Prof. Dr. Walter Arnold Lehrstuhl für Materialsimulation Universität

Prof. Dr. Walter Arnold
Lehrstuhl für Materialsimulation
Universität des Saarlandes
3. Dezember 2014
Musterlösung des 1. Übungsblatt
Physik I für MWWT
Physikalische Grundlagen, Mathematische Grundlagen I
1. Physikalische Grundlagen: Einheiten und Größen
[3 + 3 + 1 Punkte]
a) Bei einem Brennwert von 250 kcal pro 100 g und einer Masse von 320 g ergibt sich für die
Pizza eine Energiemenge von
250 kcal
· 320 g = 800 kcal.
100 g
(1)
Die Einheit der Kalorie findet heute vor allem Anwendung bei Nährwertangaben. In der
Physik ist hingegen die Einheit Joule gebräuchlich. Die Energiemenge muss daher zunächst
in Joule umgerechnet werden.
Eine Kalorie ist definiert als Wärmemenge, die benötigt wird, um 1 g Wasser um 1 K zu
kJ
besitzt,
erwärmen. Da flüssiges Wasser eine spezifische Wärmekapazität von 4,1868 kg·K
entspricht 1 Kalorie etwa 4,1868 Joule. Damit ergibt sich:
Eth = 800 kcal = 3349 kJ = 3,349 · 106 J.
(2)
Löst man die Formel der kinetischen Energie nach der Geschwindigkeit v auf, so ergibt
sich für diese:
s
r
m
2Ekin
6,698 · 106 J
v=
=
= 4575
= 16470,8 km/h.
(3)
m
0,32 kg
s
Löst man analog die Formel der potentiellen Energie nach h auf, ergibt sich:
h=
Epot
= 1067 km.
m·g
(4)
Bemerkung: Bei der Lösung wurde angenommen, dass der senkrechte Wurf in einem homogenen Schwerefeld ausgeführt wird. Die erreichte Höhe liegt jedoch weit außerhalb eines
Bereichs, für den dies angenommen werden kann. Berechnet man die Höhe mithilfe der
potentiellen Energie im Gravitationspotential der Erde, so erhält man
h=γ
MErde · m
= 7,651 · 106 m,
Epot,0 − ∆Epot
(5)
wobei Epot,0 = 2,0023 · 107 J die potentielle Energie auf der Erdoberfläche und ∆Epot =
3,349 · 106 J die zugeführte Energie ist.
b)
i.
[ε0 ] =
C2
A·s
[Q]2
=
1
=1
,
2
2
[F ] · [d]
N·m
V·m
ε0 = 8,854 · 10−12
A·s
.
V·m
(6)
[F ] · [d]
N·m
N
=1 2
= 1 2,
2
[I] · [s]
A ·m
A
µ0 = 1,257 · 10−6
N
.
A2
(7)
ii.
[µ0 ] =
iii.
[γ] =
m3
[F ] · [d]2
N · m2
=
1
=
1
,
[M]2
kg · s2
kg2
γ = 6,674 · 10−11
m3
.
kg · s2
(8)
c) Da im Argument der Exponentialfunktion nur einheitenlose Größen stehen dürfen und t
als Zeitspanne die Einheit 1 s hat, muss auch τ die Einheit 1 s haben. Zum Zeitpunkt
t = τ gilt
N0
τ
N(t = τ ) = N0 · e− τ = N0 · e−1 =
,
(9)
e
d.h. die Stoffmenge ist auf das 1e -fache der ursprünglichen Menge zurückgegangen. Die
Konstante τ wird daher auch als Zerfallskonstante bezeichnet und ist mit der Halbwertszeit
(Abfall der Stoffmenge auf die Hälfte der ursprünglichen Menge) verwandt.
2. Mathematische Grundlagen: Vektorrechnung im R3
[2 + 2 + 3 Punkte]
 
 
0
x
a) Die Endpunkte der Strecke sind gegeben durch die Vektoren r1 = 1 und r2 =  0 .
4
0
 
x

Die Länge der Strecke ist also der Betrag des Richtungsvektors r2 − r1 = −1:
−4
|r2 − r1 | =
√
!
x2 + 12 + 42 = 9 |()2
√
x2 + 17 = 81 | − 17 |
x = ±8
Mit der Bedingung, der Punkt solle auf der negativen x-Achse liegen, folgt daher
 
−8

0 .
r2 =
0
(10)
(11)
(12)
(13)
b) Der Flächeninhalt eines Parallelogramms, welches von den Vektoren a und b aufgespannt
wird, lässt sich mithilfe des Kreuzprodukts bestimmen. Der Vektor n = a × b steht
dabei senkrecht auf der Fläche des Parallelogramms und sein Betrag entspricht dem
Flächeninhalt. Ein von den Vektoren a und b aufgespanntes Dreieck hat dementsprechend den Flächeninhalt A = 12 · |a × b|.Zur Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks benötigt man also zwei seiner Seiten in vektorieller Darstellung. Hier beispielsweise
a = r1 − r2 , b = r1 − r3 :
 
   
8
−12 −1
1     1 
1 √
(14)
A = · 1 × 4 = · −36 = · 2529 ≈ 25.
2 2 2 | {z }
33
4
4
=|n|≈50
| {z }
=n
c) Zur Normierung wird ein Vektor durch seinen Betrag geteilt. Es ergibt sich hier also:


−12
1
n
· −36 .
(15)
=√
n0 =
|n|
2529
33
Für das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren a und b gilt:
a · b = |a| · |b| · cos γ,
(16)
wobei γ der von a und b eingeschlossene Winkel ist. Umgekehrt lässt sich daher also
mithilfe des Skalarproduktes auch der Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen:
a·b
γ = arccos
.
(17)
|a| · |b|
Die Neigung des Dreiecks gegenüber der x1 x2 -Ebene entspricht dem Winkel zwischen
den beiden
  Flächennormalen. Der normierte Normalenvektor der x1 x2 -Ebene ist dabei
0

n12 = 0. Damit ergibt sich hier der Winkel
1
n0 · n12
33
γ = arccos
= arccos √
≈ 48,99◦ .
(18)
|n0 | · |n12 |
2529
|{z} |{z}
=1
=1
3. Mathematische Grundlagen: Grenzwerte und
Differentialrechnung I
[6 Punkte]
a) Produktregel, innere Ableitung:
d 2
x · cos(5x − 7) = 2x · cos(5x − 7) − 5 · x2 · sin(5x − 7)
dx
b)
d x
α = x · αx−1
dα
c) Darstellung des Logarithmus zur Basis a durch den natürlichen Logarithmus ln:
d
d ln(x)
1
loga (x) =
=
dx
dx ln(a)
x · ln(a)
d) Quotientenregel:
d2 t2 − 5t + 4
2 · (t − 9)
=
2
2
dt
(t − 3)
(t − 3)4
e) Definition der Potenz ar := exp(r · ln(a)):
d −ξ
d
7 =
exp(−ξ · ln(7)) = − ln(7) · exp(−ξ · ln(7)) = − ln(7) · 7−ξ
dξ
dξ
f) Unter der Annahme, dass log(x) wie in der Literatur üblich den Logarithmus zur Basis
10 meint:
u(y) 1
d
v ′ (y)
e
d
1
d
′
=
u (y) −
log
log(exp(u(y))) −
log(v(y)) =
dy
v(y)
ln(10) dy
dy
ln(10)
v(y)
g)
d
sin(x2 ) · e−π |x=√π = 2x · cos(x2 ) · e−π |x=√π
dx
= 2π · cos(π 2 ) · e−π
≈ −0,245098082979150906202582
h) Es gilt: sin(x) ∈ [−1, 1] ∀x ∈ (−∞, ∞)
Damit:
lim
x→∞
sin(x)
=0
x
i) Linksseitiger Grenzwert:
lim−
x→0
cos(x)
= −∞
x
Rechtsseitiger Grenzwert:
cos(x)
= +∞
x→0
x
Somit existiert kein beidseitiger Grenzwert!
lim+
j) Die Exponentialfunktion wächst schneller als jedes Polynom!
x2
=0
x→∞ ex
lim x2 · ex = lim x2 · e−x = lim
x→−∞
x→∞
k) Es gilt:
sinh(x)
cosh(x)
ex − e−x
= x
e + e−x
1 − e−2x
=
1 + e−2x
tanh(x) =
lim e−2x = 0
x→∞
Damit folgt:
1−0
1 − e−2x
=
=1
−2x
x→∞ 1 + e
1+0
lim tanh(x) = lim
x→∞
l) Mit der Identität sin(x) = − sin(−x) findet man:
− sin(x) + x2 · sin(x)
− sin(x) − x2 · sin(−x)
=
x−1
x−1
x2 − 1
= sin(x) ·
x−1
= sin(x) · (x + 1)
Damit gilt:
lim
x→1
− sin(x) − x2 · sin(−x)
= lim sin(x) · (x + 1) = sin(1) · 2
x→1
x−1