2. Übungsblatt zur Vorlesung Physik I Aufgabe 5: Zwei verbundene

2. Übungsblatt zur Vorlesung Physik I
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Wintersemester 2009/2010
Abgabe bis 30.10.2009, 13:00
Prof. Dr. Shaukat Khan
Prof. Dr. Jan Kierfeld
Aufgabe 5: Zwei verbundene Massen rutschen über eine Kante (5 Punkte)
Zwei Massen m1 und m2 rutschen reibungsfrei, im Schwerefeld der Erde, über eine Kante. Die beiden Massen sind
über einen masselosen Faden mit konstanter Länge L und einer reibungsfreien Rolle miteinander verbunden.
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen der beiden Massen auf. Dabei sollte auch die Zugspannung im Seil
berücksichtigt werden. (Hinweis: An geeigneter Stelle ist es hilfreich, Gleichungen zu addieren.)
b) Betrachten Sie die Grenzfälle m1 m2 , m1 = m2 und m2 m1 . Was ergibt sich für die Beschleunigungen
der beiden Massen?
c) Lösen Sie die Bewegungsgleichungen. Kommen sie Ihnen bekannt vor?
Aufgabe 6: Aufzug
(5 Punkte)
Ein Fahrstuhl besteht aus der Aufzugskabine A, dem Gegengewicht B und dem Antriebsmotor C. Die Masse der Kabine beträgt 1100 kg, die des Gegengewichts 1000 kg. Der Fahrstuhl beschleunige aufwärts und das
Gegengewicht abwärts jeweils mit a = 2 m/s2 .
a) Skizzieren Sie sich den Aufbau und die wirkenden Kräfte.
b) Bestimmen Sie die auf der Seite des Fahrstuhls und des Gegengewichtes auftretenden Seilkräfte. Die Masse
des Seiles und Reibungskräfte können vernachlässigt werden.
c) Welche Kraft muss der Antrieb aufbringen?
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d) Überlegen Sie sich eine technische Lösung, die dazu dient, die durch das Eigengewicht der Seile zusätzlich
auftretenden Seilkräfte zu minimieren. Dies wird insbesondere relevant, wenn man mit dem Aufzugsystem
große Höhen, zum Beispiel in einem Hochhaus oder im Bergbau, überwinden muss. Skizzieren Sie diese
Lösung und diskutieren Sie die resultierenden minimierten Seilkräfte.
In der Aufzugskabine hängt senkrecht an einem Kabel eine Lampe. Der Fahrstuhl bewegt sich abwärts und hat
eine Verzögerung von a = 2,4 m/s2 bevor er zum Stillstand kommt.
e) Welche Masse hat die Lampe, wenn die Zugspannung im Kabel 89 N beträgt?
f) Wie groß ist die Seilspannung in der Lampenaufhängung, wenn der Aufzug mit a = 2,4 m/s2 steigt?
g) Wie groß ist die Seilspannung, wenn das Tragseil des Fahrstuhls reißt?
Aufgabe 7: Schiefer Wurf auf schiefer Ebene
(5 Punkte)
Gegeben sei eine schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel α zur Horizontalen. Vom Fußpunkt A dieser Ebene aus
wird ein Körper aufwärts mit einer Geschwindigkeit geworfen, deren Betrag v0 ist und die mit der Horizontalen
den Winkel β einschließt.
y


x
A
a) Wie lautet die Bahn ~r (t) in Komponenten? Geben Sie außerdem die Parametrisierung y (x) der schiefen
Ebene an.
b) Bestimmen Sie die Zeit tF , nach der der Gegenstand auf der schiefen Ebene auftrifft.
c) Zeigen Sie, dass die Reichweite R des Körpers auf der schiefen Ebene
R=
2v02 sin (β − α) cos β
g cos2 α
beträgt. Die Beziehung
sin (ξ − η) = sin ξ cos η − sin η cos ξ
könnte hilfreich sein.
d) Zeigen Sie mittels der Identität
sin ψ cos ζ =
1
(sin (ψ + ζ) + sin (ψ − ζ)) ,
2
dass für die größtmögliche Reichweite
Rmax =
v02
g (1 + sin α)
gilt, und bestimmen Sie den Abwurfwinkel β, unter dem sie erreicht wird.
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e) Diskutieren Sie den Spezialfall α = 0. Bestimmen Sie die Wurfweite und den optimalen Wurfwinkel für
diesen Spezialfall.
Aufgabe 8: Herdentiere (schwierig)
(5 Punkte)
In den vier Ecken eines Quadrats der Kantenlänge a = 20 m sitzt je ein punktförmiges Punktschaf, von denen
jedes zu dem im Gegenuhrzeigersinn nächsten aufschliessen will. Dabei bewegt es sich zu jedem Zeitpunkt mit
der Geschwindigkeit v = 1 m/s auf das „vor“ ihm liegende Schaf zu.
vφ
v
t=0
vr
r
t>
0
φ
a) Berechnen Sie die Bahnkurve. Sie können sich an folgender Anleitung orientieren:
• Überlegen Sie qualitativ, wie die Bahnen der Schafe aussehen werden. Wie verformt sich das Quadrat
im Laufe der Bewegung?
• Verwenden Sie Polarkoordinaten (r, ϕ), und teilen Sie die Geschwindigkeit eines ausgewählten Schafes
auf in Radial- und Winkelanteil: ~v = vr ~er + vϕ ~eϕ . Daraus erhalten Sie Ausdrücke für ṙ und ϕ̇.
• Unter Benutzung der Identität
ṙ
dr
=
erhalten Sie eine Differentialgleichung für die Funktion r(ϕ).
ϕ̇
dϕ
• Diese sollte lösbar sein mit dem Ansatz r(ϕ) = A·exp(B ϕ). Setzen Sie ihn in die Differentialgleichung
ein und bestimmen Sie damit den Parameter B.
• Den Parameter A bestimmen Sie aus der Anfangsbedingung r(ϕ0 ) = r0 , wobei r0 und ϕ0 die Position
des ausgewählten Schafes zu Beginn der Bewegung kennzeichnen.
b) Wann trifft sich die Herde, und wie lang ist der Weg, den ein jedes Schaf bis zum Treffpunkt zurücklegt?
Diese Teilaufgabe ist auch ohne die Ergebnisse von a) lösbar.
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