei verschiedene
Atome voraus
• z.B. eine Atomsorte gibt ein Elektron ab,
die andere nimmt es auf, um
geschlossene Schalen zu erreichen
• ist dann möglich, wenn die
Ionisierungsenergie der einen Sorte
kleiner als die Elektronenaffinität der
anderen Sorte ist
Metallische Bindung
Wellenfunktionen der äußeren Elektronen sind sehr weitreichend, Elektronen
verteilen sich über mehrere Gitterperioden hinweg
Kovalente Bindung
Molekülbindung
Kovalente Bindung im Festkörper
Ursache des Potentials, BornOppenheimer-Näherung
• Im vorigen Kapitel haben wir die verschiedenen
Bindungstypen untersucht: alle haben eine
Gleichgewichtslage
• Ursache ist jeweils die Elektronenkonfiguration
• übliche Näherung (Born-Oppenheimer): Atomkerne
sind so schwer, daß sich die (leichten) Elektronen
instantan um die Kerne herumgruppieren Æ Trennung
von Elektronen- und Atombewegung
Welche Schwingungen gibt es?
Je mehr Atome
hinzukommen, umso mehr
Schwingungsmoden gibt
es
zB: Kristall mit N >> 1
Atomen: 3 Translations-, 3
Rotationsfreiheitsgrade,
der Rest (3N - 6 ≈ 3N)
Schwingungen.
Wie ordnet man das an?
Mit Hilfe von ebenen
Wellen!
Zustandsdichte
Zahl der Zustände im Energieintervall dε:
dn = D(ε) dε
Problem 1: Bisher Kristall als unendlich angenommen. Dann kann D(k)
auch nicht angegeben werden
Lösung: Nimm Kristall als beliebig groß, aber endlich an. Dann gibt es nur
endlich viele Zustände. Am besten mit periodischen Randbedingungen
Problem 1: D(ε) ist nicht direkt bekannt, nun aber D(k), also die Zahl der
Zustände im k-Raum
Lösung: Zähle Zustände im k-Raum ab und rechne in Energien um
Problem 1: Zustandsdichte im kRaum
Periodische Randbedingungen: Fordere, daß sich die Phononenwellenfunktion
nach einer Länge L im Raum periodisch wiederholt. (Später analog: Elektronen)
Also, in 1D:
exp(ik(x + L)) = exp(ikx)
Daraus folgt: exp(ikL) = 1, und damit k = (2π/L) n, (n: ganze Zahl)
Genauso kann man in drei Dimensionen periodische Randbedingungen fordern:
kx = (2p/L) l, ky = (2p/L) m, kz = (2p/L) n, (l, m, n: ganze Zahlen)
Problem 2: von k nach ε
In einer Dimension: Zustände sind äquidistant in k
D(ε) folgt aus Dispersionsrelation
2π
L
Jeder Zustand nimmt im k-Raum
den gleichen Platz ein
Je nach Steigung der Energiedispersion
ergibt dies mehr oder weniger dicht
liegende Zustände auf der Energieachse
In mehreren Dimensionen
z.B. zwei Dimensionen, isotrope Dispersion,
alle Phononen unter einer bestimmten Energie
ky
Man sieht: je größer |k|, desto mehr
Möglichkeiten gibt es.
3 Dimensionen:
kx
Ohne Randbedingungen sind die Lösungen ebene Wellen.
Sie sind nicht normierbar:
Abhilfe: Integrationsvolumen muß endlich sein!
2 Möglichkeiten: Teilchen im Kasten oder periodische Randbedingungen
Teilchen im Kasten: Lösungen verschwinden am Probenrand
nur stehende Wellen möglich
L
Periodische Randbedingungen: Probe setzt sich periodisch fort, laufende Wellen
möglich: näher an der Realität
L
kz
kF
ky
kx
In Kugel mit Volumen 4/3 kF3π ist die Gesamtzahl der erlaubten Zustände:
2⋅
4
k π
3
3 F
2π 3
(L )
=
V
3
3
k
=
N
;
V
=
L
F
3π 2
⎛ 3π N
kF = ⎜⎜
⎝ V
2
⎞
⎟⎟
⎠
1/3
Anlegen des Feldes zur Zeit t = 0; Æ Mittelpunkt der Fermi-Kugel im Ursprung des k-Raums
Nach kurzer Zeit τ gilt :
δ k=−
e ⋅ E ⋅τ
h
In Folge der Stöße zwischen Elektronen und Verunreinigungen, Gitterfehlern und Phononen kann
die Verschiebung der Fermi-Kugel in einem elektrischen Feld als stationärer Zustand aufrecht
erhalten werden. Der Geschwindigkeitszuwachs ist
τ ist dabei die mittlere Zeit
p hδk
e ⋅ E ⋅τ
V= =
= μE zwischen zwei Stößen
=−
m
m
m
(Impulsstreuzeit).
μ = eτ/m heißt
Beweglichkeit
Bei n Elektronen der Ladung –e pro Volumeneinheit beträgt die Stromdichte in einem konstanten
elektrischen Feld E :
Elektrische Leitfähigkeit:
ne 2τ
j = −neV =
E = σ ⋅E
m
ne 2τ
σ=
= neμ
m
(Ohmsches Gesetz)
Driftgeschwindigkeit und
Fermigeschwindigkeit
r
E
Wegen des Pauli-Prinzips
haben die Elektronen auch
bei T=0 eine hohe kinetische
Energie, und
vF = kF/m.
Nach Mittelung über alle
Elektronen ist aber
<v> = 0
Fermigeschwindigkeit sehr groß: typ. 106 m/s
Driftgeschwindigkeit bei typischen Stromstärken mm/s
Mit elektrischem Feld erhält
jedes Elektron eine kleine
Extra-Geschwindigkeit, die
Driftgeschwindigkeit vD
Streumechanismen
Die wichtigsten Mechanismen sind:
Elektron-Phonon-Streuung: Widerstandsbeitrag temperaturabhängig (da Zahl der
Phononen temperaturabhängig). Man findet typischerweise:
θD: Debyetemperatur
Streuung an Verunreinigungen und anderen Punktdefekten: Widerstandsbeitrag
ρimp konzentrations- aber nur schwach temperaturabhängig:
Gesamtwiderstand:
Elektron-Elektron Streuung hat keinen Einfluss
auf Impulsrelaxationszeit, da der Gesamtimpuls
r
me ∑ v i erhalten bleibt.
i
Matthiessen‘sche Regel
v1
v3
v2
v4
Kollision
Der Gesamtwiderstand setzt sich
aus einem konstanten Beitrag aufgrund von Streuung an Defekten
und einem T-abhängigen Beitrag
aufgrund von Phononstreuung zusammen
Widerstand von Kalium. Der unterschiedliche Restwiderstand bei T=0
ist unterschiedlichen Defektkonzentrationen zuzuschreiben.
Bloch-Theorem
Das Kristallpotential ist translationssymmetrisch. Welchen Einfluß hat das auf
die Wellenfunktionen?
Schrödingergleichung
mit
(also gitterperiodisch)
Für die Wellenfunktionen gilt dann:
ist eine
gitterperiodische
Funktion
D.h. eine Kombination aus
ebener Welle und einer
gitterperiodischen Funktion
Der Wellenvektor k erfüllt dann
wiederum die Funktion eines
Impulses, wie beim freien
Elektronengas
Beispiel freies Elektronengas:
un,k(r)=const.
Fast freie Elektronen
Bisher: freie Elektronen, Kristallstruktur nicht berücksichtigt.
Jetzt: betrachte schwaches Kristallpotential
Wir wissen, daß nur Lösungen in der ersten Brillouinzone berücksichtigt werden
müssen.
Extremfall: “Leeres” Gitter in einer Dimension
Dann sind Lösungen, die sich
um einen reziproken
Gittervektor unterscheiden,
äquivalent.
Einziger Problemfall: Ränder
der Brillouinzone
Leeres Gitter in 3D
Hier wurde nur die freie
Elektronenparabel in
allen möglichen
Richtungen in die erste
Brillouinzone
zurückgefaltet.
Schon dieses Bild ist
kompliziert, dazu
kommen jeweils
Energielücken an den
Rändern der BZ.
Erinnerung: Kovalente Bindung
Molekülbindung
Kovalente Bindung im Festkörper
Tight-Binding-Modell
Bringt man Atome näher und näher zusammen so wird die Entartung der atomaren
Niveaus aufgehoben. Annäherung von N-Atomen ⇒ Aufhebung der
N-fachen Entartung
Isolierte Atome
diskrete Energieniveaus
Kristalle
Energiebänder
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