Exakte Lösungen der stationären Schrödingergleichung

Teil III
Exakte Lösungen der
stationären
Schrödingergleichung
Inhaltsangabe
6
Eindimensionale Probleme
6.1
6.2
7
8
43
Das Teilchen im unendlich tiefen Kasten . . . . . . . . . . 44
6.1.1
Modell und Lösung der Schrödingergleichung . . . 44
6.1.2
Zustände des Teilchens im Kasten . . . . . . . . . 48
6.1.3
Erwartungswerte und Varianzen für das Teilchen
im Kasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.1.4
Zusatzmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Der harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.1
Federmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.2
Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.2.3
Lösung der Schrödingergleichung . . . . . . . . . . 61
6.2.4
Form der Wellenfunktionen und Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Zwei- und Dreidimensionale Probleme in kartesischen
Koordinaten
71
7.1
Das Teilchen im 2-Dimensionalen Kasten
. . . . . . . . . 71
7.2
Das Teilchen im 3-Dimensionalen Kasten
. . . . . . . . . 79
7.3
Der harmonische Oszillator in 3 Dimensionen . . . . . . . 83
Zentralkraft-Probleme
8.1
88
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.1.1
Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
41
9
8.1.2
Teilchen auf der Kugeloberfäche . . . . . . . . . . 92
8.1.3
Das Teilchen auf dem Ring . . . . . . . . . . . . . 93
8.2
Der Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.3
Produktansatz der Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Das Wasserstoffatom
108
9.1
Radiale Dichteverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.2
Entartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
42
6
Slide 65
Eindimensionale Probleme
Die Schrödingergleichung in einer Dimension
• wir betrachten Wellenfunktionen, die nur von einer Variablen abhängen
d.h. die Bewegung eines einzigen Teilchens ist eingeschränkt auf eine
Raumrichtung (x-Achse).
1D-SGL: Ĥψ(x) = Eψ(x)
~2 d2
+ V (x) ψ(x) = Eψ(x)
−
2m dx2
43
6.1
6.1.1
Slide 66
Das Teilchen im unendlich tiefen Kasten
Modell und Lösung der Schrödingergleichung
Das Teilchen im unendlich tiefen Kasten
• Das Teilchen soll sich zwischen x = 0 und x = L frei bewegen können
(frei bedeutet: kräftefrei: ⇒ V = const.
wähle oBdA: V = 0)
• aber nicht außerhalb dieses “Kastens” der Länge L gelangen können.
(außerhalb des Kastens ist die potentielle Energie also “unendlich groß”)
Systemskizze
V(x)=0
V(x)
0
Slide 67
V(x)
L
x
Lösungsweg
• Unterteilung des Definitionsbereiches in 3 Bereiche
1. Für x ≤ 0 gilt V (x) → ∞.
2. Für 0 < x < L gilt V (x) = 0.
3. Für x ≥ L gilt wie für Bereich 1 V (x) → ∞.
Slide 68
44
Bereiche 1 und 3
• Wir sind nur an endlichen Energien E des Teilchens interessiert.
~2 d2
⇒ −
+ V (x) ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
kann nur durch ψ(x) = 0 für x ≤ 0 und x ≥ L erfüllt sein.
Dann gilt natürlich auch ρ(x) = ψ ∗ (x)ψ(x) = 0 für x ≤ 0 und x ≥ L,
d.h. das Teilchen kann sich nicht außerhalb des Bereiches 0 < x < L
aufhalten.
• die Aufenthaltswahrscheinlichkeit außerhalb des “Potentialtopfes” verschwindet also, in Übereinstimmung mit der Problemstellung.
Slide 69
Bereich 2
Für 0 < x < L gilt V (x) = 0.
Somit lautet die zu lösende Differentialgleichung (DGL)
~2 d2
−
ψ(x) = Eψ(x).
2m dx2
Die Energie E muss immer größer oder gleich 0 sein,
da E immer ≥ Vmin = 0 ist, also Ekin ≥ 0!
• gesucht: Funktion ψ(x), deren 2. Ableitung proportional zum Negativen
ihrer selbst ist.
• Wir wissen:
d2
sin(ax) = −a2 sin(ax)
dx2
d2
cos(ax) = −a2 cos(ax)
dx2
⇒ Lösungsansatz ψ(x) = A sin(ax) + B cos(ax)
(A, B und a sind noch festzulegen!).
Slide 70
45
Eigenwerte
d2
d2
ψ
=
[A sin(ax) + B cos(ax)]
dx2
dx2
d2
d2
= A 2 sin(ax) + B 2 cos(ax)
dx
dx
= A · (−a2 ) · sin(ax) + B · (−a2 ) · cos(ax)
= −a2 [A sin(ax) + B cos(ax)] = −a2 ψ(x)
Somit ist
~2 a2
−~2 d2
ψ(x)
=
ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
2m
⇒ E=
~2 a2
2m
A, B, und a müssen noch durch die Randbedingungen festgelegt werden.
Slide 71
Randbedingungen
!
(i) ψ(0) = ψ(L) = 0
da die Wellenfunktion im Topf stetig in die Wellenfunktion außerhalb
des Topfes übergehen muss.
Z∞
(ii) Die Normierungsbedingung
ψ ∗ (x)ψ(x)dx =
−∞
ZL
0
46
!
ψ ∗ (x)ψ(x)dx = 1
Anschlußbedingungen
– aus (i) folgt an der Stelle x = 0:
!
ψ(0) = A sin(0 · a) +B cos(0 · a) = 0 ⇒ B=0
| {z }
| {z }
0
1
!
– damit gilt an der Stelle x = L: ψ(L) = A sin(L · a) = 0
– A 6= 0, da sonst ψ(x) = 0 auch im Potentialkasten
!
⇒ sin(L · a) = 0
– analog, n 6= 0, da sonst überall ψ(x) = 0:
– Zur Erinnerung: sin(nπ) = 0 für n = 1, 2, 3, . . .
– Man kann also die Bedingung ψ(L) = 0 immer dann
nπ
erfüllen, wenn L · a = n · π ist, also wenn a =
L
– kleinstes n ist n = 1
– negatives n nicht möglich, da ψ−n = −ψn wäre (identisches
ψ 2 !)
Slide 72
Energieeigenwerte
• zulässige Energiewerte E =
~2 a2
~2 π 2
⇒ En =
· n2
2m
2mL2
n = 1, 2, 3, . . .
Nur wenn E einen der Eigenwerte En annimmt, hat die Schrödingergleichung für das Teilchen im Kasten eine physikalisch sinnvolle (d.h.
mit den Randbedingungen verträgliche) Lösung
Offenbar ist E “gequantelt”!
Slide 73
47
Normierung
Z
L
∗
∗
L
Z
ψ (x)ψ(x)dx = A A
(iii)
!
sin2 (ax)dx = 1
0
0
Z
L
nπx
L !
)dx = |A|2 = 1
L
2
0
r
2
⇒ Wir wählen A =
L
2
|A|
sin2 (
r
• Man hätte durchaus die Freiheit, A = −
2
zu wählen.
L
r
oder A = i
oder A = eiα
2
L
r
2
mit beliebigem reellem α
L
• Diese Wahlfreiheit besteht, weil nur das Betragsquadrat der Wellenfunktion physikalische Bedeutung hat.
6.1.2
Slide 74
Zustände des Teilchens im Kasten
Zustände
Zusammenfassend gilt also für n = 1, 2, 3, . . .
~2 π 2 2
h2 2
n
=
n
2mL2
8mL2
r
nπ 2
Wellenfunktionen ψn (x) =
sin
·x
L
L
Energiezustände
En =
• Es existieren unendlich viele Eigenwerte und (normierte) Eigenfunktionen für das Teilchen im Kasten.
48
• Die Grundzustandsenergie (n=1) lautet E1 =
~2 π 2
h2
=
2mL2
8mL2
• Die Energien der angeregten Zustände En = E1 · n2 , n = 2, 3, . . .
• n heißt Quantenzahl
Slide 75
Nullpunktsenergie
• Die minimale Energie des Grundzustands des Teilchens im Kasten ist
immer vorhanden.
• Sie kann nicht konvertiert werden.
• Dieser unveränderliche minimale Energiebeitrag heißt auch Nullpunktsenergie.
Slide 76
Spektrum der Zustände
E
h (8mL2)-1
E
h (8L2)-1
25
•
25
E5
∆E4
20
15
E4
5
0
E3
∆E2
E2
E1
20
2
Anregungsenergien
zwischen
zwei
25
aufeinanderfolgenden
Zuständen
∆En = En+120
− En = E1 · (2n + 1)
• Die Energien15der angeregten Zustände
wachsen quadratisch mit der Quantenzahl n
10
10
15
∆E3
10
E
h (8m)-1
2
2
• die Anregungsenergien zwischen benach5
barten Zuständen
linear
5
∆E1
0
0
m=1 m=2
Slide 77
49
L=1
L=2
E
h2(8mL2)-1
25
E5
∆E4
20
15
Massenabhängigkeit
E4
E
h2(8L2)-1
E
h2(8m)-1
25
25
20
20
1. E1 ∝
15
15
10
10
5
5
1
m
damit sind alle Energien umgekehrt proportional zur Masse des Teilchens
⇒ auch ∆E ∝
1
m
∆E3
10
5
0
E3
∆E2
E2
∆E1
E1
0
0
m=1 m=2
Slide 78
E
h2(8L2)-1
∆E4
L=1
L=2
Größenabhängigkeit
E
h2(8m)-1
25
25
20
20
15
15
10
10
5
5
2. E1 ∝
1
L2
alle Energien sind umgekehrt proportional zum Quadrat der Länge des Kastens
⇒ auch ∆E ∝
1
L2
∆E3
∆E2
∆E1
0
0
m=1 m=2
Slide 79
L=1
L=2
Quasikontinuum
Größenabschätzung: L = 2 Å(≈Atom), m = me
50
→ ∆E1 ≈ 4.5 · 10−18 J → ν̃ ≈ 225000 cm−1
(mit ∆E = hcν̃; vglbar der Rydbergkonstanten (Ry = 1.097·105 cm−1 =
1.097 · 107 m−1 )!
Betrachten wir den Grenzfall
• großer Massen
L = 2 Å, m = 1 g
→ ∆E1 ≈ 1.8 · 10−33 J → ν̃ ≈ 9 · 10−11 cm−1 !
• oder großer Kastenlängen
L = 1 cm, m = me
→ ∆E1 ≈ 4.2 · 10−45 J → ν̃ ≈ 2.1 · 10−22 cm−1 !
Dann rücken die Energien der Zustände also sehr dicht zusammen.
→ Es sieht so aus, als wären (fast) beliebige kontinuierliche Variationen
der Energie möglich. Die Energieniveaus sind quasikontinuierlich wie
in der klassischen Physik
Slide 80
Wellenfunktionen und Wahrscheinlichkeitsdichten
• Grundzustandswellenfunktion und zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte
r
πx 2
sin
L
L
πx 2
sin2
=
L
L
ψ1 (x) =
ρ1 (x) = |ψ1 (x)|2
• Wellenfunktionen der angeregten Zustände und zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichten für n = 2, 3, . . .
r
πx 2
sin
·n
L
L
πx 2
=
sin2
·n
L
L
ψn (x) =
ρ1 (x) = |ψ1 (x)|2
51
Slide 81
Wellenfunktionen und Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
ψ1(x)
ψ2(x)
ρ1(x)
ψ3(x)
ρ2(x)
ψ (x)
[ρ31+ρ
1 55+ρ87]/3
ψ4(x)
ρ3(x)
ψ2(x)
ρ4(x)
ψ3(x)
• die Zahl der Knoten (Nulldurchgänge von ψ(x)) nimmt mit zunehmendem n zu (wie n − 1).
ρ1(x)
ρ2(x)
• Für sehr hohe Quantenzahlen gibt es sehr viele Knoten.
Slide 82
ρ3(x)
Bohr’sches Korrespondenzprinzip
[ρ31+ρ55+ρ87]/3
Für großes n gilt:
• Man wird in der Regel den Zustand des Systems nur als eine Überlagerung von Zuständen
mit ähnlichem n finden.
• Sind viele dieser Zustände überlagert, ergibt sich eine Wahrscheinlichkeitsdichte ρ ≈ const.
• wie in der klassischen Physik
Dies ist ein Beispiel für das Bohr’sche Korrespondenzprinzip zwischen Quantenmechanik und klassischer Mechanik.
Slide 83
Alternative Darstellung
52
ψ4(x)
ρ4(x)
4
ψ(x)
4
3
3
2
2
1
1
ρ(x)
Wellenfunktionen oder Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten werden im Potentialtopf bei Energie E eingezeichnet (s. z.B. Atkins).
6.1.3
Slide 84
Erwartungswerte und Varianzen für das Teilchen im Kasten
Grundzustand des Teilchens im Kasten Energieerwartungswert
• Der Energieerwartungswert im GZ ist
hEiψ1 = hψ1 ∗ |Ĥ|ψ1 i =
ZL
ψ1 ∗ Ĥψ1 dx
0
ZL
=
ψ1 ∗ E1 ψ1 dx
0
ZL
= E1
ψ1 ∗ ψ1 dx = E1
0
• In einem Eigenzustand des Operators (hier Ĥ) ist natürlich der Erwartungswert des Operators gleich dem Eigenwert!
Slide 85
53
Grundzustand des Teilchens im Kasten Erwartungswert des Ortes
• Der Ortserwartungswert im GZ (n = 1) ist
r !2 ZL
2
πx
πx
sin( )x sin( )dx
L
L
L
hxiψ1 = hψ1 ∗ |x̂|ψ1 i =
0
=
2
L
ZL
x sin2
πx L
dx =
L
2
(s. Übungsaufgabe)
Rechenweg
0
• Der zustandsgemittelte Aufenthaltsort des Teilchens ist also in der Mitte
des Potentialkastens!
(nicht unerwartet!)
Slide 86
Grundzustand des Teilchens im Kasten Erwartungswert des Impulses
• Der Impulserwartungswert im GZ ist
hpx iψ1
2
~ ∂
|ψ1 i =
= hψ1 ∗ |
i ∂x
L
ZL
sin(
πx
πx ~ ∂
)
sin( )dx
L i ∂x
L
0
=
2
L
ZL
sin
πx ~π
L
iL
cos
πx L
dx = 0
0
aus Symmetriegründen
• Der zustandsgemittelte Impuls des Teilchens ist also 0.
(MaW: das Teilchen bewegt sich “genauso oft” nach links wie nach
rechts!)
(ebenfalls nicht unerwartet!)
Slide 87
54
Grundzustand des Teilchens im Kasten Varianzen
Um diese Mittelwerte ergeben sich Schwankungen der Messung von Ort
oder Impuls (Ort und Impuls sind, da [x̂, Ĥ] 6= 0 und [p̂x , Ĥ] 6= 0, nicht
gleichzeitig mit der Energie scharf messbar) in Form von Standardabweichungen und Varianzen
2
• Varianzen (∆A)2 = hÂ2 i − hÂi
q
p
2
2
• Standardabweichungen σA = (∆A) = hÂ2 i − hÂi
s
p
• Standardabweichung des Ortes σx = (∆x)2 = hx̂2 i −
hx̂i2
|{z}
schon berechnet
• Standardabweichung des Impulses σpx =
s
p
(∆px )2 = hpˆx 2 i −
hp̂x i2
| {z
}
schon berechnet
Slide 88
Orts-Impuls-Unschärfe im Grundzustand
1
1
2
2
2
−
• hx̂ i = hψ1 |x̂ |ψ1 i = L
3 2π 2
L √ 2
⇒ σx = √
π −6
π 12
• hp̂2x i = hψ1 |p̂2x |ψ1 i =
• ⇒ σ px =
~π
L
r
=⇒ σx · σpx = ~
r
• da
~2 π 2
L2
π2 − 6
12
π2 − 6
1
≈ 0.568, ist auf jeden Fall σx · σpx > ~
12
2
Die Heisenberg’sche Unschärferelation ist also erfüllt.
55
6.1.4
Slide 89
Zusatzmaterial
Integral
RL
0
hxi =
x sin2 ( πx
)dx
L
2
L
ZL
2
x sin
πx L
2L
dx = 2
π
0
Zπ
y sin2 ydy
0
Zπ
Substitution: y = πx/L ⇒ dx =
dx
dy
dy
1
y · [1 − cos(2y)]dx
2
Additionstheorem
=
L
dy
π
=
2L
π2
=
y=π
2L y 2 1
1
− cos(2y) − y sin(2y) 2
π
4
8
4
y=0
0
partielle Integration


02
π2
=
π
π
1
1
2L 
− cos(2π) − sin(2π) − + cos(0) + sin(0)
2
|
{z
}
|
{z
}
|
{z
}
π
4
8
4
4
8
4 | {z }
=
2L π 2
L
=
2
π 4
2
=1
=0
56
=1
=0
6.2
Der harmonische Oszillator
6.2.1
Slide 90
Federmodell
Modell
m
x
0
• Eine Masse m sei durch eine Feder mit einer Wand verbunden.
• Auslenkungen aus der Ruhelage (x = 0), in der die Feder entspannt ist,
seien nur entlang einer Achse (der x-Achse) möglich.
Slide 91
Federkraft und Hookesches Gesetz
• Für (kleine) Auslenkungen ist die Rückstellkraft
F~ = −k · ~x.
k heißt Federkonstante
• Kräfte sind die negativen Ableitungen der potentiellen Energie
~ .
F~ = −∇V
Slide 92
Wechselwirkungspotential
• Da die Kraft nur von x abhängen soll (und damit das Potential), sieht
1
man leicht, daß V (x, y, z) = V (x) = kx2
2
 ∂V (x)  

kx
∂x
∂V (x) 
~ (x) = 
• denn ∇V
 ∂y  =  0  = kx~ex = k~x
∂V (x)
0
∂z
Slide 93
57
Hamilton-Funktion und Hamilton-Operator
• Die kinetische Energie der Masse m ist T =
p~2
px 2
=
2m
2m
• die klassische Hamiltonfunktion (also die Gesamtenergie) lautet
px 2 1 2
+ kx
H(px , x) = T + V =
2m 2
• der entsprechende Hamiltonoperator in der Quantenmechanik lautet
Ĥ = T̂ + V̂ =
p̂2x
1
+ kx̂2
2m 2
~ 2 d2
1 2
oder explizit Ĥ = −
+
kx
2m dx2 2
6.2.2
Slide 94
Schrödingergleichung
Schrödingergleichung des Harmonischen Oszillators
Ĥψ(x) = Eψ(x) ⇐⇒ −
man definiert a2 := √
~2 d2 ψ(x) 1 2
+ kx ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
2
~
k·m
und multipliziert alle Terme mit
2m 2
·a
~2
und erhält
d2 ψ(x) x2
2a2 mE
+
ψ(x)
=
ψ(x) = εψ(x)
dx2
a2
~2
r
2a2 mE
2 m
mit der Definition ε :=
=
·E
~2
~ k
−a2
Slide 95
58
Variablentransformation ξ = x/a
Man definiert eine neue Variable ξ =
dann ist
und
x
a
d
d
=a·
dξ
dx
d2
d2
2
=
a
·
dξ 2
dx2
Damit erhält man schließlich
d2
ψ(ξ) + (ε − ξ 2 )ψ(ξ) = 0
dξ 2
Slide 96
Ansätze zur Lösung der Schrödingergleichung des harmonischen
Oszillators
Man kann diese Gleichung auf mehrere Arten lösen.
1. klassisches Verfahren durch Lösen der Differentialgleichung mit Produktund Potenzreihenansatz
=⇒ Eigenfunktionen und Eigenwerte
2. algebraisches Verfahren mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
=⇒ Eigenwerte und Matrixelemente
Die Kenntnis von Eigenfunktion und Eigenwert ist äquivalent zur Kenntnis von Eigenwert und allen Matrixelementen. (Beide Techniken liefern
die gleiche Einsicht in das Problem.)
Slide 97
59
Eigenwerte
• Man erhält als Eigenwerte für die Werte
ε = 2n + 1, n = 0, 1, 2, . . .
und mit den Definitionen
r
~
2a2 mE
2 m
2
a := √
und ε :=
E erhält man
=
~2
~ k
k·m
r 1
1
k
E = ~ω n +
=~
n+
, n = 0, 1, 2, . . .
2
m
2
Slide 98
Eigenfunktionen
√
p
4
mit ξ = x/a = x √m·k
= mω
x
~
~
r
mω 2
mω
2
x e− 2~ x
ψn (x) = Nn Hn (x/a)e−(x/a) /2 = Nn Hn
~
ψn (x) = Nn Hn (ξ)e−ξ
2 /2
mit den Hermiteschen Polynomen
Hn (ξ) = (−1)n eξ
2
dn −ξ2
e
dξ n
und den Normierungsfaktoren
m · ω 1/4 1 1/2
Nn =
~π
2n n!
Slide 99
Hermitesche Polynome
60
H0 (y)
H1 (y)
H2 (y)
H3 (y)
H4 (y)
H5 (y)
H6 (y)
H7 (y)
H8 (y)
6.2.3
Slide 100
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
2y
4y 2 − 2
8y 3 − 12y
16y 4 − 48y 2 + 12
32y 5 − 160y 3 + 120y
64y 6 − 480y 4 + 720y 2 − 120
128y 7 − 1344y 5 + 3360y 3 − 1680y
256y 8 − 3584y 6 + 13440y 4 − 13440y 2 + 1680
Lösung der Schrödingergleichung
Lösung der Schrödingergleichung Asymptotischer Lösungsansatz
Schrödingergleichung
d2
ψ(ξ) + (ε − ξ 2 )ψ(ξ) = 0
2
dξ
Für sehr große Werte von ξ gilt ξ 2 ε und damit asymptotisch (also
für ξ → ±∞)
d2 ψ̃
− ξ 2 ψ̃(ξ) = 0
dξ 2
Diese Differentialgleichung hat die allgemeine Lösung
1 2
1 2
ψ̃(ξ) = Ae− 2 ξ + Be+ 2 ξ
Damit ψ̃(ξ) normierbar bleibt, muss ψ̃(ξ) → 0 für ξ → ±∞
B=0
Slide 101
61
=⇒
Lösungsansatz für die Schrödingergleichung
1 2
Die asymptotische Lösung ψ̃(ξ) ∼ e− 2 ξ verwendet man als Ansatz für
eine allgemeine Lösung für alle ξ, nicht nur für sehr große.
1 2
ψ(ξ) = N H(ξ)e− 2 ξ
ist ein Produkt aus
Normierungskonstante N (später festzulegen),
einer unbekannten “Korrektur”Funktion H(ξ) (als nächstes zu bestimmen)
und der bereits bekannten asympotischen Lösung ψ̃(ξ)
Slide 102
Ableitungen des Lösungsansatzes ψ = N H(ξ)ψ̃(ξ)
Differenziert man ψ(ξ) nach der Kettenregel, so erhält man
dψ(ξ)
d − 1 ξ2
= N
e 2 · H(ξ)
dξ
dξ
− 12 ξ 2 dH(ξ)
− 12 ξ 2
· H(ξ) + e
= N −ξe
dξ
und
d2 ψ(ξ)
= N
dξ 2
1 2
1 2 dH(ξ)
(ξ 2 − 1)e− 2 ξ H(ξ) − 2ξe− 2 ξ
dξ
2
1 2 d H(ξ)
+e− 2 ξ
dξ 2
Slide 103
62
Differentialgleichung für H(ξ)
d2
ψ(ξ) + (ε − ξ 2 )ψ(ξ) = 0
dξ 2
1 2
und Multiplikation von links mit e 2 ξ /N ergibt
Einsetzen in die SGL
(ξ 2 − 1)H(ξ) − 2ξ
dH(ξ) d2 H(ξ)
+
+ (ε − ξ 2 )H(ξ) = 0
2
dξ
dξ
oder
H 00 (ξ) − 2ξH 0 (ξ) + (ε − 1)H(ξ) = 0
Slide 104
Potenzreihenansatz für H(ξ) I
Gleichungen der Form
H 00 (ξ) − 2ξH 0 (ξ) + (ε − 1)H(ξ) = 0
löst man durch Potenzreihenentwicklung
Ansatz H(ξ) =
∞
X
aj ξ j
j=0
⇒ H 0 (ξ) =
∞
X
j · aj ξ j−1
j=0
⇒ H 00 (ξ) =
∞
X
j(j − 1) · aj ξ j−2
j=0
Einsetzen:
∞
P
j=0
j(j − 1) · aj ξ j−2 − 2ξ
∞
X
{z
ξ...ξ j−1 →ξ j
63
∞
P
j=0
j=0
|
Slide 105
j · aj ξ j−1 +(ε − 1)
}
aj ξ j = 0
Potenzreihenansatz für H(ξ) II
∞
X
j(j − 1) · aj ξ
j−2
{z
⇓
∞
X
j
j · aj ξ + (ε − 1)
j=0
j=0
|
−2
∞
X
∞
X
aj ξ j = 0
j=0
}
j(j − 1) · aj ξ j−2
j=2
|
{z
}
mit k + 2 := j
∞
X
(k + 2)(k + 2 − 1) · ak+2 ξ k+2−2
|k=0
{z
}
und nach Umbenennen k → j
∞
X
{(j + 2)(j + 1)aj+2 + (ε − 1 − 2j)aj } ξ j = 0
j=0
Slide 106
Potenzreihenansatz für H(ξ) III Rekursionsformel
∞
X
{(j + 2)(j + 1)aj+2 + (ε − 1 − 2j)aj } ξ j = 0
j=0
Diese Gleichung kann nur dann für alle ξ gelten, wenn jede einzelne
Potenz von ξ verschwindet.
⇒
(j + 2)(j + 1)aj+2 = (2j + 1 − ε)aj
Dies ist eine Rekursionsformel für die aj
• kennt man a0 , sind alle weiteren a2 , a4 , a6 , . . . festgelegt.
• kennt man a1 , sind alle weiteren a3 , a5 , a7 , . . . festgelegt.
a0 und a1 kann man prinzipiell frei wählen, da man später noch den
Normierungsfaktor bestimmen muss.
Slide 107
64
Abbruchbedingung
Man kann nun zeigen (tun wir aber nicht), dass i.A. für einen beliebigen
Wert von ε die Funktion H(ξ) so schnell wächst, dass das Produkt
1 2
H(ξ)e− 2 ξ für ξ → ±∞ nicht gegen Null strebt.
=⇒ Die Wellenfunktion ist dann nicht normierbar.
Für normierbare Lösungen muss die Potenzreihe für H(ξ) also bei irgendeiner maximalen Potenz n (also bei ξ n ) abbrechen.
!
also: an+2 = 0
⇒
Slide 108
2n + 1 − ε !
=0
(n + 2)(n + 1)
=⇒
2n + 1 − ε = 0
oder
εn = 2n + 1
Quantenzahl n
εn = 2n + 1
Es fällt wieder automatisch eine Quantenzahl n an, die die verschiedenen möglichen Lösungen (für die maximalen endlichen Potenzen von
ξ) durchzählt.
r
2 m
E
ε war definiert als ε =
~ k
Die Energieniveaus des harmonischen Oszillators lauten dann
r
En = ~
Slide 109
65
k
m
1
n+
2
Frequenz des Oszillators
1
1
En = ~ω n +
= hν n +
2
2
1
Frequenz: ν =
2π
r
k
m
r
Kreisfrequenz: ω = 2πν =
k
m
Frequenz des quantenmechanischen Oszillators ist dieselbe wie die des
klassischen Oszillators
Die Energie des klassischen Oszillators hängt direkt von der Amplitude
(maximale Auslenkung) der Schwingung ab und kann kontinuierlich
variieren
Die Energie des quantenmechanischen Oszillators ist wieder gequantelt.
6.2.4
Slide 110
Form der Wellenfunktionen und Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte
Wellenfunktionen
1 2
ψ(ξ) = Nn Hn (ξ)e− 2 ξ
mit
66
Hn (ξ) =
n
X
aj ξ j
j=0
(n)
aj+2 =
2(j − n)
(n)
a
(j + 2)(j + 1) j
wenn n gerade, dann verschwinden
alle aj für ungerades j
wenn n ungerade, dann verschwinden
alle aj für gerades j
Slide 111
Grundzustand
ψn (x) = Nn Hn (ξ)e−ξ
mit ξ = x/a =
√
4
x √m·k
~
2 /2
=
p mω
~
x
m · ω 1/4 1 1/2
und Nn =
~π
2n n!
1
• EGZ = E0 = ~ω
2
ψ0 (x) =
=
m · ω 1/4
~π
m · ω 1/4
· 1 · 1 · e−
e−
mω 2
x
~
mω 2
x
~
s ~π r
mω 2
1
m·ω
4
√
=
· e− ~ x
~
π
Slide 112
67
1. Angeregter Zustand
ψn (x) = Nn Hn (ξ)e−ξ
mit ξ = x/a =
√
4
x √m·k
~
2 /2
=
p mω
~
x
m · ω 1/4 1 1/2
und Nn =
~π
2n n!
3
• E1 = ~ω
2
m · ω 1/4 1 1/2 r mω
mω 2
ψ1 (x) =
·2
·
x · e− ~ x
~π
2
~
s
r
3
mω 2
2
mω
4
√
=
· x · e− ~ x
~
π
Slide 113
ψ(x) and ρ(x) = |ψ(x)|2 dx
ψ0(x)
ψ1(x)
ρ0(x)
ρ1(x)
ψ3(x)
ψ4(x)
ρ3(x)
Slide 114
ρ4(x)
68
ψ2(x)
ρ2(x)
ψ5(x)
ρ5(x)
Darstellung im “Topf der potentiellen Energie”
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
ψ(x)
Slide 115
ρ(x)
Eigenschaften I
• Zahl der Knoten(=Nulldurchgänge der Wellenfunktion) = Quantenzahl
n
• Die niedrigste Energie 21 ~ω > 0 Nullpunktsenergie
Ein quantenmechanischer Oszillator ist niemals in Ruhe! Er
“schwingt immer um seine Gleichgewichtslage”!
Slide 116
Eigenschaften II
69
• Ein klassischer Oszillator dürfte sich, bei den gegebenen Energien, nicht
im Bereich außerhalb der gelben Parabel aufhalten. (Hier wäre wegen
En = T + V und V > En die kinetische Energie T negativ!
• Ein quantenmechanischer Oszillator darf sich in diesem klassisch “verbotenenen” Bereich aufhalten. Die Wellenfunktion hat eine endliche
Amplitude und Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte in diesem Bereich.
Tunneleffekt
Dieses Hinein’tunneln’ in klassisch verbotene Bereiche ist ein
allgemeines Phänomen der Quantenmechanik
Der Name dafür ist
Tunneleffekt
Slide 117
Unschärferelation
p
∆x2 ∆p2x ist im Grundzustand des harmop
~
nischen Oszillators gegeben durch ∆x2 ∆p2x = .
2
• Die Orts-Impulsunschärfe
• Es gilt also das Gleichheitszeichen in der Unschärferelation
Zustand minimaler quantenmechanischer Unschärfe
Der GZ des HO ist derjenige quantenmechanische Zustand mit
der minimal möglichen Orts-Impuls-Unschärfe.
Slide 118
Der harmonische Oszillator:
leküle
Ein Modell für zweitatomige Mo-
• Alle obigen Resultate gelten auch für zweiatomige Schwinger
• x ist dann die Differenz zwischen aktuellem Atomabstand und dem
Gleichgewichtsabstand re : x = x2 − x1 − re
• Dazu muss m → µ =
m1 · m2
ersetzt werden.
m1 + m2
• µ heißt reduzierte Masse.
70