etechnikfuermb

6
112
Dreiphasen-Wechselstrom (Drehstrom)
Im vorangegangenen Kapitel haben wir gesehen, dass die Leistung p(t) im Wechselstromnetz
pulsiert. Sie schwingt mit der doppelten Frequenz von Strom und Spannung. Nur der zeitliche
Mittelwert P ist aber für den Verbraucher relevant. Ist ein Generator mit einer ohmschen Last
belastet, ergibt sich ein Verlauf der Leistung wie in Bild 6.1.
p
u
i
p, i, u = f (t)
p
p
i
ωt
u
Bild 6.1:
Wechselstromgenerator mit ohmscher Last (Zeitverläufe)
Wir gehen der Einfachheit halber von einer verlustlosen Energiewandlung aus. Für das
Drehmoment an der Welle des Generators heißt das, da die Drehzahl eine Konstante ist
m(t ) =
p( t )
= M (1 − cos 2ω t )
Ω
Das Drehmoment setzt sich zusammen aus einem Gleichanteil und einem Wechselanteil, dessen
Amplitude gleich dem Gleichanteil ist. Das Spitzenmoment ist doppelt so groß wie das mittlere
Moment.
Wenn die Last eine reine Kapazität oder eine reine Induktivität ist, wird im Mittel keine Leistung
übertragen. Der Gleichanteil des Drehmomentes an der Welle verschwindet. Der Wechselanteil
bleibt aber ! Sein Betrag ist abhängig vom Effektivwert des Blindstroms.
Ein belasteter Wechselstromgenerator, der eine Frequenz von 50 Hz liefert, brummt mit
100 Hz!
Nun schauen wir uns einmal einen Generator an, der nicht nur eine Wechselspannung erzeugt,
sondern drei Wechselspannungen gleichzeitig. Das wird dadurch erreicht, dass man in das
Magnetfeld drei räumlich gegeneinander versetzte Spulen bringt. Diese Spulen schließen
miteinander jeweils einen Winkel von 60° ein und sind mechanisch gleich aufgebaut.
113
Definiert man für die Spulen noch einen Plus- und einen Minus-Anschluss und mißt man von
Plus-Anschluss der einen zum Plus-Anschluss der anderen, ist der räumliche Versatz 120°.
Bringt man das System in Rotation, entstehen drei zeitlich gegeneinander versetzte
Wechselspannungen.
N
W1
V2
U1
U2
B
V1
W2
S
Bild 6.2:
Dreiphasiger Drehstrom-Generator (Prinzipbild)
Die drei induzierten Spannungen sind
u1 (t ) = u! sin ω t
u2 (t ) = u! sin(ω t − 120° )
u3 (t ) = u! sin(ω t − 240° )
Die drei Spulen sind zunächst einmal nicht elektrisch miteinander verbunden. Man kann also drei
getrennte Stromkreise aufbauen. Wir belasten jetzt alle drei Quellen mit dem gleichen ohmschen
Widerstand. Es kommen drei Ströme zustande, die den gleichen Effektivwert haben. Man spricht
von einer symmetrischen Belastung.
U1
~
i1(t)
u1(t)
R
U2
W2
~
u3 (t)
~
V2
u2(t)
V1
W1
Bild 6.3:
Unverkettetes Drehstromsystem
R
i2(t)
R
i3(t)
114
Die Wellenleistung des Generators ist nun
p(t ) = p1 (t ) + p2 (t ) + p3 ( t ) =
u! 2
(sin 2 ωt + sin 2 (ωt − 120° ) + sin 2 (ωt − 240° ))
R
u! 2
=
(3 − cos 2ω t − cos(2ω t − 240° ) − cos(2ω t − 480° ))
2R

3 u! 2 u! 2 
1
3
1
3
 − cos 2ω t + cos 2ω t +
=
−
sin 2ω t + cos 2ω t −
sin 2ω t 
2 R
2
2
2
2
R

3 u! 2
U2
=3
= P = const.
p( t ) =
2 R
R
Die pulsierenden Leistungen in den drei Phasen kompensieren sich zu Null. Übrig bleibt eine
konstante Leistung, die gleich der Summe der Mittelwerte der drei Einzelleistungen ist. Der
Generator läuft ruhig. Man kann sich relativ leicht klarmachen, dass die Zahl der Phasen
mindestens m = 3 sein muß, wenn man bei symmetrischer Belastung keine Momentenwelligkeit
haben will. Mit m = 2 ist eine Elimination der 100 Hz-Schwingung unmöglich.
Die drei erzeugten Spannungen lassen sich natürlich auch in der komplexen Ebene darstellen.
Hier ist U1 der Bezugszeiger. Er ist reell.
im
U3
U1
U2
Bild 6.4:
6.1
re
Spannungszeiger des Drehspannungs-Systems
Das verkettete Drehstromsystem
Wenn man in dem oben dargestellten unverketteten System zwischen zwei Anschlußklemmen
unterschiedlicher Spulen mißt, ist keine Spannung meßbar. Man kann daher, wenn man will,
die Spulen auch miteinander verbinden, allerdings ohne sie kurzzuschließen oder unmittelbar
parallel zu schalten. Das hat den Vorteil, dass man nun, je nachdem, zwischen welchen beiden
Punkten man mißt, zwei unterschiedlich hohe Spannungen messen kann.
115
Wir betrachten zunächst die Sternschaltung des Generators. Die Anschlüsse U2, V2 und W2
werden miteinander verbunden. Jetzt besitzt der Generator nicht mehr sechs, sondern nur noch
vier Anschlüsse. Mit diesen vier Anschlüssen kann man das gleiche erreichen, wie mit der
unverketteten Schaltung. Man hat aber zwei Leitungen gespart. Der Leiter, der mit dem
Sternpunkt verbunden ist, bekommt die Bezeichnung N für Neutralleiter. Die drei anderen
erhalten den Namen Außenleiter und werden mit L1, L2 und L3 bezeichnet.
L1
~
N
U1
U3
I1
R
IN
U2
~
~
L2
I2
R
I3
L3
Bild 6.5:
R
Generator und Last im Stern geschaltet
Es fließen die gleichen Ströme wie in der unverketteten Schaltung, weil in jeder Masche nach wie
vor nur eine Quelle und ein Widerstand liegen (wenn man den Maschenumlauf richtig wählt!).
Im Neutralleiter fließt die Summe der drei Einzelströme
I N = I1 + I2 + I3 =
U j0
(
e + e j ( −120°) + e j ( −240°) ) = 0
R
Das ist ein erstaunliches Ergebnis ! Bei symmetrischer Last kann man den Neutralleiter auch
weglassen, weil in ihm kein Strom fließt. Wenn man genau weiß, dass die Last symmetrisch ist,
tut man das auch.
Dieses Ergebnis gilt auch für gemischte Lasten und reine Blindlasten. In dem Fall haben die
Ströme alle die gleiche Phasenverschiebung gegenüber der verursachenden Spannung und das
gleichseitige Dreieck der Ströme wird in der komplexen Ebene nur gedreht.
116
im
I3
I2
ϕ
I3
U3
U1
I2
Bild 6.6:
ϕ
re
I1
ϕ U
2
Strom im Neutralleiter bei symmetrischer ohmsch-induktiver Last: IN = 0
Kommen wir nun zurück zu den Spannungen: Wenn man zwischen einen Außenleiter und dem
Sternpunkt misst, erhält man die in einer Spule des Generators induzierte Spannung (Phasenspannung). Man kann aber auch zwischen zwei Außenleitern messen. Dann misst man eine
höhere Spannung.
U 12 = U 1 − U 2 = U − U ⋅ e j (120°) = U (1 − (cos( − 120° ) + j sin( − 120° )))
3
3
= U( + j
) = 3U ⋅ e j 30°
2
2
Die zwischen zwei Außenleitern gemessene verkettete Spannung (Leiterspannung) besitzt einen
Effektivwert, der um den Faktor !3 größer ist als der Effektivwert der Phasenspannung.
im
U31
U23
U3
U1
re
U2
U12
Bild 6.7:
Zeigerbild aller Spannungen bei Sternschaltung
117
Beispiel: In unserem Niederspannungsnetz ist die Spannung an der Wechselstrom-Steckdose
230V. Ein Pol der Steckdose ist mit dem Neutralleiter verbunden. Dieser ist übrigens geerdet.
Der andere Pol ist einer der Außenleiter. Wir messen also eine Phasenspannung. In einer
Kraftsteckdose sind alle Außenleiter und der Neutralleiter verfügbar. Hier misst man dreimal eine
verkettete Spannung von 400V und dreimal eine Phasenspannung von 230V. An die Kraftsteckdose schließt man Drehstromverbraucher an (z.B. Motoren ab 2 kW).
Der wichtigste Leiter in beiden Steckdosen ist übrigens noch nicht erwähnt worden. Er erhält
beim Einstecken als erster Kontakt und verliert ihn beim Herausziehen des Steckers als letzter.
Es ist der Schutzleiter. Er überträgt keine Leistung, sondern schützt unser Leben. Er ist ebenfalls
geerdet und wird mit dem Körper (dem Gehäuse) des Verbrauchers verbunden, falls dieses
leitfähig ist. So ist es jederzeit ungefährlich, metallische Oberflächen elektrischer Geräte zu
berühren, solange der Schutzleiter intakt ist(!). Vorsicht bei beschädigten Kabeln! Ist der
Schutzleiter durchtrennt, was man nicht immer gleich sieht, funktioniert das Gerät
möglicherweise immer noch. Einen Schutz gibt es aber nicht mehr!
Wenden wir uns nun der Dreieckschaltung von Generator und Last zu. Wie wir schon bei der
Stern-Dreieck-Transformation gesehen haben, verschwindet nun ein Knotenpunkt, der
Sternpunkt. Aus dem Vierleiter-Drehstromsystem wird ein Dreileiter-Drehstromsystem.
L1
U3
Bild 6.8:
~
~
IStr3
I1
U1
U1
R
R
~
L2
U2
L3
I2
IStr1
R
I3
Generator und Last im Dreieck geschaltet
Jetzt ist der Leiterstrom nicht mehr gleich dem Strangstrom (Spulenstrom) im Generator. Die
Strangspannung ist gleich der verketteten Spannung. Für die Last gilt das gleiche. Um den
Zusammenhang zwischen Strangstrom und Leiterstrom zu finden, betrachten wir die Last.
U1 U
U 3 U j120°
=
= e
; I Str 3 =
R
R
R
R
U
U
I 1 = I Str1 − I Str 3 = (1 − e j120° ) = 3 e j ( −30°)
R
R
I Str1 =
Der Leiterstrom ist um den Verkettungsfaktor !3 größer als der Strangstrom.
118
im
I1
I3
IStr3
IStr1
re
IStr2
I2
Bild 6.9:
Zeigerbild aller Ströme bei Dreieckschaltung
Die Kombination eines im Stern geschalteten Generators mit einer im Dreieck geschalteten Last
ist ebenso denkbar wie umgekehrt. Allerdings kann dann nur das Dreileiter-Drehstromsystem
verwendet werden.
Wenn ein Drehstromsystem verwendet wird, ist die Nennspannung (abzulesen auf dem
Typenschild des Generators oder der Last) immer die verkettete Spannung (Leiterspannung).Der
Nennstrom ist immer ein Leiterstrom.
Zusammenfassung:
Strangspannung
Leiterspannung
Strangstrom
Leiterstrom
Sternschaltung
UN/!3
UN
IN = UN/(!3Z)
IN
Dreieckschaltung
UN
UN
IN/!3
IN = !3UN/Z
6.2
Die Leistung im Drehstromsystem
Am einfachsten ist es, zunächst einmal von einem Vierleitersystem und von Sternschaltung
auszugehen. Wenn wir den Neutralleiter verdreifachen, können wir aus dem verketteten System
wieder ein unverkettetes machen. Dann haben wir es mit drei getrennten Wechselstromkreisen
zu tun. Die getrennte Berechnung der Schein-, Wirk- und Blindleistung ist einfach durchzuführen. Bei Symmetrie muss dreimal das gleiche Ergebnis herauskommen.
S = P + jQ = 3U Str ⋅ I * ; P = 3U Str ⋅ I ⋅ cosϕ ; Q = 3U Str ⋅ I ⋅ sin ϕ
119
Bei Dreieckschaltung rechnen wir auch zunächst für jeden der drei Einzel-Verbraucher getrennt
und addieren die Ergebnisse.
S = P + jQ = 3U ⋅ I *Str : P = 3U ⋅ I Str ⋅ cosϕ ; Q = 3U ⋅ I Str ⋅ sin ϕ
Was aber tun, wenn man die Struktur der Last gar nicht kennt und nur Klemmenspannung U und
Klemmenstrom I bekannt sind? Die Berechnung der Einzelleistungen ist dann nicht möglich.
I1
L1
U1
Netz
U10
L2
L3
Last
N
Bild 6.10:
Symmetrische Drehstromlast als Black Box
Der Betrag der Scheinleistung ist schnell errechnet. Unabhängig von der Schaltungsart gilt:
S=
3U ⋅ I
Beim Phasenwinkel wird es komplizierter. Schon bei rein ohmscher Last sind U und I
gegeneinander phasenverschoben. Der Winkel zwischen diesen beiden darf also nicht als
Phasenverschiebungswinkel eingesetzt werden! Der Phasenverschiebungswinkel muß aus
Stranggrößen bestimmt werden (z.B. !(U10,I1)).
Damit ergibt sich für die allgemeine Berechnung der Leistungen im Drehstromsystem:
S = P + jQ =
6.3
3U ⋅ I ⋅ e jϕ ; P =
3U ⋅ I ⋅ cos ϕ ; Q =
3U ⋅ I ⋅ sin ϕ
Stern-/Dreieck-Umschaltung
Wenn man eine Last hat, die von Stern- auf Dreieckstruktur umschaltbar ist, kann man durch die
Umschaltung die aufgenommene Leistung verändern. Die drei Stränge seien symmetrisch. Der
Einfachheit halber nehmen wir an, sie seien rein ohmsch.
Im Falle der Sternschaltung gilt:
UR =
UR
U
U2 U2
=
; I = IR =
; P=3
3R
R
R
3
120
Im Falle der Dreieckschaltung gilt:
U2
U
U
UR = U ; IR = ; I = 3 ; P = 3
R
R
R
Durch Umschaltung von Stern auf Dreieck verdreifacht sich die aufgenommene Leistung. Der
aufgenommene Strom verdreifacht sich ebenfalls.
Nimmt man eine gemischte Last an, z.B. ohmsch/induktiv, verdreifacht sich auch die
Blindleistung.
Das Verfahren der Stern-/Dreieck-Umschaltung wird angewandt zur stufigen Leistungsverstellung oder aber zur Reduktion der Anlaufströme von Asynchronmaschinen. Man fährt die
Maschinen im Stern hoch, bis die Leerlaufdrehzahl erreicht ist und der aufgenommene Strom
klein ist. Dann schaltet man um auf Dreieck. Jetzt kann man belasten. Ist die Belastung kleiner
als ein Drittel der Nennleistung, kann man auch von Dreieck auf Stern zurückschalten. Dadurch
wird die Blindleistungsaufnahme auf ein Drittel reduziert.
121
7
Elektrodynamische Ausgleichsvorgänge
Bisher haben wir immer eingeschwungene Zustände betrachtet. Wir sind davon ausgegangen,
dass Ein- / Aus- oder Umschaltvorgänge weit genug zurückliegen und ihre Auswirkungen nicht
mehr messbar sind. Wir werden uns jetzt mit transienten Vorgängen befassen. Dazu definieren
wir zunächst, was eine ideale Spannungsquelle und was eine ideale Stromquelle ist:
Die ideale Spannungsquelle liefert eine definierte Klemmenspannung, die unabhängig von der
Belastung ist. Der Strom stellt sich in Abhängigkeit von der Belastung frei ein und hat keine
Rückwirkung auf die Klemmenspannung.
Der Leerlauf der idealen Spannungsquelle ist unkritisch. Bei Kurzschluss allerdings muss sie
einen unendlich großen Strom liefern.
Die ideale Stromquelle liefert einen definierten Strom, der unabhängig von der Belastung ist.
Die Spannung stellt sich in Abhängigkeit von der Belastung frei ein und hat keine Rückwirkung
auf den Strom.
Der Kurzschluss der idealen Stromquelle ist unkritisch. Bei Leerlauf allerdings muss sie eine
unendlich hohe Spannung liefern.
S
U0 = const.
Bild 7.1:
I0 = const.
S
Ideale Spannungsquelle und ideale Stromquelle
7.1
Ein- und Ausschaltvorgänge mit idealen Bauteilen
1.
Der ohmsche Widerstand
Schaltet man eine konstante Spannung zum Zeitpunkt t = 0 auf einen ohmschen Widerstand, so
fließt vom ersten Augenblick an der durch das ohmsche Gesetz vorgegebene konstante Strom I
= U/R. Der Stromverlauf ist also im Zeitpunkt t = 0 nicht stetig. Er springt von 0 auf den
Endwert. Beim Einschalten einer Stromquelle auf einen ohmschen Widerstand geschieht etwas
ähnliches. Die Spannung springt im Einschaltaugenblick auf den Endwert.
122
t=0
I0
R
U0
U0
R
i
R
t=0
I0 ⋅ R
u
t
t
(b)
(a)
Bild 7.2:
2.
Einschalten einer Spannungsquelle (a) bzw. einer Stromquelle (b) auf einen
ohmschen Widerstand
Der ideale Kondensator
Wenn man eine konstante Spannung auf einen ungeladenen Kondensator schaltet, wird der Strom
im Einschaltaugenblick unendlich groß. Der Kondensator lädt sich in unendlich kurzer Zeit auf
die Klemmenspannung auf, nimmt dann aber keinen Strom mehr auf. Beim Kurzschließen des
geladenen Kondensators geschieht das umgekehrte. Er entlädt sich schlagartig. Danach ist der
Strom gleich Null.
Schaltet man eine Stromquelle auf einen Kondensator, so steigt seine Ladung und damit seine
Klemmenspannung linear an. Hier geht die Klemmenspannung im Laufe der Zeit gegen
unendlich.
t = t0
I0
C
U0
uC
C
t=0
iC
uC
iC
∆Q
duC
I0
dt = C
∆t = 0
(a)
Bild 7.3:
t
t
t0
(b)
Einschalten einer Spannungsquelle (a) bzw. einer Stromquelle (b) auf einen
idealen Kondensator
123
Zu Bild 7.3(a) kann man noch folgendes präzisieren: Die Fläche unter dem Stromverlauf ist
gleich der aufgenommenen Ladung. Die Ladung wiederum ist durch die Klemmenspannung
gegeben.
Q = C ⋅U
Q = ∫ i( t )dt + Q0
Q0 ist die Anfangsladung. Nur wenn die Anfangsladung zufällig passt, gibt es keinen Stromstoß.
3.
Die ideale Spule
Schaltet man eine konstante Spannung auf eine Induktivität, so steigt der Strom linear an. Er geht
im Laufe der Zeit gegen unendlich. Schaltet man eine Stromquelle auf eine Induktivität, so wird
die Spannung im ersten Augenblick unendlich. Danach wird sie wieder zu Null. Wird der
Schalter anschließend wieder geschlossen, so fließt der Strom in L unvermindert weiter.
t=0
I0
L
U0
uL
L
t = t0
iL
uL
iL
∆Ψ = L ⋅ ∆I
diL U0
dt = L
∆t = 0
t
(a)
Bild 7.4:
t
t0
(b)
Einschalten einer Spannungsquelle (a) bzw. einer Stromquelle (b) auf eine ideale
Spule
Anmerkung: Bisher kam ein wenig häufig das Wort „unendlich“ vor. In der Realität gibt es zwar
sehr hohe Spannungen und Ströme, aber keine unendlich hohen. Die Ausgleichsvorgänge laufen
auch bei realen Bauteilen selten in unendlich kurzer Zeit ab. Dazu wäre nämliche im Falle von
Kondensator und Spule eine unendlich hohe Leistung erforderlich. Wir werden uns die Vorgänge
unter Verwendung realer Bauteile nun genauer anschauen.
7.2
Reale Schaltvorgänge
In realen Schaltungen treten der ohmsche Widerstand, der Kondensator und die Spule in
wechselnden Kombinationen auf. Z.B. kann die Ladung eines Kondensators nicht unendlich
schnell erfolgen, da seine Zuleitungen einen, wenn auch geringen, ohmschen Widerstand haben.
124
Außerdem gibt es keine idealen Spannungs- und Stromquellen. Sie besitzen, wie wir wissen,
einen Innenwiderstand.
1.
Gleichspannungsquelle und Kondensator
Ein realitätsnahes Schaltbild für das Aufladen eines Kondensators ist das folgende:
uR
R
i(t)
uC
U0
Bild 7.5:
C
Einschalten einer Spannung auf ein RC-Glied
Durch einen Maschenumlauf erhalten wir eine Bestimmungsgleichung für den Strom:
U 0 = u R ( t ) + uC ( t ) = R ⋅ i ( t ) +
1
i (t )dt + uC (0)
C∫
uC(0) ist dabei die Anfangsspannung des Kondensators, die er aufweist, wenn er zu Beginn schon
eine Ladung hat. Wenn man diese Integralgleichung in die Differentialform überführt, ergibt das
R
1
d
i (t ) + i (t ) = 0
dt
C
oder
RC
d
i (t ) + i (t ) = 0
dt
Es handelt sich um eine homogene Differentialgleichung erster Ordnung. Für ihre Lösung setzen
wir an
− t
i (t ) = A ⋅ e τ
und
t
d
A −τ
i (t ) = − e
τ
dt
Eingesetzt ergibt das
−
RC
+1= 0
τ
τ = RC
125
Zur Bestimmung von A brauchen wir noch eine Anfangsbedingung: Im Einschaltaugenblick kann
der Strom nicht unendlich groß werden. Er ergibt sich aus der Spannung am Widerstand. Diese
ist im Einschaltaugenblick:
u R ( 0) = U 0 − uC (0)
U 0 − uC ( 0)
i (0) = A =
R
Wir haben die Lösung für den Strom gefunden.
i (t ) =
U 0 − uC (0) − RCt
e
R
Damit ist auch die Spannung an R und C bekannt.
uR / t ) = R ⋅ i (t ) = (U 0 − uC ( 0))e
uC (t ) = U 0 − uR (t ) = U 0 (1 − e
− t
RC
− t
RC
) + uC (0) e
− t
RC
Zu Beginn liegt uC(0) am Kondensator. Nach ausreichender Wartezeit (etwa 5 Zeitkonstanten)
liegt U0 am Kondensator. Dann ist der Stromfluß nahezu Null.
U0
i(0)
uC(t)
i(t)
∆Q
uC(0)
1
Bild 7.6:
2
3
4
5
Spannung und Strom am Kondensator nach dem Einschalten von U0
t
τ
126
2.
Gleichspannungsquelle und Spule
Als nächstes betrachten wir das Einschalten einer Spannung auf eine Reihenschaltung von R und
L. Eine Anfangsladung der Spule wie eben beim Kondensator nehmen wir diesmal nicht an. D.h.
anfangs ist der Strom in der Spule Null.
uR
i(t)
R
uL
U0
Bild 7.7:
L
Einschalten einer Spannung auf ein RL-Glied
Jetzt gilt
U 0 = u R (t ) + u L (t ) = R ⋅ i (t ) + L
d
i (t )
dt
U0 L d
=
i (t ) + i (t )
R
R dt
Diesmal haben wir es mit einer inhomogenen Differentialgleichung 1. Ordnung für den Strom
zu tun. Dazu wählen wir einen anderen Ansatz für die Lösung.
−t
i (t ) = A ⋅ e τ + B
d
A −t
i (t ) = − ⋅ e τ
τ
dt
Damit gehen wir in die Differentialgleichung für den Strom.
U0
L ⋅ A − τt
−t
= A⋅e τ + B −
⋅e
Rτ
R
Nach ausreichend langer Wartezeit sind die abklingenden e-Funktionen verschwunden. Dann
bleibt die Bestimmungsgleichung für B übrig.
B=
Uo
R
127
Zur Bestimmung von τ vergleichen wir die Koeffizienten der e-Funktion.
L
Rτ
L
τ =
R
1=
Im Zeitpunkt t = 0 muß der Strom bei i(0) = 0 beginnen, denn bei begrenzter Spannung kann der
Strom in einer Induktivität sich nicht sprunghaft ändern.
U0
R
U0
A = −B = −
R
i (0) = 0 = A +
Damit ist die Lösung für den Strom und die beiden Spannungen an R und L gefunden.
U0 
−t
 1 − e τ 

R 
−t 

u R (t ) = R ⋅ i (t ) = U 0  1 − e τ 
i (t ) =
u L (t ) = U 0 − u R (t ) = U 0 ⋅ e
−t
τ
U0
R
i(t)
uL(t)
1
Bild 7.8:
2
3
4
5
t
τ
Spannung und Strom an der Induktivität nach dem Einschalten von U0
Nach ausreichend langer Wartezeit bestimmt nur noch der Widerstand R den Strom. Die
Stromänderung in der Induktivität ist nahezu Null und an ihren Klemmen ist keine Spannung
mehr zu messen. Es ist, als sei sie gar nicht da.
128
3.
Gleichstromquelle und Kondensator
Als nächstes schauen wir uns einmal eine Schaltung mit einer Stromquelle an. Eine reale
Stromquelle speist einen Kondensator.
iC
I0
Bild 7.9:
R
C
Einschalten eines Stromes auf einen Kondensator
Es gilt die Knotenpunktgleichung
u( t )
du(t )
+C
dt
R
d
I 0 R = u(t ) + RC u(t )
dt
I0 =
Dies ist eine inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung. Ansatz:
−t
u( t ) = A ⋅ e τ + B
d
A −t
u( t ) = − ⋅ e τ
τ
dt
Eingesetzt in die Differentialgleichung
I0 R = A ⋅ e
−t
τ
+ B−
RCA − τt
⋅e
τ
Wenn t gegen unendlich geht, bleibt die Bestimmungsgleichung für B übrig: B = I0R
Die Zeitkonstante ist τ = RC. A wird wieder aus der Anfangsbedingung gewonnen.
t = 0: Der Kondensator ist ungeladen, also u(0) = 0.
u(0) = 0 = A + I 0 R
A = − I0R
−t 

u(t ) = I 0 R 1 − e τ 
du(t )
−t
= I 0e τ
dt
u( t )
−t 

= I 0  1 − e τ 
i R (t ) =
R
ic (t ) = C
129
I0⋅ R
I0
u(t)
iC(t)
1
Bild 7:10:
4.
2
3
4
5
t
τ
Spannung und Strom am Kondensator nach Einschalten von I0
Gleichstromquelle und Spule
Die nächste Schaltung ist etwas komplizierter, weil zwei ohmsche Widerstände und eine Spule
enthalten sind. Die ohmschen Widerstände sind der Innenwiderstand der Stromquelle und der
Kupferwiderstand der Spule.
i1
I0
R2
R1
u(t)
i2
uL
L
Bild 7.11: Einschalten eines Stromes auf eine Induktivität
Die von der Stromquelle zu liefernde Spannung ist
u(t ) = i1 (t ) R1 = i2 ( t ) R2 + L
di2 (t )
dt
I 0 = i1 (t ) + i2 (t )
u(t ) = ( I 0 − i1 ) R2 + L d ( I 0 − i1 )
dt
di
= I 0 R2 − i1 R2 − L 1
dt
di1
+ i1 ( R1 + R2 ) = I 0 R2
L
dt
130
Es handelt sich wieder um eine inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung. Ansatz:
i1 (t ) = A ⋅ e
−t
τ
+B
t
d
A −τ
i1 (t ) = − e
τ
dt
t
t
−
LA − τ
τ
−
e + ( R1 + R2 )( A ⋅ e + B) = I 0 R2
τ
t gegen unendlich liefert
B = I0
R2
R1 + R2
τ=
L
R1 + R2
Die Zeitkonstante ist
Zum Zeitpunkt t = 0 fließt in der Spule kein Strom. Die Spannung an den Klemmen der
Stromquelle ist dann u(0) = I0R1. Der gesamte Strom I0 muss über R1 fließen.
i1 (0) = I 0 = A + I 0
A = I0
R2
R1 + R2
R1
R1 + R2
 R1
R2 
−t

e τ +
i1 (t ) = I 0 
R1 + R2 
 R1 + R2
i2 (t ) = I 0 − i1 (t ) = I 0
R1 
−t
 1 − e τ 

R1 + R2 
−t
 R12
R1 R2 
τ


u( t ) = i1 ( t ) R1 = I 0
e +
R1 + R2 
 R1 + R2
t
−
d
τ
u L (t ) = L i2 (t ) = I 0 R1e
dt
Erläuterung des Ergebnisses:
Zu Beginn ist i1 = I0 und i2 = 0. Nach ausreichend langer Zeit ist die Spannung an der Spule auf
Null abgesunken. Es ist, als sei die Spule gar nicht mehr da. Dann bleibt die Parallelschaltung
der beiden Widerstände übrig. Der Strom I0 verteilt sich auf die beiden Zweige nach der
Stromteilerregel.
131
Zahlenwerte: R1 = 50Ω; R2 = 20Ω.
I0
5
7 I0
i2(t)
I0⋅ R1
i1(t)
2
7 I0
uL(t)
1
Bild 7.12:
5.
2
3
4
t
τ
5
Spannung und Ströme an der realen Spule nach Einschalten von I0
Wechselspannungsquelle und Kondensator
Als Beispiel zum Wechselstrom schalten wir eine Wechselspannungsquelle auf ein RC-Glied.
u
i(t)
~
Bild 7.13:
R
uC(t)
u(t)
C
ϕu
ωt
Einschalten einer Wechselspannung auf ein RC-Glied
Anfangsbedingung: uC(0) = 0.
u! sin(ω t + ϕ u ) = i (t ) R + uC (t )
duC (t )
+ uC (t )
u! sin(ω t + ϕ u ) = RC
dt
Als erstes lösen wir die homogene Differentialgleichung mit dem bekannten Ansatz
uCH (t ) = A ⋅ e
−t
τ
; τ = RC
132
Die inhomogene Differentialgleichung lösen wir durch Variation der Konstanten.
uC ( t ) = A( t ) ⋅ e
− τt
d
dA( t ) −τ A( t ) − τt
⋅e −
uC ( t ) =
e
τ
dt
dt
t
Das in die ursprüngliche Differentialgleichung eingesetzt ergibt
u! sin(ω t + ϕ u ) = A(t ) e
−t
τ
t
+τ
t
−
dA(t ) − τ
τ
e − A(t ) e
dt
Diese Gleichung wird nun nach Trennung der Variablen integriert
dA(t ) =
t
u!
A(t ) =
τ
uC (t ) = A( t ) ⋅ e
τ
−t
τ
=
eτ
2
1
2 +ω
=
u! + τt
e ⋅ sin(ω t + ϕ u )dt
τ
1

 sin(ω t + ϕ u ) − ω cos(ω t + ϕ u ) + A1
τ

u!
−t
τ
2 (sin(ω t + ϕ u ) − ωτ cos(ω t + ϕ u ) ) + A1 e
1 + (ωτ )
u!
−t
τ
ω
ϕ
ϕ
+
+
+
sin(
)
t
A
e
1
u
2
1 + (ωτ )
mit
ϕ = − arctan ωτ
Aus der Anfangsbedingung uC(0) = 0 ergibt sich
A1 = −
uC ( t ) =
u!
1 + (ωτ ) 2
sin(ϕ u + ϕ )
u!
−t


τ
ω
ϕ
ϕ
+
+
−
sin(
)
sin(ϕ u + ϕ )
t
e
u
2 
1 + (ωτ )
Der Dauerschwingung ist ein Einschaltvorgang überlagert. Wenn man den Anfangswinkel der
Spannung günstig wählt (Einschaltaugenblick), verschwindet jedoch der Einschwingvorgang.
Im ungünstigsten Fall wird der Spannungsverlauf
ϕu + ϕ =
uC ( t ) =
π
2
π
−t 

τ
ω
+
−
sin(
)


t
e
2 

2
1 + (ωτ )
u!
133
Der größte Momentanwert nach dem Einschalten ist im ungünstigsten Fall fast doppelt so groß
wie die Maxima im späteren eingeschwungenen Zustand.
uC(t)
ωt
Bild 7.14:
6.
Kondensatorspannung beim Einschalten einer Wechselspannung auf ein RCGlied
Gleichspannungsquelle und Reihenschwingkreis
Als letztes Beispiel wählen wir einen Reihenschwingkreis, den wir durch einen Schaltvorgang
anregen.
R
L
U
Bild 7.15:
i(t)
C
uC(t)
Einschalten einer Gleichspannung auf einen gedämpften Reihenschwingkreis
Wir wollen nun den Zeitverlauf der Spannung am Kondensator berechnen. Es gilt
d
i (t ) + uC (t )
dt
d
i (t ) = C uC (t )
dt
d
d2
i (t ) = C uC (t )
dt
dt
d
d2
U = uC (t ) + CR uc (t ) + LC uC (t )
dt
dt
U = i (t ) R + L
Hier handelt es sich zum ersten mal um eine Differentialgleichung 2. Ordnung. Wir lösen zuerst
wieder die homogene Differentialgleichung.
0 = uC (t ) + RC
d
d2
uC ( t ) + LC
u (t )
dt
dt C
134
Der Lösungsansatz ist
uC (t ) = K1 ⋅ e λ1t + K2 ⋅ e λ2t + K3
d
uC (t )= K ⋅λ ⋅eλ1t + K ⋅λ ⋅eλ2t
1 1
2 2
dt
d2
u (t ) = K1 ⋅ λ12 ⋅ e λ1t + K2 ⋅ λ22 ⋅ e λ2t
dt C
Eingesetzt in die homogene DGL:
0 = K1 ⋅ e λ1t + RC ⋅ K1 ⋅ λ 1⋅ e
+ K2 ⋅ e λ2t + RC ⋅ K2 ⋅ λ2 ⋅ e
λ2 t
λ1t
+ LC ⋅ K1 ⋅ λ 21 ⋅ e
+ LC ⋅ K2 ⋅ λ22 ⋅ e
λ2 t
λ1t
+ K3
λ1t
0 = K1 ⋅ e (1 + RC ⋅ λ1 + LC ⋅ λ12 ) + K2 ⋅ e λ2t (1 + RC ⋅ λ2 + LC ⋅ λ22 ) + K3
Daraus läßt sich die charakteristische Gleichung ablesen:
λ2 +
1
R
λ+
=0
L
LC
2
λ1,2 = −
mit δ =
1
R
 R
+   −
2L  2L
LC
R
2L
und ω 0 =
1
:
LC
λ1,2 = − δ + δ 2 − ω 02
Da im Kreis eine Induktivität enthalten ist, muß im Schaltaugenblick in allen Fällen gelten:
i (t = 0) = 0 ;
d
u (0) = 0 ; K1 λ1 + K2 λ2 = 0
dt C
Die Anfangsspannung des Kondensators sei gleich Null. Da der Anfangsstrom auch Null ist, fällt
die gesamte Spannung zu Beginn an L ab.
135
uC (0) = 0 ; u L (0) = U = L
d
i (0) ; K1 + K2 + K3 = 0
dt
U
d2
=
uC (0) = K1λ12 + K2 λ 22 = K1λ1 ( λ1 − λ2 )
LC dt
λ1 − λ2
K1λ1
U
U
U
=−
=
; K2 = −
; K3 = K1
K 1=
λ2
λ2
LCλ1 ( λ1 − λ2 )
LCλ2 ( λ1 − λ2 )
LCλ1λ2
uC (t ) =

λ1
U  λ2

e λ2t + 1
e λ1t −
λ1 − λ2
LCλ1λ2  λ1 − λ2

i (t ) =
U
(e λ1t − e λ2t )
L( λ1 − λ2 )
Jetzt ist eine Fallunterscheidung erforderlich. Abhängig davon, wie groß R, L und C gewählt
werden, kommen unterschiedliche Ergebnisse heraus. Für die Wurzel gibt es zwei Möglichkeiten:
1.
Die Differenz unter der Wurzel wird positiv
2.
Die Differenz unter der Wurzel wird negativ
1.Fall: Die Wurzel wird reell.
λ1,2 = − δ +κ
uC ( t ) =
U
 − δ − κ ( −δ +κ ) t − δ + κ ( −δ −κ ) t 
−
+ 1

e
e
2
2

2κ
LC ⋅ (δ − (δ − ω 0 ))  2κ
2
 − δ − κ ( −δ +κ ) t − δ + κ ( −δ −κ ) t 
= U
−
+ 1
e
e
 2κ

2κ
U −δ t
=
e (( − δ − κ )eκ t + (δ − κ ) eκ t ) + U
κ
2
 δ
 eκ t − e −κ t 
 eκ t + e −κ t  
= U  1 − e −δt 
 − e −δ t 

2
2




 κ

δ

= U  1 − e −δ t  sinh κ t + coshκ t  
κ


Der Endwert der Kondensatorspannung ist die Quellenspannung. Der Zeitverlauf der
Kondensatorspannung wird durch Hyperbelfunktionen bestimmt, die aber mit der Dämpfungskonstanten δ abklingen.
136
2.Fall: Die Wurzel wird imaginär.
λ1,2 = − δ + jω
mit ω = ω 02 − δ 2
 − δ − jω ( −δ + jω ) t − δ + jω ( −δ − jω ) t 
−
+ 1
uC ( t ) = U 
e
e
2 jω
 2 jω


 e jωt − e − jωt
δ
−
δ
t
= U  1 − e 
 ω
2j


− jω t 
jω t


 − e −δ t  e + e


2

 


δ

= U  1 − e −δ t  sin ω t + cos ω t  
ω


Der Endwert der Kondensatorspannung ist auch hier die Quellenspannung. Der Zeitverlauf wird
durch eine abklingende Schwingung bestimmt.
Ob der erste oder der zweite Fall eintritt, hängt vom Verhältnis
δ
ab. Wird dieses Verhältnis
ω0
größer als 1, handelt es sich um Fall 1, wird es kleiner, ist es Fall 2. Genau in der Mitte liegt der
sogenannte aperiodische Grenzfall. Im folgenden Bild sind vier Fälle dargestellt.
uC(t)
U
1,6
δ
ω0 = 0,25
1,4
δ
ω0 = 0,5
1,2
1
0,8
δ
ω0 = 1
0,6
δ
ω0 = 2
0,4
0,2
0
Bild 7.16:
0,5
1
1,5
Spannungsverlauf am Kondensator bei Schwingkreisanregung
Aperiodischer Grenzfall:
(
)
uc (t )= U 1 − e −ω0t (1 + ω 0 t )
t
T0
137
Literatur:
[1]
Linse, H.; Fischer, R.: Elektrotechnik für Maschinenbauer. B.G. Teubner Stuttgart
[2]
Flegel, G.; Birnstiel, H.: Elektrotechnik für Maschinenbauer. Carl Hanser Verlag,
München
[3]
Busch, R.: Elektrotechnik und Elektronik. B. G. Teubner Stuttgart
[4]
Möller, F.; Fricke, H.: Grundlagen der Elektrotechnik. B. G. Teubner Stuttgart