Übung 10 - Universität Bonn

Physikalisches Institut
Universität Bonn
Theoretische Physik
Hausaufgabe 10
22. Juni 2016
SS 16
Übungen zur Vorlesung Quantenmechanik und statistische
Mechanik
Prof. Herbert Dreiner, PD Dr. Stefan Förste, Sebastian Belkner, René Laufenberg
http://www.th.physik.uni-bonn.de/people/sbelkner/QMSMSS16/
–Hausaufgabe–
Bis 12:00Uhr, 29. Juni 2016
H 10.1 Diffusionsgleichung
1+2+2+2+1+2= 10 Punkte
Im Folgenden betrachten wir den eindimensionalen random walk. Das bedeuted, dass wir zu jedem
Zeitpunkt entscheiden, ob wir uns einen Schritt nach links oder nach rechts bewegen. Die Wahrscheinlichkeit nach rechts zu gehen sei p, nach links q = 1 − p. Die Position nach t Zeitschritten
ist gegeben durch x = nr − nl , wobei nr , nl die Anzahl der Schritte nach rechts bzw. links sind.
Der Erwartungswert ist hxi = (p − q)t, die Varianz ist gegeben durch (∆x)2 = 4pqt.
(a) Beschreibe den zentralen Grenzwertsatz.
(b) Für große t und unter Benutzung des zentralen Grenzwertsatzes ergibt sich die Verteilung
P (x, t) für den eindimensionalen random walk zu
P (x, t) = √
(x−(p−q)t)2
1
e− 8pqt .
8πpqt
(1)
Zeige, dass Gl.(1) die Diffusionsgleichung löst,
∂2P
∂P
∂P
=D 2 −ν
∂t
∂x
∂x
(2)
und bestimme D und ν.
(c) Zeichne P (x, t) für drei verschiedene Zeiten
(d) Zeige die Einstein Beziehung,
(3)
(∆x)2 = αDt
und bestimme α.
(e) Was unterscheidet einen irreversiblen von einem reversiblen Prozess?
(f) Zeige, dass
Z
∞
Θ=
dx
−∞
∂P
∂x
2
(4)
monoton mit der Zeit abfällt, d.h., ∂Θ
∂t ≤ 0. Dies beweist, dass Diffusion ein irreversibler
Prozess ist. Trägt der Driftterm ν ∂P
zur
Irreversibilität bei?
∂x
H 6.2 Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung
1+1+1+2+2+2+1 = 10 Punkte
Die Maxwellschen Postulate für die Geschwindigkeitsverteilung in einem idealen Gas lauten,
• Die Koordinaten und Geschwindigkeiten der einzelnen Teilchen sind statistisch unabhängig
von einenander
1
• Das System ist rotations- und translationsinvariant und damit nur vom Geschwindigkeitsbetrag abhängig.
• Die Komponenten der Geschwindigkeit v = (vx , vy , vz )T eines Teilchens sind statistisch
unabhängig von einander
(a) Zeige, dass aus den genannten Postulaten die gaussche Form der Geschwindigkeitsverteilung
folgt,
P (v) = Ce−λv
2
(5)
(b) Bestimme C in Abhängigkeit von λ.
(c) Es seien N Teilchen der Masse m in dem idealen Gas, die Gesamtmasse ist M = mN . Die
innere Energie U ist - da ein ideales Gas betrachtet wird - nur durch die kinetischen Energien
der Teilchen gegeben. Benutze hU i = 21 M hv2 i um λ in Abhängigkeit der inneren Energie
auszudrücken.
H 10.3 Pauli-Prinzip und Dichteoperator
1+1+1+1+1+1+2+2 = 10 Punkte
(a) Wir betrachten im Folgenden ein Spinsystem von zwei Elektronen. Jedes Elektron kann dabei
den Zustand χ± 21 annehmen. Die beiden Orte der Elektronen werden mit x und y bezeichnet.
Ein zusammengesetzter Spinzustand aus beiden Elektronen wird durch die Spinfunktion beschrieben, die sich wiederum als Linearkombination aus Basisfunktionen der Form χ = χ1 ⊗χ2
zusammensetzt.
(i) Gib’ die vier möglichen Spin-Basisfunktionen des Systems an.
(ii) Das Pauli-Prinzip besagt, dass zwei identische Fermionen nicht im selben Quantenzustand sein können. Welche Spin-Basisfunktionen sind nach dem Pauli-Prinzip nun noch
relevant? Die übrig gebliebenen Spinbasisfunktionen spannen einen Unterraum W auf.
Ein weiteres wichtiges Konzept ist die Ununterscheidbarkeit der identischen Teilchen,
welches besagt, dass wir nicht wissen können, ob sich das 1. Elektron oder das 2. Elektron am Ort x befindet. Analoges gilt für den Ort y. Übertragen auf den Spin bedeutet
dies, dass wir nicht sagen können, ob sich gerade das 1. Elektron oder das 2. Elektron
im Zustand Spin-Up befindet etc.
Kombiniere die Spinbasisfunktionen des Unterraums W so, dass die Ununterscheidbarkeit der Teilchen berücksichtigt wird. Die neuen Basisfunktionen sollen dabei immer noch
den Raum W aufspannen!
(iii) Sei π : {1, 2} −→ {1, 2} eine Permutation . Gib’ alle möglichen Permutationen auf der
Menge {1, 2} an. Sie bilden die Menge SN mit N = 2. Zeige, dass die in (ii) bestimmten
Spinzustände (bis auf Normierung) den Zuständen
1 X
|a1 , a2 i± = √
sgn(π)χπ(1) ⊗ χπ(2)
N ! π∈SN
entsprechen.
(iv) Das Pauli-Prinzip sagt genauer, dass für Fermionen nur der Zustand |a1 , a2 i− in der
Natur realisiert wird.
Nimm’ an, dass sich die beiden Elektronen im selben Spinzustand befinden würden.
Zeige, dass daraus folgt
|a1 , a2 i− = 0
Diese Pauli-Bedingung ist also schärfer als die Bedingung aus (ii).
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(b) Auf Blatt 2 in H2.4. haben wir bereits gesehen, das sich jeder Vektor v eines Vektorraums mit
Orthonormalbasis (e1 , e2 , ...) darstellen lässt als
X
v=
ei hei , vi
i
. Dabei kann der Ausdruck ei hei , ·i als Projektion auf den Unterraum, welcher durch ei aufgesponnen wird, aufgefasst werden. Man schreibt für einen solchen Projektionsoperator auch
|ei i hei | oder allgemeiner für quantenmechanische Zustände |ψi i hψi |.
(i) Betrachte den Vektorraum R2 . Rechne konkret nach, dass für den Vektor v =
|v i =
2
X
i=1
a
gilt :
b
a
(|e i i he i |) b
(ii) Zeige analog zur Aufgabe H2.4.a)i), dass für eine Funktion ψ in einem Hilbertraum V
mit ONB (φi )i∈N gilt:
|ψi =
X
(|φi i hφi |) |ψi .
i
Da dies für alle ψ ∈ V gilt, schreibt man auch 1 =
P
i
|φi i hφi |.
P
(iii) Sei ρ̂ = i pi |ψi i hψi | der Dichteoperator mit Wahrscheinlichkeiten pi ∈ [0, 1], dass sich
das System im Zustand ψi befindet. Da die Wahrscheinlichkeit,
Pdass sich das System in
irgendeinem (gemischten) Zustand befindet 1 ist, muss gelten i pi = 1.
Den Erwartungswert einer Observablen  definiert man nun gemäß
D E X
 =
pi hψi | Â |ψi i
i
und die Spur eines Operators durch
Sp(Â) =
X
hφi | Â |φi i .
i
Sei (ωj )j∈N eine weitere ONB des Hilbertraumes V.
Zeige die Basisunabhängigkeit der Spur d.h.
X
X
hφi | Â |φi i =
hωj | Â |ωj i
i
j
Hinweis: Benutze den Trick mit der „1“ bzw 1 aus der Vorlesung bzw. von Aufgabenteil (ii)
(iv) Zeige, dass gilt
Sp(ρ̂2 ) ≤ 1.
Zeige insbesondere, dass Sp(ρ̂2 ) nur dann = 1 ist, wenn ein einziges pj = 1 ist und alle
anderen pj ’s = 0 sind. Solche Zustände nennt man reine Gesamtheiten.
Hinweis: Cauchy-Schwarz-Ungleichung ! Achte darauf, nicht immer dieselben Indizes zu verwenden.
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