14 Schaltvorgänge

14 Schaltvorgänge
Aufgabe 14.1
i
Die in Bild 14.1 dargestellte Schaltung enthält eine Spule mit der Induktivität
L = 90 mH sowie die Wirkwiderstände Rl = 30Q und R2 = 60 ß. Die Versorgungsspannung beträgt U = 45 V. Im Zeitpunkt / = 0 wird der Schalter geschlossen.
Es ist der zeitliche Verlauf des Stromes / (für t Z 0) anzugeben und grafisch
darzustellen.
ms
c)
Bild 14.1 Schaltvorgang in einem ohmsch-induktiven Stromkreis, a) Gegebene Schaltung, b) vorliegende
Schaltung nach dem Einschalten des Schalters, c) zeitlicher Verlauf des im Kreis fließenden Strömet
Lösung
Durch das Schließen des Schalters entsteht die in Bild 14. Ib dargestellte Schaltung. Darin ist
Mit ML = ^ di/df und «R = R\i wird daraus
(14.
Es entsteht also eine Differenzialgleichung. Zu deren Lösung zerlegen wir
gesuchten Strom in
<=/e+ff.
Durch Ausfuhren der Integration und Einsetzen
(R!
Hierbei sei /e derjenige Strom, der sich nach längerer Zeit einstellt. Er wird
eingeschwungener oder als stationärer Strom bezeichnet. Damit ist if ein
hergehend auftretender Strom, den man freien oder flüchtigen Strom nennt,
zen wir Gl. (14.2) in Gl. (14.1) ein, so ergibt sich
Daraus folgt, wenn wir if j und t j nachfolgend
und t = t,
_*L,
(14.
Da der Strom / in den stationären Strom ie übergeht, muss Gl. (14.1) auch
i - ie gelten, so dass
e
(14.4J
ist. Subtrahieren wir Gl. (14.4) von Gl. (14.3), so ergibt sich
d/
=0.
(14.J
Wir erhalten also zur Bestimmung der Ströme ie und if zwei voneinander
hängige Gleichungen (Gin. (14.4) und (14.5)). Sie ermöglichen die getrennte BeiJ
Stimmung der Ströme.
Den stationären Strom /<, - und damit die Lösung von Gl. (14.4) - finden wirf
in einfacher Weise aus der Überlegung, dass der sich in Bild 14. Ib einstelle
Strom zeitlich konstant ist. Er beträgt somit
U
(14.6
if =/ f o e
L
-i
=/ f 0 e
T
Damit haben wir die Lösung für den Verlauf de
bei allerdings die Konstante iK noch nicht bek
Zeitkonstante bezeichnet und beträgt im vorlieg
L
*•*•
90-10~3H
= 3,0-HT* s = 3,0
30 Q
Setzen wir die in den Gin. (14.6) und (14.7) an
ein, so erhalten wir
U
Zur Bestimmung der hierin enthaltenen Konsta
tung nach Bild 14. la im Zeitpunkt t = 0 und b
im Kreis fließende Strom i infolge der vorhan
ändern kann. Folglich muss der bei t = 0 (un
Schalters) auftretende Strom gleich dem Strom
Schalters fließt. Man bezeichnet diese Bedingu
steht im vorliegenden Fall darin, dass im Zeitpu
Zur Ermittlung des freien Stromes if trennen wir in Gl. (14.5) die Variable
und erhalten
u
45V
(30+ 60) Q
= 0,50 A
auftritt. Setzen wir diese Anfangsbedingung in
Daraus wird durch Integrieren, wenn wir den im Zeitpunkt f = 0 vorbände
freien Strom als Jffi bezeichnen und den in einem beliebigen Zeitpunkt tl
denen freien Strom als / n ,
|- T
Hieraus folgt, wenn wir berücksichtigen, dass e = l ist,
U
/fo =* 70 -— = 0,50 A - . = - 1,0 A.
fo
° R
300
Wir setzen dieses Ergebnis in Gl. (14.8) ein und erhalten so als Lösung für den]
suchten Strom
U
_^
t__
t__
*=^^-l,OA-e 3'0ws = l5A-l,OA-e 3'0ms
30 Q
In Bild 14. Ic ist der zeitliche Verlauf dargestellt. Der Strom / steigt also (nach]
ner e-Funktion mit der Zeitkonstanten T = 3,0 ms) von 0,5 A auf 1,5 A an.
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14 Schalt
14 Schaltvorgänge
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Lösung
=/ e +/f 0 e
In der Schaltung nach Bild 14.4b gilt nach der Maschenregel
Hieraus folgt
Mit / = Cd«c/df wird daraus
Dieses Ergebnis setzen wir in Gl. (14.11) ein und finden so den gesuchten
chen Verlauf des Stromes als
=i e -/ e e
= 3,50A- 1-e
3,0ms
In Bild 14.3c ist dieser zeitliche Verlauf dargestellt. Der Strom steigt also von Nu
aus - nach einer e-Funktion mit der Zeitkonstanten T = 3,0 ms - auf / = 3,50 A an,]
(14.12)
Gl. (14.12) hat die gleiche Form wie die auf Seite 350 angegebene Gl. (14.1). Daher nehmen wir auch die Lösung der angegebenen Differenzialgleichung in gleicher Weise vor wie auf den Seiten 350 bis 352 beschrieben. Auf die ausführliche
Herleitung der Gleichungen soll jedoch verachtet werden. Wir stellen zunächst analog zu Gl. (14.2) - die gesuchte Kondensatorspannung durch
MC = MCe + MCf
Aufgabe 14.4
Ein Kondensator mit der Kapazität C = 100 nF ist nach Bild 14.4a auf die Spa
nung Uco = 50 V aufgeladen. Der Kondensator wird durch das Schließen
vorhandenen Schalters nach Bild 14.4b über einen Widerstand R = 20 kQ an i
Gleichspannung von U = 200 V gelegt.
Es ist der zeitliche Verlauf der am Kondensator liegenden Spannung uc
bestimmen und grafisch darzustellen. (Der Schaltaugenblick entspreche dem Ze
punkt t = 0.)
(14.13)
dar. Hierbei sei U& die (sich einstellende) stationäre Kondensatorspannung. MQist die (vorübergehend auftretende) freie Kondensatorspannung. Aus Bild 14.4b ist
ersichtlich, dass die (sich einstellende) stationäre Kondensatorspannung
«0, = f/ = 200 V
(14.14)
beträgt. Für die freie Kondensatorspannung erhalten wir - analog zu Gl. (14.7),
Seite 351 - die allgemeine Lösung
M Cf="Cf<T e
(14.15)
Hierbei stellt «QQ eine noch zu bestimmende Konstante dar. Die Größe r ist die
Zeitkonstante des Ladevorganges. Sie beträgt im vorliegenden Fall
U.
T = RC = 20-103 Q-100-10"9 F = 2,0-10"3 s= 2,0ms.
a)
Wir setzen die in den Gin. (14.14) und (14.15) enthaltenen Ergebnisse in Gl.
(14.13) ein und erhalten so die allgemeine Lösung für die gesuchte Kondensatorspannung als
_t^
c
c)
Bild 14.4 Einschalten eines ohmsch-kapazitiven Stromkreises, a) Schaltung bei geöffnetem Schalter, 1
b) Schaltung bei geschlossenem Schalter, c) zeitlicher Verlauf der Kondensatorspannung
Die hierin enthaltene Konstante «cro erhalten wir aus der Anfangsbedingung, also aus der Tatsache, dass sich die Kondensatorspannung nicht sprunghaft ändern
kann und daher im Zeitpunkt t = 0 den Wert «c = Uco = 50 V haben muss. Wir
verwenden diese Bedingung in Gl. (14.16) und erhalten
50 V = 200
Hieraus folgt, wenn wir berücksichtigen, dass e° = l ist,
«cfo = 50 V-200 V = -150 V.
Wir setzen dieses Ergebnis in Gl. (14.16) ein und finden so die endgültige Lösn
als
» c =200 V-150 V-e 2,0ms
In Bild 14.4c ist dieser Verlauf grafisch dargestellt. Die Kondensatorspa
steigt also vom Anfangswert wc = 50 V aus - nach einer e-Funktion mit der '.
konstanten T = 2,0 ms - auf den Endwert MC = 200 V.
r=o/
Wir setzen die in den Gin. (14.19) und (14.20) enthaltenen Ergebnisse in
(14.18) ein und finden so die allgemeine Lösung für die gesuchte Kc
Spannung als
t
R
'-
•JO
a)
b)
«C=«Ce +M Cf = &
Die hierin enthaltene Konstante ucfo gewinnen wir aus der Anfangsbedir
also aus der Tatsache, dass sich die Kondensatorspannung nicht sprunghaft i
kann. Vor dem Schließen des Schalters (und damit auch unmittelbar nach
Schließen des Schalters im Zeitpunkt 1 = 0) beträgt die Konde
(Bild 14.5a)
(3,0 +6,0) kQ
= 120 V.
Wir verwenden diese Bedingung in Gl. (14.21) und erhalten
_o
120V = 80V+M Cf0 -e *.
C)
Hieraus folgt, wenn wir berücksichtigen, dass e° = l ist,
-40-1
V-80 V = 40 V.
Wir setzen dieses Ergebnis in Gl. (14.21) ein und rinden so die endgültige '.
als
t
MC = 80 V+40 V-e 4,0ms
In Bild 14.5c ist dieser Verlauf grafisch dargestellt. Die Kondensator
fällt also vom Anfangswert MC = 120 V aus - nach einer e-Funktion mit der '.
konstanten T = 4,0 ms - auf den Endwert uc = 80 V.
Bild 14.6 Anlegen einer Spule mit Reihenwiderstand an Wechselspannung, a) Gegebene Schaltung,
b) Schaltung mit eingetragenen Spannungen, c) zeitlicher Verlauf des Stromes /' (als Überlagerung
des stationären Stromes ie und des freien Stromes if) sowie zeitlicher Verlauf Spannung u
Lösung
Wir führen nach Bild 14.6b die Spannungen MR und ML ein. In der Schaltung gilt
«L + «R = M.
(14.22)
Hierbei können wir die anliegende sinusförmige Wechselspannung u durch
Aufgabe 14.6
In der Schaltung nach Bild 14.6a wird die Reihenschaltung einer Spule mit der ]
duktivität L = 150 mH und des Wirkwiderstände R = 100 ß an eine Spaiuni
quelle angeschlossen. Diese liefert eine (sinusförmige) Wechselspannung u
dem Scheitelwert u = 40 V und der Frequenz / = 500 Hz. Der Schalter wird :
positiven Nulldurchgang der Spannung u geschlossen.
Es ist der zeitliche Verlauf des Stromes / zu ermitteln und grafisch darzustelle
(Der Schaltzeitpunkt entspreche dem Zeitpunkt t = 0.)
M = M sin (Dt
darstellen. Bei dieser Darstellung wird berücksichtigt, dass der Stromkreis im positiven Nulldurchgang von u (dieser Nulldurchgang entspricht dem Zeitpunkt
t = 0) geschlossen wird. Dann wird aus Gl. (14.22) mit WL = Ld//df und «R = Ri
L
dt
1-Ri = ü sin cot.
(14.23)
Zur Lösung dieser DifFerenzialgleichung zerlegen wir den gesuchten Strom
den (sich einstellenden) stationären Strom ie und den (vorübergehend
den) freien Strom i f , also in
i = ie+it.
(14.!
Da der nach dem Schließen des Schalters auftretende Strom / in den static
Strom ie übergeht, muss Gl. (14.23) auch für / = ie gelten. Deshalb ist
L-^ +R'e-usm(0t-
(14'3
Subtrahieren wir Gl. (14.25) von Gl. (14.23), so erhalten wir unter Berücksic
gung von Gl. (14.24)
stellt die Zeitkonstante dar. Setzen wir die in den Gin. (14.29) und (14.30) angegebenen Ergebnisse in Gl. (14.24) ein, so ergibt sich
/ = 'e+*f
= 'e sin(ö>f-<jj) + / fo e
T.
(14.31)
Die hierin enthaltene Konstante % erhalten wir aus der Überlegung, dass sich der
Strom ; infolge der vorhandenen Induktivität nicht sprunghaft ändern kann. Es
muss somit in Bild 14.6b bei t = 0 auch / = 0 sein. Verwenden wir diese Anfangsbedingung in Gl. (14.31), so finden wir
_o
0 = 4 sin (o) • 0 - <p) + if 0 e T .
Hieraus folgt mit e° = l
i£+»<,-».
(MJ
Den stationären Strom können wir nach den für sinusförmige Vorgänge
ten Verfahren ermitteln. Der Strom hat bei dem Spulen-Blindwiderstand
% =4 sin <f> = 83,0 mA • sin 78,0°= 81,2 mA.
Damit lautet die endgültige Lösung für den gesuchten Strom, wenn wir die gefundenen Ergebnisse in Gl. (14.31) einsetzen,
t
ö£ = 2-7i-500Hz-150-10~ 3 H =
1 = 83.0mA-sinfof-78,0°) + 81,2mA-e 1'50ins .
folglich den Scheitelwert
f
u
40V
r»-3
= 83,0 • 10"
J A = 83,0 mA (14.2
Vl002 + 4712Q
und eilt der anliegenden Wechselspannung u um den Phasenverschiebungswinkel'
= arc tan— = arc tan
= 78,0°
R
100Q
(14.:
nach. Damit lautet die Gleichung für den zeitlichen Verlauf des stationären St
mes
;e = 4 sin (mt - <p) = 83,0 mA • sin (cot - 78,0°).
(14.2
Die für den freien Strom if geltende Gl. (14.26) stimmt mit Gl. (14.5) auf Se
351 überein. Daher können wir von dort als Lösung das in Gl. (14.7) angeget
Ergebnis übernehmen. Es lautet
_*,
L
=
150-10~3H
100 n
Aufgabe 14.7
Die Schaltung nach Bild 14.7a enthält eine Spule mit der Induktivität L = 20 mH
sowie die beiden Wirkwiderstände Rv = 200 Q und R2 = 50 ß. Die
(sinusförmige) Eingangsspannung hat einen Scheitelwert von ü = 35 V und eine
Frequenz von / = 1,0kHz. Der Schalter wird qj„ = 150° nach dem positiven
Nulldurchgang der Spannung geschlossen.
Es ist der zeitliche Verlauf des Stromes i für t > 0 zu ermitteln und grafisch dazustellen. (Der Schaltzeitpunkt entspreche dem Zeitpunkt t = 0.)
(14.3
Dabei ist ifo eine noch zu bestimmende Konstante. Die Größe
L
Hierbei ist to = 2 • K • 500 Hz = 3,14 • 103 s"1 die Kreisfrequenz der Wechselspannung. Den zeitlichen Verlauf des Stromes i - als Überlagerung des stationären
(sinusförmigen) Stromes ;e und des freien (nach einer e-Funktion abidingenden)
Stromes ;f - zeigt Bild 14.6c. Ebenfalls eingetragen ist der zeitliche Verlauf der
Wechselspannung «. Deren Periodendauer beträgt T = l// = 1/500 Hz = 2,0 ms.
"3
= 1,50 -10" s =1,50 ms
Lösung
Nach dem Schließen des Schalters liegen in Bild 14.7a die beiden Widerstände R\d R