Skript Teil 3 - Humboldt
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Elektrostatik Der elektrische Fluss Ψ : Wie stark „strömt“ das elektrische Feld durch eine gegebene Fläche? A r r r Φ Ψ A = ∫ E ( r ) ⋅ dA A Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin Elektrostatik Qualitative Herleitung des Coulomb-Gesetzes: - Eine pos. (Punkt-)Ladung als Quelle des elektr. Feldes im Ursprung: und E q - E r Fluss durch eine (imaginäre) Kugel um die Ladung ist konstant: E dA E 1 4 q r 2 r r 0 Kugel also: E r 4 Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin r 2 Elektrostatik Abstrakte Formulierung Punktladungen werden durch kontinuierliche Ladungsverteilung ersetzt: q r Divergenz eines Feldes ist seine (lokale) Quellstärke: divE div E E 0 x Ex y Ey z Ez Integrale Formulierung: Satz von Gauß E dA Oberfläche divE dV Volumen Q 0 Der Fluss eines Feldes durch eine geschlossene Oberfläche ist gleich dem Integral der Divergenz des Feldes über dem eingeschlossenen Volumen. Anschaulich: Ladungen sind die Quellen/Senken des elektrischen Feldes! Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin Elektrostatik Was gibt‘s noch? Rotation eines Feldes: rotE E yEz z Ex xEy zEy x Ez y Ex Die Rotation eines Feldes gibt seine lokale Wirbelstärke an. Hier gilt offensichtlich: rotE 0 Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin Elektrostatik Was bedeutet das für die Arbeit im Kraftfeld? Wegintegral: Arbeit ist „Kraft mal Weg“ oder: W F ds Kurve q E ds Kurve Im Wirbelfeld ist die geleistete Arbeit abhängig vom zurück gelegten Weg. Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin Elektrostatik In der Elektrostatik gilt aber: rotE 0 Dann gilt für jede geschlossene Kurve: W F ds 0 Kurve Anders ausgedrückt: Im rotationsfreien Feld ist das Arbeitsintegral nicht vom gewählten Weg abhängig, sondern nur von Anfangs- und Endpunkt. Dann heißt das Feld konservativ. Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin Elektrostatik U Φ ( x, y, 0) z=0 +e +e Da rotE 0 gilt, gibt es ein Potential Φ mit: r r2 W1 W2 - Φ ist bis auf eine additive Konstante (Eichfreiheit!) eindeutig. W3 - Das erzeugende E-Feld errechnet sich als Gradient (dreidimensionale Ableitung) des Potentials: r r1 U = const . Φ Äquipotentiallinie E grad -e x [a.u.] Die Mathematik sagt: y [a.u.] Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin x y z Elektrostatik Zusammenhang zwischen Potential, Spannung und Arbeit: Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten: 2 E ds 12 2 1 1 Energiedifferenz zwischen zwei Punkten (wegunabhängig!): 2 W 12 Also: W 12 q qE ds q 2 1 1 12 Potentialdifferenzen sind sehr praktische Rechengrößen und bekommen deshalb einen eigenen Namen: Spannungen. Die SIEinheit der Spannung ist das Volt [V]. Das Rechensymbol ist meist ein U. Aber: Damit die Angabe einer Spannung sinnvoll ist, muss immer ein Referenzpunkt (U=0) angegeben werden! Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin Elektrostatik Zusammenfassung: div E rot E 0 0 Maxwell-Gleichungen der Elektrostatik im Vakuum Unter Verwendung des Potentials lässt es sich sogar noch etwas einfacher schreiben: div grad 2 x 2 y Laplace-Gleichung Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin 2 z 0 Elektrostatik Potential eines idealen Leiters (Metall): Feldlinie Wiederholung: Feldlinien müssen auf der Leiteroberfläche senkrecht stehen. r F⊥ r F Ladungen im Metall frei beweglich Dann gilt für kleine Verschiebungen entlang der Oberfläche: d E ds 0 Daraus folgt, dass das Potential überall auf der Oberfläche gleich ist, unabhängig von der Form des Leiters. Die Ladungsverteilung kann aber unterschiedlich sein! Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin Elektrostatik Anwendung: geladene Hohlkugel Im Außenraum ist das Coulomb-Gesetz gültig: Für jede kugelsymmetrische Ladungsanordnung gilt, dass E q und E r und E 1 4 r2 also E r Testflächen Geladene Hohlkugel Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin q 4 r 2 r r 0 Elektrostatik Anwendung: geladene Hohlkugel Im Innenraum bleibt die Symmetrie erhalten: E r Aber in der inneren Testfläche ist keine Ladung eingeschlossen! 0 E 0 Der Innenraum ist feldfrei! Testflächen Geladene Hohlkugel Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin Elektrostatik E-Feld einer positiv geladenen Hohlkugel in einer Ebene durch den Mittelpunkt. Durch Integration des Feldes entlang eines vom Mittelpunkt ausgehenden Strahls erhält man das Potential: C C r Kugelradius 1 4 r 0 r Kugelradius Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin Elektrostatik Feld einer (unendlich) ausgedehnten geladenen Platte: -Wegen Symmetrie gilt, das Feld steht senkrecht zur Platte. -In jedem Halbraum bleibt das Feld konstant, da ein Quader, um das gleiche Teilstück der Platte gelegt, immer die gleiche Ladungsmenge einschließt. -Die Tangentialkomponente des Feldes verändert sich stetig beim Übergang von einer Plattenseite zur anderen, die Normalkomponente macht einen Sprung. E-Feld einer pos. Geladenen Platte bei x=0. Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin Die Spannung Energiedifferenz zwischen zwei Punkten (nur sinnvoll zu definieren, wenn wegunabhängig!): Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten: Spannung Also: W 12 q 12 Die Potentialdifferenzen ist eine sehr praktische Rechengröße und bekommt deshalb einen eigenen Namen: Spannung. Die SI-Einheit der Spannung ist das Volt [V]. Das Rechensymbol ist meist ein U. Aber: Damit die Angabe einer Spannung sinnvoll ist, muss immer ein Referenzpunkt (U=0) angegeben werden! Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin Der Kondensator Konfiguration aus zwei Platten mit entgegen gesetzter Ladung: -Der Außenraum bleibt weitgehend feldfrei, da Gesamtladung sich ausgleicht. - Zwischen den Platten herrscht ein homogenes elektrisches Feld. Diese Anordnung heißt Kondensator. + + + + + + + + + + + - Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin Der Kondensator Die Spannung U (Potentialdifferenz) zwischen den beiden Platten mit der Fläche A und den Ladungen +Q und –Q ist: Q d A 0 U Ed Also: Q CU mit C 0 A d C ist die Kapazität des Kondensators. Sie kann auch für andere Geometrien angegeben werden, da immer gilt, dass die Potentialdifferenz proportional zur Ladung ist. Einheit der Kapazität: 1C 1 Farad 1 F 1V Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin Der Kondensator Energieinhalt des Kondensators: Um eine weiter kleine Ladung dQ von einer Platte zur anderen zu transportieren, benötigt man: dW Q dQ C dQ U Integration liefert die gesamte Arbeit (also den Energieinhalt) Qg W dW 0 Also: 2 W 1Q 2C Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin Q dQ C 1 2 CU 2 Kondensator mit Dielektrikum + + + + + + + + + + + - -+ + + + + + + + + + - d Potentialdifferenz U + Bei Isolator (Dielektrikum) zwischen den Kondensatorplatten passiert Folgendes: Polarisation Æ Im Isolator wird ein Gegenfeld aufgebaut Feld wird abgeschwächt geringere Kraft d.h. reduziertes E-Feld EDielektrikum = 1 εr ⋅ EVakuum ε r : Dielektrizitätszahl Q A C = ε r ⋅ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →C = εr ⋅ ε0 ⋅ U Plattenkondensator d Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin Dielektrizitätskonstanten Material Papier Paraffin PVC Glas Titanat Benzol Ethylalkohol Wasser (0°C) εr 1.6-2.6 1.9-2.5 3.1-3.9 5.0-9.0 15-104 2.1 27.9 87.74 Wasser (20°C) Wasser (90°C) Helium Wasserstoff Luft 80.1 58.31 1.000066 1.000264 1.000590 Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin Kondensatoren - Beispiele Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin Kondensatoren - Beispiele Laser Target Chamber Capacitor Bay National Ignition Facility (Livermore National Lab / USA) Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin Kondensatoren - Beispiele Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin
