Theoretische Physik II: Elektrodynamik

Theoretische Physik II:
Elektrodynamik
Vorlesungsskript zum Modul P2.2
Prof. Dr. Jan Plefka
Quantenfeld- und Stringtheorie
Institut für Physik
Version 12. März 2017
Inhaltsverzeichnis
I
II
III
IV
V
Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1
Vektoranalysis (Wdh. Analysis II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2
Nabla-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3
Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4
Krummlinige Koordinatensysteme: Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . .
I.5
Explizite Formeln in Zylinder und Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenstellung von wichtigen Vektoridentitäten, Ableitungen und IntegralI.6
theoremen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.7
Die Dirac’sche Deltafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.8
Eigenschaften der Deltafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.9
Sprungfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.10
Taylor-Entwicklung von Feldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grundlagen der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1
Ladungen und Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2
Coulombgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3
Elektrisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.4
Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.5
Elektrostatisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.6
Energie des elektrostatischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.7
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Randwertprobleme der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1 Formulierung und Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Leiter und Isolatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3 Methode der Green’schen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.4 Beispiele für Green’sche Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.5 Methode der Separation der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.6 Elektrostatik in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.7 Legendre-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.8 Kugelflächenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.9 Lösung der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . .
III.10 Multipolentwicklung in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2 Biot-Savart-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.3 Feldgleichungen der Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.4 Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.5 Kraft, Drehmoment und Energie des B-Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektro- und Magnetostatik in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.1
Makroskopische Felder und Mittelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.2
Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.3
Grenzflächen von Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.4
Magnetostatik in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.5
Randwertprobleme in der Magnetostatik in Medien . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
3
4
5
9
10
11
12
13
14
17
17
18
19
20
21
23
24
31
31
33
34
36
40
42
43
45
47
49
53
53
55
57
58
60
63
63
64
67
68
69
iii
Inhaltsverzeichnis
VI
Relativistische Formulierung des elektromagnetischen Feldes . . . . . . .
VI.1 Erinnerung: Relativistische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . .
VI.2 Viererpotential des Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.3 Bewegungsgleichung einer Ladung im elektromagnetischen Feld .
VI.4 Eichinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.5 Elektromagnetischer Feldstärketensor . . . . . . . . . . . . . . .
VI.6 Lorentz-Transformationen des elektromagnetischen Feldes . . .
VII Herleitung der Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.1 Die homogenen Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . .
VII.2 Die Wirkung des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . .
VII.3 Viererstrom und Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . .
VII.4 Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . .
VII.5 Energiedichte und Energiestrom des elektromagnetischen Feldes
VII.6 Der Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII.1 Freie Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII.2 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII.3 Mathematischer Einschub: Fourier-Transformation . . . . . . .
VIII.4 Monochromatische elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . .
VIII.5 Kovariante Formulierung elektromagnetischer Wellen . . . . . . .
VIII.6 Energie-Impuls-Tensor einer Monochromatischen Welle . . . . .
VIII.7 Überlagerung von ebenen Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII.8 Kugelwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII.9 Wellenausbreitung in elektrischen Leitern . . . . . . . . . . . . .
IX Erzeugung und Abstrahlung von Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX.1 Inhomogene Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX.2 Green’sche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX.3 Strahlungsfeld zeitlich oszillierender Quellen . . . . . . . . . . .
IX.4 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX.5 Abgestrahlte Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX.6 Liénard-Wiechert Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX.7 Feldstärken einer bewegten Punktladung . . . . . . . . . . . . .
iv
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
71
71
74
76
77
78
79
83
83
84
85
86
89
91
93
93
94
95
97
99
100
101
102
103
107
107
107
111
113
116
118
119
I Mathematische Grundlagen
I.1 Vektoranalysis (Wdh. Analysis II)
In der Vektoranalysis haben wir es mit drei Arten von Integralen über Skalar- und Vektorfelder zu
tun.
• Wegintegral für gegebenes Vektorfeld ~a(~x) = (a1 (~x), a2 (~x), a3 (~x))
und Kurve C : ~x(s) ∈ R3 , s ∈ [s1 , s2 ]:
Z
C
d~x · ~a =
s2
Z
s1
ds
d~x
· ~a[~x(s)] =
ds
Z
s2
s1
ds
3
X
ẋi (s)ai [~x(s)]
i=1
~ x) gilt:
Für konservative Vektorfelder ~a(~x) = ∇φ(~
˛x(s2 )
C1
Z
C
d~x · ~a =
Z
C
~ x) = φ[~x(s2 )] − φ[~x(s1 )]
d~x · ∇φ(~
C2
Wegintegral ist wegunabhängig!
˛x(s1 )
• Volumenintegral
Z
dV ~a(~x) oder
Z
dV φ(~x)
V
Beispiele:
R
~ = 1 dV r(~x)~x
– Schwerpunkt R
M
R
– Masse M = dV r(~x) mit Massendichte r(~x)
Volumenelemente in Zylinder- und Kugelkoordinaten:
– Zylinderkoordinaten:

 

x
r cos ϕ
 y  =  r sin ϕ 
z
z
⇒
dV = dxdydz = r dr dϕ dz
– Kugelkoordinaten:




x
sin θ cos ϕ
 y  = r  sin θ sin ϕ 
z
cos θ
⇒
dV = r2 sin θ dθ dϕ dr
1
I Mathematische Grundlagen
– Allgemeine Koordinaten1 :

 

x
x(a, b, c)
 y  =  y(a, b, c) 
z
z(a, b, c)

∂(x, y, z) 
=
Jacobi-Matrix J =
∂(a, b, c)
∂x
∂a
∂y
∂a
∂z
∂a
Volumenelement dx dy dz = | det(J)|da db dc
∂x
∂b
∂y
∂b
∂z
∂b
∂x
∂c
∂y
∂c
∂z
∂c
• Flächenintegral
Orientiertes Flächenelement df~:
d˛b
Fläche wird parametrisiert durch u
und v:
df˛
d˛a
F = {~x(u, v); u, v ∈ D}
˛
x(u, v)
Flächenelement : df~ = d~a × d~b
˛
x(u + du, v + dv)
˛0
mit
⇒
Flächennormale: ~n(~x) =
df~
|df~|
∂~x
du
∂u
∂~x
dv
d~b = ~x(u, v + dv) − ~x(u, v) =
∂v
∂~x ∂~x
df~ = dudv
×
∂u ∂v
d~a = ~x(u + du, v) − ~x(u, v) =
=
∂~
x
x
× ∂~
( ∂u
∂v )
∂~
∂~
x
| ∂u × ∂vx |
Vorzeichenambiguität: Vertauschen von u, v bewirkt df~ → −df~
df˛
Konvention: Bei geschlossenen Oberfläche S(V ) zeigt
df~ stets nach außen.
Hieraus lassen sich nun Integrale der Form
Z
df~φ(~x) und
F
1 Carl
Z
F
Gustav Jacob Jacobi; Deutschland 1804-1851
2
2
df~ · ~a(~x)
definieren.


I.2 Nabla-Operator
S(v)
D
Fluss eines Vektorfeldes ~a(~x) durch Oberfläche
S(V ), die V ∈ R3 umschliesst.
˛a(˛x)
V
I
S(V )
df~ · ~a(~x) =
Z
dudv
D
∂~x ∂~x
×
∂u ∂v
· ~a[~x(u, v)]
S(v)
I.2 Nabla-Operator
Für ein kartesisches Koordinatensystem ~x = x~ex + y~ey + z~ez :
~ := ~ex ∂ + ~ey ∂ + ~ez ∂
∇
∂x
∂y
∂z
~ ist Differentialoperator, wirkt stets auf etwas zur Rechten.
∇
~ x) (Vektor)
• Gradient eines Skalarfeldes: grad φ := ∇φ(~
~ · ~a(~x) (Skalar)
• Divergenz eines Vektorfeldes: div ~a := ∇
~ × ~a(~x) (Vektor)
• Rotation eines Vektorfeldes: rot ~a := ∇
Der Gradient hat die folgenden Darstellungen im Zylinder- und Kugelkoordinatensystem
• Zylinderkoordinaten
˛x
~x = r~er + z~ez
~ x) = ~er ∂φ(~x) + ~ez ∂φ(~x) + ~eϕ 1 ∂φ(~x)
∇φ(~
∂r
∂z
r ∂ϕ
˛eÏ
˛ez
4
˛efl
Ï
• Kugelkoordinaten
˛x
◊
~x = r~er
~ x) = ~er ∂φ(~x) + ~eθ 1 ∂φ(~x) + ~eϕ 1 ∂φ(~x)
∇φ(~
∂r
r ∂θ
r sin ϕ ∂ϕ
˛er
Ï
3
I Mathematische Grundlagen
I.3 Integralsätze
1. Gauß’scher Satz2 :
Sei V ∈ R3 umschlossen von der Oberfläche S(V ), ~a(~x) differenzierbares Vektorfeld
Z
I
dV div ~a(~x) =
V
S(V )
df~ · ~a(~x)
~ · ~a im Volumen. ⇒ Divergenz eines Vektorfeldes
Fluss von ~a durch S(V ) bestimmt sich aus ∇
gibt Quellstärke an.
df˛
div ˛a = 0
V
div ˛a = 0
˛a
2. Stokes’scher Satz3
F
Sei F eine Fläche in R3 mit Rand C(F ) = ∂F
und ~a(~x) hinreichend oft differenzierbares Vektorfeld.
Z
F
ˆF
df~ · rot ~a(~x) =
I
∂F
d~x · ~a(~x)
~ so folgt Wegunabhängigkeit
Bemerkung: Falls ~a ein konservatives Vektorfeld ist, d.h. ~a = ∇φ,
R
~
~
von C d~x · ~a aus Stokes’schem Satz, da rot grad φ = ∇ × ∇φ = 0.
3. Green’sche Identitäten4 : Seien ϕ(~x) und ψ(~x) zweifach stetig differenzierbare Skalarfelder und
V ⊂ R3 ein von der Oberfläche S(V ) umschlossenes Volumen.
1. Green’sche Identität
Z
V
dV
I
~
~
ϕ ∆ψ + (∇ψ)
· (∇ϕ)
=
df ϕ
S(V )
∂ψ
,
∂n
~
n(~x) (Normalableitung) mit Flächennormale df~ = df ~n(~x).
wobei df = |df~| und ∂ψ
∂n = ∇ψ · ~
2
~ Laplace-Operator.
Weiterhin ist ∆ = (∇)
2. Green’sche Identität
Z
I
dV (ϕ ∆ψ − ψ ∆ϕ) =
V
df
S(V )
2 Johann
Carl Friedrich Gauß; Deutschland 1777-1855
George Gabriel Stokes; Irland/Großbritannien 1819-1903
4 George Green; Großbritannien 1793-1841
3 Sir
4
7
∂ϕ
∂ψ
ϕ
−ψ
∂n
∂n
I.4 Krummlinige Koordinatensysteme: Differentialoperatoren
Die 1. Green’sche Identität beweist man aus dem Gauß ’schen Satz angewandt auf das
~
Vektorfeld ~b = ϕ∇ψ.
Die 2. Green’sche Identität folgt durch Vertauschen von ϕ und ψ und
Subtraktion von der ersten.
I.4 Krummlinige Koordinatensysteme: Differentialoperatoren
Häufig hilfreich physikalische Probleme in alternativen, der Geometrie des Problems angepassten,
Koordinatensystemen zu beschreiben. Bsp: Zylinder- und Kugelkoordinaten.
• Lokale Koordinatensysteme:
Punkte ~x ∈ R3 mögen außer durch kartesische Koordinaten durch ’krummlinige’ Koordinaten
(u, v, w) gekennzeichnet sein.
u, w const.
y
~x(u, v, w)
˛ev
Benachbarter Punkt liegt bei
˛eu
~x(u + ∆u, v + ∆v, w + ∆w)
⇒
v, w const.
x
∆~x = ~x(u + ∆u, v + ∆v, w + ∆w) − ~x(u, v, w)
x(u, v, w) ∂~x(u, v, w) ∂~x(u, v, w) ∆∼0 ∂~
2
=
∆u
+
∆v
+
∆w + O(∆ )
∂u
∂v
∂w
v,w
u,w
u,v
∂~
x
Da in ∂u
die Koordinaten v und w konstant zu halten sind, liegt dieser Vektor tangential zur
krummlinigen Koordinatenachse v = const., w = const. Normierung liefert Einheitsvektoren in
u, v, w-Richtungen:
∂~
x
⇒
,
~eu = ∂u
∂~x ∂u
∂~
x
∂v ~ev = ∂~
,
x
∂v
∂~
x
~ew = ∂w
∂~x ∂w
∂~x ∆u + ~ev ∂~x ∆v + ~ew ∂~x ∆w.
und ∆~x = ~eu ∂u
∂v
∂w
~eu , ~ev , ~ew spannen ein lokales Dreibein auf, das nicht notwendigerweise orthogonal ist, z.B.
~eui · ~euj 6= δij mit u1 = u, u2 = v, u3 = w.
p
Das ’Linienelement’ ds := (∆~x)2 , d.h. die Länge von ∆~x hat das Quadrat
(ds)2 = (∆~x)2 = gij ∆ ui ∆uj
mit
gij =
∂~x ∂~x
·
.
∂ui ∂uj
Die symmetrische 3 × 3-Matrix heißt ’Metrik’.
• Krummlinig-orthogonale Koordinaten:
Wollen auf orthogonale Koordinatensysteme spezialisieren, für die gilt
~eui · ~euj = δij .
5
I Mathematische Grundlagen
D.h. die Metrik hat Diagonalgestalt.
Linienelement:
2
(ds)2 = (∆~x)2 = gu2 (∆u)2 + gv2 (∆v)2 + gw
(∆w)2
∂~x , gv = ∂~x , gw = ∂~x .
mit gu = ∂u
∂v
∂w
Abstandsvektor: ∆~x = ~eu gu ∆u + ~ev gv ∆v + ~ew g∆ w.
Krummlinig-orthogonales Volumenelement:
∆V = gw gv gu ∆u∆v∆w
p
bzw. dV = det gij d3 u
gw w
gv v
gu u
Jeder Vektor (und jedes Vektorfeld) läßt sich in das lokale Dreibein ~eui zerlegen
~ = Au~eu + Av ~ev + Aw ~ew
A
~
mit Aui = ~eui · A.
Die ~eai hängen vom Ort ab!
Beispiel:
1. Zylinderkoordinaten: ~x(r, ϕ, z) = (r cos ϕ, r sin ϕ, z)
∂~x
= (cos ϕ, sin ϕ, 0) = ~er
∂r
∂~x
= (−r sin ϕ, r cos ϕ, 0) = r~eϕ
~x = r~er + z~ez
∂ϕ
∂~x
= (0, 0, 1) = ~ez
∂z


1

r2
gij = 
⇒ Volumenelement: gr gϕ gz = r
1
gr = 1
6
gϕ = r
gz = 1
I.4 Krummlinige Koordinatensysteme: Differentialoperatoren
2. Kugelkoordinaten: ~x(r, θ, ϕ) = (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)
∂~x
= (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) = ~er ⇒ ~x = r · ~er
∂r
∂~x
= (−r cos θ cos ϕ, r cos θ sin ϕ, −r sin θ) = r~eθ
∂θ
∂~x
= (−r sin θ sin ϕ, r sin θ cos ϕ, 0) = r sin θ~eϕ
∂ϕ


1
p

r2
gij = 
⇒ Volumenelement: det gij = r2 sin θ
r2 sin2 θ
gr = 1
gθ = r
gϕ = r sin θ
• Differentialoperatoren in krummlinigen-orthogonalen Koordinaten:
Welche Form nehmen die Differentialoperatoren grad, div, rot, 4 in allgemeinen Koordinaten
ein?
~ = P ~eu ∂ in Verallgemeinerung des kartesischen Falles ist kein Vektor (transforAchtung: ∇
i ∂ui
i
miert nicht korrekt unter Drehungen SO(3))
~ im krummlinigen Fall, wir müssen jeden DifferentialAuch gibt es keine universelle Form von ∇
operator separat diskutieren.
1. grad ϕ allgemein
Für Skalarfeld ϕ[~x(u, v, w)] können wir koordinatenunabhängige Definition von grad φ
angeben durch
∆ϕ = ϕ[~x(ui + ∆ui )] = ϕ[~x(ui )] = grad ϕ · ∆~x
!
∆~x = ~x(ui + ∆ui ) − ~x(ui )
Aus
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∆u +
∆v +
∆w
∂u
∂v
∂w
∆~x = ~eu gu ∆u + ~ev gv ∆v + ~ew gw ∆w
∆ϕ =
und
folgt dann
grad ϕ =
1 ∂ϕ
1 ∂ϕ
1 ∂ϕ
~eu +
~ev +
~ew
gu ∂u
gv ∂v
gw ∂w
~ allgemein:
2. div A
~ wählen wir die Flächenintegraldarstellung
Als koordinatenunabhängige Definition von div A
I
1
~
~
div A = lim
df~ · A,
∆V →0 ∆V
∆F
die sich aus dem Gauß’schen Satz für infinitesimale Volumenelemente, wie
7
I Mathematische Grundlagen
˛ew
˛ev
gw w
∆V = gw gv gu ∆u ∆v ∆w
˛eu
2
gv v
~ · ∆F~ zerlegt sich in die 6 Seiten
A
1
gu u
ergibt. Für schraffierte Seiten 1 und 2 gilt:
~ · ∆F~ = [Au gv gw ∆v∆w]u+∆u
A
1
~ · ∆F~ A
= − [Au gv gw ∆v∆w]u
2
(Der Index an den Klammern besagt, dass der Ausdruck an den Koordinaten (u + ∆u, v, w)
bzw. (u, v, w) zu nehmen ist.
~ · ∆F~ ⇒ A
= [Au gv gw ∆v∆w]u+∆u − [Au gv gw ∆v∆w]u
1
∂(Au gv gw )
=
∆u∆v∆w
∂u
Die anderen Seiten folgen aus Zyklizität von (u, v, w)
⇒
~=
div A
1
gu gv gw
∂
∂
∂
(gv gw Au ) +
(gu gw Av ) +
(gu gv Aw )
∂u
∂v
∂w
3. 4 allgemein:
Aus diesen Überlegungen folgt unmittelbar der Laplace-Operator in krummlinigen-orthogonalen
Koordinaten:
∂ gu gw ∂ϕ
∂
gu gv ∂ϕ
1
∂ gv gw ∂ϕ
+
+
4ϕ := div grad ϕ =
gu gv gw ∂u
gu ∂u
∂v
gv ∂v
∂w
gw ∂w
~ allgemein:
4. rot A
~
Hier nutzt man die Kurvenintegraldarstellung von rot A:
v, w +
w
gw w
~
~n · rot A
I
1
~
= lim
d~x · A
∆V →0 ∆F C(∆F )
v, w
˛eu
F
gv v
v+
v+
v, w +
w
C( F )
v, w
Wir lesen ab:
~ = Av gv ∆v + Aw gw ∆w
~eu · rot A
− Av gv ∆v w+∆w − Aw gw ∆wv
3
w
v+∆v
∆F = gv gw ∆v∆w
8
I.5 Explizite Formeln in Zylinder und Kugelkoordinaten
Mit ∆F → 0 ergibt sich
~ · ~eu = rotu A
~=
rot A
1
gv gw
∂
∂
(gw Aw ) −
(gv Av )
∂v
∂w
und zyklisch. In einer Formel schreibbar als
~eu
~
ev
g g
v w gu gw
∂
~= ∂
rot A
∂u
∂v
g A
gv Av
u u
~
ew
gu gv
∂
∂w
gw Aw
.
I.5 Explizite Formeln in Zylinder und Kugelkoordinaten
Unter Verwendung der Ergebnisse aus dem Vorherigen zeigt man dann die wichtigen Relationen in
Zylinder und Kogelkoordinaten:
Zylinderkoordinaten
Infinitesimaler Abstand:
∆~x = d~x = dr ~er + r dϕ ~eϕ + dz ~ez
Volumenelement: dV = r dr dϕ dz
~ = ∂φ ~er + 1 ∂φ ~eϕ + ∂φ ~ez
Gradient: ∇φ
∂r
r ∂ϕ
∂z
~ ·A
~ = 1 ∂ (r Ar ) + 1 ∂Aϕ + ∂Az
Divergenz: ∇
r ∂r
r ∂ϕ
∂z
~ ×A
~ = 1 ∂Az − ∂Aϕ ~er + ∂Ar − ∂Az ~eϕ + 1 ∂(r Aϕ ) − ∂Ar ~ez
Rotation: ∇
r ∂ϕ
∂z
∂z
∂r
r
∂r
∂ϕ
2
2
∂φ
1 ∂ φ ∂ φ
1 ∂
r
+ 2
+ 2
Laplace-Operator: 4φ =
r ∂r
∂r
r ∂ϕ2
∂z
Kugelkoordinaten
Infinitesimaler Abstand:
∆~x = d~x = dr ~er + r dθ ~eθ + r sin θ dϕ~eϕ
Volumenelement:
dV = r2 sin θ dr dθ dϕ
∂φ
~ = ∂φ ~er + 1 ∂φ ~eθ + 1
Gradient: ∇φ
~eϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
∂
1 ∂Aϕ
~ ·A
~ = 1 ∂ (r2 Ar ) + 1
Divergenz: ∇
(sin θ Aθ )) +
r2 ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ϕ
1
∂(sin θ Aϕ ) ∂Aθ
1
1 ∂Ar
∂(r Aϕ )
~ ×A
~=
Rotation: ∇
−
~er +
−
~eθ
r sin θ
∂θ
∂ϕ
r sin θ ∂ϕ
∂r
1 ∂(r Aθ)
∂Ar
+
−
~eϕ
r
∂r
∂θ
∂φ
1
∂
∂φ
1
∂2φ
1 ∂
r2
+ 2
sin θ
+ 2
Laplace-Operator: 4φ = 2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ2
9
I Mathematische Grundlagen
I.6 Zusammenstellung von wichtigen Vektoridentitäten,
Ableitungen und Integraltheoremen
Dreifache Produkte
~ · (B
~ × C)
~ =B
~ · (C
~ × A)
~ =C
~ · (A
~ × B)
~
(1) A
~ × (B
~ × C)
~ =B
~ (A
~ · C)
~ −C
~ (A
~ · B)
~
(2) A
~
∇-Ableitungsregeln
~ g) = f (∇g)
~ + g(∇f
~ )
(3) ∇(f
~ A
~ · B)
~ =A
~ × (∇
~ × B)
~ +B
~ × (∇
~ × A)
~ + (A
~ · ∇)
~ B
~ + (B
~ · ∇)
~ A
~
(4) ∇(
~ · (f A)
~ = f (∇
~ · A)
~ +A
~ · (∇f
~ )
(5) ∇
~ · (A
~ × B)
~ =B
~ · (∇
~ × A)
~ −A
~ · (∇
~ × B)
~
(6) ∇
~ × (f A)
~ = f (∇
~ × A)
~ −A
~ × (∇f
~ )
(7) ∇
~ × (A
~ × B)
~ = (B
~ · ∇)
~ A
~ − (A
~ · ∇)
~ B
~ + A(
~ ∇
~ · B)
~ − B(
~ ∇
~ · A)
~
(8) ∇
~
∇-Ableitungsidentitäten
zweiter Ordnung
~ · (∇
~ × A)
~ =0
(9) ∇
~ × (∇f
~ )=0
(10) ∇
~ × (∇
~ × A)
~ = ∇(
~ ∇
~ · A)
~ −∇
~ 2A
~
(11) ∇
Integraltheoreme
(a)
Z
~b
~
a
(b)
Z
V
(c)
Z
A
10
~ ) = f (~b) − f (~a)
d~x · (∇f
~ · A)
~ =
d x (∇
3
Z
~ × A)
~ =
df~ · (∇
∂V
~
df~ · A
Z
∂A
~
d~x · A
Gradienten Theorem
Gauß’scher Satz
Stokes’scher Satz
I.7 Die Dirac’sche Deltafunktion
I.7 Die Dirac’sche Deltafunktion
Aus der Mechanik kennen wird das Konzept einer Punktmasse.
Sämtliche Masse eines Körpers ist an einem Punkt im R3 konzentriert:
M=
Z
d3 x r(~x) mit r(~x) =
Wir schreiben r(~x) = δ(x)δ(y)δ(z) · M ,
wobei δ(x) über die Eigenschaft
Z ∞
dx δ(x) = 1
0
∞0
0
~x = ~0
~x 6= 0
.
”(x)
−∞
definiert ist.
Man verallgemeinert dies leicht mittels einer stetigen ’Testfunktion’ f (x) zu der Beziehung
Z
∞
−∞
dx f (x)δ(x − a) = f (a),
(I.1)
wobei f (a) regulär sei. δ(x) ist keine reguläre Funktion, sie wird als Distribution bezeichnet und via
(I.1) definiert. Man kann sie als Limes von regulären Funktionen auffassen:
1
( > 0)
2
π x + 2
δ(x) := “ lim g (x)00
g (x) :=
→0
gÁ (x)
In der Tat gilt
lim g (x) =
→0
Á2
0 x 6= 0
∞ x=0
Á1
x
und die unter der Kurve liegende Fläche ist stets 1.
Z ∞
Z
x ∞
1 ∞ x
1
1
1
=
=
arctan
dx
d
=1
x 2
π x 2 + 2
π −∞
π
−∞
−∞
+1
Nun betrachten wir für stetige Funktionen f (x) das Integral
Z ∞
dx f (x)δ(x) .
−∞
Die Anführungszeichen in der Definition der δ-Funktion δ(x) := “ lim→0 g (x)00 sind als die Vorschrift
zu interpretieren die Limesbildung → 0 stets nach der Integration durchzuführen:
Z ∞
Z ∞
lim
dx f (x) g (x) =
dx f (x) δ(x) .
→0
−∞
−∞
11
I Mathematische Grundlagen
Zur Berechung des Grenzwertes machen wir eine Substitution im Integral:
Z ∞
Z ∞
dx g (x)f (x)
dx f (x)δ(x) = lim
→0
−∞
−∞
Z ∞
y= y 1
f (y)
dy 2
lim
= lim F ()
=
π →0 −∞
y + 1 →0
R∞
mit F () = π1 −∞ dy fy(y·)
2 +1 . Bei gleichmäßiger Konvergenz des Integrals (hier genügt die Beschränktheit von f ) ist F () stetig und der Limes → 0 kann unter das Integral gezogen werden.
Z
Z
1 ∞
f (y · )
1
1 ∞
F (0) = lim F () =
dy lim 2
dy 2
= f (0)
= f (0)
→0 y + 1
→0
π −∞
π −∞
y +1
Z ∞
⇒
dx f (x)δ(x) = f (0) mit δ(x) = lim g (x)
→0
−∞
In der Tat gilt auch für a > 0:
Z
a
dx f (x)δ(x) = f (0)
−a
und mit einer Translation x → x0
Z b
dx f (x)δ(x − x0 ) = f (x0 )
−b
falls x0 ∈ [−b, b].
I.8 Eigenschaften der Deltafunktion
1. Für g(x) stetige Funktion mit nur einfachen Nullstellen xn
g(xn ) = 0
g 0 (xn ) 6= 0
gilt:
δ[g(x)] =
X
n
1
δ(x − xn )
|g 0 (xn )|
(I.2)
Beweis: Da δ(x) 6= 0 nur für x ≈ 0 genügt es jede Nullstelle einzeln zu betrachten:
Z ∞
X Z xn +a
dx δ[g(x)]f (x) =
dx δ[g(x)]f (x)
−∞
n
xn −a
für geeignetes a. Umkehrfunktion x = x(g) in der Umgebung der Nullstelle x ∈ [xn − a, xn + a]
existiert.
X Z g(xn +a) dg
dg
dx
dg = 0
⇒
δ(g)f [x(g)]
dx =
0
dg
g [x(g)]
g(xn −a) g [x(g)]
n
Diese Integrale sind nun aber gleich der Testfunktion
x(g = 0) = xn :
X
1
f (xn ) 0
|g
(x
n )|
n
f [x(g)]
g 0 [x(g)]
an den Stellen g = 0, d.h.
Betrag, da bei negativer Neigung von g bei xn die Integration in Richtung der negativen g-Achse
erfolgt (g(xn − a) ist dann größer als g(xn + a)). Somit folgt (I.2).
12
I.9 Sprungfunktion
2. Aus (I.1) folgt weitere wichtige Eigenschaft:
Setzen wir f (x) = g(x) · f˜(x)
Z
Z ∞
dx g(x)f˜(x)δ(x) = g(0)f˜(0) = g(0)
∞
dx f˜(x)δ(x)
−∞
−∞
und somit
g(x)δ(x) = g(0)δ(x)
(I.3)
und insbesondere die distributionelle Identität
x · δ(x) = 0
3. Fourierdarstellung5 der δ-Funktion
Theorie der Fouriertransformation (werden wir eingehend in Kapitel VIII.3 diskutieren):
Z ∞
1
dk φ(k)eikx
f (x) = √
2π −∞
Z ∞
1
φ(k) = √
dx f (x)e−ikx
2π −∞
Setzen wir φ(k) in erste Gleichung ein, folgt:
f (x) =
1
2π
Z
∞
dk
−∞
Z
∞
dx0 f (x0 )eik(x−x )
0
⇒
−∞
δ(x − x0 ) =
1
2π
Z
∞
dk eik(x−x )
0
−∞
Mit der impliziten Vereinbarung, die k-Integration erst nach einer x-Integration durchzuführen.
I.9 Sprungfunktion
G(x, Á)
Wir betrachten die Integrale:
Z x
1
G(x, ) =
dx0 g (x) mit g (x) =
2
π x + 2
−∞
h
i
1
x π
=
arctan +
π
2
1
(x)
Á2
Á1
0
Definiere Sprungfunktion θ(x) := lim→0 G(x, ) =
1
0
x
x>0
x<0
Sprungfunktion kann als Integral über δ-Funktion geschrieben werden.
5 Jean-Baptiste
Joseph Fourier; Frankreich 1768-1830
13
I Mathematische Grundlagen
θ(x) =
Z
x
dx0 δ(x0 )
und
δ(x) =
−∞
θ(x) =

 1
x>0
x=0
x<0
1
2

dθ(x)
dx
0
Dies impliziert insbesondere, dass
∞
Z
dx δ(x) =
0
1
.
2
I.10 Taylor-Entwicklung von Feldern
Bekannt: Taylor6 -Entwicklung von differenzierbaren Funktionen um x = x0
n’te Ableitung
Restglied
N
↓
↓
X
1 (n)
f (x) =
f (x0 ) (x − x0 )n + RN (x − x0 )
n!
n=0
Abschätzung: RN (x − x0 ) = f N +1 (ξ)
(x − x00 )N +1
(N + 1)!
|ξ| < |x − x0 |
Lässt sich auf Felder =
ˆ Funktionen mehrerer Variablen ausdehnen:
Sei ϕ(~x) Skalarfeld, wollen ϕ(~x + ∆~x) entwickeln.
ϕ(~x + ∆~x · s) =: F (s). Wir interessieren uns für F (s = 1).
F (t) =
∞
X
1 (n)
F (0)tn
n!
n=0
mit (aus Kettenregel):
F 0 (0) =
3
X
∂ϕ(~x)
j=1
F 00 (0) =
∂xj
∆xj
3
X
X ∂ 2 ϕ(~x)
∂ 2
∆xj ∆xk =
∆xj
ϕ(~x)
∂xj ∂xk
∂xj
j=1
j,k
..
.
F (n) =
3
X
j=1
∆xj
∂ n
ϕ(~x).
∂xj
Hieraus folgt die Taylor-Entwicklung für skalare Felder:
ϕ(~x + ∆~x) =
6 Brook
14
∞
n
h
i
X
1 ~ x ϕ(~x) = exp ∆~x · ∇
~ x ϕ(~x).
∆~x · ∇
n!
n=0
Taylor; Großbritannien 1685-1731
I.10 Taylor-Entwicklung von Feldern
Bricht man die Reihe nach N Gliedern ab, so gilt für das Restglied
RN (~x) =
N +1
1
~x
∆~x · ∇
ϕ(~x + ξ · ∆~x).
(N + 1)!
Beispiel: Taylor-Entwicklung des Coulomb7 -Potentials einer Punktladung bei ~x0 um den Ort
~x = ~0:
1 3(~x · ~x0 )2 − ~x2 ~x20
1
~x · ~x0
α
+
+
.
.
.
=α
+
|~x − ~x0 |
|~x0 |
|~x0 |3
2
|~x0 |5
7 Charles
Augustin de Coulomb; Frankreich 1736-1806
15
II Grundlagen der Elektrostatik
Erster Teil der Vorlesung: Statische, d.h. zeitunabhängige Phänomene elektrischer Ladungen im
Raum R3 in Gegenwart von leitenden und nichtleitenden Körpern.
II.1 Ladungen und Ströme
Grundgrößen der klassischen Mechanik: Masse, Länge, Zeit
In der Elektrodynamik weitere Grundgröße: Ladung q Eigenschaft eines Körpers, diese ist gequantelt:
Elementarladung e ⇒
q =n·e n∈Z
• Positive Ladung q > 0, z.B. Proton n = +1, Atomkern n = Z (Ordnungszahl)
• Negative Ladung q < 0, z.B. Elektron n = −1
Elementarteilchen:
Elektron e− (n = −1), Positron e+ (n = +1), Neutrino ν (n = 0), Photon γ (n = 0).
Das Up-quark u (n = 32 ) und down-quark d (n = − 31 ) treten nur in gebundenem Zustand auf,
z.B. Proton = (uud), Neutron = (udd).
X
• Ladung ist additiv: Q =
qi
i
QP roton =
2 2 1
+ − =1
3 3 3
QN eutron =
2 1 1
− − =0
3 3 3
• Ladung ist erhalten: In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtladung erhalten.
• Ladung ist invariant: Unter Lorentztransformationen änder sich die Ladung nicht.
• Ladungsdichte ρ(~r)
Wichtige Grösse in der Elektrodynamik. Gesamtladung Q in einem Volumen V
Z
Q=
d3 xρ(~x)
V
Punktladung q ⇔ Massenpunkt m in der Mechanik
ρ(~r) = qδ(~x − ~x0 )
Z
⇒Q=
d3 x qδ(~r − ~r0 ) = q
q
˛x0
V
17
II Grundlagen der Elektrostatik
• Strom:
Stromdichte: ~j(~x)
~j(~r) ist Vektorfeld
q
˛v
|~j|:
Ladung
Zeit
~j
:
|~j|
df
durch Flächenelement df .
Normale der Bewegungsrichtung
Beispiel: Homogene Verteilung von N Teilchen der Ladung q im Volumen V , die sich mit
gleicher Geschwindigkeit ~v bewegen.
~j = n · q · ~v
mit n =
N
V
• Stromstärke I
Stromfluss durch vorgegebene Fläche:
Z
~jdf~
I=
df
˛j(˛
r)
F
II.2 Coulombgesetz
Empirischer Befund: Geladene Körper üben Kraft aufeinander aus:
˛
F
q
qq (~x − ~x )
F~ = −F~ 0 = k
|~x − ~x0 |3
0
˛
x≠˛
xÕ
0
qÕ
˛
x
˛Õ
F
˛
xÕ
˛0
Ladungen mit gleichen Vorzeichen stoßen sich ab (qq 0 > 0). Ladungen mit gegensätzlichen Vorzeichen
ziehen sich an (qq 0 < 0). Das Coulomb-Gesetz ist experimentell ermittelt, es erlaubt Definition und
Messung der Ladung.
Einheiten:
In der Elektrodynamik sind verschiedene Einheitssysteme gebräuchlich, die zu unterschiedlichen
k-Werten führen:
1. Gauß’sches System: k = 1
Ladungseinheit (LE) folgt aus mechanischen Größen g, m, s
p
1 LE = 1 cm dyn
dyn = g
cm
Kraft
s2
Das natürlicheste System, jedoch in der Technologie ungebräuchlich.
18
II.3 Elektrisches Feld
2. SI-System: k =
1
4π0
Ladungseinheit (LE) wird in Coulomb (C) gemessen.
1 C=1 A·S
Ampère (A) tritt zu mechanischen Einheiten kg, m, s hinzu.
k = 10−7 · c2
⇒
N
A2
0 = 8, 8543 · 10−12
mit Lichtgeschwindigkeit c = 2, 9979250 · 108
2 2
1
A2 s2
−9 A s
=
·
10
Nm2
4π · (2, 9979)2
Nm2
3. Heavyside-Lorentz-System1 k =
m
s
’Dielektrizitätskonstante
des Vakumms’
1
4π
√
Dimensionsmäßig äquivalent zum Gauß’schen System (1 LE = 1 cm dyn), entfernt Faktoren
von 4π in Maxwell-Gleichungen.
Wir benutzen zumeist das SI-System mit Ausnahme der Diskussion im Kapitel VI, die Transformation
1
in andere Systeme im Coulombgesetz durch 0 → 4π
(Gauß) bzw. 0 → 1 (Heavyside-Lorentz)
einfach möglich.
qq 0 (~x − ~x0 )
(II.1)
⇒
F~ = −F~ 0 =
4π0 |~x − ~x0 |3
Es gilt das Superpositionsprinzip: Für N Ladungen gj an den Orten ~xj ist die Kraft, die auf eine
Ladung qi am Ort ~xi durch die Summe der paarweisen Kräfte gegeben:
F~i =
N
X
j=1
j 6= i
qi qj (~xi − ~xj )
4π0 |~xi − ~xj |3
(II.2)
Elektrische Kräfte treten über sehr große Entfernungen auf: Fernwirkung.
II.3 Elektrisches Feld
Betrachte Testladung |q| |qj | (j = 1, ..., N ), erfährt Kraft F~ proportional zu q, die sich an jedem
Raumpunkt verändert
~ x)
~ : Elektrisches Feld
F~ = q · E(~
E
~ x) =
E(~
N
X
qj (~x − ~xj )
4π0 |~x − ~xj |3
j=1
(II.3)
Das elektrischesFeld füllt den Raum aus und existiert unabhängig von Testladung q.
Grenzfall vieler Punktladungen → Ladungsverteilung ρ(~x)
1 Oliver
Heaviside; Großbritannien 1850-1925. Hendrik Antoon Lorentz; Niederlande 1853-1918
19
II Grundlagen der Elektrostatik
~ x) =
E(~
⇒
Z
d3 y
ρ(~y )(~x − ~y )
4π0 |~x − ~y |3
(II.4)
Elektrisches Coulopmbfeld hat zwei differentielle Eigenschaften
~ =∇
~ ·E
~ =0
div E
(II.5)
~ := ∇
~ ×E
~ = ~0
rot E
(II.6)
~ = P3 ~ei ∇i = P3 ~ei ∂ .
mit ∇
i=1
i=1
∂xi
Die Relation (II.5) gilt außerhalb von Ladungsverteilungen, (II.6) gilt hingegen exakt.
Beweis:
Aufgrund der Linearität von (II.3) bezüglich der Ladungen und der Linearität der Differentialoperatoren in (II.5), (II.6) genügt es beide Gleichungen für eine Punktladung zu überprüfen:
q xi
4π0 |~x|3
1
q
∇ j Ei =
= ∇i Ej
δij ~x2 − 3xi xj
4π0
|~x|5
Ei =
⇒
~ =
div E
3
X
i=1
∇i E i =
~ =∇
~ ×E
~ =
rot E
1
q
(3 − 3) 3 = 0
4π0
|~x|
3
X
~ei ijk
i=1
q
= ~0
∇j Ek
| {z }
symm. in (jk)
II.4 Quellen
~ x) bei ~x = 0 singulär ist (hier
Am Ort der Punktladungen gelten diese Betrachtungen nicht, da E(~
Fall einer Punktladung).
Satz von Gauß
Z
V
~ · E(~
~ x) =
d3 x∇
I
∂V
~ x)
d2 x ~n(~x) · E(~
˛
E
d3 x
˛
n
d2 x
=
˛ ·E
˛
Ò
Hiermit lässt sich kritischer Punkt ~x = 0 umgehen. Wählen V =
ˆ Kugel mit Radius R um Punktladung.
20
9
II.5 Elektrostatisches Potential
Z
|~
x|≤R
Z
~ ·E
~ Gauß
d3 x ∇
=
|~
x|=R
q
=
4π0
Z
q~x
q
=
4π0 R3
4π0
d2 x ~n ·
Z
d2 ΩR2
|~
x|=R
~x ~x
·
R R4
q
d Ω=
0
2
~ ·E
~ verschwindet, bis auf ~x = 0, wo es singulär ist. Das heißt:
∇
~ ·E
~ = q · δ(~x) ≡ 1 ρ(~x)
∇
0
0
(II.7)
~ gilt (II.7) für
Hier ρ(~x) = qδ(~x) Ladungsdichte des Punktteilchens, aufgrund der Linearität von E
allgemeine Ladungsverteilungen.
1. Maxwell-Gleichung 2 der Elektrostatik:
~ ·E
~ =
∇
1
x)
0 ρ(~
Integralform (Gauß ’sches Gesetz)
Z
V
~ ·E
~ =
d3 x ∇
Z
∂V
~ =
d2 x ~n · E
1
1
QV =
0
0
Z
d3 x ρ(~x)
(II.8)
V
Gesamtladung QV im Gebiet V bestimmt durch elektrisches Feld auf dem Rand ∂V des Gebietes.
II.5 Elektrostatisches Potential
~ ×E
~ = 0 gilt exakt. Dies folgt aus dem Stokes’schen Satz:
Die zweite differenzielle Eigenschaft ∇
Z
A
˛
n
I
∂A
~
d~x · E
˛
E
˛
E
d2 x
A
~ × E)
~ =
d x ~n · (∇
2
=
ˆA
d˛
x
~ ×E
~ durch betrachtete Fläche = Wegintegral entlang des Randes ∂A.
Fluss von ∇
~ ×E
~ = 0 überall, bis auf
Betrachten wir nun wiederum den Fall einer Punktladung bei ~x, gilt ∇
eventuell ~x = 0. Verschiebung von A bei festem ∂A stets so möglich, dass A den Punkt ~x = 0 nicht
enthält
I
~
⇒
0=
d~x · E
für geschlossene Kurven γ.
(II.9)
∂A=γ
2 James
Clerk Maxwell; Schottland/England 1831-1879
21
II Grundlagen der Elektrostatik
~ x) ist ein
Diesen Sachverhalt kennen wir aus der Diskussion in der klassischen Mechanik: E(~
konservatives Feld und besitzt ein Potential =
ˆ elektrostatisches Potential
(II.10)
~ x) = −∇φ(~
~ x) =: −grad φ(~x)
E(~
mit
Z ~x0
~
x1
~ x) = −
d~x·E(~
Z
~
x0
~
x1
~ x) = −φ(~x0 )+φ(~x1 )
d~x·∇φ(~
unabhängig vom Weg
Z
Z
I
~ x) −
~ x) =
d~x · E(~
d~x · E(~
γ1
γ2
∂A
˛x0
“1
“2
˛x1
~ x) = 0
d~x · E(~
• Wie lautet φ(~x) für Punktladung?
Aus
~
x
|~
x|3
~ 1 folgt φ(~x) =
= −∇
|~
x|
q
1
4π0 |~
x|
• Aus dem Superpositionsprinzip folgt dann sofort das elektrostatische Potential für beliebige
Ladungsverteilungen
φ(~x) =
N
X
i=1
qi
4π0 |~x − ~xi |
(II.11)
bzw. mittels einer kontinuierlicher Ladungsdichte ρ(~x)
φ(~x) =
Z
d3 y
ρ(~y )
4π0 |~x − ~y |
(II.12)
Da aufgrund des Stokes’schen Satzes nun für das Punktladungsfeld
Z
~ × E)
~ =0
d2 x ~n · (∇
A
~ ×E
~ = 0 auch für ~x = 0.
für beliebige A und ∂A # {~0} gilt, kann A auch ~x = 0 enthalten. ⇒ ∇
Zusammenfassung:
2. Maxwell-Gleichung der Elektrostatik:
I
~ = ~0
Integralform:
d~x · E
~ ×E
~ =0
∇
γ
~ x) = −∇φ(~
~ x)
Lösung mittels elektrostatischen Potentials φ(~x) durch E(~
Maxwell-Gleichungen
der Elektrostatik
~ ×E
~ =0
∇
~ ·E
~ = 1 ρ(~x)
∇
0
22
Potential
⇒
12
Poisson-Gleichung
~ 2 φ(~x) = 1 ρ(~x)
−∇
0
(II.13)
II.6 Energie des elektrostatischen Feldes
~ 2 = P3
Oft auch mittels Laplace-Operator 4 := ∇
i=1
∂2
∂x2i
als −4φ(~x) =
1
x)
0 ρ(~
geschrieben.3
Elektrostatik wird so auf das Auffinden eines skalaren Feldes reduziert, das der Poisson-Gleichung
(II.13) genügt.
Zu beachten: Potential nur bis auf globale konstante Verschiebung definiert:
φ(~x) → φ0 (~x) = φ(~x) + const.
~ x) → E
~ 0 (~x) = E(~
~ x)
E(~
Lediglich Potentialdifferenzen besitzen physikalischen Gehalt. Die Verallgemeinerung einer solchen
Redundanz im Potential werden wir in der Elektrodynamik wiedertreffen.
II.6 Energie des elektrostatischen Feldes
Wir wollen die Energie berechnen, die benötigt wird, eine gegebene Ladungsverteilung herzustellen.
Dazu bringen wir sukzessive Ladungen aus dem Unendlichen (~x = ∞) zu den ~x = ~xi .
Vorüberlegung:
~ x) von ~xA zu ~xB zu bewegen, muss die Arbeit WAB geleistet werden.
Um Ladung q im Feld E(~
WAB = −
Z
~
xB
~
xA
d~x · F~ = −q
Z
~
xB
~
xA
~ = q [φ(~xB ) − φ(~xA ]
d~x · E
Arbeit i-te Ladung qi von ∞ nach ~x zu bringen.
Wi = qi φ(xi )
1. Ladung:
(da φ(∞) = 0)
2. Ladung:
~ = 0 → W1 = 0
E
1
q1 q2
1
q1
; W2 = q2 φ1 (~x2 ) =
φ1 (~x) =
4π0 |~x − ~x1 |
4π0 |~x2 − ~x1 |
3. Ladung:
φ2 (~x) =
..
.
n-te Ladung:
Wn =
2
2
X
X
qi
q3 qi
1
1
; W3 = q3 φ2 (~x3 ) =
4π
|~
x
−
~
x
|
4π
|~
x
−
~xi |
0
i
0
3
i=1
i=1
n−1
X
i=1
Gesamtenergie:
W =
n
X
i=2
3 Siméon
1
qn qi
4π0 |~xn − ~xi |
Wi =
n i−1
1 X X qi qj
4π0 i=2 j=1 |~xi − ~xj |
⇒
W =
n
1 X
qi qj
8π0
|~xi − ~xj |
i6=j=1
(II.14)
Denis Poisson; Frankreich 1781-1840
23
II Grundlagen der Elektrostatik
Für eine kontinuierliche Ladungsverteilung erhält man:
Z
Z
Z
1
1
ρ(~x)ρ(~y ) (II.12)
(II.13) −0
W =
=
d3 x ρ(~x)φ(~x) =
d3 xd3 y
d3 x ∆φ(~x) φ(~x)
8π0
|~x − ~y |
2
2
~2
Für φ(∞) → 0 folgt aus partieller Integration mit 4 = ∇
Z
Z
Z
0
0
0
3
2
3 ~
~
~
~ 2 (~x)
W =
d x(∇φ) −
d x∇ · (φ∇φ) =
d3 x E
2
2
2
{z
}
|
=0
Benötigte Arbeit läßt sich vollständig und lokal durch elektrisches Feld ausdrücken:
Z
0
~ x)|2
d3 x |E(~
W =
2
0
2
(II.15)
~ x)|2 : Energiedichte des elektrostatischen Feldes.
|E(~
Nur stehen wir vor folgendem scheinbaren Widerspruch:
~ x)|2 > 0, aber in diskreter Version (II.14) kann W ≷ 0 sein!
Puzzle: W > 0 in (II.15), da |E(~
Grund: ’Selbstenergie’ einer Punktladung, i = j, die in (II.14) nicht mitgezählt wird, im kontinuierlichen Fall (~x = ~y ) aber schon!
Arbeit in (II.14) ist also um Selbstenergiebeitrag geringer als (II.15) und kann negativ werden.
In der Tat ist Selbstenergie divergent:
2
Z
Z
q2
~x
q2
1
()
WSE =
d3 x
)
=
d3 x
3
32π0 |~x|>
|~x|
32π0 |~x|>
(~x)4
Z
Z
Z
∞
∞
q2
q2
q2 1
dr
1
=
=
dr r2 4 · dΩ =
32π0 r
80 r2
80 2
q
1
()
lim WSE =
lim = ∞.
→0
80 →0 Problem? Nein, denn
• Formal: WSE
ist zwar ∞, aber konstant. Diese Energie ist bei der Erzeugung des Punktteilchens aufgewendet worden und bracht nicht weiter berücksichtigt zu werden.
(→0)
• Physikalisch: Punktteilchen sind Idealisierung, da es keine Möglichkeit gibt festzustellen, ob
Punktförmigkeit wirklich vorliegt aufgrund der Auflösungsbeschränkung jedes Messgeräts.
Behandlung hier wird in jedem Fall ungültig bei sehr kleinen Abständen → Quantenfeldtheorie
In Quantenfeldtheorie führt das Konzept der punktförmigen Teilchen zu wichtigen Subtilitäten.
II.7 Beispiele
1. Kugelsymmetrische Ladungsverteilung
Sei ρ(~x) = ρ(r) mit r := |~x|, dann ist plausibel, dass das Feld radial ausgerichtet ist:
~ x) = ~n(~x)E(r) mit ~n(~x) = ~er (~x) = ~x .
E(~
|~x|
24
II.7 Beispiele
Entsprechend muss Potential nur von r abhängen:
φ(~x) = φ(r)
~ = ~x E(r) = −∇φ(r)
~
E
=−
|~x|
⇒
~
∇(r)
| {z }
φ0 (r)
~
x
= |~
=~
n(~
x)
x|
E(r) = −φ0 (r)
Für die Divergenz berechnet man
~ ·E
~ =
∇
2
~
~ · ~x E(r) + ~n · ∇E(r)
= E 0 (r) + E(r)
∇
| {z }
|~x|
r
~
n·E 0 (r)
~
~ · ~x = ∇ · ~x + ~x · ∇
~ 1 = 3 + ~x · ~n − 1 = 2
mit ∇
|~x|
|~x|
r
r
r2
r
1
ρ
2
~ ·E
~ =
· r2
⇒ E 0 (r) + E(r) = ρ(r)
∇
0
r
0
d 2
1
r E(r) = r2 E 0 (r) + 2rE(r) = r2 ρ(r)
dr
0
Z r
4π
Integration liefert:
4πr2 E(r) =
ds s2 · ρ(s)
0 0
(II.16)
D.h., das elektrische Feld E(r) folgt leicht aus der Ladungsdichte. Insbesondere gilt für Außenraum ρ(r) = 0 ∀r > R einer jeden kugelsymmetrischen Ladungsverteilung
E(r) =
mit Q =
R
r<R
Q 1
4π0 r2
für r > R
d3 x ρ(r), der im Volumen V eingeschlossenen Ladung.
Wie für ein Punktteilchen!
˛
E
=
Q
Q
2. Homogen geladene Kugel
Ladungsdichte
(
ρ(r) =
R
Q
4π 3
3 R
0
für r < R
für r > R
Integral (II.16) liefert:
Z
r
ds 4πs2 ρ =
0
⇒
E(r) =
Q
4π0
4π 3
3 r ρ
4π 3
3 R ρ
für r < R
für r > R
r
R3
1
r2
für r < R
für r > R
25
II Grundlagen der Elektrostatik
Das Potential ergibt sich durch Integration (mit üblichen Randbedingung φ(∞) = 0) und
Stetigkeit bei r = R:
φ(r) =
Q
4π0
− 12 Rr 3 +
2
1
r
3 1
2R
für r < R
für r > R
Wir können hieraus auch die elektrostatische Energie aurechnen:
"Z
#
Z ∞
Z
R
1
1 ∞
Q2
r4
2 2
dr 2
W = 4π0
dr r E (r) =
dr 6 +
2 0
8π0 0
R
r
R
Q2
1
1
3Q2
R→0
=
→ ∞ Selbstenergie einer Punktladung
+
=
8π0 5R R
20π0 R
3. Homogen geladene Kugeloberfläche
Ladungsdichte
R
ρ(r) = σδ(r − R)
‡
Q
Flächenladungsdichte σ =
4πR2
Innerhalb der Kugel keine Ladung, Gauß’scher Satz liefert sofort
Q
0 für r < R
E(r) =
1
für r > R
4π0
r2
und mittels Integration
Q
φ(r) =
4π0
1
R
1
r
für r < R
.
für r > R
Potential ist stetig an Kugeloberfläche, Feld springt um
Flächenladungsdichte.
Gesamtenergie:
W =
Q
4π0 R2 ,
dies ist proportional zur
Q2 1
8π0 R
Divergiert ebenfalls für R → 0.
4. Flächenartige Ladungsverteilung
˛x‹
Wir betrachten allgemeine Flächenladungsverteilung:
ρ(~x) = σ(~xk )δ(~x⊥ )
R
σ: Flächenladungsdichte dA σ = Q
~x = ~xk + ~x⊥ mit ~xk · ~x⊥ = 0 in geeignete Koordinaten.
˛x||
‡(˛x|| )
Wie verhält sich das elektrische Feld an der Fläche A?
~ und σ effektiv konstant sind
• Betrachte lokalen kleinen Abschnitt auf der Fläche, so dass E
(infinitesimales Flächenelement).
26
15
II.7 Beispiele
"Gauß’sches Kästchen":
˛
n
˛1
E
A
˛2
E
⇒
Elektrischer Fluss aus dem Kasten
I
~ = A~n · (E
~1 − E
~ 2)
d~n · E
A
=
!
1
1
Q = Aσ
0
0
~ · ~n ist unstetig und springt um
Normalkomponent E⊥ = E
σ
0
über die Grenzfläche .
(Vergleiche mit homogener Kugeloberfläche!, Beispiel 3)
~ k,1 = E
~ k,2 .
• Die Tangentialkomponente ist jedoch stetig E
Beweis: Lege infinitesimale Schleife auf die Oberfläche:
˛1
E
I
A
˛
L
˛
≠L
˛2
E
~ =L
~ · (E
~1 − E
~ 2 ) = 0,
d~l · E
da konservatives Feld.
~ in ~x⊥
Das gilt für jede Wahl von L
~ k stetig.
→E
Flächenladungen treten innerhalb von elektrischen Leitern auf, da Ladungsträger dort mobil
~ im Innern eines Leiters Null, da Ladungsträger sich so bewegen, dass
sind, insbesondere ist E
ein Feldausgleich stattfindet.
5. Plattenkondesator
Bekannt aus der Einführungsvorlesung: Zwei parallele Platten (Fläche A, Abstand d) die
gegensätzliche Ladungen tragen ±Q.
A
˛
E
U̇ (d)
dA
⇒
~ =E
~⊥
E
~ springt um ± Q an den KondensaE
0 A
torplatten, ist Null außerhalb.
d
Im Innenraum E =
Q
0 A
= const..
Potential steigt linear U (x) = x · E = xQ
0A
R
R
~ 2 = 0 A d dx
Energie des Feldes: W = 20 dV E
2
0
Kapazität des Kondensators C =
Q
U (d)
=
dQ2
20 A
Q2
2 A2
= 12 Q U (d) = 12 C (U (d))2
6. Dipol:
Weitere wichtige Ladungskonfiguration ist der Dipol:
Zwei entgegengesetzte Punktladungen ±q im Abstand d.
27
17
II Grundlagen der Elektrostatik
Potential: φ(~x) =
q
4π0
1
|~x− 12 d~n|
−
1
≠q
|~x+ 21 d~n|
d˛n
+q
Interessant ist Limes d → 0 mit q · d = const.:
q
q 1
1
=
4π0 ~x − 12 d~n
4π0 |~x|
→ φ(~x) =
1
1
d~n · ~x
d~n · ~x
+ O(q · d2 )
1+ 2 2 −1+ 2 2
|~x|
|~x|
p~ · ~x
4π0 |~x|3
mit Dipolmoment p~ := qd~n
Dipolfeld fällt stärker im Unendlichen ab, als eine Punktladung (∼
~x ≈ ~0 stärker.
1
r3
vs.
1
r 2 ),
dafür ist es bei
Dipolpotential lässt ich als Ableitung des Potentials einer Punktladung schreiben:
φ(~x) =
p~ · ~x
1
~
.
= −~
p·∇
4π0 |~x|3
4π0 |~x|
(II.17)
Für die Ladungsdichte eines Dipols folgt:
~ (3) (~x) .
ρ(~x) = −~
p · ∇δ
(II.18)
Wie wir in den Übungen gesehen haben, ist Ableitung einer δ-Funktion mit Vorsicht zu genießen:
δ 0 (x) = 0 ∀x 6= 0
Z
−f 0 (0) wenn 0 ∈ V
dx f (x)δ 0 (x) =
0
sonst
V
In diesem Sinne ist xδ 0 (x) = −δ(x) und x2 δ 0 (x) = 0.
Welche Kraft erfährt ein Dipol in einem äußeren Feld?
~ x) vorgegeben, dann erfahren die Testladungen ±q des Dipols die Kraft
Sei externes Feld E(~
~ ~x − 1 d~n + q E
~ ~x + 1 d~n .
F~ (~x) = −q E
2
2
Im Dipolgrenzfall d → 0 mit q · d = const. folgt:
~ (~x) + q d(~n · ∇)
~ E
~ (~x) + q E
~ (~x) + q d(~n · ∇)
~ E
~ (~x) + O(q · d2 )
F~ (~x) = −q E
2
2
~ E(~
~ x)
⇒ F~Dipol = (~
p · ∇)
28
20
II.7 Beispiele
~ gilt:
D.h., ein Dipol erfährt keine Kraft in einem homogenen Feld. Für das Drehmoment M
1
1
1
1
~
~
~
M (~x) = −q − d~n × E ~x − d~n + q d~n × E ~x + d~n
2
2
2
2
~ (~x) d→0
~ (~x) + O(q · d2 )
M
→ qd~n × E
⇒
~ Dipol = p~ × E(~
~ x)
M
D.h., im homogenen Feld wirkt ein Drehmoment auf den Dipol.
7. Multipolentwicklung
Wir gehen nun von räumlich begrenzter Ladungsverteilung ρ(~x) aus:
p
z
˛x
ρ 6= 0 nur für |~x| ≤ R. Falls keine Randbedingungen zu erfüllen sind, lautet das Potential:
Z
1
ρ(~x0 )
φ(~x) =
d3 x0
4π0 |~x0 |<R
|~x − ~x0 |
R
y
x
Das Fernfeld |~x| R weit außerhalb des Ladungsgebiets läßt sich durch Taylor-Entwicklung
0
des Integranden in rr mit r = |~x| und r0 = |~x0 |:
1
1
~x0 · ~x 3(~x0 · ~x) − ~x02 ~x2
=
+
+
+ ...
|~x − ~x0 |
|~x|
|~x|3
2|~x|5
Z
Z
~x
1
d3 x0 ρ(~x0 ) + 3 · d3 x0 ~x0 ρ(~x0 )
4π0 φ(~x) =
|~x|
|~x|
Z
1
d3 x0 3(~x · ~x0 )2 − ~x2 ~x02 ρ(~x0 ) + . . .
+
5
2|~x|
Den dritten Term formen wir wie folgt um:
Z
d3 x0 3(~x · ~x0 )2 − ~x2 ~x
02
ρ(~x0 ) =
Z


X
d3 x0 ρ(~x0 ) 
3xi xj x0i x0j − ~x02 δij xi xj 
i,j
=
3
X
i,j=1
xi xj d3 x0 ρ(~x0 ) 3x0i x0j − ~x02 δij
Man definiert die Momente der Ladungsverteilung:
Z
• Gesamtladung (Monopol):
q = d3 x0 ρ(~x0 )
• Dipolmoment:
21
p~ =
Z
d3 x0 ~x0 ρ(~x0 )
29
II Grundlagen der Elektrostatik
• Quadrupolmoment:
Qij =
Z
d3 x0 ρ(~x0 ) 3x0i x0j − ~x02 δij
Der Quadrupoltensor Qij ist spurfrei und symmetrisch.
Für das Potential ergibt sich die Multipolentwicklung im Fernfeld:
4π0 φ(~x)
30
|~
x|R
≈
3
q
~x · p~ 1 X
xi xj
+
+
Qij 5 + . . .
|~x|
|~x|3
2 i,j=1
|~x|
(II.19)
III Randwertprobleme der Elektrostatik
Wir befassen uns nun mit der Frage der Eindeutigkeit der Lösung der Poisson-Gleichung und suchen
Lösungsmethoden in Anwesenheit von Randbedingungen:
III.1 Formulierung und Eindeutigkeit
~ = −∇φ
~
Wir haben bereits gezeigt, dass das elektrische Feld über ein elektrisches Potential mittels E
festgelegt ist. Ist die das Feld erzeugende Ladungsdichte ρ(~x) bekannt, so hat die Poisson-Gleichung
4φ(~x) = −
1
ρ(~x)
0
die Coulomblösung im gesamten R3
φ(~x) =
Z
d3 y
ρ(~x)
.
4π0 |~x − ~y |
Allerdings: Lösung ist weder eindeutig noch genügt sie den jeweils gewünschten Randbedingungen
für Situationen mit V ⊂ R3 und Rand ∂V
Randwertproblem der Poisson-Gleichung:
Gegeben:
1. ρ(~x) auf kompaktem Gebiet V ⊂ R3 mit Rand ∂V
2. Randbedingungen für φ(~x)
∂V
Gesucht: φ(~x) mit ~x ∈ V ⊂ R
3
Wir wollen verstehen, unter welchen Randbedingungen eine eindeutige Lösung vorliegt:
Green’sche Identität:
Z
V
d x (ϕ 4ψ − ψ 4ϕ) =
3 0
I
∂V
∂ψ
∂ϕ
ϕ
−ψ
∂n
∂n
df.
Setze ϕ(~x0 ) = φ(~x0 ), mit 4φ = − 10 ρ(~x0 ), wobei φ(~v 0 ) das gesuchte elektrische Potential ist, und
1
(3)
außerdem ψ(x~0 ) = |~x−~
(~x − ~x0 ) im wesentlichen die Coulomblösung eines
x0 | mit 4ψ = −4πδ
31
III Randwertprobleme der Elektrostatik
Punktteilchens. Dann folgt aus der Green’schen Identität
Z
Z
1
ρ(~x0 )
1
∂φ
1
3 0
0
(3)
0
0 ∂
⇒
d x φ(~x ) −4πδ (~x − ~x ) +
=
−
df φ(~x ) 0
|~x − ~x0 | 0
∂n |~x − ~x0 | |~x − ~x0 | ∂n0
V
∂V
Lösung für elektrisches Potential :
Z
Z
1
1
x0
1
∂φ
1
3 0 ρ(~
0 ∂
φ(~x) =
− φ(~x ) 0
d x
df
+
4π0 V
|~x − ~x0 | 4π ∂V
|~x − ~x0 | ∂n0
∂n |~x − ~x0 |
|
{z
} |
{z
}
Coulombpotential
Randbeiträge
Bemerkungen:
∂φ
1. ρ(~x) in V und Randbedingungen φ bzw. ∂n
auf ∂V bestimmen φ(~x) in V . Ladungen außerhalb
von V gehen nur implizit über Randbedingungen ein.
2. Ist V ladungsfrei, bestimmen φ bzw.
∂φ
∂n
am Rand ∂V das Feld in V .
3. V = R3 verschwinden die Randbeiträge wegen
1
|~x|
1
∂φ |~x|→∞ 1
−→
0
|~x − ~x | ∂n0
|~x|3
|~
x|→∞
φ(~x) −→
D.h.
lim
Z
R→∞
4. Mit der Angabe von φ(~x) und
ebenso
df
|~
x|=R
φ(~x0 )
∂
1
|~
x|→∞ 1
−→
0
0
∂n |~x − ~x |
|~x|3
R2
1
∼ lim 3 → 0
0
3
R→∞ R
|~x |
auf dem Rand ∂V ist das Problem überbestimmt. Wir werden
∂φ sehen, dass man physikalisch motiviert entweder φ(~x)∂V oder ∂n
vorgibt.
∂φ
∂n
∂V
Klassifikation der Randbedingungen
• Dirichlet1 -Randbedingungen:
Das Potential ist auf dem Rand vorgegeben:
φ(~x) = ω(~x) für ~x ∈ ∂V
• Neumann2 -Randbedingungen:
Die Normalableitung
∂φ
∂n ,
~ = −~n · ∇φ,
~ ist auf dem Rand vorgegeben.
d.h. E⊥ = ~n · E
~ x) = − ∂φ (~x) = ν(~x) für ~x ∈ ∂V
E⊥ = −~n · ∇φ(~
∂n
Mit diesen Randbedingungen wird die Lösung der Poisson-Gleichung eindeutig bestimmt.
Beweis: Seien φ1 und φ2 Lösungen von 4φ1,2 (~x) = − 10 ρ(~x) mit φ1 = φ2 auf ∂V (Dirichlet) oder
∂φ1
∂φ2
∂n = ∂n auf ∂V (Neumann).
1 Peter
2 Karl
32
Gustav Lejeune Dirichlet, Deutschland, 1805-1859
Gottfried Neumann, Deutschland, 1832-1925
III.2 Leiter und Isolatoren
Betrachte Ψ = φ1 − φ2 . Es gilt dann 4Ψ = 0 für ~x ∈ V und Ψ(~x)∂V = 0 bzw.
∂Ψ ∂n ∂V
= 0.
1. Green’sche Identität für ϕ = ψ:
2 i I
h
∂ψ
~
=
df ψ
dV ψ 4ψ + ∇ψ
| {z }
∂n}
∂V
V
| {z
=0
=0
Z
Z
2
Integrand >0
~
~
~
⇒
dV ∇ψ = 0
=⇒
∇ψ(~x) = 0 ~x V
Z
V
⇒
ψ(~x) = const.
Dirichlet: ψ ∂V = 0 ⇒ ψ(~x) = 0 in V ⇒ φ1 (~x) = φ2 (~x) in V
Neumann: ψ(~x) = const. in V und ∂ψ
= 0 ⇒ φ1 (~x) = φ2 (~x) + C mit einer Konstante C ohne
∂n ∂V
~
Bedeutung für E.
⇒ Dirichlet- oder Neumann-Randbedingungen und ρ(~x) in V legen φ(~x) und E(~x) in V eindeutig
fest.
III.2 Leiter und Isolatoren
Warum sind Dirichlet- oder Neumann-Randbedingungen physikalisch relevant? Stoffe, die Ladungen tragen können, lassen sich grob in zwei Klassen einteilen:
• Nichtleiter (Isolatoren):
Geladene Teilchen/Ionen/Atome im Stoff sind fixiert und werden auch durch externes Feld
nicht bewegt. Aufgebrachte Zusatzladungen bleiben lokalisiert.
• Leiter (Metalle):
Stoffe, in denen elektrische Ladungen (etwa e− in nicht gefüellten Energiebändern) sich frei
~
verschieben lassen, d.h., auf ein E-Feld
folgt unmittelbare Bewegung = Strom.
Befindet sich ein Leiter im elektrostatischen Feld stellt sich ein Gleichgewicht ein: Ladungen bewegen
sich, bis sie auf der Oberfläche und im Inneren zur Ruhe kommen.
⇒
~ x) = ~0
E(~
und φ(~x) = const. im Leiter
~ = ~0 innen nichts. =
Hölt man den Leiter innen aus, ändert sich an E
ˆ Faraday’scher3 Käfig
3 Michael
Faraday, England, 1791-1867
33
III Randwertprobleme der Elektrostatik
Am Rand kommt es zu einer flächenartigen Ladungsverteilung σ (Kapitel II.1.7.4), wobei die
Tangentialkomponente Ek stetig ist und die Normalkomponente springt.
außen
Ekaußen = 0 = Ekinnen ; E⊥
=
σ
innen
, E⊥
=0
0
Das elektrische Feld steht stets senkrecht auf Leiteroberflächen: φ(~x) = const. auf ∂V .
Ist der Leiter geladen, so sammeln sich die Ladungen aufR dem Rand an. Auch ein ungeladener Leiter
kann eine Flächenladungsdichte σ(~x) besitzen, mit 0 = ∂V df σ(~x).
Induzierte Ladungen:
≠q
+
+
+
+
+
+
+
-
+
-
-
Leiter
+
-
-
-
-
III.3 Methode der Green’schen Funktionen
Formale Lösung des Randwertproblems der Elektrostatik: Green’sche Funktion G(~x, ~x0 ) sei symmetrische Funktion mit der Eigenschaft4
4x G(~x, ~x0 ) = −δ (3) (~x − ~x0 )
~ 2x = P3
mit 4x = ∇
i=1
Lösung
∂
∂xi
2
. Wegen (II.7) gilt 4x
G(~x, ~x0 ) =
1
|~
x−~
x0 |
(III.1)
= −4πδ (3) (~x − ~x0 ), so dass (III.1) die
1
1
+ f (~x, ~x0 )
4π |~x − ~x0 |
(III.2)
mit 4x f (~x, ~x0 ) = 0 in V , noch unbestimmt, wird aber durch Dirichlet- oder Neumann-Randbedingungen
festgelegt.
Bemühen wir nochmals die 2. Green’sche Identität für das gesuchte elektrische Potential φ(~x0 ) und
G(~x, ~x0 ):
Z
Z
1
d3 x0 [φ(~x0 ) 4x0 G(~x, ~x0 ) − G(~x, ~x0 )4x0 φ(~x0 )] = −
d3 x0 φ(~x0 )δ (3) (~x − ~x0 ) − G(~x, ~x0 )ρ(~x0 )
0
V
V
I
∂G
∂φ
!
=
df 0 φ(~x0 ) 0 − G(~x, ~x0 ) 0
∂n
∂n
∂V
4 Die
34
Methode der Green’schen Funkionen eignet sich allgemein für lineare partielle Differentialgleichungen.
III.3 Methode der Green’schen Funktionen
Für ~x ∈ V folgt
1
φ(~x) =
0
Z
d x ρ(~x )G(~x, ~x ) −
3 0
V
0
0
I
0 ∂φ
0 ∂G
df φ(~x ) 0 − G(~x, ~x ) 0 .
∂n
∂n
0
∂V
Die noch frei verfügbare Funktion f (~x, ~x0 ) in G(~x, ~x0 ) nutzen wir, um die jeweils unbestimmte
Randbedingungen zu eliminieren:
1. Dirichlet-Randbedingung
Hier ist φ(~x0 )∂V = ω(~x) vorgegeben, aber
∂φ ∂n0 ∂V
unbekannt.
⇒ Wähle f (~x, ~x0 ) so, dass
I
df 0 GD (~x, ~x0 )
∂V
∂φ
=0
∂n0
Häufig, aber nicht notwendig immer, realisierbar durch
GD (~x, ~x0 ) = 0 für ~x0 ∈ ∂V.
In jedem Fall ergibt sich die Lösung für das Potential:
1
φ(~x) =
0
Z
V
d x ρ(~x )GD (~x, ~x ) −
3 0
0
0
I
df 0 ω(~x0 )
∂V
∂GD (~x, ~x0 )
∂n0
(III.3)
mit φ(~x)∂V = ω(~x) (Dirichlet-Randbedingung).
2. Neumann-Randbedingung
∂φ Hier ist − ∂n
= E⊥ = ν(~x) vorgegeben, man wählt f (~x, ~x0 ) so, dass
∂V
I
df 0 φ(~x0 )
∂V
∂GN (~x, ~x0
= −φ0 = const.
∂n0
(III.4)
Zu beachten: ν(~x) muss konsistent mit ρ(~x) sein, da
I
I
Z
~ = 1
df ν(~x) =
df ~n · E
d3 x ρ(~x)
0 V
∂V
∂V
gelten muss.
Die naive Wahl
∂GN
∂n0
= 0 ist konsistent, da nach Gauss:
I
∂V
Somit fordern wir, dass
df 0
GN (~x, ~x0 )
=
∂n0
Z
V
(III.1)
d3 x0 4x0 GN (~x, ~x0 ) = = −1
∂GN (~x, ~x0 )
= −F (~x0 )
∂n0
(unabhängig von ~x) mit der Normierungsbedingung
I
df 0 F (~x0 ) = 1.
(III.5)
(III.6)
∂V
35
III Randwertprobleme der Elektrostatik
1
1
Häufige Wahl ist die konstante Funktion F (~y ) = Vol(∂V
) = S . Für diese Wahl nimmt die
irrelevante Konstante φ0 in (III.4) den Mittelwert des Potentials auf ∂V an
I
1
φ0 =
φ(~x0 )df 0 .
S ∂V
Für das Potential in V ergibt sich somit
φ(~x) =
mit
∂φ(~
x0 )
∂n0
1
0
Z
V
d3 x0 ρ(~x0 )GN (~x, ~x0 ) −
I
df 0 GN (~x, ~x0 )ν(~x0 )
(III.7)
∂V
= −ν(~x0 ) (Neumann-Randbedingung).
III.4 Beispiele für Green’sche Funktionen
1. Halbraum mit Dirichlet-Randbedingungen:
H ⊂ R3 mit H = {~x ∈ R; x3 > 0}, ∂H = {(x1 , x2 , 0); x1 , x2 ∈ R}
Gesucht GD (~x, ~x0 ) mit
• 4x GD (~x, ~x0 ) = −δ (3) (~x − ~x0 ) für ~x, ~x0 ∈ H
• GD (~x, ~x0 ) = 0 für ~x0 ∈ ∂H.
Physikalische Situation: Leitende Platte in x-y-Ebene:
x2
1
+ fD (~x, ~y )
4π|~x − ~y |
: 4x fD (~x, ~y ) = 0 für ~x, ~y ∈ H
1
fD (~x, ~y ) = −
für ~y ∈ ∂H.
4π|~x − ~y |
GD (~x, ~y ) =
x1
x3
Bed. an fD
D.h., auf der Platte ∂H lautet fD :
1
1
fD (~x, ~y )~y∈∂H = − p
2
4π (x1 − y1 ) + (x2 − y2 )2 + x23
Da fD (~x, ~y ) für ~x, ~y ∈ H symmetrische Funktion sein soll, legt dies den Ansatz nahe:
fD (~x, ~y ) = −
1
1
1
1
p
=−
4π (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 + y3 )2
4π |~x − ~yS |
mit ~yS = (y1 , y2 , −y3 ) Spiegelung von ~y an ∂H.
4x fD (~x, ~y ) = −δ(x1 − y1 )δ(x2 − y2 )δ(x3 + y3 ) = 0 für ~x, ~y ∈ H
Lösung: Green’sche Funktion mit Dirichlet-Randbedingung für Halbraum (x3 > 0):
36
2
III.4 Beispiele für Green’sche Funktionen
GD (~x, ~y ) =
1
1
1
1
−
4π |~x − ~y | 4π |~x − ~yS |
(III.8)
Zweiter Term entspricht einer Bildladung durch Spiegelung an der x-y-Ebene:
˛yS
˛y
Für die Normalableitung am Rand ∂H findet man
∂
x3
~ y GD (~x, ~y )
=
.
~n · ∇
=
G
(~
x
,
~
y
)
D
~
y ∈∂H
y3 =0
∂y3
2π|~x − ~y |3 y3 =0
Für den Fall des Halbraums mit Neumann-Randbedingungen auf ∂H lässt sich Green’sche
Funktion ebenfalls durch Bildladungen angeben, allerdings mit umgekehrten Vorzeichen:
GN (~x, ~y ) =
1
1
1
1
+
4π |~x − ~y | 4π |~x − ~yS |
(III.9)
~ y GN (~x, ~y ) = 0. Kein Widerspruch zu Gauss’schem Satz, da ∂H das Volumen H
Hier gilt ~n · ∇
nicht umschließt.
Anwendung:
Feld einer Punktladung vor geerdeter Leiterplatte
q
z0
ρ(~x0 ) = qδ(z 0 − z0 )
Aus allgemeinem Ausdruck (III.3) und Green’scher Funktion
GD (~x, ~y ) aus (III.8) folgt:
=3 0
Z
I
1
∂GD
d3 x0 ρ(~x0 )GD (~x, ~x0 ) −
df · 0 ·
0 H
∂n
∂H
q
1
1
=
−
,
~y0 = (0, 0, z0 ); ~y0,S = (0, 0, −z0 ) = −~y0
4π0 |~x − z0~e3 | |~x + z0~e3 |
φ(~x) =
~ x) =
Elektrisches Feld: E(~
q
4π0
h
(x,y,z−z0 )
|~
x−z0 ~
e3 |3
−
(x,y,z+z0 )
|~
x+z0 ~
e3 |3
i
37
III Randwertprobleme der Elektrostatik
Hieraus lässt sich die induzierte Flächenladungsdichte ableiten:
σ = 0 Ez (x, y, 0) = −
Gesamte induzierte Ladung: q̃ =
R
∂H
2. Außenraum einer Kugel:
q
z0
2π (x2 + y 2 + z 2 ) 23
0
df σ = −q.
Sei nun D Außenraum einer leitenden Kugel von Radius R um den Ursprung ~x = 0. Auch hier
führt die Methode der Bildladungen zum Erfolg. Ansatz:
GD (~x, ~y ) =
1
α
1
−
,
4π |~x − ~y | 4π|~x − ~yI |
(III.10)
wobei ~yI k ~y und |~yI | < R sei, siehe Skizze
R
˛yI
˛y
R·“
R/“
“=
|˛
y|
R
Zu bestimmen sind die Paramter α und ~yI des Ansatzes, so dass G(~x, ~y ) = 0 für ~y ∈ ∂D. Die
Lösung lautet:
~yI =
R2
~y ,
|~y |2
α=
Abbildung ~y → ~yI ist Inversion an der Sphäre, |~yI | =
R
.
|~y |
R2
|~
y| .
1
|~y|
−
4π|~x − ~y | 4π ~x − R22 ~y |~
y|
R
⇒
GD (~x, ~y ) =
N.B.: Die Relation
|~y |2 |~x − ~yI |2 = ~y 2 ~x2 + R4 − 2R2 ~x · ~y = |~x|2 |~y − ~xI |2
impliziert die Symmetrie von GD : GD (~x, ~y ) = GD (~y , ~x).
GD (~x, ~y ) erfüllt die Bedingungen:
• 4y GD (~x, ~y ) = −δ (3) (~x − ~y ) für ~x, ~y ∈ D, da Bildladung außerhalb von D bei ~yI liegt.
• Dirichlet-Randbedingungen: Für ~y ∈ ∂D, d.h. |~y | = R, gilt ~yI = ~y und somit
GD (~x, ~y )~y∈∂D = 0
38
III.4 Beispiele für Green’sche Funktionen
Für eine allgemeine Ladungsverteilung ρ(~y ) in D und Potential U auf der Kugel ergibt sich das
elektrische Potential:
1
φ(~x) =
0
Z
d y ρ(~y )GD (~x, ~y ) − U
3
D
I
∂D
~ z GD (~x, ~z).
d2 z~n · ∇
Der letzte Term lässt sich mithilfe des Gauss’schen Satzes auswerten zu
Z
Z
~ z GD (~x, ~z) =
d2 z ~n · ∇
d3 z 4z GD (~x, ~z)
|~
z |<R
∂D
R
R
δ(~z − ~xI ) = −
d3 z δ(~x − ~z) −
|~
x
|
|~
x|
|~
z |<R
Z
1
R
φ(~x) =
d3 y ρ(~y )GD (~x, ~y ) + U .
0
|~x|
=
⇒
Z
Für eine Punktladung q in D an der Stelle ~x0 mit ρ(~y ) = q · δ (3) (~y − ~x0 ) folgt:
φ(~x) =
q
1
q R
1
R
−
+U
0 4π|~x − ~x0 | 0 |~x0 | 4π|~x − ~x0,I |
|~x|
Falls die Kugel geerdet ist, gilt U = 0. Ist sie leitend, aber isoliert von Ladungsquellen muss die
q
1
induzierte Ladung Null sein. Dann gilt U = 4π
y| .
0 |~
Die Methode der Spiegelladungen führt jedoch nicht immer zum Erfolg. Für allgemeinere
Geometrien bestenfalls näherungsweise.
Außenraum einer Kugel mit Neumann-Randbedingungen
Green’sche Funktion hier (ohne Herleitung):
GN (~x, ~y ) =
R
1
|~y ||~x − ~yI | + ~y · (~x − ~yI )
1
+
+
log
4π|~x − ~y | 4π|~y ||~x − ~yI | 4πR
|~x|~y | + ~x · ~y
Beide erste Terme wie zuvor mit umgedrehter Spiegelladung. Letzter Term beschreibt 1D
Ladungsverteilung auf dem Intervall von 0 nach ~yI mit Ladungsdichte ∝ − R1 :
≠ R1
0
˛y Õ
˛y
39
III Randwertprobleme der Elektrostatik
III.5 Methode der Separation der Variablen
Ein weitere Lösungsansatz für das Randwertproblem der Elektrostatik besteht im Ansatz der
Separation der Variablen.
Wir betrachten die homogene Laplace-Gleichung in kartesischen Koordinaten:
2
∂
∂2
∂2
4φ =
+ 2 + 2 φ = 0.
∂x2
∂y
∂z
Ansatz: φ(x, y, z) als Produkt von Funktionen, die nur von Untermenge an Variablen abhängen.
Bsp.:
φ(x, y, z) = φxy (x, y) · φz (z)
4φ(x, y, z) = 0
⇒
0=
1
φxy (x, y)
∂2
∂2
+ 2
2
∂x
∂y
φxy (x, y) +
1
φ00 (z)
φz (z) z
Da erster Term nur von (x, y) und zweiter Term nur von z abhängt, kann Gleichung nur gelöst
werden, wenn jeder Term konstant ist - wir erhalten zwei Differentialgleichungen
∂2
∂2
+
∂x2
∂y 2
φxy (x, y) = λ · φxy (x, y)
∂
∂z
2
φz (z) = −λφz (z). mit
λ: “Eigenwert zum Differentialoperator −
∂ 2
∂z
bzw.
∂ 2
∂x
+
∂
∂y
λ = const.
2
(III.11)
”.
Die Lösungen dieser beiden Gleichungen sind durch gemeinsamen Eigenwert λ = const. gekoppelt.
Ansatz der Separation der Variablen sinnvoll, wenn Geometrie des Problems eine Trennung der
Variablen vorgibt.
φ = φxy (x, y) · φz (z) sinnvoll etwa bei Draht in z-Richtung oder flächenartiges Objekt in der (x, y)Ebene.
⇒ Ladungsdichte ρ(~x) hängt nur von Untermenge der Variablen ab.
Beispiel: 2D elektrostatisches Problem:
y
y0
„=0
„(x, y0 ) = Ï0 (x)
„=0
V
Geerdete Platten links, recht, unten, vorgegebenes Potentialprofil φ0 (x) oben
Gesucht: φ(x, y) im V . V ist ladungsfrei.
4φ =
x
„=0
40
x0
∂2
∂2
+ 2
2
∂x
∂y
φ(x, y) = 0
III.5 Methode der Separation der Variablen
Separationsansatz:
φ(x, y) = f (x) · g(y)
1
1
⇒ 0 = f 00 + g 00 (x)
f
g
f (x) = ae
⇒
√
g(y) = āei
λx
√
λy
√
+ be−
+ ȳe−i
f 00 (x) = λf (x),
⇒
g 00 (y) = −λg(y)
λx
√
λy
Randbedingungen müssen erfüllt werden:
1. φ(0, y) = 0
⇒
2. φ(x, 0) = 0
(ā + b̄) · f (x) = 0 ∀x ⇒ ā = −b̄
√
√
√
√ ⇒ a · ā e λx0 − e− λx0 ei λy − e−i λy = 0
⇒
3. φ(x0 , y) = 0
Das heißt, e
n ∈ N.
(a + b) · g(y) = 0 ∀y ⇒ a = −b
√
λx0
= e−
√
λx0
bzw. e2
√
= 1 funktioniert für x0 > 0 nur, falls
λx0
√
λ = i nπ
x0 mit
Somit lautet eine spezielle Lösung, die Randbedingungen 1. - 3. erfüellt:
φn (x, y) = sin
nπ
nπ
x · sinh
·y .
x0
x0
Allgemeine Lösung ist Superposition:
φ(x, y) =
cn sin
X
nπ
nπ
x · sinh
·y .
x0
x0
n∈N
Die Koeffizienten cn sind nun aus der Randbedingung 4. zu bestimmen ( → Übung)
!
ϕ0 (x) = 0
X
cn sin
n∈N
nπ
nπ
x · sinh
·y .
x0
x0
Ergebnis:
cn =
x0 sinh
2
Z
nπ
x0 y0
x0
dx φ0 (x) sin
0
nπ
x
x0
Für φ0 (x) = U = const. z.B.:
⇒
cn =
cn =
2U
x
(1 − (−1)n ) 0
n·π
x0 sinh 4π
x0 y0
(
n = 2m
0h
n = 2m + 1
4U
(2m+1)·n
sinh−1 (2m + 1)π xy00
i
Komplette Lösung!
41
III Randwertprobleme der Elektrostatik
III.6 Elektrostatik in Kugelkoordinaten
Der Separationsansatz lässt sich auch auf krummlinige Koordinatensysteme anwenden: Wir betrachten
den Fall der Kugelkoordinaten
x = r sin θ cos ϕ
gr = 1
y = r sin θ sin ϕ
gθ = r
z = r cos θ
gϕ = r sin θ,
sinnvoll für rotationssymmetrische Probleme (Punktladung, Kugelschalen, ...).
Laplace-Operator (vgl. Kapitel I.4)
1
∂
∂
∂
∂
∂
1 ∂
2
r
sin
θ
+
sin
θ
+
r2 sin θ ∂r
∂r
∂θ
∂θ
∂ϕ sin θ ∂ϕ
2
2
2
∂
2 ∂
∂
∂
1
1
1 1
∂
= 2+
+
+ 2 cot θ
+
∂r
r ∂r r2 ∂θ
r
∂θ r2 sin2 θ ∂ϕ
4=
Separationsansatz in Kugelkoordinaten:
φ = R(r) · Y (θ, ϕ)
4=
∂2
2 ∂
1 ~2
+
− L
∂r2
r ∂r r2
Aufspaltung in Radialanteil und Anteil auf der Kugelschale S 2 mit dem neuen Differentialoperator
~ 2 :=
L
∂
∂θ
2
∂
1
+ cot θ
+
∂θ sin2 θ
∂
∂ϕ
2
.
(III.12)
~ 2 , da es einen zugrundeliegenden Differentialoperator L
~ gibt, einen Vektor, der Rotationen
Schreiben L
~ gilt
um die drei Raumrichtungen erzeugt. Für die z-Komponente von L
Lz = −i
∂
.
∂ϕ
(III.13)
Wir suchen nun Lösungen zum Eigenwertproblem
~ 2 f (θ, ϕ) = λ · f (θ, ϕ)
L
λ = const. ∈ R.
(III.14)
Um dieses Problem zu lösen, machen wir erneut einen Separationsansatz:
f (θ, ϕ) = g(θ) · h(ϕ).
~ 2 ] = Lz · L
~2 −L
~ 2 · Lz = 0,
Um diese Lösungen zu finden, ist die folgende Überlegung hilfreich: Da [Lz , L
~ 2 und Lz identische Eigenfunktionen haben.
müssen L
42
III.7 Legendre-Polynome
~ 2 Y (θ, ϕ) = λ · Y (θ, ϕ), dann gilt auch L
~ 2 (Lz Y (θ, ϕ)) = λ (Lz Y (θ, ϕ)).
Sei L
~ 2 ]Y = 0 = Lz L
~ 2 Lz Y .
~ 2 Y −L
Beweis: [Lz , L
|{z}
λY
Das heißt, Lz Y (θ, ϕ) ∼ Y (θ, ϕ) und somit Eigenfunktionen.
Eigenfunktionen zu Lz sind leicht zu finden:
h(ϕ) = eimϕ ,
erfüllt Lz h(ϕ) = mh(ϕ).
(III.15)
Periodizität: h(ϕ + 2π) = h(ϕ) verlangt m ∈ Z.
N.B.: Wir haben (temporär) komplexe f (θ, ϕ) ∈ C erlaubt. Einsetzen in (III.14) liefert uns dann die
Eigenwertgleichung für gm (θ).
" #
2
2
∂
∂
m2
∂
−
− cot θ
+
− λ gm (θ) = 0
∂θ
∂θ sin2 θ ∂ϕ
Verbleibende gewöhnliche DGL ist gut zu lösen: Substitution u = cos θ ( u ∈ [−1, 1] )
p
∂
∂u ∂
∂
∂
=
= − sin θ
= − 1 − u2
∂θ
∂θ ∂u
∂u
∂u
2
2 p
∂ p
∂
∂
∂
∂
1 − u2
= 1 − u2
= 1 − u2
−u
∂θ
∂u
∂u
∂u
∂u
"
#
2
∂
m2
∂
⇒
(u2 − 1)
− 2
− λ P (u) = 0
+ 2u
∂u
∂u u − 1
(III.16)
Die ist die “verallgemeinerte Legendre”5 -Gleichung, im Fall m = 0 sprechen wir von der gewöhnlichen
Legendre-Gleichung.
III.7 Legendre-Polynome
Wir betrachten zunächst den Fall m = 0 der gewöhnliches Legendre-Gleichung
"
(u − 1)
2
∂
∂u
2
#
∂
+ 2u
− λ P (u) = 0
∂u
(III.17)
Ein polynomialer Ansatz für P (u) führt zur Lösung des Problems:
Sei Pl (u) = c0 ul + c1 ul−1 + ... + cl Polynom l-ten Grades.
Definiere Legendre-Polynome durch die Eigenschaft
Z
1
−1
5 Adrien-Marie
du uk Pl (u) = 0 für alle 0 ≤ k < l
(III.18)
Legendre, Frankreich, 1752-1833
43
III Randwertprobleme der Elektrostatik
Das sind l Bedingungen für (l + 1) Koeffizienten, Pl (u) sind nur bis auf freien Vorfaktor αPl (u)
bestimmt.
Diese Pl (u) sind Lösungen von (III.17):
2
∂
∂ 2
∂ ∂ 2
∂
∂
+ 2u
=
(u − 1)
(u − 1)
Pl (u) = λPl (u)
(u2 − 1)
∂u
∂u
∂u
∂u |∂u {z ∂u}
=:L
Beweis: Aus Lul = l(l + 1)ul + ... folgt, dass L den Grad des Polynomes erhält. Es folgt, dass nur die
Werte λ = l(l + 1) für λ zulässig sind!
Wir zeigen nun, dass das Polynom LPl (u) Legendre-Bedingung (III.18) erfüllt:
Z
1
−1
du uk LPl (u) =
Z
1
du uk
−1
1
P.I. k 2
= u (u − 1)Pl0 (u)−1 − k
Z
1
−1
∂ 2
∂
(u − 1) Pl (u)
∂u
∂u
du uk−1 (u2 − 1)
1
= 0 − kuk−1 (u2 − 1)Pl (u)−1 + k
P.I.
=k
Z
1
−1
Z
1
du
−1
∂
Pl (u)
∂u
∂
uk+1 − uk−1 Pl (u)
∂u
du (k + 1)uk − (k − 1)uk−2 Pl (u) = 0
D.h., LPl (u) ∼ Pl (u) und Proportionalitätskonstante wird
LPl (u) = l(l + 1)Pl (u).
Explizite Form der Pl (u) aus Rodrigues6 -Formel
l
1
d
Pl (u) = l
(u2 − 1)l
2 l! du
• Orthogonalitätsbeziehung
Z
1
du Pn (u)Pm (u) = 0
−1
n 6= m
folgt unmittelbar aus (III.18)• Normierung aus Rodrigues-Formel
Z
1
−1
du Pn (u)2 =
2
2l + 1
• Allgemeiner Fall: Ohne Beweis für die allgemeine Situation m 6= 0 mit |m| ≤ l ergeben sich die
verallgemeinerte Legendre-Polynome
l+m
(−1)m
d
m
2 m/2
Pl (u) =
(1 − u )
(u2 − 1)l
l
2 l!
du
6 Benjamin
44
Rodrigues, 1795-1851, Frankreich
III.8 Kugelflächenfunktionen
• Orthogonalitätsbeziehungen
Z
1
du Plm (u)Plm
0 = δl,l0
−1
(l + m)!
(l − m)!
III.8 Kugelflächenfunktionen
Die normierten Kugelflächenfunktionen Yl,m (θ, ϕ) lauten:
s
Yl,m (θ, ϕ) =
(2l + 1)
(l − m)! m
P (cos θ)eimϕ .
(l + m)! l
(III.19)
Diese erfüllen die Eigenwertgleichungen
~ 2 Yl,m = l(l + 1)Yl,m
L
Lz Yl,m = mYl,m .
~ 2 diskret sind. Zu jedem l gibt es (2l + 1) m-Eigenwerte m =
Wir sehen, dass Eigenwerte von L
−l, −l + 1, ..., l − 1, l
Explizit:
Y0,0 = 1
√ z
√
Y1,0 = 3 cos θ = 3
r
r
r
3
3 x ± iy
±iϕ
Y1,±1 = ∓
sin θe
=∓
2
2 r
r
r
5
5 2z 2 − x2 − y 2
(3 cos2 θ − 1) =
Y2,0 =
4
4
r2
r
r
15
15 z(x ± iy)
sin θ cos θ e±iϕ = −
Y2,±1 = −
2
2
r2
r
r
15
15 (x ± iy)2
Y2,±2 =
sin2 θ epmi2ϕ =
8
8
r2
..
.
• Orthogonalität und Vollständigkeit
In der theoretischen Physik spielen orthogonale und vollständige Funktionensysteme eine
wichtige Rolle. Die Kugelflächenfunktionen bilden ein solches System.
Un (x) mit n = 1, 2, 3, ...: reelle oder komplexe, quadratintegrable Funktionen auf Intervall [a, b].
→ Orthonormalität:
Z
b
dx Un? (x)Um (x) = δnm
(III.20)
a
→ Vollständigkeit:
45
III Randwertprobleme der Elektrostatik
Jede quadratintegrable Funktion f (x) lässt sich in Reihe der Un (x) entwickeln:
f (x) =
∞
X
cn Un (x)
(III.21)
n=1
Letzteres ist als Grenzwert zu verstehen:
f (x) = lim fN (x) mit fN (x) =
N →∞
N
X
cn Un (x)
n=1
• Wie sind die cN zu wählen?
Forderung:
Rb
!
dx |f (x) − fN (x)| = F (cn , N ) soll minimal sein.
a
Z
F (cn , N ) =
a
b
dx f (x)f ? (x) −
∂F !
=0=−
∂cn
Z
b
b
Z
dx
a
N
X
(f (x)c?n Un? (x) + f ? (x)cn Un (x)) +
n=1
N
X
cn c?n
n=1
dx f ? (x)Un (x) + c?n
a
Z b
∂F !
=
0
=
−
dx f (x)Un? (x) + cn
∂c?n
a
Z b
⇒ cn =
dx f ? (x)Un (x).
a
Setzen wir dies in Entwickltung von f (x) in (III.21) ein, folgt
f (x) =
Z
∞
X
n=1
=
b
Z
a
b
dy
!
f (y)Un? (y)
Un (x)
a
dyf (y)
∞
X
Un? (y)Un (x)
!
.
n=1
Das bedeutet,
Vollständigkeitsrelation
∞
X
n=1
Un? (y)Un (x) = δ(x − y).
(III.22)
Für die Kugelflächenfunktionen Yl,m (θ, ϕ) gelten die Orthogonalitäts- und Vollständigkeitsrelationen
1
4π
Z
0
π
dθ
Z
2π
dϕ sin θ Yl,m (θ, ϕ)Yl?0 ,m0 (θ, ϕ) = δll0 δmm0
0
∞ X
l
X
l=0 m=−l
46
Yl,m (θ, ϕ)Yl?0 ,m0 (θ, ϕ) =
4π
δ(θ − θ0 )δ(ϕ − ϕ0 ).
sin θ
III.9 Lösung der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten
Demnach kann man für quadratintegrable Funktionen F auf der Kugeloberfläche schreiben:
F (θ, ϕ) =
∞ X
l
X
Yl,m (θ, ϕ)cl,m
(III.23)
l=0 m=−l
mit cl,m =
1
4π
R
?
dθdϕ sin θ Yl,m
(θ, ϕ)F (θ, ϕ).
N.B.:
– Kugelflächenfunktionen ist das Analogon zur Basis eimϕ für quadratintegrable periodische
Funktionen auf dem Kreis S 1 (→ Fourierentwicklung!).
– F (θ, ϕ) ↔ cl,m ist Verallgemeinerung der Fouriertransformation von S 1 nach S 2 .
III.9 Lösung der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten
Lösung von 4φ(r, θ, ϕ) = 0 mit
4=
1 ∂
r2 ∂r
r2
∂
∂r
−
1 ~2
L .
r2
Aufgrund der Vollständigkeit der Yl,m (θ, ϕ) können wir das Potential mithilfe der Yl,m (θ, ϕ) und zu
bestimmender radialer Funktionen Rlm (r) ausdrücken:
φ(r, θ, ϕ) =
∞ X
l
X
Rlm (r)Yl,m (θ, ϕ).
l=0 m=−l
Anwendung auf Laplace-Operator unter Beachtung von
~ 2 Yl,m = l(l + 1)Yl,m (θ, ϕ)
L
gibt:
X 1 d dRlm (r) l(l + 1)
2
0 = 4φ =
r
−
Rlm (r) Ylm (θ, ϕ).
r2 dr
dr
r2
l,m
Da die Kugelflächenfunktionen orthonormal sind, muss jeder Summand seperat verschwinden:
Radialgleichung
1 d
r2 dr
dRlm (r)
l(l + 1)
r2
−
Rlm (r) = 0
dr
r2
(III.24)
Ansatz:
Rlm (r) = rα
(führt zum Ziel, da jeder Term der DGL vom Grad −2 ist.)
47
III Randwertprobleme der Elektrostatik
0=
"
d
dr
2
#
2 d
l(l + 1) α
+
r = rα−2 (α(α − 1) + 2α − l(l + 1)]
−
r dr
r2
Lösungen der quadratischen Gleichung:
⇒
α=l
und
α = −l − 1
D.h.
Rlm (r) = Alm rl + Blm r−(l+1) .
Somit lautet die allgemeinste Lösung der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten
φ(r, θ, ϕ) =
∞ X
l
X
Alm rl + Blm r−(l+1) Yl,m (θ, ϕ)
(III.25)
l=0 m=−l
Hierbei sind die Konstanten Alm und Blm noch unbestimmt und müssen aus der Ladungsdichte und
Randbedingungen heraus ermittelt werden.
Bemerkungen:
• Besitzt unser Problem azimutale Symmetrie in den Randbedingungen und der Ladungsdichte,
so muss φ unabhängig von Winkel ϕ sein, dies ist nur für die m = 0 Beiträge in der obeigen
Lösung der Fall, weshalb wir dann haben
z
Ï
⇒
φ(r, θ) =
∞
X
(2l + 1) Al rl + Bl r−l−1 Pl (cos θ)
l=0
(III.26)
• Liegt die Randbedingung φ → 0 für r → ∞ vor, d.h., befinden wir uns nicht in einem
abgeschlossenem System, so müssen offensichtlich alle Alm = 0 sein.
Beispiel: Kugel mit azimutal symmetrischer Flächenladungsdichte
Geladene Kugeloberfläche. Wir können schreiben:
σ(θ) =
∞
X
(2l + 1)σl Pl (cos θ).
(III.27)
l=0
σl : Momente der Flächenladungsdichte mit
Z
1 1
σl =
d(cos θ) σ(θ) Pl (cos θ)
2 −1
Ï
Für das Potential gilt dann die Entwicklung (III.26). Wegen der Flächenladung bei r = R teilen wir
auf:
• Potential im Innern der Kugel: φi (r, θ)
• Potential außerhalb der Kugel: φa (r, θ)
48
9
8
III.10 Multipolentwicklung in Kugelkoordinaten
1. Da φi regulär bei r = 0 und φa im Unendlichen verschwinden soll, ergibt sich:
φi (r, θ) =
∞
X
(i)
(2l + 1)Al rl Pl (cos θ)
l=0
∞
X
(a)
φa (r, θ) =
(2l + 1)Bl r−l−1 Pl (cos θ)
l=0
2. Potential stetig an der Kugeloberfläche:
φi (r = R, θ) = φa (r = R, θ)
!
⇒
Al Rl = Bl R−l−1
⇒
Bl
(i)
(a)
(a)
= Al R2l+1
(i)
3. Flächenladungsdichte σ(θ) auf der Kugel bedeutet nach der Diskussion in II.7 in Beispiel 4
~
gerade den Sprung in der Normalkomponente von E:
∂φa
∂φi σ(θ) = −0
−
∂r
∂r r=R
∞
h
i
X
(a)
(i)
= −0
(2l + 1)Pl (cos θ) −(l + 1)Bl R−l−2 − lAl Rl−1
l=0
∞
X
(i)
= 0
(2l + 1)Pl (cos θ)(2l + 1)Al Rl−1
l=0
Durch Vergleich mit σ(θ) in (III.27)
⇒
Al =
(i)
σl 1
R1−l
0 2l + 1
und die vollständige Lösung ist:
∞
R X r l
σl
Pl (cos θ)
0
R
l=0
l+1
∞
R
RX
σl
Pl (cos θ)
φa (r, θ) =
0
r
φi (r, θ) =
l=0
III.10 Multipolentwicklung in Kugelkoordinaten
In Kapiel II.1.7 hatten wir die Multipolentwicklung des Potentials einer lokalisierten Ladungsverteilung
im Außenraum diskutiert.
„(˛x)
fl ”= 0
˛x
49
III Randwertprobleme der Elektrostatik
Da φ → 0 für |~x| → ∞ ist klar, dass in Kugelkoordinaten das Potential für geeignet große r lautet:
φ(r, θ, ϕ) =
X Qlm
1
Yl,m (θ, ϕ)
4π0 (2l + 1)rl+1
(III.28)
l,m
D.h. wir haben die Koeffizienten Blm aus (III.25) hier zu
Blm =
Qlm 1
4π0 2l + 1
gewählt. Wie lautet der Zusammenhang zwischen ρ(~x) und Qlm ?
Die Aussage
Qlm =
folgt aus der Entwicklung von
1
|~
x−~
x0 |
Z
?
d2 Ωdr rl+2 Yl,m
(θ, ϕ)ρ(r, θ, ϕ)
(III.29)
für |~x| > |~x0 | in Kugelkoordinaten
∞ X
l
l
X
1
1
r0
?
=
Yl,m (θ, ϕ)Yl,m
(θ0 , ϕ0 )
|~x − ~x0 |
2l + 1 rl+1
(III.30)
l=0 m=−l
und dem Coulombgesetz:
φ(r, θ, ϕ) =
Z
d3 x0
X
ρ(~x0
Yl,m (θ, ϕ)
=
0
4π0 |~x − ~x |
4π0 (2l + 1)rl+1
l,m
Z
?
d3 x0 r0 ρ(r0 , θ0 , ϕ0 )Yl,m
(θ0 , ϕ0 )
|
{z
}
l
=Qlm
Beweis von (III.30)
Wahl ~x0 k ~ez
~x0 = ~x0 (r0 , θ0 = 0, ϕ0 = 0)
Das heißt,
1
|~
x−~
x0 |
˛x
xÕ
◊
hängt nicht von ϕ ab und nur m = 0 Koeffizienten kommen in Entwicklung vor
X Al
1
=
Pl (cos θ).
0
|~x − ~x |
rl+1
∞
l=0
Für Spezialfall θ = 0 folgt mit der Eigenschaft Pl (1) = 1, die man aus der Rodrigues Formel ableitet,
X Al
1
1
!
=
=
.
0
0
|~x − ~x |
r−r
rl+1
∞
l=0
Aus Vergleich mit geometrischer Reihe folgt dann Al = (r0 )l . Es verbleibt unser Ergebnis für den Fall
θ0 6= 0 zu verallgemeinern.
50
III.10 Multipolentwicklung in Kugelkoordinaten
Hier hilft ein Additionstheorem für Kugelflächenfunktionen:
l
X
1
∗
Ylm (θ, φ) Ylm
(θ0 , φ0 ) = Pl (cos γ)
2l + 1
m=−l
wobei γ der relative Winkel zwischen ~x und ~x0 ist mit
cos γ = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(φ − φ0 ) .
51
IV Magnetostatik
Die Magnetostatik gleicht in vielerlei Hinsicht der Elektrostatik. Dies ist auch nicht verwunderlich, da
elektrische und magnetische Kräfte, sobald eine Zeitabhängigkeit vorliegt, vereinigt werden. Es gibt
allerdings einige wesentliche Unterschiede zur Elektrostatik, die die Magnetostatik weniger intuitiv
machen:
• Abwesenheit von magnetischen Monopolen
• Strom statt Ladung als elementare Größe
• Vektorpotential statt skalares Potential
• Richtungsabhängigkeit (Rechte Hand-Regel)
IV.1 Grundlagen
Das Verhalten magnetischer Materialien legt nahe, dass Kräfte zwischen ihnen durch ähnliche Gesetze
wie in der Elektrostatik vermittelt werden. Magnete verhalten sich analog zu elektrischen Dipolen.
Elektrische Ströme wirken auf Magnete, deshalb ist sind magnetische Materialien auf mikroskopische
Ströme im Material zurückzuführen. ⇒ Bahndrehimpulse der Elektronen sowie Elektronenspins.
In metallischen Leitern kann, wie besprochen, kein elektrostatisches Feld herrschen. Durch eine äußere
Spannungsquelle lässt sich jedoch eine zeitlich konstante Potentialdifferenz (=
ˆ zeitlich konstantes
~
E-Feld) etablieren, die zu einem zeitlich konstanten Stromfluss führt. Diese Situation analysieren
wir in der Magnetostatik. Hierbei muss eine fortwährende Energiezufuhr in einem realen Leiter
vorliegen, da innere Reibungseffekte jeden Stromfluß abbremsen ⇒ Wärmebildung. Ein idealer Leiter
(Supraleiter) kann jedoch reibungsfreien geschlossenen Stromfluß tragen.
Zunächst wollen wir einige Grundbegriffe zum elektrischen Strom klären:
1. Stromdichte:
Bewegte Ladungsdichte ρ(~x, t)
mit Geschwindigkeitsfeld ~v (~x, t)
führt zur Stromdichte ~j(~x, t).
fl(˛x, t)
~j(~x, t) = ρ(~x, t)~v (~x, t)
(IV.1)
˛v (˛x, t)
Stromstärke
53
IV Magnetostatik
˛j
I=
Z
F
df˛
df~ · ~j =
dQ
dt
2. Kontinuitätsgleichung
Ladungen sind erhalten, d.h. in einem Volumen V ist Ladungsfluss/Zeit gleich Änderung der
Gesamtladung:
Z
Z
dQ
3 ~ ~
=−
d x ∇·j =−
df~ · ~j(~x, t)
dt
V
∂V
Z
mit Q =
d3 x ρ(~x, t).
fl
˛j
V
Für sehr kleine V folgt die lokale Kontinuitätsgleichung.:
∂ρ(~x, t) ~ ~
+ ∇ · j(~x, t) = 0
∂t
(IV.2)
Im Fall der Magnetostatik ist ρ̇ = 0.
3. Stromfaden:
Analogon zur Punktladung der Elektrostatik: Linienförmiger (1D) Strom entlang Weg C:
C
d˛x
Beschreibung im begleitendem Dreibein
(→ P2.1 Mechanik): ~eT k d~x
(Tangenteneinheitsvektor)
df˛
d~x = ds · ~eT
~j = |~j|~eT
df~ = df · ~eT
d3 x = df~ · d~x = df ds
I = ~j · df~ = |~j|df
Das heißt:
~jd3 x = |~j|~eT df ds = |~j|df d~x = Id~x.
Somit folgt für den Übergang einer Stromdichte zum Stromfaden
~jd3 x
bzw.
54
R
V
3
d3 x ~j(~x) =
R
C
d~x · I.
→
Id~x ,
(IV.3)
IV.2 Biot-Savart-Gesetz
IV.2 Biot-Savart-Gesetz
Die experimentell verifizierte Gesetzmäßigkeit der Magnetostatik ist die Kraftwirkung zweier geschlossener Stromschleifen (C1 , I1 ) und (C2 , I2 ) aufeinander:
C1 , I1
C2 , I2
d˛x1
˛x12
˛x1
d˛x2
˛x2
0
Ausgedrückt durch das Ampere’sche1 Gesetz:
µ0 I1 I2
F~12 =
4π
I
d~x1 × (d~x2 × ~x12 )
I
C1
(IV.4)
3
|~x12 |
C2
~x12 = ~x1 − ~x2 . Hier ist Ii konstant (Magnetostatik).
Die neue Konstante
µ0 = 4π · 10−10
kg m
A2 s2
nennt man ’magnetische Feldkonstante’. Sie erfüllt die zentrale Beziehung
0 · µ0 =
1
.
c2
Integrand in (IV.4) lässt sich umschreiben:
d~x1 × (d~x2 × ~x12 ) = d~x2 (d~x1 · ~x12 ) − ~x12 d~x1 · d~x2 .
Erster Term liefert keinen Beitrag im Integral:
~x12
d~x1 ·
=−
|~x12 |3
C1
I
~ 1 =−
d~x1 · ∇
|~x12 |
C1
I
Z
AC1
1
~
~
df · ∇ × ∇
= 0.
|~x12 |
|
{z
}
=0
Somit gilt für die Kraft in alternativer Darstellung auch:
µ0 I1 I2
F~12 = −
4π
I
C1
I
C2
(d~x1 · d~x2 )
~x12
.
|~x12 |3
(IV.5)
Weiterhin bemerken wir, dass F~12 = −F~21 gilt.
1 André-Marie
Ampère, Frankreich, 1775-1836
5
55
IV Magnetostatik
~ x) oder die maNun führen wir analog zur Elektrostatik ein Feld, die magnetische Induktion B(~
gnetische Flussdichte ein, die die Fernwirkung einer Stromschleife auf eine andere (Test)-Schleife
beschreibt.
Biot-Savart2 -Gesetz
˛ x)
B(˛
˛x
~ x) = µ0 I
B(~
˛y
d~y × (~x − ~y )
4π|~x − ~y |3
I
C
0
(IV.6)
C, I
~
Das B-Feld
induziert eine Kraft auf eine (andere) Stromschleife gemäß:
F~ = I
I
C
~ x) .
d~x × B(~
(IV.7)
~ x), das
Kommentar: Das magnetische Feld oder die magnetische Feldstärke ist ein anderes Feld H(~
~ x) ist. Diesen Zusammenhang werden wir im folgenden Kapitel
im Vakuum aber proportional zu B(~
kennenlernen.
Beispiel: Unendlich langer Stromleiter
I
Wegen
Zylindersymmetrie
~ (~x = (r, 0, 0)) zu bestimmen:
B
genügt
z
˛
B
˛x
~ez × (r, 0, −z)
4π(r2 + z 2 )3/2
−∞
Z ∞
µ0 I
rdr
=
~ey
2
2 3/2
4π
−∞ (r + z )
µI
=
~ey .
2πr
~ x) = µ0 I
B(~
Z
∞
dz
Stellt man bei ~x einen parallelen Strom I 0 auf, so ist die Kraft pro Länge gerade
6
F
µ0 II 0
= I 0B =
.
l
2πr
I
IÕ
Die Kraft ist anziehend, wenn die Ströme gleichgerichtet sind, andernfalls abstoßend.
Aus der Gesamtkraft auf die Stromschleife (IV.7) lässt sich die Kraftdichte ableiten:
2 Felix
56
~ x).
dF~ = Id~x × B(~
Savart, Frankreich, 1791-1841; Jean-Baptiste Biot, Frankreich, 1774-1862
es
IV.3 Feldgleichungen der Magnetostatik
~ = ~x ×dF~ das Drehmoment auf die Stromschleife
Aus dieser lässt sich aus infinitesimalen Beiträgen dM
bestimmen:
~ =I
M
I
C
~ x)
~x × d~x × B(~
Hieraus ergibt sich das Prinzip des Elektromotors
I
˛
B
IV.3 Feldgleichungen der Magnetostatik
Zunächst verallgemeinern wir das Biot-Savart-Gesetz auf eine kontinuierliche Stromdichte ~j(~x):
(vergleiche (IV.3))
~jd3 x
Z
~j(~y ) × (~x − ~y )
~
B(~x) = µ0 d3 y
,
4π|~x − ~y |3
Id~x
⇒
→
(IV.8)
bzw. mit
~
1
~ ~x 1 = ~j(~y ) × ~x − ~y
~ ~x × j(~y ) =
~ ~x × ~j(~y ) −~j(~y ) × ∇
∇
∇
|~x − ~y |
|~x − ~y | | {z }
|~x~y |
|~x − ~y |3
=0
~ x) als Rotation eines Vektorfelder schreiben lässt:
folgt, dass sich B(~
~ x) = ∇
~ x × µ0
B(~
4π
Z
d3 y
~j(~y )
|~x − ~y |
(IV.9)
~ x) verschwindet:
Hieraus folgern wir unmittelbar, dass die Divergenz von B(~
~ x · B(~
~ x) = 0
∇
9
(IV.10)
Dies ist die homogene Maxwell-Gleichung der Magnetostatik. Die integrale Form von (IV.10) ergibt
sich auf dem Gauß’schen Satz:
Z
I
3 ~
~
~ x).
0=
d x ∇ · B(~x) =
df~ · B(~
V
∂V
Das heißt, der Fluss durch die Oberfläche ∂V eines beliebigen Volumens V verschwindet =
ˆ Abwesenheit
von magnetischen Ladungen (Monopolen).
~
Die inhomogene Feldgleichung finden wir wie folgt: Betrachte die Rotation von B:
57
IV Magnetostatik
~ x × B(~
~ x) = ∇
~x×
∇
~ x × µ0
∇
4π
Z
~j(~y )
d3 y
|~x − ~y |
!
.
~ × (∇
~ × I)
~ = ∇(
~ ∇
~ · I)
~ − (∇
~ · ∇)
~ I~
Nun ist ∇
| {z }
=4
~ x) = µ0
mit: I(~
4π
Z
d3 y
~j(~y )
, sowie
|~x − ~y |
Z
~j(~y )
µ0
~
~y 1
d y ∇~x
=−
d3 y ~j(~y )∇
|~x − ~y |
4π
|~x − ~y |
Z
h
i µ Z
~
µ
j(~
y)
P.I. 0
~ y · ~j(~y ) − 0
=
d3 y ∇
df~
4π
4π ∂V →∞ |~x − ~y |
~ x · I(~
~ x) = µ0
∇
4π
Z
3
Nutzen wir nun die Kontinuitätsgleichung in der Magnetostatik
~ y~j(~y ) = −ρ̇(~y ) = 0,
∇
sowie ~j(~y ) = 0 im Unendlichen, ergibt sich
~ x × B(~
~ x) = −4x µ0
∇
4π
da aber 4x
1
|~
x−~
y|
Z
d3 y
~j(~y )
,
|~x − ~y |
= −4πδ (3) (~x − ~y ) gilt, haben wir
~ x × B(~
~ x) = µ0~j(~x).
∇
(IV.11)
Die ist die inhomogene Maxwell-Gleichung der Magnetostatik.
~ x · B(~
~ x) = 0 bilden dies die Feldgleichungen der Magnetostatik.
Gemeinsam mit (IV.10), ∇
Integrale Form von (IV.11):
I
Z
D
~ × B)
~ =
df~ · (∇
I
∂D
~ = µ0 I
d~x · B
ˆD
D
(IV.12)
Das Ampere’sche Durchflutungsgesetz.
IV.4 Vektorpotential
Wir haben gesehen, dass die magnetische Induktion divergenzfrei ist und sich als Rotation eines
~ x) schreiben lässt:
Vektorfeldes A(~
~ x) = ∇
~ × A(~
~ x) .
B(~
(IV.13)
58
IV.4 Vektorpotential
~ x): Vektorpotential
A(~
~ x) = µ0
Wir haben ferner das Ergebnis für das Vektorpotential gefunden: A(~
Z
Eichtransformationen
d3 y
~j(~y )
.
|~x − ~y |
~ x) ist nicht eindeutig bestimmt, da Addition eines Gradientenfeldes die physikalisch relevante
A(~
~ nicht verändert: Die Transformation
magnetische Induktion B
~ 0 (~x) = A(~
~ x) + ∇Λ(~
~ x)
A
(IV.14)
~
Lässt das B-Feld
invariant
~ 0 (~x) = ∇
~ ×∇
~ Λ(~x) = B(~
~ x)
~ ×A
~ 0 (~x) = ∇
~ × A(~
~ x) + ∇
B
| {z } | {z }
~ x)
=B(~
=0
~ x) nach A
~ 0 (~x) bezeichnet man als eiDas skalare Feld Λ(~x) ist hier beliebig! Übergang von A(~
~
~ x) und A
~ 0 (~x)
ne Eichtransformation. Da lediglich B-Feld
messbar ist (über Probeschleife) sind A(~
~
physikalisch äquivalent. Diese Freiheit in der Wahl des Potentials A(~x) ist eine zentrale Eigenschaft
der Theorie des Elektromagnetismus. Das Analogon in der Elektrostatik war die Verschiebung von
φ(~x) um eine Konstante. Diese Freiheit verkompliziert aber i.d.R. das Randwertproblem, denn auch
die unphysikalischen Freiheitsgrade müssen nun bestimmt werden. Umgehung dieses Problems möglich
durch Wahl einer Eichung, bzw. Eichfixierung: Hier nutzen wir die Eichfreiheit zum Stellen einer
lokalen Bedungung an das Vektorpotential F (Ai (~x), ∂xi Aj (~x)) = 0.
Die Wahl einer Eichung ist etwas subtil:
~ eliminieren.
• Eichung sollte unphysikalische Freiheitsgrade in A
~ x) muss sich realisieren lassen.
• Eichung darf nicht zu restriktiv sein, d.h. jedes Feld B(~
Gebräuchliche Eichungen, die diese Kriterien erfüllen:
~ · A(~
~ x) = 0
• Coulomb-Eichung: ∇
~ x) = 0 mit festem ~n.
• Axiale Eichung: ~n · A(~
Das heißt, wir stellen eine Bedingung für jeden Raumpunkt ~x ∈ R3 ↔ dies entspricht den Frei~ x) aus (IV.9) liegt in der Tat in der
heitsgraden des skalaren Feldes Λ(~x). Unser Ergebnis für A(~
Coulomb-Eichung vor, wie man leicht sieht:
~ ·A
~=∇
~ x · µ0
∇
4π
Z
d3 y
Z
~j(~y )
µ0
~x 1
=
d3 y ~j(~y ) · ∇
|~x − ~y |
4π
|~x − ~y |
| {z }
~y 1
−∇
|~
x−~
y|
=
P.I.
µ0
4π
Z
1
~ y · ~j(~y )
d3 y ∇
= 0.
| {z } |~x − ~y |
h
i
=0
~ · ~j = 0 in magnetostatischem Fall, d.h. ρ̇(~x, t) = 0.
Das folgt aus der Kontinuitätsgleichung ∇
Poisson-Gleichungen
59
IV Magnetostatik
~ x) reduzieren sich die Maxwell-Gleichungen der Magnetostatik in der
Mithilfe des Vektorpotentials A(~
~ · A(~
~ x) = 0, auf drei Poisson-Gleichungen. Augehend von den Feldgleichungen
Coulomb-Eichung, ∇
~ ×B
~ = µ0~j,
∇
~ ·B
~ =0
∇
~ =∇
~ × A,
~ dann ist ∇
~ ·B
~ =∇
~ · (∇
~ × A)
~ = 0 identisch erfüllt. Für die inhomogene
setzen wir B
Gleichung folgt
~ × (∇
~ × A)
~ = −4A(~
~ x) + ∇
~ · (∇
~ · A)
~
µ0~j(~x) = ∇
| {z }
=0
⇒
~ x) = −µ0~j(~x)
4A(~
(IV.15)
~ und ~j! Vollständig analog zur
D.h. wir finden eine Poisson-Gleichung für jede Komponente von A
1
Poisson-Gleichung der Elektrostatik 4φ(~x) = − ρ(~x). Jede Komponente in (IV.15) kann getrennt
betrachtet werden.
D.h., das Grundproblem der Magnetostatik lautet:
Gegeben:
1. ~j(~x) in Raumbereich V
2. Randbedingungen auf ∂V
Gesucht:
~ = −µ0~j(~x), die Randbedingungen erfüllen.
Lösungen von 4A
Die identischen Lösungsmethoden der Elektrostatik können übernommen werden! Allerdings müssen
wir noch verstehen, welche Randbedingungen auftreten, hierzu Magnetostatik in Materialien →
nächstes Kapitel.
IV.5 Kraft, Drehmoment und Energie des B-Feldes
~ x) wirkt mit einer Kraft F~ und einem Drehmoment M
~ auf
Eine gegebene magnetische Induktion B(~
eine Stromdichte im Raum:
F~ =
Z
~ x)
d3 x ~j(~x) × B(~
~ =
M
Z
~ x)
d3 x ~x × ~j(~x) × B(~
~ =B
~ 0 = const. übt keinerlei Kraft auf eine stationäre Stromdichte ~j(~x)
• Ein homogenes Feld B
aus:


Z


3 ~
 ~
F~ = 
 d x j(~x) × B0
|
{z
}
=0
60
IV.5 Kraft, Drehmoment und Energie des B-Feldes
~ ~x, der Quellenfreiheit der
Das Verschwinden des Integrals folgt aus der Überlegung ~j = (~j · ∇)
Stromstärke und deren Lokalisierung, da
Z
Z
Z
~ x P.I.
~ ~j) ~x = 0
d3 x~j(~x) = d3 x(~j · ∇)~
= − d3 x (∇
| {z }
=0
~ =B
~ 0 = const. hingegen
• Für das Drehmoment ergibt sich im Fall B
Z
Z
~ = d3 x ~x × ~j(~x) × B
~ 0 = d3 x ~j(~x)(~x · B
~ 0) − B
~ 0 (~x · ~j(~x))
M
Der zweite Term verschwindet3 , so dass
~ =
M
Z
~ 0 )~j(~x)
d3 x (~x · B
bzw. unter Ausnutzung der Identität4
Z
Z
1
d3 x (~a · ~x)~j(~x) = − ~a × d3 x[~x × ~j(~x)]
2
Z
1
3
~
~ 0.
~
⇒
M=
d x ~x × j(~x) × B
2
~
Man definiert das magnetische Moment m
m
~ :=
1
2
Z
d3 y ~y × ~j(~y )
(IV.16)
~
~ =m
~0 .
Für homogenes B-Feld
lautet Drehmoment M
~ ×B
• Das magnetische Moment m
~ tritt auch im Fernfeld des Vektorpotentials auf. Die Entwicklung
lautet
~ x) = µ0
A(~
Z
d3 y
~j(~y )
4π|~x − ~y |
r→∞
≈ µ0
Z
d3 y ~j(~y )
1
~x · ~y
+
+
.
.
.
,
4π|~x| 4π|~x|2
(IV.17)
~ · ~j = 0) verschwindet, ist der erste Beitrag in
Da der Gesamtstrom in der Magnetostatik (∇
R 3
~
(IV.17) Null. Dass d xj(~x) = 0 ist, zeigt man leicht: Sei V groß genug, so dass ~j = 0 gilt
∂V
ist
I
Z
Z
Z
~ ~j=0
~ ~j · xk ) =
~ · ~j + jk ) ∇·=
0=
df~ · ~j(~x)xk =
d3 x ∇(
d3 x(xk ∇
d3 x jk
∂V
3 Hierzu
V
V
V
betrachten wir
Z
V
3
d x~
x · ~j(~
x) =
Z
V
1~
P.I.
(~
x)2 · ~j(~
x) = −
d x ∇
2
3
Z
V
~
x2 ~ ~
d x
∇·j+
2 |{z}
3
=0
Z
2
~
x
df~ · ~j ,
2
| ∂V {z
=0
}
da die Stromdichte im Unendlichen verschwindet.
~ · ~j = 0
folgt aus dem Hilfssatz für ∇
4 Dies
0=
Z
~ x) + g(~
~ (~
d3 x f (~
x)~j(~
x) · ∇g(~
x)~j(~
x) · ∇f
x)
für beliebige Skalarfelder f und g.
61
IV Magnetostatik
Für den nächsten Term in (IV.17) nutzen wir
I
Z
Z
3 ~ ~
~
~
0=
df · j xk xl =
d x ∇ j xk x l =
d3 x (jk xl + jl xk )
∂V
und daraus
Z
V
d3 y ~j(~y )(~x · ~y ) = m
~ × ~x
V
~ × ~x
~ x) = µ0 m
+ ...
A(~
4π |~x|3
⇒
Jede Stromdichte ~j(~x) erzeugt in großer Entfernung in führender Ordnung ein Dipolfeld mit
magnetischem Moment m.
~
~
lässt sich wie folgt
• Kraft auf geladenes Teilchen aus einem schwach inhomogenem B-Feld
darstellen:
~ x) = B
~ 0 + (~x · ∇)
~ B
~0 + . . .
B(~
mit
~ 0 = B(~
~ x0 ) .
B
Dann ergibt sich in führender Ordnung für die Kraft:
Z
~
F~ = d3 x ~j(~x) × B
Z
Z
~ 0 + d3 x ~j × (~x · ∇)
~ B
~0 + . . .
=
d3 x ~j(~x) ×B
{z
}
|
=0
~ m
~ 0) + . . .
= ∇(
~ ·B
Wir sehen also, dass wir im Fall eines schwach inhomogenen Feldes näherungsweise ein Potential
~ x).
für F~ angeben können mit V (~x) = −m
~ · B(~
Der letzte Schritt war hier ein wenig subtil. Um dies zu zeigen starten wir von der i-ten
Komponente der Kraft:
Z
Z
3
Fi = ijk d x jj xl [∇l Bk (0)] = ijk ∇l Bk (0) d3 x jj xl
(IV.18)
Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, nutzen wir die folgende bemerkenswerte Identität in 3d
für einen beliebigen Vektor ~a:
ijk al + jlk ai + lik aj = 0 .
Man zeigt dies indem man überprüft, dass die linke Seite der Gleichung einen vollständigen
antisymmetrischen Tensor vierter Stufe Ωijkl bildet. Ein solcher Tensor muss aber in 3d
~ einsetzend erhalten wir:
verschwinden. Diese Identität in (IV.18) mit ~a = ∇
Z
Z
Z
Fi = −jlk ∇i Bk
d3 x jj xl − lik ∇j Bk
d3 x jj xl = klj ∇i Bk d3 xl jj − Fi
| R{z }
=−
und somit
~ · B = 0.
da ∇
62
2Fi = 2 ∇i Bk mk
d3 jl xj
~ m
~ .
⇒ F~ = ∇(
~ · B)
V Elektro- und Magnetostatik in Materie
Materie besteht auf mikroskopischer Ebene aus Atomkernen und Elektronen. Diese tragen positive
~ und B-Feldern
~
und negative Ladungen, befinden sich in Bewegung und werden von äußeren Ebeeinflusst und beeinflussen diese selber.
Diese Situation ist prinzipiell beschreibbar mit hergeleiteten Feldgleichungen auf mikroskopischer
Ebene
~E
~ = 1 ρ,
∇
0
~ ×E
~ = ~0,
∇
~B
~ = 0,
∇
~ ×B
~ = µ0~j
∇
mit ρ und ~j der Atomkerne und Elektronen, etwa
ρMat (~x) =
NA
X
i=1
qi δ (3) (~x − ~xi (t)) +
Ne
X
i=1
eδ (3) (~x − ~yi (t)).
Allerdings ist NA/e ∼ 1023 , so dass eine solche Beschreibung faktisch nicht möglich ist. Hinzu kommt,
dass die Bausteine der Materie in steter Bewegung sind, so dass auch die statischen Maxwellgleichungen nicht hinreichend für die Beschreibung unsere Problems sind. Deshalb betrachtet man
die materialbasierten elektromagnetischen Eigenschaften in räumlichen Mittelungen, die auch den
experimentellen Situationen entsprechen.
1
ρMat (~x) =
V
Z
d3 y ρMat (~x + ~y )
Hierbei integrieren wir über ein Mittelungskästchen mit geeigneter Ausdehnung, so dass die lokalen
räumlichen Fluktuationen herausgemittelt werden.
V.1 Makroskopische Felder und Mittelung
~ x), φ(~x), ρ(~x) sowie B(~
~ x), A(~
~ x), ~j(~x)
Ausgehend von den mikroskopischen Feldern und Quellen E(~
~ φ, ρ, sowie B,
~ A,
~ ~j durch Mittelung über die
führen wir makroskopische Felder und Quellen E,
Raumbereiche ein
Z
φ(~x) :=
d3 y φ(~y )(~x − ~y ) .
(V.1)
Hier
R 3 ist (~x) eine geeignete Funktion mit Träger im Bereich um den Ursprung und Normierung
d x (~x) = 1.
63
V Elektro- und Magnetostatik in Materie
Etwa:
‘(x)
~
x2
1
− 2d
2
(~x) =
e
(2π)3/2 d3
x
d
Bereich d3 ist mikroskopisch groß, aber makroskopisch klein, sagen wir im µm Bereich. Dies umfasst
103 -108 Atome, so dass sich individuelle Schwankungen herausmitteln. Eine solche Mittelungsvorschrift
hat wichtige Eigenschaften:
• Mittelung kompatibel mit Differentiation:
Z
~ x (~x − ~y )φ(~y ) = − d3 y ∇
~ y (~x − ~y )φ(~y )
d3 y ∇
Z
P.I.
~ y ) = ∇φ(~
~ x)
=
d3 y (~x − ~y )∇φ(~
~ x) =
∇φ(~
Z
• Mittelung filtert räumlich hochfrequente Oszillationen aus den Feldern und Quellen → gemittelte
Theorie hat Gültigkeit nur im niederfrequenten Bereich.
• Plausibel, dass räumliche Mittelung auch zeitliche Mittelung bewirkt. In der Statik betrachten
wir Felder und Quellen, die im Mittel zeitunabhängig sind:
∂t φ(~x, t) = 0.
Natürlich gilt in Materie für die mikroskopischen Felder niemals ∂t φ = 0, da Atomkerne und
Elektronen stets in Bewegung sind. Die Mittelung überführt uns aber wieder in den statischen
Bereich.
In diesem Kapitel betrachten wir ausschließlich gemittelte Größen → Verzicht auf Kennzeichnung in
der weiteren Diskussion:
φ→φ
etc.
ρ→ρ
Elektrostatische Feldgleichungen der makroskopischen Felder lauten weiterhin:
~ ·E
~ = 1 ρges ,
∇
0
~ ×E
~ = 0,
∇
bzw. in integraler Form
Z
∂V
~ = 1 Qges,V
df~ · E
0
ρges (~x): Gemittelte Ladungsdichte
2
V.2 Dielektrika
Dielektrische Eigenschaften von Materie
Simples Modell eines Atoms in einem Isolator:
64
I
C
~ = 0.
d~x · E
V.2 Dielektrika
≠
≠
4+
≠
+
≠
≠
≠
≠
≠
~ = ~0, ρ
E
~ = 0, p~ = ~0
~ 6= ~0, ρ
E
~ = 0, aber p~ 6= ~0
Äußeres elektrisches Feld induziert Dipolmoment p~ 6= ~0 im Material.
In Leitern sind die (Valenz)-Elektronen frei.
Es gibt auch Dielektrika, die aus makroskopischen Dipolen bestehen, auch in Abwesenheit eines
äußeren Feldes (Paraelektrikum). Im räumlichen Mittel heben sich diese aber auf.
Dipoldichte und freie Ladungen
Wollen gemitteltes ρges (~x) aufteilen in:
• Ladungsdichte, die auf Dipol-Eigenschaft der Materie zurückgeht: ρDipol
• Ladungsdichte, die auf Gesamtladung durch zusätzliche fremde Ladungsträger zurückgeht: ρfrei
Statische Effekte von ρfrei bereits analysiert in vorherigen Kapiteln.
Einführung: Dipoldichte P~ (~x)
~ x)|
Plausible Annahme: |P~ (~x)| ∼ |E(~
~ + O(E
~ 2)
P~ (~x) = 0 γ E
(V.2)
γ: Einheitenlose Größe, Zahl oder Matrix
• Isotropes Dielektrikum (z.B. Gas, Flüssigkeit) γ = χl (Zahl)
χl : dielektrische Suszeptibilität
• Anisotropes Dielektrikum (bestimmte Festkörper) γ: 3 × 3-Matrix
Dielektrische Verschiebung
Das aus ρfrei und ρDipol resultierende Potential lautet:
Z
ρfrei (~y )
1
~y
φ(~x) = d3 y
+ P~ (y) · ∇
(Multipolentwicklung)
4π0 |~x − ~y |
4π0 |~x − ~y |
Z
h
i
~ · E(~
~ x) = −4x φ(~x) = 1
~ y δ (3) (~x − ~y )
⇒ ∇
d3 y ρfrei (~y ) δ (3) (~x − ~y ) + P~ (~y ) · ∇
0
1 ~ · P~ (~x)
ρfrei (~x) − ∇
=
0
⇒
~ · P~ = ρfrei + ρDipol
ρges = ρfrei − ∇
(V.3)
~ ’dielektrische. Verschiebung’
Einführung makroskopischer Hilfsfeldes D:
3
~ x) := 0 E(~
~ x) + P~ (~x)
D(~
4
(V.4)
65
V Elektro- und Magnetostatik in Materie
~ x) sind die freien Ladungen ρfrei :
Quellen von D(~
~ · D(~
~ x) = ρfrei (~x).
∇
(V.5)
Weiterhin gilt
~ × E(~
~ x) = 0,
∇
sowie in homogenen Dielektrika
~ x) = E(~
~ x) mit
D(~
= 0 r und r = 1 + χl .
χl ist Materialkonstante.
Bemerkungen:
~ ist physikalisch und messbar, durch ρges bestimmt.
• Das Feld E
~ ist eine Hilfsgröße, durch freie Ladungsdichte ρfrei bestimmt. Oft schreibt man ρ = ρfrei ,
• Feld D
da Dipole im Material gebunden sind.
• Feld P~ (~x) beschreibt Dichte der gebundenen Dipole, nicht das von den Dipolen erzeuge elektrische Feld.
Beispiel: Plattenkondensator mit Dielektrikum r = 1 + χl > 1
Freie Ladung auf Platten ±Q
~ = Q=
|D|
A ˆ Flächenladungsdichte σ
~
Potentialdifferenz (=Spannung) U aus E-Feld:
A
~ = dD = dQ
U = d · |E|
0 r
0 r A
+Q
≠Q
d
Kapazität: C =
Q
U
= 0 r A
d = r C0
Dielektrikum erhöht die Kapazität eines Kondensators:
Energie:1
W =
1
1
Q2
U Q = CU 2 =
2
2
2C
⇒ Bei vorgegenem U wird W mit wachsendem r vergrößert, bei vorgegebenem Q erniedrigt.
+
+
+
+
+
+
+
+
1 Die
≠ +
≠ +
≠+
≠ +
≠ +
≠+
≠ +
≠ +
≠ +
≠ +
≠+
≠+
≠
≠
≠
mikroskopische Dipole verrin≠
≠gern elektrisches Feld zwischen
≠den Platten.
≠
≠
allgemeine Formel für die Feldenergie im Medium lautet W =
66
5
R
~ · D.
~
d3 x E
V.3 Grenzflächen von Dielektrika
V.3 Grenzflächen von Dielektrika
Wir betrachten nur den isotropen Fall γ = χl . In homogenen Medien mit Dirichlet oder Neumann
Randbedingungen ist die Lösung des elektrostatischen Randwertproblems äquivalent zur trivialen
Skalierung 0 → der Lösung im Vakuum mit D oder N Randbedingungen.
Interessanter ist Übergang zwischen zwei Medien:
˛ D
˛
‘r , E,
~
~
Wie verhalten sich D-Feld
und E-Feld
am Übergang?
˛ Õ, D
˛Õ
‘Õr , E
Analog zur Diskussion im Vakuum-Leiter Übergang:
• Gauß’sches Kästchen
enthalte freie Ladung Q
Z
~ ≈ A~n · (D
~ −D
~ 0)
Q=
df~ · D
∂V
~ −D
~ 0) = σ
~n · (D
⇒
• Stokes’sche Fläche:
Es gilt unverändert:
I
~ ≈L
~ · (E
~ −E
~ 0)
0=
d~x · E
C
~ −E
~ 0 ) = 0.
~t · (E
⇒
Das heißt, im Fall von ungeladenen Grenzflächen (σ = 0) gilt:
0
D⊥ = D⊥
Ek = Ek0
⇔
⇔
0 0
E
⊥
Dk = 0 Dk0 .
E⊥ =
~ und E-Feld
~
Also können Dnicht beide stetig sein.
Beispiel aus der Elektrostatik in Kontinua
Punktladung q in Abstand a vor dielektrischem Halbraum (r > 1)
7
67
V Elektro- und Magnetostatik in Materie
Maxwell-Gleichungen:
x<0:
Es
gilt
unverändert:
‘r = 1
x>0:
‘r > 1
˛ex
q
~ ×E
~ = ~0
∇
~ ·E
~ = 1 qδ (3) (~x + a~ex )
∇
0
~
~
∇ × E = ~0
~ ·D
~ =0=∇
~ ·E
~
∇
~ = 0 r E
~
D
Anschlussbedingungen:
Dx< = Dx>
<
>
Ey,z
= Ey,z
a
⇒
Ex< = r Ex>
Ansatz: Methode der Spiegelladungen
x<0:
x>0:
0
~ x) = q ~x + a~ex + q 0 ~x − a ~ex
E(~
|~x + a~ex |3
|~x − a0~ex |3
00
~ x) = q 00 ~x + a ~ex
E(~
|~x + a00~ex |3
mit a, a0 , a00 > 0. Ansatz erfüllt Maxwell-Gleichungen für
alle x.
→ Parameter aus Anschlussbedingung.
V.4 Magnetostatik in Materie
Magnetostatik für makroskopische Felder und magnetisierbare Materie ist vollständig analog zur
Elektrostatik in Medien. Deshalb hier nur Zusammenstellung der wichtigsten Ergebnisse:
~ (~x)=
• Magnetisierung M
ˆ mittleres magnetisches Moment pro Volumen, ist Analogon zur
~
Dipoldichte P (~x).
~ x) ist Analogon zur dielektrischen Verschiebung D(~
~ x).
• Magnetfeld H(~
~ x) wird aus freier Stromdichte ~jfrei erzeugt.
• H(~
Beziehungen zwischen den Feldern:
~ x) = µ0 H(~
~ x) + M
~ (~x)
B(~
Für isotrope magnetisierbare Materialien
~ = χm · H
~
M
χm : magnetische Suszeptibilität
Relative Permeabilität: µr = 1 + χm
⇒
~ x) = µH(~
~ x)
B(~
Feldgleichungen der Magnetostatik in Materie:
~ × H(~
~ x) = ~jfrei (~x)
∇
68
~ ·B
~ = ~0.
∇
V.5 Randwertprobleme in der Magnetostatik in Medien
Integrale Form:
I
∂A
Z
~ = Ifrei,A
d~x · H
∂V,geschl.
~ = 0.
df~ · B
Feldverhalten an Grenzflächen
˛ H
˛
µr , B,
µ0r 0
H
µr ⊥
~0−H
~ 0 ) = ~jfrei · ~et
(~et × ~en ) · (H
0
B⊥ = B⊥
⇔
H⊥ =
˛ Õ, H
˛Õ
µÕr , B
~jfrei : Flächenstromdichte, ~et : beliebiger Tangentialvektor zur Grenzfläche.
D.h., bei ~jfrei = 0 folgt
Hk = Hk0
⇔
Bk =
µr 0
B .
µ0r k
Bei den Arten von magnetisierbaren Materialien gibt es mehr Vielfalt:
• Diamagnetismus, magnetische Dipole werden induziert, χm < 0, |χm | klein
• Paramagnetismus, permanente Dipole werden ausgerichtet χm > 0, χm temperaturabhängig
~ spontante Ausrichtung der Dipole
• Ferromagnetismus, nicht-lineares Verhalten mit H,
• Ferrimagnetismus, parallele und antiparallele Ausrichtung der Dipole
• Antiferromagnetismus, exakte Auslöschung im Ferrimagnetismus
Die letzten drei Arten lassen sich nicht gut durch einfache Materialkonstante χm bestimmen.
V.5 Randwertprobleme in der Magnetostatik in Medien
Die makroskopische Grundgleichungen lauten
~ ·B
~ = 0,
∇
~ ×H
~ = ~jfrei ,
∇
~ = µ0 (H
~ +M
~)
B
Wir wollen mehrere typische Randwertprobleme analysieren:
1. µr = const im gesamten Raumbereich V
~ ×B
~ = µr µ0~j. Mithilfe des Vektorpotentials
In isotropen, homogenen, linearen Medien ist ∇
~ =∇
~ ×A
~ in Coulomb-Eichung ist
B
~ = −µr µ0~jfrei
4A
(V.6)
die zu lösende DGL. Im Vergleich zur Magnetostatik im Vakuum lediglich Faktor µr hinzugekommen.
2. V besteht aus Teilbereichen Vi mit konstantem µi .
9
Nun muss (V.6) in jedem Teilbereich gelöst werden und die Teillösungen mithilfe der Grenzbedingungen aus V.4 aneinander angepasst werden.
69
V Elektro- und Magnetostatik in Materie
~ (~x) 6= 0 in V .
3. ~jfrei = ~0, M
~ ×H
~ = ~0 ein
Dies ist z.B. die Situation für das Feld eines Ferromagneten. Nun ist wegen ∇
effektives magnetostatisches Potential φm definierbar:
~ = −∇φ
~ m.
H
Dieses erfüllt:
~ ·B
~ = µ0 ∇
~ · (H
~ +M
~ ) = −µ0 ∇
~ 2 φm − ∇
~ ·M
~
0=∇
⇒
~ ·M
~ (~x)
4φm = ∇
~ ·M
~ (~x).
Das die Poisson-Gleichung für − 10 ρ(~x) = ∇
Lösung, falls keine Randbedingungen im Endlichen vorliegen:
Z
~ yM
~ (~y )
1
∇
d3 y
φm (~x) = −
4π
|~x − ~y |
Nun ist der Integrand gerade:
~ yM
~ (~y )
∇
~y
=∇
|~x − ~y |
~ (~y )
M
|~x − ~y |
!
~ (~y ) · ∇
~y
−M
|
1
|~x − ~y |
{z
}
~x 1
−∇
|~
x−~
y|
Eingesetzt in Integral liefert erster Term keinen Beitrag:
Z
~ (~y )
1 ~
M
φm (~x) = − ∇x d3 y
4π
|~x − ~y |
~ (~y ) bekannt ist!
Lösung, falls M
Fernfeldnäherung:
~ (~y ) lokal begrenzt annehmen (etwa Ferromagnet in endlichem Volumen), kann das
Da wir M
Fernfeld aus der Entwicklung
1
|~x − ~y |
|~
y|
1
|~
x|
≈
1
~x · ~y
+
+ ...
|~x|
|~x|3
extrahiert werden. Nehmen wir nur den führenden Term und
Z
1 ~ 1
~ (~y )
φm (~x) ≈ −
∇x
d3 y M
4π
|~x|
|
{z
}
~ TOT
M
⇒
φm (~x) ≈
~ TOT
1 ~x · M
4π
|~x|3
Das entspricht dem elektrostatischem Dipolpotential φDipol (~x) aus (II.17).
~
Durch Ableitung erhalten wir dann auch das Magnetfeld H
"
#
~ TOT )~x M
~ T OT
1 3(~x · M
~
H(~x) ≈
−
.
4π
|~x|5
|~x|3
70
VI Relativistische Formulierung des
elektromagnetischen Feldes
Wir wollen uns nun mit der Analyse der Elektrodynamik beginnen. Zeitlich veränderliche Felder werden durch beschleunigt bewegte Ladungen hervorgerufen. Die Veränderungen der Felder
(=elektromagnetische Wellen) breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit c aus.
⇒ Elektrodynamik ist relativistische Theorie. Die Maxwellgleichungen sind invariant unter PoincaréTransformationen und nicht unter Galilei-Transformationen (→ Mechanik, Kapitel VI).
In Kapitel VI und VII benutzen wir das Gauß’sche (CGS) Einheitensystem und nicht, wie bisher,
SI-Einheiten. Im Gauß’schen System tritt der Faktor c natürlicherweise explizit auf. D.h. hier ist
0 = µ0 = 1.
VI.1 Erinnerung: Relativistische Mechanik
• Raumzeit:
xµ = (ct, x, y, z) µ = 0, 1, 2, 3
x0 = ct,
• Metrik:
xi = ~ei · ~x
xµ = ηµν xν = (ct, −~x)
ηµν = diag(1, −1, −1, −1)
• Freies Teilchen: Weltlinie mit Wegelement ds parametrisiert mit dem Bahnparameter τ durch
die Funktion xµ (τ )
xµ(· )
(ds)2 = c2 (dt)2 − (d~x)2
ds =
p
ẋµ ẋµ dτ
ẋµ =
dxµ
dτ
· : Eigenzeit
Auf einer mit dem Teilchen mitbewegten Uhr mit der Eigenzeit t0 vergeht auf dem Weg von a
nach b wegen c2 (dt)2 − d~x2 = c2 (dt0 )2 = (ds)2 gerade die Zeitdifferenz
Z b
0
0
tb − ta =
ds
a
Wirkung: Die zu minimierende Wirkung ist proportional zur Länge der Weltlinie des Teilchens
Sm = −mc
Z
a
b
ds = −mc
Z
b
dτ
p
ẋµ ẋµ
a
71
VI Relativistische Formulierung des elektromagnetischen Feldes
m: Masse der Teilchen
Symmetrien: Invariant (δS = 0) unter
– Poincaré-Transformationen: x0µ = Λµ ν xν + aµ
Λµ ρ ηµν Λν κ = ηρκ
aµ = const.
Offensichtlich, da ẋ0µ = Λµ ν ẋν und ẋ02 = ẋ2 .
– Reparameterisierungen: τ 0 = τ 0 (τ )
⇒ Möglich τ = t zu wählen.
Für diese Wahl ergibt sich
Sm = −mc2
Z
t2
t1
s
dt 1 −
~x˙ 2
c2
Euler-Lagrange-Gleichungen:
∂L
= 0,
∂xi
d ∂L
∂L
=
i
∂x
dt ∂ ẋi
∂L
mẋi
=q
= pi
i
˙
2
∂ ẋ
1 − ~xc2
⇒
d i
p = 0.
dt
Vierervektoren
Die Koordinaten eines Raumzeitpunktes (eines Ereignisses in Raum und Zeit) xµ = (ct, ~x) bilden
einen Vierervektor1
 
ct
x
ct
µ

x = 
=
.
y
~x
z
Dieser ist charakterisiert durch die Lorentz-Transformationseigenschaft
x0 = Λµ ν xν .
µ
Allgemein: Gesamtheit von Größen Aµ = (A0 , A1 , A2 , A3 ), die gemäß
A0 = Λµ ν Aν
µ
transformieren, bilden einen (kontravarianten) Vierervektor.
Ein kovarianter Vierervektor Aµ = ηµν Aν transformiert gemäß
A0µ = Λµ ν Aν
~
Eigenschaften: Aµ = (A0 , A)
mit Λµ ν = ηµρ Λρ κ η κν = (Λ−1 )ν µ .
~
Aµ = (A0 , −A).
~·B
~.
A · B := Aµ Bµ = ηµν Aµ B ν = A0 B 0 − A
Falls Aµ & B µ Vierervektoren sind, so ist A · B Lorentzinvariant.
1 Es
ist im Viererformalismus unerheblich, ob man xµ als Zeilen oder Spaltenvektor schreibt, da die Indices explizit
ausgeschrieben werden.
72
VI.1 Erinnerung: Relativistische Mechanik
Vierertensoren
Vierertensor zweiter Stufe:
Vierertensor dritter Stufe:
Vierertensor n-ter Stufe:
F µν
Λµνρ
Λµ1 µ2 ...µn
Diese transformieren in jeder Komponente wie ein Vierervektor:
F0
µν
= Λµ ρ Λν κ F ρκ ,
Λ0
µνρ
= Λµ α Λν β Λρ γ Λαβγ ,
etc.
Indizes können wiederum mithilfe der Metrik gehoben und gesenkt werden:
Fµ ν = ηµκ F κν ,
Fµν = ηµκ ηνρ F κρ .
Es gilt insbesondere (i, j, k = 1, 2, 3)
F00 = F 00 ,
F0i = −F 0i ,
F0 0 = F 00 ,
F0 i = F 0i ,
Fij = F ij
F 0 i = −F 0i ,
Fi j = −F ij .
weiterhin ist die Spur eines Tensors zweiter Stufe ηµν Gµν = Gµ µ Lorentzinvariante.
Metrik und Kronecker-Delta
Explizit ausgeschrieben haben wir


1

 −1
,
η µν = 


−1
−1
δνµ
= η ηρν ,
µρ
δνµ η νρ
=η
µρ
ηµν
.

1

=


−1
−1

,

−1

1

δνµ = 


1
1
1

,

Die Tensoren η µν , ηµν und δνµ sind speziell, da ihre Komponenten in allen Inertialsystemen identisch
sind, es sind invariante Tensoren.
Levi-Civita Tensor
Diese Eigenschaft besitzt ebenso der vollständig antisymmetrische Tensor vierter Stuffe µνρκ oder
Levi-Civita2 -Tensor.
(
vollständig antisymmetrisch in allen Indices
µνρκ = 0123
= +1
Daraus folgt 0123 = −1.
2 (Tullio
Levi-Civita, Frankreich, 1873-1941.)
73
VI Relativistische Formulierung des elektromagnetischen Feldes
Eigenschaften
µνρκ µνρκ = −24
µαβγ ναβγ = −6 δνµ
µναβ ρκαβ = −2 (δρµ δκν − δρν δκµ )
µ
δκ δσµ δ µ δ
µνρα κσδα = − δκν δσν δδν δκρ δσρ δ ρ δ
Nützliche Determinantenformeln:
µνρκ Aµα Aνβ Aργ Aκδ = −det(A) αβγδ
1 µνρκ
det(A) =
Aµα Aνβ Aργ Aκδ αβγδ
24
Differential- und Integraloperatoren
i) Vierergradient eines Skalarfeldes ϕ(x) = ϕ(ct, ~x):
∂µ ϕ(x) :=
1 ∂ϕ ~
∂ϕ
=(
, ∇ϕ) ,
∂xµ
c ∂t
∂ µ ϕ(x) :=
∂ϕ
1 ∂ϕ ~
=(
, −∇ϕ) .
∂xµ
c ∂t
N.B: Beide Größen ∂µ ϕ(x) und ∂ µ ϕ(x) transformieren wie Vierervektoren!
ii) Totales Differential eines Skalarfeldes ϕ(x):
dϕ =
∂ϕ
dxµ
∂xµ
(Lorentzinvariante)
iii) Divergenz eines Vierervektorfeldes Aµ (x):
∂ · A :=
∂
1 ∂A0 X ∂Ai
1 ∂A0 ~ ~
∂
Aµ =
+
=
+∇·A=
Aµ = ∂µ Aµ = ∂ µ Aµ .
µ
i
∂x
c ∂t
∂x
c
∂t
∂x
µ
i=1
3
Die Divergenz ∂ · A ist ein Skalar, d.h. invariant unter Lorentztransformationen.
iv) Raumzeit-Integralmass:
d4 x := dx0 dx1 dx2 dx3 = c dt d3 x = c dt dV
In der Tat ist auch d4 x ein Skalar, d.h. invariant unter Lorentztransformationen, da d4 x0 =
|det(Λ)|d4 x und |det(Λ)| = 1.
VI.2 Viererpotential des Feldes
Ein relativistisches Teilchen trage nun die Ladung e ⇒ erzeugt elektromagnetisches Feld und wird
von elektromagnetischen Feld in seiner Bewegung beeinflusst. D.h. es muss eine Wechselwirkung
zwischen ẋµ und dem elektromagnetischem Feld geben. ⇔ Erweiterung der Wirkungsfunktion um
Kopplungsterm.
74
VI.2 Viererpotential des Feldes
(Naheliegendes) Postulat:
Smf = −
Aµ (x): Viererpotential des Feldes
e
c
b
Z
Aµ (x) dxµ
(VI.1)
a
~
Aµ (x) = (φ(x), A(x))
~
φ(x): Skalares Potential, A(x):
Vektorpotential
~
aus der Statik bekannt. Wir bemerken Aµ = (φ, −A).
• Lorentz-Invarianz:
x0µ = Λµ ν xν
⇒
dx0µ = Λµ ν dxν
Falls Aµ wie Vierervektor transformiert, d.h.
A0µ = Λµ ν Aµ
(VI.2)
und A0µ = ηµρ Λρ ν Aν ,
ist
A0µ dx0µ = ηµρ Λρ ν Aν Λµ κ dxκ
= (Λρ ν ηρµ Λµ κ ) Aν dxκ = Aκ dxκ
|
{z
}
ηνκ
⇒
Smf ist Lorentz-invariant!
• Reparametrisierungsinvarianz: Ebenso gegeben da dxµ =
dxµ
dτ dτ
=
dxµ
0
dτ 0 dτ .
Wirkungsfunktion einer Ladung e mit Masse m im elektromagnetischen Feld hat also die Gestalt:
Z b
e
S = Sm + Smf =
−mc ds − Aµ dxµ
c
a
Z b
e~
=
−mc ds + A
· d~x − eφ dt
c
a
In der Zeiteichung t = τ ergibt sich
S=
Z
t2
t1

s
−mc2

~x˙ 2
e~ ˙
1 − 2 + A · ~x − eφ dt
c
c
(VI.3)
Der Integrand ist gerade die Lagrange-Funktion eines geladenen Teilchens im elektromagnetischen
Feld
s
~x˙ 2
e~
L(~x, ~x˙ , t) = −mc2 1 − 2 + A(~
x, t) · ~x˙ − eφ(~x, t)
(VI.4)
c
c
Der verallgemeinerte Impuls lautet somit:
pi :=
∂L
e
mẋi
+ Ai (~x, t)
=q
i
∂ ẋ
c
~
x˙ 2
1 − c2
⇒
e~
mẋi
p~ = p~mech + A
mit p~mech = q
˙2
c
1 − ~xc2
75
VI Relativistische Formulierung des elektromagnetischen Feldes
Für die Hamiltonfunktion finden wir
r
e ~ 2
H = c m2 c2 + p~ − A
+ eφ.
c
2
˙
Im nichtrelativistischen Grenzfall ~xc2 1 reduziert sich die Lagrangefunktion (VI.4) auf
L=
m ˙2 e ~ ˙
~x + A · ~x − eφ,
2
c
wobei wir die Konstante −mc2 fallen gelassen haben.
VI.3 Bewegungsgleichung einer Ladung im elektromagnetischen
Feld
Eine im elektromagnetischen Feld befindliche Ladung unterliegt nicht nur der Wirkung des Feldes,
sondern übt auch Einfluss auf das Feld aus. In der Tat werden alle elektromagnetischen Felder durch
geladene Teilchen erzeugt. Hier betrachten wir zunächst kleine Ladungen e für die die Rückwirkung
auf Aµ (x) vernachlässigt werden kann. D.h., Aµ (x) beschreibt ein äußeres, dem Teilchen aufgeprägtes,
elektromagnetisches Feld.
Bewegungsgleichung:
d ∂L
∂L
=
,
i
dt ∂ ẋ
∂xi
wobei:
s
L = −mc2
1−
~x˙ 2
e~
+ A(~
x, t) · ~x˙ − eφ(~x, t)
2
c
c
∂L
~ = e ∇(
~ A
~ · ~x˙ ) − e∇φ
~
· ~ei = ∇L
∂xi
c
~ × A)
~ = ∇(
~ A
~ · ~v ) − (~v · ∇)
~ A,
~ so dass
Nun ist ~v × (∇
~ = e ~x˙ · ∇
~ A
~ + e ~x˙ × ∇
~ ×A
~ − e∇φ
~
∇L
c
c
Die Bewegungsgleichung nimmt die Form an
d e ~ e ˙ ~ ~ e ˙ ~
~ − e∇φ
~
p~mech + A
=
~x × ∇ A + ~x × ∇ × A
dt
c
c
c
Weiterhin ergibt sich für die totale Zeitableitung
~
dA
dt :
~ x, t)
~
dA(~
~ A
~ + ∂A
= (~x˙ · ∇)
dt
∂t
Es folgt schließlich
⇒
~
d~
pmech
~ − e ∂ A + e ~x˙ × ∇
~ ×A
~
= −e∇φ
dt
c ∂t
c
(VI.5)
die Bewegungsgleichung eines relativistischen Teilchens im elektromagnetischen Feld. Links: Zeitliche
i
Ableitung des mechanischen Impulses p~mech = pmẋ ~x˙ 2 , Rechts: Kraft, die auf Teilchen wirkt.
1− c2
Zwei Beiträge zur Kraft:
76
VI.4 Eichinvarianz
~
1. Kraft auf ruhendes Teilchen: F~e = e · E
~ Elektrisches Feld
E:
N.B: Der
~
∂A
∂t -Term
~
~ = −∇φ
~ − 1 ∂A
E
c ∂t
(VI.6)
ist neu im Vergleich zur Elektrostatik.
~
2. Kraft proportional zur Geschwindigkeit: F~m = e~x˙ × B
~ Magnetische Feldstärke (magnetische Induktion)
B:
~ = rotA
~
B
(VI.7)
wie zuvor in Magnetostatik.
~ als die Potentialfelder der Statik wieder!
D.h., wir erkennen ind er Tat φ und A
Bewegungsgleichung dann:
d~
pmech
~
~ + e ~x˙ × B
= eE
dt
c
|
{z
}
(VI.8)
Lorentz-Kraft
Im nichtrelativistischen Grenzfall
Bewegungsgleichung auf die Form
~
x˙ 2
c2
1 hat der mechanische Impuls den Wert m~x˙ , so dass die
¨ = eE
~ + e ~x˙ × B
~
m~x
c
übergeht.
VI.4 Eichinvarianz
~ nicht eindeutig durch die
In der Statik hatten wir bereits gesehen, dass die Potentiale φ und A
~
~
physikalischen E- und B-Feld festgelegt sind. Dies bleibt auch im zeitabhängigen Fall so.
Für eine beliebige skalare Funktion Λ(~x, t) von ~x und t läßt die Eichtransformation
A0µ (~x, t) = Aµ (~x, t) −
∂Λ(~x, t)
∂xµ
(VI.9)
1. die Bewegungsgleichung
~ und B
~
2. die Felder E
invariant.
ad 1.):
0
Smf
= Smf
e
+
c
Z
a
b
∂Λ µ
e
dx = Smf +
µ
∂x
c
Z
b
d(Λ)
a
Eine totale Ableitung in der Lagrangefunktion ändert die Bewegungsgleichungen bekanntlich nicht!
77
VI Relativistische Formulierung des elektromagnetischen Feldes
~
ad 2.): In 3D Schreibweise lauten die Transformation für φ und A:
~0 = A
~ + ∇Λ
~
A
φ0 = φ −
1 ∂Λ
c ∂t
~
~0 = ∇
~ ×A
~0 = ∇
~ ×A
~+∇
~ ×∇
~ Λ=B
B
| {z }
⇒
=0
~0
~
~ 0 = −∇φ
~ 0 − 1 ∂ A = −∇φ
~ − 1∇
~ ∂Λ + 1 ∂ A + 1 ∇
~ ∂Λ = E
~
E
c ∂t
c ∂t
c ∂t
c ∂t
⇒
D.h., im Vergleich zum statischen Fall transformiert nun das skalare Potential φ mit einem nicht
konstanten Term.
VI.5 Elektromagnetischer Feldstärketensor
In VI.3 hatten wir die Bewegungsgleichungen eines geladenen Teilchens in 3D-Gestalt hergeleitet (→
Lorentz-Kraft). Nun wollen wir dies in 4D-Notation wiederholen.
Prinzip der kleinsten Wirkung:
δS = δ
b
Z
a
Mit ds =
e
−mc ds − Aµ dxµ = 0
c
p
dx δ(dxµ )
=
dxµ dxµ folgt. δds = √µ
µ
dxµ dx
δS =
b
Z
−mc
a
dxµ dδxµ
,
ds
da δdxµ = dδxµ und somit:
e
dxµ d(δxµ ) e
− δAµ dxµ − Aµ d(δxµ )
ds
c
c
Nun partielle Integration in ersten und dritten Term, sowie Ersetzen von
Vierergeschwindigkeit uµ :
Z
b
a
dxµ
ds
= uµ durch die
h
ib
e
e
e mc duµ δxµ + δxµ dAµ − δAν dxν − mcuµ + Aµ δxµ = 0
c
c
c
a
Der Randterm verschwindet, da δxµ a,b = 0. Weiterhin ist dAµ =
∂Aµ
ν
∂xν dx
und δAν =
∂Aµ
ν
∂xν δx .
Somit finden wir
b
e ∂Aµ ν e ∂Aν ν
mc duµ +
dx
−
dx
δxµ
ν
µ
c
∂x
c
∂x
a
Z b
e ∂Aµ
∂Aν
duµ
+
−
uν dsδxµ
=
mc
ds
c ∂xν
∂xµ
a
0=
Z
Da δxµ beliebig ist, muss der Integrand verschwinden und wir erhalten die Bewegungsgleichung:
e ∂Aµ
∂Aν
duµ
=−
−
uν
mc
ds
c ∂xν
∂xµ
Der hier auftretende antisymmetrische Tensor
Fµν :=
78
∂Aµ
∂Aν
−
µ
∂x
∂xν
(VI.10)
VI.6 Lorentz-Transformationen des elektromagnetischen Feldes
ist der Feldstärketensor des elektromagnetischen Feldes. Bewegungsgleichung einer Ladung
im Vierer-Formalismus dann:
mc
duµ
e
= F µν uν
ds
c
(VI.11)
µ
NB: Diese Bewegungsleichung erfüllt die Bedingung uµ du
ds = 0, die eine Konsequenz aus uµ u = 1
ist.
µ
~
~ und B
~ entsprechen: Aµ = (φ, −A),
Fµν hat sechs unabhängige Einträge, die den Komponenten von E
i
~ = ~ei A = −~ei Ai
A
⇒
1
F0i = −∂i φ + ∂t Ai = Ei
c
Fij = ∂i Aj − ∂j Ai ,
mit ∂µ :=
F12 = ∂2 A1 − ∂1 A2 = −Bz ,
D.h. als Matrix geschrieben:

0
Ex
 −Ex
0
Fµν = 
 −Ey Bz
−Ez −By
Ey
−Bz
0
Bx
∂
∂xµ
F13 = ∂3 A1 − ∂1 A3 = By ,

Ez
By 
,
−Bx 
0
F23 = ∂3 A2 − ∂2 A3 = −Bx .
0
 Ex
=
 Ey
Ez

F µν
−Ex
0
Bz
−By
−Ey
−Bz
0
Bx

−Ez
By 

−Bx 
0
Hier ist die Vereinigung der elektrischen und magnetischen Kraft vollkommen. Man sieht unmittelbar,
dass Fµν eichinvariant ist.
0
Fµν
=
∂A0µ
∂A0ν
−
= Fµν + ∂µ ∂ν Λ − ∂µ ∂ν Λ − Fµν .
∂xν
∂xµ
VI.6 Lorentz-Transformationen des elektromagnetischen Feldes
In VI.2 hatten wir bereits festgestellt, dass das Vektorpotential Aµ (x) wie ein Vierervektor xµ
transformiert:
A0µ (x0 ) = Λµ ν Aν .
Für einen Boost in x-Richtung ergibt sich mit

cosh η − sinh η
 − sinh η cosh η
µ

Λ ν =
φ(x) − vc Ax (x)
q
φ0 (x0 ) =
,
2
1 − vc2
A0x (x0 ) =
Ax (x) − vc φ(x)
q
,
2
1 − vc2

1
1

,

tanh η =
v
c
A0y (x0 ) = Ay (x),
A0z (x0 ) = Az (x).
Der Tensor F µν transformiert gemäß
F 0µν (x0 ) = Λµ ρ Λν κ F ρκ (x) .
(VI.12)
79
VI Relativistische Formulierung des elektromagnetischen Feldes
Nebenbemerkung:
Generell transformieren Tensoren mit beliebigen Indexstellungen Ωµ1 ...µn ν1 ...νm gemäß der einfachen
Regel
Ω0µ1 ...µn ν1 ...νm = Λµ1 κ1 · . . . · Λµn κn Λν1 ρ1 · . . . · Λνm ρm Ωκ1 ...κn ρ1 ...ρm
mit Λν ρ = ηµν η ρκ Λν κ .
Deshalb sind vollständig in den Indizes kontrahierte Objekte invariant unter Lorentz-Transformationen.
Etwa:
0
F 0µν Fµν
= F ρκ Fστ Λµ ρ Λν κ Λµ σ Λν τ
Nun ist:
Λµ ρ Λµ σ = Λµ ρ ηµσ Λσ τ η τ κ = ηστ η τ κ = δσκ
|
{z
}
=ηστ
⇒
0
F 0µν Fµν
= F ρκ Fστ δρσ δκτ = F ρκ Fρκ
Invariant!
Zurück zu (VI.12): Unter Boosts in x-Richtung mit Geschwindigkeit v:
˛v = v˛ex
Õ
cosh η
 − sinh η
=


x
Λµ ν
− sinh η
cosh η

1
1



,
cosh η = γ
sinh η = γ vc
γ = √ 12 2
1−v /c
zeigt man das Transformationsverhalten:
Invariant: F 001 (x0 ) = F 01 (x)
F 023 (x0 ) = F 23 (x)
transformiert wie x0 :
transformiert wie x1 :
⇒
⇒
Ex0 (x0 ) = Ex (x)
Bx0 (x0 ) = Bx (x)
F 002 (x0 ) = Λ0 µ F µ2 (x)
⇒
Ey0 (x0 ) =
F 003 (x0 ) = Λ0 µ F µ3 (x)
⇒
Ez0 (x0 ) =
F 012 (x0 ) = Λ1 µ F µ2 (x)
⇒
Bz0 (x0 ) =
F 013 (x0 ) = Λ1 µ F µ3 (x)
⇒
By0 (x0 ) =
Ey (x) − vc Bz (x)
q
2
1 − vc2
Ez (x) + vc By (x)
q
2
1 − vc2
Bz (x) − vc Ey (x)
q
2
1 − vc2
By (x) + vc Ez (x)
q
2
1 − vc2
Diese Transformationen lassen sich unabhängig von der Ausrichtung von ~v schreiben als
~ 0 (x0 ) = γ E(x)
~
~
E
+ 1c (~v × B(x)
−
~
~
~ 0 (x0 ) = γ B(x)
− 1c (~v × E(x)
−
B
γ2
c2 (1+γ)
γ2
c2 (1+γ)
~
~v · E(x)
~v
,
~
~v · B(x)
~v
mit γ = q
1
1−
v2
c2
,
(VI.13)
~ und (~v · B)
~
wobei die etwas sperrigen O(v 2 /c2 ) Terme garantieren, dass die Feldkomponenten (~v · E)
parallel zu ~v invariant sind, wie oben.
80
VI.6 Lorentz-Transformationen des elektromagnetischen Feldes
~
Zu beachten ist hier, dass falls wir ausgehend von einer bekannten Feldkonfiguration in Σ mit E(x)
~
~ 0 (x0 ) und B
~ 0 (x0 ) durch (VI.13) bekommen, wir für die explizite Form im
und B(x)
zwar die Felder E
System Σ0 allerdings noch xµ durch die (x0 )µ via xµ = (Λ−1 )µν xν auf den rechten Seiten von (VI.13)
ausdrücken müssen. Im Fall eines Boosts ist Λ−1 (~v ) = Λ(−~v ).
Die Form von (VI.13) reflektiert gerade die allgemeine Form einer Lorentzboostmatrix
!
γ
−γ ~v T /c
Λ(~v ) =
γ2
~v ~v T
−γ ~v /c 1 + c2 (1+γ)
(VI.14)
Invarianten:
Wir hatten gesehen, dass F µν Fµν eine Invariante der Lorentz-Transformation ist. In 3er Komponenten ausgeschrieben lautet diese
~2 − E
~ 2 = invariant
F µν Fµν = 2 B
~2 − E
~ 2 in jedem Inertialsystem denselben Wert hat. Eine weitere Invariante ist
D.h., dass B
~ ·B
~ = invariant
µνρσ F µν F ρσ = −8E
mit µνρσ total antisymmetrisch und 0123 = 1.
81
VII Herleitung der Maxwell-Gleichungen
Die relativistische Formulierung des elektromagnetischen Feldes via Vektorpotential Aµ (x) und Feldstärke Fµν (x) führt zwangsläufig auf die Maxwell-Gleichungen, wenn man für die Feldgleichungen
fordert:
• Lorentzkovarianz
• Eichinvarianz
• Superpositionsprinzip
VII.1 Die homogenen Maxwell-Gleichungen
Vom Vektorpotential kommend, sind die homogenen Maxwell-Gleichungen schlichtweg Identitäten.
Aus
~
~ =∇
~ × A,
~
~ = −∇φ
~ − 1 ∂A
B
E
c ∂t
folgt
~ ·B
~ =0
∇
(VII.1)
~ ×E
~ = −1 ∂ ∇
~ ×A
~ = − 1 ∂ B~ .
∇
c ∂t
c ∂t
• Die zweite Gleichung ist neu im Vergleich zur Elektrostatik. Sie ist als das Faraday’sche1
Induktionsgesetz bekannt. Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses ΨA einer Fläche A
induziert Strom auf dem Rand ∂A
˛
B
ΨA =
A
−
1 dΨA
=
c dt
Z
A
Z
A
~
df~ · B
~ × E)
~ =
df~(∇
I
∂A
~ = ∆U
d~x · E
Hiebei ist U die Spannung, die an den Enden der an einer Stelle aufgeschnittenen Schleife durch
die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses induziert wird. Wird die Schleife in unserem
Bezugssystem bewegt, so sind in der Gleichung
I
1 dΨA
~
−
=
d~x · E
c dt
C
~ und der Fluss ΨA jene Felder im momentanen Ruhesystem der Schleife.
das elektrische Feld E
Im Laborsystem mit einer bewegten Schleife gilt hingegen
I
1 dΨA(t)
~ + 1 ~x˙ × B
~ = ∆U
−
=
d~x · E
c dt
c
C(t)
1 Michael
Faraday, England, 1791-1867
83
3
VII Herleitung der Maxwell-Gleichungen
Dieses Egebnis lässt sich auch aus der Lorentzkraft heraus verstehen. Bewegen wir eine Leiter~
~ + 1 ~x˙ × B),
schleife, so wirkt auf die in ihr enthaltenen Elektronen die Lorentzkraft F~ = e(E
c
H
die auf eine Spannungsdifferenz ∆U = 1e C d~x · F~ führt.
~ so kann ein Strom
Haben wir eine Leiterschleife C in einem (inhomogenen) Magnetfeld B,
induziert werden durch
~
– Zeitliche Veränderung des B-Feldes.
– Bewegung der Schleife im inhomogenen Magnetfeld.
– Drehung oder Deformation der Schleife im Magnetfeld.
• Die kovariante Version von (VII.1) lautet
∂µ Fνρ + ∂ν Fρµ + ∂ρ Fµν = 0
bzw. µνρσ ∂ν Fρσ = 0
∂µ :=
∂
∂xµ
und ist mit Fµ = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ebenso eine Identität.
VII.2 Die Wirkung des elektromagnetischen Feldes
Das Wirkungsintegral des elektromagnetischen Feldes und der darin befindlichen Ladungen setzt sich
zusammen aus:
S = Sm + Smf + Sf .
Bekannt sind Wirkung des freien Teilchens Sm und der Wechselwirkung Teilchen-Feld Smf aus
Kapitel VI:
s
Z
N
X
dẋµi dẋiµ
Sm = −
mi c dsi
si =
dτi
dτi dτi
i=1
Z
N
X
ei
Smf = −
Aµ (xi )dxµi ,
c
i=1
wobei wir zu N Teilchen der Massen mi und Ladungen ei verallgemeinert haben.
Wie kann Sf , die Wirkung des elektromagnetischen Feldes, aussehen?
Z
Sf = c dtd3 x L(Aµ , Fρκ )
L: Lagrangedichte, L =
R
d3 xL.
Forderungen:
• L ist Lorentzskalar → Sämtliche Indizes abkontrahiert.
• L ist Eichinvariante → Abhängig nur von Fµν
• Bewegungsgleichungen sollten linear in den Feldern sein L ∼ F 2 da Variation δSf = 0 dann zu
linearen Bewegungsgleichungen führt.
84
VII.3 Viererstrom und Kontinuitätsgleichung
Unter diesen Forderungen bleiben nur zwei mögliche Terme:
und
F µν Fµν
µνρσ Fµν Fρσ .
Der letzte Term ist eine totale Viererableitung:
µνρσ Fµν Fρσ = µνρσ ∂µ Aν ∂ρ Aσ
= ∂µ [µνρσ Aν ∂ρ Aσ ]
→ Reiner Randterm bzw. Null, liefert keinen Beitrag zur Bewegungsgleichung.
D.h., es gibt unter den Forderungen 1. - 3. nur eine Möglichkeit für Sf :
Z
Sf = a · c dtd3 x F µν Fµν .
a ist freie Konstante, die letztlich das Maßsystem festlegt.
1
Im CGS-System ist a = − 16πc
.
D.h., die Wirkung der Maxwell-Theorie ist
Sf = −
1
16πc
Z
(VII.2)
d4 x F µν Fµν .
~2 − E
~ 2 ):
In 3D-Notation d4 x = ctd3 x; F µν Fµν = 2(B
Sf =
Lagrangefunktion L =
1
8π
R
1
8π
Z
dt
Z
~2 − B
~ 2)
d3 x (E
(VII.3)
~2 − B
~ 2 . Die Lagrangedichte ist L = − 1 F µν Fµν =
d3 x E
16πc
1
8π
~2 − B
~2
E
VII.3 Viererstrom und Kontinuitätsgleichung
Eine Ansammlung von N geladenen Teilchen besitzt die Ladungsdichte ρ(~x, t) =
Die Ladung Q = ρdV ist Invariante unter Lorentztransformationen.
PN
i=1 ei δ
(3)
(~x − ~xi (t)).
Multipliziere diese mit Vierervektor dxµ
dQdxµ = ρ dV dxµ = ρdV dt
dxµ
dt
Da dV dt eine Lorentzskalar ist, folgt, dass ρ dx
dt ein Vierervektor ist:
µ
j µ := ρ
dxµ
dt
⇒
j µ = (j 0 , ~j) = (cρ, ρ~x˙ ).
(VII.4)
Die bereits bekannte Kontinuitätsgleichung
~ · ~j = 0
ρ̇ + ∇
85
VII Herleitung der Maxwell-Gleichungen
nimmt dann die kovariante Form ∂µ j µ = 0 an:
0 = ∂µ j µ =
∂j µ
∂j 0
∂ρ ~ ~
∂j i
=
=
+
+ ∇ · j.
µ
i
∂x
c∂t
∂x
∂t
Mithilfe von j µ (x) lässt sich der Wechselwirkungsbeitrag Smf zur Wirkung umschreiben:
Z Z
X ei Z
1
Smf = −
Aµ dxµi = −
ρdV Aµ dxµ
c
c
i
Z
Z
1
dxµ
1
=−
dtdV ρ
Aµ = 2
d4 x Aµ (x)j µ (x)
c
dt }
c
| {z
j µ (x)
Somit lautet das vollständige Wirkungsintegral:
S=−
N Z
X
i=1
1
mi cdsi − 2
c
Z
c
d4 x Aµ j µ +
Fµν F µν
16π
(VII.5)
VII.4 Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen
Zur Ableitung der Feldgleichungen aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung aus (VII.5) variiert man
lediglich das Vektorpotential Aµ in (VII.5), es spielt die Rolle der ’Koordinate’ des Systems. Deshalb
spielt der Beitrag Sm zu S keine Rolle für die Feldgleichungen.
Für die Variation δS erhalten wir:
δS = −
1
c
Z
d4 x
1 µ
1 µν
j δAµ +
F δFµν
c
8π
µ
µν
ν
mit δSm = 0 und (δF µν )Fµν = (δFµν )F µν . Da δFµν = ∂δA
antisymmetrisch sind,
xµ − ∂xν und F
erhalten wir:
Z
∂δAµ
1
1 µ
1 µν ∂δAν
δS = −
d4 x
j δAµ +
F
−
c
c
8π
xµ
∂xν
Z
1
1 µ
1 µν ∂
=−
d4 x
j δAµ −
F
δAµ
c
c
4π
∂xν
Z
Z
1
1
1 ∂ µν
∂
1
P.I.
= −
d4 x j µ +
d4 x µ (F µν δAν )
F
δA
+
µ
ν
c
c
4π ∂x
4πc
∂x
∂δA
Der letzte Term ist nach dem Gauß’schen Satz für 4D ein Oberflächenintegral (3D)
Z
1
dsµ F µν δAν ,
4πc ∂Ω
wobei ∂Ω der 3D Rand des 4D Integrationsbereichs ist. Da δAν am Rand der Zeitintegration
verschwindet und ebenso die Felder im Unendlichen abfallen, ist dieser Term Null!
Es bleibt
δS = −
86
1
c
Z
d4 x
1 µ
1 ∂ µν
j +
F
δAµ
c
4π ∂xν
VII.4 Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen
für beliebige Feldvariationen in Ω. Deshalb muss der Ausdruck [...] für alle Raumzeitpunkte verschwinden:
4π ν
∂
F µν (x) =
(VII.6)
j (x) .
∂xµ
c
Dies sind die inhomogenen Maxwell-Gleichungen in kovarianter Schreibweise.
Wir schreiben diese vier Gleichungen in 3D Form:
ν=0:
1 ∂ 00
∂
F i0 = 4πρ
F +
c ∂t |{z} ∂xi |{z}i
=0
ν=1
=E
⇒
~ ·E
~ = 4πρ
∇
(VII.7)
1 ∂
∂ j1
F = 4πρ
F 01 +
c ∂t |{z} ∂xj
=−Ex
⇒
4π 1
1 ∂
∂ 11 ∂ 21 ∂
−
= −Ex +
F +
F +
F 31 =
j
|{z}
|{z}
|{z}
c ∂t
∂x
∂y
∂z
c
=0
=Bz
(VII.8)
=−By
D.h.,
∂By
1 ∂
4π
∂Bz
−
=
Ex +
jx .
∂y
∂z
c ∂t
c
und zusammen mit ν = 2, 3 erhalten wir
~
~ ×B
~ = 1 ∂ E + 4π ~j(x).
∇
c ∂t
c
(VII.9)
~˙
Dies sind die inhomogenen Maxwell-Gleichungen. Neu im Vergleich zur Statik ist hier der 1c E-Term
in (VII.9). Der Term wird als Maxwell’scher Verschiebungsstrom bezeichnet.
Man überprüft leicht, dass die Kontinuitätsgleichung eine Konsequenz der Maxwell-Gleichungen
ist:
1. kovariant:
∂ µ
c ∂ ∂ µν
j =
F = 0 wegen
∂xµ
4π ∂xµ ∂xν
F µν = −F νµ .
2. 3D:
1 ~ ~˙
∂
ρ=
∇·E
∂t
4π
~ · (∇
~ × B)
~ = 0 = 1∇
~ ·E
~˙ + 4π ∇
~ · ~j
∇
c
c
1 ∂
~ · ~j
~ · ~j = 0
ρ=
−4π ∇
⇒ ∂t ρ + ∇
⇒
∂t
4π
Zusammenstellung:
Makroskopische Maxwell-Gleichungen
87
VII Herleitung der Maxwell-Gleichungen
• CGS-System
Maxwell :
~ ×E
~+1 ∂B
~ = ~0
∇
c ∂t
4π ~ 1 ∂ ~
~ ·B
~ =0
j+
=
D,
∇
c
c ∂t
~ + 4π P~ , H
~ =B
~ − 4π M
~
=E
~ + ~v × B
~
=e E
c
~ ·D
~ = 4πρ,
∇
~ ×H
~
∇
~ H
~ :
D&
~
D
Lorentzkraft auf Einheitsladung :
F~
• SI-Einheiten
Maxwell :
~ ·D
~ = ρ,
∇
~ ×E
~+ ∂B
~ = ~0
∇
∂t
~ ×H
~ = ~j + ∂ D,
~
~ ·B
~ =0
∇
∇
∂t
~ H
~ :
~ = 0 E
~ + P~ , H
~ = 1B
~ −M
~
D&
D
µ0
~ + ~v × B
~ ,
Lorentz auf Einheitsladung :
F~ = e E
wobei 0 =
107
4πc2
und µ0 = 4π · 107 .
• Heaviside-Einheiten:
CGS-System mit 4π → 1.
Zusammenfassung:
Kovariante Feldgleichungen (CGS-System)
In kovarianter Schreibweise lauten die Maxwell-Gleichungen:
∂µ F µν =
4π ν
j ,
c
∂µ Fνρ + ∂ν Fρµ + ∂ρ Fµν = 0
~ mit F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ haben wir
ausgedrückt via Viererpotential Aµ = (φ, A)
∂µ ∂ µ Aν − ∂µ ∂ ν Aµ = Aν − ∂ ν (∂ · A) =
mit := ∂µ ∂ µ =
∂
µ
∂xµ A
∂
∂
∂xµ ∂xµ
(Divergenz).
= η µν ∂x∂ µ ∂x∂ ν =
1 2
c2 ∂t
4π ν
j
c
− 4 (d’Alembert2 -Operator ) und ∂·A := ∂µ Aµ =
Wählt man die Lorenz3 -Eichung, ∂ · A = 0, ergibt sich für Aµ die Wellengleichung
Aµ =
2 Jean-Baptiste
3 Ludvig
88
le Rond d’Alembert, Frankreich, 1717-1783
Valentin Lorenz, Dänemark, 1829-1891
4π
jµ .
c
VII.5 Energiedichte und Energiestrom des elektromagnetischen Feldes
Kovariante Feldgleichungen (SI-Einheiten)
Wir geben auch die Feldgleichungen im SI-Einheiten an.
∂µ F µν = µ0 j ν ,
∂µ Fνρ + ∂ν Fρµ + ∂ρ Fµν = 0
~ mit F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ und j µ = (cρ, ~j). Weiterhin
ausgedrückt via Viererpotential Aµ = (φ/c, A)
ist


0
−Ex /c −Ey /c −Ez /c
 Ex /c
1
0
−Bz
By 

F µν = 
(VII.10)
0 µ0 = 2 .
 Ey /c
Bz
0
−Bx 
c
Ez /c −By
Bx
0
In der Lorenz-Eichung ∂µ Aµ = 0 lauten die Bewegungsgleichungen für das Potential einfach
Aµ = µ0 jµ .
Mit Lösungen dieser inhomogenen Wellengleichung werden wir uns im Kapitel IX beschäftigen.
VII.5 Energiedichte und Energiestrom des elektromagnetischen
Feldes
Um einen Ausdruck für die Feldenergie zu erhalten starten wir von
~
~ · (∇
~ × B)
~ = 1E
~ · ∂ E + 4π E
~ · ~j
E
c
∂t
c
~
~ · (∇
~ × E)
~ = −1B
~ · ∂B .
B
c
∂t
Subtraktion der beiden Gleichungen liefert:
⇒
i
~
~
1 ~ ∂B
4π ~ ~ h ~ ~
1 ~ ∂E
~ −E
~ · (∇
~ × B)
~
E·
+ B
·
=− E
· j − B · (∇ × E)
c
∂t
c
∂t
c
Der Ausdruck in eckigen Klammern lässt sich umschreiben als
~ × B)
~
ijk (Bi ∇j Ek − Ei ∇j Bk ) = jki (∇j Ek Bi + Ek ∇j Bi ) = jki ∇j (Ek Bi ) = ∇ · (E
Somit folgt die Relation:
∂
∂t
1 ~2 ~2
~ · c E
~ ×B
~ = −~j · E
~ .
(E + B ) + ∇
8π
4π
(VII.11)
~
Wir definieren den Poynting4 -Vektor S
~ := c E
~ × B,
~
S
4π
(VII.12)
~
den wir als Energiestromvektor interpretieren werden. In der Tat nimmt (VII.11)
im
Vakuum (j = 0)
∂
~ ·S
~ = 0 an, mit W = 1 E
~2 + B
~ 2 . In W erkennen
die Form einer Kontinuitätsgleichung ∂t
W +∇
8π
wir die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes wieder.
4 John
Henry Poynting, England, 1852-1914
89
VII Herleitung der Maxwell-Gleichungen
Integrieren wir (VII.11) über ein Raumgebiet V , folgt:
!
Z
Z
Z
~2 + B
~2
∂
E
~
~
~
=−
dV
dV j · E −
df~ · S.
∂t
4π
V
V
∂V
Für V → R3 verschwindet der Oberflächenterm, da Felder im Unendlichen gegen Null streben.
Der Quellterm entspricht gerade der zeitlichen Ableitung einer Ladungsverteilung:
~j(~x) =
n
X
i=1
Z
V
~ =
dV ~j · E
n
X
i=1
ei ~x˙ i δ (3) (~x − ~xi )
~ xi )
ei ~x˙ i · E(~
Aus der relativistischen Bewegungsgleichung (VI.8) bemerken wir


˙i
m
~
x
d
~ xi )
q
 = ei ~x˙ i · E(~
~x˙ i ·
dt
2
˙
1 − ~xi /c
|
{z
}
p
~i,mech
und weiterhin, dass mit Ekin = √
mc2
1−~
x˙ i /c2
folgt, dass
d
Ekin = ~x˙ · p~˙mech
dt
Z
⇒
V
X
~ = d
dV ~j · E
Ekin,i .
dt i=1
N
Zusammengefasst folgt der Erhaltungssatz:
∂
∂t
N
~2 + B
~2 X
mc2
E
q
dV
+
8π
|
{z
} i=1 1 − ~x˙ i /c2
Feldenergie
|
{z
}
(Z
)
=0
(VII.13)
kin. Energie
Die Gesamtenergie setzt sich aus der Feldenergie und der kinetischen Energie der Teilchen zusammen.
W =
~2 + B
~2
E
8π
Energiedichte des e.-m. Feldes
Für endliche Raumbereiche gilt
"Z
#
Z
N
X
∂
~
dV W +
Ekin.i = −
df~ · S.
∂t V
∂V
i=1
~ gibt die Dichte des Energiestroms in V an. Integriert man den
Das heißt, der Poynting-Vektor S
~
Poynting-Vektor S über eine Fläche
Z
~ x, t) ,
PA =
df~ · S(~
A
so erhält man die durch A abgestrahlte Leistung.
90
VII.6 Der Energie-Impuls-Tensor
VII.6 Der Energie-Impuls-Tensor
Das Ergebnis des vorigen Kapitels verlangt nach einer kovarianten Schreibweise. Konzentrieren wir uns
∂
~ ·S
~ = 0, die scheinbar die Form ∂ µ Ωµ mit Ωµ = (W, Si )
zunächst auf Vakuumgleichung, c∂t
cW + ∇
∂x
einnimmt. Allerdings trägt das Feld nicht nur Energie, sondern auch einen Impuls, so dass wir auch
eine Impulsflusserhaltungsgleichung erwarten dürfen. Das ist in der Tat so.
⇒
Energie-Impuls-Tensor T µν
(ohne Herleitung:) Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes lautet
T µν =
1
4π
1
F µρ Fρ ν + η µν Fρκ F ρκ
4
Dieser erfüllt T µ µ = 0. Erhaltungsgleichung?
1
1 µν
ν
ν
µν
µρ
µρ
ρκ
∂µ T =
∂µ F Fρ + F ∂µ Fρ + η Fρκ (∂µ F )
4π
2
(VII.14)
(VII.15)
Wir nutzen:
4π ~ ρ
Bewegungsgleichung
j
c
0 = ∂µ Fρν + ∂ν Fνρ + ∂ρ Fνµ
Identität
∂µ F µρ =
Identität im letzten Term von (VII.15) eingesetzt:
1
1
Fρκ (∂ ν F ρκ ) = − Fρκ (∂ ρ F κν + ∂ κ F νρ ) = −Fρκ ∂ ρ F κν ,
2
2
was genau den zweiten Term in (VII.15) weghebt. Somit folgt:
∂µ T µν =
1
jµ F µν .
c
Man überprüft in der Tat, dass T 00 = W und T 0i =
4πT 00 =
Si
c
(VII.16)
ist:
1
~2 − E
~ 2 ) = 1 (E
~2 + B
~ 2)
F 0i Fi 0 + η 00 2(B
| {z }
4
2
~2
=(F 0i )2 =E
4πT
01
u.s.w.
~ × B)
~ · ~ex
= F 0i Fi 1 = −F 0i F i1 = −F 02 F 21 − F 03 F 31 = Ey Bz − Ez By = (E
Die rein räumlichen Komponenten von T ij bilden den Maxwell’schen Spannungstensor:
1
~2 − E
~ 2 ).
4πT ij = −F i0 F j0 + F ik F jk − δ ij (B
2
~ 2 ist, haben wir
Da F ik F jk = −B i B j + δ ij B
1
1 ij ~ 2 ~ 2
ij
i j
i j
T =
−E E − B B + δ (E + B ) .
4π
2
Physikalisch beschreibt der Spannungstensor den räumlichen Impulsstrom, die Diagonalelemente sind
gerade der Druck in jede Raumrichtung.
91
VII Herleitung der Maxwell-Gleichungen
Als Matrix geschrieben sieht T µν wie folgt aus:
2
~ +B
~2
~ × B)
~ T
1
E
2 (E
T µν =
~ × B)
~ T (E
~2 + B
~ 2 ) 1 − 2B
~B
~ T − 2E
~E
~T
8π 2 (E
Neben dem elektromagnetischen Feld tragen natürlich auch die geladenen Quellen in der Wirkung
Sm + Smf zu Energie und Impuls des Gesamtsystems, S = Sm + Smf + Sf , bei. Für N geladene,
massive Teilchen ergibt sich der Energie-Impulstensor (ohne Herleitung):
µν
TMaterie
= µc
mit µ(x) =
PN
i=1
dxµ dxν
ds
= µcuµ uν
ds dt
dt
mi δ (3) (~x − ~xi ) (Massendichte).
Man kann zeigen, dass unter Ausnutzung der Bewegungsgleichung (VI.11) für die Divergenz gilt:
1
µν
∂µ TMaterie
= − jµ F µν ,
c
µν
µν
µν
so dass der gesamte Energie-Impuls-Tensor Tges
= TFeld
+ TMaterie
erhalten ist!
µν
∂µ Tges
=0
92
VIII Elektromagnetische Wellen
Eine besondere Eigenschaft der zeitabhängigen Maxwell-Gleichungen ist die Existenz nicht-trivialer
Lösungen auch in Abwesenheit von Ladungen und Strömen ⇒ Wellen, die den ganzen Raum erfassen.
Dies unterstreicht, dass die elektromagnetischen Felder nicht nur mathematische Hilfsgrößen für die
Wechselwirkung von Ladungen und Strömen darstellen , sondern unabhängige physikalische Realität
besitzen. Wir kehren nun in das SI-Einheitensystem zurück.
VIII.1 Freie Wellengleichung
In Abwesenheit von Quellen ρ = 0 = ~j lauten die Maxwell-Gleichungen in linearen, homogenen
Medien (µr und r )
~ = µr µ0 H,
~
B
~ = r 0 E
~
D
und
~ ·E
~ = 0,
~ ·B
~ = 0,
∇
∇
~ ×E
~ = −∂t B,
~
~ ×B
~ = (r 0 µr µ0 )∂t E
~
∇
∇
Aus 0 µ0 = 1/c2 und n :=
n = 1.
√
r µr (Brechungsindex) ergibt sich
1
u
:=
√
r µr 0 µ0 =
n
c,
im Vakuum ist
~ und B
~ sind über Rotationen gekoppelt, durch erneute Rotation können sie aber entkoppelt werden:
E
~ ×E
~ + ∂t B
~
~ × ∇
0=∇
2
n 2
n2 2 ~
~
~
~
~
~
∂ −4 E
= ∇(∇ · E) − 4E + 2 ∂t E =
c
c2 t
2
~ ×B
~ − n ∂t E
~ × ∇
~
0=∇
c2
2
2
~
~ ∇
~ · B)
~ − 4B
~ + n ∂t2 B
~ = n ∂t2 − 4 B
= ∇(
c2
c2
Das heißt, beide Felder erfüllen äquivalente freie Wellengleichungen:
~ = 0.
E
~ =0
B
(VIII.1)
1 2
∂ − 4 . Hier haben wir n = 1 gesetzt, Übergang zu Wellen in Medien lediglich durch
c2 t
Änderung der Ausbreitungsgeschwindigkeit c → u = nc .
mit =
~ B
~ und Aµ (in der Lorenz-Eichung) erfüllen diesselbe freie (oder homogene) WellenDas heißt, E,
gleichung ψ(~x, t) = 0.
93
VIII Elektromagnetische Wellen
VIII.2 Ebene Wellen
Die homogene Wellengleichung hat Lösungen der Form
ψ(~x, t) = f+ (~x · ~k + ωt) + f− (~x · ~k − ωt)
(VIII.2)
mit beliebigen, differenzierbaren Funktionen f± , falls ω = c|~k|, da
2
1 2
ω
2
00
~
~
f± (~x · ~k ± ωt) =
∂
−
4
f
(~
x
·
k
±
ωt)
=
−
k
f±
(~x · ~k ± ωt) = 0.
±
c2 t
c2
Wir betrachten nun speziell die komplexen Funktionen
~
f± (~x · ~k ± ωt) = A± ei(k·~x±ωt)
’Ebene Wellen’
(VIII.3)
Für feste Zeit t = t0 liegen Punkte identischer Funktionswerte
auf Ebenen:
˛k
~k · ~x = const.
˛x1
˛x2
0
D.h., die Wellenfront ist senkrecht zu ~k.
˛x3
Betrachtet man den zeitlichen Ablauf, so breiten sich die Wellenfronten mit der Geschwindigkeit
aus:
ω
|~
k|
!
~k · ~x − ωt = |~k| · rk − ωt =
φ0 = const.
φ0
ω
⇒
rk =
+
· t = rk (0) + c · t
~
|k| |~k|
• Phasengeschwindigkeit:
drk
dt
=
ω
|~
k|
=c
• Wellen- oder Ausbreitungsvektor: ~k
Bei ebenen Wellen wiederholen sich für t fest die f± -Werte periodisch im Raum für Abstandvektoren
∆~xn · ~k = 2πn,
⇒ Wellenlänge: λ =
n ∈ Z.
2π
.
|~
k|
Halten wir ~x fest, so wiederholen sich im Takt τ =
Kreisfrequenz ω = 2πν.
2π
ω
die f± -Werte, d.h. die Frequenz ist ν = τ1 , die
Aufgrund der Linearität der Wellengleichung können individuelle Lösungen zu neuen Lösungen
kombiniert werden
X (j) ~
~
(j)
ψ(~x, t) =
A+ ei(kj ·~x+ωj t) + A− e−i(kj ·~x−ωj t)
j
mit beliebigen Wellenvektoren ~kj und ωj = ±|~kj |·c. In der Tat sind sogar kontinuierliche Wellenzahlen
~k möglich:
Z
i
d3 k h
i(~
k·~
x+ωt)
i(~
k·~
x−ωt)
~
~
ψ(~x, t) =
A
(
k)e
+
A
(
k)e
,
ω = c |~k| .
+
−
(2π)3
94
4
VIII.3 Mathematischer Einschub: Fourier-Transformation
Man kann zeigen, dass dies die allgemeine komplexe Lösung ist. Für eine reelle Lösung ist zu fordern
ψ = ψ ∗ , d.h.
Z
i
d3 k h ∗ ~ −i(~k·~x+ωt
∗ ~ −i(~
k·~
x−ωt
ψ ∗ (~x, t) =
A
(
k)e
+
A
(
k)e
+
−
(2π)3
Z
i
h
~
d3 k
k→−~
k
∗
~k)ei(~k·~x−ωt) + A∗ (−~k)ei(~k·~x+ωt) .
A
(−
=
+
−
(2π)3
Somit folgern wir
ψ = ψ∗
⇔ A∗± (−~k) = A∓ (~k)
Dann ergibt sich mit der Definition A(~k) := A− (~k) die Darstellung einer reelen Lösung
Z
i
d3 k h ∗ ~ i(~k·~x+ωt)
~k)ei(~k·~x−ωt) ,
ω = c |~k| ,
A
(−
k)e
+
A(
ψ(~x, t) =
(2π)3
b.z.w. mit ~k → −~k im ersten Summanden
ψ(~x, t) =
Z
i
d3 k h ~ i(~k·~x−ωt)
∗ ~ −i(~
k·~
x−ωt)
A(
k)e
+
A
(
k)e
,
(2π)3
ω = c |~k| ,
(VIII.4)
als allgemeinste reelle Lösung.
VIII.3 Mathematischer Einschub: Fourier-Transformation
Obige Beziehung stellt eine Verallgemeinerung der Fourier-Reihe von periodischen Funktionen auf
allgemeine aperiodische Funktionen dar:
f (x) = f (x + L)
⇒
∞
X
f (x) =
cn eikn x
n=−∞
RL
mit kn = 2πn/L und cn = L1 0 dx f (x)e−i2πnx/L (vgl. Übung 6). Insbesondere gilt die Darstellung
der δ-Funktion für x, y ∈ [0, L]
δ(x − y) =
bzw.
P∞
m=−∞
δ(x + mL) =
1
L
P∞
∞
1 X in 2π (x−y)
e L
L n=−∞
ein L x für x ∈ R.
2π
n=−∞
Diese Zusammenhänge schreiben wir nun ein wenig symmetrischer auf. Sei a =
L
2
und
∞
X
1
f (x) = √
f˜n eikn ·x ∆k
2π n=−∞
Z a
1
f˜(x) = √
dx f (x)e−ikn ·x
2π −a
kn =
nπ
,
a
∆k =
π
,
a
r
2
f˜n = cn a
.
π
95
VIII Elektromagnetische Wellen
Wir gehen nun zu nicht-periodischen Funktionen über, indem wir das Periodizitätsintervall [−a, a]
durch a → ∞ über ganz R ausdehnen. Dann geht im Riemann’schen Sinne (∆k → 0) die Summe in
ein Integral über. Wir erhalten:
1
f (x) = √
2π
Z
∞
dk f˜(k)eikx
−∞
1
f˜(k) = √
2π
⇔
Z
∞
dx f (x)e−ikx
(VIII.5)
−∞
f˜(k) ist die Fourier-Transformierte von f (x).
Eigenschaften:
1. Linearität: Gilt g(x) = α1 f1 (x) + α2 f2 (x). So ist g̃(k) = α1 f˜1 (k) + α2 f˜2 (k) mit der FourierTransformierten f˜i (k) von fi (x).
2. Faltungstheorem:
f (x) = f1 (x)f2 (x)
⇔
1
f˜(k) = √
2π
Z
∞
−∞
dk 0 f˜1 (k 0 )f˜2 (k − k 0 )
3. Ist f (x) = f (−x) gerade, so ist auch f˜(k) gerade. Ist f (x) ungerade, so ist auch f˜(k) = −f˜(k̃).
Bemerkungen:
• In unserer Definition (VIII.5) werden Faktoren von 2π symmetrisch gewählt, dies ist willkürlich.
Lediglich Hin- und Rücktransformation muss zusammen Faktor 1/2π ergeben. Deswegen sind
auch die Konventionen
Z ∞
Z ∞
1
f (x) =
dk ... ⇔ f˜(k) =
dx ...
2π −∞
−∞
und
f (x) =
Z
∞
dk ...
⇔
−∞
1
f˜(k) =
2π
Z
∞
dx ...
−∞
möglich.
• Ebenso ist das Vorzeichen im Exponenten willkürlich, es muss nur bei f (x) und f˜(k) unterschiedlich sein.
Konvergenz:
Für gegebene f (x) existiert f˜(k) natürlich nur, wenn das Integral
Z ∞
1
f˜(k) = √
dx f (x)e−ikx
2π −∞
existiert. Dazu muss f (x) für |x| → ∞ hinreichend schnell abfallen, was die Klasse der Fouriertransformierbaren Funktionen sehr einschränkt. Insbesondere
hätte dann f (x) = c = const keine
√
Fourier-Transformierte, obwohl (VIII.5) f˜(k) = 2πc δ(k) suggeriert.
Deshalb erweitern wir die Definition (VIII.5) nun um einen konvergenzerzeugenden Faktor:
1
f˜(k) = lim+ √
→0
2π
96
Z
∞
−∞
dx f (x)e−ikx−x ,
2
VIII.4 Monochromatische elektromagnetische Wellen
sowie
1
f (x) = lim+ √
˜→0
2π
Z
∞
2
dk f˜(x)eikx−˜k .
−∞
So erhält man in der Tat die δ-Funktion als Fouriertransformierte der konstanten Funktion f (x) = c
Z ∞
2
c
˜
√
dx e−ikx−x
f (k) = lim+
→0
2π −∞
Z ∞
i
2
x=y+ 2
k
i
i
c
√
dy e−ik(y+ 2 k)−(y+ 2 k)
=
lim+
→0
2π −∞
Z ∞
k2
k2
c
c
−y 2
dye
= lim+ √
e− 4 = lim √ e− 4
→0
→0
2π
2
−∞
|
}
√{z
√
⇒
π/
(vgl. Übung 44a)
= c 2πδ(k)
Z ∞
dx −ik·x
δ(k) =
e
2π
−∞
(VIII.6)
Fourier-Transformation einer Ableitung
Ist f˜(k) die Fourier-Transformation von f (x), so ist −ik f˜(k̃) die Fourier-Transformation von
∂f
∂x (x):
Z ∞
1
f (x) = √
dk f˜(k)e−ikx
2π −∞
Z ∞
√ Z ∞
1
∂f
∂
(x) = √
dk f˜(k) e−ikx = 2π
dk −ik f˜(k̃) e−ikx
∂x
∂x
2π −∞
−∞
Transformation einer Funktion der Zeit
Die Regeln, die wir für (x, k) abgeleitet haben, lassen sich auch auf Zeiten und Frequenzen (t, ω)
übertragen. Hier wählen wir die Konvention eines unterschiedlichen Vorzeichens im Exponenten
Z ∞
Z ∞
1
1
f (t) = √
dω f˜(ω)e−iωt ⇔ f˜(ω) = √
dt f (t)e+iωt
2π −∞
2π −∞
Mehrdimensionale Fourier-Transformation
Die Verallgemeinerung zur 4D-Raumzeit liegt nun auf der Hand:
Z
Z ∞
Z
Z ∞
1
1
~
3
3
−i(~
k·~
x−ωt)
˜
~
˜
~
f (~x, t) =
d k
dω f (k, ω)e
⇔ f (k, ω) =
d x
dt f (~x, t)e−i(k·~x−ωt)
2
(2π)2
(2π)
−∞
−∞
VIII.4 Monochromatische elektromagnetische Wellen
~ und B-Feld:
~
Wir betrachten nun monochromatische Wellen für das Eh
i
~ = Re E
~ 0 ei(~k·~x−ωt)
E
h
i
~ = Re B
~ 0 ei(~k0 ·~x−ω0 t)
B
97
VIII Elektromagnetische Wellen
~ und B
~ nicht unabhängig, da Maxwell-Gleichungen erfüllt sein müssen.
Allerdings sind E
Wir finden
~ ×E
~ = −∂t B
~
• ∇
⇒
~0 = ω B
~0 .
sowie ~k × E
~ 0 )ei(~k×~x−ωt) = iω 0 B
~ 0 ei(~k0 ·~x−ωt) Das heißt: ω 0 = ω und ~k 0 = ~k ,
i(~k × E
~ ·E
~ =0
• ∇
~ ·B
~ =0
• ∇
~ ×B
~ =
• ∇
⇒
⇒
~k · E
~0 = 0
(VIII.7)
~k · B
~ 0 = 0 (ist bereits Konsequenz aus obigem)
1
~
c2 ∂t E
⇒
~k × B
~0 = − ω E
~0
c2
~ 0, B
~ 0 , ~k bilden an jedem Raumzeitpunkt (immer und überall) ein orthogonales RechtsysDas heißt, E
tem.
˛
E
~ und B
~ stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
E
˛k
’Transversale Wellen’
˛
B
~
Transversale Wellen haben als weitere Eigenschaft die sogenannte Polarisation: Wie ändern sich E
~ im Verlauf die Ausbreitung?
und B
Hierzu starten wir mit dem elektrischen Feld
h
i
~ = Re E
~ 0 ei(~k·~x−ωt)
E
~ 0 ist beliebiger komplexer Vektor in der Ebene senkrecht zu ~k. E
~ 2 ist komplexe Zahl, ihr Argument
E
0
sei −2α:
~ 02 = |E
~ 02 |e2iα
E
~ 0 = ~be−iα bestimmte komplexe Vektor ~b hat ein reelles Quadrat ~b2 = |E
~ 2 |. Sei ~b = ~b1 + i~b2
Der durch E
0
3
~
mit reellen bi ∈ R folgt wegen
R 3 ~b2 = ~b21 − ~b22 + 2i~b1 · ~b2
⇒
~b1 · ~b2 = 0.
D.h., ~b1 ⊥ ~b2 . Wahl ~b1 k ~ex , ~k k ~ez , dann

 

Ex
|~b1 | cos(ωt + α − ~k · ~x)
h
i
~ = Re (~b1 + i~b2 )ei(~k·~x−ωt−α) =  Ey  =  ±|~b | sin(ωt + α − ~k · ~x) 
E
2
Ez
0
98
(VIII.8)
Das elektrische
Feld
dreht sich
mit konstanter
VIII.5 Kovariante
Formulierung
elektromagnetischer
Wellen Winkelgeschwi
n1 ,n2 -Ebene. Das magnetische Feld dreht sich ebenso, ist abe
versetzt. Das Vorzeichen von y↵ bestimmt die Drehrichtung.1 B
Das Vorzeichen von Ey ergibt sich aus der Richtung
|
können|b2koexistieren
und sie spannen den
von ~b. Somit erfüllen Ex und EPolarisationsmoden
y eine Ellipsengleichung:
Ey2
Ex2
+ 2 = Elliptische
1
2
b1
b
x
b1
Polarisierung. Schliesslich
gibt es noch die ell
mit ↵ 6= 0, ±1. Sie beschreibt den
Fall
≠|ballgemeinen
2|
~n2
D.h., die transversale Welle ist elliptisch polarisiert,
~
Der E-Vektor
beschreibt Schraubenlinie bei der
~ ist stets
Ausbreitung mit elliptischem Profil. B
~
senkrecht zu E und beschreibt ebenfalls Ellipse, im
Allgemeinen versetzt.
cB
Spezialfälle:
1.
Elliptische Polarisation entsteht durch Linearkombination zwe
b1 = |b2 | - Ellipse entartet
zu Kreis:
polarisierter
Wellen mit unterschiedlichen Phasen. Alternativ
Zirkular polarisierte Welle,
Vorzeichen in (VIII.8) entscheidet
über polarisierter
links- oder rechtszirkulare
Linearkombination
zirkular
Wellen ansehen. Die
Polarisation
y magnetischen Felder sind yin einer allgemeinen Phasenbeziehun
links-zirkular:
˛
E
1
˛
Interessanterweise ist die Drehrichtung
eine Invariante unter Drehun
E
rechts-zirkular:
x
x sich nur durch Raumspiegelun
den zirkularen
Polarisationsmoden lassen
Zirkular polarisierte Wellen sind somit chiral.
2. b1 = 0 oder b2 = 0
y
linear polarisierte Welle:
˛
E
x
10.7
VIII.5 Kovariante Formulierung elektromagnetischer Wellen
Es ist natürlich Kreisfrequenz ω und Wellenvektor ~k in einem vierdimensionalen Wellenvektor k µ zu
kombinieren:
ω kµ =
, ~k .
c
99
VIII Elektromagnetische Wellen
k µ ist Vierervektor, da kµ xµ = ωt − ~k · ~x als Phase der Welle einen Skalar bildet. Weiterhin ist k µ
ein lichtartiger Vektor kµ k µ = 0 . Wir betrachten nun die Bewegungsgleichung des Viererpotentials
Aµ im Vakuum:
∂µ F µν = 0
⇒
Aν − ∂ ν (∂ · A) = 0
Es gibt eine geschickte Eichwahl, die Aν auf räumliche Komponente reduziert: A0 = 0
(axiale Eichung). Dann ist
φ=0
⇔
~+∇
~ (∇
~ · A)
~ = 0 und ∂t (∇
~ · A)
~ = 0.
A
~ ·A
~ hängt nur von ~x ab. Wir können nun residuelle Eichtransformationen A
~→A
~ + ∇Λ(~
~ x)
D.h., ∇
durchführen, die wegen φ → φ − ∂t Λ(~x) = φ unserer Eichwahl φ = 0 invariant lassen. Diese Freiheit
~ ·A
~ = 0 zu setzen:
nutzen wir um durch geeignete Wahl von Λ(~x) gerade ∇
~0 = A
~ + ∇Λ,
~
A
~ · A(~
~ x).
Wahl: 4Λ(~x) = −∇
~ ·A
~ 0 (~x) = ∇
~ · A(~
~ x) + 4Λ(~x)
∇
~ x, t):
Mit dieser Kombination von Eichwahlen lautet die Bewegungsgleichung für A(~
~=0
A
⇒
η µν
∂ ∂ ~
A=0
∂xµ ∂xν
~ = A~0 e−ikµ xµ (Monochromatische Welle)
Lösung: A
Achtung: Wir haben nun das Velktorpotential komplexifiziert. Die physikalisch relevante Größe erhält
man durch Realteilbildung.
~ und B-Feld
~
Hieraus bestimmt man sofort E~
~ = − 1 ∂A = − ∂ A
~ = ik0 A
~ = i|~k|A
~
E
c ∂t
∂x0
~ =∇
~ ×A
~ = i(~k × A).
~
B
~ ·A
~ = 0 zu berücksichtigen. ⇒ ~k · A
~ = 0.
Weiterhin ist die Eichbedingung ∇
Für die physikalisch releventen Felder muss hier noch der Realteil gebildet werden, d.h.
~ = |~k| =[A]
~
E
~ = ~k × =[A]
~ .
B
(VIII.9)
VIII.6 Energie-Impuls-Tensor einer Monochromatischen Welle
Aus Ergebnissen für T µν bestimmt man
1 ~
1 ~2 ~2
~ · ~ei
(E + B ) = W, T 0i =
(E × B)
8π
4π
1
=
(−E i E j − B i B j ) + δ ij W
4π
T 00 =
T ij
~ = k =[A] ~ex , B
~ = k =[A] ~ez × ~ex = k =[A]~ey . Es folgen die
Wahl des Koordinatensystems: ~k = k~ez , E
von Null verschiedenen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors:
T 00 =
100
1 2
k =[A]2 = W,
4π
T 03 = W,
T 33 = W
VIII.7 Überlagerung von ebenen Wellen
bzw. kovariant in beliebigen Koordinatensystem geschrieben:
T µν =
W c2 µ ν
k k
ω2
Doppler-Effekt
Als Anwendung der relativistischen Formulierung betrachten wir den
In System Σ
Doppler-Effekt.
breite sich eine monochromatische Welle mit Wellenvektor k µ = ωc , ~k aus. Relativ zu Σ bewege
sich ein Beobachter mit konstanter Geschwindigkeit ~v . Dieser definiert in seinem Ruhesystem das
Inertialsystem Σ0 . Welche Frequent ω 0 nimmt er wahr.
y
˛k
y
–
Õ
–
x
˛v
xÕ
~v = v~ex
ω
ω
ω , − sin α , cos α , 0
kµ =
c
c
c
k 0µ = Λµ µ k ν
⇒
ω0
ω
ω
ω
= cosh η + sinh η sin α =
c
c
c
c
⇒
1 + v sin α
ω0 = ω p c
1 − v 2 /c2
"
1
v/c
p
+p
sin α
1 − v 2 /c2
1 − v 2 /c2
#
(VIII.10)
D.h., für v > 0 und α ∈ [0, π) ist ω 0 > ω, sonst umgekehrt.
VIII.7 Überlagerung von ebenen Wellen
~ = 0, B
~ = 0 sind linear, deshalb sind Summen von Lösungen wiederum
Die Wellengleichungen E
Lösung der Wellengleichung ⇒ Lösungen lassen als Fourier-Integral schreiben: Zum Beispiel für
elektrisches Feld:
Z
~ x, t) = 1 Re d3 k E(
~˜ ~k, ω)e−i(~k·~x−ωt)
E(~
(VIII.11)
2
(2π)
~˜ ~k, ω), welches ~k · E
~˜ = 0 erfüllt und für das ω = |~k|u mit u =
mit beliebigem E(
c
n
gilt.
(VIII.11) stellt ein Wellenpaket dar, entspricht realistischen elektromagnetischen Wellen, da ebene
Wellen eine unendliche Ausdehnung besitzten. In der Realität lassen sich jedoch nur räumlich
lokalisierte Wellen erzeugen, da jede Quelle endlicher Ausdehnung Frequenzbündel aussendet.
Mithilfe von (VIII.11) können wir die allgemeinste Lösung der Maxwell-Gleichungen im Vakuum
(bzw. in linearen homogenen Medien) angeben. Hierzu transformieren wir die Maxwell-Gleichungen
in den (~k, ω)-Raum.
10
101
VIII Elektromagnetische Wellen
Mit der Beobachtung:
^
∂f
∂x
= ik f˜ findet man die Vakuum Maxwell-Gleichungen im ~k, ω-Raum.
~ ×B
~ − 12 ∂t E
~ = 0, ∇
~ ·E
~ =0
∇
u
~
~
~
~
~
∇ × E + ∂t B = 0, ∇ · B = 0
⇒
~k × B
~˜ = 0, ~k · E
~˜ = 0
~˜ + ω2 E
u
~k × E
~˜ − ω B
~˜ = 0, ~k · B
~˜ = 0
Wir erkennen die Bedingungen für monochromatische Wellen (VIII.7) wieder!
D.h., die allgemeinste Lösung lautet:
~ x, t) =
E(~
~ x, t) =
B(~
1
3
(2π)2 Re d k
R
u
3
(2π)2 Re d k k̂
R
~˜ ~k, ω)e−i(~k·~x−ωt)
E(
~˜ ~k, ω)e−i(~k·~x−ωt)
× E(
(VIII.12)
~˜ = 0, sowie k̂ = ~k/|~k|.
mit ω = |~k|u und ~k · E
VIII.8 Kugelwellen
Eine weitere, oft gebrauchte Wellenform ist die einer Kugelwelle. Hierzu schreiben die Wellengleichung
1 ∂2φ
− 4φ = 0
c2 ∂t2
für beliebige Funktionen φ(~x, t) in Kugelkoordinaten (r, θ, ϕ) um:
1 ∂2φ 1 ∂2
1 ~2
−
(rφ) − 2 L
φ = 0.
2
2
2
c ∂t
r ∂r
r
Aus der Elektrostatik wissen wir, dass jede Funktion der Winkelvariabten (θ, ϕ) eine Linearkombination
der Kugelflächenfunktionen Ylm (θ, ϕ) ist. Darum suchen wir Lösungen zu (??) der Form:
φ=
1
F (t, r)Ylm (θ, ϕ).
r
~ 2 Ylm = l(l + 1)Ylm folgt die zweidimensionale Wellengleichung für F :
Mit L
1 ∂2F
∂2F
l(l + 1)
−
+
F = 0.
c2 ∂t2
∂r2
r2
Für kugelsymmetrische Lösungen ist l = m = 0 (Kugelwellen)
⇒
und F = F+ (ct + r) + F− (ct − r).
1 ∂2F
∂2F
−
=0
c2 ∂t2
∂r2
Damit habebn die quellenfreien Maxwell-Gleichungen die Kugelwellenlösungen:
h
i
~ =1 E
~ + (ct + r) + E
~ − (ct − r)
E
r
h
i
1
~ =
~ + (ct + r) + B
~ − (ct − r)
B
B
r
102
VIII.9 Wellenausbreitung in elektrischen Leitern
~ − ist auslaufende Welle, die sich mit Lichtgeschwindigkeit von Ursprung ausgehend in den Raum
E
~ + ist einlaufende Welle, die sich auf den Ursprung zusammenzieht.
ausbreiete, E
~ ·E
~ =0=∇
~ =B
~ ist äquivalent zu
Die Quellenfreiheit ∇
1 ∂
r2 Er = 0 und
2
r ∂r
1 ∂
r 2 Br = 0 ,
2
r ∂r
mit
~
Er = ~er · E
D.h., r2 Er und r2 Br sind konstant. Für am Ursprung reguläre Lösungen verschwinden die Konstanten
und Er = Br = 0. D.h., wir haben wiederum transversale elektromagnetische Wellen mit (~er = ~x/|~x|)
~ = 0 = ~x · B
~
~x · E
deren Amplitude mit wachsendem Abstand wie
1
r
abnimmt.
VIII.9 Wellenausbreitung in elektrischen Leitern
Bislang haben wir elektromagnetische Wellen in linearen, homogenen Medien, d.h. Isolatoren, betrachtet in Abwesenheit von Ladungen und Strömen. Wollen nun unsere Betrachtungen auf
homogene, isotrope, ladungsfrei, elektrische Leiter
verallgemeinern. Der neue Aspekt ist, dass in einem (Ohm’schen) Leiter ein elektrisches Feld zu
einem Leitungsstrom
~
~j = σ E
σ : elektr. Leitfähigkeit
führt.
~ und B.
~
Es folgen die Maxwell-Gleichungen in den physikalisch relevanten Feldern E
~ ·B
~ = 0,
∇
˙ ~
~
~
~
~ = µr µ0 σ E
~+
∇ × E = −B, ∇ × B
1 ~˙
u2 E
~ ·E
~ =0
∇
(VIII.13)
~ und B
~ zu entkoppeln, gehen wir zu partiellen DGLs zweiter Ordnung mittels Rotationsbildungen
Um E
über:
!
~ × (∇
~ × E)
~ =∇
~ · (∇
~ · E)
~ −4E
~ =
~ ×B
~˙ = µr µ0 σ E
~˙ + 1 E
~¨
∇
−∇
| {z }
u2
=0
’Telegraphengleichung’
2
⇒
4−
1 ∂
u2 ∂t2
− µr µ0 σ
∂ ~
E(~x, t) = 0
∂t
(VIII.14)
~
Trotz der unsymmetrischen Feldgleichungen (VIII.13) erfüllt auch das B-Feld
die Telegraphengleichung:
~ × (∇
~ × B)
~ =∇
~ · (∇
~ · B)
~ −4Bµ
~ r µ0 σ B
~˙ + 1 B
~¨
∇
| {z }
u2
=0
1 ∂2
∂ ~
⇒
4 − 2 2 − µr µ0 σ
B(~x, t) = 0
u ∂t
∂t
103
VIII Elektromagnetische Wellen
Wir suchen wellenartige Lösungen. Ansatz einer zeitlich harmonischen Funktion:
ω2
~ x, t) = E
~ 0 (~x)e−iωt ⇒
~ 0 (~x) = 0
E(~
4 + 2 µr r + iωµr µ0 σ E
c
Einführung einer komplexen Dielektrizitätskonstante r .
ω2
ω2
µ
µr r + iωµr µ0 σ
:=
r
r
c2
c2
Hier wurde µ0 0 =
definieren:
1
c2
r = r + i
⇒
σ
= r (ω)
0 ω
benutzt. Analog lässt sich eine komplexe Wellengeschwindigkeit im Leiter u
ū := √
1
c
=√
.
µr ¯r µ0 0
¯r µr
Dann nimmt die Telegraphengleichung für zeitlich harmonische Funktionen die Form einer homogenen
Wellengleichung an:
ω2 ~
4 + 2 E0 (~x) = 0
ū
mit monochromatischen Lösungen:
h
i
~ x, t) = E
~ 0 Re e−i(~q·~x−ωt) ; ~q := ω ~qˆ,
E(~
ū
wobei ~q nun komplexer Vektor ist, die Ausbreitungsrichtung der Welle ist der Einheitsvektor ~qˆ. Wir
setzen nun an
1
1p
ñ + iγ
=
¯r µr =
,
ñ : Verallgemeinerter Brechungsindex
ū
c
c
¯r µr = ñ2 − γ 2 + 2iñγ
σ
µr = 2ñγ
⇒ ñ2 − γ 2 = r µr = n,
0 ω
"
#
r
2
1 2
σ
2
ñ = 2 n 1 + 1 + 0 r ω
"
#
r
⇒
γ 2 = 12 n2 −1 +
1+
σ
0 r ω
2
Im Isolatorgrenzfall σ → 0 ist ñ −→ n und γ −→ 0. Die Lösung hat die Form einer gedämpften
Welle:
σ→0
σ→0
Sei ~qˆ = ~ez , dann lautet die Lösung:
h
i
~ x, t) = E
~ 0 Re e−iω( ñc z−t) e−γωz/c
E(~
D.h., wir betrachten zwei Effekte:
1. Wohldefinierte ω-abhängige Wellengeschwindigkeit


s
2 1/2
c
1 
σ
 ,
u=
,
ñ(ω) = √ n 1 + 1 +
ñ(ω)
0 r ω
2
u ist im Leiter kleiner als im Isolator mit identischem r und µr .
104
n=
√
r µr .
VIII.9 Wellenausbreitung in elektrischen Leitern
2. Der Dämpfungsfaktor γ impliziert, dass die Welle nicht beliebig tief in den Leiter eindringen
kann (Skin-Effekt). Die Entfernung 4z = δ, nach der die Wellenamplitude auf den 1/e-ten Teil
des Ausgangswertes abgefallen ist, bezeichnet man als Eindringtiefe:
δ=
c
λ0
=
ωγ
2πγ
λ0 : Wellenlänge im Vakuum
γ: Extinktionskoeffizient
105
IX Erzeugung und Abstrahlung von Wellen
Bislang haben wir nur die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im Vakuum mit c oder homogenen, linearen Medien mit u = c/n diskutiert, die Erzeugung durch zeitabhängige Ladungs- und
Stromverteilungen jedoch ausgespart. Dieser Aspekt ist Gegenstand des letzten Kapitels unserer
Vorlesung.
In der Lorenzeichung (∂ · A = 0) suchen wir Lösungen für das elektromagnetische Potential Aµ (x)
der inhomogenen Wellengleichung
Aµ (x) = µ0 j µ (x)
(SI-Einheiten)
(IX.1)
Hiebei nehmen wir j µ = (c ρ, ~j) als gegeben an und kehren zu dem SI-Einheitensystem zurück.
IX.1 Inhomogene Wellengleichung
Gesucht ist das Feld beliebig bewegter Ladungen im sonst leeren Raum, d.h. wir haben es mit trvialen
Randbedingungen von verschwindenden Feldern im Unendlichen zu tun. Die formale Lösung von
(IX.1) ist Aµ (x) = µ0 j µ (x), die natürlich wegen der zunächst problematischen Invertierung des
d’Alembert-Operators schlecht definiert ist. Dies wollen wir nun genauer ergründen. Eine spezielle
Lösung findet man mit der Methode der Green’schen Funktion G(x, x0 ), die uns aus der Elektrostatik
bereits bekannt ist und hier auf das neue Problem (IX.1) angewandt werden soll. Wir suchen also
eine Lösung der Wellengleichung für eine instantane Punktquelle:
G(x, x0 ) = δ (4) (x − x0 )
(IX.2)
Mit δ (4) (x − x0 ) = δ(ct − ct0 ) δ (3) (~x − ~x0 ) = 1c δ(t − t0 ) δ (3) (~x − ~x0 ). Wegen der Homogenität des
Raumes darf sich G(x − x0 ) unter Translationen xµ → xµ + aµ und x0µ → x0µ + aµ nicht ändern. Die
Green’sche Funktion hängt deshalb nur von (x − x0 ) ab:
G(x, x0 ) = G(x − x0 ) .
(IX.3)
Ist G(x − x0 ) bekannt, so hat man die spezielle Lösung der inhomogenen Wellengleichung mittels
Z
Aµ (x) = µ0
d4 x0 G(x − x0 ) j µ (x0 )
(IX.4)
gefunden. Dies ist so, da
Z
Z
µ
4 0
0
µ 0
x A (x) = µ0
d x x G(x − x ) j (x ) = µ0
d4 x0 δ (4) (x − x0 ) j µ (x0 ) = µ0 j µ (x) .
(IX.5)
IX.2 Green’sche Funktion
Zur Konstruktion von G(x − x0 ) bedarf es mathematischer Grundlagen über die wir noch nicht
verfügen (Funktionentheorie: Residuensatz). Wir geben deshalb hier zunächst das Ergebnis an und
107
IX Erzeugung und Abstrahlung von Wellen
zeigen, dass es die Definitionsgleichung (IX.1) erfüllt:
G(x) =
1
δ(r − c t)
4π r
r=
√
~x2 ,
xµ = (ct, ~x)
(IX.6)
Da G(x) nur von r und t abhängt nimmt in Kugelkoordinaten die Form
1 ∂2
1 ∂2
1 ∂2
r f (t, r)
f (t, r) =
− ∆ f (t, r) =
−
c2 ∂t2
c2 ∂t2
r ∂r2
an, die Winkelableitungen tragen nicht bei. Wir erhalten also
1 00
1
δ (r − ct) + 4(r − ct) 4(
),
4π r
4π r
1 ∂2
1 00
G(x) =
δ (r − ct) ,
c2 ∂t2
4π r
4 G(x) =
(IX.7)
(IX.8)
wobei wir aus der Diskussion in der Elektrostatik wissen, dass
4(
1
) = −δ (3) (~x) ,
4π r
so dass dieser Term nur für ~x = 0 beiträgt. Zusammengefasst finden wir also in der Tat, dass
1 00
1 00
1 2
∂ G − 4G =
δ (r − ct) −
δ (r − ct) + δ(r − ct) δ (3) (~x)
c2 t
4πr
4πr
= δ(−ct) δ (3) (~x) = δ(ct) δ (3) (~x) = δ (4) (x) ,
G(x) =
(IX.9)
gilt. Herleitung über Residuensatz Konstruktiv bestimmt man G(x) über Fouriertransformation
Z
µ
1
G(x) =
d4 k eikµ x G̃(k)
2
(2π)
Z
∂ ∂ ikν xν
1
d4 k
G(x) =
e
G̃(k)
2
(2π)
∂xµ ∂xµ
Z
ν
1
d4 k(−kµ k µ )eikν x G̃(k)
=
(2π)2
Nun ist
δ
(4)
1
(x) =
(2π)4
Z
d4 keikµ x
µ
Somit sehen wir, dass die Green’sche Funktion im Impulsraum die einfache Form
G̃(k) = −
1
1
1 1
=−
2
µ
(2π) kµ k
(2π)2 k 2
hat. Demnach folgt für die Green’sche Funktion im Ortsraum Führt man dieses Integral aus, so findet
man (IX.6). Integration Aufgrund des Pols bei k 2 = 0 ist das Integral zunächst nicht wohl definiert:
Verschiebung des Pols ins leicht Komplexe
Z ∞
Z
1
eik·x
3
0
G+ (x) := −
lim
dk
d
k
(2π)4 →0+ −∞
(k 0 − i)2 − ~k 2
Nun Pole bei k 0 = i ± |~k|.
108
IX.2 Green’sche Funktion
Das Integral ist zunächst nicht wohl definiert. Zuerst berechnen wir das Integral über k 0 . Da Ladungen
und Ströme als Ursachen für Potentiale zu betrachten sind, sollte G(x) verschwinden, falls x0 < 0, da
das Ereignis in der Wellengleichung zum Zeitpunkt x0 = 0 geschieht. Die Kausalitätsforderung für
die Green’sche Funktion erfüllen wir, wenn wir sie folgendermaßen definieren:
1
G(x) = −
lim
(2π)4 →0+
Z
d k
3
Z
∞
dk
ei(k
0
−∞
0
x0 −~
k·~
x)
(k 0 − i)2 − ~k 2
Pole in k 0 :
k 0 = i ± |~k| =: k±
Betrachten wir nur der Integral über k 0 :
Z
C1
dk 0
eik x
0
(2π) (k − k+ )(k 0 − k− )
0
0
• x0 < 0 Schließen Integrationsweg über C2 :
Z
C1 ∪C2
dk 0
eik x
=0
(2π) (k 0 − k+ )(k 0 − k− )
0
0
Da kein Pol eingeschlossen wurde (Residuensatz). Weiterhin ist Integral über C2 Null, da
Im(k 0 ) < 0 und somit Re(ik 0 x0 ) < 0. ⇒ G(x) = 0 falls x0 < 0.
• x0 > 0 Nun schließen wir den Integrationsweg über C3 :
Z
C1 ∪C3
eik x
dk 0
= −i
(2π) (k 0 − k+ )(k 0 − k− )
0
0
= e−x
Wobei wir den Residuensatz
Z
dz f (x)
= f (z0 )
2πi z − z0
0
0
eik+ x
eik− x
+
k+ − k− ) k− − k+
0
!
sin(|~k|x0 )
|~k|
(f (z) analyt in C)
genutzt haben.
Zusammenfassend finden wir
G(x) = Θ(x0 )
1
(2π)3
Z
d3 k
sin(|~k|x0 ) −i~k·~x
e
|~k|
Zur Berechnung dieses Integrals gehen wir zu Kugelkoordinaten im ~k-Raum über und legen ~e3 k~x,
sodass
~k · ~x = |~k||~x| cos θ
k = |~k|, r = |~x|
Z
Z
∞
1
Θ(x0 )
⇒ G(x) =
dk
d(cos θ) k sin(kx0 )e−ikr cos θ
(2π)2 0
−1
Z
Θ(x0 ) ∞
=
dk sin(kx0 ) sin(kr)
2π 2 r 0
109
IX Erzeugung und Abstrahlung von Wellen
Das verbleibende Integral ist eine gerade Funktion von k, sodass wir es ins Negative fortsetzen können:
Z
Z
0
0
1 ∞
−1 ∞
0
dk sin(kx ) sin(kr) =
dk eikx − e−ikx
eikr − e−ikr
2 −∞
8 −∞
Z
0
0
0
0
1 ∞
dk eik(x +r) + e−ik(x +r) − eik(x −r) − e−ik(x −r)
=
8 −∞
π
= − δ(x0 + r) − δ(x0 − r)
2
wobei im letzten Schritt
1
2π
Z
∞
dke±ikx = δ(x)
−∞
benutzt wurde.
Da für x0 > 0 das Argument der δ-Fkt δ(x0 + r) niemals verschwindet, liefert der erste Term keinen
Beitrag zu G(x). Es folgt somit
G(x − x0 ) =
1
θ(t − t0 )
δ[c(t − t0 ) − |~x − ~x0 |]
4π |~x − ~x0 |
(IX.3)
wie zuvor. Dies ist die retardierte Green’sche Funktion. In der Tag können wir nun Θ(t−t0 ) weglassen,
da die δ-Funktion auch t − t0 > 0 erzwingt.
Da die Wellengleichung
G(x − x0 ) = δ (4) (x − x0 )
invariant unter Zeitkumkehr (Zeitspiegelung T x = (−x0 , ~x)) ist, ist auch
Gav (x − x0 ) = G(T (x − x0 ))
1
1
Gav (x − x0 ) =
δ[c(t − t0 ) + |~x − ~x0 |]
4π |~x − ~x0 |
eine mögliche Green’sche Funktino die G = δ löst. Diese erhält man für Wahl der Pole unterhalb
der reellen Achse.
Die retardierte Green’sche Funktion ist unphysikalisch, da ihr Träger im Rückwärtslichtkegel liegt.
Mithilfe der Green’schen Funktion lässt sich nun die allgemeine Lösung für Vektorpotential Aµ (x)
angeben, falls Quellen j µ (x) bekkant sind
Z
µ0
1
Aµ (x) =
d4 x0
δ(c(t − t0 ) − |~x − ~x0 |)j µ (ct0 , ~x0 )
(IX.10)
4π
|~x − ~x0 |
Die Zeitintegration kann nun ebenfalls ausgeführt werden und liefert
µ0
A (ct, ~x) =
4π
µ
Z
d3 x0
j µ (ct − |~x − ~x0 |, ~x0 )
|~x − ~x0 |
(IX.11)
~ hat formal dieselbe Gestalt wie in der
Das gefundene Elektromagnetisches Potential Aµ = (φ/c, A)
Statik. Allerdings hängt das Potential zur Zeit t nur von Stromdichten zu früherer (retardierten)
Zeiten
ctret = ct − ~|x − ~x0 | ≤ ct
ab.
110
IX.3 Strahlungsfeld zeitlich oszillierender Quellen
IX.3 Strahlungsfeld zeitlich oszillierender Quellen
Betrachten nun ein zeitlich oszillierendes System von Ladungen und Strömen in einem begrenzten
Raumbereich. Diese Situation wird von drei Skalen geprägt:
r = |~x| Entfernung
d Ausdehnung der Quelle
λ Wellenlänge der Quellenoszillation
Wir können das exakte Vektorpotential (IX.11) näherungsweise auswerten, wenn wir annehmen, dass
und
rd
r λ.
D.h. wir befinden uns in der Fernzone einer kleinen Quelle. Dann:
r
r02
~er · ~x0
0
|~x − ~x | = r 1 + 2 − 2
r
r
= r − ~er · ~x0 + O(d2 /r)
Für das 4er Vektorpotential folgt in dieser Näherung
Z
µ0 1
µ
d3 x0 j µ (ct − r + ~er · ~x0 , ~x0 ) + O(1/r2 )
A =
4π r
~
bzw. für das skalare und Vektorpotential (Aµ = (φ/c, A))
Z
1 1
d3 x0 ρ(ct − r + ~er · ~x0 , ~x0 )
φ(ct, ~x) =
4πε0 r
Z
µ0 1
~
A(ct,
~x) =
d3 x0~j(ct − r + ~er · ~x0 , ~x0 ).
4π r
(IX.12)
~ und E-Feldes:
~
Hieraus bestimmen wir nun die führenden 1/r-Terme des BZ
~ =∇
~x×A
~ = µ0 1 d3 x0 ∇
~ x × ~j(ct − r + ~er · ~x0 , ~x0 ) + O(1/r2 ).
B
4π r
Hierbei haben wir die Ableitung auf 1/r vernachlässigt, da diese O(1/r2 ) ist.
∂
~ x × ~j(ct − r + ~er · ~x0 , ~x0 ) = ∇(r)
~
∇
× ~j(ct − r + ~er · ~x0 , ~x0 ) +O(1/r2 )
| {z } |∂r
{z
}
~
er
~ =−
⇒B
µ0 1
~er ×
4πc r
Z
− 1c
∂ ~
∂t j
d3 x0 ∂t~j(ct − r + ~er · ~x0 , ~x0 )
111
IX Erzeugung und Abstrahlung von Wellen
Aus Vergleich mit (IX.12) sehen wir daher
~ = − 1 ~er × A
~˙
B
c
(IX.13)
~ nach (IX.12) berechnet wird. Das elektrische Feld in der Fernzone bestimmt man leicht aus
wobei A
(IX.13) mittels der (dort) quellenfreien Maxwellglg.
~˙ = c2 ∇
~ × B.
~
E
~˙ gilt
Für den führenden 1/r-Term von E
~˙ = −c∇
~ × (~er × A)
~˙ = ~er × (~er × A)
~¨ + O(1/r2 ).
E
Daraus folgt bis auf statischen Anteil das elektrische Feld
~ = ~er × (~er × A)
~˙ = −c ~er × B
~ .
E
(IX.14)
~ ⊥B
~ ⊥ ~er . Die Ausbreitungsrichtung ist ~er .
D.h. wir haben eine Kugelwelle: E
Monochromatische Quelle
~ lässt sich im monochromatischen Fall noch etwas vereinfachen. Sei
Das genäherte Vektorpotential A
~j(~x, t) = eiωt~j(~x) und wir nehmen eine Fourierzerlegung des räumlichen Anteils ~j(~x) an:
Z
~
~j(~x) = 1
d3 ke−ik·~x~j̃ (~k).
(2π)3
Dann folgt für
~j(ct − r + ~er · ~x0 , ~x0 ) = eiω(t−r/c)
Z
d3 k −i(~k−ω/c
e
(2π)3
~
er )·~
x0~
j̃ (~k).
Setzt man dies in (IX.12) ein folgt
Z 3 3 0
d kd x −i(~k−ω/c ~er )·~x0~ ~
~ = µ0 eiω(t−r/c)
A
e
j̃ (k)
4πr
(2π)3
Z
ω µ0 iω(t−r/c)
e
d3 k δ ~k − ~er ~j̃ (~k)
=
4πr
c
µ0 iω(t−r/c)~ ω
~
A(ct,
~x) =
e
j̃ ( ~er )
4πr
c
(IX.15)
Das Potential (und die Felder) schwingen retardiert mit ω, die Amplitude ist durch die Fouriertrans~ und B
~ folgt unmittelbar mit (IX.13)
formation der Stromdichte mit Impuls ~q = ωc ~er bestimmt. Für E
und (IX.14)
~ = − 1 ~er × <(A)
~˙ = µ0 ω = ~er × ~j̃ ω ~er eiω(t−r/c)
B
c
4πcr
c
und
~ = −c~er × B.
~
E
112
IX.4 Multipolentwicklung
IX.4 Multipolentwicklung
In der Fernzonennäherung hatten wir r d, λ angenommen und dadurch
~j(ct − |~x − ~x0 |, ~x0 ) ≈ ~j(ct − r + ~er · ~x0 , ~x0 )
ersetzt. Eine Hierarchie der Längen λ und d wurde nicht bestimmt (λ ∼ c∆t). Nun nehmen wir
zusätzlich zu r d und r λ an, dass
λd
ist. D.h., dass sich die Stromdichte ~j während der Zeitdauer d/c, die das Licht zur Durchquerung
des Senders benötigt, kaum ändert. Dann können wir den Integranden des Vektorpotentials (IX.12)
entwickeln zu
0
~j(ct − r + ~er · ~x0 , ~x0 ) = ~j(ct − r, ~x0 ) + ~er · ~x ∂t~j(ct − r, ~x0 ) + ...
c
~
Dies führt zu der Multipolentwicklung von A:
Z
Z
µ0
µ0
3 0~
0
~
d x j(ct − r, ~x ) +
d3 x0 (~er · ~x0 )∂t~j(ct − r, ~x0 ) +...
A(ct, ~x) =
4πr
4πcr
{z
} |
{z
}
|
~1
A
~2
A
wobei
~ 1 (ct, ~x) : Elektrische Dipolstrahlung
A
~ 2 (ct, ~x) : Elektrische Quadrupolstrahlung und magnetische Dipolstrahlung
A
Elektrisches Dipolfeld.
In der Statik war das Integral
Z
d3 x ~j(~x) = 0 ,
~ · ~j 6= 0 gilt.
in der Dynamik ist dies nun nicht mehr der Fall, da ∇
Überlegung:
g beliebiges skalares Feld
Z
Z
Z
~ · g~j = d3 x (∇g)
~ · ~j + g (∇
~ · ~j ) ,
0=
df~ · g~j = d3 x ∇
∂V
V
V
V bezeichnet hier ein genügend groß gewähltes Integrationsgebiet, sodass ~j ∂V = 0 gilt. Mittels der
~ · ~j = −ρ̇ folgt
Kontinuitätsgleichung ∇
Z
Z
3
~
~
d x (∇g) · j = d3 x g ρ̇ .
Wählen wir nun g = xi für i ∈ {1, 2, 3}, so lernen wir, dass
Z
Z
d3 x0 ~j(ct − r, ~x 0 ) = d3 x0 ~x 0 ρ̇(ct − r, ~x 0 ) = p~˙(ct − r)
113
IX Erzeugung und Abstrahlung von Wellen
mit dem zeitabhängigen Dipolmoment p~(t) aus Kapitel II. In der Approximation r λ d finden
~ 1 (~x, t):
wir somit den folgenden Ausdruck für das Vektorpotential A
~ 1 (ct, ~x) = µ0 1 p~˙(ct − r)
A
4π r
(IX.16)
Das zeitabhängige elektrische Dipolmoment erzeugt in der Wellenzone ein Vektorpotential, welches
wie 1/r abfällt. Die Zeitabhängigkeit wird durch p~(t) bestimmt, allerdings retardiert um die Laufzeit
r/c vom Ursprung zum Beobachtungspunkt.
Magnetisches Dipol- und elektrisches Quadrupolfeld. Um den zweiten Term der Multipolentwick~ 2 besser zu verstehen, müssen wir das Integral
lung A
Z
d3 x0 (~er · ~x 0 )~j(ct − r, ~x 0 )
analysieren.
Überlegung:
x0i jk =
1
1
1 0
~ x0 x0k x0i · ~j + 1 εikl (~x 0 × ~j)l
xi jk + x0k ji + x0i jk − x0k ji = ∇
2
2
2
2
Damit folgt
Z
d3 x0 x0i jk =
1
2
Z
~ x0 x0k x0i · ~j + εikl ml =
d3 x0 ∇
Z
d3 x0
x0k x0i
ρ̇ + εikl ml ,
2
wobei wir im letzten Schritt noch einmal die im Abschnitt “Elektrisches Dipolfeld” hergeleitete
Identität benutzt haben mit g = x0k x0i . Mit dem magnetischen Dipolmoment m(t)
~
und den elektrischen
Quadrupolmomenten Qij (t)
Z
Z
1
3 0
0
0
~
m(t)
~
=
d x ~x × j(~x , t)
Qij (t) = d3 x0 3x0i x0j − ~x 02 δij ρ(~x 0 , t)
2
folgt
Z
Z
1
1 ˙
~
− r) + ~er d3 x0 ~x 02 ρ̇(~x 0 , ct − r) ,
d3 x0 (~er · ~x 0 )~j(ct − r, ~x 0 ) = Q̂(ct − r)~er − ~er × m(ct
6
6
(+)
wobei
Q̂(ct − r)~er
Eingesetzt in die Ausgangsgleichung
~ 2 (ct, ~x) = µ0 1
A
4πc r
Z
i
= Qij (ct − r)
xj
.
|~x|
d3 x0 (~er · ~x 0 )∂t~j(ct − r, ~x 0 )
benutzen wir zunächst, dass der letzte sich aus (+) ergebende Term, falls wir eine monochromatische
Quelle mit Zeitabhängigkeit der Form ρ(ct, ~x0 ) = eiωt ρ(~x0 ) annehmen, bis auf Terme der Ordnung
1/r2 ein Gradientenfeld ist:
Z
Z
1
eikr
~er d3 x0 ~x 02 ρ̈(ct − r, ~x 0 ) = −ω 2
~er d3 x0 ~x 02 ρ̈(ct − r, ~x 0 )
r
r
ikr Z
~ e
= −ω 2 c∇
d3 x0 ~x 02 ρ̈(ct, ~x 0 ) + O r12 ,
r
114
IX.4 Multipolentwicklung
da
~
∇
eikr
r
= ~er ik
eikr
1
[1 + O( ) ].
r
r
~ und B-Feld
~
D.h., er trägt zum Enicht bei und kann für deren Berechnung zum Beispiel durch eine
~ 2 (~x, t) erhalten wir also den folgenden
Umeichung fallengelassen werden. Für das Vektorpotential A
Ausdruck:
1¨
~ 2 (ct, ~x) = µ0 1 m(ct
~˙
− r) × ~er + Q̂(ct − r)~er
A
4πc r
6
(IX.17)
Zusammenfassung Multipolentwicklung. Für die Wellenzone r λ d ergeben sich die elektromagnetischen Felder aus den zeitlichen Ableitungen (zweiter und dritter Ordnung) der Dipol- und
Quadrupolmomente.
... 1
~ = − µ0 1 ~er × p~¨ + 1 m
~¨ × ~er + 6c
B
Q̂~er (ct − r)
4π cr
c
... ¨ + 1 ~er × Q̂~er (ct − r)
~ = µ0 1 ~er × c~er × p~¨ + m
E
~
4π cr
6
D.h., die Dipole müssen sich beschleunigt verändern, die Quadrupole sogar in dritter Zeitableitung.
115
IX Erzeugung und Abstrahlung von Wellen
IX.5 Abgestrahlte Leistung
Zur Berechnung der abgestrahlten Leistung der Dipol- und Qudrupolstrahlung müssen wir den
Poynting-Vektor bestimmen
~ = 1 (E
~ × B)
~
S
µ0
(SI-Einheiten)
~ B
~ und ~er ein orthogonales Dreibein bilden, gilt nun
Da E,
~ = c |B|
~ 2 ~er = 1 |E|
~ 2 = 0 c |E|
~ 2 ~er
S
µ0
µ0 c
Für die in den Raum abgestrahlte Leistung P pro Raumwinkel gilt nun
dP
~ · ~er = c0 r2 |E|
~ 2 = c r2 |B|
~ 2
= r2 S
dΩ
µ0
und damit folgt
2
dP
1 ¨
1 ...
µ0 ¨
~er × (p~ + m
~ × ~er + [Q̂~er ])
=
2
dΩ
16π c
c
6c
(IX.18)
Konzentrieren wir uns zunächst nur auf die reinen Dipolbeiträge so ergibt sich
2
1
2
¨
~er × (p~¨ + 1 m
~ × ~er ) = |~er × p~¨|2 + 2 |~er × (m
~¨ × ~er )|2 + (~er × p~¨) · ~er × (m
~¨ × ~er )
{z
} c |
{z
}
c
c |
¨ 2 −|m·~
¨ er |2
=|m|
~
~
¨)·m
¨
=(~
er ×p
~
~
D.h. dies abgestrahlte Leistung der Dipolbeiträge setzt sich aus den drei Termen zusammen:
dPel
dPmag
µ0
dP
=
+
+ 2 2 ~er · (p~¨ × m)
~¨ .
dΩ
dΩ
dΩ
8π c
Für die ersten beiden Beiträge finden wir dann
i) Elektrischer Dipol
dPel
µ0
µ0 ¨2
=
|~er × p~¨|2 =
p~ sin2 θ
(IX.19)
2
dΩ
16π c
16π 2 c
wobei θ der Winkel zwischen ~er und p~ ist. D.h. der elektrische Dipol strahlt am stärksten
senkrecht zu seiner Achse, enlang der Dipolachse wird nichts ausgestrahlt.
Integrieren wir über alle Richtungen mit
Z
Z
2
dΩ sin θ = 2π
π
dθ sin3 θ =
0
8π
3
so folgt die gesamte abgestrahlte Leistung eines elektrischen Dipolstrahlers zu
Pel. Dipol =
116
µ0 ¨ 2
p~
6πc
(IX.20)
IX.5 Abgestrahlte Leistung
ii) Magnetischer Dipol Hier gehen wir aus von der Beziehung
dPmag
µ0
(m
~¨ 2 − |m
~¨ · ~er |2 )
=
dΩ
16π 2 c3
mit m
~¨ · ~er = |m|
~¨ cos θ folgt wiederum (1 − cos2 θ = sin2 θ):
dPmag
µ0 ¨ 2
m
~ sin2 θ
=
dΩ
16π 2 c3
(IX.21)
und die in alle Richungen abgestrahlte Leistung lautet
Pmagnet. Dipol =
µ0 ¨ 2
m
~
6π c3
(IX.22)
iii) Interferenzterm
Hier haben wir
dPint
µ0
=
~er · (p~¨ × m)
~¨
dΩ
8π 2 c2
und bemerken lediglich, dass er nicht beiträgt falls p~¨ k m
~¨ ist
iv) Quadrupol
Wir betrachten abschliessend noch den Sonderfall, dass wir es mit einem reinen Quadrupolstrahler zu tun haben, d.h. mit einer Ladungsdichte und Stromdichte deren Dipolmomente
verschwinden. In diesem Fall ergibt sich die abgestrahlte Leistung zu
... 2
dPquadro
µ0
=
Q̂~er 2
3
dΩ
36 · 16 π c
Ist die Ladungsverteilung um die z-Achse drehinvariant so hat der Quadrupoltensor Qij
Diagonalform
1
Q = Q0 (t) diag(−1, −1, 2) ,
2
und man findet für die abgestrahlte Leistung pro Raumwinkel den Ausdruck
dPquadro
9µ0 ...2
Q (t) sin2 θ cos2 θ
=
dΩ
256 π 2 c3 0
(IX.23)
D.h. hier ist die Strahlungscharakteristik so, dass in der Symmetrieachse z und Symmetrieebene
x − y keine Strahlung ausgesandt wird, dafür aber in die Richtungen θ = π/4 und θ = 3π/4 die
abgestrahlte Lesitung maximal wird.
117
IX Erzeugung und Abstrahlung von Wellen
IX.6 Liénard-Wiechert Potentiale
Wir wollen nun den wichtigen Fall des durch eine bewegte Punktladung q hervorgerufenen elektromagnetischen Feldes analysieren. Dies basiert auf der Auswertung der allgemeinen Lösung für Aµ (~x, t)
aus (IX.10). Wir gehen aus von den Dichten einer bewegten Punktladung
~
~˙ δ (3) ~x − R(t)
~
~j(~x, t) = q R(t)
ρ(~x, t) = q δ (3) ~x − R(t)
,
,
~
wobei R(t)
die Trajektorie des Teilchens im Raum als Funktion der Zeit ist. In der 4er-Notation ist
dies
~
~˙ ) .
j µ = q v µ (t) δ (3) ~x − R(t)
, wobei v µ = (c, R(t)
Setzen wir dies in (IX.10) ein und integrieren über d3 x0 so finden wir:
Z
~
µ0 qc
δ(c(t − t0 ) − |~x − R(t))
dt0
v µ (t0 ) .
Aµ (~x, t) =
0
~
4π
|~x − R(t )|
(IX.24)
Um die t0 -Integration auszuführen benötigen wir die Delta-Funktions Relation
δ[f (t0 )] =
N
X
j=1
1
δ(t0 − tj )
˙
|f (tj )|
wobei die tj (j = 1, . . . , N ) gerade die einfachen Nullstellen der Funktion f sind, vergleiche (I.2). In
unserem Fall haben wir
f (t0 ) = ct − ct0 − r(t0 ) ,
mit
Weiterhin berechnet man
df (t0 )
dr(t0 )
= −c −
0
dt
dt0
bzw. mit dem Einheitsvektor ~n(t0 ) :=
und
~ 0 )| .
r(t0 ) := |~x − R(t
~ 0 )) · R(t
~˙ 0 )
dr(t0 )
(~x − R(t
=
−
~ 0 )|
dt0
|~x − R(t
~ 0)
~x − R(t
der vom Sender zum Empfänger zeigt haben wir
~ 0 )|
|~x − R(t
~ 0) ] ,
f˙(t0 ) = −c [1 − ~n(t0 ) · β(t
~ = 1 R(t)
~˙ .
β(t)
c
~ 0 )| < 1 ist f˙(t0 ) < 0, d.h. f ist monoton fallend. Somit hat diese
Da für massive Teilchen stets |β(t
Funktion höchstens eine Nullstelle t = tret welche Lösung von
c tret = c t − r(tret )
(IX.25)
Diese implizite Gleichung für die retardierte Zeit tret , die den Zeitpunkt angibt zu dem das bei ~c
und t empfangene Signal vom Emitter ausgesandt wurde. Nach diesen Überlegungen können wie die
t0 -Integration in (IX.24) ausführen und erhalten
Aµ (~x, t) =
µ0
q v µ (tret )
,
~ ret ) ]
4π r(tret ) [1 − ~n(tret ) · β(t
(IX.26)
mit den Definitionen
~
r(t) = |~x − R(t)|
,
118
~n(t) =
~
~x − R(t)
,
r(t)
~˙
~ = R(t) ,
β(t)
c
~˙
v µ = (c, R(t))
IX.7 Feldstärken einer bewegten Punktladung
Für die Kopmponenten erhält man dann das skalare und Vektorpotential in nicht-relativistischer
Schreibweise zu
q
1
φ(~x, t) =
,
~ ret ) ]
4π0 r(tret ) [1 − ~n(tret ) · β(t
~ ret )
q β(t
~ x, t) = µ0
.
A(~
~ ret ) ]
4π r(tret ) [1 − ~n(tret ) · β(t
(IX.27)
Dies sind die Lienard-Wiechert Potentiale1 .
IX.7 Feldstärken einer bewegten Punktladung
~ und B,
~ die sich aus den Lienard-Wiechert Potentialen
Physikalisch relevant sind die Feldstärken E
ergeben. Hierzu müssen wir etwas kompliziertere partielle Ableitungen in Zeit und Raumkoordinaten
bilden.
• Ableitung der retardierten Zeit nach t:
∂tret
∂r(tret )
~ ret ) ∂tret
= 1−
= 1+~n(tret )·β(t
∂t
∂t
∂t
• Weiterhin ist
~ ∂r(tret )
~n · β
=−
c
∂t
κ
t=tret
⇒
∂tret
1
=
∂t
κ(tret )
mit
~
κ(t) := 1+~n(t)·β(t)
1 c
∂κ(tret )
~ 2 − ~n · β
~˙ =
(~n × β)
∂t
κ r
t=tret
~ zu
• Hieraus folgt die zeitliche Ableitung von A
~˙ =
A
1 q β~
1 q 1 ~˙
~ × β)
~˙ (~n · β~ − β~ 2 ) +
β + ~n × (β
2
3
3
4π0 r κ
4π0 rc κ
t=tret
• Für die räumlichen Ableitungen (bei festem t) findet man aus der Bestimmungsgleichung (IX.25)
∂r(tret )
∂tret
=c
∂xi
∂xi
(IX.28)
andererseits ergibst sich aus der direkten Ableitung von r(tret )
∂r(tret )
~ ret )| = ni (tret )− ∂r ∂tret
= ∇i |~x−R(t
∂xi
∂tret ∂xi
In der Kombination mit (IX.28) folgt nun
~ ret = − 1 ~n ∇t
c κ t=tret
⇒
⇒
~ t=t c ∇t
~ ret ) = ~n(tret )−(~n·β)|
~ ret .
∇r(t
ret
~ ret ) = ~n(tret )
∇r(t
κ(tret )
• Schließlich leitet man mithilfe der Kettenregel ab, dass
1
~˙ ~n − 1 (β
~ + (~n · β)
~ (~n − β)
~ + β~ 2 ~n )
~
∇κ(t
(~n · β)
ret ) =
κc
κr
und für den Gradienten des skalaren Potentials erhält man dann
q q
~ − β~ × (~n × β)
~ − 1
~˙ ~n .
~ =− 1
∇φ
~
n
−
β
(~n · β)
2
3
4π0 r κ
4π0 rcκ3
1 (Emil
Wienert, Deutschland, 1861-1928; Alfred Marie Lienard, Frankreich, 1869-1958)
119
IX Erzeugung und Abstrahlung von Wellen
~ = −A
~˙ − ∇φ
~ zu
In der Summe ergibt sich dann das elektrische Feld E
~ x, t) =
E(~
i
1 q h 1 − β~ 2
~ + 1 ~n × [(~n − β)
~ × β]
~˙ (~
n
−
β)
4π0 κ3
r2
rc
t=tret
~ =∇
~ ×A
~ benötigen wir die Relation
Für die Berechnung des Magnetfeldes mittels B
~˙ .
~ × β~ = − 1 (~n × β)
∇
κc
Man etabliert dann das Ergebnis
h
i
~2
~ + 1 ~n × [β~˙ + ~n × (β~ × β)]
~˙ ~ x, t) = − µ0 cq 1 − β (~n × β)
B(~
4πκ3
r2
rc
t=tret
Wir erinnern nochmals an die verwendeten Abkürzungen
~
r(t) = |~x − R(t)|
,
~n(t) =
~˙
~ = R(t) ,
β(t)
c
~
~x − R(t)
,
r(t)
~ .
κ(t) = 1 − ~n(t) · β(t)
Beispiele
i) Gleichförmig bewegtes Teilchen
~ = ~v t und müssen zur Bestimmung der retardierten Zeit die quadratische Gleichung
Hier haben wir R
(tret − t)2 =
1
(~x − ~v tret )2
c2
nach tret auflösen. Das Ergebnis ist
c tret =
i
p
γh
x · u ± (x · u)2 − c2 x2
c
(IX.29)
mit der Vierergeschwindigkeit uµ = (γ c, γ ~v ) und γ −2 = 1 − ~v 2 /c2 . Da t > tret sein muss, kommt hier
als physikalische Lösung nur das negative Vorzeichen in Frage. Um das Potential zu finden benötigen
wir ferner den Nenner in (IX.26):
p
(x · u)2 − c2 x2
~
~
rtret (1 − ~n(tret ) · β(tret )) = |~x − ~v tret | −(~x − ~v tret ) β =
| {z }
γc
c(t−tret )
und somit folgt für das Potential
Aµ (~x, t) =
q uµ
µ0
p
4π (u · x)2 /c2 − x2
mit uµ = (γc, γ~v ) .
(IX.30)
˙
Um die Feldstärken zu finden bemerken wir, dass die Bescchleunigungsterme ∝ β~ hier nicht beitragen.
Wir benötigen noch den Ausdruck
~ t = ~x − ~v tret − (t − tret ) ~v = ~x − ~v t
r(~n − β)|
ret
und es folgen das elektrische und magnetische Feld einer gleichförmig bewegten Punktladung
~x − ~v t
~ x, t) = qγ
E(~
4π0 [(u · x)2 /c2 − x2 ]3/2
~v × ~x
~ x, t) = µ0 qγ
B(~
4π [(u · x)2 /c2 − x2 ]3/2
120
IX.7 Feldstärken einer bewegten Punktladung
ii) Schwingendes geladenes Teilchen
Nun lassen wir ein Teilchen der Ladung q harmonisch mit der Amplitude d um den Ursprung
schwingen. Dann haben wir
~
R(t)
= d sin(ωt) ~ez
β~ = k d cos(ωt) ~ez
mit k = ω/c. Nun wollen wir uns auf das Fernfeld konzentrieren, d.h. annhemen, dass r = |~x| d ist.
Dann gelten die Näherungen:
tret ∼ t −
r
c
r(tret ) = r(1 −
z
zr )
r2
~ t ∼ (z − zr ) żr
r ~n · β|
ret
c
r
mit zr := d sin[ω(t − )]
c
Für die Entwicklung der Nenner der Potentiale folgt nun
1
z żr
1
z zr
∼
1+ 2 +
~ tret
r
r
cr
r(1 − ~n · β)
und wir finden die Potentiale in der Fernfeldnäherung:
i
1 h q qd
qdω
+ 2 cos θ sin(ωt − kr) +
cos θ cos(ωt − kr)
4π0 r
r
rc
zr
A3 ∼ 2 φ
c
φ∼
(IX.31)
121