¨Ubungen zur Quantenmechanik Blatt 8

Friedrich-Schiller-Universität Jena
Sommersemester 2012
Prof. Dr. Andreas Wipf,
DP Lukas Janssen, DP Marianne Mastaler,
DP Björn Wellegehausen, DP Nathan Johnson-McDaniel
Übungen zur Quantenmechanik
Blatt 8
19. Deltaförmiges Potential
4 Punkte
In Aufgabe 16 (Blatt 6) wurde gezeigt, dass ein Teilchen der Masse m in einem deltaförmigen Potential
V (x) = −
~2
λδ(x),
m
λ>0
genau einen gebundenen Zustand gerader Parität besitzt,
(
α cosh kx − β sinh kx x < 0
Ψg =
,
α cosh kx + β sinh kx x > 0
r
k=
2m|E|
.
~2
Bestimme jetzt die Bindungsenergie aus der Polstruktur der in der Vorlesung definierten
Transmissionsamplitude S(E). Betrachte dazu im Einzelnen:
a) Ein Strom von Teilchen der Masse m und Energie E > 0 falle in positiver x-Richtung
laufend auf das δ-förmige Potential ein. Berechne den Transmissionskoeffizienten
T (E) = |S(E)|2 .
(2 Punkte)
b) Zeige, dass sich in der Rechnung zu a) der Wahrscheinlichkeitsstrom j für negative
x als Summe von jein und jref schreiben lässt, dass sich also die entsprechenden
Interferenzterme genau wegheben. Verifiziere danach T (E)=jtrans /jein . (1 Punkt)
c) Bestimme aus der Polstruktur von S(E) etwaige Bindungsenergien und vergleiche
mit dem Ergebnis aus Aufgabe 16.
(1 Punkt)
20. Bänderstruktur
6 Punkte
Im folgenden wollen wir qualitativ das Auftreten von Energiebändern in Festkörpern verstehen. Dazu betrachten wir ein quasifreies Elektron der Masse m im effektiven Potential
Veff des restlichen Festkörpers. Wir unterdrücken zwei der drei Raumdimensionen und
idealisieren das Veff durch ein konstantes mittleres Potential, das wir als Energienullpunkt
wählen, sowie eine periodische Deltafunktion (die den Effekt des Kernes inklusive der
“Rumpfelektronen” simulieren soll):
Veff
∞
~2 λ X
=−
δ(x + na) ,
m n=−∞
wobei a die Gitterkonstante bezeichnet.
a) Der Translationsoperator T (a) ist definiert durch seine Wirkung T (a)Ψ(x) = Ψ(x −
a). Zeige, dass ein derartiger Operator unitär ist. Folgere daraus, dass jeder (verallgemeinerte) Eigenvektor von T (a) eine Gleichung der Form
ψφ (x + na) = einφ ψφ (x) ,
n∈Z
erfüllen muss, wobei φ eine Zahl zwischen 0 und 2π ist, die den Eigenzustand chap2
+ Veff mit dem
rakterisiert. Zeige schliesslich, dass der Hamiltonoperator H = 2m
Translationsoperator T (a) kommutiert (es also gemeinsame Eigenvektoren gibt). Mit
i
Hilfe des Impulsoperators lässt sich T (a) darstellen als T (a) = e− ~ ap . Schreibe nun
den allgemeinsten, durch φ charakterisierten Eigenzustand von T (a) als Linearkombination von (verallgemeinerten) Impulseigenzuständen an.
(3 Punkte)
b) Im Intervall la < x < (l + 1)a lässt sich jeder Eigenzustand von H als Überlagerung
einer nach links und einer nach rechts laufenden ebenen Welle darstellen (wir betrachten das Eigenwertproblem für positive Energien E), wobei die entsprechenden
Amplituden mit Al , Bl bezeichnet seien. Unter Verwendung des Resultats von Teilaufgabe a) drücke man diese Amplituden durch A0 , B0 und φ aus. Zeige nun, dass
die Bedingung für die Existenz einer nichttrivialen Lösung in der Form
cos(φ) = f (E)
dargestellt werden kann und zeige, dass diese Bedingung nicht für alle E gelöst
werden kann (betrachte dazu die Funktion f in einer Umgebung der Werte En =
~2 π 2 2
n , n ganzzahlig).
(3 Punkte)
2ma2
21. Zeitentwicklung
5 Punkte
Ein Teilchen im Grundzustand in einem eindimensionalen Kasten der Länge L hat eine
Wellenamplitude
r
πx 2
i π 2 ~2
hx|ψ, ti = ψ(x, t) =
sin
exp −
t , für 0 < x < L.
L
L
~ 2mL2
Außerhalb verschwinde die Wellenfunktion. Zum Zeitpunkt t = 0 werden die Kastenwände
plötzlich weggenommen, und das Teilchen kann sich frei bewegen. Bestimmen Sie für
die Zeiten nach t = 0 die Wahrscheinlichkeit, dass der Teilchenimpuls zwischen p und
p + dp liegt. Welches sind die dominierenden p-Werte? Was erwarten Sie klassisch für die
Verteilung der Impulse?
Abgabetermin: Vor der Vorlesung am Dienstag, 19.06.