berufsmaturitätsschule BMS Formelsammlung Physik
Werbung
BMS berufsmaturitätsschule Formelsammlung Physik Inhaltsverzeichnis Fehlerrechnung Rechnen in der Physik Wärmelehre Hydrostatik Kinematik Drehbewegungen Kräfte Statik Dynamik Arbeit, Energie und Leistung Stoffwerte 2 3 4 5 6 6 7 9 10 11 12 !" #"!$" %&$'!() *+ , *"!- "(. /0 #&() Kollektoren 42 m2 mit Frostschutz P1 Pumpe Solarkreislauf Warmwasser 1‘700 Liter/Tag Speicher 1‘000 Liter bestehend, mit Gaskessel beheizt. Gaskessel, Heizung und Warmwasser, 55 kW Pumpe für die Umschichtung, wenn der Solarspeicher wärmer ist. Kombispeicher Solar 3‘400 Liter mit zwei Wärmetauschern Formelsammlung Geltende Ziffern Zahl 25 2’500 0.00250 Geltende Z. 2 4 3 Zahl 2.5 ⋅ 10 3 2.5 2.50 ⋅ 10−3 Geltende Z. 2 2 3 Faustregel: Eine Aufgabe wird „exakt“ gerechnet und am Schluss auf drei geltende Ziffern gerundet. Fehlerrechnung Einzelmessung Absoluter Fehler relativer Fehler Bsp: b = (75.0 ± 0.8)mm wahre Grösse = Messwert ± abs. Fehler abs.Fehler relativer Fehler = Messwert Bsp: b = 75.0mm ± 1.1% Regeln der Fehlerrechnung Algebraische Summe: Multiplikation und Division: Addition der absoluten Fehler Addition der relativen Fehler Summen und Produkte müssen getrennt behandelt werden! Hinweis: Beispiel: Faktoren und Brüche wie π , 1 / 2 sind exakt, also ohne Fehler 1 / 2 ⋅ (75.0 ± 0.8) mm = (37.5 ± 0.4) mm = 37.5 mm ± 1.1% Mehrere Messungen Mittelwert und Standardabweichung Wahrer Wert = Mittelwert ± Standardabweichung 1C Berechnen einer passenden Kurve Regression oder Ausgleichsgerade Liegen x und y-Daten vor, wird der Zusammenhang mit einer Regression (lineare Funktion = Ausgleichsgerade) berechnet. Gasausdehnung 120 100 80 y = 0.31x + 88.296 60 40 Beispiel 20 • Messung „ideales Gas“ mit sechs Messwerten • Darstellung im Länge-Temperatur-Diagramm • Ausgleichsgerade mit Funktionsgleichung Länge [mm] 0 0 20 40 60 80 Microsoft Excel TI N’Spire Funktion einfügen; Menü Statistik Beispiel 10 Daten: =MITTELWERT(B5:B14) Standardabweichung =STABW(B5:B14) Haustaste home c 3: List & Spreadsheet Daten in einer Spalte eingeben. Menü 4. Statistics 1: Stat Calculations, 1: One-Variable Stat. Mittelwert: x , Standardabweichung: σ x Diagramm (x-y-Punkt) zeichnen Menü „Diagramm“, Trendlinie hinzufügen Typ: linear oder polynomisch, die „Reihenfolge“ steht für die höchste Potenz der Potenzfunktion Optionen: 3: Linear Regression Daten in zwei Spalten X1 List: a[ ] (1. Spalte) Y1 List: b[ ] (2. Spalte) Frequency List: 1 (jeder Wert 1 Mal) 100 BMS Physik Formelsammlung Gleichung im Diagramm darstellen Physikalische Grössen Grösse = Zahlenwert ⋅ Einheit (⋅ Richtung ) Vektor g r g = 9.81 m/s2 (Betrag) Einheiten kombinieren: 1 ms m N =1 2 =1 1s kg s r Zahlenwert, Einheit, Richtung r m m g = 0 / − 9.81 2 = 9.81 2 ⋅ (0/ - 1) s s kg ⋅ m 1N = 1 2 s Zehnerpotenzen, SI Vorsätze Faktor 10-18 10-15 10-12 10-9 10-6 10-3 10-2 10-1 Vorsatz Atto Femto Pico Nano Mikro Milli Zenti Dezi Zeichen a f p n µ m c d Faktor 101 102 103 106 109 1012 1015 1018 Vorsatz Deka Hekto Kilo Mega Giga Tera Peta Exa Zeichen d h k M G T P E Trigonometrie HY Nur im rechtwinkligen Dreieck sin(α ) = GK HY cos(α ) = AK HY tan(α ) = GK AK GK α AK Beliebiges Dreieck Sinussatz Cosinussatz a b c = = = 2r sin α sinβ sin γ c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos(γ ) Umkreisradius r Vektoren in der Physik vy r Vektor kartesisch: v = (v x / v y ) = (v ⋅ cos(α ) / v ⋅ sin(α ) ) Koordinaten: v x = v ⋅ cos(α ) Winkel α immer von der positiven x-Achse weg Vektoraddition r r r v = v1 + v2 Summe r r r veff = veigen + vMedium α v y = v ⋅ sin(α ) vx Beispiel graphisch durch verschieben und „anhängen“ rechnerisch kartesischen Koordinaten (siehe oben) Summe TI N’Spire Kartesisch Vektoren eckigen Klammern, Komma als Trennzeichen v x ,v y Polarform [Betrag , ∠Winkel ] [ Vektor ] [ ] Umrechnung: v x ,v y Polar Formelsammlung Betrag r v = v = v x2 + v y2 „Länge“ des Vektors Winkel α = arc tan (v y / v x ) BspǤ (10 m/s, ∠150°) ≅ ( −8.66 / 5.0 ) m/s Wärmelehre Die Temperatur T = ϑ + 273K Die absolute Temperatur T wird in Kelvin angegeben 77 K = -196°C Beispiel flüssiger Stickstoff: ϑ in°C Erwärmung und Ausdehnung feste Körper: Länge feste Körper: Volumen ∆l = l0 ⋅ α ⋅ ∆T α linearer Ausdehnungskoeffizient ∆V ≈ V0 ⋅ 3α ⋅ ∆T γ ≈ 3α Flüssigkeiten: Volumen ∆V = V0 ⋅ γ ⋅ ∆T Volumenausdehnungskoeffizient γ Mischprozesse ∆Qauf = ∆Qab Wärmeaufnahme und Wärmeabgabe sind gleich Temperaturdifferenzen ∆T1 = ϑ1 − ϑmisch bzw. ∆T2 = ϑmisch − ϑ2 sind verschieden [α ] = [γ ] = K −1 = 1 K Spezifische Wärme Wärmemenge ∆Q [∆Q] = J, kJ, MJ fest ∆Q = m ⋅ c fest ⋅ ∆T spez. Wärmekapazität c fest-flüssig ∆Q = m ⋅ L f spez. Schmelzwärme Lf flüssig ∆Q = m ⋅ c flüssig ⋅ ∆T spez. Wärmekapazität c flüssig-gasförmig ∆Q = m ⋅ Lv Leistung P = ∆Q / ∆t Beispiel Wasser Schmelztemperatur: 0°C Verdampfungstemperatur: 100°C spez. Verdampfungswärme Lv J kg ⋅ K [L] = J kg [c] = J kg ⋅ K [L] = J kg [P ] = J/s = W siehe S. 11 Temp [°C] Aggregatszustand Wasser 120 2 100 spezifische Wärmekapazität cEis = 2.1 kJ/(kg K) cWasser = 4.182 kJ/(kg K) 80 Lf = 333.8 kJ/kg spez. Schmelzwärme Lv = 2’256 kJ/kg spez. Verdampfungswärme 20 60 3 40 5 0 -20 -40 -60 [c] = 0 Q [kJ] 1000 4 2000 3000 4000 BMS Physik Formelsammlung Ideale Gase Dichte umrechnen: m V kg kg 1000 3 = 1 m l Tipp: V0 = 1.0 m 3 Normbedingungen p0 = 1.013 ⋅105 Pa = 1.013 bar Dichte (rho) [ρ] = ρ= Gasgleichung absolute Temperatur T absoluter Druck p kg m3 kg g =1 3 l cm bei Normbedingungen einsetzen 1 p1 ⋅ V1 p2 ⋅ V2 = T1 T2 nur in Kelvin! pabs = prel. + pLuft T = 273K für konstante Gasmengen! Luftdruck: pLuft ≈ 1bar 5 1 mbar =100 Pa = 1 hPa Druckumrechnung 1 bar = 10 Pa Tipp: Veränderliche Gasmengen jeweils in Normbedingungen umrechnen. Aero- und Hydrostatik Begriff Definition, Formel Einheit Gewichtskraft FG = m ⋅ g [F ] = N = kg ⋅2 m Hinweise Masse m in kg Kraft F in N. Druck F p= A Pascal Pa Druck ist eine skalare Grösse! Kraft und Begrenzungsfläche sind gerichtete Grössen. s N [ p] = Pa = 2 m kg m3 m Dichte ρ= V Schweredruck p S = ρ ⋅ g ⋅ h [ρ ] = Auftriebskraft Dichte der Flüssigkeit, Volumen der verdrängten Flüssigkeit. FA = ρ Fl . ⋅ g ⋅ VFl . Flüssigkeit oder auch Gas Text siehe unten [ p] = Pa = SI-Einheit! ρ Wasser = 1'000 N m2 Formulierung nach Archimedes: Die Auftriebskraft ist gleich gross wie die Gewichtskraft des verdrängten Mediums. kg m3 Gilt für inkompressible Flüssigkeiten unabhängig von der Form! Sinken: FA < FG Schweben: FA = FG Schwimmen: FA = FG nur ein Teil des Körpers taucht ein. FA Ein schwimmender Körper taucht genau so weit ein, dass Auftriebs- und Gewichtskraft gleich gross sind. F Formelsammlung Kinematik ∆s [v] = m/s ∆t Umrechnung: 1 m/s = 3.6 km/h ∆s = v ⋅ ∆t nur mit der mittleren Geschwindigkeit! ∆v a= [a] = m/s 2 ∆t Mittlere Geschwindigkeit v= Strecke Beschleunigung 25 Gleichförmige, geradlinige Bewegung s-t-Diagramm Beispiel ohne Beschleunigung Gerade 1: s1 (t ) = v1 ⋅ t Steigung positiv + 2 m/s Gerade 2: s2 (t ) = s20 + v2 ⋅ t Steigung negativ -3 m/s Schnittpunkt: zur selben Zeit am selben Ort kreuzen 15 10 5 t [s] 0 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -5 überholen Bewegung mit konstanter Beschleunigung 25 s [m] s-t-Diagramm Parabel: s [m] 20 20 r r r r s (t ) = s0 + v0 ⋅ t + 0.5 ⋅ a ⋅ t 2 15 im Scheitelpunkt gilt: v = 0 10 Geschwindigkeit als Steigung im s-t-Diagramm Mittlere Geschwindigkeit: Sekante Momentangeschwindigkeit: Tangente 5 t [s] 0 -2 -1 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 -5 v [m/s] 25 v-t-Diagramm 20 Momentangeschwindigkeit: v (t ) = v0 + a ⋅ t r r r 15 10 Beschleunigung: Steigung im v-t-Diagramm Zurückgelegte Strecke = Fläche unter der Kurve 5 -2 0 -1 -5 0 -10 Mittlere Geschwindigkeit: v = Ort und Geschwindigkeit ohne Zeit v1 + v2 (Diagr.) 2 v 2 = v02 + 2a ⋅ ∆s ∆s = (s − s0 ) -15 -20 5 6 t [s] BMS Physik Formelsammlung Freier Fall und senkrechter Wurf Konstante Beschleunigung Vorzeichenkonvention: Geschwindigkeit a = − g , Fallbeschleunigung g = 9.81 m/s2 nach oben = positiv, nach unten = negativ! v(t ) = v0 − g ⋅ t (Gerade) Höhe Steigzeit h(t ) = h0 + v0 ⋅ t − 0.5 ⋅ g ⋅ t 2 (Parabel) t Steig = v0 / g Steighöhe hSteig = v02 / (2 g ) max. Höhe: v = 0 Der horizontale Wurf Überlagerung: Horizontale Bewegung mit vx = konstant und freier Fall. Geschwindigkeit Ort Bewegung horizontal v x = v0 x = v0 ⋅ t vx = v0 vy Freier Fall vertikal vy = −g ⋅t y = −0.5 ⋅ g ⋅ t 2 r Momentangeschwindigkeit v = (v x / v y ) siehe Skizze rechts v0 Der schiefe Wurf ohne Luftwiderstand Überlagerung: horizontale Bewegung und senkrechter Wurf. α ist der Startwinkel zwischen v0 und der Horizontalen α vx = v0 cos(α) Bewegung horizontal Geschwindigkeit v x (t ) = v0 ⋅ cos(α ) Ort x(t ) = v0 ⋅ cos(α ) ⋅ t Wurf vertikal v y (t ) = v0 ⋅ sin(α ) − g ⋅ t y(t ) = h0 + v0 ⋅ sin(α ) ⋅ t − 0.5 ⋅ g ⋅ t 2 Wurfparabel (x / y) f ( x) = y = x ⋅ tan(α ) − g ⋅ x2 2 ⋅ v ⋅ cos(α ) 2 2 0 vy0 = v0 sin(α) ohne Zeit Drehbewegungen Frequenz (Drehzahl) Winkel im Bogenmass Winkelgeschwindigkeit Bahngeschwindigkeit n 1 U U = Bsp: 6′000 = 100 = 100 Hz t T min s n = Anzahl Umdrehungen, t = Zeit, T = Umlaufzeit, 1 Periode, Bogenlänge ϕ= dimensionslos, Einheit rad, π rad = 180° r s =ϕ ⋅r [s] = m Weg = Länge Kreisbogen ∆ϕ 2π = [ω ] = s −1 Winkel im Bogenmass! (omega) ω= t T ∆ϕ ⋅ r v= =ω⋅r [v] = m/s ∆t f = Zentripetalbeschleunigung v2 az = = ω 2 ⋅ r r v = Bahngeschwindigkeit [a z ] = m/s 2 [v] = m/s Die Beschleunigung aZ zeigt ins Kreiszentrum! Formelsammlung Kräfte Gewichtskraft Erdbeschleunigung r r FG = m ⋅ g g = 9.81 m/s2 [F ] = N = kg ⋅ m / s2 Richtung ( 0 / −1) Federkraft (Hooke) ∆F = D ⋅ ∆s Federkonstante D in N/m, D = Steigung im F-s-Diagramm Spannarbeit als Fläche Reibungskraft µ (mü) FR = µ gleit ⋅ FN dimensionslose Reibungszahl immer gegen die Bewegungsrichtung FR = µ roll ⋅ FN analog für die Rollreibung FR ≤ µ 0 ⋅ FN Haftreibung als Maximalwert Die Normalkraft FN steht rechtwinklig zur Unterlage (s. schiefe Ebene) Luftwiderstand Gravitationskraft Erde FLW = 0.5 ⋅ ρ ⋅ CW ⋅ A ⋅ v 2 Dichte der Luft ρ, ca. 1.2 kg/m3, Luftwiderstandsbeiwert CW (dimensionslos), Frontfläche A in m2 Geschwindigkeit v in m/s. m1 ⋅ m2 r2 M = 5.976 1024 kg F =G⋅ N ⋅ m2 Gravitationskonstante kg 2 Erdradius r0 = 6'371 km G = 6.673 ⋅10 −11 Kräfte addieren und zerlegen Kräfte können addiert werden, wenn sie im selben Punkt angreifen. Vektoraddition siehe Seite 3. Kräfte zerlegen Richtungen parallel verschieben, Parallelogramm zeichnen r r r Vektorgleichung: F1 + F2 = F Schiefe Ebene Vorgehen x-Richtung y-Richtung y-Richtung x-Richtung Koordinatensystem einführen, die Vorzeichen richten sich nach dem Koordinatensystem. Die Gewichtskraft in zwei Komponenten zerlegen r FG = (FGx ; FGy ) y FGx = FHang = − m ⋅ g ⋅ sin(α ) FGy = −m ⋅ g ⋅ cos(α ) r r Normalkraft FN = − FGy Reibungskraft FRx = µ ⋅ FN = ± µ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos(α ) Das Vorzeichen richtet sich nach der Bewegungsrichtung. x FGx=FHang FGy BMS Physik Formelsammlung Statik Grundgesetz Statik (Systeme ohne Beschleunigung) Die Summe aller Kräfte ist gleich null. Die Summe aller Drehmomente ist null. Bzw. links- und rechtsdrehende Drehmomente heben sich auf. Aufgabentypen Kräfte addieren: Beispiel Lagerbelastung durch Seilkräfte Kräfte zerlegen: Beispiel Last auf zwei Seilrichtungen verteilen Drehmomente: Wenn die Kräfte an verschiedenen Punkten angreifen. Der Schwerpunkt Für Drehmoment- und Energiebetrachtungen wird die gesamte Masse konzentriert im Schwerpunkt eingesetzt. Rollen Eine Rolle lenkt Seilkräfte um. Flaschenzug Die festen Rollen lenken die Kräfte nur um. Entscheidend ist die Anzahl der losen Rollen: jede lose Rolle bewirkt eine Halbierung der Kraft Drehmoment F F 2F M = F ⋅ r ' = F ⋅ r ⋅ sin(α ) r = Hebellänge r’ = wirksame Hebellänge rechtwinklig zur Angriffslinie. Winkel α zwischen Hebel und Kraft Vorzeichen: Drehmomente im Uhrzeigersinn normalerweise negativ Auflagerkräfte Vorgehen Eine Drehachse bei A (oder B) wählen. Längen l horizontal d.h. rechtwinklig zu den Kräften bis zu A messen. Alle Drehmomente für die Achse A notieren, Gleichung der Drehmomente: FG1 ⋅ l1 + FG 2 ⋅ l2 = FB ⋅ l3 Analog für den Drehpunkt B. r r r Kontrolle: FA + FB = FG Gewichtskraft total FB A FG1 Lageplan, mit Abmessungen Kräfteplan nur Winkel Mst. in Meter m Mst. in Newton N FG2 B Formelsammlung Dynamik Vorgehen: Alle Kräfte einzeichnen. Vektorsumme der Kräfte berechnen. Die Summe heisst auch resultierende Kraft Fres. Trägheitsgesetz Für Fres = 0 bleibt die Geschwindigkeit unverändert konstant. Für einen PW mit konstanter Geschwindigkeit ist die Antriebskraft gleich gross wie die Summe aus Rollreibung plus Luftwiderstand. Bezugsystem In einem unbeschleunigten Bezugssystem gibt es keine Trägheitskräfte! Jede Kraft wird von einem anderen Körper verursacht. Die Gewichtskraft durch die Erde usw. Beispiel Bremsen Die Bremskraft wirkt der der Geschwindigkeit entgegen. Dank (Haft) Reibung ist Bremsen möglich! FBrems Fres = m ⋅ a = Reibungskraft = µ ⋅ m ⋅ g r r F Grundgesetz der Dynamik: res = m ⋅ a r r Fres und a sind immer parallel! Die Vektorsumme aller Kräfte ergibt die resultierende Kraft. Aktion und Reaktion greifen an verschiedenen Körpern an und sind entgegengesetzt gleich gross. Egal ab eine oder beide Personen ziehen, es gilt: r v FA = −FB Zwei Körper-System Die Gesamtmasse (m1 + m2) muss beschleunigt werden! 7 6 Summe in Punkt A: g⋅ m1 − g⋅ m2 ist die „Antriebskraft“ und resultierende Kraft. Beschleunigung des Gesamtsystems: g ⋅ (m1 − m2 ) = (m1 + m2 ) ⋅ a Die Seilkraft FSeil ist grösser als m2 ⋅ g und kleiner als m1 ⋅ g . Überlegung: Sonst resultiert keine beschleunigte Bewegung. Die Seilkräfte links und rechts sind gleich gross: Aktion und Reaktion! 7 7ε6 6 Für die Berechnung der Seilkraft wird nur eine Masse betrachtet. Die Beschleunigung muss bekannt sein (Skizze rechts). 89:; Fres2 m2 FG2 v BMS Physik Formelsammlung Arbeit, Energie und Leistung Arbeit work r r W = F ⋅ s ⋅ cos(ϕ ) = F o s Skalarprodukt! Einheit: 1 Nm= 1 Joule Energie ∆E = P ⋅ ∆t Einheiten: 1 J = 1 Ws, 1 kWh = 1000 W ⋅ 3600 s = 3.6 MJ Die Energieerhaltung Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden. Wenn das System umfassend gewählt wird, bleibt die Summe der Energie erhalten. W ∆E = Mittel ∆t ∆t Leistung power P= Momentanleistung P = F ⋅v Wirkungsgrad η= Nutzen Output = Aufwand Input Arbeit für die Berechnung eines Prozesses W = m ⋅ g ⋅ ∆h Beschleunigungsarbeit W = m⋅a⋅s resultierende Kraft mal Strecke Reibungsarbeit J und 1 PS ≈ 736 W s Einheit: N ⋅ m/s = W Arbeit (Prozessgrösse) Hubarbeit Einheit: 1 W = 1 W = FR ⋅ s = µ ⋅ FN ⋅ s Chemische Energie (z.B. Treibstoff) wird in mechanische Antriebsenergie umgewandelt. Spannen einer Feder: W = FFeder ⋅ ∆s / 2 Fläche unter der Kurve, siehe S. 8 dimensionslos, übliche Angabe in % Energieform (Zustandsgrösse) Energie ist gespeicherte Arbeit. potentielle Energie E pot = m ⋅ g ⋅ h m 2 ⋅v 2 Speicherung als innere Energie U (Wärme) kinetische Energie E kin = Emech = η ⋅ m ⋅ Hu Nutzen Heizwert Hu, Wirkungsgrad und Masse D 2 Elastische Energie Eelastisch = ⋅ (∆s ) 2 Die Zeit kommt in der Regel nicht vor und der detaillierte Verlauf zwischen zwei Zuständen braucht nicht bekannt zu sein. Anleitung zum Lösen von Aufgaben Alle Energieformen notieren. Summen gleich setzen und nach der gesuchten Grösse auflösen. Energieform Potentielle Energie Kinetische Energie Elastische Energie Innere Energie U Summe, Total Zustand 1 Zustand 2 m ⋅ g ⋅ h1 m 2 ⋅ v1 2 2 0.5 ⋅ D ⋅ (∆s1 ) m ⋅ g ⋅ h2 m 2 ⋅ v2 2 2 0.5 ⋅ D ⋅ (∆s2 ) W = FR ⋅ s „Verluste“ „Antriebsenergie“ Summe 1 = Summe 2 Formelsammlung Quelle Fundamentum Mathematik und Physik, Orell Füssli BMS Physik Formelsammlung
