a+¾

PR1
Inhaltsverzeichnis
I. Einführung
1. Qubits
2. Quantengatter mit einzelnen Qbits
3. Entanglement und der Dichteoperator
4. Multi‐Qubit‐Gatter
5. Das EPR‐Argument und die Bell‐sche
Ungleichung
II. Physikalische Realisierungen: Cavity QED und Ionenfallen
1. WW von Atom mit EM‐Feld
2. Quantisierung des EM‐Feldes
3. Jaynes Cummnigs Hamiltonian
4. Entanglement und EPR‐Korrelationen
5. Quantengatter Tourchette
6. Abschliessende Bemerkungen
7. Ionenfallen
8. QM‐Beschreibung eines Ions
9. CNOT mit Ion
III. Quantenalgorithmen
1. Deutsch‐Jozsa‐Algorithmus mit Exp.
2. Shor‐Algorithmus
3. QFT
4. Grover‐Algorithmus
IV. Dekohärenz und Quantenfehler
1. Quantenoperationen
2. Operatorsummenzerlegung
3 Mastergleichung
3.
M t l i h
4. Fehlerkorrektur
5. Fehlervermeidung
V Quantensimulation
V. Quantensimulation
1. Motivation
2. Simulation von Quantensystemen
VI. Minikonferenz
VI. Minikonferenz
II. Physikalische Realisierungen
Was ist der optimale Informationsüberträger?
Photon mit 2 Polarisationen
Photonen wechselwirken aber nicht miteinander!
fl nichtlineares Element, z.B. Atom
Aber wie speichert man Informationen lange?
z.B.: Kernspin, interner Zustand, Flux
z.B.: Kernspin, interner Zustand, Flux
Atom, Ion, Charge/Flux Qbit. Manipulation: em‐Feld/Photonen.
Modellsystem: Cavity‐Quantenelektrodynamik (Cavity‐QED)
1 Ph t
1 Photon wechselwirkt optimal mit 1 Atom
h l i kt ti l it 1 At
fl wenig Dekohärenz
PR2
II.1 Wechselwirkung Atom mit klassischem em.‐Feld
Siehe Chris Foot, Kapitel 7
PR3
II.2 Quantisierung des em‐Feldes
PR4
Klassisches em‐Feld mit Moden kj=jp/L, j=1, 2, 3
E = ~ex C q(t) sin(kz)
@E
~
~
Maxwellglg.: r £ B = ¹0 ²0
@t
@
@
Bz ¡ By = ¹0 ²0 C q(t)
_ sin(kz)
@y
@z
| {z }
Single‐Mode Feld: =0
By = ¹0 ²0 C q(t)
_ cos(kz)=k
H =
=
1
2
Z μ
1
V
2
²0 E 2 +
V
0
¶
2
B
¹0
dV
1
B 1
2C
q(t)
_
1
B
C
²0 C 2 q(t)2 +
²0 C 2
dV
B
2 C
2
2
k
@ |{z}
A
|{z}
{z
{z
R
R
sin2
cos2
… Quantisierung
PR5
μ
Energie: H =
H =
q(t)
_ 2
¶
1
1
1
V
²0 C 2 q(t)2 + ²0 C 2
2
2
2
k2
0
1
!2 Ãr
!2 C
B Ãr
2
2
C
1B
V ²0 C
V ²0 C
B! 2
C
q(t)
+
c
¢
q(t)
_
B
C
2
2
2@
2!
2!
A
|
{z
} |
{z
}
=:X2
r
Wenn wir C so wählen, dass
1 2 2
H = (! X + P 2 )
2
=:P2
V ²0 C 2
= 1 dann gilt:
2~! 2
was formal so aussieht wie ein harmonischer Oszillator mit m=1.
^ P^ ] = i~
Jetzt quantisieren wir das Lichtfeld, indem wir pauschal fordern: [X;
Das ist zwar nicht intuitiv, aber es klappt! C. Gerry, P. Knight, Introductory Quantum Optics, Kap. 2.1, Mat. 4
… Quantisierung
Es ist dann
PR6
1
^ + iP^ );
(! X
2~!
a
^y = p
^ =
!X
~!
~
(a + ay );
2
P^ = ¡i
H =
1 2 2
(! X + P 2 )
2
a
^= p
r
Einsetzen von in
in ergibt:
1
H = ~
~!(a
( ya + )
2
1
Hjni
j i = ~!(n
( + ) jjnii
2
p
ay jni =
n + 1 jn + 1i
p
ajni =
n jn ¡ 1i
1
^ ¡ iP^ )
(!X
2~!
r
~!
~
(a ¡ ay )
2
mit
i den
d Eigenzustaenden
Ei
d
Die Feldquanten des elektromagnetischen Feldes heißen „Photonen“, die Operatoren a+ und a erzeugen bzw. vernichten sie.
Operatoren a
und a erzeugen bzw vernichten sie
Wie groß ist das elektrische Feld pro Photon?
Energiedichte U
1
~!
2
2
2
=
(²0 E! + B! =¹0 ) = ²0 E! =
2
V
r
~!
) E! =
²0 V
r
~!
) E(z;
E( t) =
( + ay ) sin(kz)
(a
i (k )
²0 V
PR7
II.3 Jaynes‐Cummings‐Hamiltonian
PR8
Idee: Absorption eines Photons bringt ein Atom von |0Ú nach |1Ú
Emission |1Ú nach |0Ú
μ
Auf‐ und Absteigoperatoren für das Atom: ¾ +
=
¾¡ =
H
~!0
y
y ¡
+
+
g(a
=
¾z + ~!a
a
¾
+
a¾
)
| {z } |
{z
}
2
| {z }
Feld
Atom
H
1
0
(¾x + i¾y ) =
0
2
μ
1
0
(¾x ¡ i¾y ) =
1
2
¶
1
0
¶
0
0
^ = ay a + ¾z =2
mit N
Atom-Feld-Kopplung
¢
^
= ~!N
~! N + ¾z + g(ay ¾ ¡ + a¾ + )
2
r
^
mit g = jhgjdjeij
jhgjdjeij
~!
²0 V
N=Anzahl der Anregungen (Photonen+angeregte
g g (
g g Atome))
D=w0‐w
N & C: 7.5.2
Herleitung Jaynes‐Cummings
PR9
.
H = HAtom
+ HFeld
At
F ld +
^¢ E
^
d
| {z }
Atom-Feld-Kopplung
~!0
^ ij( ¾ + + ¾ ¡ ) ¢
=
~ {zy a} +jhgjdjeij(
jh jdj
¾z + |~!a
|{z} |{z}
| 2{z }
Feld
Atom
jeihgj
jgihej
r
~!
( + ay )
(a
²0 V
r
~!
~!0
y
+
¡
y
^
=
¾z + ~!a a + g(¾ + ¾ ) ¢ (a + a ) mit g = jhgjdjeij
2
²0 V
T
Terme
mit
i ¾ + ay ; ¾a verschwinden,
h i d
rotating
i wave approximation
i
i
~!0
=
¾z + ~!ay a + g(ay ¾ ¡ + a¾ + )
2
Eigenenergien
¢
^
H = ~! N + ¾z + g(ay ¾ ¡ + a¾ + )
2
μ
p
¶
~
¢
2 n+1
2g
p
= ~!(n + 1) +
¡¢
2 2g n + 1
In der Basis {|n+1,gÚ, |n,eÚ} ({Photonenzahl, Atomzustand})
~p 2
¢ + 4gg 2 ((n + 1)) + ~!(n
( + 1))
Eigenenergien E§ = §
2
1
Eigenvektoren auf Resonanz: D=0 j§in+1 = p (jg; n + 1i § je; ni)
2
PR10
Levelschema
.
Transmission?
PR11
Kopplung trennt ursprünglich entartete Energieniveaus.
Die Aufspaltung heißt Vakuum‐Rabi‐
Splitting. Warum?
Angeregtes Atom fällt durch cavity
.
PR12
Experiment: Serge Haroche et al.
PR13
Fragen:
1. Warum Rydberg‐Atome?
2. Woraus macht man einen Mikrowellen‐Resonator?
3. Wie detektiert man?
PR14
M. Brune et al., PRL 76, 1800 (1996)
II.4: 2‐Qbit Gatter mit Jaynes‐Cummings‐WW
PR15
1.) Photonen sind Qbits, „Atome“ erzeugen nichtlineare WW. zw. Photonen
bei Interesse: siehe Nielsen‐Chuang 7.5.3+.4, Experiment: Q. Tourchette, PRL, 75, 4710
2.) „Atome“ sind Qbits
2
) A
“ i d Qbi und Photonen der „Bus“ zwischen ihnen. Die Cavity‐mode
d Ph
d B “ i h ih
Di C i
d
koppelt zwei Qbits.
Cavityy wird nicht gepumpt!
g p p
Kopplung: nur wenn ein Atom im angeregten Zustand, da dann Anregung zwischen Atom1, Lichtfeld und Atom 2 hin‐
i h At 1 Li htf ld d At
2 hi und her springen kann. dh
i
k
Kopplungsstärke: ~g 2 =¢ mit D=Verstimmung Cavity‐Atom, g resonante Kopplung
fl Neue Eigenzustände |≤Ú
Neue Eigenzustände |≤Ú=(|01Ú≤|10Ú)/◊2
(|01Ú≤|10Ú)/◊2 mit Aufspaltung
mit Aufspaltung ¨~g 2 =¢
Was ist die Zeitentwicklung der Basiszustände {|00Ú , |01Ú, |10Ú, |11Ú}?
¡iH=~ t
e
g2
1
1 i g2 t
¡i
p (j+i
j01i = e
(j i + j¡i)
j i) = p ((e ¢ j+i
j i + e ¢ t j¡i)
j i)
2
2
·
¸
2
2
g
g
1
g2
g2
i¢t
¡i ¢ t
=
(e
(j01i + j10i) + e
(j01i ¡ j10i) = cos( t)j01i + sin( t)j10i
2
¢
¢
¡iH=~ t
Angelehnt an L. DiCarlo et al., Nature 460, 240 (2009)
A. Blais et al., Phys. Rev. A 69, 062320 (2004)
Universelles Gatter iSWAP
H
ei ~
t
0
1
B
B0
= B
@0
0
0
1
B0
= B
@0
0
1
0
0
0
C
g2
g2
g2
¼
cos( ¢ t) i sin( ¢ t) 0C
mit
t
=
C
g2
g2
¢
2
i sin( ¢ t) cos( ¢ t) 0A
0
0
1
1
0 0 0
0 i 0C
C =: iSWAP
i 0 0A
0 0 1
Wenn also die Zustände mit einer Anregung durch die Kopplung über eine Wenn
also die Zustände mit einer Anregung durch die Kopplung über eine
Cavity eine Aufspaltung und nach Zeitentwicklung eine WW‐Phase p/2 erfahren, wird ein universelles 2‐Qbit Gatter realisiert.
Und wie macht man das?
PR16
Experiment: Cavity
PR17
Mikrowellencavity auf einem Chip: Sie besteht aus einem ca. 20mm langen Leiter und 2 „Spiegeln“ (Unterbrüche im Leiter), über die sie an Eingang und Ausgang koppelt.
Schematische Abbildung mit nur einem Atom
•
Einstrahlen von Licht= Anschließen eines Mikrowellengenerators mit Kabeln.
•
Temperatur ca. 100 mK, blaues Material ist supraleitend, keine Verluste.
•
Große E‐Felder beim Atom
Experiment: „Atom“
PR18
Die „Atome“ sind etwas komplizierterer. Stark vereinfachte Erklärung:
•
Insel (grün), auf der n=0e‐, 1e‐ (,2e‐) … zusätzliche Elektronen sitzen können. (a)
•
Kapazitive Kopplung nach links (Cg) und rechts (Cj, durch Oxidschicht):
•
Angelegte Spannung Vg so einstellen, das n=1/2e‐ ideal.
flentartete Zustände: |0e‐Ú und |1e‐Ú
•
(b)
Aber e‐ können auch nach rechts durch Oxidschicht tunneln ‐> Kopplung
(c)
flaufgespaltete Zustände: |0Ú
| :=|0e
| ‐Ú + |1e
| ‐Ú, (das hat nichts mit Cavity zu tun)
und |1Ú :=|0e‐Ú ‐ |1e‐Ú
b)
a)
Vg
Cg
Insel
Tunneln
c)
Cj
Cg
Cj
Vg
Für Interessierte: Nakahara & Ohmi, Experiment: „Atom“, II
•
Die Cavity koppelt über das em‐Feld an das „Atom“ •
Die „atomare“ Resonanzfrequenz |0Ú¨|1Ú kann durch Anlegen eines lokalen Magnetfeldes verändert werden (ohne Erklärung).
•
Wenn beide „Atome“ die gleiche Frequenz haben, kann ein Anregungsquant durch die Cavity von einem zum anderen Qbit springen Aufspaltung z Phase fz und damit universelle 2
und damit universelle 2‐Qbit
Qbit Operation Operation
‐>> Aufspaltung z, Phase f
•
Wenn sie unterschiedliche Frequenz haben, geht das nicht
fl Das 2Qbit Gatter kann man somit an und abschalten!
PR19
Experiment: Chip (mit 1 Qbit)
Grün: Isolator
Silber/hell=Leiter
PR20
Blau: „Atom“ bzw. Qbit
Leiter
Insel
Oxidschicht
Masse
„Spiegel“
1Qbit bzw. „Atom“
A. Wallraff et al., Nature 431, 162 (2004)
II.5 Ionenfallen
PR22
… erstmal phänomenologisch.
Ziel: einzelne Teilchen festhalten, um besser mit ihnen experimentieren zu
können. Hier Ionen, da man über die Ladung starke Kräfte ausüben kann.
Der Qbit‐zustand wird im internen Freiheitsgrad Spin gespeichert.
Problem: In einem statischen elektrischen Feld kann man keine geladenen
Problem
Teilchen speichern (sog. Earnshaw Theorem).
Betrachte Volumen, innerhalb dessen sich das B
t ht V l
i
h lb d
i hd
Potentialminimum befinden soll. Gauss‘scher
Satz:
Z
~ ¢ dA
~ = 0 wenn das Innere frei von Ladung ist
g
E
A
d.h.: genauso viele Feldlinien zeigen in das Volumen
hinein wie hinaus.
hinaus Das Ion wird also an machen
Stellen in das Volumen hin‐, an anderen
hinausgezogen. Ø labiles Gleichgewicht
Nielsen & Chuang, Kap. 7.6, Material 6
Paulfalle (Nobelpreis 1989)
Lösung: Oszillierender Quadrupol mit Frequenz v Ø Mikrobewegung mit v. Kraft außen größer als innen Ø effektive Fallenfrequenz w á v
PR23
Realisierung: Lineare Paulfalle
V0 und U0 erzeugen radialen QuadrupolØ wr
Uc < U0 statisch erzeugt axiales w
g
z
Rechnung der klassischen Dynamik: Nakahara & Ohmi, Kap. 13.3
Einfangen und Kühlen
PR24
Einfangen: Das effektive Ionenfallenpotential (nach Zeitmittelung) ist konservativ. Ionen müssen also in der Falle erzeugt werden, z.B. mit Photo‐Ionisation
Kühlung: Warum: Will Bewegungstemperatur viel kälter als Qbitaufspaltung = Energieunterschied zwischen Spin „|gÚ“ und „|eÚ“
Laserkühlung: Nutze Dopplereffekt aus. Nur Ionen, die auf rotverstimmten Laserkühlung
Nutze Dopplereffekt aus Nur Ionen die auf rotverstimmten
Laserstrahl zufliegen, absorbieren Photon=Rückstoßimpuls. Die spontane Emission mittelt sich weg. fl Kühlung.
Spektrum des oszillierenden Ions in der Falle:
Spektrum des oszillierenden Ions in der Falle:
•
•
Ion absorbiert Photon während es auf Laser zu schwingt und die Dopplerverschiebung k v =m w ist.
Da Gáw, erfolgt die Emission im Mittel bei 2 p
,
g
f0,, das Ion verliert m w Energie fl Seitenbandkühlung.
Quantensprünge
Wie kann man die Population in sehr langlebigem Zustand |1Ú messen, der wenige Photonen streut?
•
|yÚ=a|gÚ + b |eÚ
•
Treibe Übergang |gÚ Ø|pÚ
•
Mit Wahrscheinlichkeit |a|
Mit
Wahrscheinlichkeit |a|2 wird auf wird auf
|gÚ projiziert und Fluoreszenz detektiert
•
Mit Wahrscheinlichkeit | b |2 dunkel
Beispiel: Ca+
1‐Qbit Gatter: Verwende Laserpulse auf Übergang |gÚ ‐ |eÚ
PR25
Ionenfallen
PR26
Control lead
Trapping region
• Chipfallen
PR27
Microfabricated
filter resistor
Filter capacitor
RF electrode
Field lines:
200 um
C t l electrodes
Control
l t d
RF electrodes
Ground
Control electrodes
RF lead
II.6 Quantenmechanische Beschreibung eines Ions in Falle
PR28
Welche Freiheitsgrade hat das Ion?
•
Interne (Hyperfeinzustände)
•
Externe (Schwingungszustände)
Ziel: Ein 2‐Qbit‐System aus einem inter‐
nen und einem externen Qbit
Wechselwirkungs‐H:
E
=
^
H = d^ ¢ E
E0 cos(kz
(k ¡ !tt + Á) = E0 [cos(kz)cos(!t
[ (k ) ( t ¡ Á) + sin(kz)
i (k ) sin(!t
i ( t ¡ Á)]
OrtsabhÄangigkeit, da das Ion ausgedehnt ist, GrundzustandsgrÄ
osse z0
'
kz¿1
'
E0 [(1 ¡ (kz)2 =2 + :::)) cos(!t ¡ Á) + (kz ¡ :::)) sin(!t ¡ Á)]
E0 [cos(!t ¡ Á) + kz sin(!t ¡ Á)]
Ot Q
Orts‐Quantisierung:
ti i
z^ = z0 (a
(^ + a
^y )
a
^y ; a
^
erzeugen oder vernichten d
i ht
Phononen
HI
~Ð
^
mit d =
(¾+ + ¾¡ )
E0
= ~Ð cos(!t ¡ Á)(¾+ + ¾¡ )
PR29
+~Ð kz0 sin(!t ¡ Á) (¾+ + ¾¡ )(ay + a)
|{z}
|
{z
}
´
(¾+ ay +¾+ a+¾¡ ay +¾¡ a)
Lamb‐Dicke Parameter
há1 für Dopplerkühlung so daß wz>G
há1 für Dopplerkühlung, so daß
Berücksichte auch die freie Entwicklung H0 = ~!0 =2 ¾z + ~!z ay a
WW‐Bild mit HI0 = eiH0 t=~HI e¡iH0 t=~
) ¾+ (t) = ¾+ ¢ ei!0 t ;
ay (t) =
ay ¢ ei!z t ;
^
^ e¡iH0 t=~
und O(t)
:= eiH0 t=~ O
¾¡ (t) = ¾¡ ¢ e¡i!0 t
a(t)
= a ¢ e¡i!z t
Sc e be s , cos a s ei u
Schreibe sin, cos als e
und vernachlässige der Einfachheit halber Terme, bei d e ac äss ge de
ac e t a be e e, be
denen für Argument (≤w ≤wz ≤w0)t=0 folgt, daß w= ‐w0 ≤ :
HI0 = ~Ð
+~д
+~д
(¾+ ei(+!0 ¡!)t+iÁ
+ ¾¡
ei(¡!0 +!)t¡iÁ )
(¡¾+ ay ei(+!0 +!z ¡!)t+iÁ ¡ ¾+ a ei(!0 ¡!z ¡!+)t+iÁ )
(¾¡ ay ei(¡!0 +!z +!)t¡iÁ
+ ¾¡ a ei(¡!0 ¡!z +!)t¡iÁ )
.
Seitenbänder
8
iÁ
¡iÁ ) fÄ
>
~Ð
(+¾
(t)
e
+
¾
(t)
e
ur ! = !0
+
¡
<
HI0 = ~д (¡¾+ (t)ay (t) e+iÁ + ¾¡ (t)a(t) e¡iÁ ) fÄ
ur ! = !0 + !z
>
:
~д (+¾¡ (t)ay (t) e¡iÁ ¡ ¾+ (t)a(t) e+iÁ ) fÄ
ur ! = !0 ¡ !z
PR30
Experiment
Gegeben sie das rechte Levelschema.
1. Wie würden Sie ein CNOT‐Gatter auf einem 2‐Qbit System auf internem ≈ externen Freiheitsgrad realisieren?
a)
Initialisierung
b) C‐NOT mit |aux, Ú
c) Readout?
Bitte bilden Sie Gruppen und diskutieren Sie
Bitte bilden Sie Gruppen und diskutieren Sie.
Wir sammeln Ihre Antworten in 10 Minuten
2 Optional: Skalierung?
2.
Optional: Skalierung?
PR31
Exp.: C‐NOT mit 1 Ion
PR32
• Initialisierung: Optisches Pumpen in |g, Sn nÚ und Dopplerkühlen in |g,0Ú. Dann y|intÚ≈|extÚ präparieren durch Pulse auf Träger und Seitenbändern (Sb).
• CNOT: Erzeuge Phasengatter durch
2 Puls auf blauem Sb nach |aux,0Ú
2p‐Puls auf blauem Sb
nach |aux 0Ú
μ
μ
Erinnerung: jÃi = cos( )j0i + eiÁ sin( )j1i
2 0
2 1
1 0 0 0
B0 1 0 0 C
μ+2¼
C
jÃi ¡! ¡jÃi CPhase = B
@0 0 1 0 A
0 0 0 ¡11
CNOT = iR1z (¼)Ry2(¡¼=2) CPhase Ry2(¼=2)
• Auslesen: Spin: |g Ú ‐|p Ú Fluoreszenz Phonon: Swap |g,1Ú¨ |e,0Ú mit rotem SB. FluoreszenzflPhonon=0.
C. Monroe et al. Phys. Rev. Lett. 75, 4714 (1995), N&C 7.6.3‐4
Exkursion: Skalierung
PR33
Vorschlag von Cirac & Zoller:
•
(
p
)
Benutze kollektive Moden (z.B. die Schwerpunktsmode) mehrerer Ionen als „Quantenbus“. Kühle diese Schwingungsmode zuerst in den Grundzustand
•
Interne Qbitzustände können dann durch p‐Puls auf blauem Seitenband auf Phonon des „Bus“ übertragen werden:
jÃi
=
(®jgi1 + ¯jei1 ) Ð j0iph
¼¡Puls blau
¡!
jÃi = ®jgi1 j0iph + ¯jgi1 j1iph
! jÃi = jgi1 Ð (®j0iph + ¯j1iph )
•
CNOT zwischen Phonon und Qbit 2 ‐ wie vorher beschrieben ‐ ausführen.
•
Dann Phonon wieder auf Qbit 1 übertragen (mit weiterem blauen p‐Puls)
•
Voraussetzung. Lokale 1‐Qbit Gatter für die unterschiedlichen Ionen durch fokussierte Laserstrahlen.
Cirac & Zoller, Phys. Rev. Lett. 74, 4091(1995); Nakahara& Ohmi, Kapitel 13.5.2
Further Reading
•
“Deterministic quantum teleportation of atomic qubits”
M. D. Barrett et al., Nature 429, 737 (2004)
•
Robustes Phasen‐Gatter durch geometrische (Berry) Phase
D. Leibfried et al., Nature 422, 412 (2003)
•
„Architecture for a large‐scale ion trap quantum computer“
D. Kielpinski et al., Nature 417, 709 (2002)
•
Zusammen mit Dekohärenz: „Long lived qbit memory […]“
C. Langer et al., PRL 95, 060502 (2005).
PR34