benannt das elektrische feld

Einheiten
Bisher alles im cgs-System und meistens für das Vakuum abgeleitet.
Für Einheiten: in SI denken sowie Materie berücksichtigen:
Für das elektrische Feld und Materie galt:

D - dielektrische Verschiebung


D  E
 - Dielektrizitätskonstante wegen elektrischer Dipole

P - elektrische Polarisation
 

D  E  4P
In SI gilt:


D   0 E
 0  8,854  10 12
A s
V m
Analog für magnetische Felder: es können magnetische Dipole existieren


B   0 H
 - Permeabilität
 0 - magnetische Feldkonstante,  0  1,2566
Es gilt auch:
 

B  H  4M
c
V s
Am
1
 0 0


M - Magnetisierung, divM - magnetische Ladung

H - Magnetisches Feld in der Materie
Es existieren Molekularströme, magnetische Momente von Atomen, etc.
 

Also: H  B  4M magnetische Feldstärke
Oft gilt: (im cgs)


M  H
 - magnetische Suszeptibilität
 


B  H  4H  H
  1  4
Für SI und Materie lassen sich die Maxwell-Gleichungen folgendermaßen schreiben:
1


B
rotE  
t

divB  0
homogene

  D
rotH  j 
t

divD  
inhomogene
Poyntingvektor
beschreibt
Dichte
und
Richtung
des
Energietransport
in
elektromagnetischen Welle (Energieflussdichte).


c  
S
EH
4

  
S  EH
(in Materie)
(in SI)
Energiedichte:
wem 

1    
ED BH
8

falls     1 im Vakuum
Einheiten
E   V
m
D  V  As
B 
m Vm
m
V  A s
m
3

V  A s
m
3
H  
Vs
2
Vs
m
Ws

m
3

2

Am
Vs
J
m3
 wem ist die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes
S   V  Vs2  Am 
m m
Vs
J
m2s

Energie
Leistung

Fläche  Zeit
Zeit

Nochmal: Poyntingvektor S ist die Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes.

S
die Impulsdichte des elektromag. Feldes
Speziell ist
c2
Anschauliche Erklärung für elektromagnetische Wellen:
 1 
  E  B  0 (*)
c

Ein veränderliches Magnetfeld B erzeugt ein elektrisches

Wirbelfeld   E
2
einer
 1  4 
 B  E 
j (**)
c
c

Ein veränderliches elektrisches Feld E oder ein elektrischer

Strom erzeugen ein magnetisches Wirbelfeld   B
Aus den Maxwellgleichungen folgt, dass es elektromagnetische Wellen geben muss: Wird
eine elektrische Ladung beschleunigt, so hat diese ein veränderliches Magnetfeld zur Folge
(**). Dieses induziert (*) ein elektrisches Wirbelfeld, das wieder ein Magnetfeld erzeugt, usw.
+
B
E
B
E
E
B
Man sieht, dass sowohl das elektrische als auch das magnetische Feld senkrecht zur
Ausbreitungsrichtung schwingen.
4.4 Allgemeine Lösung der Maxwellgleichungen
Um eine allgemeine Lösung zu finden, werden die Maxwellgleichungen zunächst durch die

Einführung der Potenziale  und A vereinfacht. Die allgemeine Lösung besteht aus der
allgemeinen homogenen Lösung (Wellenlösungen) und einer partikulären Lösung
(retardierende Potenziale).

Die Potenziale  und A werden so eingeführt, dass die homogenen Maxwellgleichungen
 
divBr , t   0
 
 
1 Br , t 
rotE r , t  
 0 erfüllt sind.
c t
- Ein quellenfreies Feld kann als Rotationsfeld geschrieben werden:
 
 
Br , t   rotAr , t  (*)
Mit diesen drei Gleichungen folgt:
3
 
 
1 Ar , t  
0
rot  E r , t  

c
t



- Ein wirbelfreies Feld kann als Gradientenfeld geschrieben werden:
 
 

1 Ar , t 
(**)
E r , t    grad r , t  
c t


Die sechs Felder E und B können damit auf vier Felder reduziert werden, und zwar auf das

skalare Potenzial  und das Vektorpotenzial A . Die Gleichung (*) ist die gleiche wie in der
Magnetostatik, bei (**) taucht ein Zusatzterm auf.

Die Feldgleichungen für  und A ergeben sich aus den inhomogenen Maxwellgleichungen.

Aus divE  4 und (**) folgt:

1 divA
 
 4
c dt
skalar, eine Gleichung


 E
j
Aus rotB   4 folgt:
c
c


 E
j
rot rotA   4
c
c



Wegen rot rotA  A  grad divA folgt



 E
j
 A  grad divA   4
c
c
Wegen (**) folgt
 




j
1  r , t  1  2 Ar , t 
 A  grad divA  grad

 4
2
2
c t
c
c
t

 1 2 A
4 
  1  
A 
 grad  divA 

j

c t 
c

c 2 t 2
Vektoriell, drei Gleichungen

 Vier gekoppelte Differenzialgleichungen für die Felder  und A .
4
4.4.1 Entkopplung durch Lorenzeichung
(benannt
nach
Ludwig
Valentin
Lorenz
(1829-1891),
im
Gegensatz
zur
Lorentztransformation, benannt nach Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928), Nobelpreis 1902)



Die Potenziale  und A sind durch die physikalischen Felder E und B nicht eindeutig

festgelegt. Die folgende Transformation ändert das B -Feld nicht:
 
Ar , t  
 

Ar , t   gradr , t 
(~)
Der Zusatzterm ist die allgemeine Form eines Terms, dessen Rotation verschwindet.

Damit auch das E -Feld unverändert bleibt, muss gleichzeitig das skalare Potenzial
mittransformiert werden:


 r , t    r , t  

1 r , t 
c t
(~~)


Die Transformation (~), (~~) heißt Eichtransformation. Die Felder E und B ändern sich

nicht unter einer Eichtransformation mit einem beliebigen skalaren Feld  r , t  .
Wegen der Eichinvarianz kann man eine skalare Bedingung and die Potenziale stellen, die

durch geeignete Wahl der skalaren Funktion  r , t  erfüllt wird.
Hier wählen wir die Lorenzeichung:
 1 
divA 
0
c t
Lorenzeichung
(Für beliebige Felder wäre die linke Seite dieser Gleichung eine skalare Funktion
Transformation fügt den Term
 
2 
t 2 c 2
 
2 
2
t c
2
dazu. Man kann nun

 r , t 

f r , t   0 . Die
so wählen, dass
  f , dann erfüllen die Potenziale die Bedingung der Lorenzeichung. Einfacher: man gibt
einfach die Eichung vor.)
5
Mit der Lorenzeichung werden die vier Gleichungen



1  2 r , t 
 r , t  
 4 r , t 
c 2 dt 2
(+)
 
 
1  2 Ar , t 
4  

j r , t 
Ar , t  
c
c 2 t 2
(++)
für die Felder zu:
Damit haben wir vier entkoppelte Differenzialgleichungen für die Felder  , Ax , A y und Az .
Die Lorenzeichung hat zur Entkopplung der Gleichungen
und damit zu einer wesentlichen
Vereinfachung geführt.
Die Gleichungen
sind zusammen mit (*), (**) und der Lorenzeichung äquivalent zu den
Maxwellgleichungen.
Wegen der Lorenzeichungsgleichung sind nur drei der vier Felder voneinander unabhängig.
In der Mechanik gibt es Wellengleichungen, die mathematisch zu Gleichungen
äquivalent
sind, z.B. die Dichtewellen (Schallwellen).
Jede Komponente in (++) hat die gleiche Struktur wie (+). Daher Demonstration der Lösung
nur für eine Komponente ((+)).
Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung (+) hat die Form:

 r , t    hom   part
 hom - allgemeine Lösung der homogenen Diff’gl.
 part - spezielle Lösung der inhomogenen Diff’gl.
Lösung der homogenen Differenzialgleichung
Bestimmung der Lösung von
 hom 
1  2 hom
c2
dt 2
0
Mit dem Separationsansatz
(-)

 hom r , t   X x Y  y Z z T t 
6
Wird (-) zu
X  Y  Z  1 T 



0
X
Y
Z c T
(--)
Jeder einzelne Term muss eine Konstante sein, da die anderen Terme nicht von der jeweiligen
Koordinate abhängen. Also gilt:
1 T 
X 
Y 
Z 
  k x2
 k y2
  k z2
  2
X
Y
Z
c T
Mit (--) folgt für die Separationskonstanten:


 2  c 2 k 2  c 2 k x2  k y2  k z2

Lösung der Differenzialgleichung für X x  :
d2X
dx
2
  k x2 X x  
X x   e i  k x x
(analog für Y, Z, T)
- Damit die Lösungen für   nicht divergieren, müssen k x , k y , k z und  reell sein.
- Im Ortsanteil: Benutzung des positiven Vorzeichens der Exponentialfunktion, aber beide
Vorzeichen für k:
   k x ,k y ,k z  
- Im Zeitanteil: berücksichtigen beider Vorzeichen in T t   e i t , dafür Beschränkung auf
positive Frequenzen 

   k   c k  ck  c k x2  k y2  k z2
Damit hat der Separationsansatz zu den Elementarlösungen
7

k xk y k z e


  
 

 k x k y k z  exp i k  r   k t
 


i k r  k t
geführt, die von den drei beliebigen, reellen Parametern k x , k y , k z abhängen.
Die vierte Konstante  ist davon abhängig.
Wegen der Linearität von (-) ist auch jede Linearkombination der Lösung mit verschiedenen
k-Werten auch wieder eine Lösung.
Da das Potenzial  reell ist, nehmen wir den Realteil der Linearkombination:

 

   

 




 hom r , t   Re  a1 k  i  a 2 k exp i k  r  t dk (§)


mit den reellen Funktionen a1 k und a 2 k .
1  2 hom
 0 ist eine Diff’gl. 2. Ordnung in der Zeit.
Die Differenzialgleichung  hom 
c 2 dt 2




Die Lösung wird durch die Anfangsbedingungen  r ,0   G r  und  r ,0   H r  festgelegt.


(§) hat gerade soviel Integrationskonstanten ( a1 k und a 2 k ), wie durch diese


Anfangsbedingungen festzulegen sind. (§) ist damit die allgemeine Lösung der
Differenzialgleichung.
Analoge Lösungen gelten für die Komponenten Ai , hom des Vektorpotenzials.

Die Lösungen  hom und Ahom stellen Wellen dar.
Retardierende Potenziale
Für die allgemeine Lösung wird noch eine partikuläre Lösung, also die spezielle Lösung der



1  2 r , t 
inhomogenen Gleichung  r , t  
 4 r , t  . Die partikulären Lösungen für
c 2 dt 2

 und A heißen retardierende Potenziale.


Dazu führen wir eine Fouriertransformation der Zeitabhängigkeit von  r , t  und  r , t 
durch:
8

 r , t  

 r , t  
1

2  
1

  r exp it d


  r exp it d
2  
Das Vorzeichen der Exponentialfunktion ist Konvention; in der Rücktransformation tritt
jeweils das andere Vorzeichen auf.



Die transformierten Größen  r  und   r  sind Funktionen von r und  .



1  2 r , t 
 4 r , t  ergibt:
Einsetzen in die Wellengleichung  r , t  
2
2
c
dt


2

     r  exp it d  4  r  exp it d
  c2  
 




Die Funktionen exp it  sind für verschiedene  voneinander unabhängig.
Daher muss gelten:
2

     r   4 r 

c 2 

Die Lösung dieser Gleichung wird hier nicht hergeleitet (erfordert Benutzung der Greenschen
Funktion des Laplace-Operators, wurde nicht eingeführt). Die Lösung lautet:
 

r  r 

exp  i

c


 d 3r 
 r     r    
r  r
(%)
Einsetzen in Fouriertransformation ergibt:
9





 



exp
i
t
r
r
c
dd 3 r 




 











2   r  r 


t 



 r  , t 
    d 3r 
r  r

 r , t  
1

 r 


Für eine statische Ladungsverteilung  r , t    r  reduziert sich das auf das bekannte


 r  3
 r , t      d r 
r  r
Für ein zeitabhängiges Phänomen muss aber nicht nur einfach die Zeit t eingefügt werden.
Sondern es ist in der Ladungsverteilung das frühere Zeitargument
t  t   t  t 
 
r  r
c
Einzusetzen.
Das hat folgende physikalische Bedeutung: Wenn sich die Ladungsverteilung zu einem
bestimmten Zeitpunkt t  ändert, dann pflanzt sich die dadurch verursachte Änderung des
 
elektromagnetischen Felds mit der Lichtgeschwindigkeit c fort. In der Entfernung r  r 
ändert sich das Feld daher erst zu einem späteren Zeitpunkt t  t    t . Wegen dieser
verspäteten Änderung heißt die entsprechende Potenziallösung „retardiert“.
(Index ret)

 
 r  , t  r  r  c  3

 ret r , t   
d r
 
r  r
Die analoge Lösung für das Vektorpotenzial heißt:

 


1 j r  , t  r  r  c  3
Aret r , t   
d r
 
c
r  r
Damit gibt es partikuläre Lösungen für die Differenzialgleichung (+) und (++)
10
 part   ret


A part  Aret
In der Lösung der Differenzialgleichung (%) hätte in der Exponentialfunktion auch das andere
Vorzeichen stehen können. Das führt dann zur avancierten Lösung:

 
 r  , t  r  r  c  3

 av r , t   
d r
 
r  r
Jede Linearkombination
 part  a ret  1  a  av
Ist dann ebenfalls eine partikuläre Lösung und ergibt zusammen mit der homogenen Lösung
die allgemeine Lösung.
Anwendungsbeispiel:

 
UKW-Antenne – Abstrahlung am Ort r  , kommt nach Zeit  t  r  r  c beim Radiohörer
an.
Die abgestrahlte Welle wird durch das retardierende Potenzial der oszillierenden
Ladungsverteilung der Sendeantenne beschrieben.
Die avancierende Lösung ist aus Kausalitätsgründen auszuschliessen (sonst käme die Welle
beim Hörer an, bevor sie ausgestrahlt wird).
11