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10. Arbeit, Energie, Leistung
© Peter Riegler, FH Wolfenbüttel
10.0 Mathematische Grundlagen
à Skalarprodukt
Das Skalarprodukt
÷a” ÿ ÷b” = a b + a b + a b = » ÷a” » » ÷b” » cosHgL
x x
y y
z z
÷”
ist das Produkt der Länge des Vektors ÷a” mit dem Längenanteil von b in ÷a” -Richtung (und umgekehrt).
÷”
÷”
÷”
÷”
Der Längenanteil von b in ÷a” -Richtung ist » b » cosHgL. fl÷a” ÿ b = » ÷a” » » b » cosHgL
÷”
÷”
÷”
Der Längenanteil von ÷a” in b -Richtung ist » ÷a” » cosHgL. fl÷a” ÿ b = » b » » ÷a” » cosHgL
*
b
γ
*
bparallel
*
bsenkrecht
*
a
÷”
÷”
Inbesondere ist ÷a” ÿ b = 0, wenn ÷a” senkrecht auf b steht.
à Integral von "Funktion mal Ableitung"
Welche Funktion ergibt nach x abgeleitet f HxL ÿ f ' HxL?
energie-3.nb
2
‡ f@xD f '@xD x
f@xD2
2
10.1 Arbeit
"Aufwand", um Körper um h zu heben?
a) direkt
b) über Rampe
l=
h
α FG
FG
a)
h
sin α
α
b)
a) benötigte Kraft: -FG , zurückgelegter Weg: h
b) benötigte Kraft: -FG sina, zurückgelegter Weg: l = h ê sina
fl Das Produkt "Kraft mal zurückgelegtem Weg" ist in beiden Fällen das gleiche.
ö Arbeit W = F ÿ D x
energie-3.nb
3
Eine Kraft, die einen Körper von der Position ”r1 nach ”r2 verschiebt, fügt ihm die mechanische Arbeit
”r ÷ ”
W = Ÿr” 2 F „ ÷x”
1
zu.
NB:
æ Die SI-Einheit der Arbeit: [W] = 1 kg m2 /s2 = 1 J (Joule).
÷”
÷”
æ Zum Skalarprodukt F „ ÷x” liefert nur die Komponente von F einen Beitrag, die parallel zu „ ÷x” ist.
Beispiel: Arbeit bei verschiedenen Wegen
y
B
D
Weg I
Weg II
A
C
h
FG
~
x
Weg I:
÷ ” i 0 yz
i0y
benötigte Kraft F = jj
z , Positionsverschiebung D ÷x” = jj zz
km g {
kh{
÷ ” ÷”
fl W = F ÿD x = mg h
I
Weg II: zerlegen in die drei Teilwege A Ø C , C Ø D, D Ø A
A Ø C:
è
÷ ” i 0 yz
i xy
benötigte Kraft F = jj
z , Positionsverschiebung D ÷x” = jj zz
km g{
k0{
÷”
= F ÿ D ÷x” = 0
flW
AØB
C Ø D:
÷ ” i 0 yz
i0y
benötigte Kraft F = jj
z , Positionsverschiebung D ÷x” = jj zz
km g{
kh{
÷ ” ÷”
= F ÿD x = m g h
flW
CØD
x
energie-3.nb
4
D Ø B:
è
÷ ” i 0 yz
i -x y
benötigte Kraft F = jj
z , Positionsverschiebung D ÷x” = jj zz
km g{
k0 {
÷ ” ÷”
= F ÿD x = 0
flW
DØB
fl WII = WAØB + WCØD + WDØB = m g h = WI
Wirken keine Reibungskräfte, ist die mechanische Arbeit, die benötigt wird, um einen Körper von Positon ”r1 nach
”r zu bewegen, unabhängig vom tatsächlichen Weg. Das Arbeitsintegral
2
”r ÷ ”
W = Ÿr” 2 F „ ÷x”
1
hängt nur von Anfangs- und Endposition ab. Solche Kräfte nennt man konservative Kräfte.
Hängt die Arbeit, die gegen eine Kraft verrichtet wird, vom Verlauf des Weges ab, nennt man die Kraft dissipativ.
10.2 Potentielle Energie
÷”
Die potentielle Energie eines Körpers ist die Arbeit, die man gegen eine konservative Kraft -F verrichten muss,
um ihn relativ zu einem Bezugspunkt ”r0 zu verschieben.
” ÷”
Epot Hr”L = Ÿr”r F „ ÷x”
0
Beispiel: Epot beim Heben eines Körpers
Der Körper werde von 0 auf h gehoben. Berechnen Sie die potentiellen Energien an Anfangs- und Endort
relativ zu den Bezugspunkten a) y = 0 , b) y = h ê 2. Berechnen Sie in beiden Fällen die Änderung der
potentiellen Energie von Anfangs- zu Endort.
Bezugspunkt a):
Epot,a HyL = Ÿ0y m g „ yè = @m g yè D0 y = m g y
flEpot,a H0L = m g 0 = 0
flEpot,a HhL = m g h
flDEpot,a = Epot,a HhL - Epot,a H0L = m g h
Bezugspunkt b):
y
Epot,b HyL = Ÿhê2
m g „ yè = @m g yè Dhê2 y = m g Iy - ÅÅÅÅh M
2
flEpot,b H0L =
- ÅÅÅÅ1
2
mgh
flEpot,b HhL = ÅÅÅÅ1 m g h
2
flD Epot,b = Epot,b HhL - Epot,b H0L = m g h = DEpot,a
energie-3.nb
5
Die Änderung der potentiellen Energie (die verrichtete Arbeit) hängt nicht vom Bezugspunkt ab.
Beispiel: D Epot beim Fallen eines Körpers um h
D Epot = Epot H0L - Epot HhL = -m g h < 0
Potentielle Energie wird frei (Körper verrichtet Arbeit).
Gradient
÷”
Die potentielle Energie enthält die volle Information über die Kraft F , die benötigt wird, um einen Körper potentielle
÷”
÷”
Energie zuzufügen, bzw. über die Kraft F phys = -F , gegen die Arbeit verrichtet wird.
Wie erhält man aus
” ÷”
”
Epot Hr”L = Ÿr”r F „ ÷x” = Ÿ”rr HFx „ x + F y „ y + Fz „ zL
0
0
÷”
÷”
die Kraft F bzw. F phys ?
„Epot
y
ij ÅÅÅÅÅÅÅÅ
jj „xÅÅÅÅÅÅ zzz
z
jj
÷ ” j „Epot zzzz ÷ ”
ÅÅÅÅÅÅ zz =“ Epot
öUmkehrung der Integration: F =jjjj ÅÅÅÅÅÅÅÅ
„y z
z
jjj
jj „Epot zzz
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
k „z {
÷”
Die Operation “ heißt Gradient.
Kennt man das Potential, d.h. die potentielle Energie eines Körpers, kann man die wirkende Kraft auf den Körper
durch Gradientenbildung berechnen:
„Epot
ij - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ yz
jj
„x z
zz
jj
jj „Epot zzz ÷ ”
÷”
j
ÅÅÅÅÅÅ zz =-“ Epot
F phys =jj - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
„y z
jjj
zz
jj „Epot zzz
ÅÅÅÅÅÅ
k - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
„z {
÷”
Vorteil: Statt mit Vektoren (F ) muss man nur mit Skalaren (Epot ) rechnen.
Beispiel: Berechnung der Kraft bei bekanntem Potential
k1
k2
Epot = x2 + y2 + m g z
2
2
x2 k1
y2 k2
g m z + + 2
2
energie-3.nb
6
<< Calculus`VectorAnalysis`
−Grad@Epot , Cartesian@x, y, zDD
8−x k1 , −y k2 , −g m<
fl konstante Kraft in negative z-Richtung, elastische Kräfte in x- und y-Richtung zum Ursprung hin.
10.3 Kinetische Energie
Welche Arbeit wird verrichtet, um einen Körper von v1 = vIt1 M auf v2 = vIt2 M zu
beschleunigen?
Benötigte Kraft: F = m a = m v°
Verrichtete Arbeit: W = Ÿxx2 F „ x
1
„x = v „t
m 2
fl Ÿ F „ x = Ÿ m v° v „ t = ÅÅÅÅÅ
v
2
m
m
fl W = ÅÅÅÅÅ
v2 2 - ÅÅÅÅÅ
v1 2
2
2
Die verrichtete Arbeit wird als Bewegungsenergie oder kinetische Energie Ekin bezeichnet.
Ein Körper, der sich mit Geschwindigkeit v” bewegt, hat die kinetische Energie
m 2
Ekin = ÅÅÅÅÅ
v .
2
Sie ist gleich der Arbeit, die am Körper verrichtet werden muss, um ihn aus der Ruhe auf die Geschwindigkeit v”
zu beschleunigen.
NB: Die kinetische Energie hängt nur vom Betrag der Endgeschwindigkeit ab (d.h. nicht von der Richtung der Endgeschwindigkeit, der Art und Weise der Beschleunigung oder der Beschleunigungsdauer.)
Beispiel: Änderung der kinetischen Energie beim freien Fall um eine Strecke h
z.B. Fall aus der Ruhe:
h = ÅÅÅÅ1 g t2
2
v=gt =
è!!!!!!!!!!!
2gh
m 2
v = m g h = -D Epot
fl D Ekin = ÅÅÅÅÅ
2
fl D Ekin + D Epot = 0
energie-3.nb
7
10.4 Energie und Energieerhaltung
Energieerhaltungssatz der Mechanik
Die mechanische Energie E = Ekin + Epot ist konstant
„E
E = Ekin + Epot = konst. bzw. ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = 0,
„t
wenn die Kräfte, gegen die Arbeit verrichtet wird, konservativ sind.
Mittels Energieerhaltung lassen sich oft dynamische Fragestellungen beantworten, ohne die Bewegungsgleichung zu
lösen.
Beispiel: Geschwindigkeit eines ungedämpften Federpendels bei Durchgang durch die Ruhelage
v = x
m
x
Bewegungsgleichung (vgl. Kap. 8):
m x– = - k x
Lösung der Differentialgleichung?
Energiebetrachtung:
Kraft zum Auslenken der Feder: F = k x
fl Epot bei Auslenkung um x: Epot HxL = Ÿ0x F „ xè = Ÿ0x k xè „ xè = A ÅÅÅÅ1 k xè 2 E
2
Gesamtenergie bei Maximalauslenkung x = A:
Epot HAL = ÅÅÅÅ1 k A2
2
Ekin HAL = 0
fl Eges HAL = Epot HAL + Ekin HAL = ÅÅÅÅ1 k A2
2
Gesamtenergie bei Durchgang durch die Ruhelage x = 0:
Epot H0L = 0
m 2
Ekin H0L = ÅÅÅÅÅ
v
2
m 2
fl Eges H0L = Epot H0L + Ekin H0L = ÅÅÅÅÅ
v = Eges HAL = ÅÅ1ÅÅ k A2
2
k #
fl v = "######
ÅÅÅÅÅ
A
m
2
0
x
= ÅÅÅÅ1 k x2
2
energie-3.nb
8
10.5 Leistung
Die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit bzw. die Energieänderung pro Zeiteinheit
„E
P = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
„t
÷”
wird als Leistung bezeichnet. Wegen „ E = F „ ÷x” gilt
÷ ” „x” ÷ ” ”
P = F ÅÅÅÅ
ÅÅ = F v .
„t
NB:
æ Die Leistung ist wie die Energie eine skalare Größe.
æ Die SI-Einheit der Leistung ist [P]=1 J/s = 1 W (Watt)
æ 1PS = 736W ist keine gesetzlich zulässiges Maß für Leistung!
Beispiel: Abgegebene Leistung eines PKW-Motors
Ein PKW mit Gewicht 10kN fährt auf horizontaler Strecke mit Geschwindigkeit
80 km/h. Die Reibungszahl für die Räder auf Asphalt sei m = 0.02 und die Reibung aufgrund des Luftwiderstandes 0.12 kN. Welche Leistung gibt der Motor ab?
FG = 104 ; µ = 0.02; Fr,Luft = 0.12 103 ;
Fahrtgeschwindigkeit (in m/s):
v = 80 ê 3.6
22.2222
Antriebskraft des Motors (in N):
F = µ FG + Fr,Luft
320.
Abgegebene Motorleistung (in W):
P=Fv
7111.11
energie-3.nb
9
10.6 Wirkungsgrad
Der Wirkungsgrad h beschreibt das Verhältnis von genutzter Arbeit WN zu aufgewandter Arbeit WA , bzw. der
entsprechenden Leistungen PN , P A :
W
P
WA
PA
h = ÅÅÅÅÅNÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅNÅ ÅÅ
Beispiel: Mechanischer Wirkungsgrad eines PKW-Motors
Die tatsächlich aufgebrachte Motorleistung im vorangehenden Beispiel betrage 8.9kW. Bestimmen Sie den
mechanischen Wirkungsgrad.
η = P ê H8.9 103 L
0.799001
Der berechnete Wirkungsgrad bezieht sich auf das Fahrwerk des Autos. Er gibt an, wieviel Motorleistung
"auf die Straße" gebracht wird. Man kann auch den Wirkungsgrad des Motors selbst betrachten. Er gibt an,
wieviel Energie, die bei der Verbrennung von Benzin frei wird, in mechanische Energie umgewandelt wird.
Der größte Teil dieser Energie geht durch Wärme (und Schall) verloren.
Lernziele
æ Physikalische Konzepte hinter den Begriffen Arbeit, Energie, kinetische Energie, potentielle Energie, Leistung,
Wirkungsgrad erklären können.
æ Erklären können, warum die Energie eines abgeschlossenen Systems erhalten bleibt.
æ Kinetische und potentielle Energie bei einfachen mechanischen Bewegungen berechnen können (d.h. kinematische
Größen sind bekannt).
æ Dynamik einfacher mechanischer Bewegungen aus Energiebetrachtung berechnen können.
energie-3.nb
10
Literatur
obligatorisch
Tipler: 6 oder Feynman: 13, 14
weiterführend
Tipler: 8.3; Feyman: 19.4, Gerthsen: 1.5