Ubungen zur Physik 2 – Lösungen zu Blatt 7

Prof. T. Esslinger
Dr. T. Donner
Dr. F. Brennecke
Übungen zur Physik 2 – Lösungen zu Blatt 7∗
(24. April 2013)
I.
INDUKTION
1. Nach dem Induktionsgesetz ist die Induktionsspannung Uind = −Φ̇m , wobei Φm der magnetische Fluss durch
die Leiterschleife ist. Die von der Leiterschleife eingeschlossene Fläche ist A = (x0 − vt)l, mit irgendeinem
Anfangswert x0 und der Zeit t. Diese Fläche nimmt also mit der Zeit ab, da sich der Draht nach rechts bewegt.
Da die Fläche A senkrecht zum Magnetfeld steht ist der magnetische Fluss gegeben durch Φm = AB und die
Induktionsspannung durch
Uind = −Φ̇m = −ȦB = +vlB.
(1)
Nach der Lenzschen Regel muss der Strom gegen den Uhrzeigersinn fliessen, damit er ein Magnetfeld erzeugt,
das seiner Ursache entgegenwirkt: Durch die Bewegung des Leiters nimmt die Fläche und damit der magnetische
Fluss durch diese ab; um diesem entgegen zu wirken, erzeugt der Induktionsstrom ein zusätzliches Magnetfeld
das in die gleiche Richtung wie das bestehende Magnetfeld weist. Im beweglichen Draht fliesst der Strom also
nach unten, und kann beschrieben werden durch das Stromelement I~l = −Ilêy .
Die Stromrichtung kann man sich auch mit Hilfe der Lorentzkraft herleiten: Positive Ladungen im beweglichen
Draht haben eine Geschwindigkeit in positiver x-Richtung. Da das Magnetfeld aus der Ebene heraus zeigt, werden diese Ladungen in negativer y-Richtung beschleunigt. Der untere Auflagepunkt des Drahtes kann somit als
Quelle positiver Ladungen aufgefasst werden, und die das höhere Potential (”Pluspol”) der Induktionsspannung
liegt am unteren Abgriff.
Die Spannung Uind ist also, gemessen zwischen dem oberen und dem unteren Kontakt des beweglichen Leiters,
Uind = 3.6mV.
2. Die konstante Induktionsspannung führt zu einem konstanten Strom durch den Widerstand, der gegeben ist
durch I = Uind /R = lvB/R = 3.6 × 10−4 A. Die elektrische Leistung ist dann
Pel = Uind I =
(lvB)2
= 1.3 × 10−6 W.
R
(2)
Um die mechanische Leistung zu berechnen, benutzen wir, dass die magnetische Kraft auf den Draht, der vom
~ = −IlBêx gegeben ist. Um den Draht gegen diese Kraft mit
Strom I durchflossen ist, durch F~ = I~l × B
Geschwindigkeit v zu bewegen, wird die Leistung Pmech = vF = vIlB = (vlB)2 /R = Pel benötigt, wobei im
letzten Schritt der Strom wie oben ausgedrückt wurde.
II.
WASSERSTOFFATOM
Im Wasserstoffatom bewegt sich das Elektron mit einem Radius von r = 5.29 × 10−11 m um das Proton.
1. Die Umlaufkreisfrequenz ergibt sich aus dem Coulombgesetz
s
2
1
e
1
e2
me ω 2 r =
⇒ω=
≈ 2π · 6.6 · 1015 Hz,
2
4π0 r
4π0 me r3
∗ Aufgaben
und Lösungen sind auch erhältlich unter www.quantumoptics.ethz.ch → Lectures
(3)
2
weil die Zentripetalkraft gleich der Coulombanziehung ist. Somit stellt das Elektron ein Kreisstrom I = e/T =
eω/(2π) dar, der ein Magnetfeld der Stärke
r
µ0 I
µ0 e2
1
= 12.5 T
(4)
B=
=
2r
4πr 4π0 me r3
im Zentrum der Bahn erzeugt.
2. Die Änderung der potentiellen Energie des Protons beträgt
~ = µp B = 1.8 × 10−25 J.
U =|−µ
~ p · B|
(5)
3. Der Drehimpuls der Elektronenbewegung beträgt
r
2
L = me r ω =
1
me e2 r
4π0
(6)
und das magnetische Moment
µe = I · A =
eω
1
e
· πr2 = eωr2 =
L.
2π
2
2me
(7)
Die potentiellen Energie durch die Wechselwirkung zwischen dem magnetischen Moment des Elektronenkreisstroms und dem magnetischen Moment des Protons beträgt:
U = µp · B = µp
µp µe
µ0 I
= µ0
2r
2πr3
(8)
Für Interessierte: Die Wechselwirkung des Elektrons mit dem magnetischen Moment des Protons bezeichnet
man als ”Hyperfein-Wechselwirkung”. Die Ergebnisse, die wir hier mit klassischer Physik gewonnen haben, stellen
selbstverständlich nur eine Näherung für das Wasserstoffatom dar, denn korrekterweise muss dort quantenmechanisch
gerechnet werden. Wir wollen kurz unsere Ergebnisse mit den quantenmechanischen vergleichen: In der Quantenh
mechanik ist der Drehimpuls quantisiert, er tritt nur in ganzzahligen Vielfachen von 2π
= h̄ auf: L = l · h̄ (h ist das
q
1
Plancksche Wirkungsquantum). Wenn wir oben den Wert für L ausrechnen, finden wir, dass L = 4π
me e2 r ' h̄,
0
d.h. wir betrachten in unserer Rechnung p−Elektronen mit l = 1. Das magnetische Moment, das zum Bahndrehimeh̄
e
L = 2m
l, wobei l eine
puls L des Elektrons korrespondiert, lautet in der quantenmechanischen Rechnung µe = 2m
e
e
eh̄
ganze positive Zahl ist. Die Grösse µB = 2me heisst Bohrsches Magneton. Formal sind das klassische und das
quantenmechanische Ergebnis identisch. Einen grösseren Unterschied zwischen klassischer und quantenmechanischer
Rechnung erhält man für die Änderung der potentiellen Energie: wir haben z.B. den Spin des Elektrons vernachlässigt
und unsere Rechnung gibt den Fall l = 0 nicht korrekt wieder. Was hingegen korrekt ist, ist die 1/r3 -Abhängigkeit
der potentiellen Energie.
III.
MASSENSPEKTROMETER
1. Für negativ geladene Ionen ergibt sich beispielsweise folgender Aufbau und Bahnverlauf:
E
B
3
2. Die kinetische Energie des Ions entspricht der Potentialdifferenz, die es durchlaufen hat:
r
1
2neU
2
mv = qU und somit v =
2
m
(9)
3. Auf das Ion wirkt die Lorentzkraft und es durchläuft eine Kreisbahn, weil die Kraft immer senkrecht auf seiner
Bewegungsrichtung steht.
4. Die Zentripetalkraft der Kreisbewegung wird von der Lorentzkraft aufgebracht:
mω 2 r = qvB.
(10)
Damit folgt
v=
rqB
.
m
(11)
Nach der Zeit T hat das Ion den Weg
x = v · T = πr
(12)
zurückgelegt, also eine halbe Umdrehung auf der Kreisbahn im Magnetfeld.
5. Ein elektrisches oder magnetisches Feld alleine würde als Massenspektrometer nicht ausreichen. Das elektrische
Feld legt die kinetische Energie der Teilchen fest, das Magnetfeld den Impuls. Nur die Kenntnis von beiden
ermöglicht die Bestimmung von m (bzw. q/m), weil die Geschwindigkeit aus dem Problem herausfällt.