Naturwissenschaften II (B. Sc. Maschinenbau) - IAP

Übungen zur Vorlesung
Naturwissenschaften II
(B. Sc. Maschinenbau)
Sommersemester 2008
Professor Dr. G. Birkl, Dr. N. Herschbach
Musterlösung 6
Besprechung in der Woche
vom 26.5 - 2.6.08
www.physik.tu-darmstadt/apq/naturwissenschaften
1. Hall-Effekt
Man betrachte einen Leiter, der von einem Strom I durchflossen ist und sich in ei~ befindet. Im Leiter werden die Ladungsträger dabei infolge der
nem Magnetfeld B
Lorentzkraft senkrecht zum Magnetfeld und senkrecht zur Stromrichtung abgelenkt.
Dies bewirkt eine Ladungsträgertrennung, die wiederum den Aufbau eines elektrischen
UHall
ez
ey
n
B
ex
+
vD
h
e
b
-
I
+
U
~ H zur Folge hat. Hierbei erfolgt die Ladungstrennung so weit, bis die von den
Feldes E
~ H die Lorentzkraft, der sie entgegen
Ladungsträgern erfahrene Coulombkraft im Feld E
~
wirkt, kompensiert. Das Feld EH ruft eine Spannung UHall hervor, die Hall-Spannung
genannt wird. Die Hall-Spannung soll berechnet werden für die in der Abbildung darge~ stehe horizontal
stellte Geometrie. Das Leiterstück habe die Höhe h und die Breite b. B
und zum Leiter orthogonal. Die freien Ladungsträger, die den Stromfluß ermöglichen,
seien Elektronen mit Ladung −e und Ladungsträgerdichte n.
a) Berechnen Sie die Stromdichte ~j, und geben Sie einen Ausdruck für die Driftgeschwindigkeit ~vD der Elektronen an.
~ H her.
b) Leiten Sie einen Ausdruck für das elektrische Feld E
c) Berechnen Sie eine Formel für die Hall-Spannung UHall .
d) Die auf dem Hall-Effekt beruhenden Magnetfeldsensoren sind fast immer aus
Halbleitermaterial aufgebaut. In Halbleitern ist die Ladungsträgerdichte 106 mal
kleiner als in Metallen. Weshalb werden Halbleiter zur Herstellung von Hallsonden
bevorzugt?
1
J̀
^
J́
a) Wir haben ~j = nq~vD = −ne~vD und |~j| =
I
.
bh
Damit wird |~vD | =
I
.
bhne
b) Die Kompensation der Lorentzkraft F~L durch die Coulombkraft F~C bedeutet
F~C = −F~L
~ H = −q ~vD × B
~
qE
~
~
EH = − ~vD × B
~ ez
= − |~vD ||B|
=−
~
I|B|
ez .
bhne
c) Es gilt
UH =
Z
~ H · d~s
E
~ H · ez
= −hE
~
I|B|
.
=
bne
d) Durch die 106 mal geringere Ladungsträgerdichte bei Halbleitern entstehen 106
mal größere Hall-Spannungen, wie an der Formel für UH zu erkennen ist.
≺./ •∞• ./
2
2. Induktionsgesetz von Faraday
Ein rechteckiger Drahtbügel in der x-y-Ebene mit der Breite b = 1 m liegt senkrecht
~ das in positive z-Richtung (= aus der Bildebene)
zu einem homogenen Magnetfeld B
steht und 0.1 T beträgt. Der Drahtbügel habe einen vernachlässigbar kleinen elektrischen Widerstand. Zieht man einen Stab mit elektrischem Widerstand R = 1 Ω, der
B=(0, 0, B)
R
y
b
v
B
Uind
x
reibungsfrei über den Drahtbügel gleiten kann, mit konstanter Geschwindigkeit ~v in
x-Richtung mit |~v | = v = 1 m/s, wird durch die Änderung des magnetischen Flußes
ein Strom I induziert. Dabei muss man Arbeit gegen die Lorentzkraft leisten, die dieser
Strom hervorruft.
a) Bestimmen Sie die induzierte Spannung Uind .
b) Berechnen Sie den Strom I und die Lorentzkraft F~L .
c) Berechnen Sie die mechanische Leistung Pmech , die erbracht werden muss, um die
Bewegung des Stabes mit Geschwindigkeit ~v zu ermöglichen. Wie verhält sich
diese im Vergleich mit der elektrischen Leistung Pel , die im Widerstand R in
Joule’sche Wärme umgewandelt wird?
d) Wie würden sich die Lorentzkraft F~L und die aufzubringende mechanische Leistung Pmech ändern, wenn für den elektrischen Widerstand R sehr kleine Werte erreicht werden könnten, wie es die Benutzung von Supraleitern ermöglichen
würde?
J̀
J́
^
~ Nach dem Induktionsgesetz von Faraday erhalten wir
a) Sei B = |B|.
dΦ
dt
dA
= −B
= −Bbv = −0.1 V.
dt
Uind = −
b) I = |Uind /R| = | − Bbv|/R = 0.1 A. Der induzierte Strom läuft in der Abbildung
im Uhrzeigersinn (vergleiche mit der Lenzschen Regel). Die Lorentzkraft ist F~L =
~ = −bIB · ex , mit |F~L | = 0.01 N.
bI~ × B
c) Für die mechanische Leistung erhalten wir
Pmech = F~L · ~v = −bIBv
2
= I · (−Bbv) = I · Uind = Uind
/R = Pel
Pmech = −0.01 W.
3
d) Uind hängt nur von B, b und v ab und bleibt unverändert. Der Strom I = |Uind |/R
würde sehr stark anwachsen für R → 0. Ebenso divergieren die Lorentzkraft
|F~L | = bIB = bB|Uind |/R und die mechanische Leistung Pmech = |F~L |v wie 1/R
für R → 0.
≺./ •∞• ./
3. Transformator
Ein Transformator bestehe aus einer Primärspule mit N1 = 500 Windungen und einer
Sekundärspule mit N2 = 25 als Windungszahl. An der Primärspule liege die Netzspannung an, also U1 = 240 V.
a) Welcher Strom fließt in der Primärspule, wenn an der Sekundärseite ein Verbraucher mit einem Widerstand von 200 Ω angeschlossen ist?
b) Wieviele Windungen müsste die Sekundärspule haben, wenn man bei gleicher
Primärspannung U1 , gleichem N1 und gleichem Lastwiderstand auf der Sekundärseite die vierfache Leistung zur Verfügung stellen will?
J̀
^
J́
N2
N2 1
a) Es gilt I1 = I2 N
und I2 = U2 /R2 = U1 N
mit R2 = 200 Ω. Wir erhalten
1
1 R2
I1 = U 1
N2
N1
2
1
= 0.003 A.
R2
b) Der Lastwiderstand auf der Sekundärseite sei R2 . Die Leistung auf der Sekundärseite
ist gegeben durch
P2 = U2 I2 = U22 /R2
2
U1 N 2
1
=
N1
R2
2
1
U1
= N22 ·
.
N1
R2
Die Leistung P2 erhöht sich quadratisch mit der Windungszahl N2 . Man erhält
also eine Vervierfachung der Leistung durch Verdopplung der Windungszahl auf
N2 = 50.
≺./ •∞• ./
4