Magnetischer Monopol - Institut für Theoretische Physik

Magnetischer Monopol
24.04.2015
Eileen Giesel
Gliederung
1. Motivation
2. Beschreibung des magnetischen Monopols
3. Herleitung der Diracschen
Quantisierungsbedingung
3.1 Minimale Kopplung
3.2 Testeilchen um Diracstring
3.3 Herleitung über Eichtransformationen
4. Quasimonopole in Spineis
5. Weitere Experimente
1. Motivation
- MWG in der klassischen Elektrodynamik:
- Symmetrie zwischen E- und B- Feldern
- Asymmetrie der Quellengleichungen
- Einführung einer magnetischen Ladungdichte und somit einer
magnetischen Stromdichte: verallgemeinerte MWG
- Kontinuitätsgleichungen:
 Elektrische und magnetische Größen ineinander überführbar
 Rotation
 Invarianz der MWG unter folgenden dualen
Transformationen:
 Die Quellen müssen ähnlich transformieren:
 MWG ändern sich hierbei nicht: Symmetrie
2. Beschreibung eines magnetischen
Monopols
 Temporale Eichung: A0=Φ= 0
 Betrachtung in 3D (Raumdimensionen)
 Ausgangslage: Magnetischer Monopol ruhend im
Ursprung
 Es gelte:
 Fluss durch geschlossene Oberfläche:
 Bis auf den Ursprung gilt:
 Satz von Gauß kann so nicht gelten:




Divergenz einer Rotation verschwindet
Vektorpotential irregulär  Singularität in A!
Somit: Nichtverschwindendes Integral
Finde Vektorpotential, dessen Rotation das Magnetfeld ergibt,
und welches irregulär ist.
- Konsistenzcheck: Berechne Rotation
- Rotation in Kugelkoordinaten:
 Passendes Vektorpotential für B-Feld
- 1/r-Singularität und Singularität entlang des Winkel θ = 0
- Liegt auf jeder den Monopol eingrenzenden Oberfläche vor
 Singularität entlang einer unendlich langen Linie entlang θ = 0
 Bezeichnung: Dirac-String
Abb.2: Veranschaulichung des Dirac-Strings über eine Spule; Jackson,
Klassische Elektrodynamik
Zum Dirac-String
 Durch infinitesimal dünne Spule veranschaulichbar
 Singuläres Verhalten identifizierbar mit starkem BFeld in dieser „Spule“
 Ende dieser „Spule“ als mag. Monopol
 Unterschied zu „echter“ Spule: keine
Wechselwirkung eines Testteilchens mit dem DiracString!
 Dirac-String unphysikalisch
 Beliebig verschiebbar
Herleitung der Diracschen
Quantisierungsbedingung
3.1 Minimale Kopplung
 Wiederholung: Kopplung der elektromagnetischen
Wechselwirkung an freie Teilchen
 Eichtransformation der elektromagnetischen Potentiale:
 Hamiltonoperator:
 Schrödingergleichung:
 Eichtransformation der Wellenfunktion eines Teilchens:
 SGL sollte unter den Eichtransformationen gleiche
Form haben
 Dies ist erfüllt für:
 Unter Beachtung von:
In SGL einsetzen
Phasenfaktor kürzen
 WW mit Eichfeld
äußert sich über Phasenänderung
 1D Modell: Bewegung entlang einer Linie
x1; χ(x1)
x2; χ(x2)
„aufgenommene Phase“
In 3D
Phasenfaktor
3.2 Testteilchen um Diracstring




Testteilchen kreise um Dirac-String
Bewegung im Eichfeld
 Aufgenommene Phase:
Keine Wechselwirkung mit dem Dirac-String
Aufgenommene Phase
 Satz von Stokes:
Spulenfluss:
Λ als Strom pro Länge dz
Quantisierungsbedingung
Magnetische Ladung könnte Quantelung der elektrischen Ladung
erklären!
Stärke der Wechselwirkung?
 4692,25 mal stärker als bei el. Ladungen !
3.3 Herleitung über Eichtransformation
 Idee: Dirac-String nicht eindeutig
 Verschiedene Vektorpotentiale mit verschiedenen
Singularitäten für ein bestimmtes B-Feld.
 Beispiel: Magn. Monopol beschrieben durch 2
Vektorpotentiale in unterschiedlichen Raumbereichen
 Definiere Überlappungsbereich ohne Dirac-String:
 Bestimme Eichfunktion:
 Phasenfaktor der Wellenfunktion eines Testteilchens:
 Eindeutigkeit für φ=0 und φ=2π
 Phasenfaktor für φ=2π muss 1 sein

soll eine ganze Zahl sein
 Quantisierungsbedingung
Quasimonopole im Spineis
Abb.4: Modell Spineis; Bildquelle:
http://www.wissenschaftaktuell.de/onTEAM/fotos/221377681639.jpg
4. Quasimonopole in Spineis


Spineis: Magnetisches kristallines Material
(Dysprosiumtitanat)
Bei sehr geringen Temperaturen Magnetische Monopole
im Material
Aufbau:
Abb.5: Spins im Spineis (PhysikJournal Juni 2014; Magnetische Monopole in Spineis)
N
S
N N
S
N
S
S
N
S
Abb.6 : Hantelmodell
Spinachsen als Paar magn. Monopole verbunden über
Hantel
 Minimale Energie: 2 Spins zeigen in Tetraeder, zwei raus
(Eisregel)
Bei Anregung: Umklappen der Richtung eines Spins
Ausbildung vom magn. Monopolen an den jeweiligen
Enden in jeweils einem Tetraeder (Defektstellen)
 Induziert benachbarte Spins zum Umklappen
Abb.7: Veranschauung der Wanderung zweier magn. Ladungen
(Bildquelle: PhysikJournal Juni 2014; Magnetische Monopole in Spineis)




Monopole entfernen sich voneinander
Beliebige Bewegung durch Material (wie freie Teilchen)
„Spinfaden“ hat Ähnlichkeit zu Dirac-String
Gemessen: Coulombwechselwirkung zw. zwei solcher
Defektstellen
Abb.8: Langgestreckter Dipol (Bildquelle: PhysikJournal Juni 2014;
Magnetische Monopole in Spineis)
Unterschiede zu „echten“ magnetischen Monopolen
 Keine Elementarteilchen, da kein Vorkommen bei hohen
Temperaturen
 „Dirac-String“ nachweisbar
 Keine Quantisierungsbedingung  Ladung des Monopols im
Spineis kleiner als Ladung eines Dirac-Monopols
 Im Spineis: Langgestreckter Dipol
Abb.9: Langgestreckter Dipol 2 (Bildquelle: PhysikJournal Juni 2014; Magnetische
Monopole in Spineis)
5. Weitere Experimente
 Blas Cabrera: Supraleitende Spule zur Detektion
magn. Monopole
 Idee: Induktionsstrom eines magn. Monopols
 Bisher ein Ereignis, dass nicht reproduziert werden
konnte
 Hochenergiephysik: Erschließung höherer
Energiebereiche  Können magn. Monopole dann
detektiert werden?
 Kosmisches B-Feld: magn. Monopole könnten diesem
Energie entnehmen
Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!
Quellen:
 P.A.M. Dirac; Quantised Singularities in the Electromagnetic Field;
29.05.1931
 J.D. Jackson; Klassische Elektrodynamik; Walter De Gruyter; 2006
 T. Weigand; Kursvorlesung PTP4; Theoretische Quantenmechanik; SoSe
2011
 U.Schwartz; Theoretische Physik 3 Elektrodynamik; WS 2014/15
 K. M. Ellis; Magnetic Monopoles: Quanitzation and Quasiparticles;
06.05.2013
 W. Lautz; Seminarvortrag: Magnetische Monopole; 04.05.2012
 R.Moessner; Magnetische Monopole in Spineis; PhysikJournal, Juni 2014