EP III - Seminar

Miriam Kümmel
30. Dezember 2008
EP III - Seminar
Das Bohr’sche Atommodell
Beobachtung - Atomspektren Alle Übergänge von Elektronen zwischen den einzelnen Niveaus führen zur Absorption oder
Emission eines Photons.
1
1
RyhcZ 2
1
1
RyhcZ 2
2
∗ 2
−
=
RyhcZ
−
=
Ry
Z
−
n2 < n1
hν = E2 − E1 = −
n22
n21
n22
n21
n22
n21
1
1
1
2
= RyZ
νk =
− 2
λk
n22
n1
Mit der Wellenzahl νk und der Rydbergkonstanten Ry ∗ = Ry · h · c =
der reduzierten Masse m.
me4
.
820 h2
Die Rydbergkonstante ist also abhängig von
1. Lyman-Serie n2 = 1 (UV)
2. Balmer-Serie n2 = 2 (sichtbar)
3. Paschen-Serie n2 = 3 (IR)
Bei n → ∞ ist der Nullpunkt der Energieskala definiert. Negative Energiewerte kennzeichnen also gebundene Zustände
der Elektronen.
Erklärung - Bohrsches Atommodell Die Bohrschen Postulate sind:
1. Die Elektronen bewegen sich strahlungsfrei auf stabilen Kreisbahnen um den Atomkern.
2. Die stabilen Radien sind diskret. Mit En1 die Energie des Ausgangszustands und En2 die Energie des Zielzustands,
(En1 −En2 )
dann wird bei dem entsprechenden Bahnübergang ein Lichtquant der Frequenz ν =
emittiert bzw.
h
absorbiert.
3. Der Bahndrehimpuls L ist quantisiert mit L = n~.
Bohr betrachtet also das Elektron zunächst als klassisches Teilchen, dass sich auf einer Kreisbahn um den Atomkern bewegt.
mK
wird das Kräftegleichgewicht von Zentrifugalkraft FZ und elektromagnetischer
Mit der reduzierte Masse m = mmee+m
K
Anziehung durch die Coulombkraft FC zu:
FZ = m
v2
1 Z 2
=
e = FC
r
4π0 r2
h
Bohr fordert, dass der Drehimpuls quantisiert sein muss: L = mrv = mrn 2πrm
= n~ = r × p = r ×
Elektron durch die de-Broglie-Wellenlänge beschreibbar sein muss:
2πr = nλd
λd =
h
, n∈N
mv
⇒v=n
h
λe
D.h., dass das
h
2πrm
Diese Bedingung erlaubt nur diskrete Werte für die Bahnradien:
rn = n 2
h2 0
n2
=
a0
2
πmZe
Z
2
h 0
−11
a0 = πme
m bezeichnet den Bohr’schen Atomradius.
2 = 5, 2917 · 10
Ze2
Die potentielle Energie des Elektrons ist: Epot = QU = 4π
0r
Die kinetische Energie des Elektrons ist: Ekin = 21 mv 2 =
Als Gesamtenergie ergibt sich damit:
En = Ekin + Epot =
1 Ze2
2 4π0 r
= − 12 Epot
1
Ze2
Ze2 πmZe2
me4 Z 2
Z2
Epot = −
=
=
−
=
−Ry
2
8πε0 r
8π0 n2 h2 0
820 h2 n2
n2
Das Korrespondenzprinzip bedeutet, dass die Aussagen der Quantentheorie über ein atomares System im Grenzfall großer
Quantenzahlen mit den Aussagen der klassischen Theorie übereinstimmen und die aus der klassischen Theorie erhaltenen
Auswahlregeln für den gesamten Bereich der Quantenzahlen gelten.
In der klassischen Physik ist die Frequenz der abgestrahlten Photonen bei Übergängen zwischen zwei Elektronenbahnen
gegeben als:
2
mZe4
v
h 1 πmZe2
=
νklassisch =
=n
2πr
2πm 2π n2 h2 0
40 n3 h3
In der Quantenphysik ist die Frequenz der abgestrahlten Photonen bei Übergängen zwischen zwei Elektronenbahnen
gegeben als:
mZe4 1
1
mZe4 (n1 + n2 )(n1 − n2 )
νQuantenphysik =
−
=
2
2
3
80 h
n2
n1
80 h3
n21 n22
mit n1 − n2 = ∆n = 1 ≪ n1 , n2 und n1 , n2 ≈ n ≫ 1 ergibt sich:
νQuantenphysik =
mZe4 2n∆n
mZe4
=
80 h3 n4
40 n3 h3
Der niedrigste Energiezustand ist mit E = −Ry bzw. n = 1 definiert. Dies steht in Einklang mit der Unschärferelation.
Betrachtet man ein Atom mit dem Durchmesser a ist die Ortsunschärfe des Elektrons gegeben als ∆x = a.
2
~2
Daraus ergibt sich als Mindestimpuls ∆p = ~a und folglich als kinetische Energie Ekin = ∆p
2m = 2ma2 .
2
e
.
Die potentielle Energie des Elektrons im Abstand a im E-Feld des Kerns ist: Epot = − 4π
0a
Demnach ist die Gesamtenergie: E =
~2
2ma2
−
e2
4π0 a .
Daraus berechnet sich als minimaler Atomradiusamin =
2~2
~2
e2 a
e2
1
denn dE
da = − 2ma3 + 4π0 a2 = − a3
m − 4π0 = 0 ⇔
h2 0
πme2 = a0
~2
e2 a
m = 4π0 ⇔
a=
~2 4π0
me2
=
h2 0
πme2 .
4
∗
Demnach wird die minimale Energie Emin = − 8me
2 h2 = −Ry .
0
Die Unschärferelations bedingt also automatisch den niedrigsten Zustand im Bohr’schen Atommodell.
Die quantisierte Energieabgabe oder -aufnahme der Atome lässt sich am Frank-Hertz-Versuch demonstrieren.
Aufgaben
1. Wie ist das Bohr’sche Atommodell aufgebaut? (Skript)
2. Wie entsteht die Quantisierungsbedingung? (Skript)
3. Wie ergibt sich aus dem Bohr’schen Atommodell die Linienemission? (Skript)
4. Was ist das Korrespondenzprinzip? (Skript)
5. Blatt 4 Aufgabe 10: Anregung von Rydberg-Zuständen (Aufgabenzettel)
6. Wie groß sind Bahnradius und Geschwindigkeit v des Elektrons auf der ersten Bohrschen Bahn mit n = 1
a) im H-Atom (Z=1)
b) im Goldatom (Z=79)
(Demtröder)
7. Freie Neutronen haben eine mittlere Lebensdauer von τ = 900s. Nach welcher Strecke x ist die Zahl der Neutronen der
de-Broglie-Wellenlänge λ = 1nm in einem parallelen Neutronenstrahl auf die Hälfte ihres Anfangswertes gesunken?
(Demtröder)
8. Bestimmen Sie die Wellenlänge der Lyman-α-Linie
a) für Tritiumatome,
b) für Positronium e+ e− .
(Demtröder)
9. Ein Einelektronenatom habe die Energieniveaus En = − na2 . Man findet im Spektrum zwei benachbarte Absorptionslinien mit λ1 = 97, 5nm und λ2 = 102, 8nm. Wie groß ist die Konstante a? (Demtröder)
10. Die Balmerserie des Wasserstoffspektrums soll mit einem Gitterspektrographen mit dem spektralen Auflösungsvermögen
λ
5
∆λ = 5·10 gegemessen werden. Bis zu welchem Zustand En können zwei benachbarte Linien noch aufgelöst werden?
(Demtröder)
11. Fünf Linien in der Balmer-Serie von Wasserstoff haben die Wellenlängen 3669,42 Angström, 3770,06 Angström,
3835,40 Angström, 3970,07 Angström und 4340,47 Angström. Tragen Sie für die Balmer-Serie ν als Funktion von
n auf. Bestimmen Sie daraus den Wert von n für das obere Niveau zu jeder der fünf angegebenen Wellenlängen.
(Quantenphysik und statistische Physik, Alonso/Finn)
12. Berechnen Sie die Wellenlängendifferenz zwischen den Hα -Linien (d.h. für den Übergang n = 3 nach n = 2)von
Wasserstoff, Deuterium und Tritium, die von dem Massenunterschied dieser Atome herrührt. (Quantenphysik und
statistische Physik, Alonso/Finn)
13. Welche Linien des Wasserstoffspektrums fallen in das sichtbare Gebiet des Spektrums (zwischen 4000 und 7000
Angström)? Welche Linien von He+ fallen in denselben Bereich? Wie könnte man erkennen, ob Wasserstoff einer
Helimprobe zugemischt ist? (Quantenphysik und statistische Physik, Alonso/Finn)
Literatur
• Skript S. 50-56
• Demtröder S. 101-109
• Alonso/Finn S. 126,158