Nachklausur Mathematik für Biologen WS 08/09 Aufgabe 1: (5

Nachklausur Mathematik für Biologen WS 08/09
Aufgabe 1: (5 Punkte)
In einer diploiden Population beobachten wir die Ausprägung eines bestimmten Gens, das zwei
Allele V und W annimmt. Somit besitzt jedes Individuum V V , V W oder W W als Genotyp.
Die Population besteht zum Beobachtungszeitpunkt aus 500 Individuen mit Genotyp V V , 100
Individuen mit Genotyp V W und 200 Individuen mit Genotyp W W . Berechnen Sie die durch
das Hardy-Weinberg-Gesetz prognostizierten relativen Häufigkeiten der Genotypen V V , V W
und W W in der ersten und zweiten Nachkommensgeneration dieser Population.
Lösung zu Aufgabe 1:
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Aufgabe 2: (3+2+1=6 Punkte)
Kauft man heute eine Zitrone in einem bestimmten Supermarkt ein, so kauft man mit Wahrscheinlichkeit 12 eine Zitrone, die heute geliefert wurde und ansonsten eine Zitrone, die schon
länger in der Auslage liegt. Ist die Zitrone heute geliefert worden, so ist sie mit Wahrscheinlichkeit
1
1
20 verschimmelt. Liegt die Zitrone länger dort, so ist sie mit Wahrscheinlichkeit 5 verschimmelt.
Es wird nun zufällig eine Zitrone gekauft. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) die Zitrone verschimmelt ist.
b) die Zitrone, falls sie verschimmelt ist, heute geliefert wurde.
c) die Zitrone verschimmelt ist und nicht heute geliefert wurde.
Lösung zu Aufgabe 2:
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Aufgabe 3: (4+1=5 Punkte)
In einer kleinen Firma kocht ein Mitarbeiter jeden Tag Kaffee. Mit Wahrscheinlichkeit 12 kocht
er 8 Tassen Kaffee, mit Wahrscheinlichkeit von jeweils 16 3, 4 bzw. 6 Tassen Kaffee. Sei X die
Anzahl der heute gekochten Tassen.
a) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) und die Varianz V ar(X) von X.
b) Im Café gegenüber der Firma werden immer genau doppelt so viele Tassen Kaffee gekocht.
Sei Y die Anzahl der heute im Café gekochten Tassen Kaffee, d.h. Y = 2 · X. Berechnen
Sie den Korrelationskoeffizienten ρ(X, Y ) von X und Y .
Lösung zu Aufgabe 3:
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Aufgabe 4: (4 Punkte)
Seien X1 , . . . , X196 unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen, wobei X1 , . . . , X196
P196
jeweils Poisson-verteilt mit Parameter α = 4 sind. Sei S :=
i=1 Xi . Berechnen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P (750 ≤ S ≤ 800) mittels einer Normalapproximation mit
Diskretheitskorrektur.
Lösung zu Aufgabe 4:
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Aufgabe 5: (3+5=8 Punkte)
Wir betrachten das statistische Modell P := {Pθ |θ ∈ (0, 1)} mit Pθ definiert durch
Pθ (0) = θ2 , Pθ (1) = 2 · θ · (1 − θ), Pθ (2) = (1 − θ)2 ,
d.h. bei Vorliegen der Verteilung Pθ ist
P (X1 = 0) = θ2 , P (X1 = 1) = 2 · θ · (1 − θ), P (X1 = 2) = (1 − θ)2
für die Zufallsvariable X1 aus der Stichprobe (X1 , . . . , Xn ).
a) Berechnen Sie den Schätzwert θ̂ für θ nach der Momentenmethode für die Stichprobe
x = (2, 1, 1, 1, 0, 2, 2).
b) Berechnen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzwert θ̂ für θ für die oben genannte Stichprobe x.
Hinweis: Berechnen Sie die Extremstelle der Log-Likelihoodfunktion. Sie dürfen ohne
Nachweis verwenden, dass dort auch ein globales Maximum vorliegt.
Lösung zu Aufgabe 5:
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Aufgabe 6: (5 Punkte)
In einer Studie soll der durchschnittliche Intelligenzquotient der Nutzer eines Internetportals
ermittelt werden. Zu diesem Zweck wird der Durchschnitt der Intelligenzquotienten von jeweils
100 Nutzern bestimmt. Man bestimmt 6 solcher Durchschnitte (jeweils verschiedene 100 Personen) und erhält die Stichprobe x = (95, 120, 110, 115, 105, 121). Es ist anzunehmen, dass der
Durchschnitt der Intelligenzquotienten von 100 zufällig ausgesuchten Personen normalverteilt
ist, der Erwartungswert µ und die Varianz σ 2 dieser Normalverteilung allerdings unbekannt ist.
Wir vermuten, dass der durchschnittliche Intelligenzquotient der Nutzer des Internetportals 100
beträgt. Testen Sie mit einem zweiseitigen 1-Stichproben T-Test das Testproblem
H : µ = 100 gegen K : µ 6= 100
auf dem Signifikanzniveau α = 0, 05. Kann die Hypothese abgelehnt werden?
Lösung zu Aufgabe 6:
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Weitere Rechnungen (bitte mit Aufgabennummer):