Physikalisches Fortgeschrittenenpraktikum 1 0.5cm Compton
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Physikalisches
Fortgeschrittenenpraktikum 1
Compton-Effekt
John Schneider & Jörg Herbel
Durchgeführt am 21.11.2012
Universität Konstanz
WS 2012/13
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Physikalische Grundlagen
1.1 Wechselwirkung elektromagnetischer Strahlung mit Materie .
1.1.1 Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Compton-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Paarbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Der Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Wirkungsquerschnitt nach Thomson . . . . . . . .
1.2.2 Wirkungsquerschnitt nach Klein-Nishina . . . . .
1.3 Messgeräte und -techniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Photomultiplier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Szintillationszähler . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Vielkanalanalysator . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Koinzidenz-Messtechnik . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
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5
6
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8
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9
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2 Versuchsdurchführung
11
2.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Auswertung
3.1 Energiekanaleichung . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Ruhemasse und klassischer Radius des Elektrons
3.3 Rückstoßenergie der Elektronen . . . . . . . . .
3.4 Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . .
4 Anhang
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23
28
2
1 Physikalische Grundlagen
Abstract
In this experiment, we study the Compton effect. This effect describes a photon being
scattered on an wealky bounded electron. This process cannot be explained by classical
physical theory and it is one of the main experiments that lead to the development of
quantum mechanics.
We use high energy -rays from a 137 Cs-source and an anthracene target crystal to
induce the Compton effect. For the measurement, we applied scintillation counters and
coincidence measurement techniques. Our results were both angle-dependent and angleindepent spectrums. With these results, we calculated the electron mass, the classical
electron radius and the energy of the electrons after the scattering process. Furthermore,
we calculated the differential cross section and compared our values with the models of
Thomson and Klein-Nishina.
1 Physikalische Grundlagen
1.1 Wechselwirkung elektromagnetischer Strahlung mit Materie
1.1.1 Photoeffekt
Überschreitet die Energie EPh = h⌫ der einfallenden Photonen mit der Frequenz ⌫ eine
gewisse, materialabhängige Grenzenergie, so tritt der Photoeffekt auf. Dabei absorbiert
ein Elektron des bestrahlten Materials ein einfallendes Photon und gewinnt dadurch die
Energie EPh . Ist der Energiegewinn größer als die Austrittsarbeit EA , die das Elektron
verrichten muss, um sich aus der bestrahlten Materie zu lösen, so entsteht ein freies Elektron. Die dafür nötige Bedingung ist EPh EA . Gilt EPh > EA , resultiert der Überschuss
in kinetischer Energie Ekin des Elektrons. Insgesamt gilt also folgende Energiebilanz:
h⌫ = EA + Ekin .
3
1 Physikalische Grundlagen
1.1 Wechselwirkung elektromagnetischer Strahlung mit Materie
1.1.2 Compton-Effekt
Ab Photonenenergien von ca. 100 keV tritt der Compton-Effekt auf. Es handelt sich
hierbei um die inelastische Streuung von Photonen der Frequenz ⌫ an quasifreien Elektronen, wobei mit quasifrei EPh
EA gemeint ist. Bei diesem Streuvorgang, der schematisch in Abb. 1 dargestellt ist, ändert sich die Wellenlänge des gestreuten Photons.
Abbildung 1: Schematische Darstellung des Compton-Effekts aus [5], S. 35.
Um die Wellenlängenänderung zu berechnen, geht man davon aus, dass das Elektron
vor dem Stoß ruht. Aufgrund der nach dem Stoß eventuell sehr hohen Elektrongeschwindigkeit v ist relativistisch zu rechnen. Mittels Energie- und Impulserhaltung lassen sich
folgende Gleichungen aufstellen:
h⌫ + me c2 = h⌫ 0 + mc2 (Energieerhaltung),
h⌫
h⌫ 0
=
cos ' + mv cos # (px -Erhaltung),
c
c
h⌫ 0
0 =
sin ' mv sin # (py -Erhaltung).
c
me steht hierbei für die Ruhemasse des Elektrons und me für dessen Masse und Berück⇣
⌘ 12
v2
sichtigung der relativistischen Massenänderung, also m = me 1 c2
. Einsetzen
ineinander liefert für die Wellenlängenänderung des Photons:
=
C (1
cos ')
(1)
mit der Compton-Wellenlänge C = mhe c . Aus Gl. (1) ist ersichtlich, dass die ComptonVerschiebung der Wellenlänge des Photons unabhängig von der ursprünglichen Wellenlänge ist. Die maximale Änderung
max = 2 C ergibt sich für ' = ⇡, wenn das Photon
0
zurückgestreut wird. Die kinetische Energie des Elektrons nach dem Stoß Ekin
lässt sich
4
1 Physikalische Grundlagen
1.2 Der Wirkungsquerschnitt
berechnen über
0
Ekin
= h⌫
h⌫ 0 = h⌫
1
h⌫
1 + me c2 (1
1
cos ')
!
.
(2)
Für ' = ⇡ nimmt sie ihren Maximalwert
0
Ekin,max
= h⌫
1
1
1 + 2 mh⌫
2
ec
!
(3)
an, der das kontinuierliche Spektrum der Elektronenenergie nach dem Stoß abschließt
und Compton-Kante heißt.
1.1.3 Paarbildung
Gilt EPh
2me c2 ' 1 MeV, me : Ruhemasse des Elektrons, kann es zur Paarbildung
kommen. Dabei wird das Photon absorbiert und es entsteht ein Elektron-Positron-Paar.
Dafür muss das Photon mindestens die Ruheenergie der beiden Teilchen haben, daher
EPh
2me c2 . Allerdings gilt für den Photonenimpuls pPh = EPh /c
2me c > 2pe , pe :
Impuls des Elektrons bzw. Positrons. Um daher die Impulserhaltung zu gewährleisten,
muss noch ein schwerer Atomkern anwesend sein, der den Photonenimpuls aufnehmen
kann und in dessen Feld dann die Paarbilung erfolgt. Dabei gilt folgende Energiebilanz:
h⌫ = 2me c2 + 2Ekin , wobei Ekin die kinetische Energie des Elektrons/Positrons ist (beide
Teilchen erhalten die gleiche kinetische Energie).
1.2 Der Wirkungsquerschnitt
Der (integrale) Wirkungsquerschnitt misst die Wahrscheinlichkeit, mit der ein einfallendes Teilchen mit einem anderen Teilchen wechselwirkt. Fällt ein Teilchenstrom auf
einen Probekörper, der aus Targetteilchen besteht, so ordnet der Wirkungsquerschnitt
jedem Targetteilchen eine Wechselwirkungsfläche zu. Trifft ein einfallendes Teilchen auf
eine dieser Flächen, so findet eine Wechselwirkung statt. Daher definiert man im Fall
von Streuung als Wechselwirkung zu
:=
IS
, [ ] = m2 ,
I0 /Flächeneinheit
5
1 Physikalische Grundlagen
1.2 Der Wirkungsquerschnitt
wobei I0 der einfallende und IS der gestreute Teilchenstrom ist. Alternativ kann man
auch
ĖS
=
Ė0 /Flächeneinheit
mit der einfallenden Energie pro Zeiteinheit Ė0 und der gestreuten Energie pro Zeiteinheit ĖS schreiben. Allerdings ist IS bzw. ĖS messtechnisch oftmals nicht zugänglich bzw.
aufwendig zu messen, da ein Teilchendetektor den vollen Raumwinkel erfassen müsste.
Wird stattdessen nur innerhalb eines kleinen Raumwinkelbereichs d⌦ gemessen, so ist
die Definition des differentiellen Wirkungsquerschnitts
d
IS (⌦)
ĖS
:=
=
,
d⌦
I0 /Flächeneinheit
Ė0 /Flächeneinheit
d
sr
= 2,
d⌦
m
(4)
sinnvoll. Abb. 2 veranschaulicht den den differentiellen Wirkungsquerschnitt.
Abbildung 2: Veranschaulichung von
d
d⌦
aus [3], S. 65. Teilchen A mit Anfangsgeschwindigkeit
v0 wechselwirkt mit Teilchen B, der Stoßparameter ist b.
1.2.1 Wirkungsquerschnitt nach Thomson
In diesem Abschnitt wird ein differentieller Wirkungsquerschnitt für den ComptonEffekt, also die Streuung von Photonen an Elektronen, hergeleitet. Dies erfolgt zunächst
rein klassisch nach [8], S. 372 ff. Betrachte dazu eine in z-Richtung propagierende, in
x-Richtung linear polarisierte, elektromagnetische Welle, die auf ein Elektron mit der
Ladung e und der Ruhemasse me trifft, vgl. Abb. 3.
6
1 Physikalische Grundlagen
1.2 Der Wirkungsquerschnitt
Abbildung 3: Skizze zur Herleitung des Thomsonschen Wirkungsquerschnitt aus [8], S. 373.
Die Kreisfrequenz der Welle sei !. Dementsprechend erfährt das Elektron eine Beschleunigung in x-Richtung, die durch
ẍe =
eE0
cos(!t)
me
gegeben ist, wobei E0 der Betrag der maximalen elektrischen Amplitude der Welle ist.
Die Abstrahlcharakteristik des schwingenden Elektrons entspricht der eines Dipols. Die
Verteilung der Abstrahlleistung P über den Raumwinkel ist gegeben durch
dP
1 e2 1
=
ẍe sin2 (J).
3
d⌦
4⇡ 4⇡"0 c
Mit hẍ2e i = e2 E02 /(2me ) ergibt dies im zeitlichen Mittel
⌧
dP
d⌦
1
=
2
✓
e2
4⇡"0 me c2
◆2
"0 E02 c sin2 (J).
Diese Gleichung stellt gemäß Gl. (4) den Zähler des differentiellen Wirkungsquerschnitts
dar. Der Nenner ergibt sich aus der zeitlichen Mittelung des Betrags des PoyntingVektors S der einfallenden Welle:
1
hSi = "0 cE02 .
2
Damit ergibt sich der differentielle Wirkungsquerschnitt zu
d
=
d⌦
✓
e2
4⇡"0 me c2
7
◆2
sin2 (J).
(5)
1 Physikalische Grundlagen
Der Term
1.3 Messgeräte und -techniken
e2
re =
4⇡"0 me c2
ist hierbei der klassische Elektronenradius. Er entsteht durch Gleichsetzen der Selbstenergie (potentielle Energie einer Ladung im von der Ladung selbst erzeugten elektrischen Feld) des Elektrons e2 /(4⇡"0 re ) mit dessen Ruheenergie me c2 . Da Gleichung (5)
noch von der Polarisation der einfallenden Welle abhängt (J = ^(E, Beobachter)), wird
noch über alle möglichen Polarisationsrichtungen gemittelt. Dadurch erhält man für den
differentiellen Wirkungsquerschnitt nach Thomson:
✓
d
d⌦
◆
=
T
re2
✓
1 + cos2 (✓)
2
◆
.
1.2.2 Wirkungsquerschnitt nach Klein-Nishina
Die obige Herleitung wurde rein klassisch durchgeführt, relativistische und quantenmechanische Effekte wurden vernachlässigt. Ebenso wurde der Rückstoß des Elektrons beim
„Aufprall“ des Photons nicht beachtet. Durch Berücksichtung all dieser Faktoren erhält
man den differentiellen Wirkungsquerschnitt nach Klein-Nishina, der gemäß [8], S.
374 gegeben ist durch
✓
d
d⌦
◆
=
KN
1
re2
2
+ cos2 (✓)
1
(1 cos ✓)2
1
+
2
(1 + (1 cos ✓))2
((1 + cos2 (✓))(1 + (1
cos ✓))
.
Dabei sind alle Variablen gleich definiert wie im vorangehenden Abschnitt, weiterhin gilt
= h⌫/(me c2 ), wobei ⌫ die Frequenz des einfallenden Photons ist.
1.3 Messgeräte und -techniken
Im Folgenden werden einige der für den Versuch zentralen Messapparaturen und methoden vorgestellt und beschrieben.
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1 Physikalische Grundlagen
1.3 Messgeräte und -techniken
1.3.1 Photomultiplier
Ein Photomultiplier ist eine Kombination aus einer Photokathode und einem Elektronenvervielfacher. Er dient dazu, sehr schwache Lichtsignale (auch einzelne Photonen)
nachzuweisen. Schematisch ist ein solcher Photomultiplier in Abb. 4 dargestellt. Die Photonen treffen auf die negative Kathode und lösen bei ausreichender Energie (EPh EA )
Elektronen heraus (vgl. Kapitel 1.1.1). Diese werden daraufhin in einem elektrischen
Feld beschleunigt und treffen auf weitere Elektroden, welche Dynoden genannt werden.
Dort werden mehrere Sekundärelektronen mit geringerer Energie aus der Oberfläche herausgeschlagen und zur folgenden Dynode hin beschleunigt. Dazu liegen die Dynoden auf
zunehmendem positiven Potential, an der Anode kann schlussendlich ein Strom gemessen werden. Der Verstärkungsfaktor des anfänglichen Photostroms ist exponentiell zur
Anzahl der Dynoden. In unserem Versuch wird ein Photomultipier als Teil der Szintillationszähler verwendet.
Abbildung 4: Schematische Darstellung eines Photomultipliers aus [4], S. 35.
1.3.2 Szintillationszähler
Ein Szintillationszähler ist ein empfindliches Messgerät zur Detektion von ionisierender
Strahlung und zur Messung deren Energie. Dazu erzeugt die Strahlung in einem fluoreszierenden Szintillatormaterial durch Anregung der Atome bzw. Moleküle Lichtblitze,
welche mittels Photomultiplier gemessen werden. Je nachdem, welche Art von Strahlung
detektiert werden soll, wird ein passendes Material gewählt. In organische Substanzen
wie beispielsweise dem polycyclischen Kohlenwasserstoff Anthracen (bestehend aus drei
Benzolringen) werden Elektronen auf höhere Niveaus angeregt, fallen zurück und emittieren die Anregungsenergie daraufhin in Form von Photonen. Anthracen wird in diesem
9
1 Physikalische Grundlagen
1.3 Messgeräte und -techniken
Versuch als Streukristall verwendet. Die herausgeschlagenen Elektronen werden dann
mit einem Szintillator nachgewiesen. Für den Nachweis der getreuten -Strahlen verwenden wir jedoch einen Szintillationszähler mit einer anorganischen Substanz. Diese
haben den Vorteil, dass mit ihnen höhere Dichten und damit eine höhere Empfindlichkeit bei der Messung von -Strahlung erzielt werden kann. In unserem Versuchsaufbau
verwenden wir einen Natriumiodidkristall, der mit einer geringen Menge Thallium (Aktivatoratome) dotiert ist. Die Strahlung erzeugt freie Elektronen oder freie Löcher, welche
durch den Kristall wandern und die Aktivatoratome anregen. Daraus resultiert wiederum
Photonenemission, welche mittels Photomultiplier gemessen wird.
1.3.3 Vielkanalanalysator
Ein Vielkanalanalysator dient zur Messung von elektrischen Impulsen. Treffen mehrere
verschiedene Impulse auf den Analysator, so werden diese ihrer Amplitude (auch Impulshöhe) nach sortiert und jeweils einem Kanal zugeordnet. Dabei repräsentatieren die
höheren Kanalnummern die höheren Amplituden. Man erhält schließlich ein sog. Impulshöhenspektrum, bei dem die Anzahl der entsprechenden Detektionen über den Kanalnummern aufgetragen ist. Da die Impulshöhen im vorliegenden Versuch proportional
zur Energie der gestreuten -Quanten sind, lässt sich mit einem bekannten Impulshöhenspektrum eine Eichung durchführen, so dass jedem Kanal eine bestimmte Energie
zugeordnet werden kann.
1.3.4 Koinzidenz-Messtechnik
Unter Koinzidenz versteht man allgemein das Zusammenfallen zweier Ereignisse, in unserem Experiment speziell das gleichzeitige Anschlagen der beiden Szintillationszähler
für die gestreuten -Quanten und die herausgelösten Elektronen. Da ein winkelabhängiges Spektrum der Elektronen nicht direkt aufgenommen werden kann, beziehen wir
den -Quanten Detektor, der aufgrund der Versuchsanordnung winkelaufgelößt messen
kann, mit ein. Es werden dabei nur Ereignisse betrachtet, bei denen beide Detektoren
anschlagen. Somit ist gewährleistet, dass das Photon und das Elektron beide am gleichen
Stoßprozess beteiligt gewesen sind. Eine solche Messung ist jedoch nur möglich, sofern
die zeitliche Trennung der Stöße zeitlich von den Messapparaturen aufgelöst werden
kann. Zudem müssen kleinere Unterschiede in den Signallaufzeiten ausgeglichen werden.
10
2 Versuchsdurchführung
2 Versuchsdurchführung
2.1 Aufbau
Eine schematische Darstellung des Versuchsaufbaus ist in Abb. 5 gezeigt. Um die benötigten -Quanten zu erzeugen, verwendeten wir ein radioaktives 137 Cs-Präparat. Die
Strahlung trifft auf den Anthracen-Streukristall, wo es zum Compton-Effekt kommt.
Die gestreuten Photonen konnten mit einem drehbaren Szintillationszähler (anorganisch:
NaJ(Tl)) registriert und vermessen werden. Die gestreuten Elektronen konnten mit einem Szintillationszähler, der direkt unter dem Streukristall positioniert war, vermessen
werden. Die beiden Detektoren waren mit einem Verstärker bzw. mehreren Verstärkern
verbunden, die wiederum das Signal an einen Vielkanalanalysator weitergeleitet haben.
Mit einem PC konnten die erhalten Impulshöhenspektren dann dargestellt werden. Eine
Schaltskizze ist in Abb. 6 dargeboten.
Abbildung 5: Versuchsaufbau aus [7]
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2 Versuchsdurchführung
2.2 Ablauf
Abbildung 6: Schaltskizze des Versuchsaufbaus aus [2]
2.2 Ablauf
Zunächst führten wir mit verschiedenen radioaktiven Quellen (22 Na, 60 Co und 137 Cs)
eine Energieeichung des Vielkanalanalysators durch. Hierzu nahmen wir jeweils das Impulshöhenspektrum in einem geeigneten Energiebereich auf, welche dann zum späteren
Vergleich mit bekannten Energiepeaks verwendet werden sollte. Da das Cäsium-Präparat
fest im Versuchsaufbau eingebaut war, poistionierten wir den Detektor in gerader Linie
hinter der Quelle. Die anderen beiden Präparate legten wir direkt in den Detektor. Als
nächstes vermaßen wir die Impulshöhenspektren der gestreuten -Quanten für verschiedene Streuwinkel ✓ (20°, 50°, 80°, 110°, 140°). Daraufhin untersuchten wir das Impulshöhenspektrum der gestreuten Elektronen ohne Koinzidenzmesstechnik, wodurch wir ein
winkelintegriertes Spektrum erhielten. Als letztes modifizierten wir den Aufbau, sodass
wir mittels Koinzidenztechnik messen konnten und nahmen die Spektren der gestreuten
Elektronen für die selben fünf Winkel auf, für die wir bereits die Photonen vermessen
hatten.
12
3 Auswertung
3 Auswertung
Um den Versuch auszuwerten, werden wir zuerst die Energiekanaleichung des Vielkanalanalysators durchführen. Daraufhin werden wir aus den Messwerten die Ruhemasse
und den klassischen Radius des Elektrons berechnen. Nach einer erneuten Eichung wird
dann die Rückstoßenergie der Elektronen bestimmt. Zum Abschluss werden wir noch
den differentiellen Streuquerschnitt berechnen und diesen mit den beiden Modellen aus
Abschnitt 1.2 vergleichen.
3.1 Energiekanaleichung
Zunächst muss eine Eichung der Energiekanäle des Vielkanalanalysators vorgenommen
werden. Dazu verwenden wir die aufgenommenen Spektren von 22 Na, 60 Co sowie 137 Cs,
welche in Abb. 7 dargestellt sind.
13
3 Auswertung
(a)
22
3.1 Energiekanaleichung
(b)
Na-Impulshöhenspektrum
(c)
137
60
Co-Impulshöhenspektrum
Cs-Impulshöhenspektrum
Abbildung 7: -Spektren von 22 Na, 60 Co und 137 Cs, welche zur Eichung der Kanäle verwendet
werden. Die hohe Anzahl an Ereignisse bei sehr niedrigen Kanälen entsteht durch
Hintergrundrauschen. Zusätzliche, nicht zu erwartende Peaks sind auf Vorgänge
wie Streuung im Detektor zurückzuführen. Erstellt mit QtiPlot.
Unter Verwendung der Zerfallsangaben der verwendeten Elemente aus [1] können wir
die Photopeaks in den Spektren bestimmten Energien E zuordnen, wobei die Literaturangaben als exakt angenommen werden. Die Zuordnung ist in Tab. 1 dargestellt,
wobei die Position der Photopeaks nicht aus den Schaubildern, sondern direkt aus den
Messdaten ausgelesen wurde.
14
3 Auswertung
3.1 Energiekanaleichung
Strahlungsquelle
E in keV Kanal
22
Na
511
97
22
Na
1274,5
231
60
Co
1173,3
213
60
Co
1332,5
241
Cs
661,7
123
137
Tabelle 1: Zuordnung der Photopeak-Kanäle zu bestimmten Energieen
Um die Energieskala zu eichen, wird eine lineare Regression mit QtiPlot durchgeführt.
Dies zeigt Abb. 8.
Abbildung 8: Die Energieen E aus Tab. 1 aufgetragen über der Kanalnummer mitsamt linearer Regression. Erstellt mit QtiPlot.
Als Ergebnis der Regression erhalten wir die Energie E in Abhängigkeit von der Kanalnummer k:
E(k) = [(5, 70 ± 0, 01)k 40, 25 ± 1, 75] keV
(6)
Damit ist die Energieskala geeicht.
15
3 Auswertung
3.2 Ruhemasse und klassischer Radius des Elektrons
3.2 Ruhemasse und klassischer Radius des Elektrons
In diesem Abschnitt wird mittels des Compton-Effekts die Ruhemasse und der klassische Radius des Elektrons bestimmt. Dazu verwenden wir die unter verschiedenen Streuwinkeln ✓ aufgenommenen Spektren der gestreuten -Quanten aus der 137 Cs-Quelle, siehe
Abb. 9.
(a) Impulshöhenspektrum für ✓ = 20
(b) Impulshöhenspektrum für ✓ = 50
(c) Impulshöhenspektrum für ✓ = 80
(d) Impulshöhenspektrum für ✓ = 110
(e) Impulshöhenspektrum für ✓ = 140
Abbildung 9: Impulshöhenspektren der -Quanten für verschiedene Streuwinkel, bei sehr nied-
rigen Kanälen tritt erneut Hintergrundrauschen auf, weiterhin entstehen erneut
zusätzliche Ausschläge durch Effekte im Detektor. Erstellt mit QtiPlot.
16
3 Auswertung
3.2 Ruhemasse und klassischer Radius des Elektrons
Aus der Abbildung ist deutlich die Compton-Verschiebung der Spektren hin zu niedrigeren Energien bei größerem Streuwinkel zu erkennen. Wir lesen erneut die Posititionen
der Photopeaks aus, welchen mittels Gl. (6) direkt eine Energie E 0 zugeordnet werden
kann. Die Ergebnisse sind Tab. 2 dargestellt.
✓ in °
Kanal E 0 in keV
E 0 in keV
20
114
609,55
2,89
50
85
444,25
2,60
80
62
313,15
2,37
110
47
227,65
2,22
140
39
182,05
2,14
Tabelle 2: Ausgelesene Positionen der Photopeaks aus den Streuspekren aus Abb. 9 mit zugehöriger Energie E 0 samt Fehler E 0 .
Ruhemasse des Elektrons Um aus den ausgelesenen Daten die Ruhemasse des Elektrons me zu bestimmen, werden Gl. (1) sowie die Beziehungen = c/⌫ und E = h⌫
verwendet, weiterhin werden Größen nach dem Stroß gestrichen:
=
0
=
c
⌫0
c
h
=
(1
⌫
me c
cos ✓) )
1
1
=
(1
E0
me c2
cos ✓) +
1
.
E
Folglich wächst 1/E 0 linear mit 1 cos ✓. Da für beide Größen Daten aus Tab. 2 vorliegen,
kann erneut eine lineare Regression vorgenommen werden. Diese zeigt Abb. 10.
17
3 Auswertung
3.2 Ruhemasse und klassischer Radius des Elektrons
Abbildung 10: Lineare Regression zur Ermittlung der Ruhemasse des Elektrons, durchgeführt
mit QtiPlot.
Wir erhalten:
1
= (2, 24 ± 0, 07) · MeV
me c2
1
= (1, 44 ± 0, 07) · MeV
E
1
=: a ± a,
1
=: b ± b.
(7)
Damit folgt für die Elektronenmasse, wobei der Wert für c aus [9] entnommen wurde:
me = (2, 24 MeV · c2 ) 1 = 7, 31 · 10
@me
me =
a = 4, 19 · 10 32 kg.
@a
31
kg,
Der Literaturwert liegt nach [9] bei me,lit = 9, 11 · 10 31 kg und somit außerhalb des
Toleranzbereichs unseres Ergebnisses. Die relative Abweichung beträgt 19,8%.
18
3 Auswertung
3.2 Ruhemasse und klassischer Radius des Elektrons
Klassischer Elektronenradius Der klassische Elektronenradius ist gegeben durch
re =
e2
.
4⇡"0 me c2
Unter Verwendung der benötigten Konstanten aus [9] berechnet sich re mit der von uns
bestimmten Elektronenmasse zu
re = 3, 15 · 10 15 m,
@re
re =
me = 2, 02 · 10
@me
16
m.
Nach [9] gilt als Literaturwert re,lit = 2, 82 · 10 15 m, was erneut außerhalb des Unsicherheitsbereichs unseres Ergebnisses liegt, die relative Abweichung beträgt 11,7%.
Sowohl bei der Elektronenmasse als auch beim klassischen Elektronenradius liegen unsere Werte innerhalb der korrekten Größenordnung, jedoch sind die Abweichungen nicht
unerheblich. Ein grober systematischer Fehler ist zwar auszuschließen, jedoch liegen ohne Zweifel einige nicht berücksichtige Fehlerquellen vor. Hierzu zählt beispielsweise ein
toter Gang der Winkelskala des Detektors, was dazu führt, dass auch ✓ fehlerbehaftet
ist. Weiterhin wurden die Fehler E 0 in der linearen Regression, auf der die Berechnung
von me und re beruht, nicht berücksichtigt. Um die Aussagekraft unserer Ergebnisse
zu überprüfen, berechnen wir mittels Gl. (7) die Energie der Gammaquanten vor dem
Streuvorgang:
E
E
= 694, 44 keV,
@E
=
b = 67, 52 keV.
@b
Ein Vergleich mit dem Wert für 137 Cs aus Tab. 1 zeigt, dass der Literaturwert noch
innerhalb des Toleranzbereichs liegt, somit können unsere bisherigen Berechnungen als
konsistent betrachtet werden. Allerdings ist zu beachten, dass E sehr groß ausfällt,
was den Wert des Ergebnisses für E im Bezug auf die Konsistenz unserer Auswertung
einschränkt.
19
3 Auswertung
3.3 Rückstoßenergie der Elektronen
3.3 Rückstoßenergie der Elektronen
In diesem Abschnitt werden wir die Rückstoßenergie der gestreuten Elektronen ermitteln.
Energieskalaeichung Zunächst muss erneut die Energieskala geeicht werden, da zur
Messung der entsprechenden Daten ein anderer Detektor als in den vorangehenden Teilen
verwendet wurde. Dazu verwenden wir das winkelintegrierte Spektrum der gestreuten
Elektronen, welches Abb. 11 zeigt.
Abbildung 11: Winkelintegriertes Spektrum der Streuelektronen mit linearen Fit im Bereich
der Compton-Kante. Die sehr hohen Zählraten bei niedrigen Kanälen sind
Hintergrundrauschen. Erstellt mit QtiPlot.
Es ist deutlich der konstante Bereich von Kanal 40 - 90 zu erkennen, der von der
Compton-Kante abgeschlossen wird. Diese sollte theoretisch unendlich scharf sein, jedoch verwischt sie aufgrund der schlechten Energieauflösung des Detektors. Der Kanal,
welcher der Compton-Kante zuzuordnen ist, liegt im Bereich des linearen Abfalls, welcher gemäß der Abb. ca. von Kanal 90 - 140 reicht. In diesem Bereich führen wir eine
20
3 Auswertung
3.3 Rückstoßenergie der Elektronen
lineare Regression mit QtiPlot durch (siehe ebenfalls Abb. 11) und erhalten:
f (k) = ( 312, 73 ± 2, 23)k + 48455, 72 ± 258, 85 .
| {z } |{z}
| {z } | {z }
=:a
= a
=:b
= b
Damit können wir nun ein k berechnen, für das die Ereignisanzahl auf f (K = 90 ± 10)/2
abgefallen ist:
f (90)/2 b
= 122, 47,
a
@k1/2
@k1/2
=
f (90) +
@f (90)
@a
k1/2 =
k1/2
wobei
f (K = 90) =
@f
@a
a+
@f
@b
b+
a+
@f
@K
@k1/2
@b
b = 8, 90,
K = 3586, 55.
Dieses k1/2 nehmen wir nun als das k an, welches der Compton-Kante zuzuordnen ist.
Mit Gl. (3) und den nötigen Konstanten aus [9] (wir verwenden hier selbstverständlich
Tab. 1
nicht die von uns ermittelte Elektronenmasse) sowie h⌫ = E = 661, 7 keV erhalten
wir E(k1/2 ) = 477, 37 keV. Weiterhin gilt E(k = 0) ⇡ 0. Damit folgt als Eichung der
Energieskala:
E(k) =
E(k) =
✓
◆
E(k1/2 )
keV k = 4, 90k keV,
k1/2
@E
k1/2 = 0, 25k keV.
@k1/2
Rückstoßenergie der Elektronen Aus den mittels Koinzidenzmesstechnik aufgenommenen Spektren der Streuelektronen ermitteln wir deren Rückstoßenergie. Die Spektren
sind in Abb. 12 dargestellt.
21
3 Auswertung
3.3 Rückstoßenergie der Elektronen
(a) Impulshöhenspektrum für ✓ = 20
(b) Impulshöhenspektrum für ✓ = 50
(c) Impulshöhenspektrum für ✓ = 80
(d) Impulshöhenspektrum für ✓ = 110
(e) Impulshöhenspektrum für ✓ = 140
Abbildung 12: Impulshöhenspektren der Streuelektronen für verschiedene Streuwinkel, bei
sehr niedrigen Kanälen tritt sehr starkes Hintergrundrauschen auf. Die eingezeichneten Linien markieren die nach Gl. (2) berechneten Rückstoßenergien.
Erstellt mit QtiPlot.
22
3 Auswertung
3.4 Wirkungsquerschnitt
Weiterhin werden die Messwerte mit theoretisch zu erwartenden Werten in Tab. 3
verglichen.
✓ in °
0
0
Ekin,
theo in keV Ekin, exp in keV
0
Ekin,
exp in keV
20
47,93
-
-
50
209,27
235,20
12,00
80
342,05
377,30
19,25
110
420,01
416,50
21,25
140
460,38
445,90
22,75
Tabelle 3: Verlgeich der mit Gl. (2) berechneten und der gemessen Rückstoßenergien der Elektronen. Für ✓ = 20 konnte experimentell keine Rückstoßenergie bestimmt werden,
weil hier das Hintergrundrauschen den für diese Messung wichtigen Bereich der
Energieskala zu stark überlagerte, vgl. Abb. 12(a).
Es zeigt sich, dass die die gemessen und berechneten Werte bei hohen Winkeln sehr
gut zusammenpassen, bei niedrigeren Werten hingegen liegen die zu erwartenden Werte
außerhalb des Toleranzbereichs unserer Ergebnisse. Eine fehlerhafte Eichung der Energieskala kann hier wegen der hohen Güte der Messwerte bei großen Winkeln nur bedingt
als Fehlerquelle herangezogen werden, allerdings spielt sie sicherlich eine wenigstens untergeordnete Rolle. Auch die Ablesegenauigkeit der Peaks ist recht gut, so dass andere Fehlerquellen wie Hintergrundrauschen und uns nicht bekannte Effekte im Detektor
verantwortlich sein müssen. Der prinzipielle Zusammenhang einer steigenden Rückstoßenergie mit größerem Streuwinkel ist eindeutig erkennbar.
3.4 Wirkungsquerschnitt
In diesem Abschnitt werden wir den differentiellen Wirkungsquerschnitt der Compton-Streuung ermitteln und mit den Modellen nach Thomson und Klein-Nishina
vergleichen. Den Wirkungsquerschnitt erhalten wir nach Gl. (4) zu
d
IS (⌦)
Zeff (✓)
=
=
,
d⌦
I0 /Flächeneinheit
⌦Ne j0
wobei Zeff die effektive Zählrate am -Detektor, ⌦ das Raumwinkelelement, Ne die
Zahl der Streukristallelektronen und j0 die Photonenstromdichte auf den Streukristall
23
3 Auswertung
3.4 Wirkungsquerschnitt
repräsentieren. Das Raumwinkelelement erhalten wir durch geometrische Überlegungen
(vgl. Abb. 5) zu
✓ ◆2
✓ ◆2
1
D4
⌦=
·⇡
.
L4
2
Die Elektronenanzahl im Anthracen-Kristall erhalten wir mit der in [2] angegebenen
Elektronendichte %e und dem Zylindervolumen:
Ne = V %e =
✓
D3
2
◆2
⇡L3 · 0, 338
1
.
barn · cm
Die auf den Streukristall einfallende Stromdichte lässt sich mit folgender Formel berechnen (dies ist eigentlich eine Näherung, weil die herausgestreuten Photonen vernachlässigt
werden, diese sind jedoch wenige im Vergleich zum Gesamtstrom):
j0 =
✓
◆2
L 1 + L 2 + L4
L1 + L2
|
{z
}
·jS (✓ = 0°),
Umrechnung von Kugelschale am Detektor auf Kugelschale am Streukristall
wobei jS (✓ = 0°) die Photonenstromdichte am Detektor unter einem Streuwinkel von
✓ = 0° ist. Diese erhalten wir über die effektive Zählrate und die Kreisfläche der Detektoröffnung:
Zeff (✓ = 0°)
Zeff (✓ = 0°)
jS (✓ = 0°) =
=
.
2
⌦L24
⇡ D4
2
Da der Detektor jedoch auch Photonen registriert, welche nicht ihre ganze Energie im
Detektorkristall abgegeben haben, muss die effektive Zählrate noch mit einem Ausbeutefaktor R korrigiert werden. Diesen erhalten wir aus Abbildung 13, indem wir bei den
Energien unserer Photopeaks den Faktor ablesen (bei dem Kristall handelt es sich um
einen 2⇥2 Kristall). Somit gilt:
jS (✓ = 0°) =
Z(✓ = 0°)
1
.
2
⌦L4 R(✓ = 0°)
24
3 Auswertung
3.4 Wirkungsquerschnitt
Abbildung 13: Der Ausbeutefaktor in Abhängigkeit von der Energie aus [6]
Für den differentiellen Streuquerschnitt kommen wir somit auf folgende Formel:
d
Z(✓)R(✓ = 0°)
=
d⌦
Z(✓ = 0°)R(✓)
✓
L1 + L2
L 1 + L2 + L4
◆2
L24
.
Ne
Der Fehler des Streuquerschnitts berechnet sich mittels Fehlerfortpflanzung zu
✓
d
d⌦
◆
=
d
@ d⌦
@Z(✓)
+
Z(✓) +
d
@ d⌦
@R(✓ = 0°)
d
@ d⌦
@Z(✓ = 0°)
Z(✓ = 0°) +
d
@ d⌦
@R(✓)
R(✓)
R(✓ = 0°).
Als Fehler für den Ausbeutefaktor nehmen wir einen Wert von R = 0, 03 an. Mit diesem
Fehler wird die recht große Ableseungenauigkeit ausgedrückt. Als Fehler für die Zählraten
nehmen wir einen relativen Fehler von 10% an. Die Ergebnisse sind zusammen mit ihren
Fehlern und den nach den Modellen aus Abschnitt 1.2.1 und 1.2.2 zu erwartenden Werten
in Tab. 4 dargestellt. Für die Berechung der Modellwerte wurde jeweils der Literaturwert
für die Elektronenmasse und den -radius aus [9] herangezogen. Die Ergebnisse sind zudem
in Abb. 14 und 15 visualisiert.
25
3 Auswertung
3.4 Wirkungsquerschnitt
✓ in °
0
20
50
80
110
140
Ereignisse
49001
710
333
224
289
314
Messzeit in s
45,1
285,4
280,2
221,2
212,4
126,2
Z in
1086,5
2,5
1,2
1,0
1,4
2,5
0,47
0,52
0,60
0,67
0,74
0,81
2502,11
5,18
2,14
1,64
1,99
3,36
1
s
R
d
d⌦
in
centibarn
sr
d
d⌦
in
centibarn
sr
532,36
1,10
0,45
0,34
0,42
0,71
d
d⌦ T
in
centibarn
sr
11,91
11,45
9,58
8,06
8,40
10,27
7,94
7,46
5,31
3,34
2,65
2,50
d
d⌦ KN
in
centibarn
sr
Tabelle 4: Die ermittelten Streuquerschnitte im Vergleich mit den Modellwerten nach Thomson und Klein-Nishina.
d
centibarn
in
d⌦
sr
Abbildung 14: Die aus unseren Messwerten berechneten Wirkungsquerschnitte (grün) zusammen mit den nach Thomson (rot) und Klein-Nishina (blau) zu erwartenden
Werten. Erstellt mit Grapher.
26
3 Auswertung
3.4 Wirkungsquerschnitt
Abbildung 15: Die berechneten Wirkungsquerschnitte samt Fehlerbalken zusammen mit den
nach Thomson (rot) und Klein-Nishina (blau) zu erwartenden Werten aufgetragen über ✓. Erstellt mit QtiPlot.
Die experimentell bestimmten Streuquerschnitte stimmen mit Außnahme des Wertes
für ✓ = 0° qualitativ mit denen der Modelle überein. Es wird zudem deutlich, dass das
Klein-Nishina-Modell bessere Voraussagen trifft, da hier auch quantenmechanische
und andere Effekte berücksichtigt werden. Quantitativ ist die Diskrepanz zu unseren
Messwerten allerdings nicht zu übersehen. So stimmt nur ein Wert in seinem Toleranzbereich mit einem der Modellwerte überein. Auffällig ist auch der Wert für ✓ = 0°.
Diesen haben wir in den Schaubildern nicht verwendet, da er komplett aus dem Schema
fällt. Kein Modell kann diese starke Abweichung ansatzweise erklären. Als Fehlerquelle
kommt in diesem Versuchsteil die Ablesenungenauigkeit der Ausbeutefaktoren hinzu.
Zudem wurden alle Längenangaben und Winkel als exakt angenommen, was sicherlich
nicht gegeben war. Die Genauigkeit der Detektoren ist außerdem fraglich.
27
Literatur
4 Anhang
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Compton-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differentieller Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Skizze zur Herleitung des Thomsonschen Wirkungsquerschnitt . . . .
Photomultiplier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltskizze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eichmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energiekanaleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Impulshöhenspektren der -Quanten für verschiedene Streuwinkel . . .
Lineare Regression Ruhemasse Elektron . . . . . . . . . . . . . . . . .
Winkelintegriertes Spektrum der Streuelektronen . . . . . . . . . . . .
Impulshöhenspektren der Streuelektronen für verschiedene Streuwinkel
Ausbeutefaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polardiagramm Wirkungsquerschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wirkungsquerschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
6
7
9
11
12
14
15
16
18
20
22
25
26
27
Zuordnung Photopeaks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Photopeaks aus den Streuspektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vergleich der berechneten und der gemessenen Elektronrückstoßenergien
differentieller Streuquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
17
23
26
Tabellenverzeichnis
1
2
3
4
Literatur
[1] The Lund/LBNL Nuclear Data Search.
toi/. Entnommen am 23.11.12.
http://nucleardata.nuclear.lu.se/
[2] Bausinger, Ralf: Comptoneffekt. Anleitung zum physikalischen Fortgeschrittenenpraktikum der Universität Konstanz. Entnommen am 23.11.2012.
28
Literatur
Literatur
[3] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 3 - Atome, Moleküle und Festkörper.
Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 4. Auflage, 2010.
[4] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 4 - Kern-, Teilchen- und Astrophysik. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 4. Auflage, 2010.
[5] Georg Maret, Guido Burkard: Physik IV: Integrierter Kurs. Skript zur
Vorlesung im Sommersemester 2012 an der Universität Konstanz. Entnommen am
04.11.2012.
[6] Inc., Saint-Gobain Ceramics & Plastics: Efficiency Calculations for Selected
Scintillators. http://www.detectors.saint-gobain.com/, 2004. Entnommen am
23.11.2012.
[7] Luis Riegger, Udo Dehm: Comptoneffekt, 2010. Versuchsprotokoll im Rahmen
des physikalischen Fortgeschrittenenpraktikums an der Universität Konstanz.
[8] Melissinos, Adrian C. und Jim Napolitano: Experiments in Modern Physics.
Academic Press, Amsterdam, 2. Auflage, 2003.
[9] NIST: CODATA Internationally recommended values of the Fundamental Physical
Constants. http://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html. Entnommen
am 24.12.2012.
29
